Đề thi toán THPT quốc gia năm 2016 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Năm 2016 _ Lần 2.
TRƯỜNG THPT CHÂU THÀNH 2
Môn TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
1
y = x 4 - 3x 2 + 1
2
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
(C).
4
2
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm m để hàm số (C) y = x - ( m + 1) x + 1 cắt d: y = 3 – 2m tại 4 điểm phân
biệt ?
Câu 3 (1,0 điểm).

1/. Cho số phức z thỏa iz - ( 1- 2i ) z = 1 + 9i . Tìm mô đun của số phức w = 1 + i + z ?
x
x
x
2/. Giải phương trình: 2.49 - 9.14 + 7.4 = 0

Câu 4 (1,0 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox, biết (H)

y=

được giới hạn bởi đồ thị hàm số

1 + cos3 x
2

cos x

và các đường thẳng

x = 0; x =

π
3 ?

2
2
( ) 2
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x + y + z - 4x + 6y + 6z + 17 = 0

và mặt phẳng P : x - 2y + 2z + 1 = 0 .
1/. Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I của mặt cầu (S) và vuông góc với mp(P) ?
2/. CMR mp(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn. Xác định tọa độ tâm H và tính
bán kính của đường tròn giao tuyến đó ?
( )

Câu 6 (1,0 điểm).
1/. Giải phương trình: sin 2x - cos 2x = 2sin x - 1
æ 2 3÷
ö8
ç
ç2x - ÷
4
ø ?
x÷
2/. Tìm số hạng chứa x trong khai triển biểu thức è

Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA
^ ( A BCD ) , góc giữa mp(SBD) và mp đáy là 450. Cho A B = a ; A D = a 3 .
1/. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD ?
2/. Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm của ∆SA D . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau SM và BG ? Xác định góc giữa hai đường thẳng SM và BG ?
ìï 3
ïï x - y 3 - 6x 2 + 15x - 3y - 14 = 0
ïï
í z - 2 + 2 - y + 1 = z 2 - 6y
ïï
ïï 2
2
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ïî x - xz + z + x = z + z
trên tập số thực ?

Câu 9 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A ( - 1; 2) và đường thẳng
∆ : 2x + y - 1 = 0 . Gọi M là giao điểm của đường thẳng ∆ với trục hoành. Tìm 2 điểm B,C
sao cho M là trung điểm AB, trung điểm N của đoạn AC nằm trên đường thẳng ∆ , diện tích
tam giác ABC bằng 4 và điểm C có hoành độ dương ?
Câu 10 (1,0 điểm). Cho 2 số thực x,y thỏa mãn x ,y ³ 1 và 3( x + y ) = 4xy .


æ1
1ö
P = x 3 + y 3 + 3ç
+ 2÷
÷
ç
2

ç
y ÷
èx
ø?
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức


Câu
1

___ Hết ___HƯỚNG DẪN CHẤM
Nội dung
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
y = x 4 - 3x 2 + 1
2
(C).

TXĐ: D =

o

R.
o

y / = 2x 3 - 6x

éx = 0
y / = 0 Û 2x 3 - 6x = 0 Û ê
êx = ± 3

ë

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

o

(-

3 ) , ( 0; 3 )

¥ ;-

và đồng biến trên mỗi khoảng

(o

3;0) , ( 3; + ¥

)

Hàm số đạt CĐ tại x = 0 và yCĐ = 1,
7
đạt CT tại x = ± 3 và yCT = 2
lim y = + ¥
-

o
o

x ®±¥

BBT:

x

- ¥

3
y/
y

–

0

+¥

2

0
1

o
o

+

7
2

ĐĐB: x = ±2 Þ y = - 3
Đồ thị:

4
2
Tìm m để hàm số (C) y = x - ( m + 1) x + 1 cắt d: y = 3 – 2m tại 4 điểm phân biệt ?
4
2
4
2
PTHĐGĐ: x - ( m + 1) x + 1 = 3 - 2m Û x - ( m + 1) x + 2m - 2 = 0 (*)
2
2
Đặt t = x ,t ³ 0 thay vào (*) ta được t - ( m + 1) t + 2m - 2 = 0 (**)
Để đồ thị (C) cắt d tại 4 điểm phân biệt  (*) có 4 nghiệm phân biệt
 (**) có 2 nghiệm phân biệt dương

–


3

ỡù ( m + 1) 2 - 4( 2m - 2) > 0
ỡù > 0
ùù
ùù

ớ S > 0 ùớ m + 1 > 0
ùù
ùù

ùùợ 2m - 2 > 0
ùùợ P > 0
1/. Cho sụ phc z thoa iz - ( 1- 2i ) z = 1 +

ỡù m 2 - 6m + 9 > 0
ùù
ỡù m ạ 3
ùớ m > - 1
ùớ
ùù
ùùợ m > 1
ùùợ m > 1
9i . Tim mụ un cua sụ phc w = 1 + i + z ?

Goi z = a + bi ( a ,b ẻịĂ )

z = a - bi . Khi o iz ỡù - a + b = 1
ùớ

i ( a + bi ) - ( 1- 2i ) ( a - bi ) = 1 + 9i ùợù 3a + b = 9

( 1- 2i ) z = 1 + 9i
ỡù a = 2
ùớ
ị z = 2 + 3i
ùợù b = 3

ị w = 3 + 4i ị w = 5
x
x

x
2/. Gii phng trỡnh: 2.49 - 9.14 + 7.4 = 0

ộ x
ờổử
7ữ
ữ =1
2
x
x
ờỗ
ỗ
ỗ
ổử
ổử
ứ
7ữ
7ữ
ờố2 ữ
ỗ
ỗ
2.ỗ
- 9.ỗ
+ 7=0 ờ

ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ

ỗ
ố2 ứ
ố2 ứ
x
ờổử
7
ờỗ7 ữ
=
ữ
ờỗ
ữ
ỗ
2
ởố2 ứ

4

Tớnh thờ tich khụi tron xoay khi quay hinh phng (H) quanh truc Ox, biờt (H) c
y=

gii han bi ụ thi ham sụ

3

V = ũ
0

5

ộx = 0

ờ
ờx = 1
ở

1 + cos3 x

1 + cos3 x
2

cos x

va cac ng thng

x = 0; x =


3 ?


3

ổ 1
ử
3 3
dx = ũỗ
+ cos x ữ
dx = ( tan x + sin x ) =
ữ
ỗ
ữ

ữ
ỗ
2
ố 2
ứ
cos2 x
0 cos x

2
2
( )
( ) 2
Cho P : x - 2y + 2z + 1 = 0 va mt cõu S : x + y + z - 4x + 6y + 6z + 17 = 0 .
1/. Vit phng trỡnh ng thng d qua tõm I cua mt cõu (S) va vuụng goc vi
mp(P) ?

(S) co tõm I ( 2; - 3; - 3) , R = 5

ỡù x = 2 + t
ùù
ùớ y = - 3 - 2t
ùù
ù z = - 3 + 2t
Phng trinh ng thng d: ùợ

2/. CMR mp(P) ct mt cõu (S) theo giao tuyờn la ng tron. Xac inh toa ụ tõm
H va tinh ban kinh cua ng tron giao tuyờn ?
2 - 2 ( - 3) + 2 ( - 3) + 1
d ( I ,( P ) ) =
=1< 5 = R ị

3

mp(P) ct mt cõu (S).
ỡù x = 2 + t
ùù
ùù y = - 3 - 2t
ổ
1
5 7 11ử
ỗ

t
=
ị
H
;- ;- ữ
ữ
ớ
ỗ
ữ
ỗ
ố
ùù z = - 3 + 2t
3
3 3
3ứ
ùù
ù x - 2y + 2z + 1 = 0
Toa ụ H la nghiờm cua hờ ùợ

6

2
r = R2- ộ
d ( I ,( P ) ) ự
=2
ở
ỷ
Ban kinh ng tron giao tuyờn la
1/. Gii phng trỡnh: sin 2x - cos 2x = 2sin x - 1

2 sin x cos x - ( 1- 2 sin 2 x ) = 2 sin x - 1 2 sin x ( cos x + sin x - 1) = 0


ộsin x = 0
ờ

ờcos x + sin x = 1
ở

ộsin x = 0
ộx = k
ờ
ờ
ờ ổ ử
ờ
2
ờsin ỗx + ữ
ờx = k 2 v x = + k 2
ữ

=
ờ ỗ
ữ 2
ỗ
ờ
2
4ứ
ở
ở ố

ổ 2 3ữ
ử8
ỗ
2x - ữ
ỗ
4
ố
ứ ?
xữ
x
2/. Tỡm s hng cha
trong khai trin biờu thc

SHTQ la

k
T k + 1 = C 8k 28- k ( - 3) x 16- 3k

YCBT 16 3k = 4 k = 4
)4 4

4 4(
4
4
Võy sụ hang cha x la T 5 = C 8 2 - 3 x = 90720x

7

Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nhõt, canh bờn SA ^ ( A BCD ) ,
gúc gia mp(SBD) v mp ỏy l 450. Cho A B = a ; A D = a 3
.
1/. Tớnh th tớch khi cõu ngoai tiờp khụi chúp S.ABCD ?
Dng OA ^ BD ị SO ^ B D ma BD = ( SBD ) I( A BCD )
ã
0
nờn SOA = 45 . Goi I la trung iờm SC.
SB C vuụng tai B nờn IS = IB = IC (1)
SA C vuụng tai A nờn IS = IA = IC (2)
SDC vuụng tai D nờn IS = ID = IC (3)
T (1), (2) va (3) suy ra IS = IA = IB = IC = ID nờn mt cõu
ngoai tiờp hinh chop S.ABCD co tõm I va ban kinh R =

IC =

SC
2 .

Mt khac,

OA =

a 3
A B .A D a .a 3 a 3
ị SA = OA =
=
=
BD
2a
2
2

a 19
1
a 19
ị R = IC = SC =
2
2
4

SA
D . Tinh khoang cach gia hai
2/. Goi M la trung iờm BC va G la trong tõm cua
ị SC = SA 2 + A C 2 =

ng thng cheo nhau SM va BG ? Xac inh goc gia hai ng thng SM va
BG ?
Dng hờ truc toa ụ Axyz vi A ( 0; 0; 0) , D ( 0;a 3; 0)
ổ a 3ử
ổa 3 ữ
ử

uuur ổ a 3 a 3 ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
SM
=ỗ
a;
;Sỗ
0
;
0
;
,
M
a
;
;
0
,
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ

ỗ
ữ
ữ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
2
2 ữ
2
2
ị
ổ a 3 a 3ử
uuur ổ
a 3 a 3ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
BG = ỗ
- a;
;
B ( a ; 0; 0) ,G ỗ
0;
;
ữ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố
ứ
ố 3
ứ
3
6
6
uuur uuur ổ
3a 2 a 2 3 5a 2 3 ử
ữ
ộSM , BG ự= ỗ
a
ữ
uuur uuur uuuur
ỗ
;
;
ữ
ở
ỷ ỗ
ữ
ộSM , BG ự.BM
ố4
3
6 ứ

ở
ỷ
2 = 2a 143
(
)
ị
d
SM
,
BG
=
=
uuur
uuur
ổ a 3
ử
uuuur
ộSM , BG ự
429
ữ
429
ữ
ở
ỷ
ỗ
BM = ỗ
0
;
;
0

ữ
ỗ
ữ
ố
ứ
2
12

uuur uuur
SM .BC
9
cos( SM , BG ) =
=
ị ( SM ,BG ) = 66030/
SM .BG
510



8

ỡù 3
ùù x - y 3 - 6x 2 + 15x - 3y - 14 = 0
ùù
ớ z - 2 + 2 - y + 1 = z 2 - 6y
ùù
ùù 2
2
Gii hờ phng trỡnh ùợ x - xz + z + x = z + z
trờn tp s thc ? K:

ỡù x 2
ùù
ùớ y Ê 2
ùù
ùùợ z 0

( 1) ( x - 2) 3 + 3( x - 2) = y 3 + 3y
(4)
3
( )
Xet ham sụ f t = t + 3t co tõp xac inh va liờn tuc trờn R,
/( )
2
co: f t = 3t + 3 > 0, " t ẻịĂ

ham sụ ụng biờn trờn R. Nờn (4) y = x - 2


2
2
(3) x - xz + z - z = z -

ộ
x
(x - z) ờ
+
ờ 2
2
ờ x - xz + z + z

ở

x

vi

2

2

x - xz + z + z

+

x

x 2 - xz
x 2 - xz + z 2 + z

ự
1
ỳ= 0
z+ xỳ
ỳ
ỷ

1
z+ x

=

z- x
z+ x

ộx - z = 0
ờ
ờ
x
ờ
+
ờ 2
2
ờ
ở x - xz + z + z

> 0, " x Ê2,y

2, z

1
z+ x

= 0 : vn

0

2
Vi x = z thay vao (2) ta c x - 2 + 4 - x = x - 6x + 11 (5)
2
2 (

) (
)
Theo BT Bunhiacopxki ta co V T = x - 2 + 4 - x Ê 1 + 1 . x - 2 + 4 - x = 2

2
2
va VP = x - 6x + 11 = ( x - 3) + 2 2

ỡù x - 2 + 4 - x = 2
ù
x = z = 3 ị y =1
ớ
ùù x 2 - 6x + 11 = 2
nờn (5) ùợ
Võy ( 3;1; 3) la nghiờm cua hờ.

9

Trong mt phng toa ụ Oxy, cho iờm A ( - 1; 2) va ng thng : 2x + y - 1 = 0 .
Goi M la giao iờm cua ng thng vi truc hoanh.
Tim 2 iờm B,C sao cho M la trung iờm AB, trung iờm N
cua oan AC nm trờn ng thng va diờn tich tam giac
ABC bng 4 va iờm C co hoanh ụ dng ?
ỡù 2x + y - 1 = 0
ổ
1 ử
M = Ox I ịịùớ
Mỗ
; 0ữ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố2 ứ
ùùợ y = 0
Do
ổ
ử
1 ữ
Mỗ
;
0
ữ
ỗ
ỗ ữ
Va ố2 ứ la trung iờm AB nờn B ( 2; - 2)

ng thng BC qua B ( 2; - 2) va song song vi nờn BC : 2x + y - 2 = 0
uuur
AB =5
A B = ( 3; - 4) ị
A B : 4x + 3y - 2 = 0

ị C ( c ; 2 - 2c ) vi c > 0. Mt khac,
1
S A BC = 4 .A B .d ( C ,A B ) = 4
2
1 4c + 3( 2 - 2c ) - 2
.5.
= 4 4 - 2c = 8

2
5

ộ4 - 2c = 8
ờ

ờ4 - 2c = - 8
ở

ộc = - 2 ( loai )
ờ
ờc = 6 ị C ( 6; - 10)
ờ
ở


10

Cho 2 sụ thc x,y thoa man x ,y 1 va 3( x + y ) = 4xy .
ổ1
1ử
ữ
P = x 3 + y 3 + 3ỗ
+
ỗ
2
2ữ
ữ
ỗ
x

y
ố
ứ
Tim gia tri ln nhõt va gia tri nho nhõt cua biờu thc
?
3
3
3
t = x + y ị2 xy = ( x + y ) = t , t
4
4
2
t

Theo Viet; x,y la nghiờm phng trinh

X 2 - tX +

ột Ê 0 ( loai )
t 2 - 3t ị
0 ờ
ờt 3
ở
Ma (1) co nghiờm

t

3
t =0
4

(1)
3

(a)

3t
( x - 1) ( y - 1) 0 xy - ( x + y ) + 1 0
- t + 1 0 t Ê 4
4
Mt khac, x ,y 1
(b)
x+y 4
1 1 4
3( x + y ) = 4xy
= + =
xy
3
x y 3
T (a) va (b) suy ra 3 Ê t Ê 4 Ma
ộổ1 1 ử2 2 ự
3
ỳ= t 3 - 9 t 2 - 8 + 16
ữ
ỗ
P = ( x + y ) - 3xy ( x + y ) + 3 ờ
+
ữ
ỗ
ờỗ
ỳ

ữ
4
t
3
ờ
ởốx y ứ xy ỳ
ỷ
Khi o
9
8 16
f (t ) =t 3 - t 2 - +
4
t
3 vi 3 Ê t Ê 4
Xet ham sụ
ổ 3ử
9
8
8
f / ( t ) = 3t 2 - t + 2 = 3t ỗ
t- ữ
+
ữ
ỗ
ữ t 2 > 0, " t ẻ [ 3; 4 ]
ố
ứ
2
2
t

Co
nờn hsụ f(t) ụng biờn trờn [3;4].
113 ( ) 94
f ( 3) =
;f 4 =
12
3
ma
ỡù x + y = 4
ùớ
94
( 1; 3) ,( 3;1)
ù
xy
=
3
Võy maxP = 3 t = 4 ùợ
ỡù x + y = 3
ùù
ổ3 3 ữ
ử
ỗ

;
ữ
ớ
ỗ
113
ỗ
ố2 2 ữ

ứ
ùù xy = 9
ù
4
minP = 12 t = 3 ợ