20 bai tap thể tích có lời giải chi tiết

Bài 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích
của hình chóp.
Giải:
 Gọi O là tâm của mặt đáy thì SO  (ABCD ) do đó SO là đường cao
của hình chóp và hình chiếu của SB lên mặt đáy là BO,

do đó SBO  600 (là góc giữa SB và mặt đáy)

 BD

SO
 Ta có, tan SBO 
 SO  BO. tan SBO 
. tan SBO
BO
2
B
0
 a 2. tan 60  a 6
 Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là

S

A
60

D
O
C

2a

1
1
1
4a 3 6
B.h  AB.BC .SO  2a.2a.a 6 
3
3
3
3

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BAC = 300 ,SA = AC = a và SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC).Tính VS.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
V 

Giải
 Theo giả thiết, SA  AB , BC  AB , BC  SA
Suy ra, BC  (SAB ) và như vậy BC  SB
 Ta có, AB  AC . cos 300 

a
a 3
và BC  AC .sin 300 
2
2

SB  SA2  AB 2  a 2 

S
a

a

A

3a 2
a 7

4
2

C

B

 S ABC

1
1 a 3 a a2 3
1
a3 3
 AB.BC  
 
 VS .ABC  SA  S ABC 
2
2 2 2
8
3
24

 S SBC

1
1 a 7 a a2 7
 SB.BC  
 
2
2 2 2
8

 VS .ABC

3VS .ABC
1
a3 3
8
a 21
 d(A,(SBC )).S SBC  d (A,(SBC )) 
 3


2
3
S SBC
24 a 7
7

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và
(SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Giải
(SAB )  (ABCD )


 (SAD )  (ABCD )
 SA  (ABCD )

(SAB )  (SAD )  SA


S

A
a

60

D


B
 Suy ra hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC, do đó SCA  600
2a
C


SA
 tan SCA 
 SA  AC .tan SCA  AB 2  BC 2 . tan 600  a 2  (2a )2 . 3  a 15
AC
 S ABCD  AB.BC  a.2a  2a 2

1
1
2a 3 15
2
 Vậy, thể tích khối chóp S.ABCD là: V  SA.SACBD   a 15  2a 
(đvtt)
3
3
3

Bài 4. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích
của hình chóp.
Giải
 Gọi O là tâm của mặt đáy thì SO  (ABCD ) nên SO là đường cao
S
của hình chóp.
Gọi M là trung điểm đoạn CD. Theo tính chất của hình chóp đều
CD  SM  (SCD )


CD  OM  (ABCD)  SMO
 600 (góc giữa mặt (SCD ) và mặt đáy)


A
D
CD  (SCD )  (ABCD )

60
M

O

 BC
SO
0
 Ta có, tan SMO 
 SO  OM .tan SMO 
. tan 60  a 3 B
C
2a
OM
2
 Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là:
V 

1
1
1
4a 3 3
B.h  AB.BC .SO  2a.2a.a 3 
(đvtt)
3
3
3
3

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi D, E lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Biết rằng AB = 3, BC = 2 và SA = 6. Tính thể tích
khối chóp S.ADE.
Giải

2

2

2

2

 SB  SA  AB  3  6  3 5

SC  SA2  AC 2  SA2  AB 2  BC 2  62  32  22  7
S
SD
SA2
62
4
2
 SA  SD.SB 



E
SB
5
SB 2
(3 5)2
6
SE
SA2
62

36
2
D
 SA  SE .SC 

 2 
2
SC
49
A
SC
7
1
1
1
3
 VS .ABC   SA   AB  BC   6.3.2  6
B
3
2
6
VS .ADE
SA SD SE
SD SE
4 36
864





 VS .ADE 

VS .ABC  
6 
VS .ABC
SA SB SC
SB SC
5 49
245

C
2

Bài 6. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SA= a,
SB hợp với đáy một góc 300 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Giải
SA  (ABC )
 
 SA  AB và hình chiếu của SB lên (ABC)
AB  (ABC )


là AB, do đó SBA  300

1

S
a
A

30

C
B


 AB

 cot SBA 
 BC  AB  SA.cot SBA  a.cot 300  a 3
SA
1
1
3a 2
 S ABC  AB.BC  a 3.a 3 
2
2
2
1
1
3a 2
a3
 Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là: V  SAS
. ABC   a 

(đvtt)
3
3
2
2

Bài 7 Cho hình lăng trụ ABC .A B C  có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc
của A xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA C C ) tạo với đáy một góc
bằng 45 . Tính thể tích của khối lăng trụ này.
Giải
 Gọi H,M,I lần lượt là trung điểm các đoạn AB,AC,AM
 Theo giả thiết,
A H  (ABC ), BM  AC
Do IH là đường trung bình tam giác ABM nên
IH || BM  IH  AC
 Ta có, AC  IH , AC  A H  AC  IA

Suy ra góc giữa (ABC ) và (ACC A) là A IH  45o

A'
C'
A

1
a 3
 A H  IH . tan 45  IH  MB 
2
4

H
I

a

M

B

C

o

 Vậy, thể tích lăng trụ là: V  B.h 

B'

1
1 a 3
a 3
3a 3
BM .AC .A H  
a 

(đvdt)
2
2 2
2
8

Bài 8. Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAB là tam giác vuông cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi I là trung điểm cạnh AB.
1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuông góc với mặt đáy (ABC ) .
2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Giải
 Do SAB vuông cân tại S có SI là trung tuyến nên SI  AB
(SAB )  (ABC )


 AB  (SAB )  (ABC )  SI  (ABC )

AB  SI  (SAB )

 Gọi K là trung điểm đoạn AC thì IK ||BC nên IK  AC
Ta còn có, AC  SI do đó AC  SK

Suy ra, góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC) là SKI  600
 1
 Ta có, SI  IK . tan SKI   BC  tan 600  a 3
2

S

I

A

B

60

K

2a
C

và AB  2SI  2a 3  AC  AB 2  BC 2  2a 2
 Vậy, VS .ABC 

1
1 1
1
2a 3 6
 S ABC  SI    AC  BC  SI   2a 2  2a  a 3 
(đvtt)
3
3 2
6
3

2


Bài 9. Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2, SA  a 3 . Tính thể
tích khối chóp S.ABC theo a.

S

Giải
 Gọi M là trung điểm đoạn BC, O là trung điểm đoạn AM.
 Do ABC và SBC đều có cạnh bằng 2a nên
SM  AM 

2a 3
 SA  SAM đều SO  AM (1)
2

BC  SM

 Ta có, 
 BC  SO (2)
BC  OM

 Từ (1) và (2) ta suy ra SO  (ABC ) (do AM , BC  (ABC ) )
 Thể tích khối chóp S.ABC
V 

C

A

O

M
B

1
1 1
1
a 3. 3 a 3 3
 B  h    AM  BC  SO   a 3  2a 

(đvtt)
3
3 2
6
2
2


Bài 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác vuông tại A và AC = a, C  600 .

Đường chéo BC' của mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một góc 300 . Tính thể tích của
khối lăng trụ theo a.
Giải:
AB  AC
 Ta có, 
 AB  (ACC A) , do đó AC  là hình chiếu
AB  AA

vuông góc của BC  lên (ACC A) . Từ đó, góc giữa BC  và (ACC A)

là BC A  300
 Trong tam giác vuông ABC, AB  AC . tan 600  a 3
 Trong tam giác vuông ABC  , AC   AB. cot 300  a 3. 3  3a

a

A

60 C
B
30

A'

C'
B'

 Trong tam giác vuông ACC  , CC   AC   AC  (3a )  a  2a 2
2

2

2

2

1
1
 Vậy, thể tích lăng trụ là: V  B.h  AB.AC .CC    a 3  a  2a 2  a 3 6 (đvdt)
2
2
Câu 11. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính
diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình
chóp đã cho.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên
SO  (ACBD )
 Suy ra, OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mp(ABCD)

a 2
Do đó, SBO  600 . Kết hợp, r  OB 
ta suy ra:
2

S

A

60

3

B

D
O

C


a 2
a 6
 3
2
2
OB
a 2
l  SB 

a 2
cos 600
2  cos 600
h  SO  OB. tan 600 

 Diện tích xung quanh của mặt nón: S xq  .r .l   

a 2
 a 2  a 2 (đvdt)

2

1
1 a2 a 6
a 3 6
2
 Thể tích hình nón: V  .r .h    

(đvtt)
3
3
2
2
12

Câu 12. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SA=
a, SB hợp với đáy một góc 300 .Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
SA  (ABC )
 
 SA  AB và hình chiếu của SB lên (ABC)
AB  (ABC )


là AB, do đó SBA  300
 AB

 cot SBA 
 BC  AB  SA.cot SBA  a.cot 300  a 3
SA

1
1
3a 2
 S ABC  AB.BC  a 3.a 3 
2
2
2
1
1
3a 2
a3
 Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là: V  SAS
. ABC   a 

(đvtt)
3
3
2
2

Câu 13. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

6 , đường cao h = 2. Hãy tính diện tích của mặt

BÀI GIẢI CHI TIẾT.
 Giả sử hình chóp đều đã cho là S.ABC có O là chân đường cao xuất
phát từ đỉnh S. Gọi I là điểm trên SO sao cho IS = IA, thì
IS  IA  IB  OC  R
Do đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

 Theo giả thiết, SO = 2  IO  2  R
2
2 6. 3
AM  
 2
3
3
2
 Trong tam giác vuông IAO, ta có

và OA 

IA2  OI 2  OA2  R2  (2  R)2  2  4  4R  2  0  R 

3
2

 Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

 3 2
S  4R  4    9 (đvdt)
2 
Câu 14. Cho hình lăng trụ ABC .A B C  có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc
của A xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA C C ) tạo với đáy một góc
2

bằng 45 . Tính thể tích của khối lăng trụ này.
4

BÀI GIẢI CHI TIẾT.
 Gọi H,M,I lần lượt là trung điểm các đoạn AB,AC,AM
 Theo giả thiết,
A H  (ABC ), BM  AC
Do IH là đường trung bình tam giác ABM nên
IH || BM  IH  AC
 Ta có, AC  IH , AC  A H  AC  IA

Suy ra góc giữa (ABC ) và (ACC A) là A IH  45o
 A H  IH . tan 45o  IH 

1
a 3
MB 
2
4

 Vậy, thể tích lăng trụ là: V  B.h 

1
1 a 3
a 3
3a 3
BM .AC .A H  
a 

(đvdt)
2
2 2
2

8

Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với mặt đáy. Góc

SCB  600 , BC = a, SA  a 2 . Gọi M là trung điểm SB.
1) Chứng minh rằng (SAB) vuông góc (SBC).
2) Tính thể tích khối chóp MABC
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
BC  SA  (SAB )
 
 BC  (SAB ) (do SA cắt BC)
BC  AB  (SAB )

 Mà BC  (SBC ) nên (SBC )  (SAB )

 Ta có, SB  BC . tan SCB  a. tan 600  a 3
2

2

2

S

a 2

2

AB  SB  SA  (a 3)  (a 2)  a

 S MAB

60
C

A

1
1 1
a2 2
  S SAB    SA  AB 
2
2 2
4

 Thể tích khối chóp M.ABC: V 

M

a
B

1
1
1 a2 2
a3 2
 B  h   S MAB  BC  
a 
(đvdt)
3

3
3
4
12

Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A B C  có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, mặt

(A BC ) tạo với đáy một góc 300 và tam giác A BC có diện tích bằng a 2 3 . Tính thể tích khối
lăng trụ ABC .A B C  .
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
BC
 Do 
BC

BC

 Và BC

BC


 AB
 AA

 BC  A B (hơn nữa, BC  (ABB A) )

 AB  (ABC )
 AB  (A BC )



 ABA là góc giữa (ABC ) và (A BC )

 (ABC )  (A BC )

 Ta có, S A BC

2.S A BC
1
2.a 2 3


 A B.BC  A B 

 2a 3
2
BC
a

5



AB  A B. cos ABA  2a 3. cos 300  3a

AA  A B. sin ABA  2a 3.sin 300  a 3

 Vậy, Vl.t ruï  B.h  SABC .AA 

1
1

3a 3 3

 AB  BC  AA   3a  a  a 3 
(đvtt)
2
2
2

Câu 17. Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAB là tam giác vuông cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi I là trung điểm cạnh AB.
1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuông góc với mặt đáy (ABC ) .
2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
 Do SAB vuông cân tại S có SI là trung tuyến nên SI  AB
(SAB )  (ABC )

 AB  (SAB )  (ABC )  SI  (ABC )

AB  SI  (SAB )

 Gọi K là trung điểm đoạn AC thì IK ||BC nên IK  AC
Ta còn có, AC  SI do đó AC  SK

Suy ra, góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC) là SKI  600
 1
 Ta có, SI  IK . tan SKI   BC  tan 600  a 3
2
và AB  2SI  2a 3  AC  AB 2  BC 2  2a 2
 Vậy, VS .ABC 

1
1 1
1
2a 3 6
 S ABC  SI    AC  BC  SI   2a 2  2a  a 3 
(đvtt)
3
3 2
6
3

Câu 18. Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2, SA  a 3 . Tính thể
tích khối chóp S.ABC theo a.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
 Gọi M là trung điểm đoạn BC, O là trung điểm đoạn AM.
 Do ABC và SBC đều có cạnh bằng 2a nên
SM  AM 

2a 3
 SA  SAM đều SO  AM (1)
2

BC  SM
 Ta có, 
 BC  SO (2)
BC  OM

 Từ (1) và (2) ta suy ra SO  (ABC ) (do AM , BC  (ABC ) )
 Thể tích khối chóp S.ABC
V 

1
1 1
1
a 3. 3 a 3 3
 B  h    AM  BC  SO   a 3  2a 

(đvtt)
3
3 2
6
2
2

Câu 19. Cho một hình trụ có độ dài trục OO   2 7 . ABCD là hình vuông cạnh bằng 8 có các đỉnh nằm
trên hai đường tròn đáy sao cho tâm của hình vuông là trung điểm của đoạn OO  . Tính thể tích của hình
trụ đó.
6


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
 Giả sử A, B  (O ) và C , D  (O )
 Gọi H,K,I lần lượt là trung điểm các đoạn AB,CD và OO 
 Vì IO  7  4  IH nên O  H
 Theo tính chất của hình trụ ta có ngay OIH và OHA
là các tam giác vuông lần lượt tại O và tại H
 Tam giác vuông OIH có OH  IH 2  OI 2  3
 Tam giác vuông OHA có r  OA  OH 2  HA2  5
 Vậy, thể tích hình trụ là: V  B.h  .r 2 .h  .52.2 7  50 7 (đvtt)
Câu 20. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác vuông tại A và AC = a,


C  600 . Đường chéo BC' của mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một góc 300 . Tính thể
tích của khối lăng trụ theo a.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
AB  AC
: Ta có, 
 AB  (ACC A) , do đó AC  là hình chiếu
AB  AA

vuông góc của BC  lên (ACC A) . Từ đó, góc giữa BC  và (ACC A)

là BC A  300

 Trong tam giác vuông ABC, AB  AC . tan 600  a 3
 Trong tam giác vuông ABC  , AC   AB. cot 300  a 3. 3  3a

A

a

60 C
B
30

A'

 Trong tam giác vuông ACC  , CC   AC 2  AC 2  (3a )2  a 2  2a 2

C'
B'

1
1
 Vậy, thể tích lăng trụ là: V  B.h  AB.AC .CC    a 3  a  2a 2  a 3 6 (đvdt)
2
2
Câu 21. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.

S

BÀI GIẢI CHI TIẾT.
 Giả sử SAB là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ)
 Tam giác SAB cân tại S và là tam giác cân nên SA = SB = a.
1
a 2
AB 
2
2
 Vậy, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón :

Do đó, AB  SA2  SB 2  a 2 và SO  OA 

a 2 a 2
a 2
S xq  rl   


;

2
2
2
a 2 2
a 2

2
  a 2
S tp  S xq  r 
  


2
2 

A

2
1 2
1 a 2  a 2 a 3  2
Thể tích khối nón: V  r h   

 
3
3  2 
2
12

7

O
B