Bài giảng động lực học công trình trần ngọc nhuần

TRƯỜNG ðẠI HỌC NHA TRANG
KHOA XÂY DỰNG

GVC. ThS. Trần Ngọc Nhuần

NHA TRANG THÁNG 8 NĂM 20014

1


Mục lục
Nội dung
Mở ñầu
1. Nhiệm vụ cơ bản của bài toán ñộng lực học công trình;
2. Các dạng tải trọng tác dụng lên công trình;
3. Các dạng dao ñộng;
4. Bậc tự do của hệ dao ñộng;
5. Phương pháp tính.
Chương 1: Dao ñộng của hệ có một bậc tự do
1.1. Xây dựng phương trình vi phân dao ñộng tổng quát hệ một bậc tự do;
1.2. Dao ñộng của hệ không xét ñến lực cản;
1.3 Dao ñộng cưỡng bức không cản chịu lực kích thích ñiều hòa;
1.4. Dao ñộng cưỡng bức khi hệ chịu tác ñộng của xung tức thời;
1.5. Dao ñộng tự do chịu tác dụng của tải trọng ngắn hạn.
Chương 2: Dao ñộng của hệ hữu hạn bậc tự do
2.1. Khái niệm về ma trận cứng và ma trận mềm;
2.2. Xây dựng phương trình vi phân dao ñộng tổng quát;
2.3. Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ khi không tính ñến lực cản;
2.4. Xác ñịnh dạng dao ñộng riêng;
2.5. Tính chất trực giao của các dạng dao ñộng riêng;
2.6. Chuẩn hóa các dạng dao ñộng riêng;

2.7. Cách sử dụng tính ñối xứng của hệ dao ñộng;
2.8. Dao ñộng tự do của hệ hữu hạn bậc tự do;
2.9. Dao ñộng hệ hữu hạn bậc tự do chịu tác dụng xung;
2.10. Tính dao ñộng cưỡng bức của hệ hữu hạn bậc tự do theo phương pháp khai triển
tải trọng theo các dạng riêng;
2.11. Lực tương ứng với trạng thái ñộng và ma trận mềm ñộng học.
Chương 3: Dao ñộng của thanh thẳng có bậc tự do bằng vô cùng
3.1. Dao ñộng dọc của thanh thẳng;
3.2 Phương trình vi phân tổng quát dao ñộng ngang của thanh thẳng;
3.3. Dao ñộng riêng theo phương ngang của thanh chịu uốn;
3.4. Dao ñộng cưỡng bức của thanh chịu uốn chịu lực kích thích bất kỳ;
3.5. Dao ñộng của thanh chịu uốn có khối lượng phân bố ñều, tiết diện không ñổi;
3.6. Dao ñộng của thanh thẳng chịu uốn có khối lượng phân bố ñều, tiết diện không
ñổi mang khối lượng tập trung.

Trang
3
3
3
4
5
6
6
8
13
15
17
29
29
30

32
33
38
39
41
48
51
54
61
65
65
69
70
73
74
83

Chương 4: Các phương pháp tính gần ñúng
4.1. Phương pháp năng lượng Rayleigh ñể xác ñịnh tần số dao ñộng riêng;
4.2. Phương pháp năng lượng Lagrange – Ritz;
4.3. Phương pháp Bupvôv – Galoockin;
4.4. Phương pháp thay thế khối lượng;
4.5. Phương pháp quy ñổi về hệ có một khối lượng ñể xác ñịnh tần số dao ñộng cơ bản của
dao ñộng riêng;
4.6. Phương pháp giải ñúng dần xác ñịnh tần số dao ñộng riêng;
4.7. Phương pháp sai phân;
4.8. Các công thức ước ñịnh tần số dao ñộng riêng.

99
102

105

Chương 5: Dao ñộng của hệ thanh thẳng
5.1. Cách tính dao ñộng của hệ khung phẳng;
5.2. Cách tính dao ñộng của dầm liên tục;
5.3. Cách tính dao ñộng của hệ dàn;
5.4. Cách tính dao ñộng của vòm.

107
107
114
119
125

85
85
87
91
95
96

2


MỞ ðÀU MÔN HOC
1. Nhiệm vụ cơ bản của bài toán ñộng lực học công trình:
Ở môn học Cơ học kết cấu, ta ñã ñi nghiên cứu các phương pháp tính toán công trình chịu
tác dụng của tải trọng tĩnh. Tuy nhiên trong thực tế phần lớn các công trình xây dựng ñều chịu tác
dụng của ñộng lực tải trọng ñộng.
Khái niệm về ñộng lực học là khái niệm gắn liền với khái niệm về lực thay ñổi theo thời

gian, nghiên cứu ñộng lực học công trình là nghiên cứu công trình chịu tác dụng của tải trọng
thay ñổi theo thời gian.
Nhiệm vụ cơ bản của bài toán ñộng lực học công trình là xác ñịnh chuyển vị và nội lực
trong kết cấu công trình khi công trình chịu tác dụng của tải trọng thay ñổi theo thời gian. Trên cơ
sở ñó, sẽ xác ñịnh ñược các biến dạng và ứng suất cực ñại ñể tính toán kiểm tra các công trình
thực, ñồng thời lựa chọn ñược kích thước kết cấu hợp lý ñảm bảo biến dạng và ứng suất nhỏ ñể
thiết kế các công trình mới tránh ñược các hiện tượng cộng hưởng.
2. Các dạng tải trọng tác ñộng lên công trình:
Ta có các tên gọi sau:
•

Tải trọng có chu kỳ.

•

Tải trọng không có chu kỳ (ngắn hạn, dài hạn).

•

Tải trọng có trị số không thay ñổi di ñộng trên công trình P(z).

•

Tải trọng có vị trí thay ñổi, trị số thay ñổi theo thời gian P(z,t),(ðoàn xe chạy trên cầu).

•

Tải trọng gió tác dụng lên công trình.

•

Lực ñịa chấn xuất hiện khi ñộng ñất.

•

Tải trọng do va chạm.

•

Tải trọng tương ñương.

ρ

m

P0 = m.θ 2.ρ

ϕ=θt

Py = Posinθt
Px = Pocosθt

Hình M.1: Tải trọng phát sinh khi trọng tâm không nằm trên trục quay.
3


3. Các dạng dao ñộng:
*

Phân theo số bậc tự do của hệ dao ñộng:

-

Dao ñộng hệ có một bậc tự do;

-

Dao ñộng của hệ hữu hạn bậc tự do;

-

Dao ñộng của hệ vô số bậc tự do.

* Phân theo tính chất và nguyên nhân gây ra dao ñộng:
- Dao ñộng tự do: Là dao ñộng sinh ra do chuyển vị và tốc ñộ ban ñầu (không có tải trọng
ñộng duy trì trên hệ).
- Dao ñộng cưỡng bức: Là dao ñộng sinh ra do các tải trọng ñộng và các tác dụng ñộng bên
ngoài khác.
* Phân theo sự tồn tại của lực:
- Dao ñộng không tắt dần: Là dao ñộng bỏ qua ảnh hưởng của lực cản.
- Dao ñộng tắt dần (có xét ñến lực cản).
* Phân theo kích thước và cấu tạo của hệ:
- Dao ñộng của hệ thanh (dầm, dàn, vòm, khung, …);
- Dao ñộng của tấm;
- Dao ñộng của vỏ;
- Dao ñộng của các khối móng;
- Dao ñộng của hệ treo;
- Dao ñộng của các kết cấu công trình ñặc biệt v.v…
* Phân theo dạng phương trình vi phân mô tả chuyển ñộng:
- Dao ñộng tuyến tính;

- Dao ñộng phi tuyến.
4. Bậc tự do của hệ dao ñộng:
Số lượng tối thiểu các thông số hình học ñộc lập biểu thị chuyển vị của mọi khối lượng
trên hệ gọi là bậc tự do.
Số bậc tự do của hệ phụ thuộc sơ ñồ tính ñược chọn cho công trình thực tế khi tính hệ dao
ñộng công trình.
-

Những ñiều cần chú ý:

•

Giả thiết các thanh của hệ là không trọng lượng, trên hệ chỉ ñặt các khối lượng tập trung
dưới dạng chất ñiểm.

•

Nếu kể ñến biến dạng uốn và biến dạng dọc trục trong thanh thì vị trí của khối lượng M
ñược xác ñịnh bằng chuyển vị y1(t) và y2(t). Hệ có bậc tự do là 2 (n=2) (hình M.2a)

•

Nếu chỉ kể biến dạng uốn thì chuyển vị của M ñược biểu diễn bằng chuyển vị thẳng ñứng
y1(t). Hệ có bậc tự do bằng 1 (hình M.2b).

•

Hình M.2c có 3 bậc tự do.
4

y2(t)

y2(t)

M

M

M

y(t)

y1(t)
(a)

(b)

y1(t)

ϕ

(c)

Hình M.2. Mô tả bậc tự do
Chỉ xét ñến biến dạng uốn của thanh.Do vậy bậc tự do của hệ ñược xác ñịnh bằng số
lượng tối thiểu các liên kết thanh cần ñặt thêm vào ñể ngăn cản tất cả các chuyển vị của các khối
lượng tập trung trên hệ.
y
z

m1

m2

m3

(a)

(b)

Hình M.3: Cách xác ñịnh số bậc tự do:
(a): n = 3; (b): n = 6

•

Khi nghiên cứu dao ñộng của thanh, nếu xét ñến trọng lượng bản thân của kết cấu, nghĩa
là xem hệ có mang khối lượng phân bố thì hệ có bậc tự do bằng vô cùng. Lúc này hàm
chuyển vị của thanh là: y = y(z, t)

•

Nếu chia thanh có khối lượng phân bố thành nhiều ñoạn rồi tập trung khối lượng trên từng
ñoạn chia vào một ñiểm nào ñó trọng ñoạn chia, ta sẽ có sơ ñồ tính toán thay thế. Hệ dao
ñộng lúc này xem như dao ñộng của hệ có số bậc tự do hữu hạn.

5. Phương pháp tính:
a) Phương pháp tĩnh: Xây dựng theo nguyên tắc cân bằng tĩnh học. Áp dụng nguyên lý
D’Alembert.
* Hệ phẳng ta có 3 phương trình cân bằng,
* Hệ không gian ta có 6 phương trình cân bằng.

b) Phương pháp năng lượng (Hamintơn):
Xây dựng trên cơ sở nguyên lý bảo toàn năng lượng: Tổng ñộng năng T của các khối
lượng trên hệ và thế năng U của hệ là một ñại lượng không ñổi. Ta có:
T + U = const;

hoặc:

δTi + δUi = 0

5


CHƯƠNG 1:

DAO ðỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.1. Xây dựng phương trình vi phân dao ñộng tổng quát hệ một bậc tự do:
1.1.1. Các lực tác ñộng và các tham số cơ bản của hệ ñộng học:
Xét một mô hình ñơn giản cho trên (hình 1.1). Hệ gồm có một khối lượng M chịu tác
dụng của tải trọng ñộng thay ñổi thay ñổi theo thời gian P(t). Hệ ñược gắn với vật bất ñộng bằng
lò xo ñàn hồi không trọng lượng với ñộ cứng K, một bộ giảm chấn C biểu thị sự tiêu hao năng
lượng trong quá trình dao ñộng. Các con lăn ñảm bảo cho khối lượng chỉ có thể chuyển vị tịnh
tiến theo phương ngang.
Trong quá trình dao ñộng, hệ chịu tác ñộng của các lực:
-

Tải trọng ñộng thay ñổi theo thời gian và các kích ñộng bên ngoài.

-

Lực ñàn hồi. Lực này xuất hiện khi hệ tách khỏi vị trí cân bằng và có xu hướng ñưa hệ trở
về vị trí cân bằng ban ñầu. Dạng dao ñộng tuyến tính, lực ñàn hồi ñược xác ñịnh:
Pñ = P(y) = K.y

(1.1)

y – chuyển vị ñộng của hệ tại kối lượng M, K – hệ số ñộ cứng, là lực do chuyển vị bằng
ñơn vị gây ra tương ứng với phương của bậc tự do.
- Lực ma sát (lực cản): Lực này ngược chiều với chiều chuyển ñộng và có khả năng khử
dao ñộng của hệ và ñược gọi là lực cản hay lực tắt dần. Ta xét lực cản với mô hình cản nhớt
tuyến tính, lực cản này tỷ lệ với vận tốc dao ñộng của hệ:
Pc = C . y&

(1.2)

C – hệ số tắt dần (hệ số cản nhớt), y& - vận tốc dao ñộng của hệ.
y

y

K
M

P(t)

Pñ(t)
Pc(t)

P(t)

C
(a)

(b)
Hình 1.1: Mô hình dao ñộng

1.1.2. Xây dựng phương trình vi phân dao ñộng:
Khảo sát dao ñộng của hệ ñơn giản một
khối lượng M tập trung trên dầm. Dầm ñược
xem là vật thể ñàn hồi không trọng lượng, khối
lượng M chịu tác dụng của tải trọng thay ñổi
theo thời gian P(t) (hình 1.2). Hệ có một bậc tự
do – chuyển vị theo phương thẳng ñứng y(t)
xác ñịnh vị trí M.
1.1.2.1.Phương pháp tĩnh:

P(t)
y(t)

Pq (t)
Pñ t)

Hình 1.2

Pc (t)

Các lực tác dụng lên khối lượng M:
P(t), Pñ(t), Pc(t), lực quán tính Pq = − M&y&( t )

(1.3)

6


Phương trình cân bằng lực viết cho khối lượng M:
Pd + Pc − Pq = P( t )

(1.4)

M&y& + Cy& + Ky = P( t )

(1.5)

Mặt khác ta có thể xây dựng phương trình vi phân dao ñộng (1.5) dưới dạng chuyển vị:
Gọi δ11 là chuyển vị tại khối lượng M do lực ñơn vị bằng 1 gây ra, lúc này chuyển vị
ñộng tương ứng với dao ñông của hệ sẽ là (nguyên lý cộng tác dụng):
y( t ) = δ 11 P( t ) + δ 11 Pq − δ 11 Pc

Thay

1

δ 11

1

δ 11

y( t ) + Pc − Pq = P( t )

= K , Pc, Pq vào phương trình trên ta sẽ nhận ñược ñẳng thức (1.5)

1.1.2.2. Phương pháp Hamintơn:
Ta xác ñịnh các biểu thức biến phân của ñộng năng, thế năng, công do lực cản và tải
trọng ñộng. Từ (hình 1.2) ta có:
1
My& 2
2

T=

δT =

∂T
δy& = M&y&δy&
∂y&

(a)

Thế năng của hệ ñược xác ñịnh bởi năng lượng biến dạng của lò xo:
U=

1 2
Ky
2

δU =

∂U
δy = Kyδy
∂y

(b)

Tải trọng ñộng và lực cản là các lực không bảo toàn của hệ, công của các lực này là:
R = P( t ). y − Cy& . y

δR = P( t )δy − Cy& δy

(c)

Nguyên lý Hamintơn ñược viết như sau:
t2

t2

t1

tq

∫ δ ( T − U )dt + ∫ δRdt = 0
t2

∫ [M&y&δy& − Cy&δy − Kyδy + P( t )δy ]dt = 0

(1.6)

t1
t2

∫ M&y&δy&dt = [M&y&δy ]

t2
t1

− ∫ M&y&δydt

t1

(1.7)

t1

δy& =

Với

t2

d ( δy )
dt

Rõ ràng số hạng ñầu tiên của (1.7) bằng 0, bởi vì biến phân bằng 0 tại các giới hạn của
tích phân t1 và t2. Thay (1.7) vào (1.6) ta thu ñược:
t2

∫ [− M&y& − Cy& − Ky + P( t )]δydt = 0

(1.8)

t1

7


Do δy là tùy ý, nên trong trường hợp tổng quát, phương trình (1.8) sẽ thỏa mãn khi biểu
thức trong dấu ngoặc bằng không. ðây chính là biểu thức mô tả dao ñộng tự do (1.5).
1.2. Dao ñộng tự do của hệ không xét ñến lực cản:
Dao ñộng tự do của hệ là dao ñộng ñược sinh ra bởi một kích ñộng bất kỳ tác ñộng trên
hệ rồi bị cắt ñi tức thời. Từ (1.5) ta có phương trình vi phân dao ñộng của hệ một bậc tự do:
M&y& + Ky = 0

(1.9)

ðể giải phương trình này, người ta sử dụng phép thế Euler với nghiệm:

y( t ) = Ce st

(MS
ðặt :

2

(1.10)

)

(1.11)

K
M

(1.12)

+ K De st = 0

ω2 =

( S 2 + ω 2 )De st = 0
e st ≠ 0 với t bất kỳ

Do

y( t ) = D1e

S2 + ω2 = 0,
S1 t

S = ± − ω 2 = ±ω i

+ D2 S2 t

(1.13)
(1.14)

y( t ) = D1e iω t + D2 −iω t

(1.15)

Viết dưới dạng lượng giác (sử dụng phương trình Euler) :

e ±iω t = cos ω t ± i sin ω t

(1.16)

Thế (1.16) vào (1.15) ta thu ñược:

y( t ) = ( D1 + D2 ) cos ω t + ( D1 − D2 ) i sin ω t

(1.17)

y&( t ) = −( D1 + D2 )ω sin sω t + ( D1 − D2 ) iω cos t

(1.18)

Sử dụng ñiều kiện ban ñầu, tại t = 0 ta có: y( 0 ) = y o ; y& ( 0 ) = vo
v
D1 + D2 = y o ; D1 − D2 = o
iω

(1.19)
(1.20)

Phương trình dao ñộng tự do của hệ một bậc tự do:
y( t ) = y o cos ω t +

ðặt

y o = A sin γ ;

vo

vo

ω

sin ω t

(1.21)

= A cos γ

(1.22)

y( t ) = A sin( ω t + γ )


v( t ) = y& ( t ) = Aω( ω t + γ )

(1.23)

ω

2

Với:

A=

ω yo
v 

y o2 +  o  ; γ = arctg
vo
ω

(1.24)
8


y o = A cos θ ;

Nếu ñặt:
Lúc này (1.21) có dạng:

= A sin θ

(1.25)

y( t ) = A cos( ω t − θ )

(1.26)

ω

θ = arctg( vo / ω y o )

Và
•

vo

(1.27)

Hệ chỉ chịu chuyển vị ban ñầu: y(0) = yo; v(0) = 0. (hình 1.3a)

Thay các giá trị này vào (1.24) và (1.27), ta có: A = yo và θ = 0. Phương tình dao ñộng:
y(t) = Acosωt = yocosωt
•

(1.28)

Hệ chịu tốc ñộ ban ñầu: v(0) = vo; y(0) = 0. (hình 1.3b)

Thay gía trị này vào(1.24) ta có γ = 0 ; A = vo / ω . Phương trình dao ñộng viết theo (1.23):
y( t ) =

vo

sin ω t

ω

(1.29)
y(t)= yocosωt

yo

y(t)

M

π/ω

t

O π/2ω

yo

2π/ω

(a)
y(t)= vo/ω cosωt

M

vo

v/ω

y(t)

3π/2ω

π/2ω

2π/ω

v/ω

O

(b)

y(t)

M

y(t)= Asin(ωt+γ)

O

A=

A

A

yo

vo

vo

t

A

y o2

v 
+ o 

ω

2

t
A

(c)
tm = θ / ω

T = 2π/ω

Hình 1.3: Dạng dao ñộng ứng với ñiều kiện ban ñầu

9


•

Hệ chịu cả chuyển vị và vận tốc ban ñầu yo, vo , (hình 1.3c).

•

Các dao ñộng ở (hình 1.3) là các dao ñộng ñộng ñiều hòa ñơn giản. ðại lượng ω ñược gọi
là tần số vòng của dao ñộng hay tần số tuần hoàn của dao ñộng riêng và gọi tắt là tần số
dao ñộng riêng.
T = 2π / ω (s).

Chu kỳ dao ñộng:

(1.30)

f = 1 / T = ω / 2π

Tần số dao ñộng:

(1.31)

Từ (1.12), ta có ñược các công thức xác ñịnh tần số dao ñộng riêng:

K
1
=
=
M
δ 11 M

ω=

g
yt

(1.31)

K: Hệ số ñộ cứng của hệ, g: gia tốc trọng trường, yt: chuyển vị của khối lượng M do lực
G = M.g tác dụng tĩnh tại vị trí khối lượng M gây ra.
•

Ta cũng có thể xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ ñàn hồi bất kỳ theo phương pháp
năng lượng. Trong quá trình dao ñộng tổng ñộng năng và thế năng của hệ là một ñại

lượng không ñổi:
ðộng năng của hệ: T =

1
1
2
M . y& 2 = M .ω 2 . y max
cos 2 ( ω t + γ )
2
2
Tmax = ω 2

(1.32)

1
2
M . y max
= ω 2 T max
2

2

Với :

y max = A =

Thế năng của hệ:

U=

y o2

1
v 
2
+  o  và T max = M . y max
ω
2
 

1
1
2
K . y 2 = K . y max
. sin 2 ( ω t + γ )
2
2
U max =

Dĩ nhiên:

1
2
K . y max
2

Tmax + 0 = Umax + 0,

ω 2 T max = U max

(1.33)

Tmax = Umax

⇒ ω=

U max
T max

,(1/ s )

(1.34)

Ví dụ 1.1: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng. Chu kỳ dao ñộng, tần số kỹ thuật của dầm ñơn
giản không trọng lượng, có nhịp l, mang khối lượng tập trung M = G/g ñặt cách gối tựa trái một
ñoạn l / 4 (hình 1.4). Cho biết G = 30 kN, l = 6 m. EJ = 2,1.104.8950 kNcm2
Xác ñịnh chuyển vị yt, biểu ñồ mômen uốn do lực G và biểu ñồ mômen uốn ở trạng thái
khả dĩ tương ứng với chuyển vị cần tìm.
yt = ( M G )( M k ) =

1
EJ

2 3l  3Gl 3
3 × 30 × 600 3
 1 3Gl
×
×
l
×

=
=
= 0 ,404 cm


3 16  256 EJ 256 × 2 ,1 × 104 × 8950
 2 16

ω=

g
981
=
= 49 ,277 ( 1 / s )
yt
0 ,404
10


T=

2π

ω

=

2π
= 0 ,1275 ( s )
49 ,277

3l / 4

l/4
y

Tần số dao ñộng:
f =

z

M

Chu kỳ dao ñộng:

3Gl / 16

G

1 ω
=
= 7 ,843 ( 1 / s )
T 2π

Tần số kỹ thuật:

MG

Pk = 1

y

z

3l / 16

60
60
n=
=
= 470 ,6
T 0 ,1275

z

vg / ph )
Mk
y

Hình 1.4
Ví dụ 1.2: Tìm tần số dao ñộng riêng thẳng ñứng của móng truyền áp lực trên ñất. Cho hợp lực
Q = 2000 kN. Diện tích ñế móng F = 10 m2, hệ số nền ñàn hồi của ñất K = 2,5 daN/cm3 (hình
1.5).

Áp lực tác dụng lên nền:

Q

Q 2000
q− =

= 200 kN / m 2
F
10

Chuyển vị của móng truyền:
yt =

q
2
=
= 0 ,8 cm
K 2 ,5

yt

Tần số dao ñộng riêng:

ω=

g
=
yt

Hình 1.5

981
= 35 ( 1 / s )
0 ,8

M1

Ví dụ 1.3: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ cho
như hình vẽ (hình 1.6), ñộ cứng của liên kết ñàn hồi là
K.
Hệ có 2 khối lượng nhưng bậc tự do là 1.
Chuyển vị tổng quát của hệ là góc xoay tại gối tựa bên
phải (B).

EJ = ∞
A K
l/2
l/2

ðặt vào gối tựa B một mômen ñơn vị Mk = 1.
Mômen này gây ra phản lực tại A là 1/l

B

1/Kl

δ11= α
1/l

1

B

Mk = 1

Chuyển vị thẳng theo phương thẳng ñứng tạ A

là 1/Kl, do vậy chuyển vị ñơn vị là:

δ 11 = α =

B

l/2

y/2

y

3y/2

M2

Hình 1.6

Kl 2

Mômen quán tính các khối lượng ñối với trục quay B:
2

2

1
 3l 
l
9


J M = M 1  + M 2   = l 2  M 1 + M 2 
4
2
2
4

11


1

ω=

J M δ 11

K

=

9
1
M1 + M2
4
4

=2

K
, (1/ s )
9M 1 + M 2

Xác ñinh bằng phương pháp năng lượng:
U max =

Thế năng tại vị trí liên kết ñàn hồi :

T max =

ω=

1 2
Ky
2

2
2
1 2
1   3y 
 y 
2
M
y
=
M
+
M

∑ k k max 2 1  2 
2  
2 k =1

 2  


U max
T max

=

K
9
1
M1 + M2
4
4

=2

K
9M 1 + M 2

Ví dụ 1.4: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ cho như hình vẽ (hình 1.7).
Cách 1:

Khối lượng M thực hiện chuyển ñộng quay tương
ñối quanh ñiểm A. Công thức xác ñịnh tần số dao ñộng:

ω=

EJ = ∞

h

3 EJ
M .l .h 2

B

EJ

C
JM

A

C: ðộ cứng ñàn hồi của hệ, trong trường hợp này là
phản lực mômen tương ứng gây ra do chuyển vị xoay bằng
ñơn vị:
C = 3EI / l;
J M = Mh 2

ω=

M

l
P=1
EI = ∞
EJ
h

(1/s)

Cách 2:
Xác ñịnh δ11. Bậc tự do tương ứng của hệ là
chuyển vị theo phương ngang của khối lượng. Ta xây dựng
trạng thái ñơn vị như hình vẽ (hình 1.7)
1
2
h 2l
δ 11 = ( M 1 )( M 1 ) =
×h×l × h =
ω=
2 EJ
3
3 EJ

ðặt vào khối lượng M lực
P = 1 ñơn vị theo phương chuyển
ñộng của khối lượng (hình 1.8b),
xác ñịnh chuyển vị ñơn vị:

Hình1.7

1
Mδ 11

=

3 EJ
Mh 2 l

P=1

M
EJ = const

M1

(a)
A

l

l

l

Ví dụ1. 5: Xác ñịnh tần số dao
ñộng riêng của hệ của hệ có một
khối lượng tập trung ñặt tại góc
khung tĩnh ñịnh (hình 1.8a), bỏ qua
khối lượng bản thân hệ.

h

(b)

l
Hình 1.8

12

δ 11 =

2
1
2  2l 3
1
 ×l ×l× l + ×l ×l × l =
3
2
3  3 EJ
2

1
EJ

Tần số dao ñộng riêng của hệ: ω =

1
Mδ 11

=

3 EJ
2 Ml 3

, (1/ s )

Ví dụ 1.6: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ của hệ có một khối lượng tập trung ñặt tại góc

khung tĩnh ñịnh (hình 1.9a), bỏ qua khối lượng bản thân hệ.
P=1
l/2
M
l/2

l/2

l

M1
EJ = const
(a)

(b)
l/4
Hình 1.9

l

ðây là hệ siêu tĩnh, ta cần xác ñịnh phản lực tại gối tựa liên kết ñơn, sau ñó vẽ biểu ñồ
mô men uốn ứng với lực P = 1 ñặt tại khối lượng M (hình 1.9b). Chuyển vị ñơn vị ñược xác ñịnh:

δ 11 = ( M 1 )( M 1 ) =

5l 3
1  l l 2 l l 2l 2 l l l 2 l 
+ × ×
+ × ×
 × ×

=
2 EJ  2 2 3 2 2 3 3 2 4 3 3 4  48 EJ

ω=

1
Mδ 11

=

48 EJ
5 Ml 3

, (1/ s )

1.3. Dao ñộng cưỡng bức không cản chịu lực kích thích ñiều hòa P( t ) = Pm sin θ t :
Phương trình vi phân dao ñộng tự do không xét ñến cản khi chịu tải trọng ñiều hòa:
M &y& + Ky = Pm sin θ t
(1.35)
Pm là biên ñộ dao ñộng và θ là tần số vòng của lực kích thích.

Nghiệm thuần nhất của phương trình trên biểu thị dao ñộng tự do có dạng:
ytn ( t ) = B cos ω t + C sin ω t

(1.36)

Nghiệm riêng biểu thị dao ñộng do kết quả tác ñộng của tải trọng. Có thể xem dao ñộng
ñiều hòa xảy ra do tải trọng ñiều hòa có pha cùng với pha của tải trọng:

y r ( t ) = D sin θ t

(1.37)

Thế (1.37) vào (1.35) ta thu ñược:
− Mθ 2 D sin θ t + KD sin θ t = Pm sin θ t
 θ 2  Pm
D 1 − 2  =
 ω  K

(1.38)
13


Biên ñộ dao ñộng:
D=

Pm
K

1
θ 
1− 
ω 

(1.39)

2

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.35):
y( t ) = y tn ( t ) + y r ( t ) = B cos ω t + C sin ω t +

Pm
K

1
θ 
1− 
ω 

2

sin θ t

(1.40)

Các giá trị B và C ñược xác ñịnh từ ñiều kiện ban ñầu: t = 0, y(0) = 0, y&( 0 ) = v( 0 ) = 0 :

θ
P
B = 0; C = − m ω 2
K
θ
1− 2
ω

(1.41)

Thay các hằng số này vào (1.40) ta thu ñược ñẳng thức:
y( t ) =

Pm
K

1

θ
1− 2
ω
2

θ


 sin θ t − sin ω t 
ω



(1.42)

Trong thực tế, mặt dầu lực cản rất bé nhưng chỉ sau một khoảng thời gian, dao ñộng tự
do trong hệ sẽ tắt dần. Hệ chuyển sang dao ñộng thuần cưỡng bức với chu kỳ và tần số của lực
kích thích, phương trình dao ñộng có dạng:
y( t ) =

Pm
K

1

θ2
1− 2
ω

sin θ t

(1.43)

Pm
= yT là chuyển vị tại khối lượng do biên ñộ Pm của tải trọng ñiều hòa tác dụng tĩnh gây ra
K
1
1
y( t ) = yT
sin θ t
(1.44)
y max = yT
2
y(t)
θ2
θ
1
−
1− 2
ω2

ω

t

Hình (1.10) mô tả dao ñộng cưỡng bức của hệ
chịu tải trọng ñiều hòa trong trường hợp tần số của lực
kích thích nhỏ hơn tần số dao ñộng riêng (θ < ω).
•

Hệ số ñộng theo thời gian K(t):

O

T = 2π
/θ

Hình 1.10

Là tỷ số giữa chuyển vị ñộng ứng với trạng thái chuyển ñộng của hệ với chuyển vị tĩnh
do biên ñộ của tải trọng ñộng tác dụng tĩnh gây ra:
K( t ) =

y( t ) sin θ t
=
yT
θ2
1− 2

(1.45)

ω

14

•

Hệ số ñộng: Kñ.

Là tỷ số giữa chuyển vị ñộng cực ñại của trạng thái chuyển ñộng với chuyển vị tĩnh do
biên ñộ của tải trọng ñộng tác dụng tĩnh gây ra:
Kñ =

Dĩ nhiên ta luôn có:

y max
=
yT

1

Kñ = K(t)max.

ðồ thị biểu diễn hệ số ñộng theo tỷ số
Qua ñồ thị ta thấy rằng:

(1.46)

θ2
1− 2
ω

(1.47)

θ
ñược mô tả trên hình (1.11).
ω

θ
θ
> 1 ⇒ K ñ < 0; 0 ≤ < 1 ⇒ K ñ ≥ 1
ω
ω

Khi θ ≈ ω , Kñ có sự biến ñổi nhanh, và θ = ω thì Kñ = ∞, lúc này hệ xuất hiện tượng
cộng hưởng, biên ñộ dao ñộng của hệ sẽ lớn vô cùng. Biên ñộ dao ñộng tăng lên không tức thời
mà có khoảng thời gian xác ñịnh (hình 1.12).
Kñ

Kñ

3,5π

10

θ =ω
5
1
O

θ /ω
1

2,5π

1,5π
1

2

3

0
5

t ωt
=
T 2π

4

π
2π
3π

10
Hình 1.11

Hình 1.12

Máy ñược thiết kế ñể làm việc trên miền cộng hưởng sẽ không gặp khó khăn gì nếu cho
máy tăng tốc nhanh qua miền cộng hưởng với thời gian ñủ nhanh ñể cho hiện tượng cộng hưởng
chưa kịp xảy ra. ðể tránh hiện tượng cộng hưởng, các công trình cần ñược thiết kế ñể ω và θ sai
kém nhau tối thiểu 25%.
Từ hệ số Kñ cho phép ta giải bài toán dao ñộng theo bài toán

tĩnh bình thường. Các chuyển vị ñộng, nội lực ñộng, ứng suất ñộng…
ñược xác ñịnh theo chuyển vị tĩnh, nội lực tĩnh, ứng suất tĩnh thông
qua hệ số Kñ.

P(t)

1.4. Dao ñộng cưỡng bức khi hệ chịu tác dụng của xung tức thời:
1.4.1. Phương trình dao ñộng tổng quát;
Khi tải trọng ñộng ngắn hạn tác dụng lên công trình mà thời
gian duy trì tải trọng không vượt quá 25% chu kỳ dao ñộng riêng của
kết cấu, thì tải trọng ngắn hạn ñó ñược gọi là tải trọng xung tức thời.

t

O
r
Hình 1.13

15


Khi hệ chịu tác dụng của xung tức thời, nghĩa là hệ không tồn tại sự có mặt của tải trọng
ñộng. Hệ dao ñộng ñược là do hệ ñã nhận ñược một vận tốc nào ñó mà tải trọng xung truyền cho
hệ. Vì vậy dạng dao ñộng này thuộc dạng dao ñộng tự do. Nếu xem rằng tại thời ñiểm xung tác
dụng chuyển vị tĩnh ban ñầu bằng không (y(0) = 0), vấn ñề còn lại là ta phải xác ñịnh vận tốc ban
ñầu v(0) bằng bao nhiêu trong trường hợp này.
Thời gian duy trì tải trọng rất ngắn, nên tác dụng của tải trọng lên hệ sẽ thay bằng tác
dụng xung S ñược xác ñịnh bằng diện tích biểu ñồ tải trọng theo thời gian (hình 1.13).
r

S = ∫ P( t )dt

(1.48)

0

P( t ) = M &y&( t ) = M

Theo quy luật Newton:

dv( t )
dt

(1.49)

Mdv(t) = P(t)dt
r

r

∫ Mdv( t ) = ∫ P( t )dt ,
0

Do:

hay

M v( r ) − M v( 0 ) = S

(1.50)

0

v( 0 ) =

v(r) = 0 nên:

S
M

(1.51)

Thay các ñiều kiện ban ñầu trên vào biểu thức (1.21) ta thu ñược phương trình dao ñộng
của hệ một bậc tự do chịu tác dụng của xung trong trường hợp không cản:
y( t ) =

S
sin ω t ;
Mω

y max =

S
Mω

(1.52)

Nếu xung tác dụng vào hệ tại thời ñiểm t = τ thì biểu thức (1.52) ñược viết thành:
y( t ) =

S
sin ω( t − τ )
Mω

(1.53)

1.4.2. Tải trọng tĩnh tương ñương:
Tải trọng tĩnh tương ñương (Ptñ) là tải trọng gây ra biến dạng bằng biến dạng cực ñại do
tải trọng ñộng gây ra. Chuyển vị cực ñại của hệ một bậc tự do ñược tính qua tải trọng tĩnh tương
ñương là:
y max = δ 11 × Ptñ =

Ptñ =

y max

δ 11

Ptñ
K

= K × y max

(1.54)
(1.55)

Sau khi xác ñịnh ñược tải trọng tĩnh tương ñương, bài toán ñược tính như bài toán tĩnh
chịu tác dụng của Ptñ.
Ptñ =

S 1
Sω
=
= Sω
Mω δ 11 Mω 2δ 11

Chúng ta lại thấy rằng: Pqt = − M &y&( t ) =

(1.56)

S
ω 2 sin ω t ⇒ Pqtmax = Sω
Mω

Ví dụ 1.7: Xác ñịnh mômen uốn lớn nhất trong dầm ñơn giản cho trên (hình 1.14a). Tải trọng
16


ñộng tác dụng lên khối lượng có quy luật thay ñổi theo thời gian cho trên (hình 1.14b). Cho
trước: E = 2 ,1.10 4 kN / cm 2 , J = 100 cm 4 , l = 2 ,5 m , M = 0 ,01 kNs 2 / cm , Pm = 50 kN , r = 0 ,05 s

-

Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ:

Chuyển vị ñơn vị: δ 11

P(t)

l3

=
48 EJ

EJ

M

l/2

l/2

- Tần số dao ñộng riêng:

ω=

1

=

Mδ 11

48 EJ
Ml 3

=

48.2 ,1.10 4 .10 2
2 ,5 3 .10 6 .10 −2

- Chu kỳ dao ñộng của hệ: T =

2π

ω

=

(a)

= 25 ,4 ( 1 / s )

P(t)

(b)

Pm

2 × 3 ,1416
= 0 ,247 s
25 ,4

t

0

r

r
0 ,05
=

= 0 ,202 < 25%
Hình 1.14
T 0 ,247
- Hệ chịu tác dụng của xung (hình 1.14). Xác ñịnh tải trọng tương ñương:

- Tính tỷ số:

Ptñ = S .ω =

Pm × r
50 × 0 ,05
×ω =
× 25 ,4 = 31,8 kN
2
2

Giá trị mômen uốn lớn nhất tai giữa nhịp:
M max =

Ptñ × l 31,8 × 2 ,5
=
= 15 ,9 kNm
4
4

1.5. . Dao ñộng tự do chịu tác dụng của tải trọng ngắn hạn:
r
> 25% . Khi chịu tác dụng của loại tải trọng này,
T
trạng thái ứng suất biến dạng lớn nhất của hệ sẽ ñạt ñược trong một khoảng thời gian rất ngắn, so

với trước khi lực tắt dần có thể hấp thụ ñược phần lớn năng lượng của quá trình dao ñộng. Vì thế,
khi tính hệ chịu tải trọng ngắn hạn sẽ không xét tới ảnh hưởng của lực cản.

Xét các tải trọng ñộng ngắn hạn với

1.5.1. Tải trọng ngắn hạn có dạng hình sin:
Xét dạng tải trọng ngắn hạn (hình 1.15). Nói chung
khi hệ chịu tải trọng ngắn hạn, dao ñộng của hệ sẽ ñược tính
ở hai giai ñoạn: giai ñoạn có sự duy trì tải trọng ñộng và
giai ñoạn hệ dao ñộng tự do không có sự tồn tại của tải
trọng ñộng bên ngoài.

Pm
K

1
1−

θ
ω2
2

θ


 sin θ t − sin ω t 
ω



P( t ) = Pm sin θ t

Pm

θ
t

O
r

- Xét khoảng giai ñoạn 1: 0 ≤ t ≤ r.
y( t ) =

P(t)

(1.57)

Hình 1.15

- Xét khoảng giai ñoạn 2 : t > r:
Ở giai ñoạn này, dao ñộng phụ thuộc vào chuyển vị y(r) và tốc ñộ v(r) ở cuối giai ñoạn
1. phương trình dao ñộng ñược viết tương tự (1.21):
17


y( t ) =

v( r )

ω

sin ω( t − r ) + y( r ) cos ω( t − r )

(1.58)

ðể xác ñịnh giá trị lớn nhất của chuyển vị theo thời gian, ta lấy ñạo hàm phương
trình(1.57) theo thời gian và cho bằng không:
dy( t ) Pm
=
dt
K

1

θ2
1− 2
ω

( θ cos θ t − θ cos ω t ) = 0

cos θ t = sosω t ⇒ θ t = 2π n ± ω t ; n = 0 , ± 1, 2 , 3 , ...

(1.59)

Chúng ta cần quan tâm ñến tải trọng tác dụng có tần số gần với tần số dao ñộng riêng
của hệ (θ → ω), như vậy ta chỉ cần lấy n = 1 ở biểu thức trên, ñổng thời tính với dấu âm, ta có:

θt =

2π

(1.60)

ω
1+
θ

Biên ñộ cực ñại của dao ñộng tìm ñược bằng phép thế biểu thức (1.60) vào (1.57). Kết
quả chỉ thỏa mãn khi θ t ≤ 1 tương ứng với trường hợp β =

θ
< 1.
ω

Khi β > 1 sự cực ñại của dao ñộng xảy ra ở khoảng 2 ứng với dao ñộng tự do. Chuyển vị
ban ñầu và tốc ñộ ban ñầu ở khoảng này ñược xác ñịnh bằng phương trình (1.57) và ñạo hàm
phương trình này với phép thế θ r = π.
y( r ) =

Pm
1
π
( 0 − β sin )
2
β
K 1− β

v( r ) =

Pm

1
K 1− β 2


π
 − 1 − cos
β






Biên ñộ dao ñộng tự do của giai ñoạn này ñược xác ñịnh theo (1.24):
2

A=

Pm

π
 v( r ) 
y2( r ) + 
× β  2 + 2 cos
 =
2
β
 ω 
K( 1 − β )






1/ 2

Hệ số ñộng lúc này sẽ bằng (khi β > 1 và r > t):
Kñ =

y max
2β
π
=
cos
yT
2β
1− β 2

(1.61)

1.5.2. Tải trọng ngắn hạn có dạng hình chữ nhật:
Xét dao ñộng của hệ trong trường hợp chịu tải trọng tăng ñột
biến, sau ñó giữ nguyên giá trị trong một thời gian ngắn r (hình 1.16).

P(t)
Pm

P(t) = Pm khi t ≤ r; P(t) = 0 khi t > r

-

Xét khoảng 1: t ≤ r, P(t) = Pm.

Nghiệm riêng của phương trình vi phân dao ñộng trong giai
ñoạn này chính là ñộ võng tĩnh:

t

O
r
Hình 1.16

18


yT =

Pm
K

Pm
( 1 − cos ω t )
(1.62)
K
Biểu thức (1.62) là phương trình dao ñộng của hệ ở khoảng ñầu. ðể xác ñịnh giá trị lớn
nhất của chuyển vị ta lấy ñạo hàm biểu thức (1.62) và cho bằng không:
P
y&( t ) = m ω sint = 0
K

T
T
ω t = nπ , và t = n , với n =1; t = ; vì ñang xét trong khoảng 1 nên t ≤ r do ñó ta có ñiều
2
2
r
kiện ñể cực trị xảy ra ở khoảng này là: ≥ 0 ,5 .
T
P
T
T

Ứng với t =
dễ thấy rằng y t =  = 2 m = 2 yT , nghĩa là hệ số ñộng trong trường
2
2
K

hợp này bằng 2.

Và do các ñiều kiện ban ñầu bằng không nên: y( t ) =

-

Xét trong khoảng 2: t < r, P(t) = 0:
Phương trình dao ñộng tự do tương tự như phần trên:
y( t ) = y( r ) cos ω( t − r ) +

v( r )

ω

sin ω( t − r )

(1.63)

Biên ñộ dao ñộng ñược xác ñịnh theo (1.24):
2

A=

P
 v( r ) 
y (r )+
 = m
K
 ω 
2

Kñ =

2

2  2π

P
2π 
 
sin 
.r  +  1 − cos

.r  = m
T 
K
 T  

y max
πr
= 2 sin
;
yT
T

với

2π 

2 1 − cos
r
T 


r
< 0 ,5
T

(1.64)

Như vậy hệ số ñộng thay ñổi theo quy luật sin phụ thuộc vào quan hệ

r

< 0 ,5 . Hệ số
T

ñộng tính theo công thức (1.64) ñược cho theo bảng 1.1.
Bảng 1.1: Giá trị hệ số ñộng với tải trọng ngắn hạn hình chữ nhật.
r/T

0

0,01

0,02

0,05

0,1

0,167

0,2

0,3

0,4

≥ 0,5

Kñ

0

0,052

0,126

0,313

0,618

1

1,175

1,617

1,902

2

1.5.3. Tải trọng ngắn hạn có dạng hình tam giác với biên ñộ giảm dần:
Xét dao ñộng của hệ khi chịu tác ñộng của tải trọng tăng ñột
biến sau ñó giảm tuyến tính ñến giá trị không trong thời gian ngắn r
(hình 1.17).
t

P( t ) = Pm  1 −  khi t ≤ r
r

P(t) = 0 khi t > r

- Xét khoảng 1: t ≤ r

P(t)
Pm
t

O
r
Hình 1.17

19


Nghiệm của phương trình vi phân dao ñộng của hệ:
P
t
yr ( t ) = m ( 1 − )
K
r

(1.65)

Nghiệm tổng quát chứa các hằng số ñược xác ñịnh từ ñiều kiện ban ñầu bằng không là:


Pm  sin ω t
t
− cos ω t − + 1 

K  ωr

r


y( t ) =

(1.66)

Tương tự như phần trên, thời ñiểm chuyển vị ñạt cực ñại:
t=

2 arctgω r

(1.67)

ω


arctgω r 
 1 −

(1.68)
ω r 


y
arctgω r 

(1.69)
Hệ số ñộng ñược xác ñịnh: K ñ = max = 2 1 −
ω r 

yT

ðiều kiện ñể xảy ra cực ñại trong khoảng ñầu là thời gian ñược tính theo biểu thức
r
(1.67) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng thời gian duy trì tải trọng r.
≥ 0 ,371 .
T
Chuyển vị ñạt cực ñai:

-

y max = 2

Pm
K

Xét trong khoảng 2: t > r:

Phương trình dao ñộng ñươc xác ñịnh tương tự như phần trước:
y( t ) = y( r ) cos ω( t − r ) +

y( r ) =

Trong ñó:

Pm
K

v( r )

ω

sin ω( t − r )

(1.70)

 sin ω r

P  cos ω r


− cos ω r ; v( r ) = m 
− ωr 
K  r

 ωr


Biên ñộ dao ñộng tự do trong giai ñoạn này ñược xác ñịnh theo (1.24):

P
A= m
K

( 1 − cos ω r )2 + ( ω R − sin ω r )2
ωr

(1.71)

( 1 − cos ω r ) 2 + ( ω r − sin ω r )2

y max
Kñ =
=
(1.72)
yT
ωr
r
ðiều kiện ñề xảy ra cực ñại trong khoảng này là < 0 ,371 . Từ các công thức (1.69) và
T
(1.72) ta lập ñược bảng tính hệ số ñộng (bảng 1.2):
Bảng 1.2: Hệ số ñộng ứng với tải trọng ngắn hạn dạng hình tam giác
r/T

0

0,1

0,2

0,3

0,371

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Kñ

0

0,31

0,602

0,853

1

1,051

1,107

1,31

1,392

1,453

r/T

0,9

1

1,25

1,5

1,75

2

2,5

3

5

∞

Kñ

1,506

1,552

1,63

1,689

1,73

1,763

1,809

1,839

1,908

2

20


Bảng 1.3: Các công thức dùng ñể tính hệ số ñộng và tải trọng tĩnh tương ñương

Dạng tải trọng ñộng

Ptd và Kñ

ωr
r
 < 0 ,5; K ñ = 2 sin
1) T
2
 Ptñ = Pm .K ñ = S .ω .ε

P(t)
Pm

t

O
r

ε=

khi t ≤ r
P
P( t ) =  m
 0 khi t > r
P(t)
Pm

2)

r
≥ 0 ,5; Ptñ = Pm .K ñ ; K ñ = 2
T

1)

r
< 0 ,371
T

t

Kñ = 1 −

O

2
ωr
sin
ωr
2

r

2 sin ω r 2( 1 − cos ω r )
+
ωr
ω 2r 2

2) r / T ≥ 0 ,371
 
t
 Pm  1 −  khi t ≤ r
P( t ) =  
r

0 khi t > r

 arctgω r 

K ñ = 2 1 −
ω r 


P(t)
Pm

t

O
r

Kñ = 1 −

t

P .
khi t ≤ r
P( t ) =  m r
 0 khi t > r

2 sin ω r 2( 1 − cos ω r )
+
ωr
ω 2r 2

P(t)
Pm
t
O

Kñ =

1
θ 
1−  

ω 

2

P(t) = Pmsinθ t

Ví dụ 1.8: Vẽ biểu ñồ momen uốn ñộng trong dầm (hình 1.18a) , tải trọng ñộng có quy luật (hình
1.18b). E = 2,1.104 kN/cm2, J = 470 cm2, l = 3 m, M = 0,01 kNs2/cm, Pm = 100 kN, r = 0,03 s.
Dễ dàng xác ñịnh ñược tần số dao ñộng riêng:
21


ω=

1
192EJ
=
= 83,77 ( 1 / s )
M δ 11
Ml 3

P(t)
(a)

T = 2π/ω = 0,075 (s)

l/2

r / T = 0,03 / 0,075 = 0,4

l/2

P(t)
Pm

Tra bảng 1.1 ta có Kñ = 1,902

(b)
r

O

Ptñ = Kd.Pm = 1,902 . 100 = 190,2 kN

Giá trị mômen uốn lớn nhất tại vị trí hai ñầu ngàm và
giữa nhịp:
M max =

M

t

Ptñ

71,325

Ptd .l 190,2 × 3
=
= 71,325 ( kNm )
8

8

71,325

(c)
71,325 kNm

Biểu ñồ mômen uốn ñộng ñược vẽ ở hình 1.18c.

Hình 1.18

1.6. Dao ñộng của hệ chịu tác dụng của tải trọng thay ñổi theo thời gian với quy luật bất
kỳ:
1.6.1. Dao ñộng của hệ:
Phương trình vi phân dao ñộng không cản chịu lực kích thích:

&&y + ω 2 y =

&& + Ky = P( t )
My

ytn = yo cosω t+

Nghiệm thuần nhất:

vo

ω

P( t )

M

(1.73)

sin ω t

Nghiệm riêng tìm ñược bằng cách sử dụng phương
trình dao ñộng của hệ chịu tác dụng của xung tức thời không
xét ñến lực cản (1.52). Tải trọng P(t)có dạng tổng quát với
quy luật bất kỳ (hình 1.19) có thể ñược thay bằng tổng các
xung phân tố vô cùng bé:
dS = P(τ).dτ

(1.74)
P(t)

P(τ)
t

O

τ

dτ
t-τ

Xem rằng tại thời ñiểm τ, hệ chịu tác dụng của xung
dS. ðộ võng do tác dụng của xung phân tố này gây ra:
dy( t ) = P( τ )dτ .y( t − τ ) =

P( τ )dτ
sin ω( t − τ )
Mω

(1.75)

t

Hình 1.19

ðộ võng toàn phần do tải trọng P(t) gây ra:
t

y( t ) =

1
P( τ )sin ω( t − τ )dτ
M ω ∫0

(1.76)

Tích phân này ñược gọi là tích phân Duamen. Nghiệm tổng quát sẽ là:
vo

t

1
y( t ) = yo cosω t+ sin ω t +
P( τ ) sin ω( t − τ )dτ
ω

M ω ∫0

(1.77)

1.6.2. Hệ số ñộng trong trường hợp tổng quát và biểu thức lực ñàn hồi:
22


Từ phương trình (1.76) ta có thể viết lại như sau:
t

t

1
y( t ) =
.ω P( τ ) sin ω( t − τ )dτ = δ 11 .ω ∫ P( τ ) sin ω( t − τ )dτ
M ω 2 ∫0
0

Nếu ta thay P(t) = Pm.f(τ), trong ñó f(τ) là quy luật thay ñổi theo thời gian của tải trọng
ñộng thì phương trình trên ñược viết lại:
t

t

0

0

y( t ) = δ 11 .Pm .ω ∫ f ( τ ) sin ω( t − τ )dτ = yT .ω ∫ f ( τ )sin ω( t − τ )dτ

(1.78)

Hệ số ñộng theo thời gian:
t

K( t ) =

y( t )
= ω ∫ f ( t ) sin ω( t − τ )dτ
yT
0

(1.79)

Hệ số ñộng Kñ :
 t

ymax
Kd =
= K( t )max =  ω .∫ f ( τ ) sin ω( t − τ ) 
yT
 0
max

(1.80)

1.6.3. Tải trọng tác dụng ñột ngột sau ñó giữ nguyên giá trị:
Trong thực tế khi công trình chịu
tác dụng của các sóng xung kích do các vụ

nổ hạt nhân có thời gian duy trì tải trọng r
lớn gấp 1,5 lần chu kỳ dao ñộng riêng của
kết cấu. Lúc này biểu ñồ tải trọng thay ñổi
theo quy luật hình tam giác (hình 1.20), có
thể bỏ qua thời gian giảm tải và tính theo
sơ ñồ (hình 1.21) bởi vì, trong trường hợp
này, biến dạng cực ñại của hệ xảy ra ngay
ở giai ñoạn ñầu khi tải trọng tác dụng:

Pm
O

P(t)

P(t)
Pm
t
r

∞
t

O

Hình 1.20

Hình 1.21

t

P
1
y( t ) =
Pm sin ω( t − τ )dτ = m 2 ( 1 − cosω t)=yT ( 1 − cosω t)
∫
Mω 0
Mω

Hệ số ñộng học theo thời gian ñược xác ñịnh theo (1.79) với f(τ) = 1
y( t )
1 − cosω t
K( t ) =
= ω ∫ 1.sin ω( t − τ )dτ = ω
= 1 − cosω t
yT
ω
0
t

Kñ = K(t)max = 2

(1.81)
(1.82)

1.6.3. Tải trọng tác dụng ñột ngột, sau ñó giữ nguyên giá trị trong một thời gian ngắn:
 P khi t ≤ r
P( t ) =  m
⇒
0 khi t > r

 1 khi t ≤ r
f (t )= 
0 khi t > r

* Xét trong khoảng 1: t ≤ r:

Hệ số ñộng học theo thời gian ñược xác ñịnh theo (1.79):

23


t

t

0

0

K 1 ( t ) = ω ∫ f ( t ) sin ω( t − τ )dτ = ω ∫ 1.sin ω( t − τ )dτ = 1 − cosω t

Phương trình dao ñộng của hệ trong giai ñoạn này :
y1 ( t ) = yT .K1 ( t ) =

Pm
( 1 − cosω t)
K

ðể tìm hệ số ñộng Kñ ta lấy ñạo hàm của K(t) và cho bằng 0:

& 1 ( t ) = ω sin ω t = 0 khi ωt = nπ
K
tmax = n

π
T
= n ; lần thứ nhất
ω
2

tmax =

T
≤r
2

T
r
≤r ⇒
≥ 0,5
2
T

Tại tmax =
Quan hệ

T
; &&
K1 ( t ) = ω 2 cosω t<0 ⇒ K1 ( t ) = K1 ( t )max
2

r
≥ 0,5 chính là ñiều kiện ñể cực ñại xảy ra ở khoảng 1, Kñ = K(t)max = 2
T

* Khoảng 2: t > r:

Khi tính tích phân hệ số K(t) từ không ñến thời ñiểm t ở giai ñoạn này, ta phân ra hai
tích phân: tích phân từ 0 ñến r tương ứng với hàm f(t) = 1, tích phân từ r ñến t tương ứng với hàm
f(t) = 0.
t

r

0

0

K 2 ( t ) = ω ∫ f ( τ ) sin ω( t − τ )dτ = ω ∫ 1.sin ω( t − τ )dτ + 0 =
K 2 ( t ) = cosω(t-r)-cosω t = 2 sin

ω .r

 r
sin ω  t − 
2
 2

π r T r &&
 r  nπ

, lần thứ nhất: t1 =
+ = + ; K2 ( t ) < 0
K 2 ( t ) = 0, khi ω  t −  =
2ω 2 4 2
 2 2
K d = K 2 ( t )max = 2 sin

ω .r

ω .r
T r r 
sin ω  + −  = 2 sin
2
2
 4 2 2

Phương trình dao ñộng của hệ trong giai ñoạn này là:
y2 ( t ) = yT .K 2 ( t ) = 2

Pm
ω .r
 r
sin
sin ω  t − 
K
2
 2

24

Bảng 1.4: Giá trị hệ số Kñ và hệ số ε với các dạng tải trọng:

25