Luận văn điểm bất động và ứng dụng

B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O T Ạ O
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

Đ IN H T H Ị N G O A N

Đ IỂ M B Ấ T Đ Ộ N G VÀ Ứ N G D Ụ N G

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C
C h u y ê n n gàn h : T o á n g iả i tíc h
M ã số : 60 46 01 02

N gười hướng dẫn khoa học

T S . Lê Đ ìn h Đ ịn h

H À N Ộ I, 2 0 1 5


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Đình Định, thầy đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
T ác g iả

Đ in h T h ị N g o a n


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Đình Định luận văn:
Đ i ể m b ấ t đ ộ n g v à ứ n g d ụ n g là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
T ác g iả

Đ in h T h ị N g o a n


M ục lục
M ở đầu,
C h ư ơ n g 1. M ộ t số k iế n th ứ c c h u ẩ n b ị
1 . 1 . Khái niệm về tính ổn định của phương trình sai phân

4

1 .2 . Định lí điểm bất động Amman

7

1.3. Một số kết quả về tính ổn định của phương trình sai phân

13

C h ư ơ n g 2. S ự tồ n tạ i n g h iệ m c ủ a p h ư ơ n g tr ìn h sa i p h â n p h i
tu y ế n

17

2 .1 . Sự tồn tại nghiệm của phương trình sai phân

17

2 .2 . Nghiệm đơn điệu của phương trình sai phân

19

2.3. Tính bị chặn của nghiệm

22

2.4. Nghiệm đơn điệu không bị chặn

26

2.5. Sự ổn định địa phương

31

C h ư ơ n g 3. ứ n g d ụ n g
3.1. Giải phương trình sai phân

37

37

3.2. Dáng điệu toàn cục của phương trình
ßx
•^n+l

l + x nk—1

42
51

T ài liệ u th a m k h ảo

52


M ở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất điểm bất động của ánh
xạ là một vấn đề thời sự thu hút được sự quan tâm của các nhà toán
học trên thế giới và đạt được nhiều kết quả quan trọng. Với một không
gian X nào đó và / : X —>• X là một ánh xạ. Điểm

X

G X thỏa mãn

x ữ = f ( x o) được gọi là điểm bất động của ánh xạ / . vấn đề đặt ra là với
những điều kiện nào của không gian X và ánh xạ / thì / có điểm bất
động và khi nào điểm bất động đó là duy nhất.

Các định lý về điểm bất động xuất hiện từ đầu thế kỷ XX. Công trình
đầu tiên là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và Nguyên lý ánh
xạ co Banach (1922), trong đó Nguyên lý ánh xạ co Banach là định lý
điểm bất động đơn giản và được sử dụng rộng rãi. v ề sau, các kết quả
kinh điển này đã được mở rộng ra nhiều lớp ánh xạ và các không gian
khác nhau và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của
toán học. Một trong những ứng dụng của nó là xét sự tồn tại nghiệm,
tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu, tính bị chặn của phương
trình sai phân phi tuyến sẽ được đề cập trong luận văn này. Nội dung
của luận văn được tham khảo chủ yếu trong tài liệu щ 16].
Luận văn được cấu trúc thành 03 chương:
Chương 1 được dành để trình bày một số kiến thức cơ bản về phương
1


trình sai phân, tập hợp sắp thứ tự, các định lí điểm bất động được dùng
để nghiên cứu trong chương sau.
Chương 2 của luận văn trình bày về sự tồn tại nghiệm, tính ổn định,
tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu của phương trình sai
phân.
Chương 3 của luận văn trình bày về áp dụng của các định lí điểm bất
động và ứng dụng của điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn định, tính
không ổn định, tính đơn điệu của phương trình sai phân dạng:
t

\ tí

\

X ™

x n+ 1 = g { X n ) f { X n - 1) và x n+1 =

Pxn

"— .
1 + Xn-1

2. M ục đích nghiên cứu
• Giúp hiểu về định lý điểm bất động Amman trong các không gian
sắp thứ tự.
• Áp dụng định lý đó để xét sự tồn tại nghiệm, tính ổn định, tính
không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu của phương trình sai
phân.

3. N h iệm vụ nghiền cứu
Áp dụng định lý điểm bất động Amman để xét sự tồn tại nghiệm, tính
ổn định, tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu của phương
trình sai phân.

2


4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Điểm bất động và ứng dụng của điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn
định, tính không ổn định, tính đơn điệu của phương trình sai phân dạng:
t
\ tí
Xn+ 1 = g{xn)
f { x n- 1 )\ Xvà™x n+1 _=

Pxl

—.

1 + X n-1

5. Phương pháp nghiên cứu
• Các phương pháp của giải tích

hàm.

• Các phương pháp của phương trình sai phân.

6. N hữ ng đóng góp của đề tài
Luận văn trình bày được một áp dụng của định lý điểm bất động Amman
và ứng dụng của định lý này vào nghiên cứu tính ổn định, tính không
ổn định, tính đơn điệu của phương trình sai phân dạng:
í \f(
\l)X
*£n+1 — 9\p^n)ỉ\p^n—

VỄ1 3?n+l —PXn7
1 + x n- 1

3


Chương 1
M ột số kiến thứ c chuẩn bị

1.1. K hái niệm về tín h ổn định của phương trình sai
phân
Mục này trình bày các khái niệm về tính ổn định của phương trình sai
phân tổng quát.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 . Phương trình sai phẫn cấp k + 1 là phương trình có
dạng
*^n+

1

f { x n ĩ %ĩl—1 5 • • • 5 ^ n —fc) J

^

0,1,...

(1 .1 )

trong đó f là m ột hàm liên tục ánh xạ tập J k+1 vào J. Tập hợp J có thể
là m ột khoảng hay đoạn của M, hoặc

là hợp

của các khoảng hoặc

J c z.

Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 . Một nghiệm của phương trình fll.l|) ỉà m ột dẫy { x n}™=_k
mà thỏa mãn (1.1) với mọi n > 0.
Nếu phương trình (1.1) có các điều kiện ban đầu

*£—

fc+ij • ■■5Zo € J

thì
Xl = f { x 0,x _ 1 , . . . , x _ k)
x 2 = f { x l , x 0, . . . , x _ k+1)


và do đó nghiệm {^n} “=_fc của (1.1) tồn tại với mọi n > —k và được xác
định duy nhất nhờ các điều kiện ban đầu.
Một nghiệm của phương trình (1.1) là hằng số với mọi n > —k được
gọi là m ột nghiệm căn bằng của phương trình (1.1). Nghĩa là, nếu
xn = X
là m ộ t n g h i ệ m c ă n b ằ n g

Vn > —k

của phương

trình

(1.1),

thì X

được

g ọ i là m ộ t

điểm căn bằng của phương trình (1.1).
Đ ịn h n g h ĩa 1 .3 . (Tính ổn định) Ta nói rằng m ột điểm cân bằng

X

của

phương trình (1.1) là:
2
(i) Ôn định địa phương nếu với mọi e > 0, tồn tại ô > 0 sao cho nếu
{ x n}n=-k là m ột nghiệm của phương trình (1.1) mà
\x_k - x\ + \ x i- k - x\ H------- 1- \x0 - x\ < ô
thì
\xn — x\ < e,

Vn > —k.

7

(ỉỉ) Ồn định tiệm cận địa phương nếu

X

là ổn định địa phương và tồn tại

7 > 0 sao cho nếu {^n}°°=_fc là m ột nghiệm của phương trình (1.1)

mà
\x_k - x\ + \xi_k - x\ -{------- 1- |aj0 - x\ < 7
thì

lim x n
ĩl—
>00

5

= X.


(%%%) Hút toàn cục nếu với mọi nghiệm { x n}™=_k của phương trình (1.1)
ta có
lim x n = X.
ĩl—
>00
(ỉv) Ôn định tiệm cận toàn cục nếu X là ổn định địa phương và X cũng
là m ột điểm hút toàn cục của phương trình (1.1).
(v) Không ổn định nếu X không ổn định địa phương.
(vi) Điểm gốc (source) nếu tồn tại r > 0 sao cho với mỗi nghiệm
{^n}“=_fc của phương trình (1.1) mà
0 < \x_k — x\ + \xi-k — x\ + ----- \- \x0 - x\ < r
thì tồn tại N > 1 sao cho
\xN — x\ > r.

Rõ ràng từ định nghĩa trên ta thấy một điểm gốc là một điểm không
ổn định của phương trình (1.1).
Giả sử / là hàm khả vi liên tục trong một lân cận mở nào đó của
điểm X. Đặt
Pi = ^ - { x , X , . . . , x) với ỉ = 0 , 1 , . . . , k
ƠUị
là đạo hàm riêng của f(uo, Ui , . . . , Uỵ) theo các biến Uị tại điểm cân bằng

X của phương trình (1.1). Khi đó phương trình
Vn +1 = PũZn + P l Z n - i ^--------- h P k Z n - k ,

6

n = 0,1,...

( 1 .2 )


được gọi là phương trình tuyến tính hóa của phương trình (1.1) tại điểm
cân bằng X, và phương trình
Xk+1- p 0Xk ----------p k- l \ - p k = 0

(1.3)

được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.2) tại điểm cân
bằng X.

1.2. Đ ịnh lí điểm bất động A m m an
Để thuận tiện chúng ta định nghĩa một số thuật ngữ được sử dụng trong
các phần tiếp theo.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .4 . Một tập hợp X được gọi là tập sắp thứ tự nếu và chỉ
nếu X khác rỗng và với mọi cặp (x, y) G X X X có quan hệ < thỏa mẫn:
(i) Tính phản xạ: X < X với mọi x ễ I ;
(ũ) Tính phản đối xứng: nếu

X

< y và y <

(ỉỉỉ) Tính bắc cầu: nếu X < y và y < z thì

X

X

thì

X

= y,

< z.

Đ ịn h n g h ĩa 1 .5 . Cho X là tập sắp thứ tự và Y c X . Khi đó Y được
gọi là m ột xích (chain) trong X nếu và chỉ nếu Y khác rỗng và với mọi
x , y e Y thì hoặc

X <

y hoặc y

< X.

Đ ịn h n g h ĩa 1 .6 . Cho X là tập sắp thứ tự và Y c X . Khi đó u G X
được gọi là m ột chặn trên của Y nếu và chỉ nếu X < u,Vx G Y. Điểm
y

g

Y được gọi là cận trên đúng của Y nếu X < y , Vx € Y và y < u với

mọi cận trên u của Y. K í hiệu y = su p (y ).


Tương tự, cận dưới đúng của Y được định nghĩa là cận dưới lớn nhất
của Y.
Ta kí hiệu các tập hợp ự và lị với г = 0,
( x i , x i+i)

nếu G ( x ) >

X

— 1 như sau:

với

X

G ( x ị , x i+i)

!?= {

(!-4)
0

nếu trái lại,

vá
( x i , x i + 1 )nếu

к

G(x) <

X

với

X

G ( x i , x i + 1)

= {

(1-5)
0

nếu trái lại.

Đặt
m—1

F = {ж0, . . . , xm},

m —1

J + = I J /+ , và J - = I J I ;

г= 0

( 1 .6 )

г= 0

Khi đó, ta thấy
К п

= 0 và lị u I Ị =

( Xị ,

x i+i) với i = 0 , 1 , . . . , m - 1,

và
[x0, x m] =

J + и J “ и F.

(1.7)

Đ ịn h n g h ĩa 1 .7 . Toán t ủ T : X —»■X gọi là đơn điệu tăng nếu với mọi
ф, Ф ẽ X mà ф < Ф th ìT Ộ < Т ф .
Bây giờ, ta xét không gian B[ x0, x m] gồm tất cả các hàm không giảm
và không âm xác định trên đoạn [x 0, x m]. Quan hệ thứ tự < trên B[ x0, x m]
đã được định nghĩa như sau.
Với ф, Ф e B[ x0, x m], ta nói rằng
ф< Ф
8

neu

ộ{x) <

ĩp(x)

với

ộ(x) >

ĩp(x)

với X e J~

ệ( x) =

iỊ)(x) với

Cho ỈB kí hiệu là ánh xạ đồng

X

X

G J+
(1-8)

e F.

nhất trong không gian B[ x ữ, x m] và cho

M c B[ x 0, x m] được định nghĩa bởi
M = { ộ e B [x0,®m] : ộ < i B}.

(1.9)

B ổ đ ề 1.1. X é t tập M được cho bởi (1.9). Khi đó các phát biểu sau đây
là đúng:
(a) Hàm

/
Xi
ộữ(x ) = < Xi+1
Xị

với X = Xi,

i = 0 , 1 , . . . , 771,

với X € ự ,

i = 0 ,1 ,..., m —

1,(1-10)

với X & ự ,

ỉ=

1,

/à m ột phần tử của tập

0,1,..., m —

hợp M.

(b) Với mỗi ệ & M ta có ệo < ộ.
C h ứ n g m in h , (a) Bởi vì

i B{x)

Xi <

rằng với mọi ỉ = 0 , 1 , . . . , m

< Xi

x) =

ị Xi

+ 1

> iB (x)

X i < ỉ B {x)

và hiển nhiên 00 £

với X € [xi,xi+i\, ta thấy

— 1,

õiị = i 5 (:r)
M

+ 1

vớ i ÍC = Xi ,

với X e Ự ,
vớ i X £ ự ,


(b) Giả sử ộ e M , khi đó với mọi i = 0 ,1 ,.

..

Xi = ộ { x i ) = 0 (a;)

ậo(x) = < Ẽi + 1 = 0 (ẽ ỉ+i) > 0 (2 ;)
Xi = ệ(Xị) < ệ{x)

, m - 1,
với X = Xi,
với X e I [ ,
với X e ự ,

và như vậy ệ 0 < ệ. Bổ đề được chứng minh.

□

B ổ đ ề 1.2. Cho hàm f và g thỏa mãn giả thiết
( Hl ) f G ơ[[0, oo), [0, oo)];fl e ơ[[0, oo), [0, oo)];
(H2) g là tăng và f là không tăng;
(H3) Hàm G được xác định bởi
G {x ) = g( x ) f ( x )
sao cho tồn tại những điểm x ữ, x i , x 2, x 3, . . . , x m, như sau:
0 < XQ, Xị, x 2, x 3, . . . , xm < oo,

(1 .12)

và sao cho mỗi i = 0 , . . . , m,
G(xi) = õtị và G ( x ) ^ X vì X G ( xi , xi+i)
sau đó áp dụng cho phương trình
ạxị
■^71+1

với n = 0,1, 2

(1.13)

1 + xì - 1

với /3,k là những hằng số.
Giả sử ệ,ĩỊ) ẽ B[x0, x m\ và ĩ] : [0, 00 ) —»■ [0, 00 ) là m ột hàm không giảm,
thì các mệnh đề sau là đúng:

10


(a) ệ < lị) ==>- 77 o ệ < 77 o ‘Ip;

(b) ệ € M = ! . g~' o ộ

€ M;

(c) ộ, 7] G M =>■ 77 o ộ e M;
(d) ộ,

0,

77 e M và ệ < ij) ==>■ ộ o 77 < ĩỊj o 77 ;

f ẽ M và ộ < lị) =>• ộ 2 < ij)2, trong đó ộ 2 = ộ o ộ và ĩị)2 = ĩp o ìp.

C h ứ n g m in h .
(a) Rõ ràng,
0(x) = VK3')

với X & F,

ộ < ìp ==>■ < ệ( x) < 1p(x)

với Ĩ Ễ J + ,

ự>(:r) >

VK3') v<3i X & J~

ĩ](ệ(x))

=

với X £ F,

ĩ](ệ(x))

<

với X e J + ,

ĩ](ộ(x)) > ĩ](ĩị)(x))

với X £ J~

-<=>- 77 o ộ < 77 o i/j.
(b) Theo giả thiết (H3) và kết hợp với (1.4), (1.5), (1.8) và (1.9) ta
có điều phải chứng minh.
(c) Với ÍC €

ta có

^0 < 0(^0) < 0(^) < ộ { x m )

=

và do đó ệ( [ xữ, x m]) c [x0,^ m]. Khi đó với ĩ] và ộ ẽ -M ta có

77 O0 e B[Ẽ 0 ,Ẽm].
11


Hơn nữa, vì 77 < i B và Ф < ỈBi nên
77 о ф < ĩ) о iß = 77 < %в,

và như vậy 77 о ф £ М .
(d) Do 77 G M ta có X £ ( x ị , x i+i) ta có
Xị = r ỉ ( x ị ) < ĩ ) ( x ) < r ỉ ( x ị ) = x i+ 1 .

Vì vậy,

Ĩ](F) = F,

r/(J+) С J + u F, và 77(J-) С J - u F.

Từ Ф < îp, ta thấy rằng
ф о rj < Ip о TỊ.
(e) Từ (a), (c) và (d ) ta suy ra
Ф < Ф = > ф2 = ф о ф < ф о ,ф < ' ф о ' ф = 'ф2.
Bổ đề được chứng minh.

□
Tiếp theo chúng tôi trình bày một vài định lí điểm bất động được sử
dụng trong các phần sau. Trước tiên, định lí điểm bất động hữu ích của
Amman IỊTTỊ, pp. 506-507]
Đ ịn h lý 1 .1 . Giả sử X là m ột tập hợp có thứ tự, giả sử T : X —>• X là
m ột toán tứ trên X và thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) Toán tử T : X —»■X ỉà đơn điệu tăng trên X ;

12


(b) Mọi chuỗi trên X có cận trên đúng;
(c) Có m ột phần tử ộ ữ £ X mà 00 < T ộ 0.
Khi đó T có m ột điểm cố định nhỏ nhất trong tập { ộ ẽ X '■ộo < ộ }.
Định lý L l vẫn còn đúng nếu cận trên đúng được thay thế bởi cận
dưới đúng trong ý (b) và 00 < T ệ ữ được thay thế bởi T ộ 0 < 00 trong ý
(c).

1.3. M ột số kết quả về tín h ổn định của phương trình
sai phân
Kết quả sau được gọi là Định lý ổn định tuyến tính hóa rất hữu ích trong
việc xác định tính ổn định địa phương của điểm cân bằng X.
Đ ịn h lý 1 .2 . (P , Theorem 1.1 p.3]) Giả sử f là hàm khả vi liên tục
trong m ột lân cận nào đó của

X.

Khi đó các điều sau là đúng:

1. Nếu mọi nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) có modun nhỏ
hơn ỉ , thì điểm cân bằng

X

của phương trình (1.1) là ổn định địa

phương.
2. Nếu có ít nhất m ột nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) có

modun lớn hơn 1, thì điểm cân bằng

X

của phương trình (1.1) là

không ổn định.
3. Nếu mọi nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) có modun lớn
hơn 1, thì điểm căn bằng

X

của phương trình (Ịl.lb là điểm gốc.

13


Điểm cân bằng

X

của phương trình (ỊTTTỊ) được gọi là điểm hyperbolic

nếu không có nghiệm nào của phương trình đặc trưng (1.3) có modun
bằng 1, trái lại ta gọi điểm cân bằng

X

của phương trình (1.1) là điểm

không- hy p erb olic.
Điểm cân bằng

ngựa nếu

X

của phương trình (Ịl.lh được gọi là điểm yên

X

là hyperbolic và tồn tại một nghiệm của phương trình đặc

trưng (1.3) có modun nhỏ hơn 1 và một nghiệm khác của phương trình
•-■ĩđặc trưng (1.3) có modun lớn 1. Đặc biệt, một điểm
yên ngựa cân bằng

là không ổn định.
Kết quả dưới đây đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính ổn đinh tiệm
cận của điểm cân bằng tại gốc 0 của phương trình sai phân bậc hai
x

n + 2

+ p x n+1 + q x n =

0,

n = 0,1,

(1.14)

Đ ịn h lý 1 .3 . Giả sử p ,q € M thì điều kiện cần và đủ để phương trình
(1.14) ổn định tiệm cận ỉà:
(1.15)

\p\ < 1 + Q < 2.
Phương trình sai phẫn
*£71+1

F { x ni

...,

77/

0 ,1 ,...,

được gọi là ổn định (permanent) nếu tồn tại các số
D < 00 sao cho thỏa mãn điều kiện ban đầu

c

và D với 0 <

c

Xo £ (0,oo), tồn

tại số nguyên dương N mà phụ thuộc vào điều kiện ban đầu sao cho

c

< x n < D với n > N.

14

<


Các định lý sau từ PH] (hoặc [9J và Ị8j) đưa ra các điều kiện đủ về
tính ổn định và hút toàn cục của các phương trình sai phân phi tuyến
có dạng
x n+1

%nf {%n 5Z'n—ki 5• • • ) Z'Tl—kr ) J

^

0 ,1 ,....

(1.16)

Đ ịn h lý 1 .4 . Cho ki < . . . < kr = k là các số nguyên dương và giả sứ
hàm f thỏa mãn điều kiện sau:
( a)

f € ơ [(0 ,o o ) X [0, oo)r, (0, oo)] và g e ơ[[0, oo)r+1,(0, oo]] thì

g(uữ, u 1 , ,.. ., u r) = uQf ( u ữ, u 1 , ,..., u r) với ĩiữ £ (0 , oo) v à u ữ, u 1 , ,..., u r £

[0, oo), và
g{0, Mo, « 1 ,

ur) =

lim g(uo, « 1 ,
Uq—
^0+

ur);

(b) H àm f ( u 0, U ị , u r) là không tăng theo u ữ, U i , u r;

(c) Phương trình
f ( x , x , ...... , x) = l

(1.17)

có duy nhất m ột nghiệm x\
(d) Hàm f ( u ữ, ui , . . . . , ur) hoặc không phụ thuộc vào u0 hoặc với mọi
X > 0 và u > 0,
[ / ( z ,w ,..... ,u ) - ĩ ( x , u, . . . . , u) ] { x - x ) < 0

(1.18)

với
[ f ( x , x , . . . , x) — f ( x , x , . . . ,õf)](x — x) < 0 với x / ĩ .
Khỉ đó phương trình (1.16) ỉà ổn định.
15

(1.19)


Đ ịn h lý 1 .5 . Giả sử f € ơ [(0 , oo) X (0, oo), (0, oo)], f ( u , v ) là không
giảm theo u và giảm theo

V

và u f ( u , v ) là không giảm theo u. Giả sứ

rằng phương trình sai phăn
xn+1 = x nf ( x n, x n- 1),
có m ột điểm cân bằng dương là

X.

n = 0 ,1 ,....

Khỉ đó

cục.

16

X

(1.20)

ỉà ổn định tiệm cận toàn

Chương 2
Sự tồ n tại nghiệm của phương trình
sai phân phi tu yến
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phương trình sai phân phi tuyến
có dạng sau
*n+i = g( x„) J( xn. i) vđi n = 0 ,1 ,2 . . . .

(2 .1)

ở đó f , g là các hàm số thỏa mãn (H1)-(H3) ở trong Bổ đề 1.2 trong
Chương 1.

2.1. Sự tồ n tại nghiệm của phương trình sai phân
B ổ đ ề 2 .1 . Cho M được định nghĩa bởi (1.9) và với mọi ệ € M , đặt
ựệ)(x) = g -1

■

Khi đó những mệnh đề sau là đúng:
(a) Vói mọi xích trong M có một cận trên đúng;
(b) T \ M

M\

(c) Toán tử T là đơn điệu tăng trong M;
(d) Nếu 00 được định nghĩa bởi (1.10), thì ệũ < Tệo
17

<2-2)

C h ứ n g m in h .

(a)

Chứng minh từ tính chất cận trên nhỏ nhất và cận dưới lớn nhất

của số thực.
(b) Từ Bổ đề 1.2 (b) và (c) ta có T : M

M.

(c) Từ Bổ đề 1.2 (e) và (a) ta suy ra
d?
ĩb^
ó^
ĩb2
=* ộ 2 < ệ 2 =* Ỷ < Ỷ =* g - 1 o Ợ j ) < g~' o Ọ j )

ộ <
(d)

Chứng minh từ Bổ đề 1.1 (b) và thấy rằng ộo

ra T ộ ữ e M.

e

T ộ < Tĩp.

M điều này suy
□

Đ ịn h lý 2 .1 . Giả sử ta có các điều kiện (H1)-(H3) là đúng. Khi đó
những phát biểu sau là đúng:
(a) Tồn tại ơ G M sao cho
T ơ = ơ,

(2.3)

(b)
ơ(x) < X với X € J + ,
ơ ( x ) > X với X € J ~ ,
ơ(x) =

X

vói

X

E F.

C h ứ n g m in h .
(a) Đây là hệ quả của Bổ đề 2.1 và Định lý Ịl.lỊ

18


(b) Ta chứng minh nếu ơ ( x ) = X thì X e F. Thật vậy, ta có

ơ ( x ) = X =>• ơ ( ơ ( x )) = ơ(x) = X
/ N
ểm \ / \
= > x = ơ(a;) = (T(r)(x) = ổ

Do đó

X

=

g(x)f(x)

và vì vậy

X e

/

f{x)

-1

J

cr(cr(íc)) \ 1/ X
= g

\f{x)J '

F. Điều phải chứng minh.

□

B ổ đ ề 2 .2 . Cho £ _1 G [xo,a:m] và cho ơ là nghiệm của phương trình
(2.3). Khi đó dãy {:cn} được định nghĩa bởi
x n = ơ ( x n_ l ),

n = 0 ,1 ,....

(2.4)

thỏa mãn phương trình sai phẫn (2.1).
C h ứ n g m in h . Đặt x ữ = ơ{x_i ), thì
- 1 ( g (g Q c -i))’

V ỉ{x-i)

ơ

.

điều này tương đương với
ơ { ơ { x _ l )) = g { ơ{ x_ l ) ) f { x _ l ),
nghĩa là
Xi = g( xữ) f ( x_i ) .
Bằng phép quy nạp ta thu được dãy { x n} là nghiệm của phương trình
(2-1)-

□

2.2. N gh iệm đơn điệu của phương trình sai phân
Đ ịn h lý 2 .2 . Giả sử rằng (H1)-(H3) là thỏa mãn, thì các phát biểu sau
là đúng:
19


(a) Với mọi ỉ = 0 , 1 , . . . , m — 1 mà lị Ỷ 0; tồn tại m ột nghiệm của
phương trình (2.1) là
x n = ơ ( x n_ i),

với X_1 G ự

71 = 0 , 1 , . . . .

mà {:rn} là dãy không giảm và
lim x n = xi+1.

n —¥00

Hơn nữa nếu f là hàm giảm, thì nghiệm { x n} là tăng.
(b) Với mọi i = 0 , 1 , . . . , m — 1 mà ự Ỷ 05 tồn tại m ột nghiệm của
phương trình {2A) là
x n = ơ ( x n_ i),
với £ _1 G ự

ra = 0 , 1 , . . . .

mà { x n} là dẫy không tăng và
lim x n = Xị.

ĩl—
>00

Hơn nữa nếu f là hàm giảm, thì nghiệm { x n} là giảm.
C h ứ n g m in h .
(a) Vì lị

Ỷ 0) theo Bổ đề 2.2 và Định lý 2.1, ta có tồn tại ơ e M sao

cho với X € lị , X < ơ(x) < Xi+1 - Do đó, dãy
x n = ơ ( x n- i ) ,

n = 0 ,1 ,...,

với X- 1 G L thỏa mãn
Xị+1 > x n > xn_i với n > 0.
Do đó,
lim x n = Xi+1 .

n —>0o

20


Hơn nữa, từ Bố đề 2.2 ta thu được { x n} là một nghiệm của phương trình
( 2 . 1 ).

Bây giờ, giả sử / là một hàm giảm. Để chứng minh { z n} là tăng ta
chứng minh hàm ơ là tăng. Giả sử trái lại rằng, tồn tại hai điểm

x' , x "

G

[xữ, x m] sao cho x' < x" và ơ(x') = ơ(x"). Khi đó, ơ(ơ(x')) = ơ(ơ(x"Ỵ)
và
-1 (

ơiơ{x"))\
f{x")

suy ra f ( x f) = f{x").
Điều này mâu thuẫn với giả thiết / là hàm giảm. Vậy ơ là hàm tăng
hay { x n} tăng.
(b) Trong trường hợp dãy được định nghĩa bởi
x n = ơ ( x n_ i ) ,
trong đó

X-

1

71

= 0,1,

(2.5)

G lị là một nghiệm của (2.1) sao cho
lim

x n = Xị .

Hiển nhiên, khi / là hàm giảm thì nghiệm (2.5) là giảm hoàn toàn.

□

Bổ đề được chứng minh.

Đ ịn h lý 2 .3 . Giả sử cắc giả thiết (H1)-(H3) ỉà thỏa mãn và cho x ữ = 0
và I q

ỷ

0- Nếu các điều kiện ban đầu Z_1 và x ữ được chọn là
£-1 > Xữ và x ữ G I q ,

thì nghiệm { £ n} của phương trình (2.1) là giảm và
lim

n —¥00

x n = XQ

21