TÍCH HỢP GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ TRONG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 11-12

Sở GD & ĐT Tỉnh Bà Rịa –Vũng Tàu.
Năm học 2009 - 2010 .

SKKN : KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC
TRONG CÁC BÀI TOÁN TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN.
Họ và tên : VŨ HỮU VIÊN .
Chức vụ : Giáo viên.
Đơn vị : Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn.

A.LÝ DO :
Trong chương trình toán lớp 12, phương pháp toạ độ để giải quyết các bài toán hình học không
gian là một công cụ rất hiệu quả. Bên cạnh việc “đại số hoá” một mô hình hình học với kĩ thuật chính là
xây dựng một hệ trục toạ độ thích hợp, các “bài toán ngược” – tức là chuyển ĐẠI SỐ
→
HÌNH HỌC cũng
là một thử thách không nhỏ đối với học sinh.
B.MỤC ĐÍCH :
Qua một số bài toán đặc trưng trên các mô hình hình học cơ bản, với cách đặt vấn đề đa dạng, giúp
học sinh củng cố và nâng cao kiến thức, kỹ năng giải toán hình không gian với sự tương tác giữa hai môi
trường đại số và hình học.
C.NỘI DUNG :
Bài toán 1.
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có A và A’ thuộc đường thẳng
1
1
:
2 1 1
x y z
d

−
= =
−
; B và C’ thuộc đường thẳng
2
1 1
:
1 2 1
x y z
d
− +
= =
− −
.
a.Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
b.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
* Phân tích: Với dữ kiện của đề bài, đại lượng góc và khoảng cách của hai đường thẳng phải được xác
định, thêm nữa có thể xét đến đoạn vuông góc chung của chúng.
Học sinh phải nắm được tính chất cơ bản của hình lăng trụ đều, biết cách xác định góc và khoảng cách của
hai đường thẳng chéo nhau, biết xác định tâm và bán kính mặt cầu…từ đó
định hướng giải quyết bài toán.
* Tóm tắt lời giải:
+ Gọi M là trung điểm BC, ta có
( )
' 'AM BCC B⊥
, mà
( )
[ ] [ ]
1 2
' ' // ' '; ' ;BCC B AA AM d AA BC d d d⇒ = =

+
[ ]
1 2 1 2
1 2
1 2
;
; 3
;
u u M M
d d d
u u
 
 
= =
 
 
ur uur uuuuuur
ur uur
;
·
( )
·
( )
0
1 2 1 2
1
cos ; ; 60
2
d d d d= ⇒ =
.

+ Tam giác đều ABC có AM =
3 2 3
ABC
AB S⇒ = ⇒ =
.
Tam giác vuông B’BC’ có
·
0
0
' ' 2
' ' 60 '
tan 60
3
B C
B BC BB= ⇒ = =
.
+ Thể tích khối chóp là
'. 2
ABC
V BB S= =
.
+ Bán kính của mặt cầu:
2 2
' 13
2 2 12
BB AM
R
   
= + =
 ÷  ÷

   
+ Tâm cầu là trung điểm của đoạn vuông góc chung PQ của d
1
và d
2
:
Việc tìm toạ độ các điểm P, Q khá phức tạp cho dù có phương pháp đơn giản, để có một kết quả đẹp
( kết thúc có hậu!) nên chọn trước P, Q và sau đó xây dựng phương trình hai đường thẳng nhận PQ là đoạn
vuông góc chung. Đây cũng là một dạng đề bài cho học sinh rèn luyện:
Bài toán 1.1 Cho P(0;1;2) và Q(-2;0;2). Viết phương trình hai đường thẳng a, b nhận PQ là đoạn vuông
góc chung và góc giữa a, b là 90
0
hoặc 60
0
. Nhận xét gì về số nghiệm hình? Nên thêm giả thiết nào để số
nghiệm hình là hữu hạn?
+ Phân tích: a, b qua P, Q và lần lượt chứa trong mặt phẳng qua P, Q và vuông góc với PQ. Giả thiết góc
cũng chưa đủ để xác định a, b. Nếu cố định a (ví dụ thêm giả thiết a nằm trong mặt phẳng cố định qua P)
thì xác định được b( một hoặc hai nghiệm hình tuỳ theo góc 90
0
hoặc 60
0
).
Hoàn toàn tương tự bài toán 1, khi thay một chút giả thiết ta có bài toán sau:
Bài toán 1.2 Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD
là hình vuông, A và A’ thuộc đường thẳng
1
1

:
2 1 1
x y z
d
−
= =
−
; D và B’ thuộc đường thẳng
2
1 1
:
1 2 1
x y z
d
− +
= =
− −
. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình hộp và phương trình CC’.
+Phân tích: Yếu tố khoảng cách, góc và đoạn vuông góc chung vẫn cần thiết để tính các kích thước của
hộp. Đoạn vuông góc chung PQ với Q thuộc d
2
là tâm mặt cầu và bán kính cầu là nửa đường chéo B’D.
CC’ đối xứng với A’A qua Q.
Bài toán 2. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tứ diện đều ABCD nội tiếp mặt cầu (S) có tâm
I(0;1;2) và đường thẳng AB có phương trình:
1
1 2
1

x t
y t
z t
= +


= −


= +

. Viết phương trình đường thẳng CD và phương
trình (S).
* Phân tích: Học sinh phải dựng hình và biết khai thác tính chất tứ diện đều : nếu M, N là trung điểm AB,
CD thì I là trung điểm MN và
,MN AB CD⊥
.Vậy M là hình chiếu của I trên (d).
Biết độ dài MN suy được bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp.
* Tóm tắt lời giải:
+ M(1;1;1) và N(-1;1;3).
+ CD qua N và
,CD AB IM⊥
nên CD có VTCP:
; ; (1; 2;1), (1;0; 1) (2;2;2)u d IM d IM u
 
= = − = − ⇒ =
 
r ur uuur ur uuur r
.
* Phương trình CD:

1 2
1 2 ;( )
3 2
x t
y t t
z t
= − +


= + ∈


= +

¡
.
* Dựng hình lập phương có MN =
2 2
là đoạn nối 2 tâm đáy, tứ diện đều ABCD có 6 cạnh là các đường chéo
của các mặt lập phương, suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương (cũng là ngoại tiếp tứ diện đều) là
R =
1
3 6
2
MN =
,phương trình (S):
2 2 2
( 1) ( 2) 6x y z+ − + − =
.
Một vài bài toán tương tự:

Bài toán 2.1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có đỉnh A(3;-2;2) và có mặt
cầu ngoại tiếp là (S):
2 2 2
2 4 3 0x y z x y+ + − + − =
. Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
+ Kết quả: (BCD):
1
0
3
x z+ + =
.
Bài toán 2.2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ các đỉnh tứ diện đều ABCD có phương trình
AB:
2 1
1 2 1
x y z− −
= =
−
và CD:
1 2
1 1 3
x y z− −
= =
.
+ Xác định đoạn vuông góc chung PQ, tính khoảng cách (AB, CD), suy ra độ dài cạnh tứ diện và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. A, B, C, D là giao của mặt cầu ngoại tiếp và hai đường thẳng AB, CD. Hoặc là
giao của mặt cầu tâm P,Q bán kính AB/2.
Bài toán 2.3. Trong không gian toạ độ
Oxyz
cho mặt cầu (T):

2 2 2
2 4 3 0x y z x y+ + − + − =
. Một hình
chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau nội tiếp trong (T) và có đỉnh S(-1;-4;0). Viết phương trình
mặt phẳng (ABCD).
+ Chứng minh S.ABCD là chóp đều có tâm cầu trùng với tâm ABCD.
Bài toán 3. Trong không gian toạ độ
Oxyz
cho (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng:
( ) : 2 0,( ) : 1 0P x my mz Q mx y mz m+ - + = + + + - =
với tham số m khác -1.
a/.Chứng minh (d)đi qua một điểm cố định và chứa trong một mặt phẳng (T) cố định.
b/.Gọi H là hình chiếu của O trên (d).Chứng minh H thuộc một đường tròn(C) cố định. Tìm tâm và bán
kính của (C).
* Phân tích: Điểm cố định K có toạ độ thoả hệ
2 0
1 0
0
1 0
x
y
y z
x z
+ =


− =


− =



+ + =

,vậy K(-2;1;1)
Véc tơ chỉ phương của d:
2 2
( ; ;1 )d m m m m m= + − − −
ur
có phương vuông góc với một véc tơ hằng, khác véc
tơ - không :
(1;1;0)u =
r
.
Vậy d chứa trong mặt phẳng (T) qua K, nhận
(1;1;0)u =
r
là VTPT : x + y + 1 = 0.
Hoặc, có thể chỉ ra toạ độ mọi điểm thuộc d đều thoả hiệu của hai phương trình (P) và (Q) : x + y +1 = 0.
Áp dụng một bài toán quỹ tích cơ bản trong hình học : Cho đường thẳng d di động qua một điểm cố định
K và chứa trong mặt phẳng cố định (P), hình chiếu của điểm cố định A trên d thuộc đường tròn cố định
đường kính A’K nằm trong (P) , với A’ là hình chiếu của A trên (P).
Từ đó giải quyết được bài toán.
Một bài toán quỹ tích tương tự :
Cho mặt phẳng (P) di động qua một đường cố định d , hình chiếu của điểm cố định A trên (P) thuộc
đường tròn cố định đường kính AA’ nằm trong (Q) , với A’ là hình chiếu của A trên d và (Q) là mặt
phẳng cố định qua A và vuông góc với d.
Ta có bài toán sau :
Bài toán 3.1 Trong không gian toạ độ
Oxyz

cho mặt phẳng (P):
2 ( 1) 1 0mx y m z
− + − + =
. Chứng minh
rằng hình chiếu của A(1 ;2 ;3) trên (P) thuộc một đường tròn cố định. Viết phương trình tiếp tuyến tại A
của đường tròn này.
+Phân tích :
2 ( 1) 1 0 ( ) (2 1) 0mx y m z m x z y z
− + − + = ⇔ + − + − =
. Suy ra (P) chứa đường thẳng d cố định
là giao tuyến của hai mặt phẳng x + z = 0 và 2y + z – 1 = 0, (hoặc chỉ ra hai điểm cố định của (P)).
Sau đó áp dụng bài toán nêu trên.
Phương trình tiếp tuyến : qua A và có véc tơ chỉ phương
[ ; ]
Q
u IA n=
r uur uur
với I là tâm đường tròn,
Q
n
uur
là VTPT
của (Q).
D.KẾT LUẬN :
Rõ ràng với những kiểu đề bài nói trên, những học sinh không nắm chắc kiến thức hình học, cho dù chỉ
là kiến thức cơ bản, rất khó có thể giải quyết được trọn vẹn. Phương pháp toạ độ có hiệu ứng rất tốt trong
nhiều bài toán hình học không gian , và các tính chất hình không gian nếu khéo léo kết hợp với các bài toán
toạ độ thì người dạy có thể đặt ra nhiều mục tiêu trong cùng một bài toán, giúp học sinh vừa rèn luyện tư
duy hình học, vừa có kỹ năng tính toán đại số.
Vũng tàu, 3/ 2010.

Người viết: Vũ Hữu Viên