Điểm bất động và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH THỊ NGOAN

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS. Lê Đình Định

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Đình Định, thầy đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Tác giả

Đinh Thị Ngoan


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Đình Định luận văn:
Điểm bất động và ứng dụng là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Tác giả

Đinh Thị Ngoan


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Khái niệm về tính ổn định của phương trình sai phân . . . . . .

4

1.2. Định lí điểm bất động Amman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Một số kết quả về tính ổn định của phương trình sai phân

13

Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của phương trình sai phân phi
tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . .

17

2.2. Nghiệm đơn điệu của phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3. Tính bị chặn của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4. Nghiệm đơn điệu không bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.5. Sự ổn định địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Chương 3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.1. Giải phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2. Dáng điệu toàn cục của phương trình
βxkn
..............................................
xn+1 =
1 + xkn−1

42

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất điểm bất động của ánh

xạ là một vấn đề thời sự thu hút được sự quan tâm của các nhà toán
học trên thế giới và đạt được nhiều kết quả quan trọng. Với một không
gian X nào đó và f : X → X là một ánh xạ. Điểm x ∈ X thỏa mãn
x0 = f (x0 ) được gọi là điểm bất động của ánh xạ f. Vấn đề đặt ra là với
những điều kiện nào của không gian X và ánh xạ f thì f có điểm bất
động và khi nào điểm bất động đó là duy nhất.
Các định lý về điểm bất động xuất hiện từ đầu thế kỷ XX. Công trình
đầu tiên là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và Nguyên lý ánh
xạ co Banach (1922), trong đó Nguyên lý ánh xạ co Banach là định lý
điểm bất động đơn giản và được sử dụng rộng rãi. Về sau, các kết quả
kinh điển này đã được mở rộng ra nhiều lớp ánh xạ và các không gian
khác nhau và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của
toán học. Một trong những ứng dụng của nó là xét sự tồn tại nghiệm,
tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu, tính bị chặn của phương
trình sai phân phi tuyến sẽ được đề cập trong luận văn này. Nội dung
của luận văn được tham khảo chủ yếu trong tài liệu [4, 6].
Luận văn được cấu trúc thành 03 chương:
Chương 1 được dành để trình bày một số kiến thức cơ bản về phương
1


trình sai phân, tập hợp sắp thứ tự, các định lí điểm bất động được dùng
để nghiên cứu trong chương sau.
Chương 2 của luận văn trình bày về sự tồn tại nghiệm, tính ổn định,
tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu của phương trình sai
phân.
Chương 3 của luận văn trình bày về áp dụng của các định lí điểm bất
động và ứng dụng của điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn định, tính
không ổn định, tính đơn điệu của phương trình sai phân dạng:
xn+1 = g(xn )f (xn−1 ) và xn+1

βxkn
=
.
1 + xkn−1

2. Mục đích nghiên cứu
• Giúp hiểu về định lý điểm bất động Amman trong các không gian
sắp thứ tự.
• Áp dụng định lý đó để xét sự tồn tại nghiệm, tính ổn định, tính
không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu của phương trình sai
phân.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Áp dụng định lý điểm bất động Amman để xét sự tồn tại nghiệm, tính
ổn định, tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu của phương
trình sai phân.

2


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Điểm bất động và ứng dụng của điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn
định, tính không ổn định, tính đơn điệu của phương trình sai phân dạng:
xn+1 = g(xn )f (xn−1 ) và xn+1

βxkn
.
=
1 + xkn−1

5. Phương pháp nghiên cứu
• Các phương pháp của giải tích hàm.
• Các phương pháp của phương trình sai phân.

6. Những đóng góp của đề tài
Luận văn trình bày được một áp dụng của định lý điểm bất động Amman
và ứng dụng của định lý này vào nghiên cứu tính ổn định, tính không
ổn định, tính đơn điệu của phương trình sai phân dạng:
xn+1 = g(xn )f (xn−1 ) và xn+1

3

βxkn
=
.
1 + xkn−1


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Khái niệm về tính ổn định của phương trình sai
phân
Mục này trình bày các khái niệm về tính ổn định của phương trình sai
phân tổng quát.
Định nghĩa 1.1. Phương trình sai phân cấp k + 1 là phương trình có
dạng
xn+1 = f (xn , xn−1 , . . . , xn−k ),

n = 0, 1, . . .

(1.1)

trong đó f là một hàm liên tục ánh xạ tập J k+1 vào J. Tập hợp J có thể
là một khoảng hay đoạn của R, hoặc là hợp của các khoảng hoặc J ⊆ Z.
Định nghĩa 1.2. Một nghiệm của phương trình (1.1) là một dãy {xn }∞
n=−k
mà thỏa mãn (1.1) với mọi n ≥ 0.
Nếu phương trình (1.1) có các điều kiện ban đầu
x−k , x−k+1 , . . . , x0 ∈ J
thì
x1 = f (x0 , x−1 , . . . , x−k )
x2 = f (x1 , x0 , . . . , x−k+1 )
..
.
4


và do đó nghiệm {xn }∞
n=−k của (1.1) tồn tại với mọi n ≥ −k và được xác
định duy nhất nhờ các điều kiện ban đầu.
Một nghiệm của phương trình (1.1) là hằng số với mọi n ≥ −k được
gọi là một nghiệm cân bằng của phương trình (1.1). Nghĩa là, nếu
xn = x¯ ∀n ≥ −k
là một nghiệm cân bằng của phương trình (1.1), thì x¯ được gọi là một
điểm cân bằng của phương trình (1.1).
Định nghĩa 1.3. (Tính ổn định) Ta nói rằng một điểm cân bằng x¯ của
phương trình (1.1) là:
(i) Ổn định địa phương nếu với mọi

> 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu

{xn }∞
n=−k là một nghiệm của phương trình (1.1) mà
|x−k − x¯| + |x1−k − x¯| + · · · + |x0 − x¯| < δ
thì
|xn − x¯| < ,

∀n ≥ −k.

(ii) Ổn định tiệm cận địa phương nếu x¯ là ổn định địa phương và tồn tại
γ > 0 sao cho nếu {xn }∞
n=−k là một nghiệm của phương trình (1.1)
mà
|x−k − x¯| + |x1−k − x¯| + · · · + |x0 − x¯| < γ
thì
lim xn = x¯.

n→∞

5


(iii) Hút toàn cục nếu với mọi nghiệm {xn }∞
n=−k của phương trình (1.1)
ta có
lim xn = x¯.

n→∞

(iv) Ổn định tiệm cận toàn cục nếu x¯ là ổn định địa phương và x¯ cũng
là một điểm hút toàn cục của phương trình (1.1).
(v) Không ổn định nếu x¯ không ổn định địa phương.
(vi) Điểm gốc (source) nếu tồn tại r > 0 sao cho với mỗi nghiệm
{xn }∞
n=−k của phương trình (1.1) mà
0 < |x−k − x¯| + |x1−k − x¯| + · · · + |x0 − x¯| < r
thì tồn tại N ≥ 1 sao cho
|xN − x¯| > r.
Rõ ràng từ định nghĩa trên ta thấy một điểm gốc là một điểm không
ổn định của phương trình (1.1).
Giả sử f là hàm khả vi liên tục trong một lân cận mở nào đó của
điểm x¯. Đặt
pi =

∂f
(¯
x, x¯, . . . , x¯) với i = 0, 1, . . . , k
∂ui

là đạo hàm riêng của f (u0 , u1 , . . . , uk ) theo các biến ui tại điểm cân bằng
x¯ của phương trình (1.1). Khi đó phương trình
yn+1 = p0 zn + p1 zn−1 + · · · + pk zn−k ,

6

n = 0, 1, . . .

(1.2)

được gọi là phương trình tuyến tính hóa của phương trình (1.1) tại điểm
cân bằng x¯, và phương trình
λk+1 − p0 λk − · · · − pk−1 λ − pk = 0

(1.3)

được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.2) tại điểm cân
bằng x¯.

1.2. Định lí điểm bất động Amman
Để thuận tiện chúng ta định nghĩa một số thuật ngữ được sử dụng trong
các phần tiếp theo.
Định nghĩa 1.4. Một tập hợp X được gọi là tập sắp thứ tự nếu và chỉ
nếu X khác rỗng và với mọi cặp (x, y) ∈ X × X có quan hệ ≤ thỏa mãn:
(i) Tính phản xạ: x ≤ x với mọi x ∈ X;
(ii) Tính phản đối xứng: nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y;
(iii) Tính bắc cầu: nếu x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z.
Định nghĩa 1.5. Cho X là tập sắp thứ tự và Y ⊆ X. Khi đó Y được
gọi là một xích (chain) trong X nếu và chỉ nếu Y khác rỗng và với mọi
x, y ∈ Y thì hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x.
Định nghĩa 1.6. Cho X là tập sắp thứ tự và Y ⊆ X. Khi đó u ∈ X
được gọi là một chặn trên của Y nếu và chỉ nếu x ≤ u, ∀x ∈ Y. Điểm
y ∈ Y được gọi là cận trên đúng của Y nếu x ≤ y, ∀x ∈ Y và y ≤ u với
mọi cận trên u của Y. Kí hiệu y = sup(Y ).
7


Tương tự, cận dưới đúng của Y được định nghĩa là cận dưới lớn nhất
của Y.

Ta kí hiệu các tập hợp Ii+ và Ii− với i = 0, 1, . . . , m − 1 như sau:


(¯
xi , x¯i+1 ) nếu G(x) > x với x ∈ (¯
xi , x¯i+1 )
+
(1.4)
Ii =

∅
nếu trái lại,
và
Ii−

=



(¯
xi , x¯i+1 )

nếu G(x) < x với x ∈ (¯
xi , x¯i+1 )


∅

nếu trái lại.

(1.5)

Đặt
m−1

F = {¯
x0 , . . . , x¯m },

+

m−1

Ii+ ,

J =

−

Ii− .

và J =

i=0

(1.6)

i=0

Khi đó, ta thấy
Ii+ ∩ Ii− = ∅ và Ii+ ∪ Ii− = (¯

xi , x¯i+1 ) với i = 0, 1, . . . , m − 1,
và
J + ∪ J − ∪ F.

[¯
x0 , x¯m ] =

(1.7)

Định nghĩa 1.7. Toán tử T : X → X gọi là đơn điệu tăng nếu với mọi
φ, ψ ∈ X mà φ ≤ ψ thì T φ ≤ T ψ.
Bây giờ, ta xét không gian B[¯
x0 , x¯m ] gồm tất cả các hàm không giảm
và không âm xác định trên đoạn [¯
x0 , x¯m ]. Quan hệ thứ tự ≤ trên B[¯
x0 , x¯m ]
đã được định nghĩa như sau.
Với φ, ψ ∈ B[¯
x0 , x¯m ], ta nói rằng
φ≤ψ
8


nếu




φ(x) ≤ ψ(x)





φ(x) ≥ ψ(x)





φ(x) = ψ(x)

với x ∈ J +
với x ∈ J −

(1.8)

với x ∈ F.

Cho iB kí hiệu là ánh xạ đồng nhất trong không gian B[¯
x0 , x¯m ] và cho
M ⊂ B[¯
x0 , x¯m ] được định nghĩa bởi
M = {φ ∈ B[¯
x0 , x¯m ] : φ ≤ iB }.

(1.9)

Bổ đề 1.1. Xét tập M được cho bởi (1.9). Khi đó các phát biểu sau đây
là đúng:
(a) Hàm




x¯i




φ0 (x) = x¯i+1





x¯i

với x = x¯i ,

i = 0, 1, . . . , m,

với x ∈ Ii− ,

i = 0, 1, . . . , m − 1,

với x ∈ Ii+ ,

i = 0, 1, . . . , m − 1,

(1.10)

là một phần tử của tập hợp M.
(b) Với mỗi φ ∈ M ta có φ0 ≤ φ.
Chứng minh. (a) Bởi vì x¯i ≤ iB (x) ≤ x¯i+1 với x ∈ [¯
xi , x¯i+1 ], ta thấy
rằng với mọi i = 0, 1, . . . , m − 1,




x¯i = iB (x)



φ0 (x) = x¯i+1 ≥ iB (x)





x¯i ≤ iB (x)
và hiển nhiên φ0 ∈ M.
9

với x = x¯i ,
với x ∈ Ii− ,
với x ∈ Ii+ ,


(b) Giả sử φ ∈ M, khi đó với mọi i = 0, 1, . . . , m − 1,




x¯i = φ(¯
xi ) = φ(x)
với x = x¯i ,




φ0 (x) = x¯i+1 = φ(¯
xi+1 ) ≥ φ(x) với x ∈ Ii− ,





x¯i = φ(¯
xi ) ≤ φ(x)
với x ∈ Ii+ ,
và như vậy φ0 ≤ φ. Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.2. Cho hàm f và g thỏa mãn giả thiết
(H1) f ∈ C[[0, ∞), [0, ∞)]; g ∈ C[[0, ∞), [0, ∞)];
(H2) g là tăng và f là không tăng;
(H3) Hàm G được xác định bởi
G(x) = g(x)f (x)

(1.11)

sao cho tồn tại những điểm x¯0 , x¯1 , x¯2 , x¯3 , . . . , x¯m , như sau:
0 ≤ x¯0 , x¯1 , x¯2 , x¯3 , . . . , x¯m < ∞,

(1.12)

và sao cho mỗi i = 0, . . . , m,
G(¯
xi ) = x¯i và G(x) = x vì x ∈ (¯
xi , x¯i+1 )
sau đó áp dụng cho phương trình
xn+1 =

βxkn
với n = 0, 1, 2 . . . ,
1 + xkn−1

(1.13)

với β, k là những hằng số.
Giả sử φ, ψ ∈ B[¯
x0 , x¯m ] và η : [0, ∞) → [0, ∞) là một hàm không giảm,
thì các mệnh đề sau là đúng:
10


(a) φ ≤ ψ =⇒ η ◦ φ ≤ η ◦ ψ;
φ
(b) φ ∈ M =⇒ g −1 ◦ ( ) ∈ M;
f
(c) φ, η ∈ M =⇒ η ◦ φ ∈ M;
(d) φ, ψ, η ∈ M và φ ≤ ψ =⇒ φ ◦ η ≤ ψ ◦ η;
(e) φ, ψ ∈ M và φ ≤ ψ =⇒ φ2 ≤ ψ 2 , trong đó φ2 = φ ◦ φ và ψ 2 = ψ ◦ ψ.

Chứng minh.
(a) Rõ ràng,



φ(x) = ψ(x) với x ∈ F,




φ ≤ ψ ⇐⇒ φ(x) ≤ ψ(x) với x ∈ J + ,





φ(x) ≥ ψ(x) với x ∈ J −



η(φ(x)) = η(ψ(x)) với x ∈ F,




=⇒ η(φ(x)) ≤ η(ψ(x)) với x ∈ J + ,






η(φ(x)) ≥ η(ψ(x)) với x ∈ J −
⇐⇒ η ◦ φ ≤ η ◦ ψ.
(b) Theo giả thiết (H3) và kết hợp với (1.4), (1.5), (1.8) và (1.9) ta
có điều phải chứng minh.
(c) Với x ∈ [¯
x0 , x¯m ], ta có
x¯0 ≤ φ(¯
x0 ) ≤ φ(x) ≤ φ(¯
xm ) = x¯m
và do đó φ([¯
x0 , x¯m ]) ⊂ [¯
x0 , x¯m ]. Khi đó với η và φ ∈ M ta có
η ◦ φ ∈ B[¯
x0 , x¯m ].
11


Hơn nữa, vì η ≤ iB và φ ≤ iB , nên
η ◦ φ ≤ η ◦ iB = η ≤ iB ,
và như vậy η ◦ φ ∈ M.
(d) Do η ∈ M ta có x ∈ (¯
xi , x¯i+1 ) ta có
x¯i = η(¯
xi ) ≤ η(x) ≤ η(¯
xi ) = xi+1 .
Vì vậy,
η(F ) = F,

η(J + ) ⊂ J + ∪ F, và η(J − ) ⊂ J − ∪ F.

Từ φ ≤ ψ, ta thấy rằng
φ ◦ η ≤ ψ ◦ η.
(e) Từ (a), (c) và (d ) ta suy ra
φ ≤ ψ =⇒ φ2 = φ ◦ φ ≤ φ ◦ ψ ≤ ψ ◦ ψ = ψ 2 .
Bổ đề được chứng minh.

Tiếp theo chúng tôi trình bày một vài định lí điểm bất động được sử
dụng trong các phần sau. Trước tiên, định lí điểm bất động hữu ích của
Amman [11, pp. 506-507]
Định lý 1.1. Giả sử X là một tập hợp có thứ tự, giả sử T : X → X là
một toán tử trên X và thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) Toán tử T : X → X là đơn điệu tăng trên X;
12


(b) Mọi chuỗi trên X có cận trên đúng;
(c) Có một phần tử φ0 ∈ X mà φ0 ≤ T φ0 .
Khi đó T có một điểm cố định nhỏ nhất trong tập {φ ∈ X : φ0 ≤ φ}.
Định lý 1.1 vẫn còn đúng nếu cận trên đúng được thay thế bởi cận
dưới đúng trong ý (b) và φ0 ≤ T φ0 được thay thế bởi T φ0 ≤ φ0 trong ý
(c).

1.3. Một số kết quả về tính ổn định của phương trình
sai phân
Kết quả sau được gọi là Định lý ổn định tuyến tính hóa rất hữu ích trong
việc xác định tính ổn định địa phương của điểm cân bằng x¯.
Định lý 1.2. ([6, Theorem 1.1 p.3]) Giả sử f là hàm khả vi liên tục
trong một lân cận nào đó của x¯. Khi đó các điều sau là đúng:
1. Nếu mọi nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) có modun nhỏ

hơn 1, thì điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là ổn định địa
phương.
2. Nếu có ít nhất một nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) có
modun lớn hơn 1, thì điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là
không ổn định.
3. Nếu mọi nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) có modun lớn
hơn 1, thì điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là điểm gốc.
13


Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là điểm hyperbolic
nếu không có nghiệm nào của phương trình đặc trưng (1.3) có modun
bằng 1, trái lại ta gọi điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là điểm
không-hyperbolic.
Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là điểm yên
ngựa nếu x¯ là hyperbolic và tồn tại một nghiệm của phương trình đặc
trưng (1.3) có modun nhỏ hơn 1 và một nghiệm khác của phương trình
đặc trưng (1.3) có modun lớn 1. Đặc biệt, một điểm yên ngựa cân bằng
là không ổn định.
Kết quả dưới đây đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính ổn đinh tiệm
cận của điểm cân bằng tại gốc 0 của phương trình sai phân bậc hai
xn+2 + pxn+1 + qxn = 0,

n = 0, 1, . . . .

(1.14)

Định lý 1.3. Giả sử p, q ∈ R thì điều kiện cần và đủ để phương trình
(1.14) ổn định tiệm cận là:
|p| < 1 + q < 2.

(1.15)

Phương trình sai phân
xn+1 = F (xn , xn−1 , . . . , xn−k ),

n = 0, 1, . . . ,

được gọi là ổn định (permanent) nếu tồn tại các số C và D với 0 < C ≤
D < ∞ sao cho thỏa mãn điều kiện ban đầu x−k , . . . , x0 ∈ (0, ∞), tồn
tại số nguyên dương N mà phụ thuộc vào điều kiện ban đầu sao cho
C ≤ xn ≤ D với n ≥ N.

14


Các định lý sau từ [10] (hoặc [9] và [8]) đưa ra các điều kiện đủ về
tính ổn định và hút toàn cục của các phương trình sai phân phi tuyến
có dạng
xn+1 = xn f (xn , xn−k1 , . . . , xn−kr ),

n = 0, 1, . . . .

(1.16)

Định lý 1.4. Cho k1 ≤ . . . ≤ kr = k là các số nguyên dương và giả sử
hàm f thỏa mãn điều kiện sau:
(a) f ∈ C[(0, ∞) × [0, ∞)r , (0, ∞)] và g ∈ C[[0, ∞)r+1 , (0, ∞]] thì
g(u0 , u1 , ...., ur ) = u0 f (u0 , u1 , ...., ur ) với u0 ∈ (0, ∞) và u0 , u1 , ...., ur ∈
[0, ∞), và

g(0, u0 , u1 , ...., ur ) = lim+ g(u0 , u1 , ...., ur );
u0 →0

(b) Hàm f (u0 , u1 , ...., ur ) là không tăng theo u0 , u1 , ...., ur ;
(c) Phương trình
f (x, x, ......, x) = 1

(1.17)

có duy nhất một nghiệm x¯;
(d) Hàm f (u0 , u1 , ...., ur ) hoặc không phụ thuộc vào u0 hoặc với mọi
x > 0 và u ≥ 0,
[f (x, u, ......, u) − f (x, u, ...., u)](x − x) ≤ 0

(1.18)

với
[f (x, x, . . . , x) − f (x, x, . . . , x)](x − x) < 0 với x = x.
Khi đó phương trình (1.16) là ổn định.
15

(1.19)


Định lý 1.5. Giả sử f ∈ C[(0, ∞) × (0, ∞), (0, ∞)], f (u, v) là không
giảm theo u và giảm theo v và uf (u, v) là không giảm theo u. Giả sử
rằng phương trình sai phân
xn+1 = xn f (xn , xn−1 ),

n = 0, 1, . . . .

(1.20)

có một điểm cân bằng dương là x¯. Khi đó x¯ là ổn định tiệm cận toàn
cục.

16


Chương 2
Sự tồn tại nghiệm của phương trình
sai phân phi tuyến
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phương trình sai phân phi tuyến
có dạng sau
xn+1 = g(xn )f (xn−1 ) với n = 0, 1, 2 . . . .

(2.1)

ở đó f, g là các hàm số thỏa mãn (H1)-(H3) ở trong Bổ đề 1.2 trong
Chương 1.

2.1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình sai phân
Bổ đề 2.1. Cho M được định nghĩa bởi (1.9) và với mọi φ ∈ M, đặt
(T φ)(x) = g −1

φ(φ(x))
.
f (x)

Khi đó những mệnh đề sau là đúng:

(a) Với mọi xích trong M có một cận trên đúng;
(b) T : M → M ;
(c) Toán tử T là đơn điệu tăng trong M ;
(d) Nếu φ0 được định nghĩa bởi (1.10), thì φ0 ≤ T φ0 .
17

(2.2)


Chứng minh.

(a) Chứng minh từ tính chất cận trên nhỏ nhất và cận dưới lớn nhất
của số thực.
(b) Từ Bổ đề 1.2 (b) và (c) ta có T : M → M.
(c) Từ Bổ đề 1.2 (e) và (a) ta suy ra
ψ2
φ2
ψ2
φ2
−1
−1
≤
⇒ g ◦ ( ) ≤ g ◦ ( ) ⇔ T φ ≤ T ψ.
φ≤ψ⇒φ ≤ψ ⇒
f
f
f
f
2

2

(d) Chứng minh từ Bổ đề 1.1 (b) và thấy rằng φ0 ∈ M điều này suy
ra T φ0 ∈ M.
Định lý 2.1. Giả sử ta có các điều kiện (H1)-(H3) là đúng. Khi đó
những phát biểu sau là đúng:
(a) Tồn tại σ ∈ M sao cho
T σ = σ,
(b)
σ(x) < x với x ∈ J + ,
σ(x) > x với x ∈ J − ,
σ(x) = x với x ∈ F.
Chứng minh.
(a) Đây là hệ quả của Bổ đề 2.1 và Định lý 1.1.

18

(2.3)


(b) Ta chứng minh nếu σ(x) = x thì x ∈ F. Thật vậy, ta có
σ(x) = x =⇒ σ(σ(x)) = σ(x) = x
=⇒ x = σ(x) = (T σ)(x) = g −1

σ(σ(x))
f (x)

= g −1

x

.
f (x)

Do đó x = g(x)f (x) và vì vậy x ∈ F. Điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.2. Cho x−1 ∈ [¯
x0 , x¯m ] và cho σ là nghiệm của phương trình
(2.3). Khi đó dãy {xn } được định nghĩa bởi
xn = σ(xn−1 ),

n = 0, 1, . . . .

(2.4)

thỏa mãn phương trình sai phân (2.1).
Chứng minh. Đặt x0 = σ(x−1 ), thì
g −1

σ(σ(x−1 ))
f (x−1 )

= σ(x−1 ),

điều này tương đương với
σ(σ(x−1 )) = g(σ(x−1 ))f (x−1 ),
nghĩa là
x1 = g(x0 )f (x−1 ).
Bằng phép quy nạp ta thu được dãy {xn } là nghiệm của phương trình
(2.1).

2.2. Nghiệm đơn điệu của phương trình sai phân

Định lý 2.2. Giả sử rằng (H1)-(H3) là thỏa mãn, thì các phát biểu sau
là đúng:
19


(a) Với mọi i = 0, 1, . . . , m − 1 mà Ii− = ∅, tồn tại một nghiệm của
phương trình (2.1) là
xn = σ(xn−1 ),

n = 0, 1, . . . .

với x−1 ∈ Ii− mà {xn } là dãy không giảm và
lim xn = x¯i+1 .

n→∞

Hơn nữa nếu f là hàm giảm, thì nghiệm {xn } là tăng.
(b) Với mọi i = 0, 1, . . . , m − 1 mà Ii+ = ∅, tồn tại một nghiệm của
phương trình (2.1) là
xn = σ(xn−1 ),

n = 0, 1, . . . .

với x−1 ∈ Ii+ mà {xn } là dãy không tăng và
lim xn = x¯i .

n→∞

Hơn nữa nếu f là hàm giảm, thì nghiệm {xn } là giảm.
Chứng minh.

(a) Vì Ii− = ∅, theo Bổ đề 2.2 và Định lý 2.1, ta có tồn tại σ ∈ M sao
cho với x ∈ Ii− , x ≤ σ(x) ≤ x¯i+1 . Do đó, dãy
xn = σ(xn−1 ),

n = 0, 1, . . . ,

với x−1 ∈ Ii− thỏa mãn
x¯i+1 ≥ xn ≥ xn−1 với n ≥ 0.
Do đó,
lim xn = x¯i+1 .

n→∞

20


Hơn nữa, từ Bổ đề 2.2 ta thu được {xn } là một nghiệm của phương trình
(2.1).
Bây giờ, giả sử f là một hàm giảm. Để chứng minh {xn } là tăng ta
chứng minh hàm σ là tăng. Giả sử trái lại rằng, tồn tại hai điểm x , x ∈
[¯
x0 , x¯m ] sao cho x < x và σ(x ) = σ(x ). Khi đó, σ(σ(x )) = σ(σ(x ))
và
g −1

σ(σ(x ))
f (x )

= σ(x ) = σ(x ) = g −1

σ(σ(x ))
f (x )

suy ra f (x ) = f (x ).
Điều này mâu thuẫn với giả thiết f là hàm giảm. Vậy σ là hàm tăng
hay {xn } tăng.
(b) Trong trường hợp dãy được định nghĩa bởi
xn = σ(xn−1 ),

n = 0, 1, . . . ,

(2.5)

trong đó x−1 ∈ Ii+ là một nghiệm của (2.1) sao cho
lim xn = x¯i .

n→∞

Hiển nhiên, khi f là hàm giảm thì nghiệm (2.5) là giảm hoàn toàn.
Bổ đề được chứng minh.
Định lý 2.3. Giả sử các giả thiết (H1)-(H3) là thỏa mãn và cho x¯0 = 0
và I0− = ∅. Nếu các điều kiện ban đầu x−1 và x0 được chọn là
x−1 ≥ x0 và x0 ∈ I0− ,
thì nghiệm {xn } của phương trình (2.1) là giảm và
lim xn = x¯0 = 0.

n→∞

21