Công thức trong không gian Oxyz

[CÔNG THỨC VỀ TỌA ĐỘ TRONG HỆ TRỤC OXYZ ] [Perseus]

CÔNG THỨC VỀ TỌA ĐỘ TRONG HỆ TRỤC OXYZ
1.

Tích có hướng của 2 vector:
r
a.

u = ( x; y; z )

Định nghĩa:

r
v = ( x '; y '; z ')

và

r r  y z z x x y 
[u , v] = 
;
;
÷
y'
z
'
z
'
x
'
x' y' 


b.

Cácr ứng
dụng:
r
u, v

•

cùng phương:

r r ur
u , v, w

•

•

SABC =

đồng phẳng:

=
.

=

Ax + By + Cz +D = 0

Vector pháp tuyến

r
n = ( A; B; C )

Phương trình đoạn chắn:

cos φ =

| AA '+ BB '+ CC ' |
A + B 2 + C 2 . A '2 + B '2 + C '2
2

Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α):
| Ax0 + By0 + Cz0 + D |

d(M,(α)) =
3.

A(a; 0; 0); B (0; b; 0); C(0;0; c)

Góc giữa hai mặt phẳng:
(α) : Ax + By + Cz + D = 0
(β) : A’x +B’y + C’z + D’ = 0
r ur
| n.n ' |
r ur =
| n |.| n' |

c.

(A2 + B2 + C2 ≠ 0)

x y z
+ + =1
a b c

( α qua
b.

r
0

r uuur uuur
1 uuu
 AB, AC  . AD

6

VABCD =
Mặt phẳng:
a. Phương trình mặt phẳng α:
• Phương trình tổng quát:

•

=

r
0

r r ur
⇔ [u , v ] w

r uuur
1  uuu
AB
, AC 
2

•

2.

r r
⇔ [u , v]

( yz '− zy '; zx '− xz '; xy '− yx ')

Đường thẳng:

A2 + B 2 + C 2

)


[CÔNG THỨC VỀ TỌA ĐỘ TRONG HỆ TRỤC OXYZ ] [Perseus]
a.

Ba dạng phương trình của đường thẳng ∆ đi qua M0(x0;y0;z0) và có

r
u = (a; b; c )

vector chỉ phương
• Phương trình tham số:

:

 x = x0 + at

 y = y0 + bt
 z = z + ct
0


•

b.

Phương trình tổng quát:
Với A:B:C ≠ A’:B’:C’
Góc giữa hai đường thẳng:

cos φ =
c.

¡

)

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

Phương trình chính tắc:

•

(t∈

 Ax + By + Cz + D = 0

A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0

r ur
| u.u ' |
| aa '+ bb '+ cc ' |
r ur =
2
2
| u |.| u'|
a + b + c 2 . a ' 2 + b ' 2 + c '2

Khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆ có vector chỉ phương
điểm M:

r

u

và đi qua

r uuur
u , MA


r
u

d.

d(A,∆) =
Khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau: r
r
∆ có vtcp

u

và đi qua M, ∆’ có vector chỉ phương

d(∆;∆’) =
e.

v

và đi qua điểm M’

r r uuuuur
u, v  .MM '
 
r r
u , v 
 

Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α):
r r
 n, u 
 
r r =
n.u

sin φ =

Aa + Bb + Cc
A2 + B 2 + C 2 . a 2 + b 2 + c 2


[CÔNG THỨC VỀ TỌA ĐỘ TRONG HỆ TRỤC OXYZ ] [Perseus]
r
n = ( A; B; C )

4.

Với
là vector pháp tuyến của (α) và
phương của đường thẳng ∆.
Mặt cầu:

a. Phương trình mặt cầu:
-

Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) có tâm

r
u = ( a; b; c )

I (a; b; c)

( x − a ) + (y − b) + ( z − c) = R
2

-

2

2

là vector chỉ

và bán kính R

2

Dạng 2: Phương trình có dạng:
x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0

Với điều kiện

a2 + b2 + c2 − d > 0

R = a2 + b2 + c2 − d

I ( a; b; c)

b.

là phương trình mặt cầu (S) có tâm

và bán kính
Sự tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng :
•

-

d(I,(α)) < R

⇔

(α) giao (S) theo đường tròn (C)

Phương trình (C) :

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2

 Ax + By + Cz + D = 0

Tâm H của (C) là hình chiếu của tâm
r = R − IH

2

-

Bán kính của (C) :

•

d(I,(α)) = R

•

d(I,(α)) > R

⇔
⇔

2

(α) tiếp xúc với (S)
(α) ∩ (S) = ∅

I (a; b; c)

lên mặt phẳng (α)