Đưa câu chuyện toán học vào bài giảng nhằm kích thích sự đam mê toán học của học sinh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

KIỀU THU HIỀN

ĐƯA CÂU CHUYỆN TOÁN HỌC VÀO BÀI GIẢNG
NHẰM KÍCH THÍCH SỰ ĐAM MÊ TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

HÀ NỘI - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

KIỀU THU HIỀN

ĐƯA CÂU CHUYỆN TOÁN HỌC VÀO BÀI GIẢNG
NHẰM KÍCH THÍCH SỰ ĐAM MÊ TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM Ơ N
S au t h ời gi a n h ọ c t ậ p v à n g hi ê n c ứ u t ạ i t r ư ờ n g Đ ạ i h ọ c G i á o d ụ c - Đ ạ i h ọ c
Q u ố c g i a H à N ộ i , t á c g i ả đ ã h o à n t h à n h L u ậ n v ă n T h ạ c s ĩ S ư p h ạ m t o á n v ớ i đề
tài "Đưa câu chuyện toán học vào bài giảng nhằm kích thích sự đam mê toán học của
học sinh".
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Giáo
dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học
tập và nghiên cứu luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn đã trực
tiếp hướng dẫn tác giả trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo và các em
học sinh trường Trung học phổ thông Trần Hưng Đạo - Hà Đông đã giúp đỡ và tạo điều
kiện để tác giả học tập và nghiên cứu.
Trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014
Tác giả:

Kiều Thu Hiền

i


DANH MỤC VIẾT TẮT
STT

Cụm kí tự viết tắt

1

ĐC

2

GV

3

HS

4

TN

Nội dung
Đối chứng
Giáo viên
Học sinh
Thực nghiệm

ii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................................... i
DANH MỤC VIẾT TẮT ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................................iii
DANH MỤC HÌNH............................................................................................................... v MỞ

ĐẦU............................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN............................................................................................ 5
1.1. Vai trò của toán học ............................................................................................... 5 1.2.
Vai trò của câu chuyện toán học........................................................................... 11
CHƯƠNG 2. CÁC BÀI GIẢNG .......................................................................................... 12
2.1. Bài giảng 1. Nhà toán học Pythagoras .................................................................. 12
2.1.1. Cuộc đời và sự nghiệp.............................................................................. 12
2.1.2. Định lý Pythagoras .................................................................................. 13
2.1.3. Bài tập ..................................................................................................... 19
2.2. Bài giảng 2. Nhà toán học, Vật lý học, Thiên văn học, Triết học Newton .................. 21
2.2.1. Cuộc đời và sự nghiệp.............................................................................. 21
2.2.2. Nhị thức Newton ...................................................................................... 24
2.2.3. Bài tập ..................................................................................................... 27
2.3. Bài giảng 3. Nhà toán học Gauss.......................................................................... 29
2.3.1. Cuộc đời và sự nghiệp.............................................................................. 29
2.3.2. Giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn số bằng phương pháp Gauss ...... 33
2.3.3. Bài tập ..................................................................................................... 37
2.4. Bài giảng 4. Nhà toán học Augustin-Louis Cauchy .............................................. 39
2.4.1. Cuộc đời và sự nghiệp.............................................................................. 39
2.4.2. Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng.......................................................... 42
2.4.3. Bài tập ..................................................................................................... 48
2.5. Bài giảng 5. Một số bài toán dân gian..................................................................... 49
2.5.1. Bài toán điển hình .................................................................................... 49
2.5.2. Bài tập ..................................................................................................... 51
2.6. Bài giảng 6. Fibonacci và dãy số kỳ diệu.............................................................. 55
2.6.1. Fibonacci................................................................................................. 55
2.6.2. Dãy số kỳ diệu.......................................................................................... 56
2.6.3. Bài tập ..................................................................................................... 64
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.......................................................................... 65
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm...................................................................... 65

3.1.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................. 65

iii


3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm.............................................................................. 65
3.2. Phương pháp thực nghiệm.................................................................................... 65 3.3.
Tiến hành thực nghiệm......................................................................................... 65
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm............................................................................. 65
3.3.2. Nội dung thực nghiệm .............................................................................. 66
3.3.3. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................ 66
3.3.4. Điều tra.................................................................................................... 66
3.4. Kết quả ................................................................................................................ 66
3.4.1. Kết quả thống kê, tổng hợp phiếu điều tra ................................................ 66
3.4.2. Phân tích, đánh giá kết quả điều tra ......................................................... 71
KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 73 TÀI
LIỆU THAM KHẢO.................................................................................................... 74 PHỤ
LỤC ............................................................................................................................ 75

iv


DANH MỤC HÌNH
Trang
Hình 2.1: Pythagoras .................................................................................................12
Hình 2.2: Hình minh học định lý Phitago...................................................................14
Hình 2.3: Cách chứng minh định lý Pythagoras của Garfield .....................................15
Hình 2.4: Cách chứng minh định lý Pythagoras của Bkha-xka-ra ...............................16
Hình 2.5: Cách chứng minh định lý Pythagoras của người Ấn Độ cổ.........................16
Hình 2.6: Cách 4, chứng minh định lý Pythagoras .....................................................17

Hình 2.7: Cách chứng minh định lý Pythagoras của Jamie deLemos..........................17
Hình 2.8: Hình minh họa ví dụ áp dụng định lý Pythagoras .......................................18
Hình 2.9: Isaac Newton, 1642-1727...........................................................................21
Hình 2.10: Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855............................................................29
Hình 2.11: Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857 .........................................................39
Hình 2.12: Fibonacci, khoảng 1170 - khoảng 1250 ...................................................55
Hình 2.13: Tượng Fibonacci ở Camposanto, Pisa ......................................................56
Hình 2.14: Hình minh họa bài toán nuôi thỏ ..............................................................57
Hình 2.15...................................................................................................................58
Hình 2.16: Hoa có một cánh ......................................................................................61
Hình 2.17: Hoa có hai cánh........................................................................................61
Hình 2.18: Hoa có ba cánh.........................................................................................61
Hình 2.19: Hoa có năm cánh......................................................................................62
Hình 2.20: Hoa có tám cánh.......................................................................................62
Hình 2.21: Hoa có mười ba cánh................................................................................62
Hình 2.22: Bông hướng dương ....................................................................................63
Hình 2.23: Quả thông..................................................................................................63

v


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học được coi như ông hoàng đồng thời là người đầy tớ của khoa học [7].
Từ xa xưa, con người đã thấy Toán học gần gũi trong đời sống của chúng ta,
trong việc đếm các vật dụng, tính toán chi tiêu tài chính của gia đình và bản thân,..
Bên cạnh đó, Toán học vừa là phương tiện tiếp cận vừa là công cụ của nhiều ngành
khoa học như Triết học, Hóa học, Vật lý học, Sinh học, Địa lý, Kinh tế, Giao thông,
Hàng hải, khoa học máy tính,... ngay cả trong các ngành khoa học xã hội, tưởng
chừng không thể định lượng, thì các hiện tượng xã hội cũng được mô hình hóa bằng

ngôn ngữ toán học, chẳng hạn như thuyết dân số của Thomas Malthus (1798), trong
đó Malthus lập luận rằng dân số tăng theo cấp số nhân trong khi thực phẩm chỉ tăng theo
cấp số cộng. Toán học hiện hữu một cách tự nhiên xung quanh chúng ta, nhưng không
phải ai cũng có thể nhận ra, thậm chí có nhiều người cho rằng toán học không có vai
trò gì trong cuộc sống của chúng ta mà Toán học đơn thuần là một ngành khoa học
khép kín, chỉ giải quyết các vấn đề của toán học mà không ảnh hưởng gì đến các
ngành khoa học khác, ngay cả các ngành khoa học tự nhiên. Như vậy, toán học có vai
trò hết sức quan trọng đối với từng cá nhân và sự phát triển của cả nhân loại.
Đối với người học nói chung, học sinh phổ thông nói riêng, học tốt môn toán
sẽ mang lại nhiều thuận lợi hơn trong việc tiếp thu các kiến thức khoa học khác.
Muốn vậy, trước hết, các em cần có tình yêu, sự đam mê đối với môn toán, từ đó mới
có thể nâng cao tính tò mò, ham học hỏi của bản thân, tiến đến nắm chắc, hiểu sâu và
vận dụng linh hoạt các kiến thức toán học vào các bài tập, tình huống cụ thể trong học
tập cũng như cuộc sống hằng ngày.
Những câu chuyện toán học sẽ đưa học sinh đến gần hơn với hoàn cảnh, cách
tiếp cận vấn đề trong những điều kiện cụ thể, đồng thời cũng giúp cho học sinh có
thêm hiểu biết về tiểu sử các nhà toán học, các bài toán cổ. Từ đó, hình thành và
củng cố cho học sinh tình yêu và niềm đam mê trong việc học môn toán thay vì
Toán học thường được biết đến như một lĩnh vực lý thuyết thuần túy, khô khan với

1


những con số và các phép tính phức tạp đau đầu, làm ảnh hưởng không tốt đến tâm
lý của học sinh trong học tập.
Vì vậy, em chọn đề tài "Đưa câu chuyện toán học vào bài giảng nhằm kích
thích sự đam mê toán học của học sinh" nhằm giúp người học có cái nhìn, có cách
tiếp cận môn toán theo một hướng mềm hơn, gần gũi hơn, để có kết quả tốt hơn trong
học tập, mở rộng thế giới quan của họ.

2. Mục tiêu nghiên cứu
Gây hứng thú, kích thích sự đam mê toán học của học sinh.

3. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu tiểu sử một số nhà toán học lỗi lạc và một số bài toán dân gian.
- Nghiên cứu mối liên quan giữa các câu chuyện toán học với sự đam mê,
hứng thú của học sinh với các môn học nói chung và môn toán nói riêng.
- Đưa các câu chuyện toán học vào bài giảng để học sinh thấy được vẻ đẹp của
môn toán, thấy được sự gần gũi của môn toán trong đời sống hằng ngày, những ứng
dụng rộng rãi của toán học trong các lĩnh vực của đời sống, biết được điều kiện, hoàn
cảnh sống và làm việc của một số nhà toán học lỗi lạc nhằm kích thích sự đam mê, hứng
thú với môn toán của học sinh.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu tiểu sử một số nhà toán học lỗi lạc và các câu chuyện toán học gần
gũi đời sống con người và liên quan đến chương trình toán học Trung học phổ thông.
- Nghiên cứu vai trò của các câu chuyện toán học đối với sự yêu thích môn
toán của học sinh.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính hiệu quả của luận văn.
- Đánh giá hiệu quả luận văn và chỉ ra ưu, nhược điểm của luận văn để rút ra
bài học kinh nghiệm cho tác giả.

2


5. Phạm vi nghiên cứu
- Cuộc đời và sự nghiệp của một số nhà toán học trong chương trình toán
phổ thông.
- Một số câu chuyện toán học như một vài ứng dụng của toán học, hoặc hiện
tượng thiên nhiên nào đó tuân theo quy luật toán học.

- Một số bài toán dân gian.

6. Lịch sử nghiên cứu
Có nhiều tác giả trong nước nghiên cứu và sưu tầm về các câu chuyện toán
học, các bài toán dân gian như:
- Hai tác giả Nguyễn Việt Hải và Vũ Thị Thanh Hương sưu tầm và biên soạn
cuốn Các bài toán dân gian, tập một, NXB Giáo dục, Hà Nội năm 2003.
- Hai tác giả Nguyễn Bá Đô và Nguyễn Hồng Minh sưu tầm và biên soạn cuốn
Các câu chuyện toán học, tập một, NXB Giáo dục, Đà Nẵng năm 2003.
- Các tác giả Nguyễn Bá Đô (chủ biên), Đặng Khánh Hội và Nguyễn Văn Túc
sưu tầm và biên soạn cuốn Các câu chuyện toán học, tập bốn. NXB Giáo dục, Đà
Nẵng năm 2003.
- Tác giả Trần Đức Lịch với bài Suy nghĩ về vai trò của toán học trong xã hội
trên tạp chí tiasang.com.vn, ngày 08 tháng 02 năm 2002.
Tuy nhiên, theo tôi được biết, chưa có tác giả nào nghiên cứu vấn đề đưa các
câu chuyện toán học vào bài giảng để kích thích sự đam mê, hứng thú với môn toán của
học sinh.

7. Giả thuyết nghiên cứu
Giới thiệu, lồng ghép các câu chuyện toán học trong giờ học chính khóa hoặc tổ
chức giờ học tự chọn, giờ học ngoại khóa tìm hiểu các câu chuyện toán học để học sinh
thêm yêu và đam mê môn toán.

3


8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm
b a c hư ơ ng :
Chương 1. Cơ sở lý luận

Chương 2. Các bài giảng
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Vai trò của toán học
Sự hình thành và phát triển của Toán học gắn liền với sự phát triển của loài
người. Những khái niệm toán học được hình thành hầu hết xuất phát từ đời sống thực
tiễn, từ nhu cầu tìm tòi và khám phá của con người. Một số khái niệm được đưa ra
không hẳn đã có những ứng dụng trong thực tế nhưng lại là cầu nối hay một công cụ
tính toán dẫn đến những định luật và định lý vô cùng quan trọng.
Sự thật là toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thường ngày nhưng
không phải ai cũng nhận ra điều đó.
Một bà nội trợ đi mua lương thực, thực phẩm cho gia đình cũng cần vận dụng
các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân, chia để tính được lượng lương thực, thực
phẩm cần cho gia đình mình hay tính toán lượng tiền cần thanh toán khi mua hàng
(mặc dù việc này có thể do người bán hàng thực hiện). Đôi khi còn cần sự linh hoạt,
sáng tạo. Khi trả tiền, ta cần trả mười tám nghìn trong khi ta có ba tờ tiền với các
mệnh giá hai mươi nghìn, hai nghìn và một nghìn mà người bán hàng không có tiền
mệnh giá hai nghìn mà có tiền mệnh giá năm nghìn, vậy thì chắc chắn là ta trả hai mươi
ba nghìn để nhận lại năm nghìn từ người bán hàng rồi. Trong việc nấu ăn cũng vậy,
người nội trợ cũng cần vận dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia cơ bản ấy. Công
thức nấu món nào đó, nếu có được công thức nấu ăn cho bốn người, nhưng thực tế lại
cần nấu ăn cho sáu người thì sao đây? Khi đó các nguyên liệu cho món ấy phải được
nhân lên gấp rưỡi thôi! Như vậy, chúng ta cần có kiến thức nhất định về toán học thì
mới có thể nấu món theo đúng công thức đã được hướng dẫn và đủ về lượng cho số người
cùng ăn.

Trong xã hội hiện đại, đời sống của con người được nâng lên rõ rệt nhờ các
thiết bị công nghệ hiện đại như tivi, tủ lạnh, máy giặt, máy điều hòa,… Nhưng người
dùng liệu có biết các ứng dụng toán học trong đó với các thuật toán khác nhau, đã
được che lấp bởi vỏ bọc công nghệ? Để mạng điện thoại vận hành thông suốt, có sự
đóng góp không nhỏ của thuật toán đơn hình - một thuật toán cơ bản của

5


lí thuyết qui hoạch toán học. Máy ATM hoạt động dựa trên thuật toán an toàn để
đảm bảo số tiền của chủ thẻ không bị lấy cắp. Hay mạng Internet với các thuật toán bảo
mật, tìm kiếm, giúp hàng triệu người dùng trên thế giới có được sự tiện ích trong tra
cứu, trao đổi thông tin,… Những điều đó, chỉ có những người có chuyên môn mới hiểu được,
còn những người sử dụng thông thường các dịch vụ ấy chỉ thấy sự tiện lợi của chúng mà
không cần (đôi khi không muốn) hiểu nguyên lí hoạt động của chúng [5].
Hằng ngày, tại các cơ sở y tế, bác sĩ kê đơn thuốc và hướng dẫn bệnh nhân
dùng thuốc. Có rất nhiều loại thuốc khác nhau, với công dụng chữa trị nhiều loại bệnh
khác nhau. Liều lượng thuốc có thể được quy định theo số lượng miligram thuốc cho
mỗi kilogram trọng lượng cơ thể bệnh nhân. Để kê đúng liều lượng thuốc cho bệnh nhân,
thì bác sĩ cần có hiểu biết về toán học nhất định để dựa vào trọng lượng cơ thể bệnh
nhân mà quy ra lượng thuốc cần kê. Bên cạnh đó, dược sĩ có nhiệm vụ cấp thuốc theo
đơn của bác sĩ, họ cần có kiến thức toán học để tính toán lượng thuốc theo đơn vị
miligram sang đơn vị viên (viên nén, viên nang,…) hay dung tích của thuốc ở dạng
dịch lỏng để cấp đúng lượng thuốc theo đơn thuốc của từng bệnh nhân. Ngoài ra, dựa
vào tỉ lệ thuốc có thể bị đào thải khỏi cơ thể bệnh nhân sau khoảng thời gian nhất định
mà bác sĩ phải tính toán lượng thuốc mà bệnh nhân cần uống để bù lại sau thời gian ấy.
Các kiến trúc sư, kĩ sư thường xuyên phải vẽ các bản thiết kế công trình xây
dựng (nhà ở, khách sạn, sân bay, nhà xưởng,…), các thiết bị máy móc (quạt điện, máy giặt,
tivi, tủ lạnh, ôtô, linh kiện, chi tiết máy,…), và tính toán lượng nguyên vật liệu để xây
dựng, sản xuất theo đúng bản thiết kế, đảm bảo về công dụng, sức chịu lực và tính thẩm

mỹ của công trình, của máy móc thiết bị. Muốn làm được điều đó, các kiến trúc sư, kĩ
sư cũng cần nắm được các kiến thức toán học (cả hình học và đại số), đồ họa máy tính
bên cạnh các kiến thức chuyên ngành của mình và các kiến thức liên quan khác. Hay
việc thiết kế, trang trí nội, ngoại thất cho một ngôi nhà cũng cần áp dụng các kiến
thức toán học để có thể tạo nên không gian hài hòa, đẹp mắt. Các thiết bị nội thất,
tranh ảnh mang các hình dáng khác nhau như hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn,
hay các hình phẳng và khối không gian phức tạp khác. Để trang trí, xếp đặt một cách
hợp lí, kiến thức toán học là hữu ích khi muốn xếp đặt

6


thiết bị gọn gàng, mang tính đối xứng hay ngang bằng hay có sự tương phản, phù
hợp về hình thù,...
Hay trong nghệ thuật, người ta cho rằng, các danh họa cũng đã ứng dụng toán
học như những kiến thức hình học, tỷ lệ vàng vào các bức vẽ của mình để tạo sự cân
đối, tương phản, để làm cho tác phẩm nghệ thuật của họ đẹp và sống động.
Các nhà khảo cổ dựa vào chu kì bán rã của nguyên tố đồng vị Carbon 14 là
5730 năm, so sánh tỉ lệ Carbon 14 với carbon 12 trong mẫu hóa thạch và tỉ lệ của
Carbon 14 với carbon 12 trong thực vật sống cùng việc vận dụng kiến thức toán học
thiết yếu để xác định tuổi của một mẫu thực vật hóa thạch.
Kiến thức về xác suất, thống kê rất cần thiết cho ngân hàng, tài chính, kế toán.
Trong Kinh tế học, Toán học đóng một vai trò rất quan trọng, có thể nói là không thể
thiếu. Vai trò này có xu hướng tăng dần theo thời gian. Nói chung, toán đã giúp kinh tế,
nhất là kinh tế lý thuyết, tiến triển rất nhiều. Dĩ nhiên, toán hoá đã và đang làm thay đổi
bản chất và phạm vi của bộ môn kinh tế. Toán học cũng ảnh hưởng rất lớn đến sự
truyền đạt ý niệm và đề xuất kinh tế, không những giữa các nhà kinh tế với nhau, mà
còn giữa các nhà kinh tế và dân chúng, giữa các nhà kinh tế và các nhà làm chính
sách. Vì thế, các sinh viên, các giáo viên, các nhà nghiên cứu trong bộ môn kinh tế, dù
muốn hay không, cũng phải đạt đến một trình độ toán tối thiểu nào đó để theo dõi và

tham gia các tiến triển trong chuyên môn của mình [2].
Trong thực tế, các sòng bạc hay các công ty xổ số kiến thiết thu về rất nhiều
tiền, mặc dù họ trả cho người chơi thắng cuộc gấp nhiều lần khoản tiền đặt cược. Bởi
một lẽ, xác suất thống kê cho thấy rằng, một cách toàn diện, lợi thế thuộc về sòng bạc
hay các công ty xổ số. Trong diện hẹp, người chơi nào đó có thể thắng cuộc, nhưng
người chơi khác lại đang thua cuộc và chính bản thân người chơi đang thắng cuộc kia,
về lâu dài, cũng sẽ thua cuộc.
Xác suất, thống kê cũng được các nhà xã hội học vận dụng trong các nghiên
cứu của mình để thu thập, xử lý các số liệu, từ đó đưa ra nhận định xác thực và có dự
báo, kế hoạch cho tương lai.

7


Trong quá trình hình thành và phát triển của triết học diễn ra quanh co, phức
tạp và lâu dài, toán học đã đóng góp một phần rất quan trọng.
Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán học về các đại lượng bất biến, tức là các đại
lượng lấy những giá trị cố định, toán học đã đóng góp vào sự hình thành cơ sở của
lôgic hình thức, nhờ vậy tư duy có lập luận chính xác, chặt chẽ. Điều đó góp phần
hình thành nên các nguyên tắc của tư duy khoa học. Thí dụ từ quan hệ a  b , b  c
suy ra a  c . Tuy nhiên, khái niệm bằng nhau ở đây là bất biến, bất động,
cố định.
Đối với các lĩnh vực tri thức khác, ở thời kỳ này mới chỉ có cơ học và thiên
văn học là tương đối phát triển. Toán học đã thông qua hai khoa học này góp phần vào
cuộc cách mạng của Copecních thay hệ địa tâm bằng hệ nhật tâm. Sự phát triển của một
thế giới quan mới gắn liền với cuộc cách mạng mà Copecních thực hiện đòi hỏi phải có
một nền toán học mang những tư tưởng mới về chất ra đời (đó là toán học về các đại
lượng biến đổi ở thời kỳ cổ điển). Do sự phát triển của thực tiễn và nhận thức, tất yếu
dẫn tới sự ra đời của toán học về các đại lượng biến đổi.
Thời kỳ hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học là tư tưởng cấu trúc, một

trong những cơ sở lý luận cho sự ra đời của các khoa học tổng hợp như logic toán,
điều khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế... Về phương diện thực tiễn,
trên cơ sở sự tương tự về cấu trúc giữa các quá trình diễn ra trong giới tự nhiên vô
sinh, sự sống và xã hội (tư duy) người ta đã chế tạo ra hệ thống máy tự động, hoạt
động theo cơ chế tương tự bộ não và các giác quan con người.
Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, toán học hiện đại đóng vai trò
nền tảng trong quá trình nhất thể hoá các khoa học. Sự thống nhất của toán học với thế
giới quan triết học biểu hiện ở chỗ chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản của chủ
nghĩa duy vật: tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể nhận
thức được của thế giới đó. Các khoa học khác như vật lý học, sinh học đã có những
đóng góp quan trọng vào việc luận chứng cho sự thống nhất này. Có thể nói rằng cùng
với sự phát triển của khoa học và thực tiễn các lý thuyết toán học ngày càng có khả
năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng về sự thống nhất vật chất

8


của thế giới. Chẳng hạn, cùng một phương trình có thể diễn tả sự phân huỷ chất
phóng xạ, sự sinh sản của vi khuẩn, sự tăng trưởng của nền kinh tế...
Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh hưởng
của toán học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại, đặc biệt đối với
những ngành tiếp cận thế giới vi mô. Dựa vào sự tương tự về cấu trúc, người ta phát
hiện ra mối liên hệ, quan hệ và sự thống nhất giữa các lý thuyết vật lý khác nhau. Đặc
biệt, trên cơ sở những lý thuyết hình thức (trừu tượng) của toán học, người ta đã phát
hiện ra những hạt mới trước khi chúng được phát hiện nhờ thực nghiệm. Điển hình là việc
phát hiện ra pozitron trong cơ học lượng tử nhờ biểu diễn nó bằng một phương trình căn
bậc hai. Phương trình này lúc đầu cho ta căn cứ để dự đoán ngoài electron còn tồn tại
một hạt khác có một số tính chất vừa giống điện tử nhưng lại vừa khác điện tử về dấu
của điện tích. Đó là pozitron. Dự đoán này đã trở thành hiện thực. Về sau, các phản hạt
của phần lớn các hạt cũng được tìm ra bằng cách tương tự như pozitron. Khả năng

vượt trước của toán học đã luận chứng, hoàn thiện, cụ thể hoá quan điểm của chủ
nghĩa duy vật về điện tử là vô cùng, vô tận. Các cuộc cách mạng trong hoá học (hoá
học lượng tử), trong sinh học (lý thuyết di truyền), sinh học phân tử... đều dựa vào
những thành tựu của toán học hiện đại. Đối với khoa học nhân văn, khả năng hình thành
toán kinh tế, toán tâm lý, toán xã hội... sẽ góp phần củng cố thế giới quan duy vật biện
chứng trong nhận thức nhân văn và xã hội.
Không thể phủ nhận ảnh hưởng của toán học dẫn đến hình thành và củng cố
thế giới quan triết học. Ngược lại, triết học khoa học của toán học đã tác động tích
cực đến sự phát triển của toán học. Mối quan hệ giữa toán học và triết học duy vật
biện chứng là mối quan hệ khách quan, hợp quy luật trong tiến trình phát triển nhận
thức của con người [6].
Nhiều tri thức toán học, ngay cả toán học đơn giản ở bậc phổ thông, có thể
ứng dụng hiệu quả vào đời sống nhưng đòi hỏi những kĩ năng và thói quen nhất định.
Trang bị những kĩ năng này là công việc của nhà trường và sự rèn luyện của bản thân
mỗi người. Nhưng trên thực tế, rất ít người, kể cả những người có học vấn tương đối,
thực hiện những kỹ năng này. Không chỉ ở những nước còn lạc hậu mà ngay tại những
nước tiên tiến như Hoa Kỳ, theo nhận xét của Andrei Okunkov, nhà

9


toán học Nga đoạt giải Fields, giáo sư Đại học Princeton, người Mỹ đều mong
muốn trở nên giàu có khi về già nhưng không mấy ai biết vận dụng một số kĩ năng của
lí thuyết xác suất khả dĩ có thể giúp họ đưa ra những quyết định có lợi cho việc thực
hiện giấc mơ của mình [5].
Để nhấn mạnh tầm quan trọng của Toán học, Chính phủ Đức đã lấy năm 2008
làm năm Toán học. Ngay trong trang đầu của trang web về Năm Toán học của họ đã
giới thiệu vắn tắt: "Không có lĩnh vực khoa học nào thâm nhập và ảnh hưởng đến các
lĩnh vực của cuộc sống và công việc như toán học. Từ chế tạo ô tô đến phân làn đường,
từ mua bán trong siêu thị đến kiến trúc, từ dự báo thời tiết đến nghe MP3, từ đi tàu

đến Internet - tất cả đều là toán!"[3].
Toán học đóng vai trò quan trọng trong hình thành và phát triển tư duy logic,
tư duy phê phán và kĩ năng sống của mỗi con người.
Toán học, cũng như các ngành khoa học khác, để hiểu được tất cả là không thể.
Thậm chí toán học thuần túy, hay ngay cả một bộ phận nào đó của toán học thuần túy đã
đơn giản là rộng lớn đến nỗi vượt quá khả năng thấu hiểu của con người [4].
Như vậy, toán học đóng vai trò quan trọng trong đời sống hằng ngày, trong
việc hình thành và phát triển của các ngành khoa học như Hóa học, Vật lý học, Sinh
học, Y học, Địa lý, Kinh tế, Tin học và khoa học máy tính, Xã hội học, Triết học,…
Học tốt môn toán trong trường phổ thông sẽ giúp người học có được khả năng
tư duy logic, chặt chẽ, linh hoạt, sáng tạo đồng thời có cơ sở để tiếp thu kiến thức của
các ngành khoa học khác một cách thuận lợi.
Trong giai đoạn hiện nay, đổi mới trong dạy học và giáo dục là mục tiêu cấp
thiết để nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Để giúp học sinh có niềm đam mê
toán học, hứng thú với môn toán nói riêng, các môn học nói chung, có nền tảng kiến
thức cần thiết để tiếp thu, học tập các chuyên ngành, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao
của nghề nghiệp, của xã hội, đòi hỏi người thầy phải có hiểu biết vững vàng, sâu,
rộng về kiến thức và có khả năng về nghiệp vụ.

10


1.2. Vai trò của câu chuyện toán học
Toán học, trong suy nghĩ của nhiều người, thật khô khan, cứng nhắc, khó hiểu
với các công thức khó nhớ, bài tập hóc búa và không biết áp dụng vào đâu. Để thay
đổi suy nghĩ đó của họ, không phải việc đơn giản. Bởi lẽ, do cách dạy hiện nay vẫn còn
nặng về thuyết trình. Giáo viên chủ yếu giới thiệu các định lí, công thức rồi hướng
dẫn học sinh áp dụng vào ví dụ, bài tập, tình huống một cách máy móc làm cho học
sinh cảm thấy toán học chỉ là các công thức và bài tập rập khuôn mà không biết
những công thức, bài toán ấy có ứng dụng gì trong thực tế cuộc sống.

Để gợi hứng thú, kích thích sự đam mê, tinh thần hăng say tìm tòi, khám phá
của người học, người dạy cần đưa ra các bài tập, tình huống thực tế phong phú, phù
hợp khả năng của người học và tăng dần độ khó.
Bên cạnh đó, trong bài học, người dạy cần lồng ghép khéo léo các câu chuyện
toán học để người học thêm yêu môn học này.
Các câu chuyện toán học có thể là bài toán cổ được đố bằng thơ, vè về các tình
huống trong cuộc sống lao động sản xuất. Các câu chuyện toán học là tiểu sử, giai
thoại, thành tích, công lao trong khoa học của các nhà toán học mà trong đó nêu bật
sự cố gắng vượt khó trong cuộc sống, học tập và làm việc của các nhà toán học;
hoàn cảnh, điều kiện ra đời của các định luật, định lý. Qua đó, người học biết được
nghị lực phi thường của các nhà khoa học nói chung, các nhà toán học nói riêng trong
học tập, nghiên cứu để người học cố gắng vươn lên, khắc phục khó khăn trong học tập
và cuộc sống.
Hay các câu chuyện về các con số với sự xuất hiện kỳ diệu của chúng trong
thiên nhiên như số cánh của các loài hoa, ứng dụng tỉ số vàng trong kiến trúc, nghệ
thuật thậm trí có trong cơ thể con người,… khiến người học thấy được cái hay, vẻ đẹp, sự
hữu dụng, cần thiết của toán học để có động lực chiếm lĩnh tri thức và tích cực tự học,
tự khám phá.

11


CHƯƠNG 2
CÁC BÀI GIẢNG
2.1. Bài giảng 1. Nhà toán học Pythagoras
2.1.1. Cuộc đời và sự nghiệp

Hình 2.1: Pythagoras
Pythagoras, sinh khoảng năm 580 đến 573 trước công nguyên - mất khoảng
năm 500 đến 490 trước công nguyên, là một nhà Triết học người Hy Lạp và là người

sáng lập ra phong trào tín ngưỡng có tên học thuyết Pythagoras. Ông thường được
biết đến như một nhà khoa học và toán học vĩ đại [8].
Pythagoras được sinh ra tại đảo Samos, bờ biển phía Tây Hy Lạp, ngoài khơi
Tiểu Á. Ông là con của Pythais (mẹ ông, người gốc Samos) và Mnesarchus (cha ông,
một thương gia từ Týros). Khi đang tuổi thanh niên, ông rời thành phố quê hương tới
Crotone, phía Nam Italy, để trốn tránh chính phủ chuyên chế Polycrate. Thalet rất ấn
tượng trước khả năng của Pythagoras, đã khuyên ông tới Memphis ở Ai Cập học tập với
những người tế lễ nổi tiếng tài giỏi ở đó. Có lẽ ông đã học một số nguyên lý hình học,
sau này là cảm hứng để ông phát minh ra định lý mang tên ông.
Mới 16 tuổi, cậu bé Pythagoras đã nổi tiếng về trí thông minh khác thường. Cậu
bé theo học nhà toán học nổi tiếng Thalet, và chính Thalet cũng phải kinh ngạc về tài
năng của cậu. Để tìm hiểu nền khoa học của các dân tộc, Pythagoras đã dành nhiều năm
đến Ấn Độ, Babilon, Ai Cập và đã trở nên uyên bác trong hầu hết các lĩnh vực quan
trọng: Số học, Hình học, Thiên văn học, Địa lí, Y học, Triết học.
Vào tuổi 50, Pythagoras mới trở về tổ quốc của mình. Ông thành lập một ngôi
trường ở miền Nam Italy, nhận hàng trăm môn sinh, cả phụ nữ, với thời gian học

12


năm năm gồm bốn bộ môn: Hình học, Toán học, Thiên văn và Âm nhạc. Chỉ những
học sinh giỏi vào cuối năm thứ ba mới được chính Pythagoras trực tiếp dạy. Trường
phái Pythagoras đã đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển khoa học thời cổ,
đặc biệt là về số học và hình học [9].
Pythagoras đã chứng minh được rằng tổng ba góc của một tam giác bằng 180
và nổi tiếng nhất nhờ định lý toán học mang tên ông. Ông cũng được biết đến là
"cha đẻ của số". Ông đã có nhiều đóng góp quan trọng cho Triết học và tín ngưỡng
vào cuối thế kỷ VI trước công nguyên. Về cuộc đời và sự nghiệp của ông, có quá
nhiều các giai thoại khiến việc tìm lại sự thật lịch sử không dễ. Pythagoras và các học
trò của ông tin rằng mọi sự vật đều liên hệ đến toán học, và mọi sự việc đều có thể

tiên đoán trước qua các chu kỳ.
Lịch sử của định lí Pythagoras rất phức tạp. Việc Pythagoras đích thân chứng
minh định lý này hay không vẫn còn chưa chắc chắn, vì trong thế giới cổ đại, khám phá
của học trò cũng thường được gán với cái tên của thầy. Văn bản đầu tiên đề cập tới định
lý này có kèm tên ông, xuất hiện năm thế kỷ sau khi ông qua đời, của Cicero và Plutarch.
Mọi người tin rằng nhà toán học Ấn Độ, Baudhayana, đã tìm ra Định lý Pythagoras vào
khoảng năm 800 trước công nguyên, 300 năm trước Pythagoras.
Có hàng nghìn cách chứng minh định lí Pythagoras, từ những cách đơn giản
nhất cho học sinh lớp 7 đến cách chứng minh sử dụng công cụ của toán học hiện đại.
Trong cuốn The Pythagoraean Proposition, xuất bản năm 1940, nhà toán học Loomis
trình bày 367 cách chứng minh định lý này. Một số chứng minh còn ghi rõ tác giả của
lời giải, là những nhân vật nổi tiếng ở những "địa hạt khác", đã ghé đến "vương quốc
toán học" như những lãng du. Và tên tuổi của họ lại được các sách về lịch sử toán ghi
nhận. Đó là cách chứng minh của họa sĩ lừng danh người Italy, thế kỷ XV, Leonardo
Da Vinci và của tổng thống thứ 20 của nước Mỹ, James Garfield.

2.1.2. Định lý Pythagoras
2.1.2.1. Định lý Pythagoras
Cách phát biểu của Euclide: Trong một tam giác vuông, tổng diện tích hai hình
vuông vẽ trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền.

13


Định lý Pythagoras còn được phát biểu dưới dạng: Trong một tam giác vuông,
bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Như vậy, nếu một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có độ dài lần lượt a ,

b và cạnh huyền có độ dài c thì a2  b2  c2 .

c

a
b

Hình 2.2: Hình minh họa định lý Pythagoras
Định lý đảo Pythagoras được phát biểu là:
Cho ba số thực dương a , b và c thỏa mãn a2  b2  c2 thì tồn tại một tam giác
có các cạnh là a , b và c , và góc giữa hai cạnh a và b là một góc vuông.
Định lý đảo này cũng được phát biểu bởi Euclid là:
Nếu bình phương một cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh
kia thì tam giác có góc nằm giữa hai cạnh nhỏ là góc vuông.
Một cách tổng quát, kết hợp cả định lý thuận và đảo, có thể viết định lý
Pythagoras dưới dạng:
Một tam giác có ba cạnh a , b và c , thì nó là tam giác vuông với góc vuông
giữa a và b khi và chỉ khi a2  b2  c2 .
Người ta truyền rằng, định lý này còn có một cái tên thú vị khác nữa, đó là định lý
100 con bò. Thực sự mà nói, ngày nay, chúng ta vẫn chưa biết chính xác là định lý
này có phải do chính Pythagoras phát biểu không nhưng hầu hết mọi người đều công
nhận, Pythagoras và các học trò của ông là người có công đầu tiên chứng minh định lý

14


này một cách chặt chẽ về mặt toán học. Và khi ông cùng môn đệ của mình chứng
minh xong định lý này, vì quá vui mừng, họ đã giết 100 con bò để ăn mừng.

2.1.2.2. Chứng minh định lý Pythagoras
Có rất nhiều cách chứng minh định lý Pythagoras. Dưới đây là năm cách được
xem là đơn giản và dễ hiểu với học sinh phổ thông.

Cách 1. Cách chứng minh của tổng thống Garfield rất đơn giản. Cách chứng minh
này dựa vào cách tính diện tích của hình thang bằng hai cách khác nhau.

b
a

c
c

b
a

Hình 2.3: Cách chứng minh định lý Pythagoras của Garfield
Hình thang này có hai cạnh đáy là a và b , còn đường cao là a  b . Do đó
diện tích của hình thang là

a  b (a  b)

hay

2

(a  b)2 .
2

Cách thứ hai để tính diện tích của hình thang là lấy tổng của diện tích ba hình
tam giác con, đó là 2. ab  c2 hay 2ab  c2 .

22

2

So sánh hai kết quả trên

( a  b ) 2  2 ab  c 2
2
2



a2  b2  2ab  2ab  c2
2
2
 a 2  b2  c2.

Định lý Pythagoras được chứng minh.

15


Cách 2. Ở Ấn Độ hồi thế kỷ XII, nhà toán học Bkha-xka-ra (mất năm 1114) nêu
ra một cách chứng minh, ông chỉ vẽ hình và ghi rất ngắn "Xem đây!"

a b

a
b

c
Hình 2.4: Cách chứng minh định lý Pitago của Bkha-xka-ra

Bây giờ ta có thể giải thích: Các tam giác vuông bằng nhau, có cạnh huyền là

c và hai cạnh góc vuông a và b ( a  b). Khi đó, hình vuông lớn có diện tích bằng
4 lần diện tích tam giác cộng diện tích hình vuông nhỏ có cạnh a  b nên

c2  4. ab  (a  b)2
2
Vậy a2  b2  c2.
Cách 3. Đây cũng là cách chứng minh của người Ấn Độ cổ.

c

a

c
b

a

b

Hình 2.5: Cách chứng minh định lý Pitago của người Ấn Độ cổ
Diện tích hình vuông ta có cạnh a  b bằng tổng diện tích bốn hình tam giác
có hai cạnh góc vuông là a , b và hình vuông nhỏ có cạnh c

16


(a  b)2  4. ab  c2.
2

Vậy a2  b2  c2.
Cách 4. Kẻ AH vuông góc với BC.

A
b

a

B

c
C

H

Hình 2.6: Cách 4, chứng minh định lý Pythagoras
Suy ra AB2  BC.BH và AC2  BC.HC.
Suy ra AB2  AC2  BC(BH  HC).
Hay AB2  AC2  BC2.
Vậy a2  b2  c2.
Cách 5. Cách chứng minh này được khám phá bởi một học sinh trung học,
Jamie deLemos, năm 1995.

b

b
a

c

c
c

b

c
a

a

Hình 2.7: Cách chứng minh định lý Pitago của Jamie deLemos
Diện tích hình thang được tính theo hai cách:

17


(2a  2b) (a  b) và 4. ab  2.c2 .
2
2
2
Do đó

(2a  2b) (a  b)  4. ab  2.
c2 .

2

2

2

Hay

(a  b)2  2ab  c2.
Vậy a2  b2  c2.
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường cao AH , trên đó lấy điểm D .
Trên tia đối của tia HA, lấy E sao cho HE  AD . Đường vuông góc với AH tại D
cắt AC tại F . Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
Chứng minh. Vì tam giác ABC vuông tại A nên để chứng minh tứ giác

ABEF nội tiếp đường tròn, ta sẽ chỉ ra BE  EF .
A
F

D
B

H
C
E

Hình 2.8: Hình minh họa ví dụ áp dụng định lý Pitago
Do tam giác ABF vuông tại A nên BF 2  AB2  AF 2.
Tam giác ABH vuông tại H nên AB2  BH 2  HA2.
Tam giác ADF vuông tại D nên AF 2  AD2  DF 2.
Suy ra BF 2  BH 2  HA2  AD2  DF 2.
Theo giả thiết, HE  AD nên HA  DE.