Thiết kế bộ lọc thông thấp có tần số cắt 850khz

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan nội dung của đồ án này không phải là bản sao chép của bất kì đồ
án hoặc công trình nào đã có từ trước.
Đà Nẵng, ngày 02 tháng 06 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Lê Quang


MỤC LỤC
MỤC LỤC


CÁC TỪ VIẾT TẮT
CÁC TỪ VIẾT TẮT
As

Atenuation stopband

Độ suy giảm ở dải chắn

DSP

Digital signal processing

Xử lí tín hiệu số

FDAtool

Filter design & analysis tool

Công cụ thiết kế và phân tích bộ
lọc

FPGA

Field programmable Gate Array

Mảng cổng lập trình được dạng
trường

FIR

Finite Impulse Response

Đáp ứng xung hữu hạn

LMS

Least mean square

Bình phương trung bình nhỏ nhất

NLMS

Nomal LMS

IIR

Infinite Impulse Response

Đáp ứng xung vô hạn

RLS

Recursive least square

Đệ quy bình phương nhỏ nhất

Rp

Ripple passband

Độ gợn ở dải thông

VHDL

VHSIC Hardware
Language

VHSIC

Very High
Circuits

Speed

Description Ngôn ngữ lập trình phần cứng
Integrated Mạch tích hợp tốc độ cao

3

LỜI MỞ ĐẦU
LỜI MỞ ĐẦU
Ngày nay, với sự phát triển không ngừng của khoa học kỹ thuật, các hệ thống tương
tự dần được thay thế bằng các hệ thống số. Tuy nhiên, trong bất kì hệ thống nào thì
yêu cầu về tính chính xác, tính ổn định và lọc nhiễu tốt luôn là yêu cầu quan trọng
nhất. Do đó, các bộ lọc đã ra đời để thực hiện các nhiệm vụ như lọc nhiễu, tách
băng tần để các hệ thống hoạt động ổn định và hiệu quả hơn. Các bộ lọc số với
những ưu điểm so với bộ lọc tương tự như: độ gợn trong dải thông và dải chắn nhỏ
hơn nhiều so với bộ lọc tương tự, dải chuyển tiếp của bộ lọc số cũng nhỏ hơn so với
bộ lọc tương tự và đặc biệt là bộ lọc số FIR có thể đáp ứng tốt yêu cầu pha tuyến
tính, một yêu cầu quan trọng trong các ứng dụng viễn thông cho nên các bộ lọc số
đã dần thay thế các bộ lọc tương tự trong xử lí tín hiệu, đặc biệt là trong xử lí tín
hiệu số DSP.
Từ tầm quan trọng của các bộ lọc số trong DSP, đặc biệt là bộ lọc có pha tuyến tính
trong truyền dẫn tín hiệu, với mong muốn tìm hiểu rõ hơn về cấu trúc và cách thức
thiết kế một bộ lọc số FIR, em chọn đề tài nghiên cứu cho đồ án tốt nghiệp là “thiết
kế bộ lọc số thông thấp có tần số cắt fc = 850kHz”.
Trong đồ án này sẽ tập trung vào trình bày các vấn đề liên quan đến bộ lọc FIR gồm
các chỉ tiêu kỹ thuật, cấu trúc bộ lọc số và các phương pháp thiết kế nên một bộ lọc
FIR. Nội dung đồ án gồm:
•

Chương 1: Tổng quan về bộ lọc số. Giới thiệu về các thông số, chỉ tiêu kỹ
thuật của một bộ lọc số, các chỉ tiêu này đặc biệt quan trọng trong thiết kế để
đảm bảo chất lượng một bộ lọc số. Sau đó, cung cấp các cấu trúc cơ bản của

•

các bộ lọc số để có thể thực hiện bộ lọc vừa thiết kế trên thực tế.
Chương 2: Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp. Trình bày các phương pháp để
thiết kế một bộ lọc FIR gồm: phương pháp cửa sổ, phương pháp lấy mẫu tần
số, phương pháp equiripple và phương pháp thiết kế bộ lọc có đáp ứng phẳng
tối đa FIR maximally flat.
4


LỜI MỞ ĐẦU
•

Chương 3: Áp dụng các kiến thức về cấu trúc bộ lọc và các phương pháp
thiết kế đã trình bày trong các chương trước để xây dựng bộ lọc FIR thông
thấp đáp ứng các yêu cầu cho trước như tần số cắt, các hệ số gợn dải thông

và suy giảm ở dải chắn.
• Chương 4: Sử dụng công cụ FDAtool trong matlab để mô phỏng các bộ lọc
tương tự như các bộ lọc đã thiết kế trong chương 3, qua đó kiểm tra tính
chính xác của các bộ lọc đã thiết kế.
Bộ lọc số đã được sử dụng nhiều trong thực tế và không phải là kiến thức mới,
nhưng trong đồ án này em đã tiếp cận các kiến thức chưa được giảng dạy như bộ
lọc maximally flat và các thuật toán thích nghi nên không thể tránh khỏi các sai
sót và hạn chế. Em mong nhận được các ý kiến đóng góp của thầy cô để đồ án
này được hoàn thiện hơn.

5


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Chương 1:

TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
1.1 Mở đầu chương
Lọc là quá trình rất quan trọng trong xử lí tín hiệu số, chính vì những đặc tính tốt
của các bộ lọc số đã làm chúng trở nên phổ biến như ngày nay. Trong chương này
sẽ trình bày tổng quan về lọc số, các thông số và cấu trúc của một bộ lọc số để qua
đó có thể nắm rõ hơn các kiến thức cụ thể về bộ lọc sẽ được trình bày trong các
chương sau. Nội dung chương 1 gồm:
•
•

Tổng quan về bộ lọc số.
Cấu trúc các bộ lọc số.

1.2 Tổng quan về lọc số
Phương pháp trực tiếp nhất để thực hiện lọc số là dùng phép tích chập của tín hiệu
vào và đáp ứng xung của một bộ lọc số, khi đó đáp ứng xung được xem là cốt lõi
của thiết kế bộ lọc. Một phương pháp thiết kế khác là đệ quy. Khi một bộ lọc được
thực hiện bằng tích chập, mỗi mẫu trong tín hiệu ra được tính toán bằng cách tổ hợp
có trọng số các tín hiệu vào. Các bộ lọc đệ quy mở rộng thêm quá trình trên bằng
cách sử dụng các hệ số đã tính được từ tín hiệu ra, bên cạnh các điểm lấy được từ
tín hiệu vào. Thay vì dùng một lõi lọc, các bộ lọc đệ quy được xác định bởi một dãy
các hệ số đệ quy.
Có 2 loại bộ lọc số là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR và bộ lọc có đáp ứng
xung vô hạn IIR. Bộ lọc FIR có ưu điểm so với bộ lọc IIR là có thể thỏa mãn điều
kiện đáp ứng pha tuyến tính. Đặc tính bộ lọc được mô tả bởi đáp ứng biên độ và đáp
ứng pha, tùy vào đáp ứng mong muốn mà bộ lọc nhân quả FIR hoặc IIR sẽ được sử
dụng. Bộ lọc FIR thường được dùng khi có yêu cầu về pha tuyến tính trong dải
thông, bộ lọc IIR thường được dùng khi các ứng dụng không yêu cầu pha tuyến
tính.Trong đồ án này sẽ trình bày cụ thể về bộ lọc FIR pha tuyến tính.

6


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
1.2.1 Các thông số hệ thống trong miền thời gian
1.2.1.1 Thời gian lên
Tốc độ chuyển đổi thường được thể hiện bằng thời gian lên (hay số mẫu) giữa mức
biên độ 10% và 90%. Thời gian lên có thể không nhanh do nhiều nguyên nhân như
tạp âm, hạn chế của hệ thống ...
1.2.1.2 Gợn sóng nhô trong đáp ứng bậc thang
Thông thường phải loại bỏ gợn sóng nhô vì nó làm thay đổi biên độ các mẫu trong
tín hiệu. Đây là nguyên nhân gây méo tín hiệu trong miền thời gian.
1.2.1.3 Pha tuyến tính
Pha tuyến tính đặc biệt quan trọng trong các ứng dụng viễn thông. Pha tuyến tính
có nghĩa các sự thay đổi về pha giữa các tần số là tuyến tính theo thời gian mà
không phụ thuộc vào tần số của tín hiệu.
1.2.2 Các thông số trong miền tần số

Độ gợn dải thông

Miền chuyển tiếp

Độ gợn dải chắn

Hình 1.1: Các chỉ tiêu của bộ lọc, (a) tuyệt đối, (b) tương đối [8]
7


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
1.2.2.1 Các thông số tuyệt đối:

 Dải thông (pass band): dải tần [0, ω p] là dải các tần số mà bộ lọc cho qua, δ 1

là độ gợn dải thông.
 Dải chắn (stopband): dải tần [0, ω s] là dải các tần số bị ngăn cản, , δ 2 là độ
gợn dải chắn.
 Dải chuyển tiếp (Transitionband): dải tần [ω p , ωs] là dải tần số trong quá

trình chuyển từ dải thông sang dải chắn và ngược lại.
 Tần số cắt: trong bộ lọc tương tự tần số cắt là tần số tại đó biên độ giảm đi
3dB, còn với bộ lọc số thì tần số cắt ít được tiêu chuẩn hóa và có thể được
các định tại các mức biên độ bằng 90%, 70,7% hoặc 50%.
1.2.2.2 Các thông số tương đối
 Rp là độ gợn dải thông tính theo dB
 As là độ suy giảm dải chắn tính theo dB.

1.3 Cấu trúc các bộ lọc số
1.3.1 Các phần tử cấu thành nên bộ lọc số
Bộ cộng: đây là phẩn tử có hai đầu vào và một đầu ra. Giá trị tại đầu ra của bộ cộng
bằng tổng hoặc hiệu của hai tín hiệu đầu vào. Bộ cộng được biểu diễn trong hình
sau:

Hình 1.2: Bộ cộng

8


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Bộ nhân: gồm một đầu vào và một đầu ra. Giá trị tín hiệu tại đầu ra bằng tích của
tín hiệu tại đầu vào với hệ số khuếch đại a.

Hình 1.3: Bộ nhân
Bộ trễ: đây là phần tử làm chậm tín hiệu đi qua nó một mẫu. Nó có thể được tạo ra
bằng các thanh ghi dịch.

Hình 1.4: Bộ trễ
1.3.2 Cấu trúc bộ lọc FIR
Một bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn theo thời gian có hàm truyền dạng như sau:

Và đáp ứng xung có dạng sau:

Và phương trình vi phân có dạng như sau:

Bộ lọc có bậc là M-1 trong khi có chiều dài (bằng với số hệ số) là M. Cấu trúc của
bộ lọc FIR thì luôn luôn ổn định và tương đối đơn giản hơn so với cấu trúc bộ lọc
IIR. Các bộ lọc FIR có thể thiết kế để đáp ứng yêu cầu pha tuyến tính, điều mà một
số ứng dụng yêu cầu.
Trong phần này sẽ đề cập đến 4 loại cấu trúc:

9


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
1.3.2.1 Cấu trúc dạng trực tiếp
Phương trình sai phân được biểu diễn bởi một chuỗi các bộ trễ do không có đường
phản hồi.

Do mẫu thức bằng đơn vị nên ta có cấu trúc dạng trực tiếp duy nhất. Cấu trúc trực
tiếp được cho trong hình sau với M = 5.
x(n)
b0

z-1

b1

z-1

b2

z-1

b3

z-1

b4

y(n)

Hình 1.5: Cấu trúc bộ lọc FIR dạng trực tiếp [8]
1.3.2.2 Cấu trúc dạng ghép tầng
Hàm hệ thống H(z) được biến đổi thành tích các khâu bậc 2 với các hệ số thực. Các
khâu này có thể thực hiện ở dạng trực tiếp và bộ lọc tổng thể có dạng ghép tầng các
khâu bậc hai.

Trong đó: K bằng M/2 và các hệ số B k,1 và Bk,2 là các số thực đại diện cho các khâu
bậc 2. Cấu trúc dạng ghép tầng được cho trong hình sau với M=7:
y(n)

x(n)

z-1

b0

z-1

B1,1
B1,2

z-1
z-1

B2,1
B2,2

z-1
z-1

B3,1
B3,2

Hình 1.6: Cấu trúc bộ lọc FIR dạng ghép tầng [8]
1.3.2.3 Cấu trúc dạng pha tuyến tính
Đối với các bộ lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha là hàm tuyến tính
theo tần số, nghĩa là:
10


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Trong đó: β = 0 hoặc và α là một hằng số.
Đối với bộ lọc FIR nhân quả có đáp ứng xung trong khoảng [0, M-1], thì các điều
kiện tuyến tính là:

Xét phương trình sai phân được cho trong phương trình (1.3) với đáp ứng xung đối
xứng được cho trong phương trình (1.9) ta có.

Sơ đồ khối thực hiện phương trình sai phân trên đươc mô tả trong hình dưới đây đối
với cả M chẵn và M lẽ.
Đối với M lẽ, M = 7, với M chẵn M = 6.

Hình 1.7:Cấu trúc bộ lọc FIR pha tuyến tính. (a) M = 7, (b) M = 6 [8].

11


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Từ hình 1.7 có thể thấy với cùng một bậc của bộ lọc, cấu trúc pha tuyến tính sẽ tiết
kiệm được 50% các bộ nhân so với cấu trúc dạng trực tiếp.
1.3.2.4 Cấu trúc dạng lấy mẫu tần số
Hàm truyền H(z) của một bộ lọc FIR có thể tái lập từ các mẫu của nó trên vòng tròn
đơn vị.

Từ công thức trên, ta đạt được công thức tính H(z) như sau:
H(0)
Từ phương trình (2.12) trên có thể thấy rằng DFT của H(k) được dùng trong cấu
y(n)
W41
trúc này thay cho đáp ứng xung h(n) hay phương trình sai phân. Hàm hệ thống
-z- 4

H(z) ở trên dẫn tới cấu trúc như sau:
W42
W43

Hình 1.8: Cấu trúc bộ lọc dạng lấy mẫu tần số với M = 4 [8]
W40
x(n)

H(1)

1/4
H(2)
H(3)

Một vấn đề từ cấu trúc hình 1.8 ở trên là nó yêu cầu các hệ số phức. Trong khi đó,
bộ lọc FIR luôn luôn là một bộ lọc có các hệ số thực. Một bộ lọc có các hệ số thực
có được bằng cách sử dụng đặc tính đối xứng của DFT và các hệ số W M-k. Công
thức (1.12) có thể viết lại dưới dạng sau:
12


z- 1
cos[∠H(1)]
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Trong đó: đối với M lẽ, đối với M chẵn, và với k = 1, ..., L là tập bậc 2 cho bởi
z- 1
công thức sau:
-z- 1

Chú ý rằng biến đổi DFT củaH (0) và H(M/2) là các số thực và phần

của công

thức (1.13) được bỏ đi khi M lẽ. Sử dụng công thức (1.13) và (1.14) giả sử

M=4

ta có cấu trúc như hình sau:
-z- 1

-1
2|H(1)|
1.3.3 Cấu trúc
1 bộ lọc IIR
Hàm truyền của một lọc IIR được cho như sau:
1
Trong đó an và bn là các hệ số bộ lọc. Giả định rằng với không có các tổn hao nói
chung thì a0=1. Bộ lọc có bậc N nếu an ≠ 0. Phương trình sai phân của một bộ lọc
IIR được biểu thị dưới dạng như sau:

13


x(n)

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Có 3 dạng cấu trúc có thể dùng để thực hiện một bộ lọc IIR gồm:
•

Dạng trực tiếp: trong dạng này cấu trúc bộ lọc được xây dựng trực tiếp từ
phương trình sai phân. Có 2 phần của bộ lọc gọi là phần dịch chuyển trung

bình và phần đệ quy.
• Dạng ghép tầng: trong dạng này hàm hệ thống H(z) được chia thành các tập
bậc 2, gọi là các biquads. Mỗi biquad được thực hiện theo dạng trực tiếp, và
hàm hệ thống khi đó được biểu diễn bằng cách ghép tầng các biquad lại với
nhau.
• Dạng song song: tương tự như dạng ghép tầng, nhưng sau khi phân chia H(z)
thành các phần nhỏ, H(z) khi đó được biểu diễn như là một tổng các tập bậc
hai. Mỗi tập bậc 2 nói trên lại được xây dựng theo dạng trực tiếp và được
ghép song song với nhau để biểu diễn hàm truyền.
1.3.3.1 Cấu trúc dạng trực tiếp
Dạng trực tiếp có được bằng cách thực hiện trực tiếp phương trình sai phân bằng
các bộ cộng, bộ nhân và bộ trễ. Ví dụ với M = N = 4 ta có phương trình sai phân
như sau:

-cos[tiếp
∠H(1)-2π/4]
Cấu trúc dạng trực
được phân thành 2 loại nhỏ là loại I và loại II.
2cos(2π/4)
Dạng trực tiếp I:
x(n)

H(0)
b0

z-1

b1

y(n)

H(2)

-a1

z-1 b2

-a2

z-1

b3

-a3

z-1

b4

-a4

z-1
z-1
z-1
z-1

Hình 1.10: Cấu trúc bộ lọc IIR dạng trực tiếp I [8]

14


-z- 4

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
1/4

y(n)

Hình 1.9: Cấu trúc dạng lấy mẫu tần số M = 4 với các hệ số thực [8]

15


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Dạng trực tiếp II:
b0

x(n)
-a1

z-1

b1

-a2

z-1

b2

z-1

b3

z-1

b4

-a3
-a4

y(n)

Hình 1.11: Cấu trúc bộ lọc IIR dạng trực tiếp II [8]
1.3.3.2 Cấu trúc dạng ghép tầng:
Trong dạng này, hàm hệ thống H(z) được biểu diễn như là tích các tập bậc 2 với các
hệ số thực.
Với N là số nguyên và chẵn, khi đó:

Với K = N/2 và Bk,1, Bk,2, Ak,1, Ak,2 là các số thực đại điện cho các hệ số của tập bậc
2. Một tập bậc 2 có hàm truyền của nó như sau:

Trong đó: Y1(z) = b0X(z) và YK+1(z) = Y(z).

Các tập bậc 2 được gọi là các biquad và được biểu diễn như hình sau:
yk(n)= xk+1(n)

yk+1(n)

-Ak,1

z-1

-Ak,2

z-1 Bk,2

Bk,1

16

Hình 1.12: Cấu trúc một biquad [8]


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Với N = 4, cấu trúc dạng ghép tầng của một bộ lọc IIR có dạng như sau:
b0

x(n)

y(n)

-A1,1

z-1

B1,1

-A2,1

z-1

-A1,2

z-1 B2,2

-A2,2

z-1 B2,2

B2,1

Hình 1.13: Cấu trúc bộ lọc IIR dạng ghép tầng với N=4 [8]
1.3.3.3 Cấu trúc song song:

Trong đó K = N/2, B k,0, Bk,1, Ak,1, Ak,2 là các số thực đại diện cho các hệ số của các
tập bậc 2. Một tập bậc 2 có hàm truyền như sau:

Với:

Bộ lọc có cấu trúc song song với M = N = 4 được thể hiện trong hình sau:
C0

x(n)

-A1,1

z-1

-A1,2

z-1

B1,0
B1,1
y(n)
B2,0

-A2,1

z-1

-A2,2

z-1

B2,1

17 dạng song song với N=4 [8]
Hình 1.14: Cấu trúc bộ lọc IIR


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

1.4 Kết luận chương
Chương 1 đã đề cập đến 2 vấn đề của một bộ lọc số. Một là các chỉ tiêu kỹ thuật của
một bộ lọc số, hai là các cấu trúc của bộ lọc số.

Các chỉ tiêu kỹ thuật bao gồm các thông số trong miền thời gian và các thông số
trong miền tần số. Trong đó, các thông số trong miền thời gian chỉ ra các đáp ứng
của bộ lọc trong miền thời gian như độ lớn của tín hiệu đầu ra hay độ nhấp nhô của
tín hiệu xảy ra sau quá trình lọc. Các thông số trong miền tần số là các chỉ tiêu kỹ
thuật cơ bản của một bộ lọc số gồm tần số cắt, độ rộng miền chuyển tiếp, đáp ứng
biên độ và đáp ứng pha. Các chỉ tiêu này được đưa ra như là một yêu cầu thiết kế
hoặc được tính toán trước khi thực hiện thiết kế một bộ lọc. Trong suốt quá trình
thiết kế thì các chỉ tiêu này phải được đảm bảo hoặc được hiệu chỉnh để đảm bảo bộ
lọc số vừa thực hiện thỏa mản các yêu cầu đề ra.
Vấn đề thứ hai mà chương 1 đề cập đến đó là các cấu trúc của một bộ lọc số gồm
cấu trúc của bộ lọc FIR và cấu trúc của bộ lọc IIR. Tùy thuộc vào loại bộ lọc đã
thực hiện là FIR hay IIR mà ta sẽ chọn cấu trúc phù hợp. Sau đó, tùy thuộc các yêu
cầu như tính đơn giản của cấu trúc hay tính tiết kiệm các phần tử cấu thành nên một
bộ lọc số để lựa chọn các cấu trúc khác nhau như dạng trực tiếp, dạng ghép tầng hay
dạng lấy mẫu tần số...

18


CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR
Chương 2:
THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR
2.1 Mở đầu chương
Trong hầu hết các hệ thống xử lí tín hiệu số đều có chức năng bộ lọc. Vì vậy, vấn đề
thiết kế bộ lọc số đóng vai trò quan trọng trong xử lí tín hiệu số. Có nhiều phương
pháp thiết kế các bộ lọc số đã được đề suất và thực hiện trong thực tế. Trong
chương này sẽ trình bày các phương pháp thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính gồm:
•
•
•

•
•

Phương pháp cửa sổ.
Phương pháp lấy mẫu tần số.
Phương pháp equiripple.
Phương pháp thiết kế bộ lọc có đáp ứng phẳng tối đa.
Phương pháp thiết kế bộ lọc FIR thích nghi.

2.2 Đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính
Gọi h(n) với 0 ≤ n ≤ M-1 là đáp ứng xung có chiều dài M. Khi đó hàm hệ thống là:

Hàm hệ thống có (M-1) điểm cực tại z=0 và có (M-1) điểm không nằm bất kì trên
miền z. Hàm đáp ứng tần số:

Dựa vào đặc tính đối xứng của đáp ứng xung và chiều dài M của bộ lọc, người ta
chia thành bốn loại sau đây:
2.2.1 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại 1: đáp ứng xung đối xứng, M lẽ
Trong trường hợp này β = 0 và α = (M-1)/2 là số nguyên.

Trong đó, a(n) được tính như sau:

19


CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR
Và:

2.2.2 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại 2: đáp ứng xung đối xứng, M chẵn
Với loại 2 thì này β = 0 và α = (M-1)/2 không phải là số nguyên.

Với:

Và:

Chú ý: tại ω = π ta có:

Do đó không thể dùng loại 2 cho các bộ lọc thông cao và chắn dải.
2.2.3 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại 3: đáp ứng xung phản đối xứng, M lẽ
Với loại 2 thì này β = π/2 và α = (M-1)/2 là số nguyên.

Trong đó:

Và:

20


CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR
Chú ý: tại ω = 0 và ω = π thì H r(ω) = 0 mà không cần tính đến c(n) hay h(n). Hơn
nữa ejπ/2 = j, có nghĩa là H(ejω) = jHr hoàn toàn ảo. Do đó, loại bộ lọc này không
thích hợp để thiết kế các bộ lọc thông cao hay thông thấp, thay vào đó, nó thích hợp
để thiết kế biến áp số Hilbert hay các bộ vi phân.
2.2.4 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại 4: đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn
Với loại 2 thì này β = π/2 và α = (M-1)/2 không phải là số nguyên.

Với:

Và:

Chú ý : tại ω = 0 thì Hr(0) = và ejπ/2 = j, có nghĩa là H(e jω) = jHr hoàn toàn ảo. Do đó,
loại bộ lọc này chỉ thích hợp để thiết kế biến áp số Hilbert hay các bộ vi phân.
2.3 Thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính
2.3.1 Thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính dùng phương pháp cửa sổ
2.3.1.1 Nguyên tắc:
Từ đáp ứng tần số mong muốn H d(ω) với các chỉ tiêu tương ứng, ta lấy biển đổi
Fourier ngược để có đáp ứng xung hd(n):

Với α = (M – 1)/2.

21


CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR
hd(n) thu được có chiều dài vô hạn và không nhân quả, không thể thực hiện trong
thực tế. Vì vậy hệ thống phải được sửa lại thành nhân quả và phải hạn chế chiều dài
của hd(n). Phương pháp đơn giản là cắt bỏ hd(n) từ giá trị n = M - 1 và thu được bộ
lọc FIR có chiều dài M. Thực hiện “cắt ngọn” bằng cách nhân đáp ứng xung mong
muốn hd(n) với một hàm của sổ. Hàm cửa sổ được định nghĩa như sau:

Như vậy, đáp ứng xung của bộ lọc FIR trở thành:

Gọi W(ω) là biến đổi Fourier của cửa sổ , từ tính chất nhân của biến đổi Fourier, ta
thu được đáp ứng tần số của bộ lọc như sau:

2.3.1.2 Các bước thiết kế bộ lọc FIR theo phương pháp cửa sổ
1.
2.
3.
4.

Chọn 4 chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số: δ1, δ2 , ωp , ωs.
Xác định đáp ứng xung của mạch lọc lí tưởng.
Chọn loại cửa sổ.
Nhân đáp ứng xung lí tưởng với hàm cửa sổ để có đáp ứng xung của mạch

lọc:.
5. Thử lại trong miền tần số: H(ω) = Hd(ω)*W(ω).
6. Nếu không thỏa mãn các chỉ tiêu kĩ thuật, ta tăng M và trở lại bước 2.
Cửa sổ chữ nhật
Định nghĩa: của sổ chữ nhật có chiều dài M được định nghĩa trong miền thời gian
như sau:

Biến đổi Fourier của cửa sổ chữ nhật như sau:

Cửa sổ này có đáp ứng biên độ là:

22


CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR
Và có đáp ứng pha tuyến tính từng đoạn:

Các tham số (được định nghĩa chung cho các loại cửa sổ khác)


Đáp ứng biên độ Wr(ω) có giá trị bằng không đầu tiên tại ω = ω p, nên độ
rộng múi chính DW được tính bằng hai lần dải tần số từ ω0 đến ω1.
Với cửa sổ chữ nhật thì
Và DW = 4π/M.



Tỉ số giữa đỉnh của múi bên đầu tiên và đỉnh của múi chính:
Đối với cửa sổ chữ nhật độ lớn của múi chính W r(ω=0) xấp xỉ M, múi bên
đầu tiên đạt đỉnh tại ω=3π/M:
Tỉ số độ lớn giữa múi bên đầu tiên và múi chính là λ = 2/(3π) = 21,22%



(13dB)
Đối với của sổ chữ nhật, độ suy giảm tối thiểu ở dải chắn (As) là 21dB bất

chấp chiều dài M của cửa sổ.
 Miền chuyển tiếp có độ lớn bằng ω s – ωp. Đối với của sỗ chữ nhật độ rộng
miền chuyển tiếp là ωs – ωp = 1,8π/M.
Bảng 2.1 Các hàm cửa sổ [8]
Rectangular
window
Barlett
(triangular)
window
Hanning
window
Hamming
window
Blackman
window
Kaiser
23

CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR
window

Bảng 2.2 Tóm tắt các đặc tính của các hàm cửa sổ [8]
Tên cửa sổ

Độ rộng miền chuyển tiếp
Xấp xỉ

Giá trị chính xác

Độ suy giảm tối
thiểu ở dải chắn

Rectangular

21dB

Barlett

25dB

Hanning

44dB

Hamming

53dB

Blackman

74dB

Hiện tượng Gibbs
Để giới hạn chiều dài đáp ứng xung hd(n) của bộ lọc lí tưởng, ta đã nhân đáp ứng
xung lí tưởng này với hàm cửa sổ w(n). Đối với bộ lọc lí tưởng, đáp ứng biên độ
chuyển đột ngột từ 1 xuống 0 hoặc ngược lại, nhưng trong thực tế, do tích chập
trong miền tần số đã gây ra các dao động ở dải thông và dải chắn xung quanh tần số
cắt ωc. Sự phát sinh các dao động này được gọi là hiện tượng Gibbs.
2.3.2 Thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính dùng phương pháp lấy mẫu tần số
Vì sao phải lấy mẫu tần số: phương pháp cửa sổ yêu cầu kiến thức về h d(n) và
DTFT đảo của Hd(ejw) đôi khi khó khả dụng.
2.3.2.1 Nguyên tắc:
từ định lí lẫy mẫu tần số, hàm hệ thống H(z) có thể đạt được từ các mẫu H(k) của
H(ejw):

Với z=ejw ta có:

24


CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR
Với:

Với bộ lọc FIR pha tuyến tính ta có:

H(k) được viết lại:

Trong đó:

Và:

Cuối cùng ta có:

2.3.2.2 Ý tưởng thiết kế: đưa ra bộ lọc thông thấp lí tưởng Hd(eiw), chọn chiều dài
M của bộ lọc rồi sau đó lấy mẫu Hd(ejw) tại M điểm có khoảng cách bằng nhau trong
miền tần số từ 0 đến 2π. Đáp ứng thực tế là nội suy của các mẫu.
Một số nhận xét:
1. Xấp xỉ lỗi thì khác nhau giữa đáp ứng thực tế và đáp ứng lí tưởng, và bằng 0

tại các tần số lấy mẫu.
2. Xấp xỉ lỗi của tất cả các tần số phụ thuộc vào dạng của đáp ứng lí tưởng.
Đáp ứng lí tưởng có dạng càng dốc thì xấp xỉ lỗi càng lớn.
3. Lỗi càng lớn khi càng ở gần miền chuyển tiếp, nhỏ hơn khi ở trong băng.

Có hai cách thiết kế:
Phương pháp bình thường: sử dụng trực tiếp ý tưởng thiết kế và không cung cấp
các ràng buộc về xấp xỉ lỗi, do đó, ta chấp nhận tất cả các lỗi xuất hiện từ thiết kế.
25