tính toán các thông số tối ưu cho bộ giảm chấn động lực kiểu thụ động và chủ động của hệ dao động một bậc tự do chịu kích động điều hòa

GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

MỞ ĐẦU
Dao động là hiện tượng phổ biến và quan trọng trong tự nhiên cũng như trong kĩ
thuật. Các thiết bị máy móc, các phương tiện giao thông vận tải, các công trình xây dựng
như các tòa nhà cao tầng, các hệ thống cầu, các loại máy đầm, máy điền đầy bê tông ...
đều là những hệ chịu dao động. Đôi khi dao động là có lợi, nhưng đa số, ngoài các máy
móc chuyên ngành thì đối với những máy móc khác, những công trình kết câu, hiện tượng
dao động thường mang lại những kết quả không mong muốn, ảnh hưởng đến khả năng
làm việc , làm giảm tuổi thọ của máy móc, làm giảm độ chính xác của chi tiết gia công và
chất lượng bề mặt sản phẩm cơ khí, đôi khi gây phá hủy những công trình xây dựng, thậm
chí gây nguy hiểm đến con người. Vì vậy giảm thiếu hoặc khử hẳn nhưng dao động không
có lợi là một vấn đề khoa học được rất nhiều nhà chuyên môn quan tâm, nghiên cứu.
Có nhiều phương pháp để giảm thiểu dao động như tăng độ cứng vững cho những
kết cấu đó, hoặc loại bỏ những nguyên nhân gây dao động hoặc sử dụng những thiết bị
hấp thụ, phân tán năng lượng dao động. Phương pháp tăng độ cứng vững thường không
được áp dụng rộng rãi do tốn kém vật liệu hoặc những kết cấu không thể thiết kế quá cồng
kềnh, do đó không có ý nghĩa về mặt kinh tế, nhiều trường hợp ta lại không thể khử hoàn
toàn được những nguyên nhân gây nên dao động. Do đó để giảm thiểu dao động của hệ
chính người ta thường sử dụng thêm một cơ hệ phụ liên kết với hệ chính cần giảm thiểu
dao động. Có hai cơ chế để giảm thiểu dao động của hệ chính đó là sử dụng hệ phụ hấp
thụ dao động của hệ chính và chuyển thành năng lượng dao động của hệ phụ, phương
pháp này gọi là điều khiển thụ động dao động của hệ chính . Phương pháp thứ hai là sử
dụng một nguồn kích động phụ tác dụng vào cơ hệ chính nhằm triệt tiêu dao động của hệ
chính, phương pháp này gọi là điều khiển chủ động hệ dao động . Ngoài ra, người ta còn
sử dụng phương pháp điều khiển bán chủ động để giảm dao động của hệ chính. Tuy nhiên
trong khuôn khổ đồ án tốt nghiệp , luận văn chỉ tập trung trình bày việc tính toán các
thông số tối ưu cho bộ giảm chấn động lực kiểu thụ động và chủ động của hệ dao động
một bậc tự do chịu kích động điều hòa.

Đồ án bao gồm phần mở đầu, hai chương và phần kết luận. Chương một trình bày
các kết quả tính toán các tham số tối ưu của bộ giảm chấn động lực kiểu thụ động bằng
phương pháp hai điểm cố định và phương pháp quy hoạch phi tuyến với sự trợ giúp của
phần mềm Maple 17. Chương hai trình bày về việc điều khiển dao động bằng bộ giảm
chấn động lực chủ động. Những ảnh hưởng của bộ giảm chấn động lực chủ động cơ hệ
chính và ứng dụng nó vào việc giảm bớt dao động của hệ chính.
Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng trong quá trình thực hiện, do nhiều lí do khách
quan và chủ quan, đồ án không thể tránh khỏi những thiếu sót và khiếm khuyết. Kính
mong các thầy cô cùng bạn đọc thông cảm và góp ý để em hoàn thành tốt đồ án của mình.

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

1


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới toàn thể quý thầy cô trường
Đại học Bách Khoa Hà Nội, các thầy cô Viện Cơ Khí và bộ môn cơ học ứng dụng đã tâm
huyết giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho chúng em trong suốt thời gian học tập tại
trường, đặc biệt GS.TSKH. Nguyễn Văn Khang đã giao đề tài và nhiệt tình hướng dẫn em
từng bước để hoàn thành đồ án của mình. Đồng thời các thầy cô trong bộ môn đã luôn
luôn tạo điều kiện tốt nhất , giúp đỡ em trong quá trình làm đồ án.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Lương Bá Trường

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

2


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

Chương 1
ĐIỀU KHIỂN THỤ ĐỘNG DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH BẰNG BỘ GIẢM CHẤN
ĐỘNG LỰC
Bộ giảm chấn động lực

1.1.

Bộ giảm chấn động lực TMD (Tuned Mass Damper)
là một thiết bị điều khiển thụ động dao động (Hình 1.2).
m1
fe(t)
Trước hết ta xét mô hình dao động của hệ một bậc tự do
y1
chịu tác dụng của ngoại lực kích động fe(t) như Hình 1.1.
Khi ngoại lực tác dụng vào cơ hệ, hệ sẽ dao động với biên
k1
độ và tần số phụ thuộc vào ngoại lực. Bộ giảm chấn động

lực TMD thực chất là một cơ hệ phụ bao gồm một vật có
khối lượng được gắn thêm vào hệ chính thông qua lò xo
Hình 1.1
và bộ phận cản nhớt nhằm hấp thụ hoặc tiêu tán bớt năng
lượng dao động của hệ chính . Tùy theo đặc tính của cơ hệ dao động và yêu cầu kĩ thuật
đối với từng kết cấu ta sẽ có những mô hình của bộ giảm chấn động lực khác nhau.
Hình 1.2 trình bày một số mô hình của bộ giảm chấn động lực trong những trường hợp
khác nhau .
( IV )

( II )

(I)
m2

(I)

y2
k2

y2
c2

k2
m1

fe(t)

m1

fe(t)

y1

fe(t)

)

(I)

y2
c2

y1
k1

c1

fe(t)

(V)

m1

m2

m1

fe(t)

k1

( III )

)
k2

y1
k1

(I)

(I)

m2

)

)

m1

y2

y2
k2

k2
1
k1

2

m2

1
k1
2

k1

m2

y1

c1

y1

c2

c2

Hình 1.2

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

3

GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

Việc chọn các tham số tối ưu của bộ giảm chấn động lực cho mỗi cách mắc song
song hoặc nối tiếp như trong Hình 1.2 là một bài toán quan trọng trong kĩ thuật, thu hút
sự quan tâm của rất nhiều kĩ sư và các nhà cơ học trong nhiều năm .
1.2. Tính toán bộ giảm chấn động lực khi hệ chính
không có lực cản nhớt
1.2.1. Bộ giảm chấn động lực không có cản nhớt

m2
y2
k2

Bộ giảm chấn động lực khi không kể đến lực cản
m1
fe(t)
nhớt được thể hiện như Hình 1.3 . Hệ chính là một vật có
khơi lượng m1 liên kết với nền cố định bằng một lò xo có
k1
độ cứng k1. Bộ giảm chấn động lực bao gồm một vật có
khối lượng m2 gắn vào hệ chính thông qua một lò xo có độ
cứng k2 . Ngoại lực kích động tác dụng vào cơ hệ có dạng
Hình 1.3
fe(t)=F0cosΩt . Chọn các tọa độ suy rộng y1 và y2 là các
dịch chuyển tuyệt đối của hệ chính và hệ phụ, gốc tại vị trí cân bằng tĩnh.

y1

Tại vị trí cân bằng tĩnh ta có :

k11  m1 g  k22  0

k2 2  m2 g  0

(1.1)

Động năng và thế năng của cơ hệ :

1
1
1
1
2
T  m1 y12  m2 y22 ,  m1 gy1  m2 gy2  k1  y1  1   k2 ( y2  y1  2 )2
2
2
2
2

(1.2)

Tính các đạo hàm :

d  T 
d  T 
T
T

 0;
0

  m1 y1; 
  m2 y2 ;
dt  y1 
dt  y2 
y1
y2


 m1 g  k1  y1  1   k2  y1  y2  2   k1  k2  y1  k2 y2
y1

 m2 g  k2  y2  y1  2   k2 y1  k2 y2
y2
Sử dụng phương trình Lagrange loại II :

d  T  T
 

Q*i

 
dt  qi  qi
qi qi
Ta thiết lập được hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ :

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

4


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ


m1 y1   k1  k2  y1  k2 y2  F0 cos t


m2 y2  k2 y1  k2 y2  0

(1.3)

Ở chế độ chuyển động bình ổn, nghiệm của hệ phương trình (1.3) có dạng:

 y1  A1 cos t

 y2  A2 cos t

(1.4)

Đạo hàm (1.4) và thay vào (1.3) ta được hệ phương trình đại số tuyến tính xác định các
hằng số A1 và A2 :

 k1  k2  m1 2  A1  k2 A2  F0



2
k2 A1   k2  m2   A2  0

(1.5)

Giải hệ phương trình đại số (1.5) ta tìm được các biên độ dao động A1 và A2 trong chế độ
chuyển động bình ổn


F0  k2  m2 2 
 A1 

 k1  k2  m12  k2  m22   k22

F0 k2
A 
 2  k  k  m 2  k  m 2   k 2
1
2
1
2
2
2


(1.6)

Từ biểu thức (1.6) ta thấy:

A1  0 khi

k  k
1

F0  k2  m22 
2  m1

2

 k

2  m2    k
2

2
2

 k2  m22

(1.7)

Vậy với mô hình bộ giảm chấn động lực như Hình 1.3 ta có thể thiết kế bộ giảm chấn
động lực sao cho k2  m22 khi đó dao động của hệ chính hoàn toàn được dập tắt.
Tuy nhiên khi thiết kế bộ giảm chấn động lực theo mô hình Hình 1.3 ta phải chú ý một
số điều kiện sau:
+ Khi chọn k2  m22 thì biên độ dao động của hệ phụ là A2 

F0
. Vậy ta phải chọn

k2

k2 sao cho biên độ dao động của hệ phụ chấp nhận được, phù hợp với không gian làm
việc của kết cấu yêu cầu.
k2
. Nhưng việc chọn m2 phải phụ thuộc vào
2
điều kiện bền của kết cấu làm việc, ta không thể chọn m2 quá giới hạn cho phép.
+ Muốn biên độ dao động A1 = 0 thì m2 

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

5


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

Mặt khác khi tần số kích động trùng với một trong các tần số riêng thì sẽ xảy ra hiện
tượng cộng hưởng, do vậy ta không thể không kể đến ma sát nhớt khi tính chọn các tham
số của bộ giảm chấn động lực.
1.2.2. Bộ giảm chấn động lực TMD khi hệ chính không có cản
Như chúng ta đã thấy, bộ giảm chấn động lực thiết kế theo mục (1.2.1) có thể khử
hoàn toàn dao động của hệ chính ( chỉ tại một tần số), tuy nhiên không phải lúc nào ta
cũng có thể bỏ qua lực cản nhớt của bộ giảm chấn. Trong phần này ta xét bộ giảm chấn
động lực có kể đến lực cản nhớt, tức là hệ phụ được lắp thêm vào có phần tử cản nhớt.
Mô hình bộ giảm chấn động lực khi hệ chính không cản có nhiều cách mắc hệ phụ khác

nhau. Ta đi tính toán và kiểm nghiệm hiệu quả trong một vài trường hợp sau.
1.2.2.1. Bộ giảm chấn động lực kiểu song song
Bộ giảm chấn động lực kiểu song song được
mô tả như Hình 1.4. Trong đó hệ chính có khối lượng
m1 liên kết với nền cố định thông qua một lò xo có
độ cứng k1 đồng thời chịu tác dụng của một lực
cưỡng bức có dạng fe(t) = F0cosΩt. Bộ giảm chấn
động lực bao gồm một vật nặng có khối lượng m2
được gắn vào hệ chính qua lò xo có độ cứng k2 và
một phần tử cản nhớt với hệ số cản c2. Trong trường
hợp này lò xo k2 nối song song với bộ cản nhớt c2 .

m2
y2
k2

c2
m1

fe(t)

a) Thiết lập phương trình vi phân chuyển động

y1
k1

Hình 1.4

Chọn các tọa độ suy rộng y1 và y2 là các dịch chuyển tuyệt đối của hệ chính và hệ
phụ, gốc tại vị trí cân bằng tĩnh.

+ Tại ví trí cân bằng tĩnh ta có các phương trình cân bằng sau:

k11  m1 g  k22  0

k2 2  m2 g0

(1.8)

+ Động năng của cơ hệ :
T

1
1
m1 y12  m2 y22
2
2

(1.9)

+ Thế năng của cơ hệ :


1
1
2
2
k1  y1  1   k2  y2  y1  2   m1 gy1  m2 gy2  const
2
2

(1.10)

+ Hàm hao tán của cơ hệ :

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

6


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ



1
c2 ( y2  y1 )2
2

(1.11)

+ Tính các đạo hàm :

d  T 
d  T 
T
T
 0;

0

  m1 y1 
  m1 y2 
dt  y1 
dt  y2 
y1
y2



 k1  y1  1   k2  y2  y1  2   m1 g k1 y1  k2  y1  y2   k11  k2 2  m1 g
y1




k1 y1  k2  y1  y2 
y1

 k2  y2  y1  2   m2 g  k2  y2  y1   k2 2  m2 g  k2  y2  y1 
y2


 c2  y1  y2   c2 y1  c2 y2 ;
 c2 y1  c2 y2
y1
y2

Sử dụng phương trình Lagrange loại II :

d  T

dt  qi

 T
 

Q*i
 
qi qi
 qi

Ta thiết lập được phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ :

m1 y1  c2 y1  c2 y2   k1  k2  y1  k2 y2  F0 cos t

m2 y2  c2 y1  c2 y2  k2 y1  k2 y2  0

(1.12)

Hệ phương trình vi phân (1.12) có thể được viết lại dưới dạng ma trận :

 m1 0   y1   c2
 0 m   y  c

2 2
 2

c2   y1   k1  k2


c2   y2   k2

k2   y1   F0 cos t 


k2   y2   0


(1.13)

b) Tìm nghiệm của phương trình vi phân bằng phương pháp biên độ phức
Để tìm nghiệm phương trình vi phân (1.12) ta áp dụng phương pháp biên độ phức.
Đặt :

fe (t )  F0eit , y1u1eit , y2 u2eit

(1.14)

Trong đó u1 và u2 là biên độ phức của hai tọa độ suy rông y1 và y2 . Thế các biểu thức
(1.14) vào hệ phương trình vi phân (1.12) , giản ước những thừa số chung đi ta được
phương trình đại số tuyến tính đối với hai ẩn u1 và u2 :

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

7

GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

(k1  k2 m12  ic2)u1  (k2  ic2)u2  F0

2
(k2  ic2)u1  (k2  m2  ic2)u2  0

(1.15)

Hệ (1.15) là hệ phương trình đại số tuyến tính đối với u1 và u2  . Ta dùng phương pháp
nghiệm Cramer để giải hệ phương trình trên, các định thức được tính như sau:

k1  k2  m1 2  ic2
  k2  ic2 
  k2  ic2 
k2  m22  ic2

 

   k1  k2  m1 2  ic2  k2  m2 2  ic2    k2  ic2 

2

   k1m1 2  k2 m2 2   m2 k2 2  ic2  k1m1 2  m2 2 

1 

F0

0

  k2  ic2  
 F0  k2  m2 2  ic2 
k2  m2  2  ic2

k1  k2  m1 2  i  c1  c2   F0
2 
 F0  k2  ic2 
  k2  ic2 
0
Từ đó ta tính được u1 và u2 

F0  k2  m2 2  ic2  
1
u1 

  k1m12  k2 m2 2   m2 k2 2  ic2   k1m12  m2 2 
F0  k2  ic2  

u2  2 
  k1m12  k2 m2 2   m2 k22  ic2  k1m12  m2 2 

(1.16)

Để tính biên độ u1 ta xét số phức sau:

z

a1  ib1  a1  ib1  a2  ib2  a1a2  b1b2

ba ab

 2
 i 1 22 12 2
2
2
2
a2  ib2
a2  b2
a2  b2
a2  b2

 z

2

 z

2

a a  b b 
 1 2 1 2

 a22  b22 

a


2
1

2

2

b a  a b 
 1 2 1 2

 a22  b22 

 b12  a22  b22 

a

2
2

 b22 

2

2

2



a12 a22  b12b22  a22b12  a12b22

 a22  b22 

2

(1.17)

a12  b12
 2
a2  b22

Áp dụng vào số phức u1 ta tính được giá trị tuyệt đối của biên độ phức :

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

8


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

u1  u1

 k m    c 
 k m    m k    c   k m 
2 2

F0

 k1m1


2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2
2

2

2
2

2

1

1

2

 m2



(1.18)

2 2

Nếu ta đưa vào các kí hiệu:

u0 

F0
k
k2

;1  1 ;2 
; 
k1
m1
m2
1


m
c2
r  2 ;mr  2 ; 

1
m1
2m2 1

(1.19)

Thì từ (3.18) ta đưa ra được biểu thức độ lệch tương đối của khối lượng m1 ( hay
hàm khuếch đại V1 ) :

2r  2   4 22

u1
V1  
2
u0
1  2 2  2  2   m 22   4 22 1  2  m 2 2
r
r r
r


2

(1.20)

Tương tự ta tính được hàm khuếch đại V2 :

V2 

u2
2r  4 22

2
u0
1  2 2  2  2   m 22   4 22 1  2  m 2 2
r
r r
r



(1.21)

c) Chọn các tham số của bộ giảm chấn động lực kiểu song song
Hiệu quả hấp thụ dao động của bộ tắt chấn động lực có ma sát nhớt phụ thuộc vào
việc chọn các tham số mr ,, . Trước hết ta xét sự phụ thuộc của V1 vào tham số D.
Khi chọn   0 , từ (1.20) ta có:

V1 

2r   2
1  2  2r  2   mr 2r 2

(1.22)

Khi    , từ (1.20) suy ra :

V1 

1
1  1  mr  2

(1.23)

Thay đổi các giá trị của  ta vẽ được các đường cong đáp ứng biên độ - tần số :

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

9


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

Hình 1.5 thể hiện sự phụ thuộc của hàm khuếch đại V1 vào giá trị  ( hay đường cong
đáp ứng biên độ - tần số ) ứng với các giá trị 0  ,   còn
1
các giá trị khác được chọn như sau: mr  ,r 1 .
20

V1

=∞
=0

mr =

1
20

ωr = 1

 = 0.32

S
 = 0.2

T
 = 0.1

Hình 1.5

Nhìn vào đồ thị Hình 1.5 ta rút ra được hai nhận xét sơ bộ sau :
+ Đáp ứng của đường cong biên độ - tần số phụ thuộc vào giá trị  , hay độ cản nhớt của
bộ tắt chấn. Tuy nhiên đáp ứng không theo một quy luật cụ thể nào cả.
+ Khi độ cản lớn, đường cong biên độ - tần số tồn tại một điểm cực đại hay điểm cộng
hưởng, khi độ cản nhỏ, đáp ứng lại tồn tại 2 điểm cực đại là hai đỉnh cộng hưởng và một
điểm cực tiểu địa phương, ta gọi điểm cực tiểu này là điểm phản cộng hưởng.
+ Các đáp ứng biên độ - tần số đều đi qua 2 điểm S và T như hình vẽ. Điều này có nghĩa
là tồn tại 2 giá trị của  mà tại đó biên độ dao động của hệ chính không phụ thuộc vào 
hay độ cản nhớt của bộ tắt chấn.
Ta đi xác định hai giá trị này :

Từ (1.22) và (1.23) ta suy ra phương trình xác định các trị số này của  hay chính là giá
trị hoành độ của 2 điểm S và T.

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

10


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

2r   2
1

2
2
2
2 2
1   r    mr r 1  1  mr  2

(1.24)

  2r   2 1   2  mr 2   1   2  2r   2   mr 2r 2

Rút gọn phương trình trên ta được :

4  2

1  2r  mr 2r 2
22r
 
0
2  mr
2  mr

(1.25)

Phương trình (1.25) là phương trình đại số bậc hai đối với  . Nghiệm của phương
trình này là :
2

2
1,2


1 
1  1  mr  2r
2  mr 

1  mr 

2

4r  22r  1 


(1.26)

Trong đó 1 ,2 lần lượt là hoành độ các điểm cố định S và T. Thế các biểu thức của 1;2
vào (1.23) ta nhận được các biểu thức xác định tung độ các điểm S và T. Do 2  1 nên
từ (1.26) suy ra :

 u1 S
u0

 u1 T
u0

1
V1S 
1  1  mr 12

(1.27)

1
V1T 
1  1  mr 22

Theo (1.26) 1 ,2 là hàm của các tham số mr ,r nên tung độ các điểm S và T phụ thuộc
vào mr ,r . Mà theo các công thức (1.19) thì mr ,r phụ thuộc vào các khối lượng

m1, m2 và các hệ số cứng k1 , k2 . Nếu ta chọn trước m2 thì chế độ làm việc của bộ tắt chấn
động lực cản nhớt sẽ đạt tối ưu khi tung độ các điểm S và T là như nhau và hệ số cản sẽ
được chọn sao cho ở các điểm này đường cong biên độ - tần số đạt cực đại. Từ điều kiện
tung độ các điểm S và T bằng nhau ta suy ra :

1

1


2
1  1  mr 1
1  1  mr 22
2
   
1  mr
2
1

(1.28)

2
2

Do 12 ,22 là hai nghiệm của phương trình bậc hai (1.25) nên theo định lý Viet ta có :

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

11


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

1  1  mr  r
1  2r  mr r2
   2
2
2  mr
2  mr

2

2
1

2
2

(1.29)

Từ (1.28) và (1.29) ta có :

1  1  mr  r
2

2
1  mr
2  mr

2

 1  1  mr  r2 
 1  mr  r2 

 2r 

Do r 

2  mr
1  mr

2  mr  1  mr 
1

1  mr
1  mr

1

1  mr 

2

1
2
, nên ta lấy giá trị r  0 , Suy ra : r opt  
1  mr
1

(1.30)

Thế biểu thức (1.30) vào phương trình (1.26) ta được:
2
1,2



1
1  mr


1


mr
2  mr





(1.31)

2
Thay thế 1,2
từ (1.31) vào biểu thức (1.27) ta nhận được:

V1T 

 u1 T
u0



2  mr  u1  S


 V1S
mr
u0

(1.32)

Ta nhận thấy ; Vị trí của các điểm S và T không phụ thuộc vào các hệ số cản nhưng tung
độ cực đại của đường cong biên độ, tần số thì phụ thuộc vào hệ số cản ( thể hiện ở đồ thị
Hình 1.5 ). Để cho đường cong biên độ - tần số đạt cực đại tại các điểm S và T thì phải
  1
dV1
 0 khi 
thỏa mãn điều kiện : Đạo hàm
, thế biểu thức của r theo (1.30)
d
  2
dV1
 0 , ta sẽ nhận được hệ thức liên hệ giữa hai
và của  theo (1.31) vào phương trình
d
tham số  và mr . Tuy nhiên thực hiện theo cách này thì hệ thức nhận được sẽ rất cồng
kềnh và khó rút gọn. Do đó ta sẽ sử dụng phương pháp nhiễu động để tìm  mà không cần
lấy đạo hàm của hàm khuếch đại V1 . Theo ý tưởng của phương pháp, để cho đường cong

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

12

GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

đáp ứng V1   nhận điểm cố định S làm đỉnh cực đại, ta cho nó đi qua điểm S ' có hoành
độ  2  12   và tung độ V1 

2  mr
và sau đó tìm giới hạn khi cho  tiến tới không.
mr

Giải phương trình sau:

V1 

2r  4 22
1  2 2  2  2   m 22   4 22 1  2  m 2 2
r
r r
r


2



2  mr
mr

(1.33)

Từ (1.33) ta suy ra :

2 



2
r

 2   V12 1  2  2r  2   mr 2r 2 
2

2

(1.34)

2
4 V12 1  2  mr 2   1


2

Theo ý tưởng của phương pháp nhiễu động ở trên, sau khi thay  2  12   và

V1 

2  mr

vào (1.34) , ta sẽ có kết quả ở dạng :
mr
2 

A0  A1  A2 2  A3 3  ...
B0  B1  B2 2  B3 3  ...

(1.35)

Trong đó :

A0     



2 2
1

2
r



 2  mr  1  12  2r  12   mr r212 

2

mr

  2  mr  1  12  mr 12  

B0  4 
 1
mr


2
1









A1  2r V12 1  1  mr  r2   1  2 1  2V12r2  V12 1  1  mr  2r  12
2

 6V12 1  1  mr  2r  14  4V1216

B1  4 V12  1  16V12 1  mr  12  12V12 1  mr  14
2

A2 





1
mr   2  mr   2 1  12  2r  12   2mr 2r 12   212  1  2r 1  mr   
mr

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

13


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

1  2
2
41  2  mr 1  mr   8  2  mr 1  mr  1  12  mr 12  

mr 

B2 

1
 2  mr   412  2r2 1  mr   2 
mr

A3  

4

2
 2  mr 1  mr 
mr

B3 

Thay 12 

1
1  mr


mr
1 
2  mr



 vào biểu thức A0 ta có :




mr 
mr
1
 1 


2  mr   2  mr  

2  mr
A0   2r 

1


1  mr 
mr 
1  mr







Khai triển biểu thức trên và rút gọn ta được :
2

A0 

42r

1  mr 






4

1  mr 

4

42r

1  mr 

4

4

1  mr 

1  mr 

Vậy : A0 

4



mr
2
 mr r 1 
2  mr




1  mr



 3

mr
mr
mr
mr
 3mr2
 3mr

 mr3  2mr2  mr 
 mr
2  mr
2  mr
2  mr
2  mr



4

42r


mr
1


2  mr
 2 
r

1  mr




4


mr
mr

 mr  mr
2  mr
2  mr






 mr

mr3  3mr2  3mr  1  mr  mr2  2mr  1 



 2  mr


mr
mr

 mr  mr
2  mr
2  mr






 mr


mr
4
3
2
m

1

m
1  mr   mr 1  mr   






r
r
4 
2  mr
 2  mr
 1  mr  

42r

1  mr 

2

 mr



mr
4
mr 
1  mr   mr  
1  mr  

4 

2  mr
 2  mr

 1  mr  


Bây giờ ta thay giá trị r  r  opt  

1
từ (1.30) vào biểu thức A0 tính được ở trên ta
1  mr

có kết quả sau:

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

14








2


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

4

A0 

1  mr 



Thay 12 

4

 mr

4
1  mr   mr  

4
 2  mr
 1  mr 



mr
1  mr 
 mr 
2  mr



 mr

mr

1

m

m

m

1

m





0
r
r
r
r
4
2  mr
1  mr   2  mr


4

1
1  mr


mr
1 
2  mr



mr
4 1 
2  mr
B0  
1  mr


 vào biểu thức B0 ta có :




  2  mr

 mr





mr 
mr
 mr 1 
 1
2  mr 
2  mr
1  


1  mr
1  mr



2




  1








Rút gọn biểu thức B0 ta nhận được kết quả sau:
2



mr  
mr
mr 
4 1 

 mr  1 

 1  mr  mr

2

m
2

m
2

m
2

m


r 
r

r 
r 
B0  
 1


1  mr
mr 
1  mr










2




mr  
mr 
mr 
4 1 

 4 1 

m

1


 r 

2  mr   2  mr 
2  mr   2  mr
2  mr 





 1 
 m 

1  mr
1

m
1

m
 mr
r
r
r














mr

 2  mr


mr 
4 1 

2  mr 


1  10
1  mr

 A0  0
0
Do 
nên (1.35) có dạng vô định

khi   0 .Vì  là số rất bé, có thể bỏ qua
0
 B0  0
các số hạng bậc cao 2 ,3... và khi đó ta nhận được :
2 

A1
B1

(1.36)

Trong đó :

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

15

2


  1





GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ









A1  2r V12 1  1  mr  r2   1  2 1  2V12r2  V12 1  1  mr  2r  12
2

 6V12 1  1  mr  2r  14  4V1216

(1.37)

B1  4 V12  1  16V12 1  mr  12  12V12 1  mr  14
2

Thay các biểu thức của r  opt  từ (1.30) , 2 từ (1.31) , V1 từ (1.32) , A1 và B1 từ (1.37)
vào biểu thức (1.36) ta có:

 
2
S





mr 2mr2  2mr mr mr  2  4mr  3 mr mr  2



4 1  mr   mr  2  mr  mr mr  2
3



mr 3  2mr  2 mr mr  2
4 1  mr 

mr  2

3





mr  2  mr





3
1 


mr  3  mr  2 mr mr  2  mr 
2
2 
 
3
4 1  mr  mr  2 mr  2  mr







3
1
1 
3
mr   mr  2  
mr mr  2 
mr mr  2  mr 
2
2
2
2 
 
3
1 

mr  3  mr  2 mr mr  2  mr 
2

2 

3
4 1  mr  mr  2 mr  2  mr



  2S 

  2S 





 m  2  m 
m 2 m 2  m 

mr 3 mr  2  mr
4 1  mr 

3

r

r



mr 3 mr  2  mr

8 1  mr 

3

r

r

r



mr  2

Vậy biểu thức liên hệ giữa  và mr tại điểm S là :

 2S 



mr 3 mr  2  mr
8 1  mr 

3



(1.38)

mr  2

Tính toán tương tự ta thu được biểu thức liên hệ giữa  và mr tại điểm T là :
T2 

mr

8 1  mr 

3


mr
 3 
2  mr






Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

(1.39)

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

16


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

Trong thiết kế, người ta thường lấy  2 là giá trị trung bình của hai giá trị tìm được ở trên,
vậy ta có giá trị  tối ưu tìm được là :
2
 opt


 2S  T2
3mr

3
2
8 1  mr 

(1.40)

Với giá trị  opt tìm được ở trên, ta kiểm nghiệm lại đường cong đáp ứng biên độ - tần số
với lựa chọn mr  0.1,r  r  opt  . Lần lượt thay các giá trị   0,   và    opt theo
(1.40) vào biểu thức hàm khuếch đại (1.20) ta có được đồ thị sau:
V1

=0
=∞

mr = 0.1
T

S

opt = 0.9090

Hình 1.6
Hình 1.6 thể hiện các đường cong đáp ứng tần số của hệ chính không cản với một bố tắt
1
chấn động lực có khối lượng bằng một phần mười khối lượng chính, tức là mr  . Ba
10
đường cong đáp ứng tương ứng với hệ số cản của bộ tắt chấn động lực nhận các giá trị
bằng không, giá trị tối ưu và vô cùng. Với giá trị  opt tính được ta nhận thấy đường cong
đáp ứng biên độ - tần số đi qua hai điểm S và T đồng thời đại cực đại tại hai điểm đó.
Với mỗi giá trị  khác nhau bất kì , các đường cong đáp ứng biên độ - tần số đều đi
qua hai điểm S và T . Việc chọn giá trị  sao cho đường cong đáp ứng biên độ - tần số
ứng với giá trị này đạt giá trị cực đại tại hai điểm S và T còn được gọi là “ Phương pháp
hai điểm cố định ” .

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

17


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

d) Mô phỏng số bộ giảm chấn động lực kiểu song song
Với mô hình bộ giảm chấn động lực như Hình 1.4 . Các tham số tối ưu của bộ giảm
chấn được tính toán như sau:

+ Từ các thông số ban đầu m1,k1 ta tính được : 1 
+ Chọn m2 phù hợp ta tính được : mr 

k1
m1

m2
m1

+ Từ biểu thức tối ưu (1.30) ta có :


1
1
r  opt  
 2 
1  mr
1
1  mr
2 

1
k
1
 1
1  mr
m1 1  mr

Khi đó ta tính được độ cứng k2 của bộ giảm chấn được tính như sau:

k2 22 m2 k2 

k1m1mr

m1 1  mr 

2



k1mr

1  mr 

2

(1.41)

+ Từ biểu thức (1.40) ta có :
2
 opt


3mr

8 1  mr 

c2  2m21

3



c2
3mr

3
2m21
8 1  mr 

3mr

8 1  mr 

3

Khi đó độ cản nhớt của bộ giảm chấn động lực được tính như sau:

c2  2m1mr

3k1mr

8m1 1  mr 

(1.42)

3

Vậy với mô hình giảm chấn động lực Hình 1.4 các tham số tối ưu k2 và c2 của bộ giảm
chấn động lực được xác định theo các công thức (1.41) và (1.42) .

Ta mô phỏng hiệu quả của bộ giảm chấn động lực qua một vài bộ số liệu sau:
Trường hợp 1 : Với bộ số liệu :

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

18


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

m1  500kg,mr  0.1,k1  106

N
Rad
  
,F0  50 N
m
s

Khi đó bộ giảm chấn động lực có các thông số như sau :

N
kg
m2  50kg,k2  82644, 63 ,c2  750, 66
m
s

Hình 1.7 thể hiện hiệu quả của bộ giảm chấn động lực với các thông số của hệ chính và
khối lượng của m2 được chọn như trong Trường hợp 1.

Hình 1.7
Từ đồ thị đáp ứng Hình 1.7 ta có một số nhận xét sau :
-

Dao động của hệ chính khi chưa có bộ hấp thụ dao động có biên độ tăng giảm
đột ngột và có dạng giống như hiên tượng phách.
Dao động của hệ chính khi được lắp bộ hấp thụ dao động có dạng dao động điều
hòa và biên độ giảm đi đáng kể.

Trường hợp 2: Bộ số liệu :

m1  500kg,mr  0.1,k1  12.105

N
Rad
  
,F0  50 N
m
s

Khi đó bộ giảm chấn động lực có các thông số như sau :

N
kg
m2  50kg,k2  99173,55 ,c2  822,303
m
s

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

19


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

Hình 1.8
Trường hợp 3 : Bộ số liệu :

m1  500kg,mr  0.2,k1  11.105

N
Rad
  
,F0  50 N
m
s

Khi đó bộ giảm chấn động lực có các thông số như sau :

N
kg
m2  100kg,k2  152777, 78 ,c2  1954,34
m

s

Hình 1.9
Trường hợp 4: Bộ số liệu :

m1  500kg,mr  0.3,k1  115.104

N
Rad
  
,F0  50 N
m
s

Khi đó bộ giảm chấn động lực có các thông số như sau :

N
kg
m2  150kg,k2  204142, 01 ,c2  3255, 72
m
s

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

20


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

Hình 1.10
Từ các đồ thị Hình 1.8 , Hình 1.9 và Hình 1.10 ta nhận thấy : Hiệu quả của bộ giảm chấn
động lực phụ thuộc vào cả hệ chính và hệ phụ.
+ Khi độ cứng của hệ chính tăng lên, hiệu quả của bộ giảm chấn động lực cũng tăng theo.
+ Hiệu quả của bộ giảm chấn tăng nhanh khi khối lượng của hệ phụ tăng. Tuy nhiên khối
lượng của hệ phụ phải được chọn trong dải cho phép vì khối lượng của hệ phụ tăng sẽ ảnh
hưởng đến cấu trúc cứng vững của hệ thống khi làm việc, khi khối lượng quá lớn có thể
khiến hệ chính quá tải và bị hư hỏng.
+ Khi độ cứng của hệ chính và khối lượng bộ giảm chấn động lực tăng thì độ cứng và độ
cản nhớt của bộ giảm chấn cũng tăng theo.

1.2.2.2.Bộ giảm chấn động lực kiểu nối tiếp
Bộ giảm chấn động lực khi hệ chính
không cản kiểu nối tiếp được mô tả như
trong Hình 1.11. Trong đó hệ chính có
khối lượng m1 liên kết với nền cố định
thông qua một lò xo có độ cứng k1 đồng
thời chịu tác dụng của một lực cưỡng bức
có dạng fe(t) = F0cosΩt. Bộ giảm chấn
động lực bao gồm một vật nặng có khối
lượng m2 được gắn vào hệ chính qua lò xo
có độ cứng k2 đồng thời gắn với nền cố
định bằng một bộ cản nhớt tuyến tính với
hệ số cản nhớt c2 . Trong trường hợp này
lò xo k2 được nối nối tiếp với bộ cản nhớt
tuyến tính có hệ số cản c2 .

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

fe(t)
m1
y1
k2
1
1

k1
2

m2

2

k1
y2

c2
Hình 1.11

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

21


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

a) Thiết lập phương trình vi phân chuyển động
Chọn các tọa độ suy rộng y1 và y2 là các dịch chuyển tuyệt đối của hệ chính và hệ phụ,
gốc tại vị trí cân bằng tĩnh.
+ Tại ví trí cân bằng tĩnh ta có các phương trình cân bằng sau:

k11  m1 g  k22  0

k2 2  m2 g0

(1.43)

+ Động năng của cơ hệ :
T

1
1
m1 y12  m2 y22
2
2

(1.44)

+ Thế năng của cơ hệ :


1
1
2
2

k1  y1  1   k2  y2  y1  2   m1 gy1  m2 gy2  const
2
2

(1.45)

+ Hàm hao tán của cơ hệ :

1
  c2 y22
2

(1.46)

Các đạo hàm được tính như sau:

d  T 
d  T 
T
T
 0;
0

  m1 y1 
  m1 y2 
dt  y1 
dt  y2 
y1
y2




 k1  y1  1   k2  y2  y1  2   m1 g k1 y1  k2  y1  y2   k11  k2 2  m1 g
y1




k1 y1  k2  y1  y2 
y1




 k2  y2  y1  2   m2 g k2  y2  y1   k2 2  m2 g  k2  y2  y1 
y2





 0,
 c2 y2
y1
y1

Sử dụng phương trình Lagrange loại II :

d  T  T

 

Q*i

 
dt  qi  qi
qi qi

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

22


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

Ta thiết lập được phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ :

m1 y1   k1  k2  y1  k2 y2  F0 cos t



m2 y2  c2 y2  k2 y1  k2 y2  0

(1.47)

Hệ phương trình (1.47) cũng được viết lại dưới dạng ma trận như sau:

k2   y1   F0 cos t 


k2   y2   0


 m1 0   y1  0 0   y1   k1  k2
 0 m   y 0 c   y  k

2 2

2 2

2

(1.48)

b) Chọn các tham số của bộ giảm chấn động lực kiểu nối tiếp
Ta đưa vào các kí hiệu giống như trong (1.19) . Áp dụng phương pháp biên độ phức,
ta có hàm khuếch đại biên độ đáp ứng bình ổn của hệ chính.
u
V1  1 
u0

     4 
  m     4  1  m 
2 2

2

r

1   2  2r   2


r

2
r

2

2

2

2

2

2

r

2
r





2 2

(1.49)

Hiệu quả làm việc của bộ tắt chấn động lực có ma sát nhớt phụ thuộc vào việc chọn
các tham số , r ,  sao cho V1 đạt giá trị Min. Chủ yếu ta xét sự phụ thuộc của V1 vào
tham số  .
Khi chọn   0 , từ (1.49) ta có :

V1 

2r   2
1  2  2r  2   mr 2r 2

(1.50)

Khi    , từ (2.2) suy ra :

V1 

1
1  mr r2   2

(1.51)

Đầu tiên ta vẽ đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của hàm khuếch đại V1 vào  ( hay đồ thị
biên độ - tần số ) bằng cách thay các giá trị  0, 0.1, 0.32,  còn
1
mr 

, r  1 vào biểu thức hàm khuếch đại (1.49) và sử dụng phần mềm Maple thể
20
hiện trên cùng 1 đồ thị ta có:

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

23


GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

=∞

V1
=0

 = 0.32

T

1

mr = 20

 = 0.1
S

ωr = 1

Hình 1.12
Cũng giống như trong trường hợp 1, từ đồ thị Hình 1.12 ta có một vài nhận xét sau :
+ Đáp ứng của đường cong biên độ - tần số phụ thuộc vào giá trị  , hay độ cản nhớt của
bộ tắt chấn. Tuy nhiên đáp ứng không theo một quy luật cụ thể nào cả.
+ Khi độ cản lớn, đường cong biên độ - tần số tồn tại một điểm cực đại hay điểm cộng
hưởng, khi độ cản nhỏ, đáp ứng lại tồn tại 2 điểm cực đại là hai đỉnh cộng hưởng và một
điểm cực tiểu địa phương, ta gọi điểm cực tiểu này là điểm phản cộng hưởng.
+ Các đáp ứng biên độ - tần số đều đi qua 2 điểm S và T như hình vẽ. Điều này có nghĩa
là tồn tại 2 giá trị của  mà tại đó biên độ dao động của hệ chính không phụ thuộc vào 
hay độ cản nhớt của bộ tắt chấn.
Ta đi xác định hai giá trị này :
Từ (1.50) và (1.51) ta suy ra phương trình xác định các trị số này của  hay chính là giá
trị hoành độ của 2 điểm S và T.
2r   2
1

2
2
2
2 2
1   r    mr r 1  mr r2  2

  2r   2 1  mr r2   2    1   2  2r   2   mr 2r 2

  
4

2

2  m  
1   m  1   
2
r

2
r

r

2
r

2
r

0

(1.52)

Phương trình (1.52) là phương trình bậc 2 đối với 2 , nghiệm của phương trình này là:

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

24

GVHD: GS. TSKH . Nguyễn Văn Khang

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP KĨ SƯ CƠ – ĐIỆN TỬ

2
1,2


 1  1  mr  2r


2
1   mr  1 r2   2  2  mr r2 r2 

2


(1.53)

Trong đó 1 ,2 lần lượt là hoành độ các điểm cố định S và T. Thế các biểu thức của 1;2
vào (1.51) ta nhận được các biểu thức xác định tung độ các điểm S và T. Do 2  1 nên
từ (1.53) suy ra :

 u1 S
u0

 u1 T
u0



1
1  mr r2  12

(1.54)

1

1  mr r2   22

Để bộ tắt chấn làm việc ổn định, từ điều kiện 2 tung độ S và T bằng nhau ta có :
1
1

 12  22  2 1  mr 2r 
2
2
1  mr r  1
1  mr r2  22

(1.55)

Do 12 ,22 là 2 nghiệm của phương trình (1.52) , nên theo định lí Viet ta có :
2 1  mr r2   12  22  1   mr  1 r2

 2  2mr r2  1  mr r2  r2

 2r 1     1
Vậy giá trị r tối ưu tìm được là :

1
1  mr

r  opt  

(1.56)

Thế biểu thức (1.56) vào (1.53) ta được :
2
1,2


2  mr

(1.57)

2 1  mr 

Thay  22 này vào biểu thức (1.54) ta được :

V1 2  

 u1 T
u0



2 1  mr 
2mr



 u1 S
u0

Sinh viên thực hiện : Lương Bá Trường ,

 V1 1 

KTCĐT 3 – K55 , MSSV 20100774

(1.58)

25