Chuyên đề giải bài toán lập PT.

Lời nó i đầu
Dạng toán Giải bài toán bằng cách lập phơng trình ở chơng trình đại
số các lớp 8 và 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó đối với
học sinh. Do đặc trng của loại này thờng là loại toán có đề bài bằng lời văn và
thờng đợc xen trộn nhièu dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán
học, vật lý).
Hầu hết các bài toán có các dự kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời
văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm đợc sự liên quan giữa các đại l-
ợng dẫn đến việc lập phơng trình hoặc hệ phơng trình mà thực chất các vấn đề
khoa học giải toán là giải phơng trình.
Trong phân phối chơng trình toán ở trờng trung học cơ sở thì đến lớp 8
học sinh mới đợc học về khái niệm phơng trình và các phép biến đổi tơng đ-
ơng các phơng trình. Nhng việc giải phơng trình đã có trong chơng trình toán
từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tuỳ theo từng đối tợng học sinh.
ở lớp 1, 2 phơng trình đợc cho dới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống:

- 2 = 5
ở lớp 3 đợc nâng dần dới dạng: x + 3 2 = 10
ở lớp 4, 5, 6 cho dới dạng phức tạp hơn nh:
x : 3 = 4 : 2
x . 3 + 5 = 11; (x 15). 7 = 21
ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ nh trên bài toán còn cho dới dạng
lời văn có các dữ kiện kèm theo.
Vì vậy muốn giải đợc loại toán này học sinh phải suy nghĩa để thiết lập
mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình (hệ phơng trình).
Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều đợc gắn
liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thờng là những số liệu
có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thờng mắc sai lầm là thoát
ly thực tế... Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặt khác,
cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới
chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà cha

biết phân loại toán, cha khái quát đợc cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân
1
tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa
các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải loại toán này.
Chính vì vậy, muốn giải bài toán bằng các lập phơng trình hay hệ phơng
trình thì điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ cho trong bài
thành những quan hệ toán học. Do vậy, nhiệm vụ của ngời thầy giáo không phải
là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là ngời thầy phải dạy cho học sinh
cách giải bài tập. Do đó khi hớng dẫn cho học sinh giải loại toán dựa vào quá
trình biến thiên của các đại lợng (tăng, giảm, thêm, bớt...) làm sáng tỏ mối quan
hệ giữa các đại lợng, dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng. Đây là bớc quan
trọng và khó khăn đối với học sinh.
Trong thời gian giảng dạy ở trờng trung học cơ sở, qua học hỏi kinh
nghiệm của các thầy giáo lớp trớc và các đồng nghiệp trong nhóm là đề tài này.
Đợc sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo Trịnh Khang Thành, tôi mạnh dạn viết
đề tài này với mong muốn đợc trao đổi cùng với đồng nghiệp những kinh nghiệm
trong quá trình giảng dạy về dạng toán Giải bài toán bằng cách lập phơng
trình.
Nội dung chính của đề tài gồm:
Ch ơng I : Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu về giải một bài toán.
Ch ơng II : Phân loại các bài toán và các giai đoạn giải bài toán bằng
cách lập phơng trình.
Ch ơng III : Những loại toán và hớng dẫn học sinh giải.
Ch ơng IV : Phần thực nghiệm.
Do trình độ có hạn nên đề tài này không tránh đợc những sai sót rất mong
các thầy giáo lợng thứ và chỉ bảo để bản thân tôi rút đợc kinh nghiệm trong
giảng dạy và áp dụng.
Thái Bình, ngày tháng năm 200
Tác giả

2
Chơng I
Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán
I. Phơng pháp nghiên cứu:
Dựa vào phân phối chơng trình chung của Bộ giáo dụ - đào tạo ban hành về
chơng trình toán bậc THCS ở lớp 8 có tất cả 25 tiết nghiên cứu về phơng trình bậc
nhất một ẩn và giải bài toán bằng cách lập phơng trình. ở lớp 9 có 36 tiết nghiên
cứu về phơng trình bậc hai một ẩn. Trong chơng trình sách giáo khoa ở cả hai lớp
trên có 74 bài tập.
Một trong các phơng pháp hớng dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa vào
quy tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Nội dung quy tắc gồm các
bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình (gồm các công việc)
- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn.
- Dùng ẩn số và các số đã biết, đã cho trong bài toán để biểu thị số liệu khác
nhau có liên quan, diễn giải các bộ phận hình thành phơng trình (hệ phơng trình).
Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình)
Tuỳ thuộc vào từng dạng phơng trình mà chọn cách giải cho thích hợp và
ngắn gọn.
Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời.
- Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không? sau đó
trả lời kết quả (có kèm theo đơn vị).
Mặc dù đã có quy tắc trên xong ngời giáo viên trong quá trình hớng dẫn giải
loại toán này cần cho học sinh vận dùng theo sát yêu cầu về giải một bài toán nói
chung.
II. Yêu cầu về giải một bài toán.
3
1. Yêu cầu 1:
Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học

sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không sai sót về kiến thức, phơng pháp
suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn. Phải rèn cho học sinh có
thói quen đặt điều kiện cho ẩn số và xem xét đối chiếu kết quả với điều kiện
của ẩn đã hợp lý cha.
Ví dụ 1: (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 1995 1996)
Tỷ số giữa tuổi em và tuổi anh bằng 0,5. Sau 3 năm nữa tỷ số sẽ tăng
thêm 0,1. Hỏi tuổi anh và em hiện nay?
Nếu gọi tuổi em là x(x > 0, x N). Nếu tuổi em là x thì tuổi anh là 2x
(phân tích).
Theo bài ra ta có phơng trình:
6,01,05,0
32
3
=+=
+
+
x
x
<=> x + 3 = 0,6 (2x + 3)
<=> x = 6 (thoả mãn điều kiện đã đặt)
=> Tuổi em hiện nay là 6, tuổi anh là 12.
2. Yêu cầu 2:
Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình thực
hiện từng bớc có logic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt
phải chú ý đến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn khéo
léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật đợc ý phải tìm. Nhờ mối
tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc phơng trình (hệ phơng
trình) từ đó tìm đợc giá trị của ẩn số. Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh
hiểu đợc đâu là ẩn số? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? điều kiện có đủ để xác
định đợc ẩn không? Từ đó mà xác định đợc hớng đi, xây dựng đợc cách giải.

Ví dụ 2: (Toán phát triển đại số 9 1996 Nguyễn Ngọc Đạm Tr-
ơng Công Thành NXB Giáo dục).
4
Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi
của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m
2
.
Hớng dẫn: ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật, học sinh thờng
có xu thế bài toán hỏi gì thứ gọi đó là ẩn số. Nếu gọi chu vi của hình chữ nhật
là ẩn số thì bài toán đi vào bế tắc khó có lời giải. Giáo viên cần hớng dẫn học
sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề. Muốn tính chu
vi hình chữ nhật ta cần gì? => (cạnh hình chữ nhật). Từ đó gọi chiều rộng khu
đất hình chữ nhật là x (x> 0). Từ đó ta có phơng trình.
x(x + 4) = 1200 <=> x
2
+ 4x + 1200 = 0
Giải phơng trình ta có: x
1
= 30
x
2
= -34
Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x
2
chỉ lấy x
1
= 30 =>
chiều dài là 30 + 4 = 34 và chu vi là: 2(30 + 34) = 128m
(ở bài toán này nghiệm x
2

= - 34 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài hình
chữ nhật, học sinh dễ mắc sai sót coi đó cũng là kết quả của bài toán.
3. Yêu cầu 3:
Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Hớng dẫn học sinh không đ-
ợc bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhng cũng không thiếu. Rèn cho
học sinh cách kiểm tra lại lời giải đã đầy đủ cha? Kết quả của bài toán đã là đại
diện phù hợp với mọi cái nói chung. Nếu thay đổii điều kiện bài toán rơi vào tr-
ờng hợp đặc biệt thì kết quả vẫn luôn luôn đúng.
Ví dụ 3: (Bài ôn luyện toán 9 NXB Hà Nội)
Một tam giác có chiều cao bằng ắ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm
3dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm
2
. Tính
chiều cao và cạnh đáy.
Lu ý học sinh: Dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy của tam giác thì diện
5
tích (S) của nó luôn đợc tính theo công thức:
S =
2
1
(cạnh đáy . chiều cao)
Từ đó gọi chiều dài cạnh đáy (lúc đầu) là x(x > 0, dm) thì chiều cao sẽ là
4
3
x (lúc đầu).
=> S lúc đầu là
2
1
x .
4

3
x
=> S sau là:
2
1
(x-2) . (
4
3
x + 3)
Theo bài ra ta có phơng trình:






+
3
4
3
).2(
2
1
xx
Giải phơng trình ta tóm đợc: x = 20 thoả mãn điều kiện => chiều cao của
tam giác là
4
3
x 20 = 15dm
4. Yêu cầu 4:

Lời giải bài toán phải đơn giản
Bài giải phải đảm bảo đợc 3 yêu cầu trên. Không sai sót, có lập luận,
mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ học sinh, đại đa số học sinh
hiểu và làm đợc.
Ví dụ 4: (Bài toán cổ)
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có mấy gà, mấy chó?
Với bài toán này nếu giải nh sau:
Gọi số gà là x(x>0), x N) thì số chó là 36x x.
6
Gà có 2 chân => Số chân gàn là 2x chân
Chó có 4 chân => Số chân chó là 4(36 x) chân
Theo bài ra ta có phơng trình: 2x + 4(36 x) = 100
Giải ra ta có: x = 22 => gà = 22 con => số chó có là 36 22 = 14 con
Thì bài toán ngắn gọn dễ hiểu. Nhng học sinh giải theo cách dùng 2 ẩn
(x, y) hoặc gọi số chân gàn là x => số chân chó là 100 x.
=> Phơng trình:
36
4
100
2
=

+
xx
Kết quả cũng là gàn 22 con, chó 14 con nhng đã vô tình biến bài giải khó
hiểu hơn hay không hợp với trình độ của học sinh.
5. Yêu cầu 5:

Lời giải phải trình bày khoa học.
Đó là lu ý đến mối liên hệ giữa các bớc giải trong bài toán phải logic,
chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy ra từ các bớc trớc nó, đã đợc kiểm
nghiệm, chứng minh là đúng, hoặc những điều đã biết từ trớc.
Ví dụ 5: (Toán phát triển đại 9 Nguyễn Ngọc Đạm Trơng Công
Thành NXB Giáo dục 1996).
Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành
2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
Theo hình vẽ ta có:
Bài toán yêu cầu tìm độ dài BC khi đã biết AH.
Trớc khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức h
2
=b.c <=> AH
2
= BH . HC.
Để từ đó: Gọi BH có độ dài là x(x > 0) => HC có độ dài là x + 5, 6.
Theo công thức (đã biết ở phần hình học) ta có phơng trình:
7
c
h
CB
H
b'
A
x (x + 5, 6) = (9,6)
2
Giải phơng trình ta có x = 7, 2 = 20m
6. Yêu cầu 6:
Lời giải bài toán phải rõ ràng đầy đủ (có thể nên thử lại).
Lu ý đến việc giải các bớc lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau,

phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói
quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán,
tránh bỏ sót, nhất là đối với phơng trình bậc 2, hệ phơng trình.
Ví dụ 6: (Toán phát triển đại 9 Nguyễn Ngọc Đạm Trơng Công
Thành NXB Giáo dục 1996).
Độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông là 25, còn tổng độ dài hai
cạnh góc vuông là 35. Tìm độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác?
Hớng dẫn: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x, y (x,y > 0).
Ta có hệ phơng trình: x + y = 35 (1)
x
2
+ y
2
= 25
2
= 625 (2)
Rút y từ phơng trình (1) thay vào phơng trình (2) ta có phơng trình: x
2
-
35x + 330 = 0.
Giải phơng trình bậc 2 này ta tìm đợc x
1
= 20; x
2
= 15
Đến đây học sinh hay hoang mang và ra hái kết quả (thực chất trong bài
toán tam giác vuông này là 1) không biết lấy kết quả nào?
Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với
điều kiện đầu bài nếu đảm bảo thì các nghiệm đều hợp lý. Một bài toán không
nhất thiết chỉ có duy nhất một kết quả và đợc kiểm chứng lại bằng việc thử lại

tất cả các kết quả đó với yêu cầu của bài toán.
8
Chơng II: Phân loại bài toán
Giải toán bằng cách lập phơng trình và các giai đoạn giải
một bài toán
I. Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng trình và
hệ phơng trình.
Trong 74 bài tập ở lớp 8 và lớp 9 giải bài toán bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình có thể phân loại nh sau:
1. Loại toán về chuyển động
2. Loại toán có liên quan đến số học.
3. Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm).
4. Loại toán về công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị).
5. Loại toán về tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỷ số
của chúng).
6. Loại toán có liên quan hình học.
7. Loại toán có chứa tham số.
8. Loại toán có nội dung vật lý, hoá học.
II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình và
hệ phơng trình.
1. Phần giai đoạn:
- Với bài toán bậc nhất một ẩn số: Là dạng bài toán sau khi xây dựng ph-
ơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng.
ax + b = 0 (a 0)
- Với bài toán giải bằng phơng trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây dựng
phơng trình, biến đổi tơng đơng đa về dạng:
9
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)

- Với bài toán: Giải bài toán bằng hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn là dạng sau
khi xây dựng biến đổi tơng đơng về dạng nguyên (nh mẫu số) có dạng:
ax + by = c
ax + by = c
Trong đó a, b, a, b không đồng thời bằng 0.
Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải một bài toán và 3 bớc trong quy tắc giải
bài toán bằng cách lập phơng trình (hệ phơng trình) nh phần I đã trình bày thì
giải bài toán loại này có thể chia thành 7 giai đoạn cụ thể rõ hơn 3 bớc trong
quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình ( hệ phơng trình).
* Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết kết luận của bài
toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? cần tìm gì? (có thể mô
tả bằng hình vẽ đợc không?)
* Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phơng trình. Tức là
chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện thế nào của ẩn cho thoả mãn.
* Giai đoạn 3: Lập phơng trình, dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các
đại lợng đã biết, đa vào các công thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến
đổi tơng đơng để đa phơng trình đã xây dựng về phơng trình ở dạng đã biết, đã
giải đợc.
* Giai đoạn 4: Giải phơng trình (bớc 2). Vận dụng các kỹ năng giải ph-
ơng trình đã biết để tìm nghiệm của phơng trình.
* Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phơng trình để xác định lời giải
của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không?
* Giai đoạn 6: Trả lời bài toán, kết luận nghiệm của bài toán xem có
mấy nghiệm, sau khi đã thử lại.
* Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thờng mở rộng
cho học sinh tơng đối khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh
10
biến đổi bài toán đã cho thành bài toán khác, ta có thể:
- Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiết).
- Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khác (ẩn số và giả thiết) nhằm

phát triển t duy toán học cho học sinh.
- Giải bài toán bằng cách khác tìm cách giải hay nhất.
2. Ví dụ minh hoạ cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập ph-
ơng trình.
Ví dụ 1: (Đại số lớp 8 Nguyễn Duy Thuận NXB Giáo dục 1995)
Nhà bác Điền thu hoạch đợc 480 kg cà chua và khoai tay khối lợng khoai
gấp 3 lần khối lợng cà chua. Tính khối lợng mỗi loại.
Hớng dẫn giải:
* Giai đoạn 1:
Giả thiết Khoai + cà chua = 480
Khoai = 3 lần cà chua
* Giai đoạn 2: Thờng là điều cha biết đợc gọi là ẩn số. ở bài này cả số l-
ợng cà chua và số lợng khoai đều cha biết nên có thể coi một trong hai loại
(hoặc cả 2 loại).
Cụ thể: Gọi số lợng khoai là x(x > 0kg) thì số lợng cà chua là 480 x
(hoặc số lợng cà chua là y) => x + y = 480
* Giai đoạn 3: Lập phơng trình
Vì số lợng khoai bằng 3 lần số lợng cà chua. Do đó mối quan hệ sẽ là
khoai = 3. cà chua. Ta có phơng trình:
x = 3(480 x) (*)
hoặc x = 3y
x + y = 489 (**)
11
* Giai đoạn 4: Giải phơng trình:
Tiếp theo cách lập phơng trình dẫn đến giải phơng trình bậc nhất (*) hay
hệ phơng trình (**).
Giải (*) ta đợc x = 360kg
Giải (**) ta cũng đợc x = 360kg, y = 120kg bằng cách thay x = 3y vào x
+ y = 480.
* Giai đoạn 5: Đối chiếu nghiệm đã giải với điều kiện đã ra xem mức độ

thoả mãn hay không thoả mãn. ở đây x = 360 > 0 nên thoả mãn.
Từ đó => số cà chua: 480 360 = 120kg.
Thử lại: Số khoai : 360kg
Số cà chua : 120kg => Khoai = 3 cà chua (đúng)
* Giai đoạn 6: Trả loài và đáp số.
Vậy số lợng khoai đã thu là 360kg.
Số lợng cà chua đã thu là 120kg.
* Giai đoạn 7: Nên cho học sinh nhiều cách giải khác nhau do việc chọn
ẩn số khác nhau đã đến xây dựng phơng trình khác nhau, từ đó tìm cách giải
hay nhất, ngắn gọn nhất. Nh đã trình bày ở trên, từ việc đặt ẩn số khác nhau đến
xây dựng phơng trình khi là phơng trình bậc nhất một ẩn, khi là hệ phơng trình
bậc nhất hai ẩn. Nhng có thể lu ý cho học sinh tốt nhất là đa về phơng trình đơn
giản nhất, dễ giải nhất.
- Có thể từ bài toán này xây dựng hoặc giải các bài toán tơng tự.
Ví dụ:
+ Thay lời văn và tình tiết bài toán: giữ nguyên số liệu, ta có bài toán mới
Một phân số có tổng tử và mẫu số là 480. Biết rằng mẫu gấp 3 lần tử. Tìm
phân số đó.
+ Thay số liệu giữ nguyên lời văn.
+ Thay kết luận thành giả thiết và ngợc lại ta có bài toán Tuổi cha gấp 3
12
lần tuổi con, biết rằng tuổi của con là 12. Tìm tổng số tuổi cua cha và con.
Bằng cách đó có thể xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các
dạng bài toán tơng tự và cách giải tơng tự. Đến khi gặp bài toán học sinh sẽ
nhanh chóng tìm ra cách giải.
Chơng III: Những loại toán và hớng dẫn học sinh giải
Phân loại dạng toán
I. Dạng toán chuyển động:
Bài toán 1: (Sách ôn thi tốt nghiệm NXB Giáo dụ 1990)
Nhà Nam và Lan cùng nằm trên đờng quốc lộ và ở cách nhau 7m. Nếu

Nam và Lan đi xe đạp cùng lúc và ngợc chiều nhau thì sau 1/4 giờ họ gặp nhau.
Tính vận tốc của mỗi ngời? Biết rằng vận tốc của Lan bằng 3/4 vận tốc của
Nam.
Hớng dẫn học sinh: Đây là bài toán chuyển động ngợc chiều khi 2 ngời
gặp nhau tại M tức là 2 ngời đã đi hết quãng đờng AB = 7m. Mà vận tốc của
Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam, nh vậy có mối quan hệ nh thế nào với cả 2 ngời
trong khi thời gian đi của cả 2 ngời nh nhau => học sinh sẽ hiểu đề bài và tự đặt
đợc ẩn số và lập phơng trình về mối tơng quan giữa ẩn số và một đại lợng khác.
A M B
* Lời giải:
Cách 1: Gọi vận tốc của Nam là x(x > 0,km/h) thì vận tốc của Lan là
3/4x. Nh vậy Au 1/4h Nam đi đợc quãng đờng là 1/4x. Sau 1/4h Lan đi đợc
quãng đờng là 3/4x . 1/4h cả 2 ngời đi đợc quãng đờng AB. Vậy ta có phơng
trình:
7
4
1
.
4
3
4
1
=+
xx
(1)
<=>
7
16
3
4

1
=+
xx
<=> 7x = 7 . 16 <=> x = 16
13
x thoả mãn điều kiện của bài toán và phơng trình (1)
Cách 2: Gọi quãng đờng của Nam đi sau 1/4h là x(km, 0< x < 7). Quãng
đờng của Lan đi sau 1/4h là y(km, 0 < y < 7).
Theo bài ra ta có: x + y = 7 (1)
Vận tốc của Nam sẽ là: x : 1/4 = 4x
Vận tốc của Lan sẽ là: y : 1/4 = 4y
Theo bài ra ta có:
3
1
4
4
=
y
x
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình: x + y = 7 (1)
3
4
=
y
x
(2)
Giải hệ phơng trình ta tìm đợc x = 4, y = 3 thoả mãn điều kiện và phơng
trình (1).
Vận tốc của Nam là:

hkm /16
4
1
:4
=
hkm /12
4
1
:3
=
Bài toán 2: (Đại số 9 Ngô Hữu Dũng)
Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km cả đi lẫn về mất 8h20.
Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng. Biết rằng vận tốc của dòng nớc là
4km/h.
* Hớng dẫn học sinh: Trong bài này cần lu ý học sinh xác định vận tốc
thực của tàu thuỷ khi ngợc dòng và xuôi dòng khác nhau.
- Khi tàu xuôi dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực + vận tốc dòng n-
ớc.
- Khi tàu ngợc dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực vận tốc dòng n-
ớc.
* Lời giải:
14
Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng và x(x > 4, km/h). Do vậy khi
xuôi dòng vận tốc của tàu là x + 4, khi ngợc dòng vận tốc của tàu là x 4. Thời
gian tàu đi từ A -> B xuôi dòng là 80/x+ 4
Thời gian tàu đi từ B -> A ngợc dòng là 80/x 4.
Thời gian tàu xuôi (đi) và ngợc (về) mất 8h20
hh
3
25

3
1
.8
==
. Vậy ta có
phơng trình:
3
25
4
80
4
80
=

+
+
xx
<=> 5x
2
96x 80 = 0
Giải phơng trình bậc 2 ta có: = 2 . 704 = (52)
2
=>
25'
=
=> x
1
= 20, x
2
= - 0,8 (loại)

Vậy x = 20 thoả mãn đề bài và phơng trình. Vậy vận tốc của tàu thuỷ khi
yên lặng là 20km/h.
Tóm lại: Với 3 lời giải trên giáo viên đã hình thành cho học sinh làm
quen với việc giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình. ở đây
mới cố gắng nêu 2 cách giải đại diện cho các dạng phơng trình bậc nhất, phơng
trình bậc 2 và hệ phơng trình.
+ Trong dạng toán chuyển động, học sinh cần nhớ và nắm chắc các đại
cơng quãng đờng, vận tốc và thời gian liên quan với công thức S = vt. Do đó khi
giải nên chọn 1 trong 3 đại lợng trên là ẩn số và điều kiện luôn luôn dơng. Sau
đó áp dụng công thức S = vt hoặc điều kiện của bài toán để xây dựng phơng
trình (hệ phơng trình).
+ Cần lu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chai ra nhiều dạng
nhỏ và cần lu ý.
- Nếu chuyển động trên cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian có
tỷ lệ nghịch với nhau.
- Nếu thời gian chuyển động đến chậm hơn dự định (bài 9 sách đại 8
Nguyễn Duy Thuận) thì cách lập phơng trình nh sau:
15