Bài giảng xác suất thống kê (Phần các quy tắc tính xác suất)

 BÀI GIẢNG TUẦN 2 
NỘI DUNG CHÍNH:
Các quy tắc tính xác suất


Chương 1

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
---------------------------------------------------------------------------------

§4 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

…TIẾP


d) Xác suất có điều kiện
Có những biến cố mà sự xảy ra của chúng có ảnh
hưởng nhau.
Ví dụ Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 3 con. Tính
xác suất để gia đình này có hai con trai trong mỗi
trường hợp sau:
i)

Nếu không biết số con gái của gia đình này;

ii)

Nếu được thông báo gia đình này có đứa con
cả là con gái.

Giải
= {TTT, TTG, TGT, GTT, TGG, GTG, GGT, GGG},
“Gia đình đó có đứa con cả là con gái”
{GTT, GTG, GGT, GGG}.
“Gia đình đó có 2 con trai”
{TTG, TGT, GTT},
P(B) = 3/8.


Nếu biết rằng

đã xảy ra thì không gian mẫu bây

giờ thu hẹp lại chỉ còn là
{GTT, GTG, GGT, GGG} = .
Còn tập hợp các kết quả thuận lợi cho
{GTT} =

.

Vậy đáp số của ii) bằng
.

là


Trong bài toán này ta thấy rằng khả năng để gia
đình đó có hai con trai phụ thuộc vào việc biết biến
cố

đã xảy ra hay chưa. Điều này dẫn tới khái

niệm xác suất có điều kiện. Nhưng nên định nghĩa
xác suất có điều kiện như thế nào ?


Xem lại lời giải của ii) ta có

Nhận xét này dẫn ta đến định nghĩa xác suất có
điều kiện như sau


Nếu P(A)>0 thì xác suất có điều kiện của B khi
A đã xảy ra, ký hiệu là
được cho bởi
.


Chú ý
Xác suất có điều kiện có thể tính trực tiếp từ bối
cảnh bài toán mà không cần thông qua công thức
trên.
Ví dụ
Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối. Tính xác suất
để tổng số nốt trên 2 con là 7, biết rằng có ít nhất
một con ra mặt 5.


Giải
Cách 1

Không gian mẫu thu gọn bao gồm 11 kết quả có ít
nhất một con ra mặt 5 là:
với

và

với

.

Trong tập này có 2 trường hợp mà tổng bằng 7.
.


Cách 2
A = “Ít nhất một con ra 5”,
B = “Tổng số chấm trên hai con bằng 7”.
| | = 62,

.

.


e) Quy tắc nhân xác suất
Từ Định nghĩa Xác suất có điều kiện của B khi A
(P(A) > 0) đã xảy ra:
,
ta suy ra
Quy tắc nhân xác suất

Nếu
, thì


Mở rộng công thức
cố, ta có
Quy tắc nhân xác suất tổng quát
Nếu
(n>1), thì

cho n biến


Chứng minh
Từ

ta có
.

Vì vậy, theo công thức tính xác suất có điều kiện:
……………………………………..

Nhân hai vế với
tổng quát. 

.
ta có Công thức nhân xác suất


Ví dụ

Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế
phẩm. Rút ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm theo
kiểu mỗi lần rút không hoàn lại và kiểm tra. Nếu tất
cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô hàng được nhận.
Tìm xác suất để lô hàng này được nhận.
Giải
H = “Lô hàng được nhận”,
= “Sản phẩm rút ở lần thứ i là tốt”,

0,6516. 


f) Các biến cố độc lập
Hai biến cố A và B liên quan đến một phép thử
được gọi là độc lập nếu
.
Bản chất của tính độc lập:
Khi

, thì
.

Như vậy, việc xảy ra của biến cố A không làm
thay đổi xác suất của biến cố B.


Chú ý
Nếu A và B độc lập thì hai biến cố trong mỗi cặp
sau cũng độc lập : A và

;

và B;

và .


Định nghĩa
Các biến cố A1, A2, …, An liên quan đến phép thử
được gọi là độc lập toàn phần nếu chúng độc
lập với nhau từng đôi và mỗi biến cố độc lập với
tích của một số tùy ý các biến cố còn lại.


Nhận xét
Nếu các biến cố

độc lập toàn phần thì


Ví dụ
Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế
phẩm. Rút ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm theo
kiểu mỗi lần rút thì kiểm tra xong và hoàn lại. Nếu
tất cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô hàng được
nhận. Tìm xác suất để lô hàng này được nhận.


Giải
H = “lô hàng được nhận”,

= “sản phẩm rút ở lần thứ i là tốt”, (i = 1, 2, 3, 4)
độc lập toàn phần và

nên

.


Chú ý
A1, A2, …, An độc lập toàn phần
độc lập từng
đôi một. Nhưng điều ngược lại có thể không đúng.


Ví dụ
Gieo một khối tứ diện đều có mặt thứ nhất sơn đỏ,
mặt thứ hai sơn xanh, mặt thứ ba sơn vàng, mặt
thứ tư sơn 3 màu: đỏ, xanh, vàng. Ký hiệu Đ, X, V
tương ứng là biến cố xuất hiện mặt có màu đỏ,
xanh, vàng.


P(Đ) = P(X) = P(V) =

.

P(ĐX) = P(VX) = P(XV) =
= P(ĐV) =P(XĐ) = P(VĐ) =
Đ, X, V độc lập từng đôi.
P(ĐXV) =

P(Đ)P(X)P(V)

lập toàn phần. 

Đ, X, V không độc