Mot so phuong phap su dung dien tich trong chung minh hinh hoc

một số phơng pháp sử dụng diện tích trong
chứng minh hình học
1. Phơng pháp 1
Sử dụng diện tích để chứng minh quan hệ độ dài của các đoạn thẳng
Ví dụ1
Cho hình bình hành ABCD. Từ điểm B vẽ một cát tuyến cắt cạnh CD tại
điểm M. Từ điểm D vẽ một cát tuyến cắt cạnh BC tại điểm N sao cho
BM=DN. Gọi I là giao điểm của BM và DN. Chứng minh khoảng cách từ A
đến BM bằng khoảng cách từ A đến D N.
Nhận xét
Đối với bài toán này nếu không dùng phơng pháp sử dụng diện tích thì
khó mà giải quyết đợc. Nhng để phát hiện ra bài toán này phải dùng phơng
pháp sử dụng diện tích để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau lại càng khó
hơn.
Giáo viên phải gợi mở cho học sinh thấy rằng giả thiết đã có BM=DN
mà phải chứng minh khoảng cách từ A đến BM và DN bằng nhau lại có hai
tam giác BAM và tam giác DAN không thể bằng nhau đợc.
Vậy phải chăng
SVBAM =
SVDAN

Đó là điều mà ngời muốn giải quyết bài toán phải nghĩ tới.
lời giải ( theo hình 1)
SVBAM = S ABCD (SVADM + SVBMC )

kẻ EF đi qua M là EF vuông góc với BC thì
1
1
SVADM + SVBMC = ME.AD + MF .BC
2
2

1
1
= AD.EF = S ABCD
2
2

B

N
I

F

C
M

Vậy
S BAM

1
1
= S ABCD S ABCD = S ABCD
2
2

A

Hình 1 D

E

Tơng tự qua N kẻ PQ AB . Ta cũng chứng minh đợc diện tích tam
giác AND bằng một nửa diện tích hình bình hành ABCD
Vậy
S BAM = S ADN =

1
S ABCD
2

Suy ra 2 đờng cao hạ từ A tới BM, hạ từ A xuống DN bằng nhau ( vì hai đáy
BM = DN theo giả thiết)


Ví dụ 2
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, một đờng thẳng song song với
cạnh BC cắt các cạnh AB, AC và trung tuyến AM lần lợt tại D,E,F. Chứng
minh rằng FD = FE.
Nhận xét
Bài này có thể giải bằng nhiều cách khác nhau nhng ở đây tôi xin phép
trình bầy phơng pháp sử dụng diện tích để chứng minh.
Lời giải (theo hình 2)
Hạ DK và EH vuông góc với AM (K,H AM). Ta có SABM = SACM (1) (có
chung đờng cao và hai đáy bằng nhau BM = MC).
SDBM = SECM (2) (Có đờng cao DI = EN và hai đáy bằng nhau).
Từ (1) và (2) suy ra SABM - SDBM = SACM - SECM
hay SADM = SAEM.

Hình 2

mà tam giác ADM và tam giác AEM
có chung đáy AM
nên hai đờng cao thuộc đáy AM bằng nhau tức là: DK = EH.
Mặt khác tam giác DKF và EHF có K= H = 900;
DK = EH (chứng minh trên)
KDF = HEF (so le trong do DK // EH )

Do đó DKF = EHF (g.c.g) FD = FE.
2. Phơng pháp 2
Sử dụng diện tích để chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Ví dụ
Cho tam giác ABC, Trung tuyến AM. Một đờng thẳng song song với BC cắt
AB, AC lần lợt tại D và E. Chứng minh rằng BE và CD cắt nhau trên AM.
Lời giải: (theo hình 3)
Gọi giao điểm của AM với DE là F. Theo ví dụ 2 ở phơng pháp 1 thì FD = FE
Suy ra SBDFM = SBFD + SBFM = SCFE + SCFM = SCEFM (1)
Gọi giao điểm của BE và CD là I, nối IF, IM ta có :
SDIF = SEIF ( Vì FD = FE )


hình 3

Và SBIM = SCIM
SBDI = SCEI ( Do SBDC = SCEB )

Suy ra SBDFIM = SCEFIM Hay đờng gấp khúc FIM chia đôi diện tích hình thang
BDEC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SFIM = 0 Suy ra F, I, M thẳng hàng suy ra I thuộc FM
Lu ý Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phơng pháp sử dụng diện tích ta
phải chứng minh tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm ấy có diện tích bằng 0.

3. Phơng pháp 3
Sử dụng diện tích hình học để chứng minh hai đờng thẳng song song
ví dụ 1
Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E,F,G,H thứ tự thuộc các cạnh
AB,BC,CD,DA sao cho EG không song song với AD. Cho biết diện tích
EFGH bằng nửa diện tích hình bình hành. Chứng minh FH//CD.
Nhận xét
Đối với bài toán này thì từ giả thiết diện tích EFGH bằng nửa diện tích
hình bình hành thì ngời giải toán có thể nhận ra ngay đợc sử dụng phơng pháp
diện tích để chứng minh. Nhng chng minh nh thế nào? vận dụng diện tích nh
thế nào? để có đợc FH//CD . đó là một vấn đề hơi khó
Lời giải: (theo hình 4)
Kẻ EM // AD ( M CD )
Nối F với H; H với M; F với M
Gọi khoảng cách giữa hai đờng
thẳng song song EM và AD
là h thì :
E

F

B

C
G
M

Hình 4
1
h. AH

2
1
= h.HD
2

A

S AEH =
S HDM

1
2

H

1
2

suy ra S AEH + S HDM = h.( AH + HD) = h. AD
Mà AD=EM (vì AEMD là hình bình hành do có EM//AD; AE//MD)
Vậy

S AEH + S HDM

1
h.EM
2

1

(1)
Lại có S EHM = 2 h.EM S EHM = S AEH + S HDM

Tơng tự ta cũng có S MFE = S EBF + S FMC (2)

D


Từ biểu thức (1) và (2) suy ra
S HEFM = S EHM + S FME = S AEH + S HDM + S EBF + S FMC =

Vậy

S HEFM =

1
S ABCD
2

1
S ABCD
2

1
2

Mà S EFGH = S ABCD (theo giả thiết) SEFMH = S

EFGH

S

FGH

=S

FMH

(Vì có

phần chung là tam giác EFH ) khoảng cách từ G và M đến HF bằng nhau
HF // CD
Ví dụ 2
Cho tam giác ABC , một đờng thẳng song song với BC cắt các cạnh AB,
AC lần lợt tại D và E. Qua D ,E lần lợt kẻ các đờng thẳng song song với AC ,
AB cắt BE, DC lần lợt tại M và N.
Chứng minh rằng MN // BC
Lời giải (theo hình 5)
gọi I là giao điểm của BE và CD vì EN // AB nên S BEN = SDEN(1), (Vì
chung đáy EN và có đờng cao thuộc EN bằng nhau)
mà SBIN = SBEN - SIEN (2)
SDIE = SDEN - SIEN (3)
Từ (1),(2)Và(3) SBIN = SDIE (4)
Ttơng tự SCIM = SDIE (5)
Từ (4) và (5) SBIN = SCIM
mặt khác SBMN = SBIN - SMIN

Hình 5

SCMN = SCIM - SMIN do đó SBMN = SCMN

hai đờng cao BH và CK tơng ứng thuộc MN bằng nhau

Nên BHKC là hình chữ nhật do đó MN // BC
Ví dụ 3
Cho tam giác ABC có AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm. Gọi I là giao
điểm của các phân giác; G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng
IG//BC
Lời giải (theo hình6)
Ta có SGBM = 1/3 SABM (Vì 2 tam giác có chung đờng cao thuộc AM và đáy


GM =1/3 AM). Tơng tự SGCM =1/3 SACM nên SGBM + SGCM = 1/3(SABM+ SACM) =
1/3 SABC tức là SGBC =1/3SABC (*)
Kẻ ID vuông góc với AB, IK Vuông góc với BC; IE vuông góc với AC thì ID =
IK = IE
đặt chúng bằng r ta có :SIBC = 1/2 BC.IK = 1/2.5.r = 2,5r (1).
mà SABC = SIBC + SICA + SIAB = 1/2BC.IK + 1/2CA.IE + 1/2AB.ID =2,5.r +
1/2.6.r +1/2.4.r = 2,5r + 3r + 2r = 7,5r (2).
Từ (1) và (2) suy ra SIBC = 1/3SABC (**).
Từ (*) và (**) suy ra SIBC = SGBC
kẻ GH vuông góc với BC thì IK và GH
lần lợt là các đờng cao của tam giác
IBC và tam giác GBC nên IK = GH
suy ra tứ IGHK là hình chữ nhật
(vì có IK song và bằng GH; góc K bằng 1V)

Hình 6

Suy ra IG//KH mà K, H thuộc BC suy ra IG//BC.
4. phơng pháp 4

dùng diện tích hình học để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy.
Ví dụ Chứng minh trong một tam giác ba đờng trung tuyến đồng quy và điểm
đồng quy chia mỗi trung tuyến theo tỉ số 2/3 kể từ đỉnh.
Lời giải (theo hình 7)
Gọi G là giao điểm của trung tuyến BE và CF,
Nối AG cắt BC tại M.
Để chứng minh cho G là giao
điểm của 3 trung tuyến ,
ta chứng minh cho AM
cũng là trung tuyến của
tam giác ABC tức là chứng
minh MB = MC
ta có SABE = SACF =1/2SABC
Hình 7
suy ra SBGF = SCGE
suy ra SAGF = SBGF = SCGE = SAGE
suy ra SABG = SACG (1)
hạ các đờng vuông góc BH, CK với AM
ta có BH = CK (do 1)
suy ra SBGM = SCGM suy ra BM = CM nên AM là trung tuyến của tam giác ABC.
Mặt khác SABG = 2SAGE suy ra BG = 2GE hay BG/BE = 2/3 tơng tự ta có
AG/AM = CG/CF = 2/3.
5 . Phơng pháp 5
Dùng phơng pháp diện tích hình học để chứng minh một số hệ thức.


Ví dụ 1
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ ở miền trong
của một tam giác đều đến 3 cạnh không phụ thuộc vị trí của điểm ấy.
Nhận xét

Nếu bài toán này không sử dụng diện tích để chứng minh thì rất khó mà giải
quyết đợc . Khi sử dụng diện tích của tam giác thì bài toán trở nên rất đơn
giản.
Lời giải (theo hình 8)
A
Gọi độ dài các cạnh tam giác là a , đờng cao là h.
Thì Sabc = S AMB +S BMC + SCMA
D
1
1
1
MD. AB + ME.BC + MF . AC
2
2
2
1
= a.( MD + ME + MF )
2
B
1
Vậy Sabc= a.( MD + ME + MF )
hình 8
2
1
Mà
= a.h MD+ME+MF = h không đổi
2

=

F

E

C

Ví dụ 2
Bên trong tam giác ABC lấy một điểm O tuỳ ý, tia AO, BO, CO cắt BC, CA,
AB tại D, E, F. Chứng minh

OA OB OC
+
+
=2
AD BE CF

Lời giải (theo hình 9)
Vẽ OK BC ; AH BC
Suy ra OK // AH DKO

DHA

1
OK .BC
S BOC
OK
= 2
=
mà
S ABC 1

AH
AH .BC
2
OD OK S BOC
=
=
Nên
AD AH S ABC
OE S COA OF S AOB
=
=
Tơng tự :
;
BE S ABC CF S ABC
OD OE OF
Do đó:
+
+
=1
AD BE CF
AD OA BE OB CF OC
suy ra
+
+
=1
AD
BE
CF
OA
OB

OC
Suy ra: 1+1
+1
=1
AD
BE
CF
OA OB OC
Suy ra:
+
+
=2
AD BE CF

OD OK
=
AD AH

Hình 9

hình 9

Ví dụ 3
Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N, theo thứ tự thuộc các cạnh
AB, BC sao cho AM = CN. Gọi K là giao điểm của AN và CM . Kẻ DH
vuông góc với KA; DI vuông góc với KC.


Chứng minh : DH . AN = DI . CM
Lời giải (theo hình 10)

Vì DH KA ; DI KC
nên ta có : DH . AN = 2 S ADN (1)
DI . CM = 2S CDM (2)
Mà S ADN =

1
S ABCD
2

hình 10

(Vì tam giác AND và hình bình hành ABCD có chung đáy AD và đờng cao t1
2

ơng ứng bằng nhau) . Tơng tự S CDM = S ABCD Nên S ADN = S CDM

(3)

Từ (1), (1) và (3) suy ra : DH . AN = DI . CM
ví dụ 4
Cho tam giác ABC, O là điểm bất kỳ nằm trong tam giác, các tia AO,BO,CO
cắt các cạnh BC,CA,AB lần lợt tại các điểm P,Q,R. Chứng minh rằng:
OA
OB
OC
+
+
3 2.
OP
OQ

OR

Lời giải.
Gọi S,S1,S2,S3 lần lợt là diện tích các
tam giác ABC, BOC,COA,AOB.
Đặt S1=x2, S2=y2,S3=z2(x,y,z lớn hơn 0)
Ta đợc S=x2+y2+z2
suy ra :
AP S x 2 + y 2 + z 2
OA
y2 + z2
= =

+
1
=
1
+
OP S1
x2
OP
x2
OA

=
OP

y +z
x2
2

Q

R
B
P
hình 11

2

C

Tơng tự ta có:
OP
=
OQ

z 2 + x2
OC
va
=
2
y
OR

x2 + y 2
z2

2
2

2
2
2
2
Do đó T = OA + OB + OC = y + z + z + x + x + y

OP

Lại có

OQ

OR

x

y

z

y2 + z2 y + z

.
x
2x

Tơng tự ta đợc: T

1 y z x z x y
+ + + + + ữ 3 2

2x x y y z z

6. Phơng pháp 6
Sử dụng diện tích để chứng minh một số bài toán cực trị trong hình học.
Các bài toán cực trị trong hình học thờng đợc trình bày theo hai cách:
Cách 1:
Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lợng cần tìm cực trị lớn
hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố của mọi hình khác.
Cách 2:


Thay điều kiện một đại lợng cực trị bằng các điều kiện tơng đơng, cuối
cùng dẫn đến điều kiện xác định đợc vị trí các đại lợng hình học để đạt cực trị
.
ví dụ 1
cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, lấy điểm M tùy ý trên đờng chéo AC,
kê ME AB, MF BC . Xác định vị trí của M trên đờng chéo AC để diện
tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tìm giá trị đó?
Lởi giải: (theo hình 12)
SVDEM = SVAME (Chung đáy EM , đờng cao bằng nhau)
SVDMF = SVCMF (Chung đáy FM, đờng cao bằng nhau)
SVDEF = SVDEM + SVDMF + SVEMF
1
2

= SVABC SVBEF = (a 2 BE.BF )
Vậy SVDEF nhỏ nhất khi và chỉ khi BE.BF lớn nhất
hình 12
Do BE+BF = a (vì EM = AE = BF do tam giác AEM vuông cân)
a

BE.BF lớn nhất BE = BF = ( đây là hai số dơng có tổng không đổi tích
2
lớn nhất khi 2 số bằng nhau)
Khi đó M là trung điểm của AC
2

Và SVDEF = 1 .(a 2 a ) = 3 a 2
2

4

8

Ví dụ 2
a, Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi. Hình nào có diện tích lớn
nhất?
b, Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình nào có chu vi nhỏ
nhất ?
Lời giải
Gọi các kích thớc của hình chữ nhật là a, b ( a, b > 0 ).
Ta có : ( a - b )2 0 a2+ b2 2ab ( a + b )2 4ab
a, Vì chu vi của hình chữ nhật không đổi nên a + b là hằng số.
Do đó ab lớn nhất a = b . Vậy hình vuông có diện tích lớn nhất
b, Vì diện tích hình chữ nhật không đổi nên ab là hằng số.
Do đó a + b nhỏ nhất a = b. Vậy hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Ví dụ 3
Cho tam giác nhọn ABC . M là một điểm thay đổi trên cạnh BC. Hãy xác định
vị trí của điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến đờng thẳng AM
là:

a, Nhỏ nhất
b, Lớn nhất
Lời giải (theo hình 13)
Kẻ AH BC ; BE AM ; CF AM
Ta có: SABC = SAMB + S AMC =

1
AM .( BE + CF )
2

hình 13

Hay AM ( BE + CF ) = 2 SABC không đổi nên :
a, BE + CF nhỏ nhất AM lớn nhất nên có 2 khả năng xảy ra :
- Nếu AB AC thì AM lớn nhất bằng AB và M B khi đó tổng BE +
CF bằng độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB.


- Nếu AC AB thì AM lớn nhất bằng AC và M C , khi đó tổng độ dài
BE + CF bằng độ dài đờng cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC.
b, BE + CF lớn nhất AM nhỏ nhất.
Vì AM AH nên AM Min AM = AH M H . Khi đó E và F cũng
trùng với H. Nên tổng BE + CF nhận giá trị lớn nhất bằng BC.