HDC vong 2 cho vòng 2

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT

Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
Ngày thi 10/10/2012
(hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu
1
05 điểm

Đáp án

Điểm

2
2
2
2
 x + y − 4x − 2y + 1 = 0 (x − 2) + (y − 1) = 4
⇔
Cách 1:  2 2
2
2
z + t − 4z − 2t + 1 = 0
(z − 2) + (t − 1) = 4

0,5

a 2 + b 2 = 4
Đặt a = x - 2, b = y - 1, c = z - 2, d = t - 1, ta có:  2
2
c + d = 4
P = (x − z)(y − t) = (a − c)(b − d) ≤ (a − c)(b − d)

1

≤ 2(a 2 + c 2 )2(b 2 + d 2 ) = 2 (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )

1
1

≤ a 2 + b 2 + c2 + d 2 = 8 ⇒ P ≤ 8
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
(a − c)(b − d) ≥ 0
a = −c
 a = b = 2
x = 2 + 2
x = 2 −




 b = −d
 c = d = − 2
y = 1 + 2
y = 1 −
⇔
⇔

hoặc

 2 2


2
2
a
+
c
=
b
+
d

z
=
2
−
2
a
=
b
=
−
2



z = 1 +

2
2



a + b = 4
 c = d = 2
t = 1 − 2
t = 1 +
 2
2
c + d = 4
Vậy MaxP = 8 .
 x 2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 (x − 2) 2 + (y − 1) 2 = 4
⇔
Cách 2:  2 2
2
2
z + t − 4z − 2t + 1 = 0
(z − 2) + (t − 1) = 4

2
2

1,5

2
2

 x = 2 + 2cos α; y = 1 + 2sin α

⇒ ∃α, β ∈ R thỏa mãn: 
z = 2 + 2cos β; y = 1 + 2sin β
 sin 2α sin 2 β
 1 1 
+
− sin(α + β )  ≤ 4 + + 1 =8
Khi đó: P = (x-z)(y-t) = 4 
2
 2
 2 2 
Đẳng thức xảy ra ⇔ sin 2α = sin 2β = − sin(α + β) = 1
π

α = 4 + kπ
⇔
(k, m ∈ Z )
β = π + 2mπ − (k + 1)π

4

0,5
1
2
0,5
0,5


x = 2 +

y = 1 +

⇔
z = 2 −

t = 2 −

2
2
2

hoặc

2

x = 2 +

y = 1+

z = 2 −

t = 2 −

2
2

0,5

2
2

Vậy MaxP = 8 .

x+2 y+2
+
= 6 ⇔ x2 - 2(3y-1)x + y2 + 2y = 0 (*)
y
x

0,5

 x 0 = 1; x1 = 1
 x n + 2 = 6x n +1 − x n − 2 ∀n ∈ N

Xét dãy số {xn} xác định bởi công thức: 
Ta có: {xn} tăng và x n ∈ N*∀n ∈ N* .

0,5

Với mọi n ∈ N ta có: x n + 2 = 6x n +1 − x n − 2 ⇒ x n +2 + x n = 6x n +1 − 2
⇒
2
5 điểm

0,5

x n+2 + x n + 2
x + x n + 2 x n +1 + x n −1 + 2
= 6 ⇒ n +2
=
∀n ∈ N*
x n +1
x n +1

xn

⇒ x n + 2 x n + x n2 + 2x n = x n2 +1 + x n +1x n-1 + 2x n +1 ∀n ∈ N*

(1)

0,5
0,5
0,5

⇒ x n + 2 x n - x n2 +1 - 2x n +1 = x n +1x n-1 - x n2 - 2x n ∀n ∈ N *
⇒ x n + 2 x n - x n2 +1 - 2x n +1 = x 2 x 0 - x12 - 2x1 = 0 ∀n ∈ N
⇒ x n + 2 x n = x n2 +1 + 2x n +1 ∀n ∈ N

(2)

0,5

Từ (1), (2) suy ra x n , x n + 2 là hai nghiệm của phương trình:
t 2 - 2(3x n +1 -1)t + x 2n +1 + 2x n +1 = 0 ∀n ∈ N

0,5

⇒ x 2n - 2(3x n +1 -1)x n + x 2n +1 + 2x n +1 = 0 ∀n ∈ N

0,5

Suy ra ( x n , x n +1 ) là nghiệm của phương trình (*) ∀n ∈ N .
Do đó ta có điều phải chứng minh.
A

N

3
Q

5điểm

H
M

I

B

C

P
D

0,5


Gọi H là trực tâm tam giác.
Tam giác ANH và BMH đồng dạng nên:

AN BM
=
NH MH

Tam giác ANQ và BMP đồng dạng nên:

AN BM
=
NQ MP

Từ (1) và (2) suy ra
⇒

1

(1)

1

(2)

NQ MP
=
NH MH

1

NQ MH IP
.
. =1
NH MP IQ

1
1

⇒ Ba điểm M, I, N thẳng hàng (Định lí Menelaus)

f ( x + f ( y ) ) = 4x 3f ( y ) + 6x 2 ( f (y) ) + 4x ( f (y) ) + ( f (y) ) + f ( − x ) ∀ x, y ∈ R (1)
2

3

4

+ Nhận xét: f ( x ) ≡ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Xét trường hợp: f ( x ) ≡ 0 . Đặt a = f(0).

0,5

Thay x = 0 vào (1) ta được f ( f ( y ) ) = ( f ( y ) ) + a, ∀y ∈ ¡
4

(2)

0,5

Tiếp tục thay x bởi ( −f (x) ) vào (1) ta được

f ( f ( y ) − f (x) ) = − 4(f (x))3 f ( y ) + 6(f (x)) 2 (f (y)) 2 − 4f (x)(f (y)) 3 + (f (y)) 4 − f ( f (x) )

∀ x, y ∈ ¡
⇒ f ( f ( y) − f ( x ) ) = ( f ( y) − f ( x ) ) + f ( f ( x ) ) − ( f ( x ) )
4

4
5điểm

4

∀x, y ∈ ¡

(3)

1

Từ (2) và (3) suy ra f ( f ( y ) − f ( x ) ) = ( f ( y ) − f ( x ) ) + a ∀x, y ∈ ¡ (4)

0,5

f ( x + f ( x 0 ) ) − f ( − x ) = 4x 3f ( x 0 ) + 6x 2 ( f (x 0 ) ) + 4x ( f (x 0 ) ) + ( f (x 0 ) ) ∀ x ∈ R

0,5

4

Giả sử x 0 ∈ ¡ thỏa mãn f ( x 0 ) ≠ 0 . Thay y = x 0 vào (1) ta thu được:
2

3

4

Vế phải là đa thức bậc ba theo biến x nên nó là hàm số có tập giá trị là ¡ .
Vậy nên, vế trái cũng là một hàm số có tập giá trị là ¡

⇒ ∀x ∈ ¡ đều tồn tại u, v ∈ ¡ để f ( u ) − f ( v ) = x .

0,5
0,5

Do đó từ (4) suy ra: f ( x ) = f ( f ( u ) − f ( v ) ) = ( f ( u ) − f ( v ) ) + a = x 4 + a, ∀ x ∈ ¡

0,5

4
Thử lại dễ thấy: f ( x ) = x + a, ∀ x ∈ ¡ (với a là hằng số) thỏa mãn (1)

0,5

4

4
Vậy f ( x ) ≡ 0 và f ( x ) = x + a, ∀ x ∈ ¡ (với a là hằng số) là các hàm số cần
tìm.

-----------Hết-----------