Bài tập khoảng cách trong không gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Nguyện Chuyên đề: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THUẦN TÚY
Trung tâm luyện thi Cửa Học Đường 0986 636 056

Bài tập rèn luyện



Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
3AB a
, AC = a. Gọi I là điểm trên BC
sao cho
1
2
BI IC
và H là trung điểm của AI. Biết rằng
()SH ABC
và góc giữa mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng
0
60
. Tính khoảng cách :
a) từ B đến mặt phẳng (SHC).
b) từ C đến mặt phẳng (SAI).
Bài 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên bằng 3a. Gọi O là tâm
của mặt đáy ABC.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
b) Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SMN).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD =
3a
. Biết tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách:

a) từ A đến mặt phẳng (SBC).
b) từ A đến mặt phẳng (SCD).
c) từ A đến mặt phẳng (SBD).
d) Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ A đến (SCM), từ A đến (SDM).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA = 2a.
a) Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC)
b) Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBD)
Bài 5. ( ĐH khối B – 2011)
Cho lăng trụ
1 1 1 1
ABCDABC D
, ABCD là hình chữ nhật, AB = a; AD = a
3
. Hình chiếu vuông góc của
1
A
trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách từ
1
B
tới mặt phẳng
1
()A BD
.
Bài 6. Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy góc α. Tính khoảng cách
từ A tới mặt phẳng (SBC).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC, SA = 3a, SA (ABC), AB=2a,
0
120ABC
. Tính khoảng cách từ A tới mặt
phẳng (SBC).

Bài 8. (ĐH khối D – 2009)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, tam giác ABC vuông tại B, AB = a, AA’=2a, A’C=3a, M là trung
điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C.Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (IBC).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. BA=BC=a, AD = 2a,
()SA ABCD
,
2SA a
. CMR: Tam giác SCD vuông. Tính khoảng cách từ H tới mặt phẳng (SCD).
Bài 10. (ĐH khối D – 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a, mặt phẳng (SBC) vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Biết
23SB a
và
0
30SBC
. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)
theo a.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), SA = a. Gọi I là trung điểm của SC. Tính khoảng cách từ I tới (SBD).


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Nguyện Chuyên đề: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THUẦN TÚY
Trung tâm luyện thi Cửa Học Đường 0986 636 056

Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC =2a, AD = 3a.
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc AB sao cho
1
2
AH HB
. Biết góc giữa (

SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
.
a) Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ D tới mặt phẳng (SBC).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường AD và SB.
d) Tính khoảng cách giữa hai đường AC và SE với E thuộc AD sao cho AE = a.
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. P,Q lần lượt là trung điểm của AB và
AD, H là giao điểm của CQ và DP. Hai mặt (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt đáy,
3SH a
.
Tính d(PD,SC).
Bài 14. (ĐH khối A – 2012)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là
điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Bài 15. (ĐH khối A – 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC,
cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và SN theo a.
Bài 16. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với
BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 17. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,

2
'
2
a
AA
. Tính khoảng
cách giữa AB và CB’.
Bài 18. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có
AA' ( )ABC
và AA’ = a, đáy là tam giác vuông tại A có BC = 2a
và
3AB a
.
a) Tính khoảng cách từ AA’ đến (BCC’B’).
b) Tính khoảng cách từ A đến (A’BC).
c) Chứng minh rằng AB vuông góc (ACC’A’). Tính khoảng cách từ A’ tới (ABC’).

Bài 19. (ĐH khối D – 2008)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C đáy ABC là tam giác vuông, BA=BC=a,
'2AA a
, M là trung điểm của
BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.

Dặn dò các em:
Bài toán về khoảng cách có xác suất vào trong đề thi đại học là rất cao nên để làm tốt chuyên
đề này, các em nắm thật kĩ phương pháp tổng quát để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng,
giữa hai đường chéo nhau. Từ đó có những thao tác vẽ hình và tư duy giải toán chuẩn mực ngay từ
đầu.
Em nào còn lơ mơ thì đọc thật kĩ các ví dụ minh họa thầy cho trên lớp để hiểu lý thuyết hơn. Và
đề thi quay đi quẩn lại cũng chỉ là những vấn đề mà thầy đã mỏ xẻ ra.

Chúc các em “xơi” trọn vẹn điểm của bài này !