Phép biến đổi fourier rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ THẢO

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ THẢO

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC

Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số

: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Khải

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Văn Khải,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người
thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Tác giả

Bùi Thị Thảo


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải, luận
văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Phép biến đổi Fourier
rời rạc” do tôi tự làm. Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn
gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Tác giả

Bùi Thị Thảo


Mục lục

Mở đầu

3

1

5

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

1.2

Một vài khái niệm trong giải tích . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Một số định lý của lý thuyết tích phân . . . . . . . .

5

1.1.2

Không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4

Tích phân Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chuỗi Fourier và tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1

Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2

Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3

Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

2.1

2.2

Phép biến đổi Fourier trong L1 (R)

13
. . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1

Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2

Một số dạng biến đổi Fourier khác . . . . . . . . . . 16

2.1.3

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Phép biến đổi Fourier trong L1 (Rn ) . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1


3 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC

26

3.1

Chuỗi Fourier rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2

Phép biến đổi Fourier rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2

Biểu diễn phép biến đổi Fourier rời rạc dưới dạng
ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3
3.3

Tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc . . . . . 34

Phép biến đổi Fourier nhanh . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
RỜI RẠC

46

4.1

Phân tích phổ tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2

Tính tín hiệu ra hệ thống rời rạc LTI . . . . . . . . . . . . 51

4.3

Bộ lọc hai chiều dùng FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Kết luận

54

Tài liệu tham khảo

55

2


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài

Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán học
cũng như trong toán học tính toán. Có nhiều bài toán trong toán học và
trong thực tiễn khoa học kỹ thuật dẫn tới việc nghiên cứu phép biến đổi
Fourier.
Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc, đôi khi còn được gọi là
phép biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho
các tín hiệu thời gian rời rạc. Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu
hạn các số thực hoặc số phức, chính vì vậy biến đổi này là một công cụ lý
tưởng để xử lý thông tin trên các máy tính. Đặc biệt, biến đổi này được
sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan tới tích phân
tần số chứa trong một tín hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng và
để làm các phép như tích chập. Biến đổi này có thể được tính nhanh bởi
thuật toán biến đổi Fourier nhanh. Nó còn áp dụng vào nhiều ứng dụng
như lọc, nén ảnh, phóng đại ảnh.
Với mong muốn tìm hiểu về phép biến đổi Fourier rời rạc, dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải tôi đã nghiên cứu đề tài: "Phép
biến đổi Fourier rời rạc".

3


2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu các phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier
rời rạc và một vài ứng dụng của nó.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier rời rạc, nêu được một số ứng dụng
của nó.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Chuỗi Fourier, tích phân Fourier.
- Phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc.
- Ứng dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại các
vấn đề liên quan tới đề tài.

6. Dự kiến đóng góp
Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phép biến đổi Fourier, phép biến đổi
Fourier rời rạc và nêu một số ứng dụng về phép biến đổi Fourier rời rạc.

4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Một vài khái niệm trong giải tích

1.1.1

Một số định lý của lý thuyết tích phân

Mục này nhắc lại một số kết quả về lý thuyết tích phân, được trích dẫn
chủ yếu từ tài liệu [1].
Định lý 1.1.1. Cho (fn ) là dãy tăng các hàm khả tích Lesbesgue trên tập

Ω ⊂ RN sao cho sup

n

Ω fn

< ∞. Khi đó, (fn ) hội tụ hầu khắp nơi trên Ω

về một hàm f khả tích trên Ω và fn − f

1

≡

Ω |fn (x)

− f (x)| dx → 0

khi n → ∞.
Định lý 1.1.2. (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue)
Cho (fn ) là một dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω ⊂ RN
thoả mãn:
(i) fn bị chặn đều bởi một hàm không âm khả tích trên Ω,

|fn (t)|

g (t) , ∀n ≥ 1, ∀t ∈ Ω.

(ii) Dãy {fn } hội tụ hầu khắp nơi tới f trên Ω.
Khi đó f khả tích và

fn − f

1

|fn (t) − f (t)| dt = 0.

= lim

n→∞

Ω

5


Định lý 1.1.3. (Định lý Fubini) Cho F khả tích trên Ω1 × Ω2 . Khi đó với
hầu hết x ∈ Ω1 ta có

F (x, .) :→ F (x, y) khả tích trên Ω2 và
x→

F (x, y) dy khả tích trên Ω1 .
Ω2

Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y, Ω1 cho Ω2 . Hơn nữa ta có:

dx
Ω1

F (x, y) dy =
Ω2

dy
Ω2

F (x, y) dx =

F (x, y) dxdy.
Ω1 ×Ω2

Ω1

Không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞)

1.1.2

Định nghĩa 1.1.1. Cho p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa:

Lp (Ω) = f : Ω → R hoặc C ; f đo được và |f |p khả tích ,
L∞ (Ω) = {f : Ω → R hoặc C ; f đo được và ∃C ≥ 0, |f (x)| ≤ C h.k.n}
và ký hiệu:

f
f

∞

1
|f (x)|p dx p

=

p

Ω

= inf C; |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi .

Nhận xét 1.1.1. Nếu f ∈ L∞ (Ω) thì |f (x)| ≤ f

với hầu hết x ∈ Ω.
1 1
Ta kí hiệu q là số liên hợp của p, tức là p, q > 1 và + = 1.
p q
∞

Định lý 1.1.4. (Bất đẳng thức Holder)
Cho f ∈ Lp và g ∈ Lq với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó f.g ∈ L1 và:

|f.g| ≤ f

p.

g

q

.

Trong trường hợp p = q = 2 ta có bất đẳng thức sau:
Bất đẳng thức Schwarz: Nếu f, g ∈ L2 thì f.g ∈ L1 và f g

1

≤ f

Do đó:
2

∞

|f (x) g (x)| dx
−∞

∞

2

∞

|f (x)| dx

≤
−∞

6

−∞

|g (x)|2 dx.

2.

g

2.


Định lý 1.1.5. (Fischer - Riesz)
(i)

Lp , .

là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞.

p

(ii) Giả sử (fn ) là dãy hội tụ về f trong không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) , tức
là fn − f

p

→ 0, thế thì tồn tại dãy con (fnk )k=1,2,... sao cho:
fnk (x) → f (x) hầu khắp nơi
∀k, |fnk (x)| ≤ h (x) hầu khắp nơi,

với h là một hàm trong Lp .
Với Ω là tập mở trong Rd , ta kí hiệu C k (Ω) là không gian các hàm số
∞
k
k=1 C

khả vi liên tục đến cấp k và C ∞ (Ω) =

(Ω) . Còn Cc (Ω) là không

gian các hàm số f liên tục trên Ω sao cho giá (support) của f tức là tập
hợp suppf = {x ∈ Ω; f (x) = 0} là compact chứa trong Ω. Đặt:

Cck (Ω) = C k (Ω) ∩ Cc (Ω) ,
Cc∞ (Ω) = C ∞ (Ω) ∩ Cc (Ω) .
Định lý 1.1.6. Với 1 ≤ p ≤ ∞ thì Cc∞ trù mật trong Lp (Ω).
Định lý 1.1.7. (Riemann - Lesbesgue). Cho f ∈ L1 (a, b) , với (a, b) là
khoảng hữu hạn hoặc vô hạn của R thì ta có:
b

lim

N →∞

b

f (x) cosN xdx = 0, lim

N →∞

a

f (x) sinN xdx = 0.
a

Định lý 1.1.8. Cho f1 , f2 , ... ∈ Lp , nếu fn → f trên R và

lim fn

n→∞

p

= f

p

thì:

lim fn − f

n→∞

7

p

= 0.


Định lý 1.1.9. Nếu f ∈ Lp thì
∞

lim
t→0

|f (x + t) − f (x)|p dx = 0.

−∞

Định lý 1.1.10. Cho f, f1 , f2 , ... ∈ L2 , nếu lim fn − f
n→∞

p

= 0 thì cho

bất kỳ g ∈ L2 thoả mãn:
∞

lim

n→∞

1.1.3

∞

fn (x) g (x) dx =
−∞

f (x) g (x) dx.
−∞

Tích chập

Định nghĩa 1.1.2. Cho hai hàm số f và g xác định trên RN thì hàm số

f ∗ g xác định bởi
(f ∗ g) (x) =

f (x − y) g (y) dy,
RN

(giả thiết tích phân ở trên tồn tại) được gọi là tích chập của f và g .
Định lý 1.1.11. Giả sử f ∈ L1 RN và g ∈ Lp RN với 1 ≤ p ≤ ∞.
Khi đó, với mỗi x ∈ RN , hàm số y → f (x − y) g (y) khả tích trên RN và

f ∗ g ∈ Lp RN .
Hơn nữa f ∗ g ≤ f

1.1.4

1

g

p.

Tích phân Dirichlet

Định nghĩa 1.1.3. Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a, b] .
Giả sử P = {x0 , x1 , ..., xn } là một phân hoạch của đoạn [a, b] , nghĩa là

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Đặt

n

|∆fi | ,

V (f ) = V (f ; a, b) = sup
p

i=1

trong đó ∆fi = f (xi ) − f (xi−1 ) , sup lấy trên tất cả các phân hoạch của

[a, b] . Ta gọi V (f ) là biến phân toàn phần của f trên [a, b] . Hàm f gọi là
có biến phân bị chặn trên [a, b] nếu V (f ) < ∞.
8


Tính chất 1.1.1. Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a, b] .
Khi đó:
(i) f có biến phân bị chặn nếu và chỉ nếu Re [f ] và Im [f ], tức phần
thực và phần ảo của f , có biến phân bị chặn.
(ii) Nếu f có biến phân bị chặn thì f bị chặn, cụ thể,

|f (x)| ≤ |f (a)| + V (f ; a, b) , ∀x ∈ [a, b] .
(iii) Nếu f là hàm thực có biến phân bị chặn thì tồn tại hai hàm thực p, q
đơn điệu tăng trên [a, b] sao cho f (x) = p (x) − q (x) , ∀x ∈ [a, b] .
Hơn nữa, nếu f liên tục thì p, q cũng liên tục.
Bổ đề 1.1.1. (Tích phân Dirichlet).
Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên (a,b) thoả mãn một
trong hai điều kiện Dirichlet sau đây:
(i) Tồn tại f (a+ ) , f (b− ) và f có biến phân bị chặn trên [a, b], ta xem

như f xác định trên [a, b] với giá trị tại biên là f (a+ ) và f (b− ).
(ii) Có hữu hạn điểm thuộc đoạn [a, b] sao cho khi bỏ đi các lân cận bé
tuỳ ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần
còn lại của đoạn [a, b]; hơn nữa f ∈ L1 (a, b) . Khi đó, ta có:
Nếu 0 < a < b thì
b

lim

µ→∞

f (x)
a

sinµx
dx = 0.
x

Nếu 0 = a < b, ∃f (0+ ) và f có biến phân bị chặn trên một lân cận

[0, δ] của 0 (δ < 0) thì
b

lim

µ→∞

f (x)
0

sinµx
π
dx = f 0+ .
x
2
9


1.2
1.2.1

Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
Chuỗi Fourier

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử f ∈ L1 [−π, π], nghĩa là f khả tích Lebesgue
trên [−π, π] và tuần hoàn với chu kì 2π . Khi đó các hệ số an , bn được xác
định theo công thức:

1
an =
π
bn =

1
π

π

f (x) cosnxdx, n = 0, 1, 2, ...
−π

π

f (x) sinnxdx, n = 1, 2, ...
−π

được gọi là hệ số Fourier của hàm f , còn chuỗi hàm lượng giác
∞

a0
+
(an cosnx + bn sinnx)
2
n=1
được gọi là chuỗi Fourier của hàm f .

1.2.2

Sự hội tụ

* Sự hội tụ trong L1 (R).
Định lý 1.2.1. Cho f ∈ L1 [−π, π], nếu f thoả mãn điều kiện Dirichlet
trong (−π, π) thì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f (x) tại các điểm
1
x ∈ (−π, π) mà tại đó hàm f liên tục, hội tụ về [f (x+ ) + f (x− )] nếu x
2
1
là điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về [f (x+ ) + f (x− )] tại x = ±π
2
+
−

nếu f (−π ) và f (π ) tồn tại.
Định lý 1.2.2. (Sự hội tụ đều)
Cho f ∈ L1 [−π, π]. Giả sử f bị chặn, thoả mãn điều kiện Dirichlet trên

(−π, π) và giả sử f liên tục trên khoảng (u, v) ⊂ (−π, π). Khi đó chuỗi
Fourier của f hội tụ đều về f trên một đoạn bất kỳ [a, b] ⊂ (u, v).

10


* Sự hội tụ trong L2 (R).
Xét không gian L2 các hàm bình phương khả tích trên [−π, π]. Trong

L2 , dãy hàm {ϕn |n ∈ N} được gọi là một hệ trực giao nếu:
π

ϕm (x) ϕn (x) dx = 0, ∀m = n.
−π
π

và nếu hệ {ϕn |n ∈ N} có thêm tính chất
−π

ϕ2n (x) dx = 1, ∀n thì ta nói hệ

{ϕn } trực chuẩn.
Cho hàm f ∈ L2 , với hệ trực chuẩn {ϕn } ta đặt:
π

f (x) ϕn (x) dx, ∀n ∈ N

cn =
−π
∞

cn ϕn là chuỗi Fourier của hàm f (ứng với hệ trực chuẩn {ϕn })

thì ta gọi
n=0

∞

và ký hiệu là f ∼

c n ϕn .
n=0

∞

ck ϕk là chuỗi Fourier của f ứng với

Bất đẳng thức Bessel. Giả sử
k=0

hệ trực chuẩn {ϕn }. Khi đó:
∞

π
2

c2k .

f (x) dx ≥
−π

k=0

Định nghĩa 1.2.2. Hệ trực chuẩn {ϕn } được gọi là đầy đủ trong L2 nghĩa
là:

∞

π
2

c2k , ∀f ∈ L2 .

f (x) dx =
−π

k=0

Định lý 1.2.3. Cho hệ trực chuẩn {ϕn } trong L2 . Hệ này là đầy đủ nếu
và chỉ nếu:

∀F ∈ C [−π, π] , ∀ε > 0, ∃σn = α0 ϕ0 + ... + αn ϕn , F − σn

2

< ε.

Định lý 1.2.4. Chuỗi Fourier của hàm f ∈ L2 [−π, π] sẽ hội tụ trung
bình về f theo nghĩa:
n

π

f (x) −

lim

n→∞

−π

a0
+
(ak coskx + bk sinkx)
2
k=1
11

2

dx = 0.


1.2.3

Tích phân Fourier

Định nghĩa 1.2.3. Xét hàm f ∈ L1 (R), ta đặt:

aλ =

1
π

1
bλ =
π

∞

f (t) cosλtdt,
−∞
∞

f (t) sinλtdt.
−∞

Ta cho f liên kết với tích phân sau đây, gọi là tích phân Fourier
∞

f (x) ∼

(aλ cosλx + bλ sinλx) dλ.
0

Định lý 1.2.5. Cho f ∈ L1 (R), thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi

khoảng mở hữu hạn. Giả sử f (x+ ) và f (x− ) tồn tại, thì ta có
∞

(aλ cosλx + bλ sinλx) dλ =
0

1
f x+ + f x−
2

trong đó tích phân vế trái được hiểu là
q

lim

q→∞

(aλ cosλx + bλ sinλx) dλ.
0

12

,


Chương 2
PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
2.1
2.1.1

Phép biến đổi Fourier trong L1 (R)
Phép biến đổi Fourier

Định nghĩa 2.1.1. Cho f ∈ L1 (R), hàm f xác định bởi

1
f (λ) = √
2π

∞

f (t) e−iλt dt.

(2.1)

−∞

được gọi là phép biến đổi Fourier của f .
Ví dụ 2.1.1. Cho f (x) = e−α|x| , α > 0. Tìm biến đổi Fourier f của f (x).
Lời giải.
Áp dụng công thức biến đổi Fourier ta có:
∞
∞
1
1
−α|x| −iλt
e
e dt = √
e−α|x| (cosλx − isinλx) dx
f (x) = √

2π −∞
2π −∞
∞
∞
2
1 2
=√
e−α|x| cosλx = √
e−α|x| dsinλx
π 2π 0
2π 0
∞
1 2
−αx
∞
= √
e sinλx|0 + α
e−αx sinλxdx
π 2π
0
∞
1 2
α
=
−
e−αx dcosλx
π π
λ 0
∞
α 2 −αx

∞
e cosλx|0 + α
e−αx cosλxdx
= 2
λ
π
0
α 2
π
2 α
=− 2
−1 + α
f (x) =
.
λ
π
2
π λ2 + α2

13


Ví dụ 2.1.2. Tìm biến đổi Fourier của hàm

f (x) =

x2 e−x
0

,x > 0

, x < 0.

Lời giải. Áp dụng công thức biến đổi Fourier ta có:
∞
∞
1
1
−iλx
ˆ
f (x) e
dx = √
x2 e−x e−iλx dx
f (λ) = √
2π −∞
2π 0
∞
1
2
1
x2 e−(1+iλ)x dx = √
=√
.
2π 0
2π (1 + iλ)3
2
1
.
Vậy phép biến đổi Fourier của hàm f (x) là : fˆ(x) = √
2π (1 + iλ)3
Định lý 2.1.1. Giả sử f ∈ L1 (R) thì f ∈ C 0 với C 0 là không gian các

hàm số liên tục tiến dần về 0 tại vô cực. Hơn nữa
1
f
≤√
f 1.
∞
2π

(2.2)

Chứng minh. Bất đẳng thức trên suy trực tiếp từ định nghĩa f . Khi

tn → t thì
∞
1
|f (x)| e−itn x − e−itx dx.
f (tn ) − f (t) ≤ √
2π −∞
Hàm dưới dấu tích phân ở trên bị chặn bởi 2 |f (x)| và hội tụ từng điểm

tới 0 khi n → ∞. Vì vậy f (tn ) → f (t) do định lý hội tụ bị chặn. Vậy f
liên tục.
Với một hàm số h (x), ta ký hiệu hα là hàm số định nghĩa bởi

hα (x) = h (x − α) .
Vì eiπ = −1 nên
∞

f (t) = −

f (x) e

−it(x+ πt )

∞

dx = −

−∞

fπ/t (x) e−itx dx,

−∞

kéo theo
∞

2 f (t) =

f (x) − fπ/t (x) e−itx dx ≤ f − fπ/t

−∞

suy ra f tiến đến 0 khi t → ∞.
14

1

,

Bổ đề 2.1.1. Cho f xác định trên R và với mỗi y ∈ R, đặt fy là tịnh tiến
của f xác định bởi

fy (x) = f (x − y) , ∀x ∈ R.
Nếu f ∈ Lp (R) , 1 ≤ p < ∞ thì ánh xạ y → fy từ R vào Lp (R) là liên
tục đều.
Chứng minh. Cho ε > 0 bất kỳ. Ta đã biết Cc (R) trù mật trong L1 (R)
nên tồn tại hàm g liên tục trên R và triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn

[−A, A] sao cho f − g

p

< ε.

Nhận thấy g liên tục đều trên R nên tồn tại δ ∈ (0, A) sao cho

|g (s) − g (t)| < (3A)−1 ε, ∀s, t ∈ R, |s − t| < δ,
vì vậy dẫn đến

gs − gt

p

< ε.

Với h ∈ Lp (R) ta có

hα

p

= h (x − α)

|h (x − α)| dx

=

p

1
p

p

.

R

Đặt u = x − α ⇒ dx = du. Khi đó

hα

p

1
p

p

|h (u)| du

=

p

|h (x)| dx

=

R

1
p

= h

p.

R

Vậy

fs − ft
= (f − g)s

p

p

≤ fs − gs

+ gs − gt

p

p

+ gs − gt

+ (g − f )t

p

p

+ gt − ft

p

< 3ε, ∀s, t, |s − t < δ| .

Bổ đề được chứng minh.
Định lý 2.1.2. Nếu f, f1 , f2 , ... ∈ L1 (R) và nếu fn − f

∞ thì lim fn (x) = f (x) đều trên R.
n→∞

15

1

→ 0 khi n →


Chứng minh. Theo (2.2) ta có

fn − f

∞

≤ fn − f

1.

Từ đó ta có đpcm.
Nhận xét. Theo định lý 1.2.5, nếu f thoả mãn điều kiện Dirichlet trên
mọi khoảng mở hữu hạn và f liên tục tại x thì ta có

1
f (x) = √
2π

∞

f (λ) eiλx dλ.

(2.3)

−∞

Trong đó tích phân được hiểu theo nghĩa giá trị chính, tức là
∞

q

f (λ) e

iλx

f (λ) eiλx dλ.

dλ = lim

−∞

q→∞

−q

Tích phân trong (2.1) là tích phân thông thường. Để công thức (2.3)
vẫn đúng theo nghĩa tích phân Lesbesgue thì ta có định lý sau:
Định lý 2.1.3. Giả sử f ∈ L1 (R) và f ∈ L1 (R). Đặt

1
g (x) = √
2π

∞

f (λ) eiλx dλ.

(2.4)

−∞

Khi đó:
(i) g ∈ C0 với C0 là không gian các hàm liên tục trên R và tiến dần về 0
tại vô cực.
(ii) g (x) = f (x) hầu hết trên R.

2.1.2

Một số dạng biến đổi Fourier khác

Định nghĩa 2.1.2. (Biến đổi Fourier ngược)
Nếu f ∈ L1 (R) và f ∈ L1 (R) là biến đổi Fourier của f thì ta có

1
f (t) = √
2π

∞

f (λ) eiλx dλ,
−∞

được gọi là biến đổi Fourier ngược của f .
16

Chú ý 2.1.1. Đối với hàm chỉ xác định với x > 0, ta có công thức biến
đổi Fourier dạng sin và dạng cosin. Chẳng hạn với hàm f (x) xác định với

x > 0, ta mở rộng hàm f cho giá trị x < 0 bằng định nghĩa f (−x) = f (x)
và thực hiện biến đổi Fourier cho hàm chẵn ta có:

f (λ) =
=
=
=

1
√
2π
1
√
2π
1
√
2π
1
√
2π

∞

f (x) e−iλx dx

−∞
∞

1
f (x) e
dx + √
2π
0
∞
1
f (x) e−iλx dx + √
2π
0

0

−iλx

∞

f (x) e

−iλx

iλx

+e

f (x) e−iλx dx

−∞
∞

f (x) eiλx dx
0

∞

dx = 2

0

f (x) cos (λx) dx.
0

1 iλx
e + e−iλx .
2
Từ đó ta có biến đổi Fourier cũng là một hàm chẵn. Do đó:

với cosλx =

1
f (x) = √
2π
1
=√
2π
1
=√

2π
1
= 2√
2π

∞

f (λ) eiλx dλ
−∞
∞

1
f (x) e dλ + √
2π
0
∞
1
f (λ) eiλx dλ + √
2π
−∞

0

iλx

∞

f (x) eiλx dλ
−∞
∞

f (x) eiλx dλ
0

f (x) cos (λx) dλ.
0

1 iλx
e + e−iλx . Đặt F (λ) = f (λ) khi đó ta có biến đổi
2
Fourier dạng cosin của hàm f .
với cosλx =

Định nghĩa 2.1.3. (Biến đổi Fourier - cosin)
Cho hàm f ∈ L1 (R+ ) và f là hàm chẵn ta định nghĩa phép biến đổi
Fourier - cosin của hàm f là hàm

F (λ) =

2
π

∞

f (x) cosλxdx.
0

17

Nếu f thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn (a, b) ⊂ R+
và f liên tục tại x thì theo định lý 1.2.5 ta có

f (x) =

2
π

∞

F (λ) cosλxdλ.
0

Chú ý 2.1.2. Nếu ta bắt đầu với hàm f được xây dựng bằng hàm lẻ, tức là

f (−x) = −f (x) và thực hiện các bước biến đổi như trên ta cũng có công
thức biến đổi Fourier dạng sin của hàm f (x) .
Định nghĩa 2.1.4. (Biến đổi Fourier - sin)
Cho hàm f ∈ L1 (R+ ) và f là hàm lẻ ta định nghĩa phép biến đổi Fourier
- sin của hàm f là hàm

φ (λ) =

2
π

∞

f (x) sinλxdx.
0

Nếu f thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn (a, b) ⊂ R+
và f liên tục tại x thì theo định lý 1.2.5 ta có

f (x) =
2.1.3

2
π

∞

φ (λ) sinλxdλ.
0

Các tính chất

Tính chất 2.1.1. Với r > 0, đặt fr (x) = f (rx). Ta có

1
fr (λ) = f
r

λ
.
r

Chứng minh.

1

fr (λ) = √
2π
1
= √
r 2π

∞

f (rx) e−iλx dx

−∞
∞

1
f (t) e−iλx/r dt = f
r
−∞

λ
.
r

Tính chất 2.1.2. Với y ∈ R, đặt fy (x) = f (x + y). Ta có

fy (λ) = eiλy f (λ) .
18


Chứng minh.
∞

1
fy (λ) = √
2π
1
=√
2π

−∞
∞

f (x + y) e−iλx dx
f (t) e−iλ(t−y) dt = eiλy f (λ) .

−∞

Tính chất 2.1.3. Cho f ∈ L1 (R) thoả mãn suppf ⊂ [−a, a]. Ta có f là
hàm giải tích trên C.
Chứng minh.

1
f (λ) = √
2π

a

f (x) e−iλx dx

−a

⇒ f giải tích trên C.
Tính chất 2.1.4. Cho dãy (fn )n=1,2,... hội tụ trong L1 (R). Khi đó, dãy

fn

n=1,2,...

hội tụ đều trên R.

Chứng minh.
∞

1
fm (λ) − fn (λ) ≤ √
2π

−∞

∞

≤

|fm (x) − fn (x)| . e−iλt dx

|fm (x) − fn (x)| dx → 0 khi m, n → ∞.
−∞

Tính chất 2.1.5. Cho f ∈ L1 (R). Ta có f liên tục, bị chặn và f (λ) → 0
khi |λ| → ∞.
Chứng minh. Ta có f bị chặn do

∞

f (λ) ≤

|f (x)| dx.
−∞

Nếu f là hàm đặc trưng của [a, b] thì

1
f (λ) = √
2π

b

−iλx

e
a

1 e−iλa − e−iλb
√
dx =
.
,
iλ
2π

và là hàm liên tục tiến về 0 khi |λ| → ∞.
19

Nếu f là hàm bậc thang thì f là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc
trưng. Từ đó, do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, ta cũng có f
liên tục và tiến về 0 khi |λ| → ∞.
Nếu f ∈ L1 (R), do tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong L1 (R),
ta tìm được dãy các hàm bậc thang (fn )n=1,2,... hội tụ trong L1 (R) về f .
Theo tính chất 2.1.4, dãy fn

n=1,2,...

hội tụ đều về f trên R, suy ra f liên

tục và tiến về 0 khi |λ| → ∞.
Tính chất 2.1.6. Cho f ∈ L1 (R) thoả mãn tính chất f ∈ L1 (R) và f
liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn. Khi đó
∧
(f ) = iλfˆ.

Chứng minh. Vì f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên
x

f (x) = f (0) +

f (t) dt.
0

Do f ∈ L1 (R) nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi x → ±∞.
Hơn nữa f ∈ L1 (R) nên giới hạn đó phải bằng 0.
Vậy

∞
1
1
f (x) e−iλx dx = √
(f ) (λ) = √
2π −∞
2π
∞
1
=√
e−iλx f (x) |∞
−∞ + iλ
2π −∞
= iλfˆ (λ) .
∧

∞

e−iλx df (x)

−∞
∞

f (x) e−iλx dx

−∞

Tính chất 2.1.7. Nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L1 (R) thì fˆ hội
tụ về 0 càng nhanh khi |λ| → ∞, nghĩa là

fˆ (λ) =

f (n)

∧

|λ|n

Điều này dễ thấy nhờ vào tính chất 2.1.6.
20

(λ)
.


Tính chất 2.1.8. Cho f ∈ L1 (R). Nếu f tồn tại và f ∈ L1 (R) thì

fˆ ∈ L1 (R) .
Chứng minh. Do f ∈ L1 (R) nên fˆ bị chặn (theo tính chất 2.1.5) và
1
giảm về 0 nhanh hơn 2 khi |λ| → ∞ theo tính chất 2.1.7. Từ đó ta có
λ
fˆ ∈ L1 (R) .
Tính chất 2.1.9. Cho f ∈ L1 (R) và thoả mãn I.f ∈ L1 (R), I là ánh xạ
đồng nhất x → x. Khi đó fˆ khả vi và

dfˆ
(λ) = (−iI.f )∧ (λ) .
dλ
Chứng minh.

dfˆ
d
(λ) =
dλ
dλ

1
√
2π

i
= −√
2π

∞

∞

f (x) e−iλx dx

−∞

xf (x) e−iλx dx = (−iI.f )∧ (λ) .

−∞

Chú ý 2.1.3. Tính chất 2.1.9 cho ta thấy nếu f giảm càng nhanh thì fˆ
càng trơn.
Tính chất 2.1.10. Với f, g ∈ L1 (R) ta có (f ∗ g)∧ = 2π fˆ.ˆ

g.
Chứng minh. Theo định lý Fubini ta có
∞

−iλx

(f ∗ g) (x) e

∞

∞

−∞
∞

−∞

dx =

−∞

=

g (t) f (x − t) dt e−iλx dx
∞

g (t)
−∞
∞

=

−∞
∞

g (t)
−∞

f (x − t) e−iλx dx dt
f (u) e−iλu du e−iλt dt

−∞

= 2π fˆ (λ) gˆ (λ) .
Tính chất 2.1.11. Gọi S là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh
tức là f ∈ C ∞ và ∀p, q ∈ N, ∃M > 0, ∀x, xp f (q) (x) ≤ M . Khi đó fˆ ∈ S .
21