12 BAI TOAN THUC TE CAU 9 DIEM TOAN

Sưu tầm và biên soạn Trang Tiền (01679629666)

Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG

BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài toán 1: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng

 



hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài d gấp hai lần chiều rộng r
không nắp, có chiều cao là h và có thể tích

4 3
m . Hãy tính kích thước của hồ nước
3

sao cho chi phí xây dựng thấp nhất.
Bài giải :

h
2x
x





Gọi x là chiều rộng đáy x  0;  .
Ta có chiều dài đáy là 2x .

Lại có: V  2x .x .h  2x 2h 

h 

4
3

2
3x 2

 

Diện tích vật liệu làm khối hộp là S  Sđ  Sxq  2x .x  6x .h    S x  2x 2 

 

Xét hàm số S x  2x 2 



Ta có: S ' x  4x 

 

4
x2

Cho S ' x  0  x  1

4

với x  0;  .
x





và

4
x


Sưu tầm và biên soạn Trang Tiền (01679629666)

Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG

Bảng biến thiên
X
0
S’(x)
–
S(x) + 

1
0

+
+
+

6

Từ bảng biến thiên suy ra min S  6 khi x  1
Vậy: Để chi phí thấp nhất thì hồ nước cần làm có kích thước là đáy có chiều rộng là

2
1m , chiều dài là 2m, chiều cao của khối hộp là m.
3
Bài toán 2: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay,
doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua
vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 31 (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này
thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy
mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá
bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một
năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau
khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?
Bài giải:
Gọi x ( x > 0, đơn vị: triệu đồng) là giá bán mới
Khi đó:
- Số tiền đã giảm là 31  x
- Số lượng xe tăng lên là 200(31  x)
Vậy tổng số sản phẩm bán được là 600 + 200(31  x) = 6800 – 200x
Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là (6800 – 200x)x
Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là (6800 – 200x).27
Lợi nhuận mà công ty đạt được sẽ là:
L(x) = Doanh thu – Tiền vốn
= (6800 – 200x).x – (6800 – 200x).27

= –200x2 + 12200x – 183600

L’(x) = 400 x  12200
L’(x) = 0  x  30,5
BBT:
X
0
30,5
+
L’(x)
+
0
–
L(x)
2450
Dựa vào BBT ta thấy lợi nhuật lớn nhất khi x = 30,5
Vậy giá bán mới là 30,5 (triệu đồng)


Sưu tầm và biên soạn Trang Tiền (01679629666)

Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG

Bài toán 3: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng : Nếu trên mỗi
đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n)
= 480 – 20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để
sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?
Hướng dẫn giải:
Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ ( n > 0). Khi đó :
- Cân nặng của một con cá là : P(n) = 480 – 20n
- Cân nặng của n con cá là : n.P(n) = 480n – 20n2
Xét hàm số : f(n) = 480n – 20n2 trên (0 ;+  )

Ta có : f’(n) = 480 – 40n
f’(n) = 0  n  12
BBT :
n
0
12
+
f’(n)
+
0
f(n)
2880
Dựa vào BBT ta thấy số cá phải thả trên một đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất
là 12 con.
Bài toán 4: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm cho bởi công thức :
f (v) 

290, 4v
(xe/giây)
0,36v  13, 2v  264
2

Trong đó, v (km/h) là vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm. Tính vận tốc trung
bình của các xe khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất và tính giá trị lớn nhất
đó.
Hướng dẫn giải:
Xét hàm f (v) 

290, 4v
với v > 0

0,36v  13, 2v  264
2

Ta có:
f '(v)  290, 4.

0,36v 2  264
(0,36v 2  13, 2v  264)2

f’(v) = 0  v 

264
0, 6

BBT:
v
f’(v)
f(v)

264
0, 6

0
+

0
8,9

+
-

Dựa vào BBT, ta thấy vận tốc để lưu lượng xe vào đường hầm lớn nhất là v 
và lưu lượng xe khi đó là 8,9 (xe/giây)

264
(km/h)
0, 6


Sưu tầm và biên soạn Trang Tiền (01679629666)

Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG

Bài toán 5: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn chứa dầu hình trụ bằng tôn có thể
tích 16  (m3). Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên
vật liệu nhất.
Hướng dẫn giải :
Gọi x (m) là bán kính đáy của hình trụ ( x > 0)
Ta có: V =  x 2 .h  h 

16
r2

Diện tích toàn phần của hình trụ là: S(x) = 2 x 2  2 x.h  2 x 2 
Khi đó: S’(x) = 4 x 

32
(x > 0)
x

32
x2

S’(x) = 0  x  2
BBT:
x
S’(x)

0

+

2
-

0

+

S(x)
24 
Dựa vào BBT, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 2 (m) nghĩa là bán kính là
2(m)
Bài toán 6: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là 10$
một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên
đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là
nhỏ nhất?
Gợi ý:
- Phân tích bài
Gọi x là số ti vi mà cửa hàng đặt mỗi lần ( x  1; 2500 , đơn vị: cái )

Số lượng ti vi trung bình gởi trong kho là
Số lần đặt hàng mỗi năm là

x
x
nên chi phí lưu kho tương ứng là 10. = 5x
2
2

2500
2500
và chi phí đặt hàng là :
(20 + 9.x)
x
x

Khi đó: chi phí mà cửa hàng phải trả là:


Sưu tầm và biên soạn Trang Tiền (01679629666)

C(x) =

Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG

2500
50000
(20 + 9.x) + 5x = 5x +
+ 22500
x

x

C’(x) = 5 -

50000
; C’(x) = 0  x  100
x2

- Lập bảng biến thiên và kết luận: đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti vi.
Bài toán 7: Một xí nghiệp có thề dùng ba loại nguyên liệu A; B; C để sản xuất ra một loại sản phẩm
theo hai công nghệ khác nhau là CN1 và CN2. Cho biết tổng khối lượng nguyên liệu mỗi mỗi loại xí
nghiệp hiện có, định mức tiêu thụ mỗi loại nguyên liệu trong một giờ sản xuất theo mỗi công nghệ
trong bảng
Tổng khối lượng hiện

Nguyên liệu

Định mức tiêu thụ trong 1 giờ

có

CN1

CN2

A

200

4

2

B

280

3

5

C

350

9

5

30

36

Sản lượng

Tìm kế hoạch sản xuất sao cho tổng số sản phẩm thu được nhiều nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là thời gian ( giờ) sẽ sản xuất theo công nghệ CN1; CN2

 x  0; y  0 

. Tổng khối lượng nguyên liệu mỗi loại sẽ sử dụng để sản xuất là

A: 4x + 3y (đơn vị nguyên liệu)
B: 3x + 5y (đơn vị nguyên liệu)
C: 9x + 5y (đơn vị nguyên liệu)
Để không bị động trong sản xuất thì tổng khối lượng nguyên liệu mỗi loại sẽ sử dụng để sản
xuất không thể vượt quá tổng khối lượng nguyên liệu mỗi loại xí nghiệp hiện có nên ta có điều

4 x  3 y  200
3x  5 y  280

kiện: 
9 x  5 y  350
 x  0; y  0
Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của hàm F = 30x + 35y


Sưu tầm và biên soạn Trang Tiền (01679629666)

Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG

Xác định miền nghiệm
Ta có miền nghiệm là tứ giác OABC kể cả cạnh

Với O(0;0) suy ra F = 0


Với A 
;0  suy ra F 

9
3



Với B  ; 49  suy ra F  2065
 3


280 
Với C  0;
 suy ra F = 1960
5 


Vậy sản xuất theo phương án :

350

3500

35

35
giờ theo
3

công nghệ CN1 và 49 giờ theo công nghệ CN2 thì tổng số sản phẩm thu được là
nhiều nhất F = 2065
Bài toán 8

Một nhà máy dùng hai loại nguyên liệu là khoai mì và ngô để chế biến ít nhất
140 kg thức ăn cho gà và 90 kg thức ăn cho cá. Từ mỗi tấn khoai mì giá 4 triệu
đồng, có thể chế biến được 20 kg thức ăn cho gà và 6 kg thức ăn cho cá. Từ mỗi
tấn ngô giá 3 triệu đồng, có thể chế biến được 10 kg thức ăn cho gà và 15 kg
thức ăn cho cá. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí
nguyên liệu là ít nhất biết rằng kho nguyên liệu của nhà máy còn lại 10 tấn khoai
mì và 9 tấn ngô.
Hướng dẫn giải
Gọi x , y (tấn) lần lượt là khối lượng khoai mì và ngô được sử dụng
Ta có chi phí nguyên liệu là T x, y   4x  3y
Theo các giả thiết trên ta có hệ bất phương trình





0  x  10
0  x  10






0y 9

 0y 9







20x  10y  140
2x  y  14






6x  15y  90
2x  5y  30






Vẽ đồ thị biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình trên.
Khi đó ta được T x, y 

min

 32  T 5, 4

Vậy để chi phí là thấp nhất thì nhà máy nên sử dụng 5 tấn khoai mì và 4 tấn ngô.


Sưu tầm và biên soạn Trang Tiền (01679629666)

Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG

Bài toán 9: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung
chuyển hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc
trên đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 < v2). Hãy xác định phương án
chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn
nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D.
Thời gian t là:
AC CD AE  CE CD
t




v1
v2
v1
v2

l

h
h
tan   sin 
v1
v2

D

l  h.cot 
h


v1
v2 sin 

Xét hàm số

t ( ) 

A

h
B
E



l  h.cot 
h

. Ứng
v1
v2 sin 

dụng Đạo hàm ta được t ( ) nhỏ nhất khi cos  
cho cos  



C

v2
. Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao
v1

v2
.
v1

Bài toán 10 Một nhà sản xuất sơn tường cần thiết kế một thùng đựng sơn dạng
hình trụ có nắp đậy và có dung tích 10000 cm3 . Hãy xác định các kích thước của
hình trụ để nhà sản xuất tiết kiệm vật liệu nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi x  cm  là bán kính của hình trụ. ĐK: x  0
Thể tích của hình trụ là: V   x 2 h  h 

V
10000

2
x
 x2

Diện tích toàn phần của hình trụ:
Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 xh  2 x 2  2 x.

10000
20000
 2 x 2 
 2 x 2
2
x
x

Nhà sản xuất tiết kiệm vật liệu nhất  Diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ


Sưu tầm và biên soạn Trang Tiền (01679629666)

Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG

nhất.
 Xét hàm số f  x  

f ' x  

20000
 2 x 2 trên  0; 
x

20000
20000
5000
5
 4 x, f '  x   0 
 4 x  x3 

 x  10 3
2
2
x
x



BBT:
x

f(x)

3







0
-

f’(x)

5

10

0
2000 3

+



5
 200 3  
5
 



2

Dựa vào BBT, Stp nhỏ nhất khi x  10 3

5



100

(cm) và h 

5

2



3

3 
 

100
(cm)
25

Nhà sản xuất tiết kiệm vật liệu nhất khi thùng sơn hình trụ có bán kính đáy là
x  10 3

5



và chiều cao h 

100
3
25

(cm)

Bài toán 11 Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi
hàng hoá (1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn
hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B. Trong đó xe loại A có 10chiếc, xe loại
B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi

phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe
A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn
hàng.
Hướng dẫn giải





Gọi x, y lần lượt là số xe loại A và loại B cần phải thuê x, y  * .
Số tiền thuê xe là T  4 x  3 y (triệu đồng)


Sưu tầm và biên soạn Trang Tiền (01679629666)

Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG

0  x  10
0  y  9

Khi đó ta được hệ phương trình: 
20 x  10 y  140
0,6 x  1,5 y  9
Giải hệ phương trình trên, ta tìm được miền nghiệm là tứ giác ABCD (như hình

5 
vẽ), với A  ;9  , B 10;9  , C 10;2  , D  5;4  .
2 
T đạt giá trị thấp nhất tại các đỉnh của ABCD.
Vậy cần thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B.

Bài 12:Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người
nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là: f(t) = 45t2
– t3 (t = 0, 1, 2, ... , 25). Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn [0; 25] thì f’(t)
được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Xác định ngày mà
tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó.
Hướng dẫn giải
Bài 13: / Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với
tầm mắt (tính đến mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí
đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó.
Bài 14: Trong một xưởng cơ khí chỉ có những thanh sắt cùng kích cỡ dài 7,4
mét. Người chủ muốn các thợ của mình cắt mỗi thanh sắt thành các đoạn 0,7 mét
và 0,5 mét để tiện cho việc sử dụng. Công việc cần 1000 đoạn 0,7 mét và 2000
đoạn 0,5 mét. Hãy trình bày phương án cắt các thanh sắt trên sao cho tiết kiệm
vật liệu nhất.
Bài 15: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5km.
Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km. Người canh hải
đăng có thể chèo đò từ A đến một điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ
đến C với vận tốc 6km/h. Xác định vị trí của M để người canh hải đăng đến kho
nhanh nhất


Sưu tầm và biên soạn Trang Tiền (01679629666)

Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG