Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HẰNG

GIẢI GẦN ĐŨNG MÕT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐAI SỐ
■■

VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIẼT

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Chuyền ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2015


Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới
sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn và
truyền thụ những kinh nghiệm đồng thời cũng là người khơi nguồn cảm hứng
cho tác giả trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên khích lệ
tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua khó khăn trong chuyên môn. Tác giả
xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường ĐHSP Hà Nội 2,
phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp
chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường
THPT Cổ Loa đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập và hoàn
thành tốt luận văn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Hằng
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự


hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học nghiên cứu và đồng nghiệp với sự trân trọng biết ơn.

Hà Nội, tháng năm 2015
Tác giả

MỤC LỤC

Nguyễn Thị Hằng


1. Lí do chon đè tài *
Ngày nay các ngành khoa học nói chung và ngành toán học nói riêng đã
phát triển đến mức độ cao. Rất nhiều các bài toán trong thực tế ( Thiên văn, đo
đạc ruộng đất, yật lí, ...) dẫn đến việc cần giải các phương trình một biến dạng /
(x) = 0. Nhìn chung các phương trình dạng /(x) = 0 thường khó có thể giải được
bằng phương pháp đại số, hoặc nếu các bài toán đó nếu có thể giải được thì nó
có công thức nghiệm phức tạp, cồng kềnh nên việc khảo sát các tính chất của
nghiệm qua công thức nghiệm đó gặp rất nhiều khó khăn. Bởi yậy việc tìm
nghiệm gần đúng và đánh giá mức độ sai số của nghiệm gần đúng khi giải xấp
xỉ phương trình một ẩn dạng /(x) = 0 là rất cần thiết.

Các nhà Toán học đã nghiên cứu và đưa ra một số phương pháp giải gần
đúng phương trình một ẩn dạng /(x) = 0. Kết họp với sự hỗ trợ đắc lực của máy
tính điện tử hiện đại nên việc tìm nghiệm gần đúng của các phương trình phi
tuyến một ẩn dạng /(x) = 0 trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Tuy nhiên trước mỗi
bài toán phi tuyến dạng /(x) = 0 thì việc lựa chọn phương
pháp tìm nghiệm gần đúng nào để kết quả nghiệm tìm được chính xác hơn, sai
số nhỏ và tính toán nhanh thì phương pháp giải đó được xem là tối ưu hơn cả.
Không có phương pháp nào được xem là tối ưu tuyệt đối, mỗi phương
pháp đều có nét đặc trưng riêng của nó. Việc dùng phương pháp nào để giải bài
toán cho phù hợp còn tùy thuộc vào yếu tố khách quan của bài toán và mức độ
yêu cầu của công việc.
Với những lí do như đã nêu ở trên và mong muốn tìm hiểu sâu, trang bị
cho bản thân kĩ năng đánh giá, lựa chọn phương pháp giải gần đúng tối ưu cho
một số phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng / (x) = 0 ( với
/(x) là một hàm phi tuyến ) và cũng do điều kiện về thời gian, năng lực của
bản thân còn hạn chế nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu để làm luận văn cao học
là:
" Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt ".
2. Mục đích nghiền cứu


Nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại
số và phương trình siêu việt dạng / (x) = 0. Đưa ra các ví dụ số minh họa cho
kết quả lí thuyết.
Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu của bản thân, phục vụ hiệu quả
cho công tác nghiên cứu khoa học và đào tạo sau đại học chuyên ngành toán
giải tích của trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.
3. Nhiệm vụ nghiền cứu
Tìm tài liệu, đọc hiểu tài liệu.
Viết luận văn.

4. Đổi tượng nghiền cứu và phạm vi nghiền cứu
Đối tượng nghiên cứu là:
Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và
phương trình siêu việt dạng / (x) = 0 như: Phương pháp chia đôi, phương
pháp lặp đơn, phương pháp Newtơn, phương pháp dây cung.
Các bài toán về phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng /(x) =
0.
Phạm vi nghiên cứu:
Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và
phương trình siêu việt dạng /(x) = 0.
5. Phương pháp nghiên cứu
Trang bị cho bản thân các kiến thức cơ bản về toán học cao cấp, giải tích
số, sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi.
Sưu tầm và giải gần đúng một số bài toán đại số và siêu việt.
6. Đóng góp của luận văn
Xây dựng luận vãn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và học
viên cao học về một số phương pháp giải gần đúng phương trình đại số và
phương trình siêu việt.
CHƯƠNGI: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.

Nghiệm và khoảng phân lỉ nghiệm


1.1.1.

Nghiệm của phương trình một ỉn

Xét phương trình một ẩn: f(x) = Q.

(1.1)

ừong đó:
/ là một hàm số cho trước của đối số X.
Giá trị x0 được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) nếu f(x0) = 0.
Nghiệm của phương trình (1.1) có thể là số thực hoặc số phức, nhưng ở đây ta
chỉ khảo sát các nghiệm thực.
1.1.2.

Ỷ nghĩa hình học của nghiệm

Các nghiệm của phương trình (1.1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ỵ
= / (x) với trục hoành.

Có thể biến đổi phương trình (1.1) về dạng g (x) = h (x), khi đó
nghiệm của phương trình (1.1) là các hoành độ giao điểm của hai đồ
thị

(ct): y = g(x) và (c )-.y = h(x).
2


1.1.3.

Sự tồn tạỉ nghiệm thực của phương trình (1.1)

Trước khi tìm cách tính gần đứng nghiệm thực của phương trình (1.1) ta phải kiểm tra xem nghiệm thực đó
có tồn tại hay không. Khi đó ta có thể sủ dụng đầ thị hoặc sử dụng định lí sau.
Định lí I.I.3.I. (Bolzano - Cauchy )
Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ứ,ố] và thỏa mãn điều kiện f ( a ) f ( b ) < 0 thì phương trình f i x ) = 0 có ỉt nhất một

nghiệm trong khoảng ( a , b ) .

Chứng minh:
Không mất tính tổng quát giả sử f(a) < 0, f{b) > 0, ta chia đôi đoạn [a,b] bởi điểm chia a + ^.


>ta xét đoan [«. ,h ]. 2 ) 2
=
—-—,
khi
đóchứng
Với «! =_a +±^,0.
, ốj_Đăt
0=
ata+
ốccó
nếu
b định
A
/. alí+được
b +ố
' >
<00. minh.
.
L 1 lj
Với «J =a,bỊ= —— nêu /
TH1: /r a +b' (
+ố>'

TH2: / a + b'\

KN1: /
^2)

Ta lại
chia đôi đoạn [«!,£>! ] bởi điểm chia a' + ■ Có thể xảy ra
hai khả = 0 ta có định lí được chứng minh. năng.
«Ị+VL

KN2: Ta lại thu được đoạn [a2,ố2]là một trong hai nửa của đoạn [«!,£>! ] sao cho f{a2)f(b2)< 0.
Ta tiếp tục lặp các đoạn đó.
Khi đó hoăc sau môt số hữu han bước ta sẽ găp trường hơp / a‘ —

V2

= 0.
)

Và khi đó định lí được chứng minh
Hoặc được một dãy vô hạn các đoạn chứa nhau. Khi đó đối với đoạn thứ n, [a ,b ],(« = 1,2,3...)ta sẽ có /(a )
<0,f{b )>0 và độ dài của đoạn bằng b-a
Dãy các đoạn ta lập được thỏa mãn các điều kiện của bổ đề về dãy các đoạn
..

(b-a'\

lồng nhau, bởi vì theo trên lim

(b -a ) = lim -—— = 0.
H—» + 0O

n —ỳ + CO

2” J

Vì vậy cả hai dãy {a }, [b } dần tới giới hạn chung lim a = lim b =c.
^

2”

^*

n —ỳ +CO

fỉ —ỳ +CO

Mà rõ ràng ce[fl,è]. Ta hãy chứng minh điểm c thỏa mãn yêu cầu của định lí.


-9 Thật yậy do tính liên tục của hàm số tại X = c, ta có /(c) = lim f(an) < 0.
«->+00

Và /(c) = lim f(bn) > 0.
«->+00

Vậy /(c) = 0. Ta có định lí được chứng minh.
1.1.4.

Khoảng phân li nghiệm Định nghĩa 1

Đoạn \a,b\ ( hoặc khoảng (fl,ố) ) được gọi là khoảng phân li nghiệm của

phương trình /(x) = 0 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đỏ.
Đinh lí 1.1.4.1 *
Nếu hàm sổ y = / (x) liên tục, đơn điệu trên [a,b] và /(a)/(ố) < 0 thì [a,ố]
là một khoảng phân li nghiệm của phương trình /(x) = 0.
Chứng minh: Theo định lí ( Bolzano - Cauchy ) ta có phương trình /(x) = 0 ít
nhất một nghiệm trên [a,b].
Giả sử Cj, c2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình f(x) = 0 Ta có /(C;) = /
(c2) = 0. Vì hàm số y = f(x) liên tục, đơn điệu trên [a,b] nên Cj = c2 (trái giả
thiết).
Do đó phương trình /(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên [a,b]
Vì vậy theo định nghĩa 2 thì \a,b\ là một khoảng phân li nghiệm của phương
trình /(x) = 0.
Neu / (x) có đạo hàm thị điều kiện đơn điệu có thể thay thế bằng điều
kiện không đổi dấu của đạo hàm ta có định lí sau.
Định lí 1.1.4.2
Nếu hàm sổ y = f (x) liên tục, đạo hàm /'(x) không đổi dấu trên [a,b] và
f(a)f(b) <0 thì \a,b\ là một khoảng phân li nghiệm của phương trình f (x) = 0
(1).
Chứng minh:
Ta có hàm số y = /(x) liên tục, đạo hàm /'(x) không đổi dấu trên [a,b] nên
hàm số y = f (x) liên tục, đơn điệu trên [a,b].
Theo định lí 1.1.4.1 hàm số y = /(x) liên tục, đơn điệu trên [a,b] và /(«)/(£)< 0


10thì [a,b] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình /(x) = 0.
1.1.5.
Phương pháp tìm khoảng phân li nghiệm của phương trình
(1.1)
a) Phương pháp giải tích.
Nếu /'(x) liên tục, xét dấu của /(x) tại hai đầu mút của miền xác định và

tại những điểm X; mà /'(x.) = 0 suy ra ước lượng khoảng phân li nghiệm.
Một đa thức bậc n có không quá n nghiệm, vì vậy phương trình đa thức
bậc n có không quá n khoảng phân li nghiệm.
b) Phương pháp hình học.
Vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) trên giấy kẻ ô vuông suy ra ước lượng
khoảng phân li nghiệm ( hoành độ giao điểm của đồ thị y = /(x) với trục
hoành ).
Trường họp khó vẽ đồ thị của hàm số y = /(x), có thể biến đổi y = /(x) về
hàm tương đương /ỉ(x) = g(x). Vẽ đồ thị của y = h(x) và y = g (x) suy ra khoảng
phân li nghiệm.
1.2.

Số xấp sỉ

Khi tìm nghiệm của phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng
(x)

= 0(1.1), ta thường thiết lập cả một dãy

00

, trong đó a là nghiệm đúng của phương trình (1.1). Do giả thiết liên tục của

x0,Xj,...,x

,... sao cho

/

X

—>cr khi « —»

hàm /(x) ta có: lim/(x ) = f[a) = 0.
Điều này có nghĩa là khi X khá gần a thì /(x ) khá gần /(or)và có thể xem /
(x ) « 0 hay X thực sự có thể xem là xấp xỉ của nghiệm.


-11
Người ta thường cho số £•>0 đủ nhỏ và nếu |x„ - a\ < E thì chọn x n làm
nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.1) và dừng quá trình tính toán.
Một câu hỏi đặt ra là với cách chọn như yậy thì / (x ) đã có thể thực sự
xem là xấp xỉ của f(a) không, có bảo đảm rằng |/(x )-/(a)| = |/(x )| khá gần 0
không? Cũng có lúc ta chỉ quan tâm là X xấp xỉ a tốt như thế nào thôi, nhưng
cũng có trường họp ta lại quan tâm là /(x n)có thể coi là gần 0 không, thì lúc này
sự xấp xỉ của xn so với a chưa đủ, mà ta cần phải xét cả giá trị I/ (x )| nữa.
Chính vì lí do này mà trong các chương trình tính toán tôi đưa thêm điều kiện
dừng về /(x ). Quá trình tính toán sẽ dừng nếu điều kiện |x - a\ < E và I/ (x )| <
ổ thỏa mãn.
1.3.

Sai sổ

Khi giải toán bằng phương pháp gần đúng thì sai số xuất hiện do sự sai
lệch giữa giá trị nhận được với nghiệm thực của bài toán, vì vậy ta phải đánh
1.3.1. Khái niêm
Giả sử X là số gần đúng của X* (x*là số đúng), khi đó À

x-x

gọi là

giá sai số để từ đó chọn ra phương pháp tối ưu nhất.
Sai số tuyệt đối: Giả sử 3Ax >0 đủ bé sao cho x-x

< Ax khi đó Ax

gọi là sai số tuyệt đối của X.
sai số thực sự của X. Vì không xác định được À nên ta xét đến hai loại số sau:
- Sai số tương đối: Sx = — .
X
1.3.2.

Các loại sai số:

Dựa vào nguyên nhân sai số, ta có các loại sau:
-

Sai số giả thiết: Xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số điều
kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán.


12-

Sai số do số liệu ban đầu: Xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá
trị đầu vào không chính xác.

Sai số phương pháp: Xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp
gần đúng
Sai số tính toán: Xuất hiện do quá trình làm tròn số trong quá trình

tính toán, quá trình tính toán càng nhiều thì sai số tích lũy càng lớn.


CHƯƠNGII: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT
2.1.

Tổng quát hóa tìm nghiệm gần đúng của phương trình /(x) = 0

Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và phương trình siêu việt ta
tiến hành qua hai bước:
-

Tách nghiệm: Xét tính chất nghiệm của phương trình (1.1), phương trình
(1.1) có nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm, các khoảng chứa
nghiệm nếu có. Đối với bước này ta có thể dùng phương pháp đồ thị kết
họp với các định lí mà toán học hỗ trợ.

-

Chính xác hóa nghiệm: Thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ được
đến giá trị nghiệm gần đúng với độ chính xác cho phép. Trong bước này
ta có thể áp dụng một trong các phương pháp:
+ Phương pháp chia đôi.
+ Phương pháp lặp đơn.
+ Phương pháp dây cung.
+ Phương pháp Newton.

Công thức đánh giá sai số tổng quát cho các phép lặp ở trên như sau:
Đinh lí 2.1.1

*
Với hàm /(x) liên tục và khả vi trên [a,b], ngoài ra 3mx :0 < mx < /'(x),Vx e \a,b\
mx =Min/'(x) và X e[a,ồl là xấp xỉ
của nghiệm a, khi đó ta có đánh giá: X -a\< -—.
2.2.

|/(x )|
ml

Phương pháp chia đôi

a) Bài toán
Giả sử [a,ồ]là khoảng phân li nghiệm của phương trình /(x) = 0(l). Tìm nghiệm
thực gần đúng của phương trình (l) trên [a,ồ] với sai số không vượt
quá £ cho trước.
b) Nội dung của phương pháp:


-

Chọn xồ là điểm giữa [ứ,ồ] làm nghiệm gần đúng xữ =---

+ Nếu / (*0) = 0 => xồ là nghiệm đúng => Dừng.
+ Nếu f(x0) * 0 và sai số Ax0 < £ thì xữ là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số
Axồ => Dừng.
+ Nếu /(x0) ^ 0 và sai số Áxữ > thi xét dấu /(«)./(x0):
Nếu /(a).f (x0) < 0 thì khoảng phân li nghiệm mới là [a,xữ]
Nếu /(a).f (x0) > 0 thì khoảng phân li nghiệm mới là [x0,ố]
-

Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân li nghiệm mới.

-

Quá trình lặp lần lượt cho ta các nghiệm gần đứng X 0,JC15.... và kết thúc
khi tìm được xn với sai số Axn < £.

c) Đánh giá sai số
Gọi a là nghiệm đúng, ta có:
Bước 0: A0 =|a-x0|^^r(ố-«),Ax0 =^-{b-à) .

Bước n : À = \a - X. <

Bước 1 : A1=|a-^|ẩỈ(ỉ(i-a)| = ^(i-a),A^ = ^(ố-a).
)L
L

2(y(i-fl)) = ỹn-(i-đ)*Ax.=ỹn-(ố_đ) •
d) Sự hội tụ về nghiệm
Tacó: |x - a \ < - ^ — r { b - a ) .
I n I 2”+1 '
'
=> lim|xn - a I < lim
x-»oo

x-»oo

= 0 => limlx. -a 1 = 0

Vậy dãy {x } hội tụ về nghiệm của phương trình khi n -» 00 .

e) Sơ đồ tóm tắt phương pháp chia đôi
- Cho phương trình /(x) = 0.
-

Ấn định sai số E cho phép.


-

Xác định khoảng phân li nghiệm [ a , b ] .

-

Giải thuật của phương pháp chia đôi.
í) Ưu nhược điểm của phương
pháp

-

Ưu điểm: Đơn giải, dễ lập trình.

-

Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm.

2.3.

Phương pháp lặp đơn

a) Nội dung của phương pháp

Biến đổi phương trình /(x) = 0 về dạng X = ạ > ( x ) với ạ > ( x ) liên tục trên
(a,b).
-

Lấy X = x0 e [ a , b ] làm nghiệm đúng ban đầu

-

Tính Xj=Ợ7(x0).

-

Tính x2 =ợ?(xj).

-

Tính XH = Ợ7(xn j).

Neu X hội tụ về« khi «—»+00 thì a là nghiệm đúng của phương trình f (x) = 0,
các X là nghiệm gần đúng của phương trình /(x) = 0.
b) Ý nghĩa hình học:


H1

H2

- Hình HI: hội tụ đến nghiệm a.
-

Hình H2: không hội tụ đến nghiệm a (phân li nghiệm),

c) Sự hộỉ tụ về nghiệm của phưorng pháp
Định lí: Giả sử (ứ, ồ) là khoảng phần li nghiệm của phương trình f(x) - 0 /(x) =
0ojí = ỹ(jí) , 1, V* <= [afb] thì dãy {xn}, n = 0,1,2,... nhận được từ: xn = nghiệm a của phương trình f(x) = 0.
Chứng minh:
Giả sử a là nghiệm đúng cùa phương trình f(x) = 0, Ta có: a
= ọ(à) . xí = =>xx -a = Theo định lí Lagrange, 3cj e (x0,tf) nếu X0sao cho: ọ{xồ) -
=> |jq —a\ = |ỹ>’(c)(x0 -a)\ ^q\x ồ ~ a \ *
Tương tự:
\x2 -aịúq^ -a\.
1*3

-a\
\xn-a\
nếu a

Hơn nữa: |JC - a\ < qn |x0 - a\ và lim qn |x0 - a\ = 0.
»—> fcc

Nên x n hội tụ về nghiệm a khi n —» +00.

d) Đánh giá sai số
k -ơ| ắq\xn_x -a\ = q!*„_! +xn-xn-a\
II,qII
1-q
n
Hoặc có thể dùng công thức: \x -a\< ——ÌXị -x ồ \.

1

2.4.
Phương pháp dây cung
a) Bàỉ toán
Giả sử [a,ố]là khoảng phân li nghiệm của phương trình f(x) = Q (1). Tìm
nghiệm thực gần đúng của phương trình (l) trên [a9b] với sai số không vượt
quá £ cho trước.
b) Nộỉ dung của phương pháp

-

Thay cung AB bởi dây trương cung ÁB.

AB cắt trục hoành tại điểm (Xj,0).
Nếu I Xj - a\ < £ thì xl là nghiệm gần đúng cần tìm.

-

Nếu không, lặp lại phương pháp dây cung với khoảng phân li mới (xpố)
hoặc (ữ,jCj) tùy theo tích chất của /(x).
+ Nếu /(Xj)./ (a) < 0 thì (a,Xj) là khoảng phân li mới +

Nếu /(Xj)./ (a) > 0 thì (x15ố) là khoảng phân li mới.
Với khoảng phân li nghiệm mới (x15ố), tính được nghiệm gần đúng x2 bằng
phương pháp dây cung.
-

Quá trình lặp kết thúc khi tìm được nghiệm gần đúng xn có sai số Ax„ .

Đe xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lồi lõm của
đường cong /(x). Giả sử / và /' không đổi dấu trên [a,b].

Công thức tính nghiệm Trường họp 1: /'(x)./"(x) > 0


- Chọn xữ=a

phương trình đường thẳng AữB là:
X, là nghiệm của hệ:
y - f { x o) =XỊZ±Ọ
< f ( b ) - f ( x ữ ) b-x0
.y = 0 - Ở bước thứ n , phương
trình đường thẳng A B là:

f(xữ)(b-xữ)
f { b ) - f { x „)'

y-fM = x-x„
f{b)-f{xn) b-xn'
xn+1 là nghiệm của hệ:

y f b« )
\f(b)-f(x
si ’
b=°

)

_ ^H+l ~ X n
rí \(u_ \
b - x = > X j = X------------------------- " — - b ^ v ớ i x = a .
f(b)-f{xn)

Trường hợp 2: /'(x)./"(x) < 0

X

0


-

Chọn x ữ = b .

-

phương trình đường thẳng Ả B 0 là:

^

\

“—— •

/(«)-/(*o) «-*0

X, là nghiệm của hệ:
y - f [ x o) =XỊZ*L
x=0

=> Xj

=
*0

/(x0)(«-x0)
(a)-/(x0) '

/

- Ở bước thứ n, phương trình đường thẳng A B là:
y-f{*n)
f{b)-f{xn)

b

~xn

xn+1 là nghiệm của hệ:
y-fM

=

< /(ữ)-/(x„) a - x n ,T =
0

H= X
+1
V

f(xn)(axn)

với x0 = b .

Từ hai trường hợp trên, ta rút ra công thức tính nghiệm chung:
, =, f { x . ) ụ - x . )
• " • /(Trong đó:

d = b,xữ=anếu f ( b ) cùng dấu với /"(x) hay (/'(x)./"(x) > 0) . d = a , x ữ = b nếu f ( a ) cùng dấu với /"(x) hay
(/'(x)./"(x) < 0) .


c) Đánh giá sai sổ của phương pháp dây cung

Gọi a là nghiệm đúng của phương trình/(x) = 0 (1), /(x) liên tục trên [.X ,a](hoặc \a,x ]nếu /'(x)./"(x)< 0) và /(x)có
đạo hàm trên (x ,a) (hoặc (a,x )nếu /'(x)./"(x)<0).
Nếu số M,m thỏa mãn: 0 < m < /'(x) < M(o0, Vx e [a,b] thì có thể chọn sai
số tuyệt đối giới hạn cho X là: Ax =l^í_iẵ hoặc Ax =———|x -x_j|.
m

m
Chứng minh: Áp dụng định lí Lagrange

“ Cho hàm số /(x) liên tục trên \a,b\, có đạo hàm trong khoảng (a,ố) thì tồn tại một sổ ce(a,ố) sao cho: /(ố)-/(a)
= /'(c)(ố-a) ” ta có: f { x n ) - f { a ) = f'{c){xn-«),Vc<=(x„,a)c(a,ố). Vì /(«) = 0 và 0Như yậy, để đánh giá độ chính xác của nghiệm nhận

suy ra xn -a\<-

I/OOI
m
được bằng phương pháp dây cung ta có thể sử dụng công thức
I„ A J f M \ ^ m a x { \ f ( x ị x e [ a , b ] }
X - a <1—-—- <--------- ------ -----------------

|/(x„)|
hay Ax = —-—-.
m
m
m
Ngoài ra, nếu biết hai giá trị gần đúng liên tiếp, ta có:
■

1

f ( d ) - f ( Z ) n Z - d ' ■ -'>■

Vì a là nghiệm đúng của phương trình /(x) = 0 (1) nên ta có thể viết:
f { a ) - f ( x n X ) = ^ X n ^~J^d\xn - x n X ) .
n-\ Q

X

Áp dụng định lí Lagrange, ta có:
f'(cl)(a-xnl) = f(a)-f(xnl),Vclf'{ci){xn X ~ d ) = f{xn x)-f{d)^c2
1^ ) Suy ra
f\cl)(a-xn_l) = f(a)-f(xn_l)=f^Xn^_fy\xn-xn_l)
x

n-l a


=

f'(c 1 )(x

-d)

) = /1( x

ị

X _J - d

Vậy / , (ci)(a-^+^-^-i) = /'(c 2)(x B -x B _ 1 ) .
Hay /,(ci)(ữ-x») = [/'(c2)-/,(ci)](x»

|/'M
Theo giả thiết ta có: |/'(c2)-/'(c1)| < |M - w| .
~ Ar A _|

I M - wI
I
Do đó: Axn = xn -a\ =----------xn -xn_! .
m

Như yậy ta có hai công thức đánh giá sai số:
^=lZMhoặcAx>=^ik_^ 1.
m

m

d) Sự hội tụ về nghiệm:
Giả sử a là nghiệm đúng của phương trình /(x) = 0 (1). Dãy các nghiệm gần đúng :
- Trong trường họp 1: a = x0 < Xj < x2 <... < xn < a < b .
Dãy {x } tăng nghiêm cách và bị chặn trên bởi a, nên: limx = a .
-

Trong trường hợp 2: a < a < x < X _J <... < Xj < x0 = b .

Dãy {x } giảm nghiêm cách và bị chặn dưới bởi a , nên: limx = a .
X—>00

e) Ưu nhược điểm của phương pháp dây cung:
-

Ưu điểm: Có thuật toán đơn giản, biết X chỉ cần tính một giá trị của
/(x )để tính X +1 . Nhanh hơn thuật toán chia đôi.

- Nhược điểm: Tốc độ hội tụ về nghiệm chậm, chỉ hội tụ tuyến tính.
2.5.

Phương pháp Newton
a) Bài toán: Giả sử /'(x) và /"(x) không đổi dấu trên (a,ố) và f ( a ) . f ( b ) < 0. Tìm nghiệm thực gần đúng của
phương trình /(x) = 0(l) trên [a,b] với sai số không vượt quá £ cho trước.
b) Nội dung phương pháp


Ý tưởng chủ đạo của phương pháp Newton là thay phương trình f (x) = 0 (1) phi tuyến đối với

X

bằng phương

trình gần đúng, tuyến tính đối với X, cụ thể.

Thay đường cong /(x) trên [a,b] bởi tiếp tuyến [T) với đường cong tại điểm A hoặc B. Hoành độ giao điểm Xị của
(r)với trục hoành xem như nghiệm gần đúng của phương trình /(x) = 0 (1).
Đe xây dựng công thức tính nghiệm của phương pháp Newton ta xét:
- Trườnghọpl: /'(x)./"(x)> 0.

-

Cho xồ=b

Phương trình tiếp tuyến (ro) với /(JC) tại điểm Bữ [xồ,f (x0)) là:

(ro) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ Xị là nghiệm của hệ
ừ-/(^) = /'U)(Jci-xo)_

ừ=0

/(*»)

* * rứ'

xì xem như là nghiệm gần đúng của phương trình f ( x ) = 0 (1), nếu cần chính xác hơn ta thay x ồ bởi Xj, lặp
lại tính toán ừên để tính x 2 (chính xác hơn Xj). Lặp lại cho đến khỉ đạt độ chính xác theo yêu cầu.


c) Công thức tính nghiệm tổng quát
Giả sử ở bước thứ n , xác định được nghiệm gần đúng x n thi:
Phương trình tiệp tuyến (r ) với / (x) tại điểm B n [ x n ĩ f { x n )) là:

(r) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ xn+1 là nghiệm của hệ
Ịy-f(x,)=f'{x,)(xntl-xn)

ừ=0
-

f(xn)

"+l

"

/'¿V

Trường hợp 2 : /*(JC)./H(X) < 0

Xét /'(x)> 0,/"(x)< 0 (trường họp /'(x) < 0,/"(x) > 0 tương tự)

-

Cho x ữ = a

Phương trình tiếp tuyến (ro) với /(x) tại điểm 4>(xo>/(xo)) là: ^-/(xo) = /'(xo)(x-xo)(r ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ Xj là nghiệm của hệ

-

0

y - f ( x « ) = f ' M ( x , - x « ) ^ r = r /(*.)
h=0
'=0 /'(*„)

Xj xem như là nghiệm gần đúng của phương trình /(x) = 0 (1), nếu cần chính xác hơn ta thay x 0bởi Xj, lặp lại tính


toán trên để tính x2 (chính xác hơn Xj). Lặp lại cho đến khi đạt độ chính xác theo yêu cầu.
Giả sử ở bước thứ n , xác định được nghiệm gần đúng X thì: