Động lực học công trình p2

ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

Nguyễn Quang Huy
Bộ môn Cơ học kết cấu
Trường Đại học Xây Dựng
Hà nội, tháng 10 năm 2013


Phần 2: Dao động của hệ 1 bậc
tự do (SDOF)
1. Giới thiệu
2. Dao động tự do
3. Dao động cưỡng bức
¾
¾
¾
¾

Tải trọng điều hòa
Tải trọng tuần hoàn
Tải trọng xung
Tải trọng bất kỳ

4. Các phương pháp số


1. SDOF - Giới thiệu
• Hệ 1 bậc tự do là mô hình toán đơn giản nhất, cơ bản
nhất trong phân tích ĐLCT.
¾ Đơn giản nhất Î dễ dàng phân tích, tìm hiểu kỹ
¾ Cơ bản nhất : hầu hết các đặc trưng, đặc điểm của các hiện tượng

dao động (ĐLHCT) đều được phản ánh qua dao động của hệ 1 bậc
tự do.

• Dao động của hệ nhiều bậc tự do (MDOF) luôn luôn mô
tả được thông qua dao động của một số hệ 1 bậc tự do
theo nguyên lý cộng tác dụng.
• Trong thực hành, mô hình hệ 1 bậc tự do có thể đưa ra
các dự đoán tương đối chính xác về dao động của công
trình nếu các thông số của mô hình được chọn “đúng”
Î kinh nghiệm


1. SDOF - Giới thiệu
• Bậc tự do (Degree of freedom – DOF):
Trong cơ học, bậc tự do là các chuyển vị thẳng hoặc chuyển vị
xoay độc lập cần thiết để các định vị trí của một vật thể hoặc một
hệ đang xét.


1. SDOF - Giới thiệu
• Bậc tự do (Degree of freedom – DOF):

Hệ vô số DOF
(kết cấu thực)

Hệ hữu hạn DOF
(mô hình tính)

Hệ 05 DOF
(tọa độ vật lý)

Hệ 01 DOF
(tọa độ khái quát)

9 Hệ 05 bậc tự do U = {u1 u2 u3 u4 u5 } T
9 Hệ 01 bậc tự do U ≈ {Ψ} u1 ; {Ψ} = { ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5 } T


1. SDOF - Giới thiệu
• Bậc tự do (Degree of freedom – DOF):

Hệ vô số DOF
(kết cấu thực)
Hệ 05 DOF
(tọa độ vật lý)

Hệ 01 DOF
(tọa độ khái quát)

9 Hệ 05 bậc tự do W = {w1 w2 w3 w4 w5 } T
9 Hệ 01 bậc tự do W ≈ {Ψ} w3 ; {Ψ} = { ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5 } T


1. SDOF - Giới thiệu
• Hệ 1 bậc tự do: khối lượng phân bố, tính chất đàn hồi,
khả năng “ăn” (tiêu tán) năng lượng của toàn bộ công
trình được tập trung tại 1 phần tử khối lượng.
¾ Toàn bộ khối lượng M tập trung tại 1 điểm. Vị trí của M được xác
định thông qua 1 chuyển vị u(t).
¾ Toàn bộ khả năng chống lại biến dạng (đàn hồi) được thể hiện

thông qua 1 lò xo (spring) không có khối lượng có hệ số đàn hồi k
¾ Toàn bộ khả năng “ăn” (tiêu tán) năng lượng được thể hiện qua 1
“bộ cản” (damper or dashpot) không khối lượng có hệ số cản c


1. SDOF - Giới thiệu
• Kết cấu tháp được mô hình đơn giản 1 bậc tự do


1. SDOF - Giới thiệu
• Giàn khoan trên biển được mô hình hệ 1 bậc tư do


1. SDOF - Giới thiệu
• Dầm cầu được mô hình hệ 1 bậc tư do

9 Hệ 1 bậc tự do ~ chỉ cho phép khối lượng m chuyển vị theo 1
phương.
9 Trong thực tế, công trình có thể chuyển vị thẳng theo các phương
khác nhau hoặc chuyển xoay nhưng chỉ một vài bậc tự do là có thể
(hoặc là cần xét đến) do tác dụng của lực f(t) xác định (i.e. các bậc
tự do khác được bỏ qua).


2. SDOF – Dao động tự do
• Dao động tự do:

9 Dao động do các kích thích ban đầu (uo , vo)
9 Không có ngoại lực tác dụng f(t) = 0

2. SDOF – Dao động tự do
• Dao động tự do không lực cản:
9 PTDĐ:

với

9 ĐK ban đầu:
9 Nghiệm tổng quát dạng:

(CT Euler:

)


2. SDOF – Dao động tự do không lực cản
• PT dao động:
• Nghiệm dạng:

(2 -1)
(A là hằng số phức)

9 Thay vào (2-1) Î
9 Phương trình đặc trưng:
Nghiệm:

9 Nghiệm tổng quát của (2-1):
9 (CT Euler) Î
9 A, B là các hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu (uo , vo)

2. SDOF – Dao động tự do không lực cản
•

ĐK ban đầu:
(2-2)

ÎNghiệm
•

Dạng khác:

9 u(0) = A.cos(θ); u̇ (0)/ωn = A.sin(θ)
A=

; θ = arctg (

•

(2-2a)

v0
)
ω u0

9 u(0) = A.sin(φ); u̇ (0)/ωn =A.cos(φ)
A=

Î u(t) = A.cos(ωt – θ)

; ϕ = arctg (

Î u(t) = A.sin(ωt + φ)

ω u0
v0

)

A = max (u) = u0 ~ biên độ của dao động

(2-2b)


2. SDOF – Dao động tự do không lực cản
•

Đồ thị u(t):


2. SDOF – Dao động tự do không lực cản
•

Đồ thị u(t):
~ dao động điều hòa


2. SDOF – Dao động tự do không lực cản
•

Đồ thị u(t): ~ dao động điều hòa

9 a-b-c-d-e: 1 chu kỳ dao động
~ chu kỳ dao động riêng T (s)

2π
T=
ω
u(t) = u(t+2π/ω) = u(t+T)
Tương tự với v(t) và a(t)
9 ω ~ tần số vòng
~ tần số dao động riêng (rad/s)

1
~ tần số dao động (Hz = vòng/s)
T
• Cách khác:
9 f=

với δst = m.g/k ~ chuyển vị tĩnh = lực (m.g) / độ cứng (k)


2. SDOF – Dao động tự do không lực cản
•

Biểu diễn dạng vectơ:

ρ=

2. SDOF – Dao động tự do có lực cản
• PT dao động:

(2 - 3)

• Nghiệm dạng:

(A là hằng số phức)

9 Điều kiện ban đầu:
9 Phương trình đặc trưng:
Nghiệm:

¾ Nếu

Î nghiệm thực, hệ không có dao động

¾ Nếu

Î nghiệm phức, hệ có dao động

¾ Nếu

Î nghiệm thực, hệ không có dao động


2. SDOF – Dao động tự do có lực cản
•

Hệ số cản tới hạn:

9 c thỏa mãn

gọi là hệ số cản tới hạn c cr =

9 c “tới hạn” là giá trị hệ số cản nhỏ nhất để hệ không có dao động.
•

Hệ số tỉ lệ cản: tỉ số giữa hệ số cản c và hệ số cản tới hạn c cr :

9 ƺ > 1 Î trường hợp cản lớn, không có dao động
9 ƺ = 1 Î trường hợp cản tới hạnh, không có dao động
9 ƺ < 1 Î trường hợp cản bé, có dao động
9 Hầu hết các kết cấu xây dựng đều thuộc trường hợp cản bé
- Kết cấu thép: ƺ = 0.01
- Kết cấu bê tông: ƺ = 0.03 ÷ 0.05


2. SDOF – Dao động tự do có lực cản
•

Biểu diễn định tính: u│ t=0 = u(0); u̇ │ t=0 = 0


2. SDOF – Dao động tự do có lực cản
•

Trường hợp cản bé ƺ < 1 (c < ccr ):

9 Thay

, nghiệm PT đặc trưng

9 Đặt
TD =

tần số tự nhiên của hệ dao động có lực cản;
=

chu kỳ dao động có lực cản

9 Nghiệm tổng quát (2-3):

hoặc:
với

hoặc:
với

u (t ) = Ue −ξωnt sin(ωd t + φ )


2. SDOF – Dao động tự do có lực cản
•

Mối quan hệ giữa ωD và ωn :


2. SDOF – Dao động tự do có lực cản
•

ƺ < 1, biểu diễn đồ thị:

•

u(t) tiếp xúc đường cong

•

u(t) max tại v(t) = 0 hay là

và

tại

= ±1


2. SDOF – Dao động tự do có lực cản
•

ƺ < 1, biểu diễn vectơ: