THẦY DUY THÀNH bí KÍPCHINH PHỤC các bài TOÁN HÌNH VUÔNG CHUYÊN đề OXY

Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán

BÍ KÍP HẠ GỤC CÁC BÀI TOÁN HÌNH VUÔNG TRONG 15 PHÚT C
DẠNG 1. Phát hiện yếu tố vuông góc
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm
E 7;3 là một điểm nằm trên cạnh
BC . Đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABE cắt đường chéo BD tại
điểm N  N  B . Đường thẳng
AN có phương trình 7x 11y  3

B

A

 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C,

H

D của hình vuông ABCD, biết A
có tung độ dương, C có tọa độ
nguyên và nằm trên đường thẳng

I

2x  y  23  0 .

N

C

D
Giải: Tứ giác ABEN nội tiếp đường tròn đường
AE  ANE  900  AN  NE
 NE :11x  7   7  y  3  0
11x  7 y  56  0

kính

7

x

11x  7 y  56  0

2
Tọa độ của N là nghiệm của hệ: 7 x  11 y  3  0  

 y  5

2

Gọi H là trung điểm của AE, có NBE  450  NHE  900  AN  NE
A(a, 

7a  3
2
2
) . Có AN =NE => A(-2;1).
11

Gọi C c; 2c  23  trung điểm I của AC :
c2
c2
, c  11)  IA  (
,12  c);
2
2
9  c 17
IN  (
,  c)
2 2
I(

E


Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán

c  10
Ta có AIN=90 nên IA.IN  0   39  C (10; 3); I (4; 1).
c  (l )
5



 EC  3; 6  BC : 2  x  7    y  3  0  2x  y 17  0.
1 3
IN   ;   BD : 3( x  4)  ( y  1)  0  3x  y  13  0.
2 2

2x  y  17  0
x  6
Tọa độ điểm B thỏa mãn: 

 B(6;5), D(2; 7).
3x  y  13  0
y  5

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD, biết hai đỉnh
A1; 1, B 3; 0 . Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
Giải: Gọi C(x 0 , y 0 ), khi đó AB  (2;1), BC  (x 0  3; y0 )
Từ ABCD là hình vuông, ta có:


 x0  4



 y0  1
 AB  BC
2 ( x0  3)  1. y0  0




2
2
 x 2
 0



(x 0  3)  y0  5
 AB  BC

 

 y0  2
Với C1 4; 2  D1 2; 3 ( từ đẳng thức AB  DC ).
Với C2 2; 2  D1 0;1 ( từ đẳng thức AB  DC ).
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có
10 11
2
, ) và E(3, ) lần lượt là trọng tâm của tam giác
3 3
3

tâm I . Các điểm G (

ABI và tam giác ADC. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD,
biết tung độ đỉnh A là số nguyên.
Giải:


Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán

A

B
G
M

N
I
E

D
Gọi M là trung điểm của BI và N là hình chiếu
vuông góc của G lên BI .
IN
AG 2
2
1
Ta có GN //AI 

  IN  IM  BI . 1 .
IM AM 3
3
3
E là trọng tâm ACD

1
1
2
IE  DI  BI  EN  IN  IE  BI  BN .
3
3
3
 BN  EN  BGE cân tại G
 GA  GB  GE  A, E, B cùng thuộc đường tròn tâm G
AGE=2ABE=90


 AGE vuông cân tại G
Phương trình  AG: x  13y  51  0  A 51  13a; a
Khi đó AGE vuông cân tại G  AG  GE
2

2

11  170
 143
 
AG  
 13a    a   
3
9
 3
 
2

2

11  1

 a   
3 9

10

a



3  A(1;4).

a  4
Phương trình BD đi qua E và M  BD : 5x  3y  17  0
Phương đường tròn G : tâm G, bán kính GA:
2
2
10  
11  170

.
x   y  
3 
3
9


C


Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán
B là giao điểm thứ hai của BD và G   B 7; 6
Phương trình  ADqua A và vuông góc AB   AD : 4x  y  0  D 1; 4
ABCD là hình vuông  AB  DC  C 9; 2 .
Vậy A 1; 4 , B 7; 6 , C 9; 2 và D 1; 4 .
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C
thuộc đường thẳng d : x + 2y - 6 = 0, điểm M(1;1) thuộc cạnh BD biết rằng hình
chiếu vuông góc của điểm M trên cạnh AB và AD đều nằm trên đường thẳng
∆ : x + y -1 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh C.
Giải:

H

A

B

I
K

M

N

D

C

.

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB,AD. Gọi N là giao
điểm của KM và BC. Gọi I là giao điểm của CM và HK.
Ta có ∆ DKM vuông tại K và DKM = 450.
 KN=KD  KM=NC (1)
Lại có MH = MN ( do MHBN là hình vuông). Suy ra hai tam giác vuông
KMH, CNM bằng nhau
 HKM  MCN

Mà NMC  INK Nên NMC  MCN  IMK  HKM  900
Suy ra CI  HK
Đường thẳng CI đi qua M(1;1) và vuông góc với đường thẳng d nên có phương

trình:
(x-1) + (y-1) = 0  x – y = 0
Do điểm C thuộc đường thẳng CI và đường thẳng d nên tọa độ điểm C là
nghiệm của hệ phương trình



x  y 0
x  2 y 6 0

  xy22 .


Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán
Vậy C(2; 2).
Bài 5. Cho hình vuông ABCD và M là một điểm thuộc cạnh CD. Qua điểm A
dựng đường thẳng d vuông góc với AM, d cắt đường thẳng BC tại điểm N. Biết
trung điểm của MN là gốc tọa độ O, I là giao điểm của AO và BC. Tìm tọa độ
điểm B của hình vuông biết A(-6;4), I(3;-2) và N có hoành độ âm.
Giải:

.
MN: 3x-2y=0, N(-4;-6)

.
Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh
AB, AD lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu vuông
2
5

góc của A trên DE. Biết H ( ; 

14
8
), F ( , 2) , C thuộc đường thẳng d : x  y  2  0
5
3

, D thuộc đường thẳng d ' : x  3y  2  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Giải:


Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán

F

A

D
d'

E H
I

B

M

C
d

Gọi M là giao điểm của AH và BC.
Hai tam giác ADE và BAM bằng nhau nên BM = AE =
AF. Suy ra các tứ giác ABMF, DCMF là các hình chữ
nhật..
Gọi I là giao điểm của FC và MD.
1
2

1
2

Ta có HI  MD  FC nên tam giác HFC vuông tại H.
Giả sử C(c; 2 – c). HC.HF  0  C2; 4
Giả sử D(3m– 2; m). DC.DF  0  D4; 2
PT đường thẳng AD: 3x – y – 10 = 0. Giả sử A(a; 3a – 10).
DA=DC, suy ra

 aa62   AA(6,8)
(2,4)
Vì DF , DA cùng hướng nên A(2; – 4) .
CB  DA  B4; 2 .
Vậy A(2; – 4), B4; 2 , C2; 4 , D4; 2
DẠNG 2. Hình vuông có sử dụng yếu tố góc
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Biết trung điểm
cạnh AB là M(0;3), trung điểm đoạn thẳng IC là E(1;0) và điểm A có tọa độ
nguyên. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D.
Giải:

Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán

F

C

D

E(1,0)
I

A

M(0,3)

B

Đặt α  AEM ,00 α 900 ,ta có:
BF
 3  tan(  450) )  3
BM
1  tan 
1
2

 3  tan    cos  
1  tan 
2
5
tan EMB 

Ptđt ME là: 3x  y  3  0.
Đường thẳng AC đi qua điểm E(1;0) và tạo với đt ME một góc  sao cho
cos  

2
có pt là:
5

x  y 1  0 hoặc  7x  y  7  0
TH 1: Pt đt AC là: x  y 1  0
 d M ; AC 2  AM  MI  2 .Suy ra phương trình đường tròn tâm M qua A và I
là: x 2  y  32  4.
Tọa độ của A và I là nghiệm của hệ:



x  y 10
x2  ( y 3)2  4

2
x 0
  xy

 y1
3

Vì I nằm giữa A và E nên A 2;3; I 0;1  B2;3;C2;1, D 2;1 (t/m gt)
TH 2: Pt đt AC là:  7x  y  7  0
Tương tự tìm được tọa độ A nhưng không nguyên nên loại.

Tóm lại tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD là:
A 2;3, B2;3, C2;1, D 2;1


Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán
Bài 8. Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy), cho hình vuông ABCD. Điểm M nằm trên
đoạn BC, đường thẳng AM có phương trình x + 3y - 5 = 0, N là điểm trên đoạn
CD sao cho góc BMA = AMN. Tìm tọa độ A biết đường thẳng AN qua điểm
K(1;-2).
Giải:

A

B

M

H

D

N

C

Ta kẻ AH  MN có MAB=MAH  AH  AB  AD và MAB  MAH (1)
Suy ra MAH=ADH và NAD  HAN (2)
Từ (1)&(2) suy ra MAN  450
Gọi véc tơ pháp tuyến của AN là n  (a;b), a2  b2  0
Do AN qua K(1;-2) nên AN có phương trình

a(x 1)  b( y  2)  0  ax  by  a  2b  0
Ta có cos( AM , AN )  cos450

a  3b
10 a  b
2

2



1
2

 4a2  6ab  4b2  0,(*)
+ Nếu b  0  a  0 vô lý.
a
b  2
a 2
a
+ Nếu b≠0  (*)  4( )  6  4  0  
b
b
 a  1
 b 2

a
Với b  2 , chọn a=2, b=1, khi đó AN có phương trình 2x  y  0.

Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán

Ta có A là giao điểm của AN và AM từ đó ta tìm được A(-1;2).

a 1
Với b  2 , chọn a=-1, b=2, khi đó AN có phương trình x  2y  5  0
Ta có A là giao điểm của AN và AM từ đó ta tìm được A(5;0).
Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm E(2;3)
thuộc đoạn thẳng BD , các điểm H (2;3) và K (2; 4) lần lượt là hình chiếu
vuông góc của điểm E trên AB và AD. Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C, D của
hình vuông ABCD.
Giải:
Ta có: EH : y - 3 = 0, EK : x - 2 =0
 AH : x  2  0

 A(2, 4)
 AK : y 4  0

Giả sử n  (a; b)  a 2  b 2  0 là VTPT của đường thẳng BD .
Có: ABD  450 nên:

|a|
a 2  b2



2
 a  b
2

Với a  b , chọn b  1  a  1  BD : x  y 1  0


 EB  (4;4)
 B  2; 1 ; D 3; 4  
 EB  4ED  
ED

(1;1)


Suy ra E trong đoạn BD (Thỏa mãn)
Khi đó: C 3; 1
Với a  b , chọn b  1  a  1  BD : x  y  5  0 .
 B(-2,7), D(1,4)


 EB  (4;4)

  

 EB  4ED


ED  (1;1)
Suy ra E ngoài đoạn BD (Loại)

Vậy: A2; 4 , B 2; 1, C 3; 1, D3; 4

Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán
DẠNG 3. Hình vuông sử dụng tính đối xứng
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(4; 6).
Gọi M , N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC và CD sao
cho MAN  450 , M(-4,0) và đường thẳng MN có phương trình 11x + 2 y + 44 = 0.
Tìm tọa độ các điểm B, C, D.
Giải:

B

A
F

M
I

E

D

N

H

C

Có E  BD  AN , F  BD  AM , I  ME NF
Ta có MAN  NDB  MBD  450 . Nên hai tứ giác ADNF , ABNE nội tiếp. Do đó
ME  AN , NF  AM . Suy ra AI  NM .
Gọi H  AI  NM . Ta có ABME, MNEF là các tứ giác nội tiếp nên

AMB  AEB  AMH .
Suy ra ∆AMB = ∆AMH . Do đó B là đối xứng của H qua đường thẳng AM .
24 22

Từ AH  NM tại H , tìm được H (
, ) . Do B là đối xứng của H qua AM ,
5 5
nên tìm được B(0; -2).
Tìm được BC : 2x + 4 y +8 = 0, CD : 2x - y + 18 = 0 suy ra C(-8; 2).
Từ AD  BC ta tìm được D(-4;10).
Bài 11. Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M thuộc đoạn BD. Đường phân giác
góc BAM và DAM lần lượt cắt BC và CD tại F(-4;1) và E(-1; -3). Biết

 10 3 
M
;  , tìm toạ độ D, biết A có tung độ dương.
 7 7
Giải:


Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán

B

A

M
I

F

H
D

E

C

Trên tia đối tia DC lấy I sao cho BF = DI.
Chứng minh được hai tam giác AEF và AEI bằng nhau
 EAM  AEH  AED  DAE  900

Suy ra AM vuông góc với EF.
Phương trình AM là 3x  4 y  6  0 , rút ra toạ độ điểm A có dạng 4t  2;3t  , t
> 0.
Ta có: cos EAF 

AE. AF
với EAF  450 , thay toạ độ A vào ta được
| AE | .| AF |

1
(4t  1)(4t  2)  (3t  3)(3t  1)
1
5t 2  2t  1



2
2

(4t  1)2  (3t  3) 2 (4t  2) 2  (3t  1) 2
5t 2  2t  2 5t 2  2t  1
Đặt a  5t 2  2t 1, suy ra a > 0, giải ra được a = 6.
Suy ra 5t 2  2t  7  0 , vì t > 0 nên nhận t = 1. Khi đó A có toạ độ (2; 3).
I là đối xứng của F qua AE nên có toạ độ (4; -3).
CD qua I và E nên có phương trình y  3  0
AD qua A vuông góc với (CD) nên có phương trình x  2  0
D là giao điểm của AD và CD nên D(2; -3).
Theo dõi thêm các tài liệu khác tại Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
Học qua video online tại Youtube: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán


Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán