Luận văn điểm bất động và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (430.99 KB, 44 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư
PHẠM HÀ NỘI 2
Lời
Lờicam
cảmđoan
ơn
ĐINH THỊ NGOAN
Tôi xin bày
cam tỏ
đoan
Lê Đình
văn: hướng
Điểm
lòngdưới
biết sự
ơn hướng
sâu sắcdẫn
tới của
TS. TS.
Lê Đình
Định,Định
thầyluận
đã định
bất
là côngdẫn,
trình
nghiên
củacóriêng
tôi. thành luận văn
chọnđộng
đề tàivàvàứng
tận dụng
tình hướng
giảng
giảicứu
để tôi
thể hoàn
này.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu
ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG
Tôi cũng
xinkhoa
bày tỏ
ơn chân
tớiơn,
phòng
Sau đại
thầy
cô
của
các nhà
họclòng
với biết
sự trân
trọngthành
và biết
các thông
tinhọc,
tríchcác
dẫn
trong
giáo dạy
học chuyên
ngànhgốc.
Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội
luận
văn cao
đã được
chỉ rõ nguồn
2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nội, SĨ
tháng
12 HỌC
năm 2015
Tácngành:
giả Toán giải
LUẬN VĂNHà
THẠC
TOÁN
Chuyên
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
tích Mã số : 60 46 01 02
đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn.
Đinh Thị Ngoan
Người hướng dẫn khoa học TS. Lê Đình Định
Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả
Đinh Thị Ngoan
HÀ NỘI, 2015
Mở đầu
trình sai phân, tập hợp sắp thứ tự, các định lí điểm bất động được dùng để
4. Đối
tượng và phạm vi nghiên cứu
nghiên cứu trong chương sau.
Điểm bất động và ứng dụng của điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn định,
Chương 2 của luận văn trình bày về sự tồn tại nghiệm, tính ổn định, tính không
tính không ổn định, tính đơn điệu của phương trình sai phân dạng:
1. Lí
chọn
tài tính đơn điệu của phương trình sai phân.
ổn do
định,
tính đề
bị chặn,
t \ tí \
X™
_
Pxl
Xn +1
g{xtại,
—.
Mở
đầu,
n )f{x
n - 1) duy
n +1 = điểm bất động
Bài
toán 3nghiên
cứu
sự=tồn
tính
nhất
là một
Chương
của luận
văn
trình
bày
về và
áp xdụng
của các
định
lí của
điểmánh
bấtxạđộng
và
1
X
Mục lục
+ n-1
số
kiến
thức
chuẩn
bị cứu
vấn
đề
thời
sự Một
thu hút
được
sự
quan
tâm
của tính
các nhà
toán tính
học trên
thếổngiới
và
ứng
dụng
của
điểm
bất
động
vào
nghiên
ổn định,
không
định,
Chương
1.
5. Phương pháp nghiên cứu
đạt
được
nhiều
kếtphương
trọng.
Với
một
không
gianphân
X nào đó và / : X —>•
tính
đơn
điệu
của
trình
saicủa
phân
dạng:
Khái
niệm
vềquả
tínhquan
ổn
định
phương
trình sai
4
1.1.
một
ánh xạ.
Điểm
G
XAmman
thỏatích
mãn
x ữ = f(x o) được
gọi là điểm bất động
•X là
Các
phương
pháp
của
giải
hàm.
bất X
động
t \ tí
\ X ™
Pxn
7
1.2. Định lí điểm
x n + 1 = g { X n ) f { X n - 1) và x n+1 =
" —.
1
X
của ánh xạ /. vấn đề đặt ra là với những điều kiện nào+củan-1
không gian X và ánh
số kết
quả về tính
định của
phương
trình sai phân
• 1.3.
Các Một
phương
pháp
củaổn
phương
trình
sai phân.
1
xạ / thì / có điểm bất động và khi nào điểm bất động đó là duy nhất.
2. Chương
Mục đích
cứu
3
Sự tồn
tại nghiệm của phương trình sai phân phi
2. nghiên
6. tuyến
Những
tàixuất hiện từ đầu thế kỷ XX. Công trình đầu tiên
Các địnhđóng
lý về góp
điểmcủa
bất đề
động
• Giúp hiểu về định lý điểm bất động Amman trong các không gian sắp17
thứ
là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và Nguyên lý ánh xạ co Banach
Sự tồn
tạibày
nghiệm
trình
phân
Luận
trình
đượccủa
mộtphương
áp dụng
củasai
định
lý điểm bất động Amman
17và
2.1tự.
. văn
(1922), trong đó Nguyên lý ánh xạ co Banach là định lý điểm bất động đơn giản
ứng
của định
lý này
nghiên
cứusai
tính
ổn định, tính không ổn định,
Nghiệm
đơn điệu
củavào
phương
trình
phân
19
2.2.dụng
•
Áp
dụng
định
lý
đó
để
xét
sự
tồn
tại
nghiệm,
định,
ổn
và được sử dụng rộng rãi. về sau, các kết quả kinhtính
điểnổnnày
đã tính
đượckhông
mở rộng
tính
đơn
điệubịcủa
phương
trình sai phân dạng:
Tính
chặn
của nghiệm
22
2.3.
định,
tính
bị
chặn,
tính
điệu
củakhác
phương
trình
sai phân.
ra nhiều lớp ánh xạ và các đơn
không
gian
nhau
và được
ứng dụng rộng rãi
í \f( bị chặn \
X PXn
điệu—không
26
2.4. Nghiệm đơn
*£n+1
9\p^n)ỉ\p^n—
l) VỄ1 3?n+l — 7
1
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Một trong
+ x n- 1những ứng dụng của
định địa
phương
31
2.5. Sự
3. Nhiệm
vụổnnghiền
cứu
nó là xét sự tồn tại nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu,
37
ứng
dụng
Chương
3.
tính
bị chặn
phương
sai phânđể
phi
sẽ tại
được
đề cập
trong
luận
Áp dụng
địnhcủa
lý điểm
bất trình
động Amman
xéttuyến
sự tồn
nghiệm,
tính
ổn định,
37
3.1.này.
văn
Nộiổn
dung
luận
văn
được
khảocủa
chủphương
yếu trong
tàisai
liệuphân.
щ 16].
Giải
phương
trình
phân
tính
không
định,của
tính
bịsai
chặn,
tính tham
đơn điệu
trình
Dáng
điệu
của 03
phương
trình
3.2. văn
Luận
được
cấutoàn
trúccục
thành
chương:
ßx
•^n+l
Chương 1 lđược
để trình bày một số kiến thức cơ bản về phương
+ x k dành
n— 1
42
5
1
Tài liệu tham khảo
5
321
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.
Khái niệm về tính ổn định của phương trình sai phân
Mục này trình bày các khái niệm về tính ổn định của phương trình sai phân
tổng quát.
Định nghĩa 1.1. Phương trình sai phẫn cấp k + 1 là phương trình có dạng
*^n +1
f {x n ĩ %ĩl— 1 5 • • • 5 ^n— f c ) J ^
0,1,...
(1.1)
trong đó f là một hàm liên tục ánh xạ tập J k+ 1 vào J. Tập hợp J có thể là
một khoảng hay đoạn của M, hoặc là hợp của các khoảng hoặc J c z.
Định nghĩa 1.2. Một nghiệm của phương trình fll.l| ) ỉà một dẫy {x n }™ = _ k
mà thỏa mãn (1.1) với mọi n > 0.
Nếu phương trình (1.1) có các điều kiện ban đầu
*£—fc+ij • ■ ■ 5 Zo € J
thì
Xl = f{x 0 ,x_ 1, . . .,x_ k )
x 2 = f{xl,x 0 , . . .,x_ k +1 )
và do đó nghiệm {^n}“=_fc của (1.1) tồn tại với mọi n > —k và được xác định
duy nhất nhờ các điều kiện ban đầu.
Một nghiệm của phương trình (1.1) là hằng số với mọi n > —k được
gọi là một nghiệm căn bằng của phương trình (1.1). Nghĩa là, nếu
x n = X Vn > —k
là một nghiệm căn bằng của phương trình (1.1), thì X được gọi là một
điểm căn bằng của phương trình (1.1).
Định nghĩa 1.3. (Tính ổn định) Ta nói rằng một điểm cân bằng X của
phương trình (1.1) là:
2
(i) Ôn định địa phương nếu với mọi e > 0, tồn tại ô > 0 sao cho nếu
{x n }n=-k là một nghiệm của phương trình (1.1) mà
\x_ k - x\ + \xi- k - x\ H------------1- \x 0 - x\ < ô
thì
\x n — x\ < e, Vn > —k.
7
(ỉỉ) Ồn định tiệm cận địa phương nếu X là ổn định địa phương và tồn tại
7 > 0 sao cho nếu {^n}°°=_fc là một nghiệm của phương trình (1.1) mà
\x_ k - x\ + \xi_ k - x\ -{ -----------1- |aj0 - x\ < 7
thì
lim x = X.
ĩl —>00
n
5
(%%%) Hút toàn cục nếu với mọi nghiệm {x n }™ = _ k của phương trình (1.1)
ta có
lim x n = X.
ĩl —>00
(ỉv) Ôn định tiệm cận toàn cục nếu X là ổn định địa phương và X cũng là
một điểm hút toàn cục của phương trình (1.1).
(v) Không ổn định nếu X không ổn định địa phương.
(vi) Điểm gốc (source) nếu tồn tại r > 0 sao cho với mỗi nghiệm
{^n}“=_fc của phương trình (1.1) mà
0 < \x_ k — x\ + \xi-k — x\ + ---------\- \x 0 - x\ < r
thì tồn tại N > 1 sao cho
\x N — x\ > r.
Rõ ràng từ định nghĩa trên ta thấy một điểm gốc là một điểm không ổn
định của phương trình (1.1).
Giả sử / là hàm khả vi liên tục trong một lân cận mở nào đó của điểm X.
Đặt
Pi = ^-{x, X , . . . , x ) với ỉ = 0,1,..., k ƠUị
là đạo hàm riêng của f(uo, U i , . . . , U ỵ ) theo các biến U ị tại điểm cân bằng
X của phương trình (1.1). Khi đó phương trình
Vn+1 = PũZn + PlZ n -i ^--h PkZ n -k, n = 0 , 1 , . . .
6
(1.2)
Tương tự, cận dưới đúng của Y được định nghĩa là cận dưới lớn nhất
được gọi là phương trình tuyến tính hóa của phương trình (1.1) tại điểm cân
của Y.
bằng X , và phương trình
Ta kí hiệu các tập hợp ự và lị với г = 0,
— 1 như sau:
X k + 1 - p 0 X k ------------p k - l \ - p k = 0
(1.3)
( x i , x i + i ) nếu G(x) > X với X G ( x ị , x i + i )
! ? = { (!- 4) 0
nếu trái lại,
được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.2) tại điểm cân bằng
X.
vá
( x i , x i + 1)nếu G ( x ) < X với X G ( x i , x i + 1)
{
1.2. Địnhкlí=điểm
bất động Amman
1
nếu
trái
lại.
(1-5)
Để thuận tiện chúng ta định nghĩa một số thuật ngữ được sử dụng trong các
Đặt
m—1
m— 1
phần tiếp theo. F = {ж 0,..., x m } , J + = IJ /+, và J - = IJ I ;
(1.6)
г=0
г=0
Định nghĩa 1.4. Một tập hợp X được gọi là tập sắp thứ tự nếu và chỉ nếu X
Khi đó, ta thấy
khác rỗng và với mọi cặp (x, y) G X X X có quan hệ < thỏa mẫn:
К п = 0 và l ị u I Ị = ( X ị , x i + i ) với i = 0,1,..., m - 1,
(i) Tính phản xạ: X < X với mọi xễI;
và
(ũ) Tính phản đối xứng: nếu X +< y và y < X thì X = y,
[ x 0 , x m ] = J и J“ и F.
(1.7)
(ỉỉỉ) Tính bắc cầu: nếu X < y và y < z thì X < z.
Định nghĩa 1.7. Toán tủT : X —»■ X gọi là đơn điệu tăng nếu với mọi ф, Ф
Định
nghĩa
Cho X
ẽ X mà
ф < 1.5.
Ф thìTỘ
< Тlàфtập
. sắp thứ tự và Y c X. Khi đó Y được gọi là một
xích (chain) trong X nếu và chỉ nếu Y khác rỗng và với mọi x,y eY thì hoặc
Bây giờ, ta xét không gian B [ x 0 , x m ] gồm tất cả các hàm không giảm và
X < y hoặc y < X.
không âm xác định trên đoạn [ x 0 , x m ] . Quan hệ thứ tự < trên B [ x 0 , x m ] đã
Định
nghĩanghĩa
1.6. Cho
X là tập sắp thứ tự và Y c X. Khi đó u G X được gọi là
được định
như sau.
mộtVới
chặn
ф , trên
Ф ecủa
B [ xY0 ,nếu
x m ] ,vàtachỉ
nói nếu
rằngX < u,Vx G Y. Điểm y GY được gọi là
cận trên đúng của Y nếu X < y , V x € Y và y < u với mọi cận trên u của Y. Kí
ф < Ф 8
hiệu y = sup(y).
neu
(b) Giả sử ộ e M, khiộ {đó
x )với
< ĩmọi
p ( xi) = 0,1,.
với X G.. J, +m - 1,
( x ) với X evới
J~ X
X i ộ=( xộ){ x >
i ) ĩ=p 0(a;)
(1-8)
=
vớiẼ X e F.
X i , với X
Cho Ỉ B kí hiệu là ánh xạ đồng
nhất trongkhông gian B [ x ữ , x m]
i+ 1 = 0(ẽ ỉ+ i) > 0(2;)
e I [ , với
M c B [ x 0, x m ] được định nghĩa bởi
Xi = ệ(Xị) < ệ{x)
X e ự,
ậo(x) = <
ệ ( x ) =i Ị ) ( x )
và cho
□
= { ộ echứng
B[x 0,®m]
và như vậy ệ 0 < ệ . Bổ đề
minh.: ộ < i B } .
Bổ
đề 1.2. Cho hàm f vàMg được
thỏa mãn giả
thiết
(1.9)
H l1.1.
) fG
ơ[[0,
oo)];fl
ơ[[0,(1.9).
oo), [0,
Bổ (đề
Xét
tậpoo),
M [0,
được
choe bởi
Khioo)];
đó các phát biểu sau đây là
đúng:
(H2) g là tăng và f là không tăng;
(a) H àm
/ xác định bởi
(H3) Hàm G được
Xi
với X = Xi,
ộ ữ ( x ) = < X i+ 1
1,
i=
0,1,..., 771,
G{xX) =
g (, x )i f=( x ) sao cho tồn
tại m
với
€ự
0,1,...,
(1-10)
những điểm x ữ , x i , x 2 , x 3 , . . . , x m , như sau:
Xị
với X & ự, ỉ =
1,
—
0,1,..., m
x 2 , xM.
3 , . . . , x m < oo,
/à một phần tử của 2tập < XQ, Xị, hợp
—
(1.12)
(b) Với
ệo m,
< ộ.
v à smỗi
a o ệc h o m &
ỗ i Mta
i = có
0,...,
Chứng minh, (a) Bởi
) (
G ( xvì
i ) Xi
= õ
với mọi ỉ = 0,1,...,
m
sau đó áp dụng cho phương
— 1,trình
ạxị
õiị
= i 5 (:r)
x
■^71+1
1 + ì- 1
với n =
với0,1,
ÍC =2 X i ,
=
M x )hằng
ịX 1 > iB(x)
với / 3 , k là những
số.
i +
với
(1.13)
X e Ự,
Xi<ỉB{x)
với X £ ự ,
G i ả s ử ệ , ĩ Ị ) ẽ B[x0, x m \ và ĩ] : [0, 00) —»■ [0, 00) là một hàm không
và hiển nhiên 00 £
giảm, thì các mệnh đề sau là đúng:
10
( a) ệ < l ị ) ==>- 77 o ệ < 77 o ‘ I p;
Hơn nữa, vì 77 < i B và Ф < ỈBi nên
( b) ệ € M =!. g~' o ộ € M;
( c ) ộ, 7] G M =>■ 77 o ộ e M;
77 о ф < ĩ ) о i ß = 77 < % в,
và và
nhưệ vậy
о ф £ộМo. 77 < ĩỊ j o 77;
( d) ộ, 77 e M
<ij)77 ==>■
G Mộ 2ta
£ (xị,x
f ẽM và(c)ộ <Dolị)77=>•
, trong
đói +ội)2 =taộcó
o ộ và ĩị) 2 = ĩp o ìp. Chứng minh.
Xị = rỉ(xị)
2,
< ĩ)(x) < rỉ(xị) = xi+1.
Vì vậy,
3
Ĩ ] ( F ) = F, r/(J +0(x)
) С J=+ VK
u F,
С&
J - F,u F.
') và 77(J-)
với X
ộ < ìp ==>■ < ệ ( x ) < 1p ( x )
Từ Ф < î p , ta thấy rằng
với ĨỄ J+,
ự>(:r) > VK 3') v<3i X & J ~
ф о rj < Ip о TỊ.
ĩ](ệ(x))
(d) Từ (a), (c) và (d ) ta suy ra
ĩ](ệ(x))
=
với X £ F,
<
với X e J+,
Ф < Ф => ф 2 = ф о ф < ф о , ф < ' ф о ' ф = 'ф 2 .
ĩ ] ( ộ ( x ) ) > ĩ ] ( ĩ ị ) ( x ) ) với X £
Bổ đề được chứng minh.
J~
□
-<=>- 77 o ộ < 77 o i/j.
(a) Theo giả thiết (H3) và kết hợp với (1.4), (1.5), (1.8) và (1.9) ta có điều phải
Tiếp theo chúng tôi trình bày một vài định lí điểm bất động được sử dụng
chứng minh.
trong các phần sau. Trước tiên, định lí điểm bất động hữu ích của Amman
(b) Vớipp.
ÍC 506-507]
€
IỊTTỊ,
ta có
Định lý 1.1. Giả sử X ^0
là một
< 0(^
tập
0) hợp
< 0(^)
có <
thứ
ộ{x
tự, )giả
= sử T : X —>• X là một
m
toán tứ trên X và thỏa mãn các điều kiện sau:
và do đó ệ ( [ x ữ , x m ] ) c [x 0,^m]. Khi đó với ĩ ] và ộ ẽ -M ta có
(a) Toán tử T : X —»■ X77ỉà
điệu
tăng trên X;
O0đơn
e B[Ẽ
0 ,Ẽ m ].
1112
(b) Mọi chuỗi trên X có cận trên đúng;
(c) Có một phần tử ộ ữ £ X mà 00 < Tộ 0.
Khi đó T có một điểm cố định nhỏ nhất trong tập {ộ ẽ X '■ ộo < ộ}.
Định lý Ll vẫn còn đúng nếu cận trên đúng được thay thế bởi cận dưới đúng
trong ý (b) và 00 < Tệ ữ được thay thế bởi Tộ0 < 00 trong ý
(c).
1.3. Một số kết quả về tính ổn định của phương trình sai phân
Kết quả sau được gọi là Định lý ổn định tuyến tính hóa rất hữu ích trong việc
xác định tính ổn định địa phương của điểm cân bằng X.
Định lý 1.2. (P, Theorem 1.1 p.3]) Giả sử f là hàm khả vi liên tục trong một
lân cận nào đó của X . Khi đó các điều sau là đúng:
1. Nếu mọi nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) có modun nhỏ
hơn ỉ, thì điểm cân bằng X của phương trình (1.1) là ổn định địa
phương.
2. Nếu có ít nhất một nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) có
modun lớn hơn 1, thì điểm cân bằng X của phương trình (1.1) là
không ổn định.
3. Nếu mọi nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) có modun lớn hơn 1,
thì điểm căn bằng X của phương trình (Ịl.lb là điểm gốc.
13
Điểm cân bằng X của phương trình (ỊTTTỊ) được gọi là điểm hyperbolic
nếu không có nghiệm nào của phương trình đặc trưng (1.3) có modun
bằng 1, trái lại ta gọi điểm cân bằng X của phương trình (1.1) là điểm không-
hy p erbolic.
Điểm cân bằng X của phương trình (Ịl.lh được gọi là điểm yên
ngựa nếu X là hyperbolic và tồn tại một nghiệm của phương trình đặc
trưng (1.3) có modun nhỏ hơn 1 và một nghiệm khác của phương trình
•-■ĩ-
đặc trưng (1.3) có modun lớn 1. Đặc biệt, một điểm yên ngựa cân bằng
là không ổn định.
Kết quả dưới đây đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính ổn đinh tiệm cận của
điểm cân bằng tại gốc 0 của phương trình sai phân bậc hai
x n + 2 + p x n+1
+
qxn =
(1.14)
0, n = 0,1,
Định lý 1.3. Giả sử p,q € M thì điều kiện cần và đủ để phương trình (1.14)
ổn định tiệm cận ỉà:
\p\ < 1 + Q < 2.
(1.15)
Phương trình sai phẫn
*£71+1 F { x n i
...,
77/
0,1,...,
được gọi là ổn định (permanent) nếu tồn tại các số c và D với 0 < c < D <
00 sao cho thỏa mãn điều kiện ban đầu
Xo £ (0,oo), tồn
tại số nguyên dương N mà phụ thuộc vào điều kiện ban đầu sao cho
c < x n < D với n > N.
14
Định
Cáclýđịnh
1.5. lý
Giả
sausửtừf PH]
€ ơ[(0,
(hoặc
oo)[9J
X và
(0,Ị8j)
oo),đưa
(0, ra
oo)],
cácfđiều
( u , vkiện
) là đủ
không
về tính
giảm
ổntheo
định uvàvà
hútgiảm
toàn theo
cục của
V các
và phương
u f ( u , v trình
) là không
sai phân
giảm
phi tuyến
theo u.
có dạng
Giả sứ rằng
phương trình sai phăn
x n +1 %nf {%n 5 Z'n — ki 5 • • • ) Z'Tl—kr ) J ^
(1.16)
x n+ 1 = x n f ( x n , x n - 1 ) , n = 0,1,....
0,1,....
(1.20)
Định lý 1.4. Cho ki < . . . < k r = k là các số nguyên dương và giả sứ hàm f
có một điểm cân bằng dương là X . Khỉ đó X ỉà ổn định tiệm cận toàn cục.
thỏa mãn điều kiện sau:
(a) f
€ơ[(0,oo) X
g ( u ữ , u 1,
[0, oo)r, (0, oo)] và g e ơ[[0, oo) r+1,(0, oo]] thì
, . . . , u r ) = u Q f ( u ữ , u 1, , . . . , u r ) v ớ i ĩ i ữ £ (0, oo) v à u ữ , u 1,
,...,ur £
[0, oo), v à
g { 0, Mo, « 1,u r ) = lim g ( u o , «1, u
UQ —^ 0 +
r
) ;
(b) H àm f ( u 0 , U ị , u r) l à kh ôn g t ăn g t he o u ữ , U i , u r;
(c) Phương trình
f ( x , x , ......., x ) = l
(1.17)
có duy nhất một nghiệm x\
(d) Hàm f ( u ữ , u i , . . . . , u r ) hoặc không phụ thuộc vào u 0 hoặc với mọi
> 0 và u > 0,
[/(z,w,...........,u) - ĩ ( x , u , . . . . , u ) ] { x - x ) < 0
với
[ f ( x , x , . . . , x ) — f ( x , x , . . . ,õf)](x — x ) < 0 v ớ i x/ĩ. (1.19)
Khỉ đó phương trình (1.16) ỉà ổn định.
15 16
(1.18)
Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của phương
trình sai phân phi tuyến
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phương trình sai phân phi tuyến có
dạng sau
*n+i = g ( x „ ) J ( x n . i) vđi n = 0,1,2 ....
(2.1)
ở đó f , g là các hàm số thỏa mãn (H1)-(H3) ở trong Bổ đề 1.2 trong Chương 1.
2.1.
Sự tồn tại nghiệm của phương trình sai phân
Bổ đề 2.1. Cho M được định nghĩa bởi (1.9) và với mọi ệ € M, đặt
ự ệ ) ( x ) = g- 1
■
Khi đó những mệnh đề sau là đúng:
(a) Vói mọi xích trong M có một cận trên đúng;
(b) T \ M M\
(c) Toán tử T là đơn điệu tăng trong M;
(d) Nếu 00 được định nghĩa bởi (1.10),
thì ệũ < Tệo
17
< 2-2 )
Chứng minh.
(a) Chứng minh từ tính chất cận trên nhỏ nhất và cận dưới lớn nhất của số thực.
(b) Từ Bổ đề
1.2 (b) và
(c) (c)
Từ ta có T
:Bổ
M M.
đề
d? ĩb ^
ó^
ĩb 2
2
2
1
1.2
ộ<
=* ộ < ệ =* Ỷ < Ỷ =* g- o Ợj) < g~' o Ọj)
Tộ < T ĩ p .
(e)
và
(a)
(d) Chứng ta
minh từ Bổ đề 1.1 (b) và thấy rằng ộo e M điều này suy ra Tộ ữ e M . □
suy
ra
Định lý 2.1. Giả sử ta có các điều kiện (H1)-(H3) là đúng. Khi đó những
phát biểu sau là đúng:
(a) Tồn tại ơ G M sao cho
T ơ =ơ ,
(b)
ơ(x) < X với X €
J +, ơ ( x ) > X v ớ i X
€ J~, ơ(x) = X vói
Chứng minh.
X E F.
(a) Đây là hệ quả của Bổ đề 2.1 và Định lý Ịl.lỊ
18
(2.3)
(b) Ta chứng minh nếu ơ ( x ) = X thì X e F. Thật vậy, ta có
ơ ( x ) = X =>• ơ ( ơ ( x )) = ơ ( x ) = X
/ N ểm \ / \
- 1 cr(cr(íc)) \
1
f { x ) J \ f/{ x ) J '
Do đó X = g ( x ) f ( x ) và vì vậy X e F. Điều phải chứng minh.
□
Bổ đề 2.2. Cho £_1 G [xo,a: m] và cho ơ là nghiệm của phương trình
(2.3). Khi đó dãy {:cn} được định nghĩa bởi
x n = ơ ( x n _ l ) , n = 0,1,....
(2.4)
thỏa mãn phương trình sai phẫn (2.1).
Chứng minh. Đặt x ữ = ơ { x _ i ) , thì
-1 ( g(gQc-i)) ’
V ỉ{x-i) .
ơ
điều này tương đương với
ơ{ơ{x_l)) = g{ơ{x_l))f{x_l),
nghĩa là
Xi = g(xữ)f(x_i).
Bằng phép quy nạp ta thu được dãy {x n} là nghiệm của phương trình
(2-1)- □
2.2. Nghiệm đơn điệu của phương trình sai phân
Định lý 2.2. Giả sử rằng (H1)-(H3) là thỏa mãn, thì các phát biểu sau là
đúng:
19
(a) Với mọi ỉ = 0,1,..., m — 1 mà lị Ỷ 0; tồn tại một nghiệm của
phương trình (2.1) là
xn = ơ(xn_ i ) , 71 = 0 , 1 , . . . .
với X_1 G ự mà {:r n} là dãy không giảm và
lim x n = x i +1 .
n—¥ 00
Hơn nữa nếu f là hàm giảm, thì nghiệm {x n} là tăng.
(b) Với mọi i = 0,1,..., m — 1 mà ự Ỷ 05 tồn tại một nghiệm của
phương trình { 2 A ) l à
x n = ơ ( x n _ i), ra = 0,1,.... v ớ i
£_1 G ự m à { x n } là d ẫ y không tăng và
lim x n = Xị.
ĩl—>00
Hơn nữa nếu f là hàm giảm, thì nghiệm {x n} là giảm.
Chứng minh.
(a) Vì lị Ỷ 0) theo Bổ đề 2.2 và Định lý 2.1, ta có tồn tại ơ e M sao
cho với X € lị , X < ơ ( x ) < X i + 1- Do đó, dãy
x n = ơ ( x n - i ) , n = 0,1,...,
với X -1 G L thỏa mãn
X ị + 1 > x n > xn_i với n > 0.
Do đó,
lim x n = X i + 1.
n—> 0o
20
Hơn nữa, từ Bố đề 2.2 ta thu được { x n} là một nghiệm của phương trình
( 2. 1) .
Bây giờ, giả sử / là một hàm giảm. Để chứng minh {z n} là tăng ta chứng
minh hàm ơ là tăng. Giả sử trái lại rằng, tồn tại hai điểm x ' , x " G [ x ữ , x m ]
sao cho x ' < x " và ơ ( x ' ) = ơ ( x " ) . Khi đó, ơ ( ơ ( x ' ) ) = ơ(ơ(x"Ỵ) và
-1 ( ơ i ơ { x " ) ) \
suy ra f ( x f ) = f { x " ) .
f{x")
Điều này mâu thuẫn với giả thiết / là hàm giảm. Vậy ơ là hàm tăng hay {x n}
tăng.
(b) Trong trường hợp dãy được định nghĩa bởi
x n = ơ ( x n _ i), 71 = 0,1,
(2.5)
trong đó X - 1 G l ị là một nghiệm của (2.1) sao cho
lim
xn
=
Xị.
Hiển nhiên, khi / là hàm giảm thì nghiệm (2.5) là giảm hoàn toàn. Bổ đề
□
được chứng minh.
Định lý 2.3. Giả sử cắc giả thiết (H1)-(H3) ỉà thỏa mãn và cho x ữ = 0 và IQ
Ỷ 0- Nếu các điều kiện ban đầu Z_1 và x ữ được chọn là
£-1 > Xữ và x ữ G IQ ,
thì nghiệm {£n} của phương trình (2.1) là giảm và
lim
n—¥
=
00
xn
XQ
21
Chứng minh. Từ (2.1), (1.7) và (Hl) ta có
Xi = g ( x 0 ) f { x - i ) < g ( x 0 ) f ( x 0 ) < x 0 < X ị .
Bằng phép quy nạp ta thấy rằng
xn <
£n _i
< Xí, n = 0 ,1 ,
do đó
lim x n = l < X 1
suy ra
lim x n = x 0 = 0,
n—> oo
□
suy ra điều phải chứng minh.
2.3. Tính bị chặn của nghiệm
Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ cho tính bị chặn của tất cả các
nghiệm của phương trình (2.1)
Định lý 2.4. Giả sử các giả thiết (H1)-(H3) là đúng và ở đó tồn tại các số
L , p , q e [0, 00) v à A , B e (0, 00) s a o c h o
Và
g(x) < Axp với X > L
(2.6)
B
f ( x w) < — v ớ i X >
L. x i
(2.7)
Giả sử thêm rằng
hoặc p = 0 hoặc 0 < p 2 < 4q.
22
(2.8)
Khi đó, tất cả nghiệm của phương trình (2.1) đều bị chặn trên bởi một hằng
số dương.
Chứng minh.
Trường hợp 1: Giả sử hàm g là bị chặn. Khi đó tồn tại c > 0 sao cho
g(x ) < c với X € [0, oo).
Do / là hàm không tăng, nên
f { x ) < /(0) với X e [0, co).
Khi đó, với n = 0,1,...
x n+1 = g ( x n ) f ( x n - 1) < C f ( 0)
và mọi nghiệm của phương trình (2.1) đều bị chặn trên bởi hằng số dương.
Trường hợp 2: Ta xét trường hợp khi hàm g không bị chặn. Do p > 0 và
lim g ( x ) = 00.
(2.9)
x—^oo
Giả sử trái lại rằng, tồn tại nghiệm {x n} của phương trình (2.1) mà bị chặn. Khi
đó tồn tại một dãy con {x n .} sao cho
lim x n . = 00.
i — ¥ 00
Vì / là không tăng nên f ( x ) < /(0) và vì vậy
x n i = g { x n i - i ) ĩ { x n i - 2 ) < g { x n i - 1)/(0).
Do đó,
lim g ( x n . - i ) f ( 0 ) = oo
ỉ —> oo
23
và từ (2.9),
lim X . - 1 = 00.
n
✓
Ap dụng quy nạp ta có
lim x n .- k = oo với k = 1,2,_________
i —>oo
(2.10)
Xét dãy {ajfc} được định nghĩa bởi
ữfc_i(p - a k ) =
(2.11)
q với h = 1,2,...
a0
= p.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một số nguyên N > 1 sao cho
a N < 0 và d ị > 0 với i = 0,1,..., N — 1.
(2.12)
Nếu p 2 < q thì ữi < 0 và (2.12) được chứng minh
Nếu p 2 > q . Ta giả sử trái lại rằng
ữj > 0 với k = 0,1,
(2.13)
Khi đó, với từ (2.8) và (2.11) với A: > 1, ta có 1 > a ỵ và
lim = l > 0.
k—>00
Lấy giới hạn trong (2.11) ta có
l 2 — pl + q = 0.
(2.14)
Do (2.8) nên phương trình (2.14) không có nghiệm thực, điều này là mâu
thuẫn.
Bây giờ, từ (2.10) tồn tại một số nguyên N ữ sao cho
x n .- k > L với i > N 0 và k = 0,1,..., N + 2.
24
Chú ý rằng với ỉ
>
N ữ và Ả; = 0,1, ..., N,
%Ui — kQ^pCĩii
— (fc+l))/(‘^n í
ABq
(fc+2))—
—
X nị-{k+ l)
oc
(2.15)
m-{k+ 2)
Và như vậy
lim n Hi k— = 0, với A; = 0,1,..., N.
HOŨ X7 1 , — ( f c + l )
(2.16)
Từ (Ị2.11D , (|2.12| ) và (|2.15| ), ta có với i > N 0 và j, k = 0,1,..., N,
T. ,
xp~aì
X qla k 7 x
ÍT. ,
y /Qq/a-k*_1
< AB ^zt± = AB^zl = AB
X
<,-1-1
<-j-2
l-j-2
\<,-)-2Ì
Bắt đầu với j — 0 và k — N và lặp lại bất đẳng thức (2.17) N lần, ta có
X
X
í
< A B Ì 1 " ‘ < A B (a NA-i B {
O
j
V
-
l
/
aN —
ĩli-l
Ui-2
__ / Ạ
— Ị *^7iị
__—
2
= (AB) I ^Ẹầ
ũi — 3
trong đó
r=
i+
N
a
1
V
m N~
1
—
a
ĩiị — 3
2
'
a
N
— 1
X
r i i - N -!■
(2.18)
N -1 i
£n
2
JV
ữjV-
i=l j=1
> 0 và s =
n
O/v-
> 0.
Từ (2.16) và (2.18) ta có
lim x n x n % = 0.
i __V.
*
i —>00
Mặt khác, vì a N < 0 nên từ (2.10) ta có
lim Xn.x^ = oo,
điều này là mâu thuẫn.
□
Định lí được chứng minh.
25
2.4.
Nghiệm đơn điệu không bị chặn
o•
•
o
•
•
Mục này trình bày hai định lý về điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm
đơn điệu không bị chặn của phương trình (2.1).
Định lý 2.5. Giả sử các giả thiết (H1)-(H3) được thỏa mãn và tồn tại số L e
(0, 00) sao cho
G(x ) = g ( x ) f ( x ) > X v ớ i X e [ L , oo).
(2.19)
Khi đó tất cả các nghiệm { x n } của phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu
Xo > X-1 > L
là đơn điệu tăng và
lim x n = 00.
n—¥ 00
(2 .20 )
Chứng minh.
Vì / là giảm nên ta có /(x_i) > f ( x ữ ) và
X
1 = g { x 0 ) f ( x _ 1 ) > g { x 0 ) f ( x o) > x 0 > L .
Từ đó bằng phương pháp quy nạp
x n > X n -1 > L với n = 0,1,-------Nếu {x n} không bị chặn thì (2.20) đúng và định lí được chứng minh.
Mặt khác, nếu {a: n} là bị chặn thì { x n } hội tụ và tồn tại l > L sao cho
lim x n = l .
26
(2 .21 )
Lấy giới hạn cả hai vế của phương trình (2.1) ta thu được l = g ( l ) f ( l )
điều này mâu thuẫn với (2.19).
Định lý được chứng minh.
□
Nếu thêm các giả thiết (H1)-(H3), ta phải giả sử thêm điều kiện (H4) dưới
đây là đúng:
(H4) Tồn tại L G (0, 00) sao cho
(2 .22 )
G ( x ) = g ( x ) f ( x ) < X với X e [ L , oo),
và tồn tại một hàm tăng -0 : [ L , 00) — > [ L , 00) sao cho
X < , ộ('ệ(x)) < g { ' ệ { x ) ) ĩ { x ) với X G [L,oo).
(2.23)
Cho M ị là tập hợp các hàm được định nghĩa bởi
M ị = { ệ : [ L , 00) —»■ [ L , oo) : ộ không giảm và X < ệ ( x ) < i Ị ) ( x ) , X >
L},
(2.24)
và cho T là toán tử xác
{ T ệđịnh
) { x )trên
= gM ị bởi
với ộ
G
Mị.
(2.25)
Bổ đề 2.3. Giả sử ta có các giả thiết (Hl)-(Hị). Khi đó những khẳng định
sau là đúng:
( a ) Mọi xích trong Mị đều có cận dưới đúng;
( b ) T : Mệ Mị,
( c ) Với mọi ậ , r ) G M ị m à ộ < ĩ ] t a c ó T ộ < T r } ]
(d) T ồ n t ạ i ơ G M ị s a o c h o T ơ = ơ ;
27
( e ) ơ l à h à m k h ô n g g i ả m v à ơ ( x ) > X v ớ i m ọ i X e [ L , oo); ( Ị )
V ớ i X -1 € [£,oo) t h ì
xn = ơ(xn-1), n = 0 , 1 ,
thỏa mẫn phương trình (2.1)
Chứng minh.
(a) Chứng minh được suy ra từ tính chất cận dưới lớn nhất của số thực,
(b) Với ệ G Mị, thì với mọi X G [L, 00) ta có
X < ộ(x) < iỊ){x)
và
X < ộ ( ộ ( x ) ) < X )).
Từ (Ị2.22D và ( Ị2.23D ta có
fix) ỉix)
điều này suy ra T ệ ( x ) G M ị .
(c) Đây là hệ quả trực tiếp của định nghĩa của T và tính đơn điệu
của hàm / và g .
(d) Được chứng minh từ Định lí Ịl.lỊ
(e) Vì ơ e M ị là hàm không giảm và
ơ ( x ) > X với X E [ L , oo),
Giả sử ngược lại là ở đó tồn tại X £ [ L , oo) sao cho ơ ( x ) = X . Khi đó
X
x
Ji ).
= Tơ(x) = ơ(x) = X.
28
điều này mâu thuẫn với (2.22). Vậy
ơ ( x ) > X , Væ £ [L,oo).
(f) Chứng minh của f) là tương tự với chứng minh của Bổ đề
2.2
□
Bổ đề sau đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại của hàm I p thỏa mãn
(2.23).
Bổ đề 2.4. Giả sứ các giả thiết (H1)-(H3) được thỏa mãn, G(x ) < X với X >
L, và giả sử rằng tồn tại các số А, в £ (0, oo ),p £ (2,oo) và q G (1, 00)
sao cho
p 2 > 4q
(2.26)
vă
g ( x ) > Ax p v à f ( x ) > — v ớ i X € [L, oo).
(2.27)
Khi đó, hàm
I p ( x ) = C x m v ớ i X G [ L , 00)
với
2
p------- y /1p---------<
p + л/р2 m
<
--------------------4q
k h2i p >
(2.28)
k h i p = 4ợ
2
và
С > тах{(Л5)
m
thoả mãn bất đẳng thức
ц <тф<ф.
29
},
(2.29)
Chứng minh. Bất đẳng thức Tĩp < lị) là tương đương với
'ệ(tp{x)) < g(ip(x))f(x).
Từ (2.27) ta thấy rằng
g { i p { x ) ) f { x ) > g { ì p { x ) ) — > A B ( C x m Ỵ x ~ 9 = ABC p x mp - q . (2.30)
Từ (2.29) cho ta kết quả
ABC P =
c m+1 .
>
(2.31)
Hơn nữa từ (2.28) và mp — q > m tã thu được
xmp
q
> x™ 2 với X e [L, oo).
(2.32)
Kết hợp (2.30), (2.31) và (2.32) ta có
g ( i j ) ( x ) ) f ( x ) > c m +1 x m2 =
với X £ [L, oo).
Cuối cùng, từ (2.29) ta có
/ x \ m—1
— ịjrj
X > X với X e[ L , oo).
ĩ p ( x ) = Cx >
m
và vì vậy
Chứng minh được hoàn thành.
Định lý sau đây thiết lập sự tồn tại của nghiệm đơn điệu không bị
chặn của phương trình (2.1).
Định lý 2.6. Giả sử các giả thiết (Hl)-(HẠ) thỏa mãn. Khi đó tồn tại
một nghiệm của phương trình (2.1) cho bởi
x n = ơ ( x n _ i), n = 0,l,.... 30
□
