09 bai toan lap pt duong thang p2 pros(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

09. BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 4. ĐƯỜNG THẲNG CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG KHÁC
Cách giải:
Giả sử cần lập phương trình đường thẳng d, biết d qua A và cắt cả hai đường thẳng d1; d2.
+) Chuyển đường d1 và d2 về dạng tham số t1 và t2 (hoặc t với t’)
+) Gọi B = d ∩ d1 ⇒ B ∈ d1 ⇒ B (t1 ); C = d ∩ d 2 ⇒ C ∈ d 2 ⇒ C (t2 )
uuur
uuur t1
+) Do A, B, C ∈ d ⇒ AB = k AC ⇒ 
t2
Chú ý: Ngoài cách giải trên thì ta có thể viết phương trình đường d dạng tổng quát (là giao tuyến của hai mặt
phẳng).
uur uur uuuuur
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa d1, suy ra nP = ud 1 ; AM 1  ; M 1 ∈ d1
uur uuur uuuuur
+ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa d2, suy ra nQ = ud 2 ; AM 2  ; M 2 ∈ d 2

uur

uur uur

Khi đó d = ( P ) ∩ (Q ) ⇒ ud =  nP ; nQ 





Ví dụ 1: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(1; –1; 1) biết d cắt cả hai đường d1 :
x = 2 − t

và d 2 :  y = t
 z = 3t


x −1 y + 3 z +1
=
=
2
1
−2

Hướng dẫn giải:
x
=
1
+ 2t '


+) Đường thẳng d1 có phương trình tham số  y = −3 + t '
 z = −1 − 2t '

+) Gọi B = d ∩ d1 ⇒ B ∈ d1 ⇒ B (1 + 2t '; −3 + t '; −1 − 2t ')
C = d ∩ d 2 ⇒ C ∈ d 2 ⇒ C (t2 ) ⇒ C (2 − t; t ;3t )
uuur
uuur

+) Do A, B, C ∈ d ⇒ AB = k AC ⇔ ( 2t '; −2 + t '; −2 − 2t ') = k (1 − t ; t + 1;3t − 1)
⇔

 2tt '+ 2t ' = −2 − tt '+ 2t + t '
3tt '+ t '− 2t = −2
t = 1
2t ' −2 + t ' −2 − 2t '
=
=
⇔
⇔
⇒ tt '− t ' = 0 ⇔ 
1− t
t +1
3t − 1
6tt '− 2t ' = 2tt '+ 2t − 2t '− 2
 4tt '− 2t = −2
t ' = 0

x = 1
uuur
uur

+) Với t = 1 ⇒ t ' = 0 ⇒ AB = (0; −2; −2) ⇒ ud = (0;1;1) 
→ d :  y = −1 + t
z = 1 + t

x = 1
uuur
uur


+) Với t ' = 0 ⇒ t = 1 ⇒ AB = (0;2;2) ⇒ ud = (0;1;1) 
→ d :  y = −1 + t
z = 1 + t

Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua gốc toạ độ và cắt cả hai đường thẳng:
 x = 1 + 2t1
 x = 2 + t2


, ( d 2 ) :  y = −3 + 2t2
( d1 ) :  y = 2 + t1
 z = −3 + 3t
 z = 1 + 3t
1
2


Ví dụ 3: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(–4; –5; 3) và cắt cả hai đường thẳng
x +1 y + 3 z − 2
x − 2 y +1 z −1
d1 :
=
=
, d2 :
=
=
3
−2
−1

2
3
−5

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 4: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(–1; 0; 14) và cắt cả hai đường thẳng
x +1 y z +1
x−3 y +3 z + 4
d1 :
=
=
, d2 :
=
=
1
6
2
1
−1
−2
x + 1 y y − 14
Đ/s: d :
=
=

3
−1
−9
Ví dụ 5: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x – y + 2z = 0 và cắt cả 2 đường thẳng
x = 2 − t
x = 1− t '


∆1 :  y = 3 + 2t , ∆ 2 :  y = 1 + 2t '
 z = −1 + 3t
z =t '



x = t
x y z+2

=
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 = 0 và hai đường thẳng ∆1 :  y = 1 + t , ∆ 2 : =
2 −1
1
 z = −1 + 2t

a) Xét vị trí tương đối của ∆1 và ∆2 với (P).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2
c) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(0; 1; 2) đồng thời cắt đường ∆1 và và vuông góc với ∆2
d) Lập phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P) và cắt cả hai đường ∆1 và ∆2
Ví dụ 7: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d // ∆ và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 biết
z −5
x −1 y − 2 z − 3

x y −1 z
, d1 :
, d2 : =
∆ : x = y −1 =
=
=
=
3
2
3
4
1
−1 2
Ví dụ 8: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d // ∆ và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 biết
x = 2 − t
x y + 2 z −1
x+2 y z−4

∆ :  y = 1 + 2t , d1 : =
=
, d2 :
= =
2
−
1
3
−2
1
1
z = t


Ví dụ 9: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + 4 = 0 và cắt cả
x = 2 − t
x −1 y + 2 z − 4

2 đường thẳng ∆1 :
=
=
, ∆ 2 :  y = 1 + 4t
2
3
1
 z = 6 − 5t


 x = 2 − 3t
x +1 y z + 2

=
=
Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho hai đường thẳng ∆1 :  y = 1 + 3t , ∆ 2 :
2
−1
2
 z = −1 + 2t

a) Xét vị trí đương đối của hai đường thẳng, tính góc và khoảng cách giữa chúng.
b) Lập phường trình đường thẳng d đi qua A(0; 1; 1) đồng thời vuông góc với d1 và cắt d2
c) Lập phương trình đường thẳng d’ sao cho d’ cắt cả hai đường thẳng d1; d2 đồng thời song song với mặt phẳng
( P ) : x + 2 y + 5 z − 1 = 0 và vuông góc với d1.

 x = 1− t
x y + 2 z −1

, ∆2 : =
=
Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho hai đường thẳng ∆1 :  y = 2t
1
−1
5
 z = −1 − 3t

Lập phương trình đường thẳng d’ sao cho d’ cắt cả hai đường thẳng d1; d2 đồng thời song song với hai mặt phẳng
( P ) : x + 2 y + 5 z − 1 = 0 và (Q) : 3x − y + z + 5 = 0 .
Ví dụ 12: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( −4; −5;3)
x − 2 y +1 z −1
2 x + 3y + 11 = 0
và cắt cả hai đường thẳng: d1 : 
và d2 :
=
=
.
y
−
2
z
+
7
=
0
2

3
−5

Hướng dẫn giải:
 x = 5 − 3t1
 x = 2 + 2t2


Viết lại phương trình các đường thẳng: d1 :  y = −7 + 2t1 ,
d2 :  y = −1 + 3t2 .
z = t
 z = 1 − 5t
1
2



Gọi A = d ∩ d1 , B = d ∩ d2 ⇒ A(5 − 3t1; −7 + 2t1; t1 ) , B(2 + 2t2 ; −1 + 3t2 ;1 − 5t2 ) .

uuur

uuur

MA = (−3t1 + 9;2t1 − 2; t1 − 3) , MB = (2t2 + 6;3t2 + 4; −5t2 − 2)

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

uuur uuur

 MA, MB  = (−13t t − 8t + 13t + 16; −13t t + 39t ; −13t t − 24t + 31t + 48)
12
1
2
12
2
12
1
2

uuur uuur
uuur uuur r
t = 2
M, A, B thẳng hàng ⇔ MA, MB cùng phương ⇔  MA, MB  = 0 ⇔  1
t2 = 0
uuur

⇒ A(−1; −3;2), B(2; −1;1) ⇒ AB = (3;2; −1)
 x = −4 + 3t
uuur

Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP AB = (3;2; −1) ⇒ d :  y = −5 + 2t
 z = 3 − t
Ví dụ 13: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4 x – 3y + 11z = 0 và hai đường thẳng
d 1:

x−4
x
y −3
z +1
y
z−3
=
=
, d2 :
=
=
. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. Viết phương trình đường
−1
2
3
1
1
2

thẳng ∆ nằm trên (P), đồng thời ∆ cắt cả d1 và d2.

Hướng dẫn giải:
Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5).
Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1)
x +2 y−7 z−5
Phương trình đường thẳng ∆:
=
=
.
5

−8
−4
Ví dụ 14: [ĐVH]. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ),(d2 ) và mặt phẳng (P) có phương
x +1 y + 2 z
x − 2 y −1 z −1
=
= , ( d2 ) :
=
=
; (P ) : x + y − 2 z + 5 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d)
1
2
1
2
1
1
song song với mặt phẳng (P) và cắt (d1 ),(d2 ) lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.

trình: (d1 ) :

Hướng dẫn giải:

uuur

Giả sử: A(−1 + a; −2 + 2a; a), B(2 + 2b;1 + b;1 + b) ⇒ AB = (−a + 2b + 3; −2a + b + 3; − a + b + 1)

uuur

uuur

r

Do AB // (P) nên: AB ⊥ nP = (1;1; −2) ⇔ b = a − 4 . Suy ra: AB = (a − 5; − a − 1; −3)
AB = (a − 5)2 + (− a − 1)2 + (−3)2 = 2a2 − 8a + 35 = 2(a − 2)2 + 27 ≥ 3 3

uuur
a = 2
Suy ra: ABmin = 3 3 ⇔ 
, A(1;2;2), AB = (−3; −3; −3)
b = −2
x −1 y − 2 z − 2
=
=
.
Vậy d :
1
1
1
Ví dụ 15: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) :

x + 8 y − 6 z − 10
=
=
và
2
1
−1

x = t


(d2 ) :  y = 2 − t . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1) tại A, cắt (d2) tại B. Viết
 z = −4 + 2t
phương trình đường thẳng AB.
Hướng dẫn giải:
Giả sử: A(−8 + 2t1;6 + t1;10 − t1 ) ∈ d1, B(t2 ;2 − t2 ; −4 + 2t2 ) ∈ d2.

uuur

⇒ AB = (t2 − 2t1 + 8; −t2 − t1 − 4);2t2 + t1 − 14) .

uuur r

−t − t − 4 = 0

t = −22

AB, i = (1; 0;0) cùng phương ⇔  2 1
⇔ 1
2
t
+
t
−
14
=
0
 2 1
t2 = 18

⇒ A(−52; −16;32), B(18; −16;32) .

 x = −52 + t

⇒ Phương trình đường thẳng d:  y = −16
.
 z = 32
 x = −23 + 8t

Ví dụ 16: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1):  y = −10 + 4t và (d2):
 z = t

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x −3 y +2 z
=
= . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng (d1), (d2).
2
−2
1
Hướng dẫn giải:
Giả sử A(−23 + 8t1; −10 + 4t1; t1 ) ∈ d1, B(3 + 2t2 ; −2 − 2t2 ; t2 ) ∈ d2.

uuur

⇒ AB = (2t2 − 8t1 + 26; −2t2 − 4t1 + 8; t2 − t1 )


17
t1 =
2t2 − 8t1 + 26 = 0
6 ⇒ A  − 1 ; 4 ; 17 
AB // Oz ⇔ AB, k cuøng phöông ⇔ 
⇔ 
−
2
t
−
4
t
+
8
=
0
 3 3 6
1
 2
t = − 5
 2
3

1
x = − 3

4
⇒ Phương trình đường thẳng AB:  y =
3


 z = 17 + t

6

uuur r

x +1 y −1 z −1
x −1 y − 2 z +1
=
=
và d2 :
=
=
và mặt phẳng
2
−1
1
1
1
2
(P ) : x − y − 2 z + 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 .

Ví dụ 17: [ĐVH]. Trong không gian cho hai đường d1:

Hướng dẫn giải:
Gọi A = d1 ∩ ∆, B = d2 ∩ ∆. Vì ∆ ⊂ (P) nên A = d1 ∩ (P), B = d2 ∩ (P)
⇒ A(1; 0; 2), B(2; 3; 1)
x −1 y z − 2
⇒ ∆ chính là đường thẳng AB ⇒ Phương trình ∆:

= =
.
1
3
−1
Ví dụ 18: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng
 x = −1 + t

x −1 y +1 z
(P): x + y + z − 1 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng (d1 ) :
=
= và (d2 ) :  y = −1 , với t ∈ R .
2
−1 1
 z = −t

( )

( )

(

Lấy M ∈ d1 ⇒ M (1 + 2t1; −1 − t1; t1 ) ; N ∈ d2 ⇒ N −1 + t; −1; −t

uuuur

Suy ra MN = ( t − 2t1 − 2; t1; −t − t1 )

)


4
t=

r

5 ⇒ M =  1 ;− 3;− 2 
(d ) ⊥ ( P ) ⇔ MN = k .n; k ∈ R* ⇔ t − 2t1 − 2 = t1 = −t − t1 ⇔ 


5 5 5
t = −2
 1 5
1
3
2
⇒ d: x − = y + = z +
5
5
5
Ví dụ 19: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2 x – y + z + 1 = 0 , (Q):

uuuur

x − 2 y +1 z
=
= . Gọi ∆2 là giao tuyến của (P) và
−2
1
3

(Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng ∆1, ∆2.
Hướng dẫn giải:

x – y + 2 z + 3 = 0 , (R): x + 2 y –3z + 1 = 0 và đường thẳng ∆1:

 x = 2 − 2t
x = 2 + s


∆1 có PTTS:  y = −1 + t ;
∆2 có PTTS:  y = 5 + 3s .
 z = s
 z = 3t
Giả sử d ∩ ∆1 = A; d ∩ ∆2 = B ⇒ A(2 − 2t; −1 + t;3t ), B(2 + s;5 + 3s; s)

uuur

r

AB = (s + 2t;3s − t + 6; s − 3t ) , (R) có VTPT n = (1;2; −3) .
uuur r
s + 2t 3s − t + 6 s − 3t

d ⊥ ( R) ⇔ AB, n cùng phương ⇔

1

=

2

=

−3

⇒t=

 1 1 23 
23
⇒ A ; ; 
24
 12 12 8 

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

23
1
1
z−
y−
8 .
12 =
12 =
1
2

−3

x−

Vậy phương trình của d:

DẠNG 5. ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cách giải:
Giả sử cần lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2. Ta thực hiện như sau:
+) Chuyển đường d1 và d2 về dạng tham số t1 và t2 (hoặc t với t’)
uur uuur
+) Gọi A = d ∩ d1 ⇒ A ∈ d1 ⇒ A(t1 ); B = d ∩ d 2 ⇒ B ∈ d 2 ⇒ B (t2 ) . Khi đó d ≡ ( AB ) ⇒ ud = AB
uur uur
uuur uur
d ⊥ d1
t
ud ⊥ ud 1
 AB.ud 1
+) Do d là đường vuông góc chung nên 
⇔  uur uuur ⇔  uuur uuur 
→ 1 ⇒ d
d ⊥ d 2
t2
ud ⊥ ud 2
 AB.ud 2
Ví dụ 1: [ĐVH]. Chứng minh các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau và viết đường vuông góc chung của chúng
x − 2 y +1 z
x y −1 z +1
a) d1 :
=

= , d2 : =
=
.
3
−2
2
1
2
4
x−7 y −3 z −9
x − 3 y −1 z −1
b) d1 :
=
=
, d2 :
=
=
.
−1
−7
1
2
2
3
Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết
x = 1 + t
x y −4 z −5

d1 :  y = 0
, d2 : =

=
.
0
−2
3
 z = −5 + t

Đ/s: d :

x−4 y z+2
=
=
.
−3
−2
2

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!