Thiết kế bộ lọc thông cao có tần số cắt 1600khz

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan nội cung của đồ án này không phải là bản sao chép của bất cứ đồ
án hoặc công trình đã có từ trước. Nếu vi phạm, em xin chịu mọi hình thức kỷ luật
của Khoa.

Đà Nẵng, ngày 02 tháng 06 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Sanh Quang

MỤC LỤC


MỤC LỤC

TỪ VIẾT TẮT
BPF

Band Pass Filter

Bộ lọc thông dải

BSF

Band Stop Filter

Bộ lọc chắn dải

DF

Digital Filter

Bộ lọc số

DFT

Discrete Fourier Transform

Biến đổi Fourier rời rạc

DSP

Digital Signal Processing

Xử lý tín hiệu số

FIR

Finite Impulse Response

Đáp ứng xung hữu hạn

FPGA

Field Programmable Gate Array

Mảng cổng lập trình được dạng
trường

HPF

High Pass Filter

Bộ lọc thông cao

IDFT

Inverse Discrete Fourier Transform

Biến đổi Fourier rời rạc ngược

IIR

Infinite Impulse Response

Đáp ứng xung vô hạn

LPF

Low Pass Filter

Bộ lọc thông thấp

LTI

Linear Time Invariant

Tuyến tính bất biến theo thời gian

RF

Radio Frequency

Sóng vô tuyến

2


MỞ ĐẦU

MỞ ĐẦU
Tín hiệu xuất hiện hầu như ở tất cả các ngành khoa học kỹ thuật như: thông tin liên
lạc, rada, vật lý, sinh học… Có hai dạng tín hiệu: một là tín hiệu tương tự (liên tục
theo thời gian), hai là tín hiệu số (tín hiệu rời rạc). Ngày nay, với sự phát triển của
công nghệ, máy tính và xu hướng số hóa thì hầu hết các tín hiệu tương tự đều được
chuyển đổi thành tín hiệu số để truyền tải, lưu trữ và xử lý. Do đó, xử lý tín hiệu số
(DSP) càng ngày càng trở nên quan trọng, phổ biến và được ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực và thiết bị. Để có thể tiếp cận lĩnh vực này, chúng ta cần có
những kiến thức cơ bản về tín hiệu số và các phương pháp xử lý.
Một trong những phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề
cập đến nhiều nhất trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (DF). Nếu xét đáp ứng
xung có thể chia các bộ lọc số thành hai loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu
hạn FIR và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR. Còn nếu xét về đáp ứng tần số biên
độ có thể chia các bộ lọc FIR hay IIR thành bốn loại cơ bản: bộ lọc thông thấp
(LPF), bộ lọc thông cao (HPF), bộ lọc thông dải (BPF) và bộ lọc chắn dải (BSF).
Việc thiết kế bộ lọc FIR hay IIR đều có nhiều phương pháp khác nhau, mỗi phương
pháp có những ưu và khuyết điểm riêng.
Trong đồ án này sẽ tìm hiểu các phương pháp thiết kế bộ lọc FIR và IIR, đồng thời
thiết kế và mô phỏng hai loại bộ lọc này. Nội dung của đồ án được chia thành bốn

chương nhỏ như sau:
 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Trình bày tổng quan về bộ lọc số, những ưu điểm nổi bật của bộ lọc số, phân loại.
Tìm hiểu về các dạng cấu trúc của hai loại bộ lọc FIR và IIR.
 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR

Tìm hiểu về các phương pháp thiết kế thông dụng nhất của bộ lọc FIR.
3


MỞ ĐẦU
 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR

Tìm hiểu về các phương pháp thiết kế bộ lọc IIR và các loại bộ lọc tương tự thông
dụng dùng để chuyển đổi thành bộ lọc số IIR.
 CHƯƠNG 4: TÍNH TOÁN VÀ MÔ PHỎNG

Tiến hành tính toán, thiết kế bộ lọc FIR cũng như IIR và mô phỏng các bộ lọc này.
Phương pháp nghiên cứu xuyên suốt đồ án là tính toán, thiết kế và mô phỏng các bộ
lọc số theo những phương pháp khác nhau để thấy rõ hơn những ưu và khuyết điểm
của các phương pháp này. Đồng thời nắm rõ hơn về bộ lọc số để có thể ứng dụng
chúng vào thực tiễn một cách hiệu quả nhất.
Đồ án đã tiến hành tính toán, thiết kế và mô phỏng các bộ lọc FIR và IIR theo các
phương pháp khác nhau.

4


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
1.1 Giới thiệu chương
Lọc là một quá trình rất quan trọng trong xử lý tín hiệu. Ngày nay, hầu hết tín hiệu
được chuyển thành tín hiệu số để truyền tải hoặc lưu trữ nên bộ lọc số được sử dụng
rất phổ biến trong xử lý tín hiệu. Để xử lý tín hiệu, chúng ta phải thiết kế và thực
hiện hệ thống (bộ lọc). Vấn đề thiết kế bộ lọc bị ảnh hưởng bởi các yếu tố như loại
bộ lọc hoặc cấu trúc của nó. Do đó, trước khi đi vào việc thiết kế, chúng ta cần tìm
hiểu về bộ lọc bởi vì cấu trúc bộ lọc khác nhau thì sẽ cần có chiến lược thiết kế khác
nhau. Trong chương này sẽ tìm hiểu một số lý thuyết cơ bản về bộ lọc số, các thành
phần cơ bản cấu thành bộ lọc số để tạo tiền đề cho việc tìm hiểu các cấu trúc bộ lọc
số cũng như các phương pháp thiết kế và thiết kế một bộ lọc số trong các chương
sau. Nội dung cơ bản của chương này như sau:
•
•
•
•
•

Khái niệm bộ lọc.
Các chỉ tiêu của bộ lọc.
Các ưu điểm của bộ lọc số.
Phân loại và đặc điểm của từng loại.
Các thành phần cơ bản của bộ lọc.

1.2 Khái niệm
1.2.1 Khái niệm bộ lọc
- Bộ lọc là một tập hợp các linh kiện thiết bị có thể xử lý nhằm loại bỏ những tín
hiệu không mong muốn và giữ lại những tín hiệu mà ta quan tâm đến.
1.2.2 Khái niệm bộ lọc số
Trước tiên ta xét hệ thống tuyến tính bất biến trong miền biến số n:

x(n)

y(n)
h(n)

5


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Hình 1.1 Hệ thống tuyến tính bất biến trong miền biến số n.
Trong đó:

h(n): là đáp ứng xung của hệ thống, là đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trong miền
biến số n. Mặt khác, một hệ thống tuyến tính bất biến cũng được biểu diễn bởi
phương trình sai phân sau:

Tổng hợp tất cả các hệ số ak và br sẽ biểu diễn một hệ thống tuyến tính bất biến. Tức
là các hệ số ak và br đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống.
Trong miền z, hệ thống được đặc trưng bởi hàm truyền đạt H(z):

Khi đó, trong miền tần số:
Nếu hàm truyền đạt H(z) được đánh giá trên vòng tròn đơn vị |z|=1 thì chúng ta có
đặc tính tần số :

Quan hệ trên cho thấy rằng việc phân bố tần số và pha của tín hiệu vào x(n) được
tác động bởi hệ thống tùy thuộc vào dạng của . Chính dạng của đã xác định việc

6

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
suy giảm hay khuếch đại các thành phần tần số khác nhau. Các hệ thống tương ứng
với này có đặc tính tần số mong muốn và có thể thực thi được về mặt vật lý được
gọi là bộ lọc số.
1.3 Các bộ lọc lý tưởng
Có bốn bộ lọc số lý tưởng là:
•
•
•
•

Bộ lọc số thông thấp.
Bộ lọc số thông cao.
Bộ lọc số thông dải.
Bộ lọc số chắn dải.

Trong thực tế, các bộ lọc số lý tưởng đều không thể thực hiện được về mặt vật lý
mặc dù xét trường hợp đáp ứng xung h(n) thực bởi vì chiều dài của h(n) là vô cùng.
Vì vậy, trong thực tế ta chỉ có thể thiết kế bộ lọc số gần lý tưởng, tức là thỏa mãn
một số chỉ tiêu nào đó tùy theo mục đích sử dụng của bộ lọc.
1.4 Các chỉ tiêu của bộ lọc
Có 2 nhóm chỉ tiêu:
+ Các chỉ tiêu tuyệt đối.
+ Các chỉ tiêu tương đối.
Để thấy một cách trực quan ta lấy bộ lọc thông thấp làm ví dụ:

7

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Hình 1.2 Các chỉ tiêu của bộ lọc: chỉ tiêu tuyệt đối và chỉ tiêu tương đối. [6]
Trong đó:
+ được gọi là dải thông.
+ được gọi là dải chắn.
+ được gọi là dải chuyển tiếp và không có ràng buộc nào về đáp ứng biên độ trong
dải này.
•

Các chỉ tiêu tương đối gồm có:

+ : độ gợn trong dải thông tính theo dB.
+ : độ gợn trong dải chắn tính theo dB.

•

Các chỉ tiêu tuyệt đối:
8


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

1

Dải thông

Dải
chuyển

tiếp

Dải chắn

Hình 1.3 Đặc tuyến của bộ lọc thông thấp trong thực tế. [6]
Trong đó:
+ : độ gợn trong dải thông.
+ : độ gợn trong dải chắn.
+ : tần số giới hạn dải chắn.
+ : tần số giới hạn dải thông.
+ : bề rộng dải chuyển tiếp.
Quan hệ giữa các chỉ tiêu:

Từ đây ta có thể suy ra:
9


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Đối với các loại bộ lọc khác thì các chỉ tiêu cũng tương tự như bộ lọc thông thấp.
1.5 Ưu điểm của bộ lọc số
Việc bộ lọc số được sử dụng nhiều không chỉ vì càng ngày tín hiếu số càng được sử
dụng nhiều mà còn vì những ưu điểm rất nổi bật của nó so với bộ lọc tương tự. Cụ
thể như sau:
•

Bộ lọc số thì có khả năng lập trình được, còn bộ lọc tương tự muốn thay đổi cấu

•
•

trúc thì phải thiết kế và thi công lại bộ lọc.
Các bộ lọc số thiết kế dễ dàng, dễ kiểm tra.
Đặc điểm các mạch lọc tương tự là bị ảnh hưởng bởi sự trôi và phụ thuộc và
nhiệt độ. Các bộ lọc số thì không có các vấn đề này và rất ổn định với cả thời

gian lẫn nhiệt độ.
• Các bộ lọc số có thể xử lý các tín hiệu tần số thấp rất chính xác. Tốc độ xử lý
của công nghệ DSP ngày càng tăng lên, làm cho các bộ lọc số có khả năng xử lý
các tín hiệu tần số cao trong miền RF. (Thời gian trước thì đây là lĩnh vực “độc
•
•

quyền” của công nghệ tương tự.
Các bộ lọc số linh hoạt trong xử lý tín hiệu, có thể thích nghi với tín hiệu nhiễu.
Các bộ xử lý DSP nhanh có thể xử lý các tổ hợp phức tạp, phần cứng tương đối
đơn giản và mật độ tích hợp cao.

Ngoài ra, để nâng cao chất lượng của các bộ lọc tương tự thì ta chú trọng khắc phục
hạn chế linh kiện như: độ chính xác, độ ổn định, sự phụ thuộc vào nhiệt độ… Còn
đối với bộ lọc số, ta chú trọng đến các phương pháp thiết kế và thuật toán xử lý tín
hiệu.
1.6 Phân loại bộ lọc số
- FIR: Hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn. Nó được
gọi là hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn, tức là h(n) chỉ khác không

10


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

trong một khoảng có chiều dài hữu hạn M (từ 0 đến M-1). Bộ lọc FIR có các đặc
điểm nổi bật như sau:
Đáp ứng xung hữu hạn.
Đáp ứng pha tuyến tính.
Luôn ổn định.
Thiết kế đơn giản.
Đáp ứng pha tuyến tính mang lại những thuận lợi sau:
+ Bài toán thiết kế chỉ gồm các phép tính số học thực chứ không cần phép tính số
•
•
•
•

học phức.
+ Bộ lọc pha tuyến tính không có méo trễ nhóm và chỉ bị trễ một khoảng không đổi.
- IIR: Hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung có chiều dài vô hạn. Hệ thống
được gọi là hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn, tức là h(n) khác không
trong một khoảng vô hạn. Bộ lọc IIR có các đặc điểm nổi bật như sau:
•
•
•
•

Đáp ứng xung vô hạn.
Có thể không ổn định.
Đáp ứng pha phi tuyến tính.
Thiết kế phức tạp.

1.7 Các thành phần cơ bản của bộ lọc số
Các bộ lọc số là hệ thống LTI, chúng ta cần ba thành phần sau để mô tả cấu trúc của

bộ lọc số. Những thành phần này được thể hiện trong hình 1.4:
x1(n)
x1(n) + x2(n)
x2(n)
a) Bộ cộng
z-1

a
x(n)

ax(n)

x(n)

x(n-1)
c) Bộ trễ

b) Bộ khuếch đại

11


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Hình 1.4 Các thành phần cơ bản của bộ lọc số. [6]
Trong đó:
Bộ cộng: Thành phần này có hai đầu vào và một đầu ra (thể hiện trong hình 1.4a).
Nếu có thêm tín hiệu vào thứ ba thì phải ghép thêm một bộ cộng nữa mới thực hiện
được. Tín hiệu đầu ra bằng tổng hai tín hiệu đầu vào.
Bộ khuếch đại: Thành phần này chỉ có một đầu vào và một đầu ra (hình 1.4b). Nếu
hệ số khuếch đại là a thì tín hiệu vào sẽ được khuếch đại lên a lần ở đầu ra của nó.

Bộ trễ: Cũng như bộ khuếch đại, bộ trễ chỉ có một đầu vào và một đầu ra (hình
1.4c). Nó làm cho tín hiệu đi qua bị trễ một mẫu và thực hiện bằng cách sử dụng
một thanh ghi dịch.
Sử dụng các thành phần cơ bản này, chúng ta có thể mô tả các cấu trúc khác nhau
của cả hai loại bộ lọc FIR và IIR.
1.8 Kết luận chương
Chương này nêu tổng quan về bộ lọc số, định nghĩa bộ lọc số, các bộ lọc lý tưởng
và phân loại. Trình bày các ưu điểm của bộ lọc số cũng như các thông số, chỉ tiêu
của bộ lọc ở miền thời gian, miền tần số cần quan tâm khi thiết kế một bộ lọc số.
Ngoài ra còn nêu khái quát các đặc điểm nổi bật của hai loại bộ lọc FIR và IIR, từ
đây ta có thể nhận thấy sự khác biệt cơ bản của hai bộ lọc này:
Bảng 1.1 So sánh đặc điểm cơ bản của bộ lọc FIR và IIR
FIR

•
•
•
•

IIR

•
•
•
•

Đáp ứng xung hữu hạn.
Luôn ổn định.
Đáp ứng pha tuyến tính.
Thiết kế đơn giản.

12

Đáp ứng xung vô hạn.
Có thể không ổn định.
Đáp ứng pha phi tuyến tính.
Thiết kế khá phức tạp.


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Và quan trọng hơn hết là đã trình bày các thành phần cấu trúc của bộ lọc, trên cơ sở
đó tạo điều kiện thuận lợi hơn cho việc tìm hiểu các dạng cấu trúc cơ bản của bộ lọc
FIR và IIR trong các chương tiếp theo.

CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR
2.1 Giới thiệu chương
Chương này sẽ giới thiệu các dạng cấu trúc của bộ lọc FIR từ đó tạo điều kiện để
tìm hiểu các phương pháp thiết kế bộ lọc này. Để thiết kế bộ lọc FIR có thể dùng
nhiều phương pháp khác nhau. Mỗi phương pháp đều bắt nguồn từ các bộ lọc lý
tưởng, tuy nhiên lại đi từ các cơ sở khác nhau. Các phương pháp này đều có ưu
khuyết điểm riêng của nó. Vì vậy việc lựa chọn phương pháp thiết kế bộ lọc FIR sẽ
phụ thuộc vào các yêu cầu mà bộ lọc cần đáp ứng. Để làm rõ cho vấn đề trên thì
nội dung chương này sẽ đi vào tìm hiểu các phương pháp thiết kế bộ lọc FIR phổ
biến nhất, bao gồm các bước cơ bản của phương pháp, thuật toán sử dụng (nếu có)
và cách tính toán thông số của bộ lọc cũng như lý thuyết liên quan đến phương pháp
đó. Nội dung chương này sẽ trình bày các phương pháp sau:
•
•
•

Phương pháp cửa sổ.
Phương pháp lấy mẫu tần số.
Phương pháp tối ưu.

2.2 Cấu trúc bộ lọc FIR
Một bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn với hàm hệ thống có dạng:
Như vậy, đáp ứng xung h(n) là:
Và phương trình sai phân là:
Bậc của bộ lọc là M (bằng với số lượng các hệ số). Nhờ đặc điểm có đáp ứng pha
tuyến tính mà bộ lọc FIR rất cần thiết trong một số ứng dụng.

13


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
2.2.1 Cấu trúc dạng trực tiếp
Phương trình sai phân được thực hiện bởi một dãy các bộ trễ do không có đường
phản hồi (2.3):
Cấu trúc dạng trực tiếp được cho trong hình với M = 5:

Hình 2.1 Cấu trúc bộ lọc FIR dạng trực tiếp. [6]
2.2.2 Cấu trúc dạng ghép tầng
Hàm hệ thống H(z) được biến đổi thành các tích của các khâu bậc 2 với các hệ số
thực. Các khâu này được thực hiện ở dạng trực tiếp và bộ lọc tổng thể có dạng ghép
tầng của các cấu trúc bậc 2.
Phương trình (2.1) có thể viết lại:
trong đó , Bk,1 và Bk,2 là các số thực đại diện cho các hệ số của các cấu trúc bậc 2.
Cấu trúc dạng ghép tầng được cho trong hình với M = 7:

Hình 2.2 Cấu trúc bộ lọc FIR dạng ghép tầng. [6]

2.2.3 Cấu trúc dạng pha tuyến tính
Đối với các bộ lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha là hàm tuyến tính
theo tần số, nghĩa là:
Trong đó hoặc và là một hằng số.

14


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Đối với bộ lọc FIR nhân quả có đáp ứng xung trong khoảng [0, M-1], thì các điều
kiện tuyến tính là:

Xét phương trình sai phân (2.3) với đáp ứng xung đối xứng trong phương trình
(2.6), ta có:

Cấu trúc dạng pha tuyến tính được thể hiện trong hình với M chẵn và M lẻ: trường
hợp M = 6 và M = 7:

Hình 2.3 Cấu trúc bộ lọc FIR dạng pha tuyến tính. [6]
2.3 Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ
- Ý tưởng: ta chọn một bộ lọc lý tưởng và cắt lấy đáp ứng xung của nó để thu được
bộ lọc FIR có pha tuyến tính và nhân quả. Việc cắt này được thực hiện bằng cách
nhân đáp ứng xung của bộ lọc ban đầu với hàm của sổ thích hợp để thu được đáp
ứng xung như mong muốn.
2.3.1 Phương pháp thiết kế
- Bước 1: Chọn loại cửa sổ sử dụng
Việc chọn loại cửa sổ sử dụng nhằm đảm bảo suy hao trong dải chắn thỏa mãn chỉ
tiêu thiết kế yêu cầu. Có 6 loại cửa sổ: cửa sổ chữ nhật, cửa sổ tam giác, của sổ
15

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Hamming, cửa sổ Hanning, cửa sổ Blackman và cửa sổ Kaiser. Mỗi loại cửa sổ đều
có ưu khuyết điểm riêng nên việc lựa chọn loại cửa sổ phụ thuộc vào yêu cầu và
ứng dụng của bộ lọc, do đó cần dung hòa giữa việc đảm bảo được suy hao trong dải
chắn theo đúng yêu cầu và đảm bảo bậc của bộ lọc đủ nhỏ.
- Bước 2: Xác định bậc M của bộ lọc
Tùy vào từng loại cửa sổ mà bậc của bộ lọc sẽ có các cách tính khác nhau.
- Bước 3: Tìm hàm của sổ w(n)
Sử dụng các hàm có sẵn trong Matlab ứng với loại cửa sổ đã chọn theo bậc bộ lọc
M.
- Bước 4: Tìm đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng h d(n) (tương ứng với các thông số
tần số của yêu cầu thiết kế).
- Bước 5: Tìm đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thực tế
- Bước 6: Thử lại trong miền tần số
Hd() = H()*W()

(2.9)

Nếu chưa thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật, ta tăng M và trở lại bước 2.
2.3.2 Nguyên tắc:
Từ đáp ứng tần số mong muốn Hd() với các chỉ tiêu tương ứng, ta lấy biến đổi
Fourier ngược để có đáp ứng xung hd(n):

Đáp ứng hd(n) thu được sẽ có chiều dài vô hạn và không nhân quả, ta không thể
thực hiện được trong thực tế. Do đó, hệ thống phải được sửa lại thành nhân quả và
hạn chế chiều dài của hd(n). Phương pháp đơn giản nhất là cắt bỏ h d(n) từ giá trị n =

16

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
(M-1), ta thu được bộ lọc FIR có chiều dài M. Việc này tương đương với việc nhân
hd(n) với một hàm cửa sổ. Hàm cửa sổ được định nghĩa:

Khi đó, đáp ứng xung của bộ lọc FIR được xác định như sau:

Gọi W() là biến đổi Fourier của cửa sổ w(n), từ tính chất nhân của biến đổi Fourier
ta thu được đáp ứng tần số của bộ lọc như sau:

2.3.3 Hàm truyền của các loại cửa sổ
- Cửa sổ chữ nhật:

- Cửa sổ tam giác:

- Cửa sổ Hamming:

- Cửa sổ Hanning:

- Cửa sổ Blackman;

- Cửa sổ Kaiser:
17


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Trong đó:

với

+ As: độ suy hao trong dải chắn [dB]
+ : tần số giới hạn dải chắn
+: tần số giới hạn dải thông

Trong phương pháp này, khi nhân đáp ứng xung với hàm cửa sổ sẽ xảy ra một hiện
tượng gọi là hiện tượng Gibbs và được định nghĩa như sau:
Để giới hạn chiều dài đáp ứng xung h d(n) của bộ lọc lý tưởng, ta đã nhân với hàm
cửa sổ w(n). Đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế có được từ tích chập. Đối với bộ lọc
lý tưởng, đáp ứng biên độ chuyển đột ngột từ 1 xuống 0 (hoặc ngược lại) ở tần số
cắt. Nhưng với bộ lọc thực tế, do tích chập trong miền tần số sẽ gây dao động ở dải
thông và dải chắn xung quanh tần số cắt . Sự phát sinh các dao động này gọi là hiện
tượng Gibbs.
2.4 Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số
2.4.1 Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính
Cho h(n), trong đó 0 n M-1, là đáp ứng xung có chiều dài M thì hàm truyền hệ
thống là:

có đáp ứng tần số là:
18


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Các hệ số của bộ lọc cũng chính là giá trị của các mẫu trong đáp ứng xung của nó:

2.4.1.1 Đáp ứng xung h(n)
Chúng ta có thể đưa ra ràng buộc pha tuyến tính:

Trong đó: là một hệ số trễ pha.
Bộ lọc có pha tuyến tính khi đáp ứng xung h(n) của nó thỏa mãn các điều kiện đối

xứng. Có các điều kiện đối xứng như sau:
+ h(n) = h(M-n-1): đáp ứng xung đối xứng

(2.27)

Với
Có hai trường hợp:
• M lẻ: trong trường hợp này, là một số nguyên. Đáp ứng xung được mô tả như

hình dưới đây:

Hình 2.4 Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ. [6]
• M chẵn: trong trường hợp này, không phải là một số nguyên. Đáp ứng xung được

mô tả như hình dưới đây:

19


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Hình 2.5 Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn. [6]
+ h(n) = -h(M-n-1): đáp ứng xung phản đối xứng

(2.28)

Với
Trong điều kiện này thì đáp ứng pha phải thỏa mãn:

Đáp ứng pha là đường thẳng nhưng không đi qua gốc. Trong trường hợp này không

phải là hằng số trễ pha, nhưng:

là hằng số trễ nhóm. Các tần số được làm trễ với một tốc độ không đổi, nhưng một
số tần số có thể được làm trễ với tốc độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn.
Để có cái nhìn trực quan hơn về đáp ứng xung h(n) trong trường hợp này, ta xét các
trường họp M lẻ và M chẵn:
• M lẻ: , là một số nguyên.

20


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Hình 2.6 Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ. [6]
Chú ý: mẫu h( phải bằng 0, nghĩa là .
•

M chẵn: không phải là một số nguyên.

Hình 2.7 Đáp ứng xung phản đối ứng, M chẵn. [6]
2.4.1.2 Đáp ứng tần số H()
Khi tổ hợp hai loại đối xứng và phản đối xứng với M chẵn và M lẻ, ta có bốn kiểu
bộ lọc FIR pha tuyến tính. Đáp ứng tần số của mỗi kiểu có biểu thức và hình dạng
riêng. Để thuận tiện ta viết biểu thức H() như sau:

Trong đó là hàm đáp ứng độ lớn chứ không phải là hàm đáp ứng biên độ. Đáp ứng
độ lớn là một hàm thực, có thể vừa dương vừa âm, không giống đáp ứng biên độ
21

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
luôn luôn dương. Đáp ứng pha kết họp với đáp ứng biên độ là một hàm không liên
tục, trong khi kết hợp với đáp ứng độ lơn là một hàm tuyến tính liên tục.
• Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1: Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ

Trong trường hợp này = 0, là một biến nguyên, và h(n) = h(M-n-1), 0M-1 thì ta có
thể chứng tỏ rằng:

Trong đó:

So sánh (2.31) và (2.32), ta có:

• Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2: Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn

Trong trường hợp này = 0, h(n) = h(M-n-1), 0M-1, nhưng không phải là một biến
nguyên:

Trong đó:
với n=1,2,…
So sánh (2.31) và (2.35), ta có:

Để thực hiện tối ưu hóa, ta viết lại phương trình (2.37) dưới dạng:

Với các hệ số quan hệ tuyến tính với các hệ số như sau:

22

(2.36)

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Lưu ý: tại , ta có mà không cần quan tâm đến b(n) hoặc h(n). Dó đó chúng ta
không thể sử dụng loại này (h(n) đối xứng và M chẵn) đối với bộ lọc thông cao
hoặc bộ lọc chắn dải.
• Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3: Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ

Trong trường hợp này = , là một biến nguyên, và h(n) = -h(M-n-1), 0M-1 với h, ta
có:

Trong đó:
với n=1,2,…,

(2.41)

So sánh (2.31) và (2.40), ta có:

Phương trình (2.42) có thể viết lại như sau;

Với các hệ số quan hệ tuyến tính với các hệ số như sau:

....…………………………..

(2.44)

Lưu ý: tại và , ta có mà không cần quan tâm c(n) hoặc h(n). Hơn thế nữa, , điều đó
có nghĩa là là thuần ảo. Do đó, loại bộ lọc này không thích hợp đối với việc thiết kế
bộ lọc thông thấp, thông cao hoặc chắn dải.
• Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4: Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn
23

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Trong trường hợp này = , h(n) = -h(M-n-1), 0M-1 với h, nhưng không phải là một
biến nguyên, ta có:

Trong đó:
với n=1,2,…,

(2.46)

So sánh (2.31) và (2.45), ta có:

Phương trình (2.47) có thể viết lại như sau:

Với các hệ số quan hệ tuyến tính với các hệ số như sau:

Lưu ý: tại , và . Do vậy, loại bộ lọc này không thích hợp cho thiết kế bộ lọc thông
cao và chắn dải.
Biểu thức trong bốn trường hợp trên có thể được biểu diễn dưới dạng tổng quát như
sau:

Với và được định nghĩa trong bảng sau:
Bảng 2.1 và của bộ lọc FIR pha tuyến tính. [6]
Loại bộ
lọc
1

Tính chất đối xứng

h(n) = h(M-n-1), M lẻ

1
24


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
2

h(n) = h(M-n-1), M chẵn

3

h(n) = -h(M-n-1), M lẻ

4

h(n) = -h(M-n-1), M chẵn

2.4.2 Phương pháp thiết kế
- Bước 1: Chọn loại bộ lọc, chiều dài M của bộ lọc, tính chất đối xứng của h(n), tập
tần số và chỉ định các mẫu của đáp ứng tần số tương ứng với tập tần số .
- Bước 2: Tính các mẫu H(k)
- Bước 3: Tính đáp ứng xung h(n)
- Bước 4: Tính đáp ứng tần số, kiểm tra lại trong miền tần số bằng cách vẽ đặc
tuyến đáp ứng biên độ và đáp ứng pha. Nếu chưa thỏa các yêu cầu kỹ thuật, thì chọn
lại M, hoặc tập tần số, hoặc các mẫu Hr(k) và trở lại bước 2.
Đáp ứng tần số yêu cầu trước tiên được lấy mẫu đều ở M điểm cách đều nhau giữa
0 và 2:

Các mẫu tần số này tạo thành DFT M điểm mà biến đổi nghịch là bộ lọc FIR có bậc

(M-1):

Đáp ứng pha đối với loại 1 và 2:

25