Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình và bất phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÂM THỊ THU HƯỜNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÂM THỊ THU HƯỜNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số:60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. VŨ ĐÌNH HÒA

HÀ NỘI - 2015

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý
thầy cô Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi
và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và làm luận văn.
Đặc biệt tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người
thầy hướng dẫn của mình là PGS.TSKH.VŨ ĐÌNH HÒA, người thầy đã tận tình hướng
dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Xin chân thành cám ơn các anh chị, các bạn học viên cùng học tại lớp LL&PP dạy
học Bộ môn Toán K8, Trường Đại học Giáo Dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội đã
dành sự quan tâm và tham gia đóng góp ý kiến cho tác giả trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin được cám ơn gia đình, người thân đã động viên và tạo
điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận văn này.
Mặc dù bản thân tác giả đã cố gắng nghiên cứu và thực hiện luận văn này song
vẫn không thể tránh khỏi những hạn chế vào thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự
đóng góp các ý kiến quý báu của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và những
người quan tâm đến các vấn đề được trình bày trong luận văn để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2014
Người thực hiện

Lâm Thị Thu Hường

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

CB

Ý nghĩa
: Chủ biên

CNTT

: Công nghệ thông tin

CT

: Chương trình

ĐC

: Đối chứng

ĐK

: Điều kiện

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

NC

: Nâng cao

NXB

: Nhà xuất bản

PPDH

: Phương pháp dạy học

SGK

: Sách giáo khoa

THPT

: Trung học phổ thông

TM

: Thỏa mãn

TNSP

: Thực nghiệm sư phạm

TN

: Thực nghiệm

TXĐ

: Tập xác định

VD

: Ví dụ

ii


MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ..............................................................................ii
MỤC LỤC ...................................................................................................................... iii
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
CHƯƠNG 1:CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH..........................................................................................5
1.1. Cơ sở lý luận .............................................................................................................. 5
1.1.1.Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học ................................................. 5
1.1.2. Tư duy và đặc điểm của tư duy .............................................................................. 6
1.2. Khái niệm thuật toán ................................................................................................. 7
1.2.1. Khái niệm thuật toán .............................................................................................. 7
1.2.2. Các đặc trưng của thuật toán .................................................................................. 8
1.2.3. Các phương pháp biểu diễn thuật toán ................................................................... 9
1.2.4. Độ phức tạp của thuật toán ................................................................................... 15
1.3. Tư duy thuật giải ..................................................................................................... 15

1.3.1. Khái niệm thuật giải ............................................................................................. 15
1.3.2. Tư duy thuật giải .................................................................................................. 16
1.3.3. Một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải khi dạy nội dung phương trình
........................................................................................................................................ 17
1.4. Vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán ......................................... 21
1.4.1. Vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán ở trường phổ
thông ............................................................................................................................... 21
1.4.2. Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán ...... 22
1.5. Kết luận chương 1 ................................................................................................... 24
iii


CHƯƠNG 2:MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH........................................................................................25
2.1. Nội dung dạy học phương trình và bất phương trình trong chương trình sách giáo
khoa trung học phổ thông (nâng cao) ............................................................................. 25
2.2. Một số nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh . 27
2.3. Một số định hướng sư phạm góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh
thông qua dạy học nội dung phương trình và bất phương trình ..................................... 30
2.3.1. Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng thành phần khi giải phương trình và bất
phương trình ................................................................................................................... 30
2.3.2. Truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải trong
khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động thông qua dạy học giải phương trình và
bất phương trình ............................................................................................................. 40
2.3.3. Xây dựng quy trình dạy học phương trình, bất phương trình theo hướng phát
triển tư duy thuật giải ..................................................................................................... 46
2.3.4. Luyện tập cho học sinh giải các phương trình và bất phương trình đã biết thuật
giải .................................................................................................................................. 56
2.4. Xây dựng thuật giải cho một số dạng phương trình, bất phương trình ................... 61

2.5. Ứng dụng của ngôn ngữ lập trình trong viêc dạy học giải phương trình, bất phương
trình ................................................................................................................................ 76
2.6. Kết luận chương 2 ................................................................................................... 82
CHƯƠNG 3:THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ...............................................................84
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, kế hoạch thực nghiệm sư phạm ............................................ 84
3.1.1. Mục đích ............................................................................................................... 84
3.1.2. Nhiệm vụ .............................................................................................................. 84
3.1.3. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm ........................................................................... 84
3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................. 85

iv


3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .................................................................. 85
3.3.1. Đáp án đề kiểm tra ............................................................................................... 85
3.3.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................................. 88
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm .............................................................................. 89
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ..............................................................................90
1. Kết luận .................................................................................................................... 90
2. Khuyến nghị ............................................................................................................... 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................................91
PHỤ LỤC ......................................................................................................................93

v


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu của giáo dục phổ thông hiện nay là: "Giúp học sinh phát triển toàn diện
về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá

nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội
chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục
học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia và xây dựng bảo vệ tổ quốc". Và để
bắt kịp sự phát triển của xã hội ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp
dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo ra những con người có đầy đủ phẩm chất của
người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ
luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm
giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc.
Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thể hiện trong các văn
kiện Đại hội Đảng như: Cương lĩnh xây dựng đất nước trong thời kỳ quá độ lên chủ
nghĩa xã hội ( Bổ sung, phát triển năm 2011) nêu rõ: "Đổi mới căn bản và toàn diện giáo
dục và đào tạo theo nhu cầu phát triển của xã hội, nâng cao chất lượng theo yêu cầu chuẩn
hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế, phục vụ đắc
lực sự nghiệp xây dựng và bảo vệ tổ quốc".
Về phương pháp giáo dục đào tạo, Báo cáo chính trị của Ban chấp hành Trung
ươngĐảng khóa X tại Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XI của Đảng cũng nêu rõ:
"Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học, phương pháp thi, kiểm tra theo
hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý
tưởng, giáo dục truyền thống lịch sử cách mạng, đạo đức, lối sống, năng lực
sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội".
Điều 5, luật giáo dục (2010) quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng người học
năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên".
Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong quá
trình dạy học là rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh.
1


Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông đặc biệt
trong dạy học toán. Trong môn toán, có nhiều dạng toán được giải quyết nhờ thuật giải.

Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán có thuật giải, có qui tắc, có
sự phân chia thành các bước để giải thì học sinh dễ tiếp thu lĩnh hội. Thông qua các bước
hoạt động, yêu cầu của bài toán được giảm dần phù hợp với khả năng của học
sinh, nó là định hướng để học sinh giải bài toán đó.
Qua việc tìm tòi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải từng bài toán, từng dạng
toán, nó thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học sinh như: phân tích,
tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa, hơn nữa nó còn hình thành cho học sinh
những phẩm chất trí tuệ như: tính cẩn thận chi tiết, tính linh hoạt, tính độc lập, sáng
tạo, kích thích sự ham muốn khám phá, các phẩm chất tốt đẹp của người lao động như: tính
ngăn nắp, tính cẩn thận, tính kỷ luật, ý thức tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết
công việc. Mặt khác qua đó từng bước giúp học sinh thích nghi được các yêu cầu của
xã hội, của đất nước đang trên con đường công nghiệp hóa, hiện đại hóa đáp ứng yêu
của của con người trong nền sản xuất tự động hóa và bối cảnh công nghệ, thông tin, tin
học đang có ảnh hưởng mạnh mẽ, sâu rộng tới mọi lĩnh vực của cuộc sống.
Đã có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các công trình đó có
thể kể tới luận án phó tiến sỹ của Dương Vương Minh: "Phát triển tư duy thuật giải của
học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông" (1998). Luận án này đã
xem xét việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy các hệ thống số chứ
chưa đi sâu vào việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy học nội
dung phương trình.
Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp phần phát triển tư duy
thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung lượng giác
11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy
nội dung lượng giác 11.
Phương trình và bất phương trình là hai nội dung có vị trí quan trọng trong
chương trình môn Toán THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt
từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất phương trình còn là
2

chìa khóa để giải quyết những vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số,
Giải tích và Hình học. Vì vậy, bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ để
phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình,
việc bồi dưỡng kỹ năng giải phương trình và bất phương trình cho học sinh còn có ý nghĩa
trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường
THPT.
Vì những lý do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:" Rèn
tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy học nội dung phương trình và
bất phương trình".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là hệ thống hóa một số vấn đề về tư duy thuật giải,
về kỹ năng và kỹ năng giải Toán của học sinh và đề ra một số biện pháp góp phần rèn
luyện tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy học phương trình và bất
phương trình.
3. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học Toán trung học phổ thông nếu giáo viên xây dựng được
một số kỹ thuật và biện pháp thích hợp trong quá trình dạy học phương trình và bất
phương trình, thì có thể rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh, góp phần nâng cao
chất lượng dạy học Toán ở trường THPT.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa học sau:
4.1.Tư duy thuật giải là gì ? Vì sao cần phát triển tư duy thuật giải cho học
sinh trong dạy học môn Toán?
4.2.Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần có những định hướng sư phạm vi
nào?
4.3. Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh.
4.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực và tính
hiệu quả của đề tài.

3

5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu toán học, các tài liệu về lý luận và phương pháp dạy học, tài
liệu về lý luận dạy học bộ môn Toán, các tài liệu về tâm lý học.
- Các bài báo, các bài viết phục vụ đề tài.
5.2. Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Dự giờ quan sát hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò trong các lớp học.
Quan sát ngay trong giờ học của mình và rút ra các kết luận trong quá trình giảng dạy.
- Trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên khác về việc sử dụng các phản ví dụ trong
dạy học nhằm rèn luyện tư duy phê phán cho sinh viên.
- Dùng các thống kê toán học để xử lý các số liệu thống kê.
5.3. Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm một số nội dung của luận văn tại trường Trung
tâm giáo dục thường xuyên thành phố Cao Bằng, kiểm chứng tính khả thi của đề tài
qua các lớp học thực nghiệm và đối chứng trên cùng một lớp đối tượng.
6. Đóng góp của luận văn
6.1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy thuật giải và vị trí của
việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học toán.
6.2. Xây dựng được các quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho
học sinh.
6.3. Khai thác được một số dạng bài toán phương trình và bất phương trình có thể giúp
học sinh xây dựng được thuật toán hay quy trình tựa thuật toán.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo luận văn dự kiến
được trình bày trong ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận của đề tài nghiên cứu
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải Toán theo hướng phát triển tư duy
thuật giải cho học sinh thông qua dạy học phương trình và bất phương trình

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC
SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1.1.

Cơ sở lý luận

1.1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học
Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao
lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học. Còn học tập là một quá
trình xử lý thông tin. Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi nhớ thông
tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối. Học sinh thực hiện các chức năng
này bằng những hoạt động của mình. Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí
tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích cực.
Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với
nó, căn cứ vào mục đích dạy học sau đó lựa chọn phương pháp để tập luyện cho học sinh.
Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần sẽ giúp ta tổ
chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức với học sinh.
Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri
thức phương pháp. Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt động
khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có thể lại là tiền đề
để tập luyện và đạt kết quả cao hơn. Do đó cần phân bậc những hoạt động theo
những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học. Trên cơ sở việc
phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động. Luận văn được
nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nền

tảng tâm lý học. Nội dung của quan điểm này được thể hiện một cách tóm tắt qua
những tư tưởng chủ đạo sau:
* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động tương
thích với nội dung và mục đích dạy học.
* Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động.

5


* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phương tiện
và kết quả của hoạt động.
* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học.
Như vậy, nếu phân tích rõ được tư tưởng và phương pháp dạy học dựa trên quan
điểm hoạt động sẽ góp phần phát triển phương pháp dạy học theo hướng phát triển tư
duy thuật giải cho học sinh.
1.1.2. Tư duy và đặc điểm của tư duy
a. Tư duy
Theo [16]: "Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong
hiện thực khách quan mà trước đó ta đã biết".
Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính, là một mức độ nhận thức
mới về chất so với cảm giác và tri giác. Trong đó nhận thức lý tính là một quá trình mà
chủ thể nhận thức, khái quát hoá từ các dữ kiện mà họ có một cách cảm tính bằng cách
hệ thống hoá chúng rồi đi đến thiết lập mối liên hệ giữa chúng và hiểu được mối quan
hệ bản chất giữa các hiện tượng nghiên cứu. Từ đó phát biểu thành các tri thức và được
kiểm tra lại bằng thực nghiệm.
Tư duy là giai đoạn cao nhất của nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra
tính quy luật của sự vật hiện tượng bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm,
phán đoán và suy nghĩ.
b. Đặc điểm của tư duy

Với tư cách là một mức độ mới thuộc nhận thức lý tính, khác xa về chất so với
nhận thức cảm tính, tư duy do con người là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau đây:
* Tính "có vấn đề": Đứng trước những hoàn cảnh, những tình huống mà vốn
hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã biết của con người không đủ để giải quyết, khi
đó con người rơi vào hoàn cảnh "có vấn đề", lúc này con người phải vượt ra khỏi phạm vi
những hiểu biết và đi tìm những cái mới, hay nói cách khác đi con người phải tư
duy.

6


* Tính gián tiếp: tư duy phát hiện ra bản chất của sự vật, hiện tượng và quy luật
giữa chúng nhờ sử dụng công cụ, phương tiện (như đồng hồ, nhiệt kế, máy vi tính…).
Ngôn ngữ là một phương tiện rất quan trọng của tư duy. Con người luôn dùng ngôn
ngữ để tư duy. Nhờ đặc điểm gián tiếp này mà tư duy đã mở rộng không giới hạn
những khả năng nhận thức của con người.
* Tính trừu tượng và khái quát: Tư duy phản ánh cái bản chất nhất, chung cho
nhiều sự vật hợp thành một nhóm, một loại, một phạm trù (khái quát), đồng thời loại bỏ
khỏi những sự vật đó, những cái cụ thể, cá biệt. Nói một cách khác, tư duy đồng
thời mang tính chất trừu tượng và khái quát.
* Tư duy của con người có sự liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ: Ngôn ngữ được
xem là phương tiện của tư duy. Nếu không có ngôn ngữ thì bản thân quá trình tư duy
không diễn ra được, đồng thời tạo ra các sản phẩm của tư duy cũng không được chủ thể
và người khác tiếp nhận.
* Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tư duy phải dựa trên
những tài liệu cảm tính, trên kinh nghiệm, trên cơ sở trực quan sinh động. Tư duy và
nhận thức cảm tính là hai mức độ nhận thức khác nhau, nhưng không thể tách rời nhau, có
quan hệ chặt chẽ bổ sung cho nhau, chi phối lẫn nhau trong hoạt động nhận thức
thống nhất và biện chứng. Như F.Anghen đã nói: "Nhập vào với con mắt của chúng ta
chẳng những có những cảm giác khác, mà còn có cả hoạt động tư duy của ta nữa".

1.2.Khái niệm thuật toán
1.2.1. Khái niệm thuật toán
Khái niệm tư duy thuật giải liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán, do đó
trước khi đưa ra khái niệm thuật giải ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật toán.
Thuật toán là một hệ thống chặt chẽ và rõ rang các quy tắc nhằm xác định một dãy
các thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các
thao tác ta đạt được mục tiêu định trước[6, tr.13]
Từ định nghĩa ta thấy thuật toán có các tính chất sau:
* Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao
tác.
7


* Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán kết thúc
hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo.
* Tính khách quan: Một thuật toán dù được viết bởi nhiều người, thực hiện trên
nhiều máy tình vẫn phải cho kết quả như nhau.
* Tính phổ dụng: áp dụng được cho nhiều bài toán khác có cùng cấu trúc, với
các dữ liệu khác nhau.
* Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận được kết quả cần tìm.
1.2.2. Các đặc trưng của thuật toán
a. Tính đơn trị
Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là
hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối
tượng thì phải cho cùng kết quả.
Ví dụ: Quy trình 4 bước để giải một bài toán của Polya [11].
Bước 1. Tìm hiểu nội dung bài toán.
Bước 2. Tìm đường lối giải toán.
Bước 3. Thực hiện chương trình giải toán.
Bước 4. Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải.

Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm. Chẳng
hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu và
làm theo nhiều cách khác nhau.
Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật toán. Bất kể cơ
cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không
cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này. Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ
đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuật giải, làm một số công việc
thay thế cho con người.
b. Tính hiệu quả
Tính hiệu quả của thuật toán được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn như:
khối lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thực hiện. Tính hiệu
quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn
8


đề - bài toán trên thực tế. Có rất nhiều phương pháp để đánh giá tính hiệu quả của thuật
toán. Độ phức tạp của thuật toán là một tiêu chuẩn được dùng rộng rãi.
c. Tính tổng quát
Thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng được cho mọi trường
hợp của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng được cho một số trường hợp riêng lẻ nào
đó.
1.2.3. Các phương pháp biểu diễn thuật toán
Khi chứng minh hoặc giải một bài toán trong toán học, ta thường dùng những
ngôn ngữ toán học như: "ta có", "điều phải chứng minh", "giả thiết",…và sử dụng các
phép suy luận toán học như phép kéo theo, phép tương đương,…
Thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải một bài toán nên cũng phải tuân theo
một số quy tắc nhất định. Để có thể truyền đạt thuật toán cho người khác hay
chuyển thuật toán thành chương trình máy tính, ta phải có phương pháp biểu diễn thuật
toán. Có 4 phương pháp biểu diễn thuật toán:[6]
1. Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học (natural languages).

2. Dạng lưu đồ - sơ đồ khối (flowcharts).
3. Dạng mã giả (pseudocode).
4. Dạng ngôn ngữ lập trình (programming languages).
 Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học
Trong cách biểu diễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học,
người ta sử dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bước của
thuật toán. Các thuật toán ở mục 1 đều được viết dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn
ngữ toán học.
Phương pháp biểu diễn này có ưu điểm là đợn giản, không yêu cầu người viết cũng
như người đọc thuật toán phải nắm các quy tắc, các kiến thức nền tảng. Nhưng cách
biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện rõ cấu trúc của thuật toán, đôi lúc gây
hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho người đọc và khó biển diễn được những bài toán phức
tạp.

9


Ví dụ: Thuật toán xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
ax2 + bx + c = 0 (với giả thiết abc ≠ 0)
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c
Bước 2: Kiểm tra điều kiện ac < 0
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 3
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 4
Bước 3: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Chuyển sang bước 14
Bước 4: Tính  = b2 - 4ac
Bước 5: Kiểm tra điều kiện > 0
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 9
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 6
Bước 6: Kiểm tra điều kiện ab > 0

+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 7
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 8
Bước 7: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm dương
Chuyển sang bước 14
Bước 8: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm âm
Chuyển sang bước 14
Bước 9: kiểm tra điều kiện  = 0
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 10
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 13
Bước 10. Kiểm tra điều kiện ab > 0
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 11
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 12
Bước 12. Kết luận: Phương trình có nghiệm kép dương
Chuyển sang bước 14
Bước 13: Kết luận: phương trình vô nghiệm
Bước 14: Kết thúc
10


 Lưu đồ - Sơ đồ khối (flowcharts)
Lưu đồ hay sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật toán. Biểu
diễn thuật toán bằng lưu đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường hợp
và quá trình xử lý của thuật toán. Phương pháp lưu đồ thường được dùng trong
những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi được quá trình xử lý.
Để biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao tác:
thao tác lựa chọn và thao tác hành động.
*Thao tác lựa chọn:
Thao tác lựa chọn được biểu diễn bằng một hình thoi, bên trong chứa biểu
thức điều kiện:
Đ

Đ

a=b

∆=0
S

S

*Thao tác xử lý được biểu diễn bằng một hình chữ nhật, bên trong chứa nội dung
xử lý.
i:= i +1

* Đường đi
Trong ngôn ngữ lưu đồ, do thể hiện các bước bằng hình vẽ và có thể đặt các
hình vẽ này ở bất kỳ vị trí nào nên ta phải có phương pháp để thể hiện trình tự thực
hiện các thao tác.

Bước 1

Bước 2

Bước 3

11


Hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một mũi tên chỉ hướng thực hiện. Từ thao tác
chọn lựa có thể có hai hướng đi, một hướng ứng với điều kiện đúng, một hướng ứng

với điều kiện sai.

S

= 0


>0

Đ
PT có hai nghiệm phân biệt

* Hình ô van thể hiện các thao tác nhập, xuất dữ liệu, khởi đầu hoặc kết thúc của
một thuật toán.

Bắt đầu

Kết thúc

(Có thể thay chữ Bắt đầu bởi Start (hoặc Begin), thay Kết thúc bởi End).
Ngoài ra còn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật toán có lưu đồ
lớn.
Ví dụ: Lưu đồ thuật toán giải phương trình bậc hai

12


Bắt đầu

Hỏi giá trị a, b , c

 = b2 - 4ac

S

0

Đ
Có 2 nghiệm phân biệt

x1,

S

0

Đ
Có nghiệm kép

,

Vô nghiệm

x=−


b
2

2a

Kết thúc
Lưu đồ mô tả thuật toán một cách trực quan nhưng lại rất cồng kềnh khi phải
mô tả những thuật toán phức tạp. Một phương pháp khác để biểu diễn thuật toán khắc
phục nhược điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình.
 Dạng mã giả (pseudocode)
Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và phân cấp các trường hợp của
thuật toán nhưng lại cồng kềnh, đặc biệt đối với những bài toán phức tạp. Để mô tả
thuật toán nhỏ ta phải dùng một không gian rất lớn. Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai
thao tác là rẽ nhánh (lựa chọn có điều kiện) và xử lý mà trong thực tế, các thuật toán
còn có các lặp.

13


Biểu diễn thuật toán bằng dạng mã giả là cách biểu diễn sự vay mượn các cú
pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, C, C++, …) để thể hiện thuật toán.
Ngôn ngữ dạng mã giả, gần gũi với mọi người, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và
chưa quá sa đà vào những quy ước chi tiết. Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang
những ngôn ngữ cho máy tính điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hoá.
V í d ụ : B i ể u d i ễ n t h u ật t o á n g iả i ph ư ơ n g t r ìn h b ậ c ha i b ằn g d ạn g mã g i
ả.
Begin
If Delta > 0 then begin
x1 = (-b-sqrt(delta))/(2*a);
x2 = (-b + sqrt (delta))/(2*a);
inra: phương trình có 2 nghiệm là x1, x2
End;
Else
If Delta = 0 then
Inra: phương trình có nghiệm kép là x   b

2*a

Else (trường hợp Delta < 0)
Inra: phương trình vô nghiệm;
End.
Trên đây, ta đã chỉ ra 3 cách để biểu diễn một thuật toán. Trong trường hợp
thuật toán viết bằng ngôn ngữ máy tính, ta có một chương trình.
 Dạng ngôn ngữ lập trình (programming languages)
Có nhiều ngôn ngữ lập trình như Pascal, Basic, C, C++, Asembly,…Sau đây là
ví dụ dùng ngôn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật toán.
Ví dụ. Tìm nghiệm thực của phương trình bậc hai:
ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0)
Input: Các hệ số a, b, c nhập từ bàn phím.
Outpt: Đưa ra màn hình các nghiệm thực hoặc thông báo "Phương trình vô nghiệm".
Thuật toán: Thuật toán giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ lập trình Pascal.

14


Program Giai-pt bậc hai;
Uses Crt;
Var

a , b, c: real;

, x1, x2: real;
Begin
Clrscr;
Write ('a, b, c: ');

Readln (a, b, c) ;
=b*b-4*a*c;
if

< 0 then Writeln ('Phương trình vô nghiệm')

Else
Begin
x1 = ( - b - sqrt (

 ))/(2 * a);

x1 = ( - b + sqrt (

 ))/(2 * a);

Witeln ( 'x1 =',

x1: 8:3 ,

'x2 = ' , x2: 8:3);

End;
Readln
End.

1.2.4. Độ phức tạp của thuật toán
Trong thực tế có nhiều thuật toán, về mặt lý thuyết là kết thúc sau hữu hạn bước,
tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đó vượt quá khả năng làm việc của chúng ta. Do đó để
đánh giá tính hiệu quả của một thuật toán, chúng ta phải chú ý đến độ phức tạp của các

thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán có thể đo bằng không gian, tức là dung lượng bộ
nhớ của máy tính cần thiết để thực hiện thuật toán; và bằng thời gian, tức là thời gian
máy tính làm việc. Trong luận văn này, khi nói đến độ phức tạp của thuật toán ta luôn
hiểu là độ phức tạp thời gian. Độ phức tạp của thuật toán chính là cơ sở để phân loại
bài toán giải được hay không giải được.
1.3. Tư duy thuật giải
1.3.1. Khái niệm thuật giải
Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các vấn đề - bài toán, người ta đã đưa ra
nhận xét sau:
+ Có nhiều bài toán cho đến nay vẫn chưa tìm ra một cách giải theo kiểu thuật
toán và cũng không biết có tồn tại thuật toán hay không.
15


+ Có nhiều bài toán đã có thuật toán để giải nhưng không chấp nhận được vì
thời gian giải theo thuật toán đó quá lớn hoặc các điều kiện cho thuật toán đó khó đáp
ứng.
+ Có những bài toán được giải theo cách giải vi phạm thuật toán nhưng vẫn
chấp nhận được.
Như vậy, không phải cách giải nào, thuật toán nào cũng đều đạt được các tiêu chí
nêu trên.
Do vậy, các cách giải chấp nhận được nhưng không hoàn toàn đáp ứng đầy đủ
các tiêu chuẩn của thuật toán được gọi là các thuật giải.
Khái niệm mở rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm kiếm
phương pháp để giải quyết các bài toán được đặt ra. Ngoài việc mở rộng tính đúng của
thuật toán, thuật giải có tất cả các tính chất như thuật toán. Nó cũng có các hình thức
biểu diễn phong phú như thuật toán. Tuy nhiên, đối với một cơ cấu nhất định chỉ tương
ứng với một hình thức biểu diễn nhất định. Đặc biệt trong dạy học cần chú ý lựa chọn
phương tiện biểu diễn phù hợp với trình độ và kiến thức của học sinh. Sự hiểu biết về thuật
giải, các tính chất và phương tiện biểu diễn nó phản ánh trình độ văn hoá của

thuật giải. Ngôn ngữ lập trình là bước phát triển cao của văn hoá thuật giải.
1.3.2. Tư duy thuật giải
Tư duy thuật giải (thể hiện trong Toán học) là hình thức biểu lộ của tư duy biện
chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học toán học hay thông qua hình thức
áp dụng toán học vào các khoa học khác. [8]
Tư duy thuật giải là một loại hình thức tư duy toán học. Nó là phương thức tư
duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:
T1: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật
giải.
T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo những
trình tự xác định.
T3: Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành
một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.
16


T4: Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
T5: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết bài toán.
Trong đó, (T1) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (T2 - T5 ) thể hiện năng lực
xây dựng thuật giải.
Khái niệm tư duy thuật giải được xác định như trên là hoàn toàn phù hợp với
những kết quả nghiên cứu về hình thành văn hóa thuật giải. Trong [9] tác giả
Monakhôp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao gồm:
- Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó, hiểu bản chất ngôn ngữ
là phương tiện biểu diễn thuật giải.
- Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn thuật giải.
- Hiểu tính chất thuật giải của các phương pháp toán học và các ứng dụng của
chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông.
- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử.
Như vậy, phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phần hình

thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh.
Từ khái niệm về tư duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển tư duy thuật giải
cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các hoạt động tư
duy thuật giải. Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững, củng cố các quy tắc đồng
thời phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. Sau đây là một số ví dụ về phát
triển tư duy thuật giải trong môn toán khi dạy nội dung phương trình, bất phương trình
ở trường phổ thông.
1.3.3. Một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải khi dạy nội dung phương
trình
Trong chương trình toán lớp 11, học sinh đã được học về qui trình để giải
phương trình bậc nhất đối với hàm số sin và cos như sau
+

Bước 1: Kiểm tra: a2 b2  c2
Nếu sai, kết luận phương trình vô nghiệm.
Chuyển sang bước 5.
Nếu đúng, chuyển sang bước 2.
17


+ Bước 2: Chia cả hai vế cho a2  b2
a


c
o
s


2

2

sin 



a
2


ab
hay  
b
cos


+ Bước 3:
Đặt  

a  b2

b

sin

2
2
a  b2
a b



2


c
+ Bước 4: Giải phương trình sin  x   2
hay cos x 
a  b2

c


2

a  b2

+ Bước 5: Trả lời.
Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau.
Bài tập: áp dụng quy tắc giải phương trình bậc hai, hãy giải các phương trình
sau:
a. sin x  3 cos x  1
b. 3 sin 2x  c os 2x   3
c. 2 s in3x+ 6 cos3x  2
Mục đích của bài tập này là yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động (T1). Do đó
cần hướng dẫn các em thực hiện đúng theo trình tự các bước đã nêu trong quy tắc. Có
thể dùng một phần bảng trình bày quy tắc giải phương trình, phần bảng còn lại trình
bày lời giải phù hợp với từng quy tắc. Tiến hành nhất quán như vậy trong một thời gian
nhất định sẽ hình thành ở học sinh quy tắc giải phương trình bậc hai, đồng thời phát
triển ở các em năng lực thực hiện thuật giải.

Ví dụ 2.
Khi dạy luyện tập giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ta có thể đưa
ra cho học sinh thêm bài tập sau:
Giải phương trình:

sin 2 x  3 sin x cos x  2 cos 2 x  1

Đứng trước bài toán này học sinh phải biết các công thức nhân đôi và công thức