Bai giang 9 bai giang khoang cach trong ham so p1 baigiang

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P1
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ TỚI HAI TRỤC TỌA ĐỘ, HAI TIỆM CẬN

Cho hàm số ( C ) : y =

 ax + b 
ax + b
, M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) 
→ M  xo ; o

cx + d
 cxo + d 

Khoảng cách từ M đến trục Ox là d1 = yo =

axo + b
cxo + d

Khoảng cách từ M đến trục Oy là d 2 = xo

d
d
là d 3 = xo +
c
c

a
a
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang y = là d 4 = yo −
c
c
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x = −

Khoảng cách từ M đến đường thẳng d : Ax + By + C = 0 
→ d5 =
Khoảng cách giữa hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) 
→ AB =

Axo + Byo + C
A2 + B 2

( x A − xB ) 2 + ( y A − y B ) 2

x−2
.
x +1
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho
a) khoảng cách từ M đến Oy bằng ba lần khoảng cách từ M đến Ox.
b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải:

x −2
x−2

→ M  xo ; o
Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y =


x +1
xo + 1 

a) Khoảng cách từ M đến các trục tọa độ lần lần lượt là d1 = xo ; d 2 = yo .

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =

 3xo − 6
 x + 1 = xo
 xo2 − 2 xo + 6 = 0 ⇒ vno
xo − 2
o

Theo bài ta có d1 = 3d 2 ⇔ xo = 3 yo ⇔ xo = 3
⇔
⇔
2
 3xo − 6
xo + 1
→ xo = −2 ± 10
 xo + 4 xo − 6 = 0 
= − xo

x
+
1
 o

Vậy có hai điểm M với hoành độ là xo = −2 ± 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 và tiệm cận ngang là y = 1.
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = xo + 1 .
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d 2 = yo − 1 =
Theo bài ta có d1 = 2d 2 ⇔ xo + 1 =

xo − 2
3
−1 =
xo + 1
xo + 1

6
⇔ xo + 1 = ± 6 
→ xo = −1 ± 6
xo + 1

Vậy có hai điểm M với hoành độ là xo = −1 ± 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2x + 1
.
x −3
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến điểm I ngắn nhất, với I là giao điểm của hai
đường tiệm cận.
Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95


2x + 1
7
7 
=2+

→ M  xo ;2 +

x−3
x−3
xo − 3 

Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 3 và tiệm cận ngang là y = 2 nên giao điểm của hai tiệm cận là I(3 ; 2).

Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y =

Ta có MI =

( xM

( xo − 3)

− xI ) + ( y M − y I ) =
2

2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ( xo − 3) +
2

Vậy MI min = 14 ⇔ ( xo + 3) =
2

49

( xo + 3)

2

+ ( yo − 2 )

49

( xo − 3)

2

≥2

2

2

 7 
= ( xo − 3) + 
 =
 xo − 3 

2

( xo − 3)2 .

49

( xo − 3)2

( xo − 3)2 +

49

( xo − 3)2

= 14 
→ MI ≥ 14

⇔ ( xo + 3) = 7 ⇔ xo + 3 = ± 7 
→ xo = −3 ± 7
2

2

Vậy có hai điểm M với hoành độ là xo = −3 ± 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2x + 3
sao cho
x +1
a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy.

c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
 2x + 3 
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị ⇒ M  x0 ; 0
.
x0 + 1 


Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm M thuộc đồ thị hàm số y =

Đồ thị có tiệm cận đứng là x + 1 = 0 và tiệm cận ngang là y − 2 = 0
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = |x0 + 1|
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là d2 = |y0 – 2|
 y0 = x0 + 3
Theo bài ta có d1 = 2d 2 ⇔ x0 + 1 = y0 − 2 ⇔ 
 y0 = − x0 + 1
 x0 = 0 ⇒ y0 = 3
2x + 3
Với y0 = x0 + 3 ⇔ 0
= x0 + 3 ⇔ x02 + 2 x0 = 0 ⇔ 
x0 + 1
 x0 = −2 ⇒ y0 = 1
2 x0 + 3
= − x0 + 1 ⇔ x02 + 2 x0 + 2 = 0, phương trình vô nghiệm.
x0 + 1
Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn đề bài là M(0; 3) và M(–2; 1).
b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = |x0 + 1|
Khoảng cách từ M đến trục Oy là d2 = |x0|
1
8


 x0 = 2 ⇒ y0 = 3
Theo bài ta có d1 = 3d 2 ⇔ x0 + 1 = 3 x0 ⇔ 
 x = − 1 ⇒ y = 10
0
 0
4
3
1 8
 1 10 
Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn là M  ;  , M  − ;  .
 2 3
 4 3
2x + 3 2x + 2 + 1
1
c) Ta có y =
=
=2+
x +1
x +1
x +1

1 
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị ⇒ M  x0 ;2 +
.
x0 + 1 

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là h1 = |x0 + 1|
1
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là h2 = y0 − 2 =

x0 + 1

Với y0 = − x0 + 1 ⇔

Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là d = h1 + h2 = x0 + 1 +

1 BDT Co-si
1
≥ 2 x0 + 1 .
=2⇒d ≥2
x0 + 1
x0 + 1

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

7

x0 + 1 = 1 ⇒ x0 = 0 ⇒ y0 =
1
2

⇔ ( x0 + 1) = 1 ⇔
Dấu bằng đạt được khi x0 + 1 =
3


x0 + 1
x
+
1
=
−
1
⇒
x
=
−
2
⇒
y
 0
0
0 =1
 7
Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu là M  0;  , M ( −2;1) .
 3
II. TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TIỆM CẬN

Giả sử có đồ thị hàm số y =

f ( x)
, trong đó f(x) và g(x) là các hàm bậc nhất.
g ( x)

 f (a) 
Điểm M thuộc đồ thị nên M  a;

.
 g (a) 
Đồ thị có tiệm cận đứng là x = α hay x – α = 0 và có tiệm cận ngang là y = β hay y – β = 0.
d1 = a − α
k

Khoảng cách từ M đến các tiệm cận lần lượt là 
→ d = d1 + d 2 = a − α +
k 
f (a)
a−α
−β =
d =
g (a)
a−α

Theo bất đẳng thức Cô-si ta được d = a − α +
⇒ d min = 2 k ⇔ a − α =

k
a−α

⇔ a−α =

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =

k
a−α

≥ 2 a−α .

k ⇔a=α±

k
a−α

=2 k

k 
→M

x
, ( C ) . Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho
x+2

a) M có tọa độ là số nguyên.
b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
x
x+2−2
2
a) Ta có y =
=
=1−
x+2
x+2
x+2

 x + 2 = ±1
Gọi M(x; y) thuộc đồ thị, để M có tọa độ là số nguyên thì 2⋮( x + 2 ) ⇔ 

 x + 2 = ±2
x + 2 = 1 ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ M ( −1; −1)
x + 2 = −1 ⇔ x = −3 ⇒ y = 3 ⇒ M ( −3;3)
x + 2 = 2 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ M ( 0;0 )

x + 2 = −2 ⇔ x = −4 ⇒ y = 2 ⇒ M ( −4;2 )
Vậy trên đồ thị hàm số có 4 điểm M có tọa độ là những số nguyên.
a 

b) Giả sử M  a;
 ∈ ( C ) là điểm cần tìm.
 a+2
Đồ thị có tiệm cận đứng x + 2 = 0 và tiệm cận ngang y – 1 = 0.

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = a + 2 , khoảng cách đến tiệm cận ngang là d 2 =
Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là d = d1 + d 2 = a + 2 +
Vậy d min = 2 2 ⇔ a + 2 =

a
2
−1 =
a+2
a+2

2
2
≥2 a+2.
=2 2
a+2
a+2

2
⇔ a + 2 = ± 2 ⇔ a = −2 ± 2
a+2



−2 + 2 
2+ 2 
Từ đó ta được hai điểm M thỏa mãn là M 1  −2 + 2;
 , M 2  −2 − 2;
.

2 
2 


2x + 1
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, ( C ) . Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho
x−3
a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 8.
Hướng dẫn giải:
2 x + 1 2( x − 3) + 7
7
7 

Ta có y =
=
=2+
. Giả sử M  a; 2 +
 ∈ ( C ) là điểm cần tìm.
x−3
x−3
x−3
a −3

Đồ thị có tiệm cận đứng x − 3 = 0 và tiệm cận ngang y – 2 = 0.
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = a − 3 , khoảng cách đến tiệm cận ngang là d 2 =

a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là d = d1 + d 2 = a − 3 +

7
7
=
a−3 a−3

7
7
≥ 2 a −3.
=2 7

a −3
a −3

7
⇔ a −3= ± 7 ⇔ a = 3± 7
a −3
Từ đó ta được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy d min = 2 7 ⇔ a − 3 =

a = 4
a = 2
 a − 3 =1
7
2
b) Theo bài ta có d = d1 + d 2 = a − 3 +
= 8 ⇔ ( a − 3) − 8 a − 3 + 7 = 0 ⇔ 
⇔
 a = 10
a−3
 a − 3 = 7

 a = −4
Tương ứng trên đồ thị có 4 điểm M thỏa mãn là M1 ( 4;9 ) , M 2 ( 2; −5 ) , M 3 (10;3) , M 4 ( −4;1) .

2x + m
, ( C ) . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số.
x −1
Tìm m để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất bằng 10.
Hướng dẫn giải:
 2a + m 

Giả sử M  a;
 ∈ ( C ) là điểm cần tìm.
a −1 

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x – 1 = 0 và tiệm cận ngang là y – 2 = 0.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = a − 1 và khoảng cách đến tiệm cận ngang là d 2 =
Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là d = d1 + d 2 = a − 1 +

2a + m
m+2
−2 =
a −1
a −1

m+2
m+2
≥ 2 a −1 .
=2 m+2
a −1
a −1

 m = 23
⇒ d min = 2 m + 2 = 10 ⇔ m + 2 = 25 ⇔ 
 m = −27
Với m = 23 ta có điều kiện cho dmin: a − 1 =

 a = 6 ⇒ M ( 6;7 )

25
⇔ a −1 = 5 ⇔ 
a −1
 a = −4 ⇒ M ( −4; −3)

Với m = −27 ta có điều kiện cho dmin: a − 1 =

 a = 6 ⇒ M ( 6; −3)
25
⇔ a −1 = 5 ⇔ 
a −1
 a = −4 ⇒ M ( −4;7 )

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn và tương ứng có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2x + 1
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =
.
x −1
Tìm điểm M trên (C) sao cho

a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox.
b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng bằng nhau.
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận.
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =

x +1
.

2x + 3

Tìm điểm M trên (C) sao cho

a) tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM, với I là giao điểm của hai tiệm cận
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng bằng nhau.
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =

x +1
.
2x −1

Tìm điểm M trên (C) sao cho

a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy.
b) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận.
d) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 2.

Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =

3x − 2

.
2x + 3

Tìm điểm M trên (C) sao cho

a) M có tọa độ là số nguyên.
b) khoảng cach từ M đến hai trục tọa độ bằng nhau.
c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!