chuyên đề môn toán 12 ôn thi hay

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
Chủ đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1.1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Lí thuyết Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a ; b) ; ∀ x ∈ ( a ; b )
•

y′ > 0 ⇔ Hàm số đồng biến trong ( a ; b )

•

y′ < 0 ⇔ Hàm số nghịch biến trong ( a ; b )

•

Hoặc y ′ ≥ 0 ⇔ Hàm số đồng biến trong ( a ; b )

•

y ′ ≤ 0 ⇔ Hàm số nghịch biến trong ( a ; b )
(Dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm)
x
y’
y

Vấn đề 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Phương pháp Để tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)
•

Tìm tập xác định D

•

Tìm y’ .Tìm các giá trị xi ∈D mà tại các điểm đó y′ = 0 hoặc khơng xác định

•

Lập bảng xét dấu của y’

•

Căn cứ dấu của y’ để kết luận

Vấn đề 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trong tập X
Phương pháp
•
Hàm số đồng biến trong X ⇔ y ′ ≥ 0 ∀x ∈ X
•
•

Hàm số nghịch biến trong X ⇔ y ′ ≤ 0 ∀x ∈ X
ax + b
Riêng hàm số nhất biến y = cx + d khơng có dấu “=”

Ví dụ:
1.Tìm m để hàm số y= 2x3-3mx2+2(m+5)x-1 đồng biến trên R
x2 + x + m
2.Tìm m để hàm số y=
đồng biến R
mx + 1

3.Tìm m để hàm số y= 3mx+ x 2 + 2 đồng biến trên R
4.Tìm m để hàm số y = f ( x) = mx 3 − 3 x 2 + (m − 2) x + 3 nghịch biến trên R
5. Tìm m để hàm số y = f ( x) = − x 3 + (m + 1) x 2 − (m 2 + 2) x + m nghịch biến trên R
1− m  3
2
6. Tìm m để hàm số y = f ( x) = 
÷x − 2 ( 2 − m ) x + 2 ( 2 − m ) x + 5 nghịch biến trên R
3 

1
3
2
7. Tìm m để hàm số y = f ( x) = ( m − 1) x + mx + ( 3m − 2 ) x tăng trên R
3
8.Tìm m để hàm số y= 3x3-2x2+mx-4 tăng trên (-1; +∞ )
9.Tìm m để hàm số y= 4mx3-6x2+(2m-1)x+1 tăng trên (0;2)
mx 2 + 6 x − 2
10.Tìm m để hàm số y=
giảm trên [1; +∞ )
x+2
11.Tìm m để hàm số y=mx4 -4x2+2m-1 giảm trên (0;3)
Trang 1


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
12.Tìm m để hàm số y= x3+3x2+(m+1)x+4m giảm trên (-1;1)
1
−2 x 2 − 3 x + m
13.Tìm m để hàm số y=
giảm trên ( − ; +∞ )

2
2x +1
2
x − mx + 2m − 1
14.Cho hàm số y=
x+2
a.Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b.Tìm m để hàm số giảm trên khoảng (a;b) với b-a =2
15.Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1
y = f ( x) = x 3 + 3x 2 + mx + m
1 3
2
16. Tìm m để hàm số y = f ( x) = − x + ( m − 1) x + ( m + 3) x − 4 tăng trên ( 0,3)
3
y = f ( x) = x 3 + 3x 2 + ( m + 1) x + 4m giảm trên ( −1,1)
17. Tìm m để hàm số
mx + 4
18. Tìm m để hàm số y = f ( x) =
giảm trên khoảng ( −∞,1)
x+m
1 3
1
2
19. Tìm m để hàm số y = f ( x) = mx − ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) x + tăng trên ( 2, +∞ )
3
3
2
2
x + ( m + 1) x + 4m − 4m − 2
20. Tìm m để hàm số y = f ( x ) =

đồng biến trên ( 0, +∞ )
x − ( m − 1)
Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT
Ví dụ:
3
x 3 + 3 x = − x 2 − 4 x + 7 ( ĐK x +3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 )
2.Giải phương trình x5+x3- 1 − 3x +4=0

1.Giải phương trình

2

3.Giải phương trình 2 x −1 − 2 x − x = ( x − 1) 2
4. Giải phương trình sinx =x
5.Tìm m để phương trình có nghiệm x + x + 1 = m
6.Tìm để phương trình có nghiệm m x 2 + 1 - x = 0
x2
x2
7.Chứng minh rằng ∀x > 0 :1 − < cos x (HD xét hàm số y = f ( x) = 1 − − cos x )
2
2
2
x
x2
8.Chứng minh rằng ∀x > 0 : e x > + x + 1 (HD xét hàm số y = f ( x) = e x − − x − 1 )
2
2
3
π
x

9.Chứng minh rằng ∀x ∈ (0; ) : tan x > x +
2
3
1
4
4
10.Chứng minh rằng : Nếu x + y = 1 thì x + y ≥ ( HD xét hàm số y = f ( x) = x 4 + (1 − x) 4 )
8
3
2
2 x + 1 = y + y + y

3
2
11.Giải hệ phương trình  2 y + 1 = z + z + z
 2 z + 1 = x3 + x 2 + x

HD. Xét hàm đặc trưng y = f ( x) = t 3 + t 2 + t , t ∈ ¡ . Chứng minh hàm số tăng trên R .ĐS
 x = y = z =1

 x = y = z = −1

Trang 2


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

1.2. CỰC TRỊ
1.2.1. Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc 1 ( Dùng y’ )

a; Tìm tập xác định D

b; Tìm y’

y′ ( x0 )

Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0 ( hay điểm x0 ∈ D mà
không tồn tại).
Lập bảng xét dấu của y’
Căn cứ bảng xét dấu của y’ nếu khi x đi qua x0 mà :
+ y’ đổi dấu từ ( + ) sang (–) thì hàm số đạt cực đại tại x0 ; yCĐ = y0 = f(x0)
+ y’ đổi dấu từ (–) sang ( + ) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 ; yCT = y0 = f(x0)
x
xo
x1
y
+
–
–
+

•
•
•

’
y

•

•
•

y0
CĐ

CT

Qui tắc 2 ( Dùng y”)
a; Tìm tập xác định D
b; Tìm y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0 ; x1 ; …..
c ; Tìm y” . Tính y”(x0). Nếu :
y”(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
y”(x1) > 0 thì hàm số đat cực tiểu tại x1
Lưu ý :
Nếu y”(x0) = 0 hay tại x0 mà y’(x0) khơng tồn tại thì khơng dùng được qui tắc 2
2ax0 + b
ax 2 + bx + c
a1
Hàm số y = a1 x + b1
đạt cực trị tại x . Có y =

•
0
0
3
2
•
Hàm số y = ax + bx + cx + d đạt cực trị tại x0 khi tính y0 gặp khó khăn ta chia y cho y’ được
thương P(x) và số dư px + q .

Ta có : y = y’.P(x) + px + q
nên y0 = y’(x0).P(x0) + px0 + q = px0 + q
(vì x0 là nghiệm của y’ = 0) .

1.2.2. Vấn đề 2 : Tìm tham số để hàm số đạt cực trị tại x0
Phương pháp
Hàm số đạt cực trị tại x0 khi y’(x0) = 0 hoặc không tồn tại từ điều kiện này
suy ra giá trị của tham số. Kiểm tra lại bằng cách xét dấu y’ hoặc dùng y”. Qua việc thử lại cho ta cụ
thể hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x0.
•
Nếu đồ thị hàm số có điểm cực trị M(x0 ; y0) thì thêm y0 = f(x0) .
•
Trong vài trường hợp cụ thể ta có thể sử dụng
 f ' ( x0 ) = 0


 f " ( x0 ) ≠ 0 ⇒ Hs đạt cực trị tại x0
1; 
 f ' ( x0 ) = 0


 f " ( x0 ) < 0 ⇒ Hs đạt cực đại tại x0
2; 
 f ' ( x0 ) = 0


 f " ( x0 ) > 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x0
3; 

Nếu f”(x0) = 0 không kết luận mà phải xét dấu y’

Trang 3


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

1.2.3. Vấn đề 3 : Tìm tham số để hàm số có cực trị
Phương pháp Tìm tập xác định D và y’ = f’(x)
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm x0 (hoặc y′ không tồn tại tại x0 ∈ D ) và y’
đổi dấu khi x đi qua x0 . Phương trình y’ = 0 có bao nhiêu nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm
đó thì hàm số có bấy nhiêu cực trị.
VD1: Tìm điều kiện của m sao cho :
1. y= x3-mx2+2(m+1)x-1 đạt cực đại tại x= -1
x 2 + mx + 1
2. y=
đạt cực tiểu tại x=2
x+m
3. y= − 2 x 4 − mx 2 − 2m 2 đạt cực đại tại x= 2
1
VD2:Cho hàm số y= x3-(7m+1)x2+16x-m .Tìm m để
3
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu
b. Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tại x1,x2 ∈ (1; +∞)
VD3:Cho hàm số y= x3-mx2+(m+36)x-5 .Tìm m để
a. Hàm số khơng có cực trị
b. Hàm số đạt cực đại ,cực tiểu tại các điểm x1,x2 và x1 − x2 = 4 2
2 x 2 + mx + 2m − 1
.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
x +1
VD4:Cho hàm số y= 2x3-3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1

Tìm m để các điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x+2
VD5: Cho hàm số y= x3-3x2-mx+2 .Tìm m để
a. Hàm số có cực đại ,cực tiểu trong khoảng (0;2)
b. Hàm số có cực đại ,cự tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1
x 2 − (3m + 1) x + 4m
VD6:Cho hàm số y =
.Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua
2x −1
đường thẳng ∆ : x + y + 1 = 0 .
VD1: Cho hàm số y= x3+mx2-x
a. CMR hàm số có cực đại cực tiểu với mọi m
b. Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường
thẳng (d) y=-2x
x 2 − (3m + 2) x + m + 4
VD2:Cho hàm số y=
x −1
a. Tìm m để hàm số có CĐ,CT và CĐ,CT và điểm M(-2;1) thẳng hàng
b. Tìm m để hàm số có CĐ,CT và trung điểm của đoạn nối 2 điểm CĐ,CT cách gốc O một
khoảng bằng 3
VD3.Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị (C). Tìm giá trị của tham số m để điểm cực đại và điểm cực
tiểu của (C) ở về hai phía khác nhau của đường trịn : x 2 + y 2 − 2mx − 4my + 5m 2 − 1 = 0 .
VD4.Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 .Tìm giá trị của tham số m để hàm số có cực đại và cực tiểu,
đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều .
x 2 + mx + 2
VD5.Cho hàm số y =
.Tìm để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm trên Parabol (P)
x −1
y = x2 + x − 4
VD3:Cho hàm số y=

x 2 + (m + 2) x + 3m + 2
VD6.Cho hàm số y =
x +1
Trang 4


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
a. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
2
2
b. Giả sử hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu là yCĐ , yCT . Chứng minh rằng : yCD + yCT >

1
.
2

VD7.Cho hàm số y = x 3 − (2m + 1) x 2 + ( m 2 − 3m + 2) x + 4
a. Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục tung
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu
VD8.Cho hàm số y = 2 x 3 − 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1
a.Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu tại x1 , x2
và x2 − x1 không phụ thuộc vào tham số m.
b.Tìm m để yCD > 1
1 3
2
VD9.Cho hàm số y = f ( x) = x − mx − x + m + 1 .Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho ln có
3
cực đại cực tiểu .Hãy xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất .
x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + 4m
VD10.Cho hàm số y = f ( x) =

.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng
x+2
thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O. ( A –
2007)
1
VD11.Cho hàm số y = f ( x) = mx + .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm
x
1
cực tiểu của đồ thị hàm số đền tiệm cận xiên bằng
.(A – 2005)
2
VD12.Cho hàm số y = f ( x) = − x 3 + 3 x 2 + 3(m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và
các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ O. ( B – 2007)
x 2 + (m + 1) x + m + 1
VD13.Cho hàm số y = f ( x) =
(Cm) . CMR với mọi m (Cm) ln có cực đại cực
x +1
tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 20 . ( B – 2005)
VD14.Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − (2m − 1) x 2 + (2 − m) x + 2 .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và
các điểm cực trị có hồnh độ dương . ( CĐ – D – 2009)
VD15. Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + m (1) m là tham số
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA=BC; trong đó O là gốc
tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B,C là hai điểm cực trị còn lại .
( B – 2011)

1.3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1; Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong ( a;b ) nếu:

Trang 5

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
∃x0 ∈ ( a; b ) : f ( x0 ) = M


 f ( x ) ≤ M ∀x ∈ ( a; b )


∃x0 ∈ ( a; b ) : f ( x0 ) = m

 f ( x) ≤ m ∀x ∈ ( a; b )

•

max y
( a;b)

thì

=M

min y

a;b
thì ( )

=m
2; Cách tìm
a; Tìm miền giá trị của hàm số từ đó suy ra max y , min y

b; Dùng đạo hàm
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong ( a;b )
Phương pháp
lim f ( x ) ∧ lim− f ( x )
x →b
Tìm y’ . Tìm x →a +
. Lập bảng xét dấu của y’. Căn cứ bảng xét dấu để kết

luận

•

Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong [ a;b ]
Phương pháp
Tìm y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm x , x ∈[ a; b ] .
0

1…

Tính f(a), f(b), f(x0), f(x1),……
max y

 a; b 
 

là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên.

min y

 a; b 

 

là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên

Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( nếu có ) của các hàm số sau:

3. y = f ( x) = x + 4 − x 2 (B-2003)
5. y = f ( x) =

x +1
x2 + 1

3x − 1
trên [ 0; 2]
x −3
ln 2 x
3
4. y = f ( x) =
trên 1, e  (B-2004)


x
3x 2 + 10 x + 20
6. y = f ( x) =
x2 + 2x + 3
2. y = f ( x) =

1. y = f ( x) = x 4 − 2 x 2

trên [ −1, 2] (D-2003)

(SPTPHCM2000)

 π π
7. y = f ( x) = 5cos x − cos5x trên  − , 
 4 4
9. y = f ( x) = 1 + s inx + 1 + cosx

12. y = 2sin x.cos x + sin x − cos x

11. y = 2 − x + 1 + x − − x 2 + x + 2
2x2 + x + 1
13. y =
trên (−1, +∞)
x +1
1 3
2
15. y = x − 3 x trên [ −2, 4]
4

3sin x
2 + cos x
10. y = f ( x) = −2 cos 2 x + cosx-3
8. y = f ( x) = 1 +

 13 
2
14. y = x − 4 x + 3 + 3 x − 1 trên đoạn 0, 
 4
3

3
16. y = sin x + cos x + 3sin 2 x

1.4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
I/- Tiệm cận đứng
Cách tìm Tìm tập xác định D
Trang 6


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
1. Nếu D = ¡ \ { x0 ; x1 ; ...} . Tìm
g lim f ( x ) = + ∞ hoaëc lim+ f ( x ) = − ∞ hoaëc lim− f ( x ) = + ∞
+
x →a

x →a

x →a

hoaëc lim− f ( x ) = − ∞  thì x = a là pt tiệm cận đứng
x →a

g lim f ( x ) = M
x → x1

thì x = x1 khơng phải là phương trình tiệm cận đứng
lim f ( x ) ∧ lim− f ( x )
x →b
2. Nếu D = ( a ; b ) tìm x →a +
II/- Tiệm cận ngang

Cách tìm Tập xác định D
•
Nếu D khơng chứa ± ∞ thì khơng có tiệm cận ngang
lim f ( x ) = a hay lim f ( x ) = a ⇒

•

Nếu

x →+∞

•

Nếu

x →± ∞

x →−∞

lim f ( x ) = ± ∞ ⇒

y = a là phương trình tiệm cận ngang

đồ thị khơng có tiệm cận ngang

2 x + 2m − 1
có tiệm cận đứng qua điểm M(-3,1)
x+m
1
2

Ví dụ 2. Cho đường cong (Cm): y = f ( x) = − x + 3 +
và đường thẳng (dm) y = mx − m + 2 .
2
mx − 1
Xác định m biết rằng (Cm) có cực đại cực tiểu và tiệm cận xiên của nó tạo với đường thẳng (dm)một
1
góc α có cosα =
.
5
2x + m
Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x) =
.Tìm m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận
mx − 1
ngang và các tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bắng 8.
3x − 5
Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (C). Tìm M ∈ (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai
x−2
tiệm cận của (C) là nhỏ nhất ?
x −1
Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (C). Tìm M ∈ (C ) để khoảng cách từ M đến giao điểm
x +1
hai tiệm cận là nhỏ nhất ?
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 + 4 x − 1 có đồ thị (C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hồnh độ là 2.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)
4x − y −1 = 0 .
c.Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vng góc với nhau.
x−2

Ví dụ 2.Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (C).
x −1
a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ bằng 3.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc với góc phần tư thứ hai.
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0, -2)
Ví dụ 3.Cho hàm số y = f ( x) = − x 4 − x 2 + 6 .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp
1
tuyến vng góc với đường thẳng y = x − 1
( Khối D – 2010)
6
Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x) = 4 x 3 − 6 x 2 + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số đi qua điểm M(-1, -9).
( Khối B – 2008)
3x − 2
Ví dụ 5.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) =
biết :
x −1
1.Đồ thị hàm số y = f ( x) =

Trang 7


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
5
2
c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : x + y − 3 = 0
d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆ : 4 x − y + 10 = 0
e. Tiếp tuyến đi qua điểm M(2,0)
b. Tung độ tiếp điểm bằng

1.5. CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)
Lí thuyết
• P trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0)
•

 f ′( x ) = g ′( x )
⇔
 f ( x ) = g ( x ) có nghiệm
( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau

( nghiệm của hệ phương trình là hồnh độ tiếp điểm )

1.5.1. Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M( x0 ; y0 )
Phương pháp : Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 )
•
•

y0 = 0

x =0

Nếu chưa cho y0 thì tính y0 = f(x0) (giao của (C ) và trục tung là cho 0
)
Nếu chưa cho x0 thì x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0 (giao của (C ) và trục hoành là cho
)

1.5.2. Vấn đề 2 Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Phương pháp

Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.
′
Tiếp tuyến có hệ số góc k ⇔ f ( x 0 ) = k .
Giải phương trình tìm x ∈ D ⇒ y 0 = f ( x0 )
0

Phương trình tiếp tuyến y – y0 = k( x – x0 )

 f ′( x ) = k (1)

Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C ) ⇔  f ( x ) = kx + b ( 2 ) có nghiệm .
Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b
Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :
•
(d1) song song với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a
1
−
•
(d2) vng góc với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a (hay a.k = – 1 )

1.5.3. Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( x1 ; y1 )
Phương pháp
Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 . Phương trình tiếp tuyến của (C)
tại M là : y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A( x1 ; y1 ) nên y1 – y0 = f’(x0)( x 1 – x0) giải
phương trình tìm x0 thay vào (1).
Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k .

Trang 8

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
 f ′( x ) = k (1)
⇔
f ( x ) = k ( x − x1 ) + y1 ( 2 )
là tiếp tuyến của (C) 

Ta có :(d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1)
Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1)

có nghiệm

Viết phương trình tiếp tuyến thõa điều kiện cho trước
1 3 m 2 1
Ví dụ 1 Gọi (Cm ) là đồ thị hàm số y = f ( x) = x − x + ( m là tham số ). Gọi M là điểm thuộc
3
2
3
(Cm ) có hồnh độ bằng -1.Tìm m để tiếp tuyến của (Cm ) tại M song song với đường thẳng 5 x − y = 0 .
( Khối D – 2005)
3
2
Ví dụ 2.Cho hàm số y = f ( x) = x + 3x + mx + 1 (Cm ) .
a.Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phan biệt A(0,1), B, C
b.Tìm m để các tiếp tuyến tại B và C vng góc với nhau .
Ví dụ 3.Cho hàm số y = f ( x) = x 3 + 3x 2 − 9 x + 5 (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất .
x +1
Ví dụ 4.Cho hàm số y = f ( x) =
(C). Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) tại hai
x −1

điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
2x
Ví dụ 5.Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của
x +1
1
(C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A,B và tam, giác OAB có diện tích bằng .( Khối D – 2007)
4
x+2
Ví dụ 6.Cho hàm số y = f ( x) =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
2x + 3
cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B và tam giác OAB cân tại O. ( Khối A – 2009)
x2 + x −1
Ví dụ 7. Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
x+2
tuyến vng góc với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
( Khối B – 2006)
2
x + x+2
Ví dụ 8.Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ
x −1
thị hàm số tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
( Đại học An Ninh – 2001)
x +1
Ví dụ 9.Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (C). Xác định m để đường thẳng d : y = 2 x + m cắt đồ
x −1

thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
(CĐ-SPTPHCM – 2005)
3
2
Ví dụ 10.Cho hàm số y = f ( x) = x − 3 x + 4 có đồ thị (C). Viết phương trình Parabol đi qua các điểm
cực trị của đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng y = −2 x + 2
( Đại học An Ninh – 1999)
1 3
2
Ví dụ 11. Cho hàm số y = f ( x) = − x + x + 3x − 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
4x − 3
Ví dụ 12. Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
x −1
tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 450 .
3x − 7
Ví dụ 13.Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :
−2 x + 5
a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng x − 2 y + 2 = 0
b. Tiếp tuyến tạo với ∆ : y = −2 x một góc 450
Trang 9


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
c. Tiếp tuyến tạo với ∆ : y = − x một góc 600
2x −1
Ví dụ 14. Cho hàm số y = f ( x) =

có đồ thị (C) và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm
x −1
hai tiệm cận của đồ thị (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
a. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB
b. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB khơng đổi
c. Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
−x +1
Ví dụ 15. Cho hàm số y =
2x −1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A và B . Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C) tại A và B .Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá
trị lớn nhất . ( Khối A – 2011)
Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm
Phương pháp: Giả sử ta cần biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua A( x A , y A )
1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.
d: y = k ( x − x A ) + y A (1)
2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm
 f ( x) = k ( x − x A ) + y A
(I)

 f '( x) = k
3.Số nghiệm của hệ phương trình này chính là số tiếp tuyến đi qua điểm A .
Ví dụ 1.Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − 3 x (C) .Tìm trên đường thẳng x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ
đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số .
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − 3 x (C) .Tìm trên đường thẳng y= 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ
đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số .
Ví dụ 3.Cho đường thẳng (d):x = 2 và hàm số y = f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1 có đồ thị (C). Từ một điểm
bất kỳ trên (d) có thể được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C).
Ví dụ 4.Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm mà từ

đó kẻ được đến đồ thị (C) của hàm số hai tiếp tuyến vng góc với nhau.
Ví dụ 5.Cho hàm số y = f ( x) = x 4 − 2 x 2 có đồ thị (C)
f. Viết phương trình tiếp của (C) đi qua gốc tọa độ O.
g. Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) tại M còn cắt (C) tại hai điểm A và B
sao cho A là trung điểm của MB.
h. Tìm điểm M trên trục tung sao cho qua M có thể kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Ví dụ 6.Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 4 có đồ thị (C). Tìm những điểm trên trục Ox sao cho từ đó
có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 7.Cho hàm số y = f ( x ) = − x 3 + 3x 2 + 2 x − 1 có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng y = 2 x − 1 các
điểm kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 8.Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng y = −3 x + 2 các điểm
kẻ được hai tiếp tuyến vng góc đến đồ thị (C).
x +1
Ví dụ 9. Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng
x −1
cách từ điểm I(1,1) đến tiếp tuyến này là lớn nhất.
Ví dụ 10.Cho hàm số y = f ( x) = x 3 + 3x 2 có đồ thị (C).Tìm các điểm thuộc trục hồnh mà từ đó có thể
kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vng góc với nhau.
Trang 10


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
x+m
. Tìm m để từ điểm A(1,2) kẻ được hai tiếp tuyến AB,AC đến
x−2
đồ thị hàm số sao cho ∆ABC đều ( Với B, C là hai tiếp điểm ).
Ví dụ 12.Cho hàm số y = f ( x) = x 3 + 1 − m( x + 1) có đồ thị (C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại giao điểm của (C) và trục Oy.
b.Tìm m để ∆ chắn trên hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8.

Ví dụ 11. Cho hàm số y = f ( x) =

Chủ đề 2. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
2x +1
có đồ thị (C) và đường thẳng (d) : y = − x + m
x +1
i. Chứng minh rằng với mọi m, (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
j. Giả sử (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Ví dụ 2.Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 6 (C) .Định m để đường thẳng (d): y = mx − 2m − 4 cắt
đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Ví dụ 3.Cho hàm số y = f ( x) = − x 4 + 2(m + 2) x 2 − 2m − 3 (Cm ) . Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục Ox tại
bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 4.Định m để đồ thị hàm số y = f ( x) = − x 3 + mx 2 − m − 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt .
Ví dụ 5.Cho hàm số y = f ( x) = x 4 − (3m + 2) x 2 + 3m có đồ thị (Cm ) .Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt
đồ thị (Cm ) tại 4 điểm phân biệt đều có hồnh độ nhỏ hơn 2.
( Khối D – 2009)
Ví dụ 6.Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 4 (C). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1,2)
với hệ số góc k (k>-3) đều cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của
AB.
( Khối D – 2008)
3
Ví dụ 7. Cho hàm số y = f ( x) = x − 3 x + 2 (C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3,20) và có hệ số
góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt.
( Khối D – 2006)
2x +1
Ví dụ 8. Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị
x +1
(C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 ( O là gốc tọa độ )
( Khối B – 2010)

Ví dụ 9. Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − 2 x 2 + (1 − m) x + m . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba
2
2
2
điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thõa mãn điều kiện x1 + x2 + x3 < 4 . ( Khối A – 2010)
1 3
2
2
Ví dụ 10.Cho hàm số y = f ( x) = x − mx − x + m + . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba
3
3
2
2
x1 ; x2 ; x3 thõa mãn điều kiện x12 + x2 + x3 > 15
điểm phân biệt có hồnh độ
1
Ví dụ 11.Cho hàm số y = f ( x ) = x −
có đồ thị (C). Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d: y
x +1
= m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vng góc với OB. (Với O là gốc tọa độ )
Ví dụ 12.Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số y = f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c (C) cắt trục hoành tại ba
điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hồnh.
2x +1
Ví dụ 13. Cho hàm số y =
x +1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho
b. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho
khoảng cách từ A và B đến trục hồnh bằng nhau.
( Khối D –
2011)

Ví dụ 1.Cho hàm số y = f ( x) =

Trang 11


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

Chủ đề 3. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3
y

y

•

O

I

•

a>0

I

I

I

•

•

O

x

y

y

x

O

a<0

Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?

a>0

O

x

x
a<0

Dạng 2: hàm số khơng có cực trị ⇔ ?

Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương
y

y

O

x

O

a>0

y

y

x

O

x

a>0

a<0

Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt

O

x

a<0

Dạng 1: hàm số có 1 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 1 nghiệm
duy nhất x = 0

Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến
y

y

I
I
O

O

x

Dạng 1: hsố đồng biến

x

Dạng 2: hsố nghịch biến

Dạng 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a.
c.
e.
g.

y=
y=
y=
y=

f ( x) = x 3 − 3x 2 + 1
f ( x) = − x 3 + 3x
f ( x) = − x 3 + 3x 2 − 5 x + 2
f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 4 x − 3

b.
d.
f.
h.
Trang 12

y = f ( x) = 2 x 3 + 3x 2 − 12 x − 13
y = f ( x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 2
y = f ( x) = x( x − 3) 2
y = f ( x) = x 3 + 6 x 2 + 9 x + 8


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
Ví dụ 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a. y = f ( x) = 3 x 4 − 6 x 2 + 2

c. y = f ( x) = x 4 + 2 x 2 − 3
1 4 1 2
e. y = f ( x) = x − x
2
2
Ví dụ 3. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
2x + 1
a. y = f ( x) =
x+2
x
c. y = f ( x) =
x +1
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
x2 + x −1
a. y = f ( x) =
x+2
2
x −x−2
c. y = f ( x) =
x −1
− x2 + x + 1
e. y = f ( x) =
x +1

b. y = f ( x) = 2 x 2 − x 4
d. y = f ( x) = − x 4 + 2 x 2 + 3
f. y = f ( x) = x 4 − 5 x 2 + 4
x +1
x −1
x +1

d. y = f ( x) =
x−2
b. y = f ( x) =

− x2 + 2x − 5
x −1
2
x − 3x + 3
d. y = f ( x) =
x−2
2
x − 2x + 6
f. y = f ( x) =
2x + 2
b. y = f ( x) =

Dạng 2. Một số bài toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 1.Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − 3 x + 1 có đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x 3 − 3x − k + 1 = 0
1
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x) = mx + có đồ thị (Cm)
x
1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =
4
b. Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên
1
của (Cm) bằng
(Khối

2
A – Năm 2005)
Ví dụ 3.Cho hàm số y = f ( x) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3
b. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phận biệt : 2 x − 9 x 2 + 12 x = m (Khối A – Năm
2006)
x−2
có đồ thị (C).
x −1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm điểm trên đồ thị (C) thõa :
1. Có tọa độ nguyên
2. Cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số
3. Cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2)
4. Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Ví dụ 5.Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − 3 x 2 − 6
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x) =

Trang 13


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
3
2
b. Khi a thay đổi biện luận số nghiệm phương trình: x − 3 x − 6 = a

Ví dụ 6.Cho hàm số y = f ( x) = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m3 − m 2
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (C1)

b. Tìm k để phương trình − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 có ba nghiệm phân biệt
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số (C1)
Chủ đề

4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ⓐ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
◙ Hàm số lũy thừa:
● Tính chất của lũy thừa:
α

▪ Về cơ s; khi xột ly tha a :

ẻ Ơ : aα xác định  a  ¡ .
α
+ α Ỵ ¢ - : a xác định khi a ≠ 0
α
+ ẻ Ă \ Â : a xỏc nh khi a
+

> 0.

▪ Tính chất: Với a, b > 0; m,n  ¡ :
∗

m n

a a =a

m+ n

am
; * n = a m- n
a
.
n

∗
m

m

( a.b) = a .b

( a m ) = a m.n

;



m
m
m
ổử
ỗa ữ = a
ỗ ứ
ữ
ỗb ữ b m
ố
.

m
an

= n a m (a > 0; m, n ẻ Â ; n > 0)

2k

x xác định khi x ³ 0 (k  ¥ )
2k + 1
x xác định x  ¡ (k  ¥ )
▪
▪

( xα )
▪ Đạo hàm

( x)
n

( u)
n

/

/

/

=
=

/

= α .xα - 1 ( x > 0, α Î ¡ ) ( uα ) = α .uα - 1.u / (u > 0, α Ỵ ¡ )
;

1
n

n. x
u
n

n- 1

(n ẻ Ơ , n

2, x > 0 khi n chẵn, x ạ 0 khi n lẻ)
;

/

n. u

n- 1

(n ẻ ¥ , n

Trang 14

2, u > 0 khi n ch½n, u ạ 0 khi n lẻ)


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
◙ Hàm số mũ:
▪ Hàm số mũ y = ax (a > 0, a ≠ 1) có tập xác định là
tập giá trị là

¡

*
+

¡ ;

(tức là ax > 0, x  ¡ − chú ý tính chất nà

y để đặt điều kiện của ẩn phụ sau này); liên tục trên ¡ .
/

( a x ) = a x ln a

▪ Đạo hàm
(a > 0, a ≠ 1)
x
▪ Khi a > 1 hàm số y = a đồng biến trên ¡ .
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = ax nghịch biến trên ¡ .

▪ a0 = 1 ∀a ≠ 0 , a1 = a.
▪ Khi a > 1:

lim a x = + Ơ

xđ+ Ơ

x

lim a = 0

;

lim a x = 0

xđ- Ơ

.

x

lim a = + Ơ

Khi 0 < a < 1: xđ+ Ơ
; xđ- Ơ
.
x
x
Vi a > b > 0 ta có: a > b ⇔ x > 0 và ax < bx ⇔ x < 0.
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất)

◙ Hàm số logarit:

a > 0; a ạ 1 và x > 0.

log x

a
Chỳ ý: Khi xét
phải chú ý điều kiện
Trong phần này, ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học sinh nêu
các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠ 1, đối số của logarit
phải dương).
▪ Cho 0 < a ≠ 1 , x > 0: logax = y ⇔ a y = x.
m
= n ( n > 0 ); log a a = m (∀m ∈ ¡ ); loga1 = 0; log a a = 1 .
x
log a 1
x2 = log x - log x ( x ; x > 0 ).
▪ loga(x1.x2) = logax1 + logax2;
a 1
a 2
1
2

▪ Với 0 < a ≠ 1 ta có: a

log a n

▪ logaxα = α.logax (x > 0) và

1
.log a x
α
(x > 0, α ≠ 0).
log b x
log a x =
log b a hay log x =
▪ Đổi cơ số:
a

log

aα

x=

logab.logbx

1
logb a và log a b.log b a = 1 .
▪ logab =
▪ Hàm số y = logax xác định và liên tục trên (0 ;
/
( log a x) =

1
x.ln a

▪ Đạo hàm
▪ Khi a > 1 hàm số y = logax đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ).

▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = logax nghịch biến trên ( 0; + ∞ ).
Trang 15

+ ∞ ).


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
▪ Nếu a > 1:

lim log a x = + ¥

x®+ ¥

; lim log a x = - ¥
x®- ¥

lim log a x = - ¥

; lim log a x = + Ơ

xđ- Ơ
Nu 0 < a < 1: xđ+ Ơ
.
(V th ca hm s trong hai trng hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất )
▪ Chú ý đến các cơng thức:

b = a loga b (0 < a ¹ 1; b > 0) và b = log a ab (0 < a ¹ 1)
◙ Phương trình, bất phương trình mũ:
▪ Phương trình ax = b có nghiệm ⇔ b > 0.
▪ af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1)

▪ Nếu a > 1 thì: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x).
▪ Nếu 0 < a < 1 thì: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x).
▪ af(x) = b ⇔ f(x) = logab.

▪ af(x) < b (với b > 0) ⇔ f ( x ) < log a b nếu a > 1; f ( x ) > log a b nếu 0 < a < 1.

ộb Ê 0
ỡ
ù
ù
ờ
ớ
ờ f ( x) ẻ R
ù
ù
ợ
ờ
ờb > 0
ỡ
ù
ờ
ù
ớ
ờ
ù
ờ f ( x) > log a b khi a > 1; f ( x) < log a b khi 0 < a < 1.
f(x)
ỵ
ë
▪a >b⇔ ï

◙ Phương trình, bất phương trình logarit:
▪ Trước hết ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
logab có nghĩa ⇔ 0 < a ≠ 1 và b > 0

log n b m =
a

m
log a b
n
(b>0;0
▪
▪ loga b2k = 2k.loga|b| với k ∈  .
▪ loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(x).
▪ loga f(x) ≥ loga g(x) ⇔

ì f ( x) ³ g ( x) khi a > 1
ï
ï
í
ï f ( x) £ g ( x) khi 0 < a < 1
ï
ỵ

ì g ( x) > 0 , g ( x) ¹ 1.
ï
log g ( x ) f ( x) = log g ( x ) h( x) Û ï
í

ï f ( x ) = h( x )
ï
ỵ
▪
4.1. Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng : a f ( x ) = a g ( x ) (1)
• Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1) ⇔ f ( x) = g ( x)
a > 0

• Nếu cơ số a thay đổi (có chứa biến hoặc chứa tham số) thì (1) ⇔ 
(ít
(a − 1) [ f ( x) − g ( x) ] = 0

gặp)
Bài 1 : Giải các phương trình sau
2
1.
ĐS : { −2; −3}
2 x − x+8 = 41−3 x
2. 5 x

2

−5 x −6

=1
3
ĐS:  
2

3. 52 x = 125
Trang 16


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
x

4
4.  ÷
7
2

3 x−1

7
 ÷
4

−

16
=0
49
ĐS : { −1;7}

5

5. 2 x −6 x− 2 = 16 2

 1

ĐS :  − 
 3
ĐS : { 1}

6. (3 − 2 2)3 x = 3 + 2 2
7. 5 x+1 + 6.5x − 3.5x−1 = 52
8. 32 x +3.52 x+3 = 35 x.55 x
x +1

x

9. 5 x −1 = 25 x −1
10. 3x −1.2 2 x− 2 = 129− x
11. 3x+1 + 3x+ 2 + 3x+3 = 9.5 x + 5 x+1 + 5 x+2

ĐS : { 0}

12. 3x.2 x+1 = 72

ĐS : { 2}
ĐS : { 2}

13. 2 x.3x−1.5 x −2 = 12
14. 3 x − 2 = 9 x −5
15. 3 4 x−4 = 81x−1
1

16. 2 x ( x 2 + 4 − x − 2) = 4 x 2 + 4 − 4 x − 8
17. 6 x − 4.3x − 2 x + 4 = 0
Bài 2 : Giải các phương trình sau

ĐS : x ≥ 1
1 
ĐS :  
2
ĐS : { 0;2}

{

}

1. ( x 2 − 1) x + 2 x = ( x 2 − 1)3

ĐS : ± 2; −3

2. ( x + 1) x−3 = 1
3. 2 x + 2 x−1 + 2 x−2 = 3x − 3x−1 + 3x−2

ĐS : { 3}
ĐS : 2

2

x −3

x +1

ĐS : ± 5

4. ( 10 + 3) x−1 = ( 10 − 3) x+3

5. 8.3x + 3.2 x = 24 + 6 x
2

6. 2 x + x − 4.2 x

2

−x

− 22 x + 4 = 0

(ĐH Quốc Gia HN-2000)
(ĐH D-2006)

ĐS : { 1;3}

ĐS : { 0;1}

4.2. Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt t = a f ( x ) , t > 0 với a và f ( x) thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới
với biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. 9 x − 4.3x − 45 = 0
ĐS : 2
2x
x
2. 2 + 2 − 6 = 0
3. 9 x − 8.3x + 7 = 0
2
2

4. 4 x − 6.2 x + 8 = 0
5. 8 x − 6.2 x−1 + 2 = 0
ĐS : 0
x +1
1− x
6. 5 + 5 = 26
ĐS : 1; -1
x
1− x
7. 7 − 7
ĐS : 1
+6=0
kπ
2
2
8. 9sin x + 9cos x = 10
ĐS :
2
x−2
x −2
9. 4
ĐS : 3; 11
+ 16 = 10.2
x2 +5 − x
x2 +5 − x + 2
x2 +5 − x )
10. 4
ĐS : 2
−2
= −4 (đặt t= 2

Trang 17


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
3 x +3

2

11. 8 x − 2 x + 12 = 0
12. (7 + 4 3) x + (2 + 3) x − 2 = 0

ĐS : 3; log 6 8

13. (2 + 3) x + (2 − 3) x = 14

ĐS : 2

2

2

ĐS : 0

2

14. 15.25 x − 34.15x + 15.9 x = 0
1

1

1

15. 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0
16. 3.42 x + 2.34 x = 5.36 x

ĐS : 1; -1
ĐS : 0; 1/2
log 3+
ĐS :
(

17. (3 + 5) x + 16.(3 − 5) x = 23+ x
2

2

4

5

)

2

2

18. 32 x +6 x−9 + 4.15 x +3 x−5 = 3.52 x +6 x−9
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1. 3.8 x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0
2

2
2. 2 x − x − 22+ x− x = 3
3. ( 2 − 1) x + ( 2 + 1) x − 2 2 = 0

ĐS : 1; -4
(ĐH A-2006)
(ĐH D-2003)
(ĐH B-2007)

ĐS : 4

(ĐH Thủy Lợi-2000)
(ĐHSP Hải Phòng-2000)
(ĐH Quốc Gia HN-1998)
(HV Quan Hệ Quốc Tế-1999)

ĐS : -1; 2
ĐS : 0
ĐS : 0
ĐS : ±1;2; −5

(ĐH Luật HN-1998)

ĐS : kπ

(ĐH Y HN-2000)

4. 4.3x − 9.2 x = 5.6
2
2

5. 22 x +1 − 9.2 x + x + 22 x + 2 = 0
6. 25 x + 15x = 2.9 x
7. 125 x + 50 x = 23 x+1
2
2
2
8. 4 x −3 x+ 2 + 4 x +6 x+5 = 42 x +3 x+7 + 1
9. ( 7 + 4 3 )cos x + ( 7 − 4 3 ) cos x = 4
1
12
3x
x
10. 2 − 6.2 − 3( x−1) + x = 1
2
2

ĐS : 1; -1

(ĐH Hàng Hải-1999)

x
2

ĐS : 1
ĐS : -1; 2

ĐS : 1

4.3. Dạng 3 : Phương pháp lơgarit hóa
Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau :

f ( x)
= b ⇔ f ( x) = log a b
• a
f ( x)
= b g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x )log a b
• a
f ( x) g ( x)
= c ⇔ f ( x) + g ( x )log a b = log a c
• a .b
Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số
mũ.
VD. Giải các phương trình sau
2
2
1. 3x .2 x = 1
ĐS : 0; − log 3 2
ĐS : 2;log 3 2 − 2
2. 2 x −4 = 3x−2
x −1
x

ĐS : 3;2 + log 5 2

4. 3x.4

5. 8 x+ 2 = 36.32− x

ĐS : 4; −2 − log 3 2

6. 57 = 7 5

7. 53−log5 x = 25 x

ĐS :

8. x 4 .53 = 5log x 5

9. 9.x log9 x = x 2

ĐS : 9

3. 5 x

2

−5 x +6

= 2 x −3

x

5

x

x

10. 5 .8

x −1

x

= 18
x

= 500

4.4. Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
• Cách 1 : (Dự đốn nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)
Đưa phương trình đã cho về dạng f ( x) = g ( x) (*)
Trang 18

ĐS : 2; − log 3 2
ĐS : log 7 (log 5 7)
5

1 4
; 5
5
ĐS : 3; − log 5 2
ĐS :


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
• Bước 1 : Chỉ ra x0 là một nghiệm của phương trình (*)
• Bước 2 : Chứng minh f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm nghịch biến hoặc f ( x ) là hàm đồng
biến, g ( x) là hàm hằng hoặc f ( x) là hàm nghịch biến, g ( x) là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất
nghiệm
• Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng f (u ) = f (v) , rồi chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn

nghịch biến trên D). Từ đó suy ra f (u ) = f (v ) ⇔ u = v .
Ví dụ 1:
Giải phương trình 3x + x − 4 = 0
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. 2 x + 3x−1 = 17
ĐS : 3
x
x
x
2. 3 + 4 = 5
ĐS : 2
x

3. ( 3 + 2) x + ( 3 − 2) x = 10 2

ĐS : 2
ĐS : { 2;2 − log 5 3}

4. 3.25 x−2 + (3 x − 10).5 x−2 + 3 − x = 0

ĐS : { 0;2}
ĐS : 2
ĐS : 1

5. x 2 + (2 x − 3) x + 2(1 − 2 x ) = 0
6. 8 − x.2 x + 23− x − x = 0
7. x(2.3x − 1) = 3x + 2
1
1
2 x −5

− e x −1 =
−
8. e
2x − 5 x −1

ĐS : 2; 4

9. 23 x + 3 x.22 x + (1 + 3x 2 ).2 x + x 3 + x − 2 = 0
ĐS : 0
2 x −1
2x
2 x +1
x
x +1
x+2
10. 2 + 3 + 5 = 2 + 3 + 5
ĐS : 1
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1. (2 − 3) x + (2 + 3) x = 4 x
(Học Viện Công Nghệ BCVT-1998)
2.
3.
4.
5.

2

2 x−1 − 2 x − x = ( x − 1) 2
2 x+1 − 4 x = x − 1
( 3 + 2) x + ( 3 − 2) x = ( 5) x

3x + 5 x = 6 x + 2
{ 0;1}

Chủ đề

(ĐH Thủy lợi-2001)
(ĐH Bách khoa TPHCM-1995)
(Học Viện Quan Hệ Quốc Tế-1997)
(ĐH Sư Phạm HN-2001)

5 : PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

5.1. Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng
0 < a ≠ 1
• log a [ f ( x) ] = log a [ g ( x) ] ⇔ 
 f ( x ) = g ( x) > 0
•

0 < a ≠ 1
log a [ f ( x) ] = b ⇔ 
b
 f ( x) = a

Trang 19

ĐS : 1
ĐS : 1
ĐS : 1
ĐS : ∅

ĐS :


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. log 2 (5 x + 1) = 4
2. log 3 x + log 9 x + log 27 x = 11
3. log 3 x + log 3 ( x + 2) = 1

ĐS : 3
ĐS : 729
ĐS : 1

2
4. log 2 ( x − 3) − log 2 (6 x − 10) + 1 = 0
1
3
2
5. log( x + 1) − log( x + 2 x + 1) = log x
2
6. log 2 (1 + x + 1) − 3log 2 3 x − 40 = 0
7. log 4 ( x + 3) − log 2 ( x + 7) + 2 = 0

ĐS : 2
ĐS : 1
ĐS : 48
ĐS : 1

8. log 2 ( x − 2) − 6log 1 3 x − 5 = 2

ĐS : 3

8

9. log

2

x + 1 − log 1 (3 − x) = log 8 ( x − 1)3

1 + 17
2
ĐS : 2
ĐS :

2

10. log 3 ( x − 1) + log 3 (2 x − 1) = 2
1
1
= + log 2 x + 2
11. log 4 ( x − 1) +
log 2 x+1 4 2
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1
x
x
=0
1. log 2 (4 + 15.2 + 27) + 2log 2
4.2 x − 3

2. log 4 ( x + 2).log x 2 = 1
2
2
3. log 2 ( x + 3 x + 2) + log 2 ( x + 7 x + 12) = 3 + log 2 3
2

ĐS :

5
2

(ĐH D-2007)

ĐS : log 2 3

(ĐH Huế-1999)

ĐS : 2

(ĐH Quốc Gia HN-1998)

ĐS : 0;-5

4. 2log 9 2 x = log3 x.log 3 ( 2 x + 1 − 1)
5. log 2 x + log 3 x = log 2 x.log 3 x
6. log 5 x + log 3 x = log 5 3.log 9 225

(ĐH Thủy Lợi-1998)

ĐS : 1; 4

(ĐH Đông Đô-1999)
(ĐH Y Hà Nội-1999)

ĐS : 1; 6
ĐS : 3

2
7. log 4 ( x + 1) + 2 = log

(ĐH Bách Khoa HN-2000)

ĐS :

(ĐH Y Thái Bình-1998)

ĐS : 4 3

(HV BCVT-2000)

ĐS :

2

4 − x + log 8 ( x + 4)3

2;2 − 2 6
8. log 2+ 3 ( x 2 + 1 + x) 2 + log 2− 3 ( x 2 + 1 − x) = 6
1
2

2
9. log 9 ( x − 5 x + 6) = log
2

3

x −1
+ log 3 x − 3
2

3
2

5.2.Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến
số x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t rồi từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1
1. log 2 2 x + 2log 2 x − 2 = 0
ĐS : 2;
4
2. 3 log 2 x − log 2 (8 x) + 1 = 0
ĐS : 2; 16
5
3. 1 + log 2 ( x − 1) = log x−1 4
ĐS : 3;
4
1

4. log x2 16 + log 2 x 64 = 3

ĐS : 4;2− 3
Trang 20


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
2
2
5. log 3 (3 x ).log x 3 = 1
6. log x2 (2 + x) + log 2+ x x = 2

5
2
7. log 5 x + log 5 x ( ) = 1
x
8. log x 2 + 2log 2 x 4 = log

ĐS : 31±
ĐS : 2

2

ĐS : 1;5;
2x

8

1
25

ĐS : 2

x
x+1
9. log 3 (3 − 1).log 3 (3 − 3) = 6

ĐS : log 3 10;log 3

2
2
10. log1−2 x (6 x − 5 x + 1) − log1−3 x (4 x − 4 x + 1) − 2 = 0

28
27

ĐS :

11. 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3lg(100 x

2

)

1
4
1
ĐS :
100
ĐS : 2

12. x log2 9 = x 2 .3log 2 x − x log 2 3
13. log4(log2x) + log2(log4x) = 2
(đặt t= log 4 x )
Bài 2 : Giải các phương trình sau
4
1. log 2 3 x + 3 log 2 x =
(ĐH Cơng Đồn-2000)
ĐS :
3
2
2. log 2 ( x + 1) − 6log 2 x + 1 + 2 = 0
(Cao Đẳng -2008)
ĐS :
2
1; 3
3. 4log 9 x + log x 3 = 3
(ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM-1998)
ĐS : 3; 3
4. log 4 ( x − 1) 2 + log 2 ( x − 1)3 = 25
5. log 2 2 + log 2 4 x = 3

(HV CNBCVT-1999)

x
x+1
6. log 5 (5 − 1).log 25 (5 − 5) = 1

(ĐH Sư Phạm HN-1998)

x

7. 4log2 2 x − x log2 6 = 2.3log 2 4 x

2

(ĐH Y HN-2000)
ĐS : 1; 4
ĐS : log 5 6;log 5

(ĐH Sư Phạm TPHCM-2001) ĐS :

1
4

2
2
8. log 2 x−1 (2 x + x − 1) + log x+1 (2 x − 1) = 4 (ĐH Khối A-2008)
2
2
9. log 3 x+7 (9 + 12 x + 4 x ) + log 2 x +3 (6 x + 23 x + 21) = 4

10. (2 + 2)log2 x + x(2 − 2) log2 x = 1 + x 2

(ĐH KTQD-2001)

26
25

ĐS : 2;
ĐS : −

(ĐH Quốc Gia HN-2000)

11. log 4 ( x − x 2 − 1).log 5 ( x + x 2 − 1) = log 20 ( x − x 2 − 1) (ĐHSP Vinh-2001)
1 log20 4
1
(5
+ log 20 4 )
2
5

5
4

1
4
ĐS : 0;1

ĐS : 1;

5.3. Dạng 3 : Phương pháp mũ hóa
Đưa phương trình đã cho về một trong các dạng sau
0 < a ≠ 1
• log a f ( x ) = g ( x) ⇔ 
g ( x)
 f ( x) = a
 f ( x) = a t

• log a f ( x ) = log b g ( x) đặt = t suy ra 
. Khử x trong hpt để thu được phương trình

t
 g ( x) = b

theo ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
Trang 21


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
x
1. log 3 (9 + 8) = x + 2

2. x + log 5 (5

x +1

ĐS : 0;log 3 8

− 20) = 2

ĐS : 1

3. 3log 3 (1 + x + x ) = 2log 2 x
3

ĐS : 4096
π
ĐS : + k 2π
6
ĐS : 9

4. 2log 3 tan x = log 2 sin x
5.

log 5 ( x 2 − 6 x − 2) = log 3 x

6. 2log 6 ( x + 4 x ) = log 4 x
Bài 2 : Giải các phương trình sau
x
1. x + log 2 (9 − 2 ) = 3
2. log 5 x = log 7 ( x + 2)

(ĐH Kiến Trúc TPHCM-1991) ĐS : 16
(ĐH Huế-2000)

ĐS : 0; 3

(ĐH Quốc Gia HN-2000)

ĐS : 5

3. log 7 x = log 3 ( x + 2)

(ĐH Thái Nguyên-2000)

ĐS : 49

4. 2log 6 ( 4 x + 8 x ) = log 4 x

(ĐH Y HN-1998)

5. 2log 3 cot x = log 2 cos x

(ĐH Y Dược TPHCM-1986)

ĐS : 256
π
ĐS : + k 2π
3

5.4. Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
• Cách 1 : (Dự đốn nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)
Đưa phương trình đã cho về dạng f ( x) = g ( x) (*)
• Bước 1 : Chỉ ra x0 là một nghiệm của phương trình (*)
• Bước 2 : Chứng minh f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm nghịch biến hoặc f ( x ) là hàm đồng
biến, g ( x) là hàm hằng hoặc f ( x) là hàm nghịch biến, g ( x) là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất
nghiệm
• Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng f (u ) = f (v) , rồi chứng minh f là hàm số ln đồng biến (hoặc ln
nghịch biến trên D). Từ đó suy ra f (u ) = f (v ) ⇔ u = v .
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. log 5 ( x − 3) = 4 − x
ĐS : 4
2
2. lg( x − x − 12) + x = lg( x + 3) + 5
ĐS : 5
2
3. log 2 x + ( x − 3).log 2 x − x + 2 = 0
ĐS : 2; 4
2

4. x + (log 3 x − 3) x − 4 + log 3 x = 0

ĐS : 3

5. ln( x + x + 1) − ln(2 x + 1) = x − x
Bài 2 : Giải các phương trình sau
2

2

2

2
1. log 2 x + ( x − 1) log 2 x = 6 − 2 x

2. log 3

x2 + x + 3
= x 2 + 3x + 2
2
2x + 4x + 5

ĐS : 0; 1
1
;2
4

(ĐH Đông Đô-1997)

ĐS :

(ĐH Ngoại Thương-2001)

ĐS : −1; −2

Chủ đề 6:HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT
Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau :
log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )

1.  x2 − xy + y 2
(ĐH A-2009)
= 81
3


Trang 22

ĐS : (2;2), (-2;-2)


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017
 23 x = 5 y 2 − 4 y

2.  4 x + 2 x +1
=y
 x
 2 +2
1

log 1 ( y − x) − log 4 y = 1

3.  4
 x 2 + y 2 = 25

 x −1 + 2 − y = 1

4. 
2
3
3log 9 (9 x ) − log3 y = 3

 x + 3 y −1 = 2

5. 
y
3 x + 9 = 18


(ĐH D-2002)

ĐS : (0;1), (2;4)

(ĐH A-2004)

ĐS : (3;4)

(ĐH B-2005)

ĐS : (1;1), (2;2)

2

ĐS : ( ;log 3 4)
3

3x.2 y = 972

6. 
log 3 3 ( x − y ) = 3


y
 x+x
 4 y = 32
8. 
ĐS : (3;3)
log 3 ( x + y ) = 1 − log 3 ( x − y )

x − 4 y + 3 = 0

10. 
ĐS : (16;3), (1/64;-2)
 log 4 x − log 2 y = 0


ĐS : (5;2)

log y x + log x y = 2

7.  2
 x + y = 12


ĐS : (2;1)

 y = 1 + log 4 x
9.  y
 x = 4096

ĐS : (1;1), (9;3)

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau :
3− x.2 y = 1152

1. 
log 5 ( x + y ) = 2

2.
3.
4.
5.
6.

ĐS : (-2;7)

log1+ x (1 − 2 y + y 2 ) + log1− y (1 + 2 x + x 2 ) = 4


log1+ x (1 + 2 y ) + log1− y (1 + 2 x) = 2

 4log3 ( xy ) = 2 + ( xy )log3 2


 2
2
 x + y + 3 x + 3 y = 22

 x2 + y = y2 + x

 x+ y
x −1
2 − 2 = x − y

ln(1 + x) − ln(1 + y ) = x − y
 2
2
 x − 12 xy + 20 y = 0
 x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1


2
x −1
 y + y − 2 y + 2 = 3 +1


Chủ đề

2 2
ĐS : (− ; )
5 5
ĐS : (1;3), (3;1)
ĐS : (-1;-1), (1;0)
ĐS : (0;0)

ĐS : (1;1)

7:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I. PHƯƠNG PHÁP
Áp dụng các phương pháp như khi giải phương trình mũ và kết hợp với tính chất :
f (x )
> a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x)
• Nếu a > 1 thì a
f ( x)
> a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x)
• Nếu 0 < a < 1 thì a
a > 0

a f (x) > ag (x) ⇔ 
Tổng quát :
(a − 1) [ f ( x) − g ( x) ] > 0

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Trang 23


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

7.1. Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :
2
1. 3x +2 x < 27
2. ( 5 + 2) x−1 ≥ ( 5 − 2)

1 x2 +2 x 1 16− x
<( )
3. ( )
3
9

ĐS : −3 < x < 1

x −1
x +1

ĐS : [ −2; −1) ∪ [ 1; +∞ )
ĐS : x < −8 ∨ x > 4

1

x+2
4. 2 x+1 >  1 
 ÷
 16 
x
x −1
5. 2 + 2 + 2 x−2 < 3x − 3x−1 + 3x−2
2
2
2
6. 2 x −3 x−2.3x −3 x−3.5 x −3 x− 4 ≥ 12
x −3

ĐS : x > −2

ĐS : x > 2
ĐS : x ≤ −1 ∨ x ≥ 4

x +1

ĐS : −3 < x < − 5 ∨ 1 < x < 5

7. ( 10 + 3) x−1 < ( 10 − 3) x+3
8. 1 < 3 x − x < 9
1
1
< x+2
9.
x 2 +5 x −6
3
3

ĐS : ( −1;2 ) \ { 0;1}

10. ( x − 2 )

ĐS : 2 < x < 3 ∨ x >

2

2 x 2 −7 x

ĐS : x ≤ −6 ∨ x ≥ 10

>1

Bài 2 : Giải các bất phương trình sau :
1. 2 x + 2 x+1 ≤ 3x + 3x−1
−1 − 5
−1 + 5
< x<
∨ x >1
2
2
x − x−1
1
x 2 −2 x
3. 3
≥ ÷
3

(x

2

+ x + 1) < 1
x

ĐS : x ≥ 2

(Học Viện Quân Y-1995)

x
x −1

(ĐH Quốc Gia HN-1996)

ĐS :

(ĐH Bách Khoa HN-1997)

ĐS : x ≥ 2

(ĐH Sư Phạm TPHCM-1976)

2. ( 2 + 1) x+1 ≥ ( 2 − 1)

4.

7
2

ĐS : x < −1

7.2. Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :
1. 9 x − 2.3x − 3 > 0
2. 22 x+6 + 2 x+7 − 17 > 0
3. 2 x + 23− x ≤ 9
4. 2.49 x + 7.4 x < 9.14 x
5. 5.2 x < 7. 10 x − 2.5 x
6. 4 x ≤ 3.2 x +
2

x

ĐS :
ĐS :
ĐS :
ĐS :
ĐS :

ĐS : 0 ≤ x ≤ 4
1
ĐS : − < x < 1
2

x +1

+4
2

2

7. 6.92 x − x − 13.6 2 x − x + 6.42 x − x < 0
8. 4 x 2 + x.3 x + 31+

x

x >1
x > −3
0≤ x≤9
0 < x <1
0< x<2

2
ĐS : 0 ≤ x < log 3 2 ∨ x >

< 2 x 2 .3 x + 2 x + 6

x

1
3 3

8.3x−2
2
> 1+  ÷
x
x
3 −2
3
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau :

ĐS : 0 < x < log 2

9.

Trang 24

3
2


Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

2 x− x2

1
1. 9
− 2.  ÷
≤3
3
1− 2 ≤ x ≤ 1+ 2
x 2 −2 x

2

1

(Dự Bị D-2005)

(ĐH Văn Hóa HN-1996)

5.

(

)

5 +1

− x2 + x

2

+ 2− x + x+1 < 3.

(

)

5 −1

− x2 + x

ĐS : x > 0

(HV Hành Chính QG-2001)

x

3. 3x+1 − 22 x+1 − 12 2 < 0
2.3x − 2 x+2
4.
≤1
3x − 2 x

ĐS : x > −1

(HV CNBCVT-1998)

+1

x
 x

2.  1  + 3.  1 ÷ > 12
 ÷
 3
3

ĐS :

ĐS : 0 < x ≤ log 3 3

(ĐH Phương Đông-2000)

ĐS : x < 0 ∨ x > 1

2

7.3. Dạng 3 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
ĐS : x > 1

1. 3x−1 + 2 x > 3
x
2

ĐS : x < 2

2. 2 x < 3 + 1
3. 2.2 x + 3.3x > 6 x − 1

ĐS : x < 2

Chủ đề 8: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

I. PHƯƠNG PHÁP
• Nếu a > 1 thì log a f ( x ) > log a g ( x) ⇔ f ( x ) > g ( x ) > 0
• Nếu 0 < a < 1 thì log a f ( x ) > log a g ( x) ⇔ 0 < f ( x ) < g ( x)
Tổng quát :

a > 0

log a f ( x ) > log a g ( x) ⇔  f ( x) > 0; g ( x ) > 0
(a − 1) f ( x) − g ( x ) > 0
[
]


II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Giải các bất phương trình sau :
1
ĐS : − < x < 4
2

1. log 3 (2 x + 1) < 2
31 

x
2. log 2 log 0,5 (2 − )  ≤ 2
16 

3x + 2
) >1
3. log x (
x+2

4. 2log 3 (4 − 3 x) + log 1 (2 x + 3) ≤ 2

ĐS : x > 2
ĐS : 1 < x < 2
(ĐH A-2007)

3

3
< x≤3
4

x2 + x 
5. log 0,7  log 6
÷< 0
x+4 

−4 < x < − 3 ∨ x > 8
2x −1
1
)<−
6. log 4 (
x +1
2
1
< x <1
2

(ĐH B-2008)

(ĐH Văn Hóa HN-1998)

Trang 25

ĐS :

ĐS :

ĐS :