Bài giảng cơ lý thuyết về động học

8/17/2010

BK

TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH

CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN II: ĐỘNG HỌC
PGS. TS. TRƯƠNG Tích Thiện

Tp. Hồ Chí Minh, 01/ 2007

Bộ môn Cơ KỹThuật

PHẦN II: ĐỘNG HỌC
- Động học là một phần của cơ học lý thuyết nhằm khảo sát các quy luật của
vật rắn trong không gian theo thời gian mà không quan tâm đến các
nguyên nhân sinh ra các quy luật chuyển động ấy.
- Đối tượng của động học gồm có hai loại: chất điểm và hệ nhiều chất điểm
được nối cứng với nhau. Chất điểm là một chất điểm thuộc vật rắn cho nên
nó sẽ có khối lượng và vật rắn được xem là một hệ gồm có vô số chất điểm
được nối cứng với nhau.
- Khi kích thước của vùng không gian mà vật rắn chuyển động chiếm được
rất lớn so với kích thước của vật thì toàn vật rắn sẽ được xem là một chất
điểm và được gọi là vật điểm. Khối lượng của vật điểm bằng khối lượng
của toàn vật.

1

8/17/2010

CHƯƠNG 3: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
§ 1: Các Đặc Trưng Chuyển Động Của Chất Điểm
Để khảo sát được chuyển động của điểm M, ta cần chọn trước một vật làm
vật quy chiếu.
chiếu Trên vật quy chiếu ta chọn một điểm
O
r tùy ý làm điểm gốc O.
Vị trí của M sẽ được xác định bởi vectơ định vị r (hình 3.1).
9 Chú ý rằng vật được chọn làm vật quy chiếu phải thỏa tiên đề quán tính
của Galiléo.
9 Với một sai số có thể chấp nhận được, người ta thường chọn trái đất làm
ậ q
quy
y chiếu để khảo sát các loại
ạ chuyển
y động
ộ g thông
g thường
g của chất điểm.
vật
Để xác định đầy đủ chuyển động của một điểm ta cần xác định ba đặc trưng
chuyển động của điểm. Đó là phương trình chuyển động của điểm, vận tốc
của điểm và gia tốc của điểm.

ʓ

O* ≡ MO

M

r
k

O

x

r
i

r
r

r
v

r
a

r
j

(C )

y
Hình 3.1

2


8/17/2010

1. 1 Phương trình chuyển động của điểm:
™ Định nghĩa: Phương trình chuyển động của điểm là một phương trình
toán giúp xác định vị trí của điểm trong không gian theo thời gian. Dạng
tổng quát của phương trình chuyển động điểm như sau:

r
r
r = OM = r (t )

(1)

• Quỹ tích của M trong không gian được gọi là quỹ đạo (C) của điểm.
Phương trình toán biểu diễn đường cong quỹ đạo (C) được gọi là
phương trình quỹ đạo của điểm.
• Ở mỗi điểm trên đường cong quỹ đạo (C) ta sẽ luôn có một mặt phẳng
mật tiếp với đường cong tại điểm đo.
đó
• Vòng tròn lớn nhất có khả năng tiếp xúc với đường cong, trên mặt phẳng
mật tiếp của đường cong tại điểm đang xét được gọi là đường tròn mật
tiếp với đường cong tại điểm ấy. Bán kính của đường tròn mật tiếp được
gọi là bán kính cong ρ của quỹ đạo.

1.2 Vận tốc của điểm.
™ Định nghĩa: Vận tốc của rđiểm là một đại lượng vector biểu diễn sự
biến thiên vector định vị r theo t.

• Vận tốc của điểm được ký hiệu và xác định như sau:

r
r dr r& r
v=
= r = v (t ) (m / s )
dt

(2)

• Vector vận tốc của điểm phản ánh phương, chiều và tốc độ thay đổi vị trí
của điểm. Vận tốc luôn có tính chất tiếp tuyến với quỹ đạo và hướng theo
chiều chuyển động của điểm trên quỹ đạo.
1.3 Gia tốc của điểm:
™ Định nghĩa: Gia tốc củar điểm là một đại lượng vector biểu diễn sự biến
thiên của vector vận tốc vt theo thời gian t.
• Gia tốc của điểm được ký hiệu và xác định như sau:

r
r dv r& &r& r
= v = r = a (t ) (m / s 2 )
a=
dt

(3)

• Vector gia tốc của điểm có hai tính chất:
– Nằm trong mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại điểm đang xét.
– Luôn hướng về phía lõm của quỹ đạo.

3


8/17/2010

§ 2: Các Phương Pháp Khảo Sát Chuyển Động Của Điểm
2. 1 Phương pháp tọa độ Descartes
• Theo phương pháp tọa độ Descartes ta sẽ dựng tại gốc O tại một hệ trục
tọa độ Descartes 3 chiều thuận Oxy để khảo sát chuyển động điểm M.
1. Phương trình chuyển động của
r
r điểm.
r
r
r
=
OM
=
x
.
i
+ y. j + ʓ .k
ọ M ((x,y,ʓሻ⇒
,y,ʓሻ
Gọi

⎧ r = x(t )
r ⎪ x
r
r

r
Mà: r = rx .i + ry . j + rʓ .k ⇒ ⎨ ry = y (t )
⎪r = ʓ (t )
⎩ʓ

(4)

Vị trí của điểm M sẽ được xác định hoàn toàn nếu ta xác định được hệ ba
phươngg trình ((4).
p
) Do đó hệ̣ 3 p
phươngg trình ((4)) được
ợ gọ
gọi là p
phươngg trình
chuyển động của điểm theo phương pháp tọa độ Descartes .
1
r
(5)
⇒ r = x2 + y2 + ʓ 2 2

[

]

• Khử biến thời gian t trong hệ ba phương trình (4) ta sẽ được một một hàm
hai biến ở dưới dạng (6 ).

(6)

ʓ = ʓ ( x, y )

• Phương trình (6 ) được gọi là phương trình của quỹ đạo ( C).

2. Vận tốc của điểm.
• Theo định nghĩa (2) ta sẽ biễu diễn vận tốc của điểm theo phương pháp
tọa độ Descartes như sau:

Mà:

r
r
r
r
r
r r d r
d r
v = r& = (r ) = ( x.i + y. j + ʓ k ) = x&.i + y&. j + ʓሶ k
dt
dt
⎧ v = x& (t )
r ⎪ x
r
r
r
(7 )
v = v x .i + v y . j + vʓ .k ⇒ ⎨ v y = y& (t )
⎪vʓ = ʓሶ (t )
⎩

Muốn xác định độ lớn vận tốc v ta dùng định lý Pitago.

(7) ⇒ vr = [x& 2 + y& 2 + ʓሶ 2 ] 2
1

(8)

3. Gia tốc của điểm.
Theo định nghĩa (3) gia tốc của điểm sẽ được xác định theo phương pháp
r
Descartes như sau:
r
r
r

r dv r&
= v = &x&.i + &y&. j + ʓ ̈ .k
a=
dt

4


8/17/2010

r

r

r

r

Mà : a = ax .i + a y . j + aʓ .k

⎧ ax = &x&(t )
⎪
⎨a y = &y&(t )
⎪ a = ʓ̈ (t )
⎩ ʓ

Do đó:

(9)

(9) ⇒ ar = [&x&2 + &y&2 + ʓ̈ 2 ] 2

(10)

1

Bán kính cong của quỹ đạo:

ρ=

(x&

2

+ y& 2 + ʓሶ 2

)

ʓሶ

ʓሶ

⎡ x& y&
y&
+
⎢
&y&
⎢⎣ &x& &y&
2

2

+

ʓ̈

3

2

ʓ̈

x& ⎤
⎥
&x& ⎥

⎦
2

1

(11)

2

2. 2 Phương pháp tọa độ tự nhiên:
Chỉ được sử dụng nếu đã biết trước quỹ đạo (C) của điểm.

1. Phương trình chuyển động của điểm.
• Phương pháp tọa độ tự nhiên sẽ sử dụng quỹ đạo đã biết của điểm làm
trục tọa độ cong. Trên trục cong này ta chọn tùy ý một điểm làm điểm
gốc O* (thường chọn điểm gốc O* trùng vị trí ban đầu MO của điểm M)
(hình 3.2).

O* ≡ M O

r

M r

r
aτ

τ

η

r
an
O

n

r
v

r
a

t
(C)

Hình 3.2

• Chọn chiều dương cho trục tọa độ cong theo chiều chuyển động của điểm.
• Phương trình chuyển động của điểm là một phương trình đại số xác định
đoạn đường mà điểm đã đi được trên quỹ đạo.

s ≡ O * M = s(t )

(12)

5


8/17/2010

• Quan hệ giữa tọa độ tự nhiên và tọa độ Descartes:
t

s = ∫ x& 2 + y& 2 + ʓሶ 2 .dt

(13)

0

2. Vận tốc của điểm.
• Để xác định được vector vận tốc và vector gia tốc của điểm ta cần phải
dựng thêm một hệ
hê trục tọa độ
đô vuông góc Mtn chuyển động cùng với điểm
M như sau:
+ Điểm gốc là điểm M đang chuyển động.
+ Trục tiếp tuyến t tiếp tuyến với quỹ đạo và có chiều dương hướng theo
chiều chuyển động của điểm. Trên trục tiếp tuyến này ta dựng một vector
r
đơn vị τ .
r
9 Chú ý rằng, τ sẽ có phương thay đổi theo chuyển động của điểm M.
+ Dựng
D
t
trục
pháp
há tuyến
t ế n đặt tại
t i M,

M nằm
ằ trong
t
mặt
ặt phẳng
hẳ mật
ật tiếp
tiế với
ới quỹ
đạo tại M, vuông góc với trục tiếp tuyến t và có chiều (+) hướng về phía
r
lõm của quỹ đạo. Trên trục pháp tuyến này ta dựng một vector đơn vị η .
• Vận tốc của điểm M sẽ được xác định theo công thức như sau:

r
r
r
(14)
v = s&.τ = v.τ
⎫ r
r
r
⎬ ⇒ v ↑↑ τ
Với: v = s& = hct (v ) ≥ 0, (m s )⎭

3. Gia tốc của điểm:
• Theo định nghĩa (3):

r
r

r d r
r
r dv r
d
dτ
v r
a = (v ) = (v.τ ) ⇔ a = .τ + v.
= v&.τ + v( .η )
ρ
dt
dt
dt
dt
r r r
r
r
(15)
⇒ a = aτ .τ + an .η = aτ + an
r
r
r
r
⎧aτ = aτ .τ = v&.τ = &s&.τ : thành phần gia tốc tiếp.
⎪
Ta có: ⎨ r
r
v2 r
an = .η = an .η : thành phần gia tốc pháp.
⎪⎩
ρ

r
r
⎧ aτ > 0 ⇔ v& > 0 ⇔ &&
s > 0 ⇔ aτ ↑↑ v : M chuyển động nhanh dần.
r
r
⎪
: M chuyển động đều.
đều
Với: ⎨ aτ = 0 ⇔ v& = 0 ⇔ aτ = 0
r
r
⎪ aτ < 0 ⇔ v& < 0 ⇔ aτ ↑↓ v
: M chuyển động chậm dần.
⎩

an > 0 ⇔ ρ

hữu hạn ⇔ (C) là đường cong.

an = 0 ⇔ ρ → ∞

⇔ (C) là đường thẳng.

6


8/17/2010

§3: Bậc Tự Do Và Tọa Độ Suy Rộng
3.1 Bậc tự do (dof )
1. Định nghĩa:
• Bậc tự do của một cơ hệ là số thông số độc lập cần dùng để có thể khảo sát
được chuyển động của toàn hệ.
• Thi
Thí dụ:
d (hình
(hì h 3.3)
3 3)

O
- Để có thể khảo sát được
chuyển động của toàn hệ ta
cần xác định 2 thông số độc
lập cần dùng (φ1) và (φ2).
⇒ dof
d f =2

y
ϕ1

A
ϕ2

B
x

Hình 3.3

2. Xác định dof của vật rắn tự do hoàn toàn.
a. Trong không gian 2 chiều. (hình 3.4).
o Xét hệ có một chất điểm tự do hoàn toàn trong không gian 2 chiều.
Cần xác định hai tọa độ x1 , y1 . Đây là hai thông số độc lập. Vậy dofhệ = 2
o Xét hệ có hai chất điểm nối cứng và tự do hoàn toàn trong không gian hai
chiều. Ta cần xác định 4 tọa độ. Ta có một ràng buộc:

d12 =

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 = const

Do đó số thông số độc lập cần dùng là: 4 - 1 = 3
Vậy bậc tự do của hệ gồm hai điểm là 3: dofhệ = 3
o Xét hệ có 3 chất điểm y
không thẳng hàng, được
M3
nối cứng tự do hoàn toàn
trong mặt phẳng chứa 3
điểm. Cần xác định 6 tọa
M1
độ. Ta có 3 ràng buộc ⇒
số thông số độc lập cần y1
dùng: 6 – 3 = 3 hay dofhệ
O
x1
= 3!!!

M4

M2

d12
x

Hình 3.4

7


8/17/2010

‰ Kết luận :
• Bậc tự do của 1 vật rắn tự do hoàn trong 2D sẽ bằng dof của 1 mô hình
gồm có 2 chất điểm bất kỳ, được nối cứng thuộc vật rắn. Do đó DofVR = 3
• Khi khảo sát chuyển động của một vật rắn trong không gian hai chiều ta
không cần khảo sát chuyển động của tất cả các điểm thuộc vật mà chỉ cần
khảo sát chuyển động của một mô hình gồm có hai chất điểm bất kỳ được
nối
ối cứng
ứ thuộc
th ộ vật
ật là đủ.
đủ
b. Trong không gian 3 chiều: 3D (hình 3.5).
o Hệ có một điểm tự do hoàn toàn trong không gian 3 chiều.
Cần xác định 3 tọa độ cho
ʓ
M4
M3
điểm này. Ba tọa độ này là 3

thông số độc lập. Do đó hệ
có: dofhệ = 3
M2
o Hệ gồm 2 điểm được nối
cứng và tự do hoàn toàn trong
d12
M1
y
không gian 3 chiều. Ta cần
O
xác định 6 tọa độ cho hệ.
Ta có một ràng buộc nối
x
cứng:
Hình 3.5

d12 =

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( ʓ 2− ʓ1 )2 = const

Do đó, số thông số độc lập cần dùng là 6 (tọa độ) – 1 (ràng buộc): 6 - 1= 5
Vậy bậc tự do của hệ: dofhệ = 5.
o Hệ gồm 3 điểm không thẳng hàng được nối cứng với nhau và tự do hoàn
toàn trong không gian 3 chiều. Cần xác định 9 tọa độ. Ta có 3 ràng buộc.
D đo,
Do
đ ́ sô
ố thông
thô sô
ố độc

độ lập
lậ cần
ầ dùng
dù cho
h hệ
hê là:
là 9 - 3=
3 6.
6 Vậy
Vậ bậc
bậ tự
t do
d của
ủ
hệ: dofhệ = 6.
o Hệ gồm 4 điểm không đồng phẳng được nối cứng với nhau và tự do hoàn
toàn trong không gian 3 chiều. Cần xác định 12 tọa độ. Ta có 6 ràng buộc.
Do đó số thông số độc lập cần dùng là: 12 - 6= 6
Vậy bậc tự do của hệ: dofhệ = 6 !!!
‰ Kết luận :
• Bậc tự do của một vật rắn (hệ gồm vô số chất điểm được nối cứng) tự do
hoàn toàn trong không gian 3 chiều (3D) sẽ bằng với dofhệ của một hệ gồm
có 3 chất điểm bất kỳ, không thẳng hàng, được nối cứng thuộc vật.
⇒ dofhệ = 6
• Khi khảo sát vật rắn trong 3D ta chỉ cần khảo sát chuyển động của một mô
hình gồm có 3 chất điểm không thẳng hàng, được nối cứng thuộc vật là đủ.

8

8/17/2010

3. 2 Tọa độ suy rộng của cơ hệ:
1. Định nghĩa:
™ Tọa độ suy rộng của cơ hệ là số thông số độc lập được chọn để khảo sát
chuyển động cho toàn cơ hệ ấy. Số tọa độ suy rộng của cơ hệ sẽ bằng bậc tự
do của cơ hệ. Với mỗi cơ hệ ta có nhiều cách để chọn các tọa độ suy rộng.
2. Thí dụ:
a. Thí dụ 1:(hình 3.6)
Khảo sát chuyển động của vật phẳng (S) trong mặt phẳng chứa nó.
Dựng hệ trục tọa độ descartes hai chiều Oxy để khảo sát chuyển động của vật.
Do vật rắn chỉ chuyển động trong 2D nên bậc tự do của toàn vật là: DofVR= 3.
y
Mô hình khảo sát chuyển động
cho toàn vật là một hệ gồm hai
B
(S )
điểm A B tùy ý được nối cứng
thuộc vật. Ta cần xác định 4 tọa
ϕ
độ cho hệ: xA , yA , xB , yB
A
Ta có 3 thông số độc lập trong 4
l
tọa độ. Do đó có 3 tọa độ suy
rộng:

O

Hình 3.6

x

Ta có thể chọn các bộ 3 tọa độ suy rộng :

(xA , y A , xB ), (xA , y A , yB ), (xB , yB , y A ), (xB , yB , xA )
⎧ y&
2
→ y B = l 2 − ( xB − x A ) + y A ⇒ ⎨ B
⎩ &y&B
Đơn giản nhất ta nên chọn 3 tọa độ suy rộng như sau:

xA , y A ,ϕ

⎧x = xA + l. cosϕ
⎧ x& = x& A + l.(− sin ϕ ).ϕ&
⇒⎨ B
⇒⎨ B
⎩ yB = y A + l. sin ϕ
⎩ y& B = y& A + l. cosϕ.ϕ&
⎧ x A = x A ((t )
⎪
Hệ ba phương trình biến thiên theo thời gian t: ⎨ y A = y A (t )
⎪ ϕ = ϕ (t )
⎩
Hệ phương trình biểu diển sự biến thiên của các tọa độ suy rộng đã chọn
theo thời gian t được gọi là phương trình chuyển động của toàn vật.

9

8/17/2010

b. Thí dụ 2:
Khảo sát chuyển động của một vật rắn quay quanh một trục cố định, chọn các
tọa độ suy rộng cho vật rắn này (hình 3.7).
o Định nghĩa chuyển động của vật rắn quay quanh trục quay cố định:
ƒ Chuyển động của vật rắn được gọi là chuyển động quay quanh trục
quay cố định nếu trong quá trình chuyển động của vật rắn có tối thiểu
2 điểm
ể thuộc vật đứng yên. Đường thẳng
ẳ nối
ố liền
ề 2 điểm
ể đứng yên ấy
ấ
được gọi là trục quay cố định của vật.
− Mô hình khảo sát chuyển động cho toàn vật là một hệ gồm 3 chất điểm bất
kỳ không thẳng hàng được nối cứng thuộc vật. Ta chọn mô hình gồm 3
điểm A, B và M.
− Do 2 điểm A và B đứng yên nên ta chỉ khảo sát chuyển động của điểm M.
đô cho điểm M,
M ta lại có 2 ràng buộc giữa điểm M với
− Ta cần xác định tọa độ
điểm A và điểm B. Do đó, số thông số độc lập cần dùng cho mô hình là:
3 tọa độ – 2 ràng buộc = 1. Vậy dogVR = 1.
− Hệ có một tọa độ suy rộng được chọn như sau:
+ Dựng một mặt phẳng P chứa điểm M và trục quay cố định của vật. Mặt
phẳng này sẽ gắn liền với vật và cùng chuyển động quay với vật quanh
trục quay cố định.

+ Dựng mặt phẳng π chứa trục quay cố định và trùng với vị trí ban đầu của
mặt phẳng. Mặt phẳng này là mặt phẳng cố định và được gọi là mặt phẳng
quy chiếu.
ʓ

B

ϕ
ε

O*

ω

π

n

r

η H
rM
ϕ r an
a
r rMM
k aτ
r
ω A
r

ε

(V )

(C )
r t
r τ
v

P

Hình 3.7

+ Gọi φ là góc nhị diện hợp bởi 2 mặt phẳng P và π: φ = [(P), (π)]
Chọn φ làm tọa độ suy rộng duy nhất cho toàn vật rắn và phương trình
chuyển động cho toàn vật sẽ có dạng như sau: φ = φ(t).

10


8/17/2010

CHƯƠNG 4: ĐỘNG HỌC VẬT RẮN.
Có rất nhiều chuyển động của vật rắn trong không gian từ đơn giản đến phức
tạp. Một chuyển động phức tạp bất kỳ của vật rắn bao giờ cũng được chứng
minh là kết quả của việc tổ hợp 2 chuyển động cơ bản đồng thời: chuyển động
tịnh tiến và chuyển động quay quanh một trục cố định.
§1.
§1 Hai
H i Chuyển

Ch ể Động
Độ Cơ
C Bản
Bả Của
Củ Vật Rắn.
Rắ
1.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn.
1. Định nghĩa: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là loại chuyển động sao cho
mọi đoạn thẳng thuộc vật điều chuyển động song song với chính nó.(hình 4.1)

B0

(V0 )

(CB )

(V )

B
A

A0

(CA )
Hình 4.1

∀(AB) ⊂ (V): AB // A0B0, ∀t

2. Tính chất.
Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến ta sẽ có 2 tính chất sau:

• Quỹ đạo của các diểm thuộc vật là giống nhau.
• Vector vận tốc và vector gia tốc của tất cả các điểm thuộc vật bằng nhau.
3. Nhận xét.
• Mô hình khảo sát cho vật rắn tịnh tiến là 1 diểm tùy ý thuộc vật (thường
chọn khối tâm (C) của vật làm mô hình.
• Bậc tự do của vật rắn chuyển động tịnh tiến trong không gian 3 chiều:
DofVR = 3
1.2 Chuyển động của vật rắn quay quanh 1 trục cố định.
1. Định nghĩa: (Xem lại thí dụ 2 của chương 3).
ƒ Chuyển động của vật rắn được gọi là chuyển động quay quanh trục quay
cố
ố định nếu
ế trong quá trình chuyển
ể động của vật rắn
ắ có tối
ố thiểu
ể 2 điểm
ể
thộc vật có tối thiểu 2 điểm thuộc vật đứng yên. Đường thẳng nối liền 2
điểm đứng yên ấy được gọi là trục quay cố định của vật.
2. Khảo sát chuyển động của toàn vật.
• Phương trình chuyển động của toàn vật là: φ = φ(t).
• Vận tốc toàn vật - vận tốc góc.

11


8/17/2010

Trên trục quay cố định ta chọn 1 điểm tùy ý làm điểm gốc O. Dựng 1

vector đơn vị tại gốc O có phương nằm trên trục quay cố định và có chiều
được xác định theo quy tắc bàn tay phải so với chiều quay của vật.
Chọn trục tọa độ
r ʓ có phương trùng với trục quay và có chiều (+) trùng
với chiều của k .
Vận tốc góc của vật rắn là 1 đại lượng vector được ký hiệu và xác định
như sau:

r
r
r
r
⎫ r
ω = ϕ& .k = ω.k
⇒
ω
↑↑
k
⎬
& ≥ 0 , rad s = s−1 ⎭
Với: ω = ϕ

ƒ Gia tốc toàn vật - gia tốc góc.

r
r
r
r
r dω
& .k = ε.k

&&.k = ω
ε=
=ϕ
dt
r
r
& > 0 ⇔ ε ↑↑ ω : vật quay nhanh dần.
⎧> 0 ⇔ ω
⎪
r r
& =ϕ
&& ⎨ = 0 ⇔ ω
& = 0 ⇔ ε = 0 : vật quay đều.
Với: ε = ω
r
r
⎪< 0 ⇔ ω
& < 0 ⇔ ε ↑↓ ω : vật quay chậm dần.
⎩

B

ʓ

(V )

ϕ
ε

O*

ω

π

n

(C )

r

η H

r ϕ
a
r
k

r
anM

r M
aτM

r t

rτ
v

r

ω A
r
ε

Hình 4.2

P

12


8/17/2010

3. Khảo sát chuyển động của một điểm thuộc vật.
• Khảo sát chuyển động của điểm M thuộc vật rắn (V) và mặt phẳng (P)
đang quay quanh trục ʓ cố định. Từ điểm M ta dựng đường cao MH
vuông góc với trục quay cố định. Khi vật rắn quay thì đoạn thẳng HM sẽ
chuyển động tạo ra một hình tròn tâm H bán kính HM = R nằm trong
mặt phẳng vuông góc với trục quay ʓ.
Gọii O*
* là
l giao
i điểm
điể giữa
i đường
đ
tròn (C
( ) và mặt phẳng
hẳ (π)

( )

{O *} = (C ) ∩ (π ) ⇒ O * HM = ϕ

• Do ta đã biết được quỹ đạo của điểm M lả đường tròn (C) nên ta sẽ dùng
phương pháp tọa độ tự nhiên để khảo sát chuyển động cho điểm này.
a). Phương trình chuyển động của điểm M.
o Lấy
y đường
g tròn q
quỹ
ỹ đạo
ạ C của điểm M là trục
ụ tọa
ọ độộ congg và chọn
ọ O* làm
điểm gốc.
o Vị trí của điểm M trên quỹ đạo sẽ được xác định bởi phương trình chuyển
động có dạng như sau:

b). Vận tốc của điểm M.

s = O * M = s(t ) = R.ϕ(t ), ϕ : rad

r
r
r
r
r
v = s&.τ = ( R.ϕ& ).τ = ( R.ω ).τ = v.τ

r
r
v = R.ω ≥ 0 , m s ⇒ v ↑↑ τ
r
⎧v ⊥ HM
⇒⎨
r
⎩ Chiều v : quay quanh tâm H theo chiều ω.
Với:

c). Gia tốc của điểm M:

Với:

r
r
r
a M = aτM + anM
r
r
⎧⎪aτM ⊥ HM và chiều của aτM quay quanh tâm H theo chiều ε
⎨ rM
⎪⎩ aτ = HM .ε = R.ε
r
r
⎧aτM ↑↑ v : nếu vật quay nhanh dần.
⎨ rM
r
: nếu vật quay chậm dần.

⎩aτ ↑↓ vuuuu
r
r
⎧⎪ anM ↑↑ MH
⎨ rM
2
2
⎪⎩ an = HM.ω = R.ω

13


8/17/2010

§2. Chuyển Động Phức Hợp Của Vật Rắn.
2.1 Chuyển động phức hợp của điểm.
1. Khái niệm:
™ Khi một chất điểm thực hiện đồng thời từ hai chuyển động trở lên thì
chuyển động của chất điểm sẽ được gọi là chuyển động phức hợp.
• Khảo
Khả sát
át chuyển
h ể động
độ của
ủ điểm
điể M trong
t
khô gian
không
i của

ủ hê trục
t
O1x1y1ʓ1.
Đồng thời hệ trục 1 lại mang cả không gian gắn liền với nó chuyển động
trong không gian của hệ trục cố định O2x2y2ʓ2. (hình 4.3).
• Chuyển động của điểm M
M
ʓ1
ʓ2
trong không gian của hệ
trục tọa độ động 1 được
y1
gọi là chuyển động tương
đối. Chuyển động của hệ
trục tọa độ động 1 cùng với
O1
không gian gắn liền với nó
x1
đối với hệ trục cố định 2
O2
được gọi là chuyển động
y2
x2
kéo theo.
Hình 4.3

Chuyển động của điểm M đối với hệ trục cố định 2 được gọi là chuyển động
tuyệt đối.
• Vận tốc và gia tốc của điểm M đối với hệ trục tọa độ động 1 được gọi là
vận tốc và gia tốc tương đối của điểm M.

+ Ký hiệu:

r
r
vrM , arM

• Vận tốc và gia tốc của điểm M đối với hệ
hê trục tọa độ
đô cô
cố định 2 được gọi là
vận tốc và gia tốc tuyệt đối của điểm M.

+ Ký hiệu:

r
r
vaM , aaM

• Một điểm cố định trong hệ động 1 đang trùng với điểm M chuyển động
trong hê động ấy sẽ được gọi là trùng điểm M* của điểm M.
Vận tốc và gia tốc của trùng điểm M* đối với hệ trục cố định được gọi là
vận tốc và gia tốc kéo theo của điểm M.

r
veM ,
r
⎧veM
Với: ⎨ r
M
⎩ae

+ Ký hiệu:

r
aeM
r
≡ vaM *
r
≡ aaM *

14


8/17/2010

2. Định lý hợp chuyển động. (xem hình 4.3)
a). Định lý hợp vận tốc:

r
r
r
vaM = veM + vrM

b). Định lý hợp gia tốc.

(

r
r
r

r
aaM = aeM + arM + acM

)

r r
r
acM = 2 ωe ∧ vrM : gia tốc Coriolis của M
r
ωe : vận tốc góc trong chuyển

r

ωe
α

động kéo theo của hệ động 1
đối với hệ cố định 2.

r
r
tiến
⇒ ωe = 0 ⇔ hệ động 1 tịnh tiến.
r r
r
⎧ acM ⊥ mp (ωe , vrM )
⎪
rM
⎨ Chiều ac : RHR
⎪ ar M = 2ω .v M . sin α

e r
⎩ c

M

⊕

r
vrM

r
acM
Hình 4.4

r r
⎧ωe = 0 : hệ động 1 tịnh tiến.
r
rM r
⎪r
ac = 0 thì: ⇔ ⎨vrM = 0 : điểm M đứng yên trong hệ 1.
r rM
⎪ω
// v
⎩ e r
2.2. Chuyển động song phẳng của vật rắn.
1. Định nghĩa:
™Chuyển động của vật rắn được gọi là chuyển động song phẳng nếu trong
quá trình chuyển động của vật mỗi điểm thuộc vật chỉ chuyển động trong
một mặt phẳng song song với mặt phẳng quy chiếu cố định (π) đã chọn
trước. (hình 4.5)

(V)
(S)
(P) là mặt phẳng chuyển động
M
của điểm M: (P) // (π).
)
P
(Q) là mặt phẳng chuyển
N
hM
động của điểm N: (Q) // (π).
Q
hN
⇒ (Q) // (P).

⎧hM = const
, ∀(M , N ) ∈ (V )
⎨
⎩ hN = const

π
Hình 4.5

15


8/17/2010

2. Mô hình khảo sát.
• Gọi (S) = P ∩ (V) là tiết diện giao giữa (P) và (V). Chọn (S) làm mô hình

khảo sát chuyển động (hình 4.6).
• Do tiết diện (S) chỉ chuyển động trong mặt phẳng (P) chứa nó nên tiết diện
(S) chuyển động trong không gian 2 chiều. Lúc này ta chọn lại mô hình
khảo sát là 1 hệ gồm 2 điểm A, B tùy ý được nối cứng thuộc tiết diện (S).
Đ
Đoạn
thẳ AB chỉ
thẳng
hỉ chuyển
h ể động
độ trong
t
mặt
ặt phẳng
hẳ (P).
(P)
y1
• Dựng hệ trục tọa độ
S
vuông góc cố định Oxy y
y
trong mặt phẳng (P) để
2
khảo sát chuyển động của
x2
B
đoạn thẳng AB.

( )

- Xem
X lại
l i thí dụ
d 1 chương
h
3
3.
- DofVR = 3 ⇒ có 3 tọa độ
suy rộng.

⎧ xA = xA (t )
⎪
⎨ y A = y A (t )
⎪ ϕ = ϕ (t )
⎩

ϕ

yA

x1

A

O
Hình 4.6

xA

x

3. Phân tích chuyển động song phẳng.
• Để phân tích được chuyển động song phẳng ta cần dựng thêm 2 hệ trục tọa
độ vuông góc cùng chuyển động với điểm M như sau:

⎧ Ax // Ox
Ax1y1 : ⎨ 1
và Ax2 y2 : Ax2 ⊃ AB
⎩ Ay1 // Oy
⇒ Hệ Ax1y1 chuyển
ể động tịnh tiến
ế đối
ố với hệ trục cốố định Oxy.
• Chuyển động song phẳng của mô hình AB cũng chính là chuyển động
song phẳng của hệ trục động Ax2y2. Vì hệ trục 2 gắn liền với đoạn thẳng
AB sẽ được phân tích là hợp của 2 chuyển động đồng thời:
o Chuyển động kéo theo là chuyển động tịnh tiến của hệ động 1 đối với hệ
trục cố định Oxy ⇒

r
r r r
⇒ ωe = 0 ⇒ acM = 0

o Chuyển động tương đối là chuyển động quay của hệ động 2 quanh tâm A
đối với hệ động 1 với ω = φ̇ .
4. Khảo sát chuyển động của 1 điểm M thuộc tiết diện (S).
Khảo sát chuyển động của M ∈ (S). Ta cần xác định vận tốc tuyệt đối và gia
tốc tuyệt đối cho điểm này.

16

8/17/2010

a). Bài toán vận tốc.
Có 2 cách xác định vận tốc tuyệt đối của điểm M:
a.1) Cách 1: (hình 4.7).
• Chọn một điểm đã biết vận tốc thuộc tiết diện (S) làm điểm cực A.
• Sử dụng định lý hợp vận tốc.

r
r
r
∗ vaM = veM + vrM
rM rM* r A
(Vì A , M* cùng nằm trên hệ trục Ax1y1 tịnh tiến.
Với ve ≡ va = va
(M* là 1 điểm cố định trong hệ trục động Ax1y1 đang trùng với điểm M thuộc
hệ trục động Ax2y2).

r
r
r
∗ vrM = vMA :
vMA
ω
r
⎧ vMA ⊥ AM
r
⎪

⎨ Chiều vMA : quay quanh A theo chiều ω
⎪ vr = AM.ω
⎩ MA
A
r
r r
Vậy: vaM = vaA + vMA

r
vaM

r
vaA

M

r
vaA
Hình 4.7

a.2) Cách 2:
• Ở mỗi thời điểm khảo sát luôn tồn tại 1 điểm thuộc tiết diện (S) có vận
tốc tuyệt đối bằng 0. Điểm ấy được gọi là tâm vận tốc tức thời của tiết
diện (S) tại thời điểm khảo sát.
• Ký hiệu tâm vận tốc tức thời là P.
• Nếu chọn P là điểm cực thay thế cho điểm cực A thì vận tốc tuyệt đối của
điểm
ể M sẽ được xác định đơn giản hơn như sau:

r

r r
r
vaM = vaP + vMP = vMP
r
⎧ vaM ⊥ PM
⎪
r
⇒ ⎨ Chiều vaM : quay quanh P theo ω.
⎪ vr M = PM .ω
⎩ a

• Nếu chọn tâm vận tốc tức thời P làm cực để dựng 2 hệ trục tọa độ 1 và 2
thì chuyển động song phẳng của mô hình AB sẽ được phân tích gồm chỉ
có 1 chuyển động duy nhất là quay quanh tâm vận tốc tức thời P.
9 Chú ý rằng: tâm quay tức thời P của chuyển động song phẳng liên tục
thay đổi vị trí theo thời gian.

17


8/17/2010

• Xác định vị trí của P tại thời điểm khảo sát.
o Trường hợp 1: Khi vật rắn lăn không trượt trên bề mặt cố định. Đây là 1
trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng, tâm vận tốc tức thời P là
1 điểm thuộc vật vắn đang trùng với bề mặt cố định. (hình 4.8).

ω
r
vaL

(S )

K

L

r
vaK

P
Hình 4.8

o Trường hợp 2: Khi chúng ta biết được phương vận tốc của 2 điểm trên vật.
vật

r
vaA

B

r
vaB

A
Hình 4.9

P

o Trường hợp 3: Biết được phương, vận tốc của 2 điểm AB và 2 phương này

song song với nhau. (hình 4.10)

B
A

r r
vaB // vaA

r r
vaB // vaA

B

r
vaA

P

P→∞

r
vaA

A
b))

a))
Hình 4.10

Khi P→∞ thì vật tịnh tiến tức thời, ta có:

ω = 0 (s −1 )
ε ≠ 0 ( s −2 )
r
r
r
r
vaB = vaA ; aaA ≠ aaB

18


8/17/2010

b). Bài toán gia tốc. (hình 4.11).
• Chọn 1 điểm trên tiết diện (S) đã biết gia tốc làm điểm cực A:
• Áp dụng định lý hợp gia tốc:

r
r
r
⎧ aeM ≡ aeM* = aaA
⎪ r M r MA r MA r MA
Với: ⎨ar = a = aτ + an
r rM r
⎪ rM
=
ω
a
2

(
e ∧ vr ) = 0
⎩r c r
r MA r MA
M
A
Vậy: aa = aa + ( aτ + an )

r
r
r
r
aaM = aeM + arM + acM

ε

r
aaA

M

r
aτMA

ω

⎧ ar MA ⊥ AM
⎪⎪ τ r τ
Với: ⎨Chiều aMA : q
quayy q

quanh A theo chiều
ε
r MA
a
⎪ r MA
n
⎪⎩ aτ = AM.ε
uuur
⎧⎪ arnMA ↑↑ MA : (hướng tâm A)
A
⎨ r MA
2
a
=
AM
ω
.
⎪⎩ n

r
aaA

r
aaM

r
a MA

Hình 4.11

2.3. Động học hệ nhiều bánh răng.
1. Hệ nhiều bánh răng thường.
a). Định nghĩa:
™ Hệ nhiều bánh răng thường là hệ nhiều vật rắn có dạng đĩa tròn tiếp xúc
lăn không trượt với nhau và chúng quay quanh các tâm quay cố định trùng
với các tâm đường tròn. Các đĩa tròn này được gọi là các bánh răng.
Bậc tự do của hệ nhiều bánh răng thường:
Dofhệ = + 1 > 0 (chứng tỏ hệ có khả năng chuyển động ).

b). Động học hệ nhiều bánh răng thường(hình 4.12).
• Gọi rk, ωk là bán
ω2
kính và vận tốc
ω3
①
ω4
góc của bánh
r
3
r
O
răng
ă thứ
hứ k trong
2
3
r1 O1
hệ. ωk được xem
O2
O4

là dương nếu
③
bánh răng thứ k
ω1
quay cùng chiều
②
(+) đã chọn.

n

r4 L rn On
④

ωn

Hình 4.12

19


8/17/2010

™ Định nghĩa tỷ số truyền:
o Tỷ số truyền từ bánh răng thứ j đến bánh răng thứ k trong hệ như sau:

i jk =

ωj

ωk

o Nếu tỷ số truyền ijk > 0 thì bánh răng thứ j và k quay cùng chiều.
o Nếu ijk < 0 thì bánh răng thứ j và k quay ngược chiều.
o Nếu⏐ijk⏐> 1 thi
thì bánh răng thứ j quay nhanh hơn bánh răng thứ k.
k Lúc này
bộ truyền sẽ giảm tốc tứ bánh răng thứ j đến bánh răng thứ k.
o Nếu⏐ijk⏐=1 thì bộ truyền sẽ đẳng tốc từ bánh răng thứ j Æ k.
o Nếu ⏐ijk⏐<1 thì bộ truyền sẽ tăng tốc từ bánh răng thứ j Æ k.
• Do các bánh răng lăn không trượt đối với nhau nên ta có kết quả như sau:
Tỷ số truyền từ bánh răng thứ j đến bánh răng thứ k: i jk

=

ωj
ωk

= ( −1) .
m

rj

rk

Với m là số lần tiếp xúc ngoài, tính từ bánh răng thứ j đến bánh răng thứ k.
ƒ Thí dụ:

i14 =

ω1
r

2 r
= (− 1) . 4 = + 4 > 0
ω4
r1
r1

hoặc:

i41 =

ω4
r
2 r
= (− 1) . 1 = + 1 > 0
ω1
r4
r4

2. Hệ bánh răng hành tinh và vi sai.
a). Định nghĩa:
™ Là một hệ nhiều vật rắn có dạng các đĩa tròn lăn không trượt với nhau
sao cho tối thiểu có 1 đĩa tròn có tâm quay chuyển động. Vật rắn mang
tâm quay của các bánh răng chuyển động được gọi là cần và cần sẽ có
chuyển động quay xung quanh tâm O1 cố định. Bánh răng có cùng tâm
quay cô
cố định với cần được gọi là bánh răng trung tâm 1.
1 Cần và bánh
răng trung tâm 1 có dạng chuyển động cơ bản : quay quanh tâm quay cố
định O1. Hai chuyển động quay của 2 vật rắn này hoàn toàn độc lập với
nhau. Các bánh răng còn lại sẽ có dạng chuyển động song phẳng. (hình

4.13).
①

ω1

ε1

③

O1

ωc

O2

εc
cần

O3
②

Hình 4.13

20


8/17/2010

• Nếu bánh răng trung tâm 1 được giữ cố định thì hệ được gọi là hệ bánh răng
hành tinh. Bậc tự do của hệ bánh răng hành tinh = +1. Dofht = +1

• Nếu cần được giữ cố định thì hệ bánh răng sẽ trở thành hệ bánh răng thường.
• Nếu bánh răng trung tâm 1 có chuyển động quay quanh tâm quay O1 cố định
độc lập với chuyển động quay của cần thì hệ se được gọi là hệ bánh răng vi
sai. DofVS = +2
3. Động học hệ bánh răng hành tinh và vi sai.
• Để có thể sử dụng được công thức tính động học của hệ bánh răng thường ta
cần phải chọn 1 hệ qui chiếu mới sao cho đối với hệ qui chiếu mới này tất
cả các tâm của các bánh răng trong hệ đều cố định. Ta chọn cần làm hệ qui
chiếu mới, lúc này vận tốc góc tương đối của bánh răng thứ k đối với cần sẽ
r
được tính như sau:

ωk = ωk − ωc

• Tỷ số truyền tương đối của bánh răng thứ j đối với bánh răng thứ k.

ω jr ω j − ωc
m r
i = r =
= (−1) . k
ωk ωk − ωc
rj
r
jk

m r
⇔ ω j − ωc = (− 1) . k .(ωk − ωc )
rj

¾ Đây là công thức Willis cho bài toán vận tốc.

¾ Công thức Willis cho bài toán gia tốc:
Đạo hàm 2 vế của công thức Willis cho bài toán vận tốc theo thời gian ta sẽ
được công thức Willis cho bài toán gia tốc :
m rk
⇔ ε j − ε c = (− 1) . .(ε k − ε c )
rj

9 Ghi chú:

ọ
Chọn:

⎧ωc > 0
⎨
⎩ε c > 0

21


8/17/2010

22