DE THI HOC SINH GIOI LOP 7

đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 7
Năm học 2005-2006

(Thời gian làm bài 120 phút)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.6 6.11 11.16
96.101

Bài 1.

Tính

Bài 2.

Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho:

1 1 1
+ =
x y 5

Bài 3. Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số
20, 140 và 7
Bài 4. Tìm x, y thoả mãn: x 1 + x 2 + y 3 + x 4 = 3
Bài 5. Cho tam giác ABC có góc ABC = 50 0 ; góc BAC = 70 0 . Phân giác

trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 40 0. Chứng
minh: BN = MC.


Hớng dẫn chấm ôlim pic

Môn toán lớp 7
năm học 2005-2006

Bài 1 . (4 điểm)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.6 6.11 11.16
96.101
1 1 1 1 1 1
1
1
= ( + + . . . + )
5 1 6 6 11 11
96 101
1 1 1
1 100 20
= 5 (1 101) = 5 . 101 = 101

Tính

(2đ)
(2đ)

Bài 2 . (4 điểm)
Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho:

1 1 1
+ =
x y 5

Do vai trò của x và y nh nhau nên giả sử x y ta có: (0,5đ)
1 1
1 1
<
nờn y > 5
x y 1 nên
y 5
x y
1 1 1 1 1 2
= + + =
5 x y y y y
2 1
=> y 10 6 y 10
y 5

(1đ)
(1đ)
(0,5đ)

Với y = 6 => x = 30; y=7; 8; 9 thì giá trị của x không nguyên
y = 10 => x = 10
(0,5đ)
Vậy các giá trị x, y cần tìm là: x = 30, y = 6
x = 10, y = 10
x = 6, y = 30
(0,5đ)
Cách khác:

1 1 1
x+y 1
+ = =>
= => xy - 5x - 5y = 0
x y 5
xy
5

=> xy - 5x - 5y + 25 = 25 => (x - 5)(y - 5) = 25 =>
x - 5 = 25
=>
x = 30, y = 6
x-5 =5
=>
x = 10, y = 10
x-5 =1
=>
x = 6, y = 30
Bài 3 . (4 điểm)
Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140
và 7

Gọi 2 số cần tìm là x và y ta có:
20 (x + y) = 140 (x - y) = 7 xy
(1đ)
x + y x y xy x + y + x y x + y x + y x y xy xy
=
=
=
=
= = =
=
=> (2đ)
7
1
20
7 +1
7 1
4 3 4 y 3x
2
3x = 20 => x = 6 ; 4y = 20 => y = 5
3
2
Vậy các số cần tìm là : 6 và 5
(1đ)
3

=>

Bài 4 . (4 điểm)
Tìm x, y thoả mãn: x 1 + x 2 + y 3 + x 4 = 3

Đặt A = x 1 + x 2 + y 3 + x 4
Ta có: x 1 + x 4 3 nên A = 3 <=> x 2 = y 3 = 0 => x = 2, Y = 3
Bài 5 . (4 điểm)
Cho tam giác ABC có góc ABC = 50 0 ; góc BAC = 700 . Phân giác trong góc
ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 40 0. Chứng minh:
BN = MC.
A
MNB = MCB + NBC Góc ngoàI của NBC.
70
= 300 + 100 = 400 => MNB cân tại M
(1đ)
M
0

1
N
MC (1)
(1đ)
30
K
2
30
1
C
H
Từ M vẽ MK BN => BK = KN = BN (2)
(1đ)
2
MKB = BHM ( vuông có cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau)

Từ M vẽ MH BC ta có MH =

0

0

=> MH = KB (3)
Từ (1), (2) và (3) => BN = MC (ĐPCM)

(0,5đ)
(0,5đ)

100

500

B


ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI
BẬC THCS CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2008 -2009

Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phút
--------------------------------------------------Bài 1: (3 điểm): Tính
1
2
2 3
 1

 
18 6 − (0, 06 : 7 2 + 3 5 .0,38)  : 19 − 2 3 .4 4 ÷

Bài 2: (4 điểm): Cho
a)

a2 + c2 a
=
b2 + c 2 b

a c
= chứng minh rằng:
c b
b2 − a 2 b − a
b) 2 2 =
a +c
a

Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết:
1
5

a) x + − 4 = −2

b) −

15
3 6
1
x+ = x−

12
7 5
2

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu
vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ
tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật
chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây
µ = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A
nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC

Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ ¥ biết: 25 − y 2 = 8( x − 2009)2
---------------------------------------------------------

ĐÁP ÁN ĐỀ THI
Bài 1: 3 điểm
1
2
2 3
 1
 
18
−
(0,
06
:
7

+
3
.0,38)
:
19
−
2
.4 ÷=

 6
 
2
5
3 4


6 15 17 38  
8 19 
109
=  − ( : + . )  : 19 − . ÷
100 2 5 100  
3 4
 6
109

3 2

109

2

17 19 


 

=  −  . + . ÷ : 19 − ÷
3 
 6  50 15 5 50   
38

0.5đ
1đ

323  19



+
=  −
÷ :
 6  250 250   3

0.5

 109 13  3
− ÷. =
 6 10  19
506 3 253
. =

=
30 19 95

=

0.5đ
0.5đ

Bài 2:
a) Từ

a c
= suy ra c 2 = a.b
c b
a 2 + c 2 a 2 + a.b
khi đó 2 2 = 2
b +c
b + a.b
a ( a + b) a
= b( a + b ) = b

0.5đ
0.5đ
0.5đ

a2 + c2 a
b2 + c2 b
=
⇒
=

b) Theo câu a) ta có: 2 2
b +c
b
a2 + c2 a
b2 + c 2 b
b2 + c2
b
từ 2 2 = ⇒ 2 2 − 1 = − 1
a +c
a
a +c
a
2
2
2
2
b +c −a −c
b−a
=
hay
2
2
a +c
a
2
2
b −a
b−a
vậy 2 2 =
a +c

a

Bài 3:
a)

x+

1
− 4 = −2
5

1
= −2 + 4
0.5đ
5
1
1
1
x + = 2 ⇒ x + = 2 hoặc x + = −2
5
5
5
1
1
9
Với x + = 2 ⇒ x = 2 − hay x =
5
5
5
1

1
11
Với x + = −2 ⇒ x = −2 − hay x = −
5
5
5
x+

b)
15
3 6
1
x+ = x−
12
7 5
2
6
5
3 1
x+ x = +
5
4
7 2

−

0.5đ

1đ
0.25đ

0.25đ

0.5đ
1đ
0.5đ
0.5đ


6 5
13
( + )x =
5 4
14
49
13
x=
20
14
130
x=
343

0.5đ
0.5đ
0.5đ

Bài 4:
Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
0.5đ
Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s

5.x = 4. y = 3.z và x + x + y + z = 59
Ta có:
1đ
x y z x + x + y + z 59
= = =
=
= 60
hay: 1 1 1 1 + 1 + 1 + 1 59
5 4 3 5 5 4 3 60

0.5đ

Do đó:
1
x = 60. = 12 ;
5

1
x = 60. = 15 ;
4

1
x = 60. = 20
3

0.5đ

Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m)

0.5đ

Bài 5:
-Vẽ hình, ghi GT, KL đúng
0.5đ
a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c)
1đ
·
·
suy ra DAB
= DAC
·
Do đó DAB
= 200 : 2 = 100
b) ∆ ABC cân tại A, mà µA = 200 (gt) nên

A

200

D

·ABC = (1800 − 200 ) : 2 = 800
·
∆ ABC đều nên DBC
= 600

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra
·ABD = 800 − 600 = 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD
nên ·ABM = 100

M

C

B

Xét tam giác ABM và BAD có:
·
·
AB cạnh chung ; BAM
= ·ABD = 200 ; ·ABM = DAB
= 100
Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM =
BC
Bài 6:
25 − y 2 = 8(x − 2009) 2

Ta có

8(x-2009)2 = 25- y2
8(x-2009)2 + y2 =25 (*)

Vì y2 ≥ 0 nên (x-2009)2 ≤

0.5đ

25
, suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1
8

Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)

0.5đ


Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ∈ ¥ )

0.5đ

Từ đó tìm được

0.5đ

(x=2009; y=5)


ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI
BẬC THCS CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2008 -2009

Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phút
--------------------------------------------------Bài 1: (3 điểm): Tính
1
2
2 3
 1
 
18 6 − (0, 06 : 7 2 + 3 5 .0,38)  : 19 − 2 3 .4 4 ÷

Bài 2: (4 điểm): Cho

a)

a2 + c2 a
=
b2 + c 2 b

a c
= chứng minh rằng:
c b
b2 − a 2 b − a
b) 2 2 =
a +c
a

Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết:
1
5

a) x + − 4 = −2

b) −

15
3 6
1
x+ = x−
12
7 5
2

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu
vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ
tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật
chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây
µ = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A
nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
c) Tia AD là phân giác của góc BAC
d) AM = BC

Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ ¥ biết: 25 − y 2 = 8( x − 2009)2
---------------------------------------------------------

ĐÁP ÁN ĐỀ THI
Bài 1: 3 điểm
1
2
2 3
 1
 
18
−
(0,
06
:
7
+
3
.0,38)
:

19
−
2
.4 ÷=

 6
 
2
5
3 4


6 15 17 38  
8 19 
109
=  − ( : + . )  : 19 − . ÷
100 2 5 100  
3 4
 6
109

3 2

109

2

17 19 



 

=  −  . + . ÷ : 19 − ÷
3 
 6  50 15 5 50   
38

0.5đ
1đ

323  19



+
=  −
÷ :
 6  250 250   3

0.5

 109 13  3
− ÷. =
 6 10  19
506 3 253
. =
=
30 19 95

=

0.5đ
0.5đ

Bài 2:
b) Từ

a c
= suy ra c 2 = a.b
c b
a 2 + c 2 a 2 + a.b
khi đó 2 2 = 2
b +c
b + a.b
a ( a + b) a
= b( a + b ) = b

0.5đ
0.5đ
0.5đ

a2 + c2 a
b2 + c2 b
=
⇒
=
b) Theo câu a) ta có: 2 2
b +c
b
a2 + c2 a

b2 + c 2 b
b2 + c2
b
từ 2 2 = ⇒ 2 2 − 1 = − 1
a +c
a
a +c
a
2
2
2
2
b +c −a −c
b−a
=
hay
2
2
a +c
a
2
2
b −a
b−a
vậy 2 2 =
a +c
a

Bài 3:
a)

x+

1
− 4 = −2
5

1
= −2 + 4
0.5đ
5
1
1
1
x + = 2 ⇒ x + = 2 hoặc x + = −2
5
5
5
1
1
9
Với x + = 2 ⇒ x = 2 − hay x =
5
5
5
1
1
11
Với x + = −2 ⇒ x = −2 − hay x = −
5

5
5
x+

b)
15
3 6
1
x+ = x−
12
7 5
2
6
5
3 1
x+ x = +
5
4
7 2

−

0.5đ

1đ
0.25đ
0.25đ

0.5đ
1đ

0.5đ
0.5đ


6 5
13
( + )x =
5 4
14
49
13
x=
20
14
130
x=
343

0.5đ
0.5đ
0.5đ

Bài 4:
Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
0.5đ
Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s
5.x = 4. y = 3.z và x + x + y + z = 59
Ta có:
1đ
x y z x + x + y + z 59

= = =
=
= 60
hay: 1 1 1 1 + 1 + 1 + 1 59
5 4 3 5 5 4 3 60

0.5đ

Do đó:
1
x = 60. = 12 ;
5

1
x = 60. = 15 ;
4

1
x = 60. = 20
3

0.5đ

Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m)

0.5đ

Bài 5:
-Vẽ hình, ghi GT, KL đúng
0.5đ

a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c)
1đ
·
·
suy ra DAB
= DAC
·
Do đó DAB
= 200 : 2 = 100
b) ∆ ABC cân tại A, mà µA = 200 (gt) nên

A

200

D

·ABC = (1800 − 200 ) : 2 = 800
·
∆ ABC đều nên DBC
= 600

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra
·ABD = 800 − 600 = 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD
nên ·ABM = 100

M

C

B

Xét tam giác ABM và BAD có:
·
·
AB cạnh chung ; BAM
= ·ABD = 200 ; ·ABM = DAB
= 100
Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM =
BC
Bài 6:
25 − y 2 = 8(x − 2009) 2

Ta có

8(x-2009)2 = 25- y2
8(x-2009)2 + y2 =25 (*)

Vì y2 ≥ 0 nên (x-2009)2 ≤

0.5đ

25
, suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1
8

Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)

0.5đ

Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ∈ ¥ )

0.5đ

Từ đó tìm được

0.5đ

(x=2009; y=5)


Phòng giáo dục và đào
tạo
Huyện yên mô
Đề khảo sát đợt I

Đề khảo sát chất lượng Học Sinh Giỏi 7
Năm học 2008 2009

Môn: Toán
(Thời gian làm bài: 120 phút)
(Đề thi này có 6 câu trong 01 trang)

Câu 1. Thực hiện phép tính:

( -0, 7 ) . ( -5 )
2

a)

3

4

3

5
1 1
-2 . 1 . ( -1)
3 2

b)

45 .95 + 69.30
611 - 84.312

Câu 2. So sánh
a) 5020 và 255010
b)
Câu 3.
a) Tìm cặp số nguyên âm (a,b) sao cho :

30
50
( -5 ) và ( -3 )

a 1 3
- =
4 2 b

x y z
= =
a b c
bz - cy cx - az ay - bx
Chứng minh rằng:
=
=
a
b
c
Câu 4. a) Biết a + b = a + b khi và chỉ khi ab 0 .

b) Cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn

áp dụng hãy tìm x Z sao cho x - 3 + 5 - x = 2
b) Cho sáu số nguyên dương a < b < c < d < m < n
Chứng minh:

a+c+m
1

a+b+c+d+m+n 2

Câu 5. Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho
CM = BC. Trên tia đối của tia AC lấy điểm lấy điểm N sao cho AN = AC. Trên tia
đối của tia BA lấy điểm P sao cho BA = BP. Chứng minh rằng:
a) MNP đều.
b) AM AP .
Câu 6. (Dùng máy tính Casio Fx 500MS hoặc Fx 570MS).
Viết quy trình ấn phím, tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047.

Họ và tên học sinh: .SBD.. .
Họ, tên người coi 1: ..Kí tên . .
Họ, tên người coi 2: ..Kí tên .

Hớng dẫn chấm

điểm


Câu1.
(4.0điểm)

72
3
. -5 )
2 (
= 10 3 4
7 3
.
3 3 24
-53 .7 2 33 .24
= 2 2. 3 4
2 .5 7 .3
5.22
20
==
7.3
21
10 10

9 9
2 .3 + 2 .3 .2.3.5
= 11 11 12 12
2 .3 - 2 .3
10 10
2 .3 + 210.310 .5
= 11 11 12 12
2 .3 - 2 .3
10 10
2 .3 ( 1 + 5 )
6
1
=
== 11 11
2 .3 ( 1 - 6 ) 6. ( -5 )
5

a)

b)

Câu 2
(2.0điểm)

a)

50 = ( 50

b)

( -5 )

20

30

( -3 )

50

)

2 10

0,50đ

0,75đ
0,75đ
0,50đ
0,75đ
0,75đ

= 2500 2550
10

= 530 = ( 5 3 )
= 350 ( 35 )

10

10

= 12510

= 24310

do 12510 24310 ( -5 ) ( -3 )
30

10

50

a-2 3
Câu 3
= b ( a - 2 ) = 12
a)
4
b
(5.0điểm)
do b < 0 nên ta có bảng sau:
b
-1
-12
-2
-6
-3
-4
a -2 -12
-1

-6
-2
-4
-3
a
-10
1
-4
0
-2
-1
Vậy (a, b) = { (10; 1);(4, 2);( 2; 3);(1, 4)}
x y z
= = = k x = ak; y = bk; z = ck.
a b c
bz cy bck cbk

=
=0
a
a
cx az cak ack
=
=0
b
b
ay bx abk bak
=
=0
c

c
Đpcm

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

b) Đặt

Câu 4.
a) Có: | x 3| + | 5 x| = 2
(4.0điểm) mà |(x 3) + (5 + x)| = | 2| = 2
Vậy | x 3| + | 5 x| = |(x 3) + (5 + x)|
Suy ra: (x-3)(5-x) 0 (x 3) và (5 + x) cùng dấu.
Do (x 3) + (5 + x) =2 > 0 (x 3) và (5 + x) cùng dơng.
x 3 0
x 3


hay 3 x 5
5 x 0
x 5
Vậy x { 3; 4;5}
a b 2a a + b; c d 2cc + d ; m n 2m m + n
b)

1.0đ
1,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ


Suy ra2(a+c+m) < (a+b+c+d+m+n) Suy ra ®pcm
1.0®
C©u 5.
(4.0®iÓm)

1.0®
1.0®

a) ChØ ra ∠MCN = ∠NAP = ∠PBM ( v× cïng kÒ bï víi 3 gãc
b»ng nhau)
ChØ ra ∆CMN = ∆ANP = ∆BPM (c. g.c)
Suy ra MN = NP = PM hay ∆ MNP ®Òu
b) ChØ ra ∠CAM = ∠CMA vµ ∠CAM + ∠CMA = 60 0
Suy ra ∠CAM = ∠CMA = 30 0
Suy ra ∠PAM = ∠CAM + ∠PAC = 60 0 + 30 0 = 90 0
C©u 6.
(1.0®iÓm) Hay AM ⊥ AP .
- ViÕt ®óng quy tr×nh Ên phÝm
- KÕt qu¶ ®óng: 240.
Chó ý: KÕt qu¶ ®óng, viÕt sai quy tr×nh th× kh«ng cho
®iÓm

0,5®
0,5®

1.0®
1.0®
1.0®
0,5®
0,5®
0.5®
0.5®


ĐỀ THI GIẢI LƯƠNG THẾ VINH
QUẬN 9 - TP HỒ CHÍ MINH
* Môn thi : Toán lớp 7 * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (5 điểm)
Tìm x biết :

Bài 2 : (3 điểm)
Tính :
a) A = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + … - 1999 - 2000 + 2001 + 2002 - 2003.
b) B = (1/4 - 1)(1/9 - 1)(1/16 - 1)(1/25 - 1)...(1/121 - 1).
Bài 3 : (4 điểm)
a) Tìm a, b, c biết : 2a = 3b, 5b = 7c, 3a + 5c - 7b = 30.
b) Tìm hai số nguyên dương sao cho : tổng, hiệu (số lớn trừ đi số nhỏ),
thương (số lớn chia cho số nhỏ) của hai số đó cộng lại được 38.
Bài 4 : (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, có trung tuyến BM. Gọi D là một điểm
bất kì thuộc cạnh AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BD (H, K thuộc đường
thẳng BD). Chứng minh :
a) BH = CK.
b) Tam giác MHK vuông cân.

Bài 5 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A = 20 o, BC = 2 cm. Trên AB dựng
điểm D sao cho = 10o. Tính độ dài AD ?



PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO

ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆNHỌC
SINH GIỎI
BẬC THCS CẤP THỊ XÃ
MÔN TOÁN 7
NĂM HỌC 2008 - 2009
Thời gian : 120’ (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:

A=

212.35 − 46.92

( 2 .3)
2

6

+ 8 .3
4

5

−

510.73 − 255.492

( 125.7 )

3

+ 59.143

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
3n + 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a. x −

1 4
2
+ = ( −3, 2 ) +
3 5
5

b. ( x − 7 )

x +1

− ( x − 7)

x +11

=0

Bài 3: (4 điểm)
a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1
: : . Biết rằng tổng các bình phương của
5 4 6

ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
b) Cho

a c
a2 + c2 a
= . Chứng minh rằng: 2 2 =
c b
b +c
b

Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao
cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng
minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
·
·

c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) . Biết HBE
= 50o ; MEB
=25o .
·
·
Tính HEM
và BME
Bài 5: (4 điểm)
µ = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác
Cho tam giác ABC cân tại A có A
ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
e) Tia AD là phân giác của góc BAC
f) AM = BC
……………………………… Hết ………………………………


HƯỚNG DẪN

Bài 1:(4 điểm):

a) (2 điểm)

212.35 − 46.92

510.73 − 255.492

10

212.35 − 212.34 510.7 3 − 5 .7 4
A=

−
= 12 6 12 5 − 9 3 9 3 3
6
3
9
3
2
4 5
2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7
125.7
+
5
.14
(
)
( 2 .3) + 8 .3
212.34. ( 3 − 1) 510.73. ( 1 − 7 )
= 12 5
−
2 .3 . ( 3 + 1) 59.73. ( 1 + 23 )
10 3
212.34.2 5 .7 . ( −6 )
= 12 5 −
2 .3 .4
59.73.9
1 −10 7
= −
=
6
3

2

b) (2 điểm)

3n + 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n = 3n + 2 + 3n − 2n + 2 − 2n
= 3n (32 + 1) − 2n (22 + 1)
= 3n ×10 − 2n ×5 = 3n ×10 − 2n−1 ×10

= 10( 3n -2n)
Vậy 3n + 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n M 10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2:(4 điểm)

a) (2 điểm)

x−

1 4
2
1 4 −16 2
+ = ( −3, 2 ) + ⇔ x − + =
+
3 5
5
3 5
5
5

⇔ x−

1 4 14

+ =
3 5 5

 x −1 =2
1
⇔ x − = 2 ⇔  13
 x− =−2
3
 3
 x=2+ 1 = 7
3 3
⇔ 
x=−2+1 = −5
3 3


b) (2 điểm)

( x − 7)

x +1

⇔ ( x − 7)

− ( x − 7)
x +1

x +11

=0

1 − ( x − 7 ) 10  = 0




⇔ ( x − 7)

( x +1)

1 − ( x − 7 ) 10  = 0



  x −7  x +1=0

÷

⇔ 
1−( x −7)10 =0


⇔  x −7=010⇒ x =7
 ( x −7) =1⇒ x=8
Bài 3: (4 điểm)

a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c =
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)

2 3 1
: : (1)
5 4 6

a b c
2
3
k
= =
Từ (1) ⇒ 2 3 1 = k ⇒ a = k ; b = k ; c =
5
4
6
5 4 6
4 9 1
Do đó (2) ⇔ k 2 ( + + ) = 24309
25 16 36
⇒ k = 180 và k = −180

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k = −180 , ta được: a = −72 ; b = −135 ; c = −30
Khi đó ta có só A = −72 +( −135 ) + ( −30 ) = −237 .
b) (1,5 điểm)
Từ

a c
= suy ra c 2 = a.b
c b

a 2 + c 2 a 2 + a.b
khi đó 2 2 = 2
b +c
b + a.b
a ( a + b) a
=
=
b( a + b ) b

Bài 4: (4 điểm)
A

a/ (1điểm) Xét ∆AMC và ∆EMB có :
AM = EM
(gt )

I
M

B

C
H

·AMC = EMB
·
(đối đỉnh )
K

E

BM = MC
(gt )
Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c )
0,5 điểm
⇒ AC = EB
·
·
Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC
= MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE .
0,5 điểm
b/ (1 điểm )
Xét ∆AMI và ∆EMK có :
AM = EM (gt )
·
·
= MEK
( vì ∆AMC = ∆EMB )
MAI
AI = EK (gt )
Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c )
·
Suy ra ·AMI = EMK
·
Mà ·AMI + IME
= 180o ( tính chất hai góc kề bù )
·

·
⇒ EMK
+ IME
= 180o
⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c/ (1,5 điểm )
µ = 90o ) có HBE
·
Trong tam giác vuông BHE ( H
= 50o
·
·
= 90o - HBE
= 90o - 50o =40o
⇒ HBE
·
·
·
= HEB
- MEB
= 40o - 25o = 15o
⇒ HEM

A

·
là góc ngoài tại đỉnh M của ∆HEM
BME
·
·

·
Nên BME
= HEM
+ MHE
= 15o + 90o = 105o

200

( định lý góc ngoài của tam giác )

M

Bài 5: (4 điểm)
D

a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c)
·
·
suy ra DAB
= DAC
·
Do đó DAB
= 200 : 2 = 100
b) ∆ ABC cân tại A, mà µA = 200 (gt) nên
·ABC = (1800 − 200 ) : 2 = 800
·
∆ ABC đều nên DBC
= 600

B

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD = 800 − 600 = 200 .
Tia BM là phân giác của góc ABD
nên ·ABM = 100
Xét tam giác ABM và BAD có:
·
·
AB cạnh chung ; BAM
= ·ABD = 200 ; ·ABM = DAB
= 100
Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g)
suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC

C


Đề 1 : ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
TỈNH THÁI BÌNH
* Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (4 điểm)
Cho dãy : 1, -5, 9, -13, 17, -21, 25, …
1) Tính tổng 2003 số hạng đầu tiên của dãy trên.
2) Viết số hạng tổng quát thứ n của dãy đã cho.
Bài 2 : (4 điểm)
Tìm x thỏa mãn :
1) 2003 - |x - 2003| = x.
2) |2x - 3| + |2x + 4| = 7.
Bài 3 : (3 điểm)
Vẽ đồ thị hàm số sau : y = |1 - |1 - x||.
Bài 4 : (3 điểm)

Tìm các cặp số nguyên (x ; y), sao cho :
2x - 5y + 5xy = 14.
Bài 5 : (6 điểm)
Cho DABC có các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I, các đường phân
giác ngoài của các góc B và C cắt nhau ở K. Gọi E là giao điểm của các đường
thẳng BI và KC.
1) Tính các góc: BIC, BEC, BKC khi góc A = 60o .
2) Tính các góc: BIC, BEC, BKC khi góc A = ao ( 0o < ao < 180o).


ĐỀ THI GIẢI LƯƠNG THẾ VINH
QUẬN 9 - TP HỒ CHÍ MINH
* Môn thi : Toán lớp 7 * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (5 điểm)
Tìm x biết :

Bài 2 : (3 điểm)
Tính :
a) A = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + … - 1999 - 2000 + 2001 + 2002 - 2003.
b) B = (1/4 - 1)(1/9 - 1)(1/16 - 1)(1/25 - 1)...(1/121 - 1).
Bài 3 : (4 điểm)
a) Tìm a, b, c biết : 2a = 3b, 5b = 7c, 3a + 5c - 7b = 30.
b) Tìm hai số nguyên dương sao cho : tổng, hiệu (số lớn trừ đi số nhỏ), thương (số
lớn chia cho số nhỏ) của hai số đó cộng lại được 38.
Bài 4 : (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, có trung tuyến BM. Gọi D là một điểm bất kì
thuộc cạnh AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BD (H, K thuộc đường thẳng BD).
Chứng minh :
a) BH = CK.
b) Tam giác MHK vuông cân.

Bài 5 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A = 20o, BC = 2 cm. Trên AB dựng điểm D
sao cho = 10o. Tính độ dài AD ?