đề thi thử thpt quốc gia môn toán DE309 THPT trung an, cần thơ

SỞ GD & ĐT CẦN THƠ
TRƯỜNG THPT TRUNG AN
Đề
ĐỀtham
SỐ khảo
309

KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút.

Câu 1 (1,0điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y  x3  3 x 2  2 .
1
3

Câu 2 (1,0điểm). Cho hàm số y  x 3  3m  2 x 2  1  2m x  3 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
x  1.

Câu 3 (1,0điểm).
a) Giải phương trình: 5 2 x  6.5 x  5  0 .
b) Tìm môđun số phức z biết rằng 2 z  1  i  1  i  z .
Câu 4 (1,0điểm).
a) Cho sin  

3

với 0    . Tính M  cos  1, từ đó giải phương trình sin 2 x  5M  0
5
2

b) Cho tập hợp A gồm các số tự nhiện từ 1 đến 2016 ( A  1;2;3;...;2015; 2016 ), Chọn ngẫu

nhiên hai số từ tập hợp A. Tính sác xuất để hai số được chọn từ tập hợp A có một số lẻ và một
số chẵn.
1

Câu 5 (1,0điểm). Tính tích phân I   x 3x 2  1dx
0

x y 1 z  2


2
1
2
2
2
2
và mặt cầu ( S ) : x  y  z  2 x  2 z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và
Câu 6 (1,0điểm). Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;2) , đường thẳng (d ) :

vuông góc với đường thẳng (d ) . Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
Câu 7 (1,0điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC
và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SMN), với M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Câu 8 (1,0điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;4) , tiếp tuyến tại
A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong của 
ADB có
phương trình x  y  2  0 , điểm M (4;1) thuộc cạnh AC. Viết phương trình đường thẳng AB.
2 x 2  y 2  xy  5 x  y  2  y  2 x  1  3  3 x
Câu 9 (1,0điểm). Giải hệ phương trình: 
2

 x  y  1  4 x  y  5  x  2 y  2

Câu 10 (1,0điểm). Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  xyz  0 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P 

2x2  y 2
2 y2  z2
2 z 2  x2


.
xy
yz
zx
----------HẾT----------


HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu

Đáp án – cách giải

Điểm

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y  x 3  3 x 2  2

1,0đ

Tập xác định D  R
y '  3x2  6 x

0,25

x  0
y '  0  3x  6 x  0  
x  2
lim y  , lim y  
2

x 

x 

Bảng biến thiên:
x
y

0
0
2

2
0

0,25

1
Hàm số đồng biến trên khoảng  1;2
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1; 2;
0,25
Hàm số đạt cực đại tại x  0, yCD  2

Hàm số đạt cực tiểu tại x  2, yCT  2
Đồ thị cắt Ox tại 1;0  , cắt Oy tại.  0; 2 

0,25

Cho hàm số y 

1 3
x  3m  2 x 2  1  2m x  3 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
3

1,0đ

x  1.
Tập xác định: D  R

y '  x 2  2  3m  2  x  1  2m 
2

Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x  1 . Khi đó: y ' 1  0
 4m  2  0  m 

Thử lại, với m 

1
2

1
thì y "  2 x  1 . Khi đó: y "1  1  0
2

1
Vậy với m  thì hàm số đạt cực tiểu tại x  1 .
2

0,25
0,25
0,25

0,25


a) Giải phương trình: 5 2 x  6.5 x  5  0
Đặt t  5x

t  0

t  1
PT trở thành: t 2  6t  5  0  
t  5
3

0,5đ

n
n

t  1  5x  1  x  0

0,25

t  5  5x  5  x  1
b) Tìm môđun số phức z biết rằng 2 z  1  i  1  i  z
z

0,25

i 1
i
1 i

0,5đ
0,25

z 1

0,25

3

, với 0    . Tính M  cos  1, từ đó giải phương trình
5
2
sin 2 x  5M  0

0,5đ

a) Cho sin  

2

4

 3  16
cos   1  sin   1    
 cos   (vì 0    )
2
25
5
5
4
1
M  cos  1   1  
5
5


sin 2 x  5M  0  sin 2 x  1  0  2 x   k 2  x   k , k  Z
2
4
2

4

0,25

0,25

b) Cho tập hợp A gồm các số tự nhiện từ 1 đến 2016 ( A  1;2;3;...;2015; 2016 ),
Chọn ngẫu nhiên hai số từ tập hợp A. Tính sác xuất để hai số được chọn từ tập hợp A

có một số lẻ và một số chẵn.

0,5đ

2
Số phần tử không gian mẫu:   C2016
 2031120

0,25

A là biến cố chọn được một số tự nhiên chẵn và một số tự nhiện lẻ
1
1
A  C1008
 1016064  P ( A) 
.C1008

1016064 1008

2031120 2015

0,25

1

Tính tích phân I  x 3x 2  1dx



1.0

0

Đặt t  3 x 2  1  t 2  3 x 2  1  tdt  3 xdx
Đổi cận: x  0  t  1, x  1  t  2

0,25

2

5

1
I   t 2 dt
31

0,25

2

t3
91

0,25

7
9

0,25

Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;2) , đường thẳng (d ) :

x y 1 z  2


2
1
2

và mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi

1,0

qua điểm A và vuông góc với đường thẳng (d ) . Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp
xúc với mặt cầu (S).
6



VTPT của mp(P) n  (2;1; 2)

0,25

Pt (P): 2 x  y  2 z  7  0

0,25

Tâm của mặt cầu ( S ) : I (1;0;1) , bán kính R  1  0  1  1  1

0,25

d ( I ,( P)) 

2027
4 1 4

1 R

0,25

Vậy mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SMN), với M, N lần lượt là

1,0

trung điểm của AB và AC.

SA  ( ABC ) suy ra AB là hình chiếu

S

vuông góc của SB lên (ABC)

  600 .
SBA
SA  AB tan 600  a 3

0,25

H

Góc giữa SB và (ABC) là góc
A

N
C
I

7

S ABC  a 2
 VS . ABC

3
4
1
3
a3
 a2
.a 3 
3
4
4

M

B

0,25

K

Kẻ AI  MN , Suy ra I là trung điểm MN, kẻ AH  SI tại H

MN  SA, MN  AI  MN  AH

AH  (SMN ) . Vậy AH là khoảng cách từ A ðến (SMN)
AI  a

Mà

0,25

3
1
1
1
1
16
a 51
,

 2  2  2  AH 
2
2
4 AH
AS

AI
3a 3a
17

d ( A, ( SMN )) MA
51

 1  d ( B,( SMN ))  d ( A, ( SMN ))  a
d ( B, ( SMN )) MB
17

0,25


Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;4) , tiếp tuyến tại A
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong của

ADB có phương trình x  y  2  0 , điểm M (4;1) thuộc cạnh AC. Viết phương

1,0

trình đường thẳng AB.

Gọi AI là phân giác trong của BAC

Ta có : 
AID  
ABC  BAI

A

E

  CAD
  CAI

IAD
  CAI
,

Mà BAI
ABC  CAD

8


nên 
AID  IAD
 DAI cân tại D  DE  AI

M'

B

K
I

M
C

PT đường thẳng AI là : x  y  5  0

Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI  PT đường thẳng MM’ : x  y  5  0
Gọi K  AI  MM '  K(0;5)  M’(4;9)

VTCP của đường thẳng AB là AM '   3;5 

 VTPT của đường thẳng AB là n   5; 3 

0,25
D

0,25
0,25

0,25

Vậy PT đường thẳng AB là: 5  x  1  3  y  4   0  5 x  3 y  7  0

2 x 2  y 2  xy  5 x  y  2  y  2 x  1  3  3x (1)
Giải hệ phương trình: 
2
(2)
 x  y  1  4 x  y  5  x  2 y  2
* ĐK: y  2 x  1  0, 4 x  y  5  0, x  2 y  2  0, x  1

 y  2x  1  0
 x  1 0  0
(Không TM hệ)


3

3
x
0
y
1




1

10

1





* Xét trường hợp: 

1,0

0,25

* Xét trường hợp: x  1, y  1 . Đưa PT(1) về dạng tích ta được

( x  y  2)(2 x  y  1) 

9

x y2
y  2 x  1  3  3x



1
( x  y  2) 
 y  2 x  1  0 . Do y  2 x  1  0
 y  2 x  1  3  3x

1
nên
 y  2x  1  0  x  y  2  0
y  2 x  1  3  3x

0,25

* Thay y  2  x vào PT(2) ta được x 2  x  3  3 x  7  2  x

 x2  x  2  3x  7  1  2  2  x
3x  6
2 x
 ( x  2)( x  1) 

3x  7  1 2  2  x
3
1



 ( x  2) 

 1 x  0  x  2  0
 3x  7  1 2  2  x

3
1
(vì x  1 nên

1 x  0 )
3x  7  1 2  2  x
* x  2  0  x  2  y  4 (TMĐK). Nghiệm của hệ là ( x; y)  ( 2; 4)

0,25

0,25


Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  xyz  0 .
2x2  y2
2 y2  z2
2 z 2  x2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 


.
xy
yz
zx

Biến đổi:

1,0

2 x2  y 2
2 x2  y 2
1 1
1
1
1

 2. 2  2 . Đặt a  , b  , c  .
2 2
x
y
z
xy
x y
y
x

 x, y , z  0
a, b, c  0

; và
Giả thiết đề bài: 
 xy  yz  zx  xzy  0
a  b  c  1

0,25

P  2b 2  a 2  2c 2  b 2  2a 2  c 2
 
Áp dụng bất đẳng thức : u v

2



2





   u.v  , với u  (1;1;1), v  (b; b; a) ta có:

10

3(2b 2  a 2 )  3(b 2  b 2  a 2 )  (b  b  a ) 2  (2b  a ) 2
 2b 2  a 2 

1
(2b  a ) (1)
3

Tương tự, ta có

2c 2  b 2 

1
1
(2c  b) (2); 2 a 2  c 2 
(2 a  c) (3)
3
3

0,25

0,25

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có:
P  2b 2  a 2  2c 2  b 2  2a 2  c 2 

Đẳng thức xảy ra  a  b  c 

1
(3a  3b  3c )  3
3

1
 x yz3
3

Kết luận: P có giá trị nhỏ nhất bằng

3

0,25