Cao học - Bài tập/Bài giải động lực học công trình

Trờng đại học xây dựng
Khoa xây dựng dân dụng & công nghiệp

--------o0o--------

BàI TậP

động lực học công trình
Gvhd: Ts.nguyễn văn phợng
HọC VIÊN: NGUYễN ĐìNH TRUNG
LớP : CH08XD

Hà Nội, năm 2009.


động lực học công trình

Phần Lý THUYếT

Đề tài :Tổng quan về tính dao động của hệ khung phẳng.
Có nhiều phơng pháp tính dao động hệ kết cấu chịu tác dụng của tải trọng động
nhằm thực hiện đợc các nhiệm vụ của bài toán dao động:
ã Xác định quy luật chuyển động của các khối lợng trên hệ kết cấu để kiểm tra
điều kiện bền.
ã Xác định chuyển vị động trong hệ để kiểm tra điều kiện cứng.
ã Xác định tần số dao động riêng để kiểm tra khả năng xảy ra hiện tợng cộng
hởng.
Vậy nên việc giải quyết bài toán dao động là hết sức quan trọng và có ý nghĩa thực
tiễn.

Các phơng pháp tính về cơ bản có thể phân thành hai loại phơng pháp:

ã Phơng pháp tĩnh
ã Phơng pháp năng lợng.
Phơng pháp tĩnh đợc xây dựng theo các nguyên tắc cân bằng tĩnh học trong
đó cần bổ sung lực quán tính đặt tại các khối lợng trên hệ và đợc xác định trên cơ
sở nguyên lý D.Alembert.
Phơng pháp năng lợng đợc xây dựng trên cơ sở nguyên lý bảo toàn năng
lợng: Trong quá trình dao động, tổng động năng K của các khối lợng trên hệ và thế
năng U của hệ là một đại lợng không đổi. Trong vận dụng phơng pháp năng lợng
thờng đợc xây dựng tên cơ sở nguyên lý công khả dĩ.

Khung phẳng đợc xem nh hệ có cấu tạo từ hai loại phần tử dầm (phần
tử ngang và cột (phần tử đứng). Phần tử dầm chịu uốn là chính, còn cột chịu nén và

Nguyễn §×nh Trung –CHXD08

1


động lực học công trình

nén uốn (khi có tải ngang), liên kết giữa dầm và cột thờng ở dạng nút cứng. Trớc
đây ta đT nghiên cứu phơng pháp chính xác tính tần số dao động riêng của các phân
tử.
Phơng pháp chính xác: Khi xem khối lợng của các thanh phân bố theo
chiều dài thì dao dộng của hệ khung đợc tính toán nh dao động của hệ có bậc tự do
bằng vô cùng, đồng thời quá trình tính toán đợc thực hiện theo sơ đồ biến dạng của
hệ và có kể đến các dạng lực quán tính.
Việc áp dụng trực tiếp các nghiên cứu đó để tính hệ khung là rất phức tạp và
thực tế không áp dụng đối với hệ khung nhiều tầng của công trình thực tế. Vì vậy ta sẽ
nghiên cứu các phơng pháp đơn giản hơn để xác định các tần số cơ bản của khung,

kể cả những khung phức tạp. Ta sẽ xuất phát từ các phơng pháp tính khung chịu tải
trọng tĩnh trong CHHKC: phơng pháp lực & phơng pháp chuyển vị.
Khi hệ có số bậc tự do lớn hơn 3 bài toán tính dao động bằng phơng
pháp tính chính xác theo phơng trình vi phân của dao động sẽ trở nên công kềnh,
phức tạp. Do vậy với bài toán có số bậc tự do lớn hơn 3 ta sẽ sử dụng các phơng pháp
gần đúng mà kết quả không sai khác nhiều so với phơng pháp tính chính xác. Trong
phạm vi bài thu hoạch em xin trình bày một số phơng pháp gần đúng tính dao dộng
cho hệ thanh sau:
1. Phơng pháp năng lợng RayLeigh
2. Phơng pháp Sigalov.
3. Phơng pháp phần tử hữu hạn.
4. Phơng pháp sai phân hữu hạn.
5. Phơng pháp thay thế khối lợng.
Các phơng pháp này cho kết quả tơng đối chính xác đối với các tần số cơ bản i .
Xét dao động của hệ khung chịu lực kích thích thay đổi theo thời gian P(t).

Nguyễn Đình Trung CHXD08

2


động lực học công trình

Do thanh có khối lợng phân bố theo chiều dài thanh nên bài toán dao động cđa hƯ
khung cã sè bËc tù do b»ng v« cïng. Dùng phơng pháp thay thế khối lợng để đa
về bài toán tính dao động hệ khung có số bậc tự do hữu hạn.
Phơng pháp thay thế khối lợng: Thay thế khối lợng phân bố bằng một số khối
lợng tập trung. Chia thanh đó thành nhiều đoạn rồi thay thế khối lợng phân bố trên
đoạn đó bằng khối lợng tập trung theo một trong hai cách sau:
ã Tập trung khối lợng về trọng tâm khoảng chia.

ã Tập trung khối lợng về thành 2 khối lợng tập trung đặt ở 2 đầu đoạn chia.(
Hay dùng theo cách này vì một số khối lợng đợc đặt vào vị trí đặc biệt
không tham gia dao động làm giảm số bậc tự do của hệ.)
Việc sử dụng phơng pháp thay thế khối lợng cho kết quả sai khác với cách tính
chính xác 1%-2% khi xác định 1 (Tần số dao động cơ bản) và sai số tăng nhanh khi
xác định các tần số riêng bậc cao.
Khi tính dao động cỡng bức theo sơ đồ khối lợng thay thế nếu có tần số của lực
kích thich < (tần số dao động riêng của hệ) thì sai số khá nhỏ.
Nh vậy ta chấp nhận một sai số cho phép để đa bài toán tính dao ®éng cđa hƯ
khung cã bËc tù do n b»ng v« cùng về bài toán tính gần đúng dao động của hệ có số
bậc tự do hữu hạn.
Việc phân tích dao ®éng cđa hƯ cã bËc tù do b»ng n ®−ỵc đa về khảo sát dao động
của n hệ tơng đơng mỗi hệ có bậc tự do bằng 1.
Để tập trung vào việc trình bày các phơng pháp tính, em giải quyết bài toán tính dao
động riêng không cản.
a. Phơng pháp lực tính dao động hệ khung.
Ta có phơng trình tần số (2.9):

Nguyễn Đình Trung CHXD08

3


động lực học công trình

(m1 11 u i )
−

−

−

−

−

−

−

.....

m n δ 1n

(m 2 δ 22 − u i ) .....
.....
.....

m n δ 2n
.....

−

m1 δ 21
.....

−

−

m 2 δ 12
−

−

m1 δ n1

−

m 2 δ n2

−

=0

−

..... (m n δ nn − u i )

Trong đó:
ã mk : khối lợng tập trung trên hệ, k=1, 2,.., n
ã ki : Chuyển vị tại khối lợng mk do lực Z i = 1 tác dụng tĩnh tại vị trí của khối
lợng mi gây ra.


ã mk =

mk

; ki = ki
mo
o

là các hệ số không thứ nguyên; mo , o là các giá trị chọn bất kỳ.
ã ui =

1
mo . o . i2

Dùng phơng pháp lực để xác định các ki :
- Tại vị trí mi đặt lực Z i = 1 .


- Vẽ biểu đồ mômen uốn M i do Z i = 1 gây ra trong hệ bằng phơng pháp lực.
(Chọn hệ cơ bản bằng cách thay các liên kết siêu tĩnh bằng các lực X1, X2, Xj
với j là bậc siêu tĩnh của hệ.)
- Tại vị trí mk đặt lực Pk = 1 .


- Vẽ biểu đồ mômen uốn M k do K k = 1 g©y ra trong hệ bằng phơng pháp lực.
(Chọn hệ cơ bản bằng cách thay các liên kết siêu tĩnh bằng các lực X1, X2, Xj
với j là bậc siêu tĩnh của hệ.)

- Kết qu¶ δ ki =( M k ).( M i ).
Khai triển định thức (2.9) để giải phơng trình tìm ui để xác định i .

Nguyễn Đình Trung CHXD08

4


động lực học công trình

Đối với hệ có bậc tự do bằng n ta luôn tìm đợc n giá trị tần số dao động riêng. ứng
với mỗi tần số dao động riêng i có một dạng chính của dao động xác địhn bằng các
chuyển vị y1i , y 2i ...., y ni của các khối lợng.
Để xác định các chun vÞ y1i , y 2i ...., y ni cđa các khối lợng ta thay kết quả các giá trị
ui đT tìm đợc vào phơng trình (2.8)






(m1 11 u i ). y1i
−

−

−

−

−

−

−

.....

m n δ 1n . y ni = 0

(m 2 δ 22 − u i ). y 2i

.....

m n δ 2 n . y ni = 0

.....

.....

−

m1 δ 21 . y1i

−

m 2 δ 12 . y 2i

.....

−

−

−

m1 δ n1 . y1i

−

m 2 δ n 2 . y 2i

−

−

.....

..... (m n δ nn − u i ). y ni = 0

Ta có hệ n ẩn số là các chuyển vị, có (n-1) phơng trình ( vì một phơng trình phụ
thuộc). Cho nên phải chọn một giá trị ban đầu để xác định các chuyển vị còn lại.
b. Phơng pháp chuyển vị tính dao động hệ khung
Ta có phơng trình tần số (2.9):

(m1 11 u i )




.....









m n δ 1n

(m 2 δ 22 − u i ) .....

m n δ 2n

−

−

m1 δ n1

−

.....

−

m1 δ 21
−

−

m 2 δ 12
.....

−

m 2 δ n2

.....

−

=0

.....
−

..... (m n δ nn − u i )

Dùng phơng pháp chuyển vị để xác định các ki :
- Tại vị trí mi đặt lực Z i = 1 .

- Vẽ biểu đồ mômen uốn M i do Z i = 1 g©y ra trong hƯ bằng phơng pháp chuyển
vị. (Chọn hệ cơ bản bằng cách thêm vào hệ các liên kết phụ để ngăn cản
chuyển vị xoay, chuyển vị thẳng của các nút. )
- Tại vị trí mk đặt lực Pk = 1 .


- Vẽ biểu đồ mômen uốn M k do K k = 1 gây ra trong hệ bằng phơng pháp
Nguyễn Đình Trung –CHXD08

5


động lực học công trình




- Kết quả ki =( M k ).( M i ).
Khai triển định thức (2.9) để giải phơng trình tìm ui để xác định i .
Sau đó tiếp tục thực hiện các yêu cầu còn lại của bài toán nh đT trình bày ở phần a.
Nhận xét:
Việc khai triển định thức (2.9) và giải hệ phơng trình tìm tần số dao động riêng,
tìm các chuyển vị là phức tạp khi hệ có số bậc tự do lớn. Bên cạnh đó sử dụng phơng
pháp lực và phơng pháp vhuyển vị để vẽ biểu đồ mô men, nhân biểu đồ cũng sẽ cồng
kềnh nếu hệ có bậc siêu tĩnh lớn.
c. Phơng pháp năng lợng Ray-Leigh
Dựa vào nguyên ly bảo toàn năng lợng với đờng đàn hồi giả định trớc.
Khi dao động:
- Tại vị trí xa điểm cân bằng nhất khối lợng đạt thế năng lớn nhất Umax và động

năng K=0.
- Tại vị trí cân bằng khối lợng đạt động năng lớn nhất Kmax và thế năng U=0.
Theo định luật bảo toàn năng lợng: K+U=const.
U max + 0 = 0 + K max ⇒ U max = K max

Chọn dạng dao động yi ( z, t ) = y i ( z ). sin t
Thế năng Umax: U max =
Động năng : K max = ∑

2
EI
. ( y '' ( z)) dz
i
2

•
1 m( z ).v z2
.
dz
;
v
=
y
z
i ( z , t ) = y i ( z ).ω i . cos ω i t
2∫
2

KÕt qu¶:
2

ω i2

Ngun §×nh Trung –CHXD08

∑ ∫ EI .( yi'' ( z)) dz
=
∑ ∫ m( z). y ( z ).dz
2
i

6


động lực học công trình

Biết đợc qui luật phân bố khối lợng m(z) trên các phần tử thanh thực hiện tính tích
phân với dạng dao động đT chọn ta tìm đợc tần số dao động riêng của hệ.
Nhận xét:
Phơng pháp năng lợng Rayleigh tính toán không phụ thuộc số bậc tự do của hệ mà
phụ thuộc vào việc chọn dạng dao động riêng. Việc chọn dạng dao động riêng phụ
thuộc vào dạng đờng đàn hồi do các tải trọng tập trung, tải trọng phân bố đều hay tải
trọng phân bố hình thang,tác dụng lên hệ khung.
d. Phơng pháp Sigalov.
Phơng pháp Sigalov giả thiết sàn cứng, cùng chuyển vị ngang với hệ khung.
Dao động của khung không gian cho bởi mặt bằng khung đợc thay bằng khung
phẳng tơng đơng, độ cứng của khung phẳng tơng đơng:
ã Độ cứng cột EI c = EI ci / 1 tầng
ã Độ cứng dầm EI d = ∑ EI i / 1 tÇng
Khi chun vị xem góc xoay tại các nút trên phạm vi tầng là nh nhau.

Trình tự các bớc xác định gần ®óng tÇn sè dao ®éng cđa hƯ khung:
- Bc 1: Xác địhn độ cứng đơn vị dầm, cột trên từng tầng:
ã

EI kdi
i =
; li: nhịp của dầm.
li

ã

EI kci
i =
; hi: chiều cao tầng.
hi

di
k

ci
k

- Bớc 2: Xác địhn tổng độ cứng đơn vị dầm, cột trong phạm vi tầng:
ã Tổng độ cứng đơn vị của các dầm trong tầng thứ k rk = ikdi
(i )

ã Tổng độ cứng đơn vị của các cột trong tầng thứ k S k = ikci
(i )

- Buớc 3: Xác định chuyển vị ngang tơng đối của tầng thứ k do P=1 đặt tại tầng

thứ k gây ra Ck:

Nguyễn Đình Trung CHXD08

7


động lực học công trình

(h1 + h2 ) 2
1  h12
C1 =  +

12  S1 4.r1 + 0,33.S1 
1  hk2 (hk + hk +1 ) 2 
Ck = +

12 S k
4.rk


- Buớc 3: Xác định chuyển vị ngang tầng trên cùng.
n

y n = C k .Qk −
k =1

Gk
1
(hk + hk +1 )hk +1

∑
48
rk
n

Qk: tæng lực cắt trong các cột thuộc tầng thứ k Qk = Pi
1

- Buớc 4: Xác định tần số dao động riêng.
Đối với hệ khung nhiều tầng nhiều nhịp dạng biến dạng có thể xem là do một hệ lực
nào đó gây ra.
Khi khung dao động khối lợng của các câu kiện cột, dầm, sàn đợc tập trung về nút
khung do đó hệ tải trọng tập trung P1, P2,, Pn xem là những lực quán tính tơng ứng.
Lực quán tính tác dụng ở cao độ sàn Z(t) đợc phân tích thành lực quán tính phân bố
trên cao độ tầng.
Theo các giả thiết trên phơng pháp Sigalov đa ra công thức xác định tần số dao
đổng riêng ứng với 3 dạng dao động riêng chính:
ã 1 =

k1
yn

;

2 ,3 =

k 2,3
n

mk .C k

1

Trong đó các hệ số k lấy theo bảng sau:
Tầng

4

5

6

7

>7

k1

34,5

35,1

35,8

36,4

49,2. (n + 1).2n

k2

4

4,35

4,55

4,65

4,72

k3

6,15

7,1

7,6

7,8

7,85

Nguyễn Đình Trung CHXD08

8


động lực học công trình

Nhận xét: Phơng pháp Sigalov cho phép xác định gần đúng các tần số dao động
riêng đầu tiên của khung một cách thuận lợi trong phân tích và tính toán kết cấu công
trình thực tế.
e. Phơng pháp sai phân hữu hạn.
Nội dung của phơng pháp sai phân là giải gần đúng phơng trình vi phân của dao
động bằng giải hệ phơng trình sai phân.
Để thực hiện ta chia hệ thành nhiều đoạn , tại mỗi điểm chia thay đạo hàm bằng
các sai phân để lập phơng trình sai phân tơng ứng.
Phơng trình vi phân biểu thị dao động tự do của thanh mang khối lợng phân bố
đều m, chiều dài l và tiếi diện không đổi EI cã d¹ng:
d 4 y( z )
m.l 4 .ω 2
4
4
− k y ( z ) = 0 víi k =
EI
dz 4

Chia thanh thành n đoạn bằng nhau, mỗi đoạn chia cã chiỊu dµi ∆z , ta cã:
l = n.∆z;

∆z = l.

= 1 / n

Phơng trình vi phân biểu thị gần đúng dới dạng sai phân:
4 y
k4y = 0
4

Phơng trình sai phân cho điểm chia thứ i:
yi 2 4. y i −1 + (6 −

k4
). y + 4. y i +1 + yi + 2 = 0 víi i=1,2,(n-1).
n4

Nh vậy với mỗi điểm chia ta đợc một phơng trình đại số tuyến tính. Khi chia
hệ thành n đoạn ta sẽ có (n-1) phơng trình sai phân với (n+1) ẩn số, do đó cần bổ
sung thêm hai điều kiện biên để có đợc hệ kín.
Để tồn tại dao động thì định thức các hệ số của hệ phơng trình bằng không, khai
triển định thức giải phơng trình với ẩn số là k. Sau khi tìm đợc k ta xác định tần
số dao động riêng theo:
Nguyễn Đình Trung CHXD08

9


động lực học công trình

k2
= 2
l

EI
m

Nhận xét: Độ chính xác của bài toán phụ thuộc vào số điểm chia, nếu số điểm

chia càng nhiều thì kết quả càng chính xác song số phơng trình đại số tuyến tính
cũng sẽ tăng đa đến khối lợng tính toán càng lớn.

Nguyễn Đình Trung –CHXD08

10


động lực học công trình

Phần bài tập
q(t) = q(0)sint

Bài 1: Cho hệ có sơ đồ nh hình vẽ:

= 0.61

m2 = m

m1 = m

m3 = m

2EI

l

Với 1 là tần số cơ bản
a) Xác định tần số dao động riêng

EI

EI

b) Xác định hệ số Kđ
c)Vẽ biểu đồ mômen uốn động( MđP)

l

l

Bài làm:
a, Xác định tần số dao động riêng :
*Xét dao dạng dao động đối xứng :

Nguyễn Đình Trung CHXD08

1


động lực học công trình

+Vẽ biểu đồ momen : Mj

Hệ siêu tĩnh bậc 1
Dùng phơng pháp lực để vẽ biểu ®å Momen Mj :
δ11 xX 1 + ∆1 p = 0

Nguyễn Đình Trung CHXD08

2


động lực học công trình

11 = ( M 1)( M 1) =

1 1
2
1
5l
.1.l.1 =
 .1.l .  +
EI  2
3  2 EI
6 EI

δ 1 p = ( M 1)( M 1 p ) =

2
−1  1
2  −1  1
 −7l
.
l
.
l
.
+
.

.
l
.
l
.1
=




EI  2
3  2 EI  2
 12 EI

X1 =

7l
10

Biểu đồ Momen Mj:

Nguyễn Đình Trung CHXD08

3


động lực học công trình

Biểu đồ Momen Mk:

Chuyển vị khái qu¸t : δ kq = δ11 = ( M j ).( M k )
δ kq =

ω dx =

1 1 3
2 
1 1
2
7
l  11l 3
.
.
l
.
l
.
.
l
+
.
.
l
.
l
.
.
l
−
.

l
.
l
.



=
EI  2 10
3  2 EI  2
3
10
2  120 EI
1
=
M .δ kq

1
EI
= 2.7
3
3m 11.l
ml 3
.
.
2 120.EI

Nguyễn Đình Trung CHXD08

4

động lực học công trình

*Xét dao dạng dao động phản xứng :

+Vẽ biểu đồ momen : Mj

Hệ tính định : δ kq = δ11 = ( M 1 ).( M 1 )

Nguyễn Đình Trung CHXD08

5


động lực học công trình

1 1 2
1 1 2
l3
kq = δ11 = ( M 1 ).( M 1 ) =
( .l.l .l ) +
( .l.l .l ) =
EI 2 3
2.EI 2 3
2 EI

ω dx =

1

=
M .δ kq

1
3

3m l
.
.
2 2 EI

= 1.15

EI
ml 3

b, Xác định hệ số động riêng Kđ:
Kd =

1
2

(1 −

θ
)
ω2

=

1
= 1.5625
0.6ω 2 

1 − ( ω ) 

c. Vẽ biểu đồ mômen uốn động( MđP) :

( M Pd ) = K d .( M tp )

* VÏ biÓu đồ mômen uốn động( MtP) :

Nguyễn Đình Trung CHXD08

6


động lực học công trình

Hệ siêu tĩnh bậc 1
Dùng phơng pháp lực để vẽ biểu đồ Momen Mj :
11 xX 1 + 1 p = 0

Nguyễn Đình Trung CHXD08

7


động lực học công trình

11 = ( M 1)( M 1) =

1 1
2
1
5l
.1.l.1 =
 .1.l .  +
EI  2
3  2 EI
6 EI

δ1P = ( M 1)( M 1 p) =

 −1  1 q0 .l 2
 − q0l 3
−1  1 q0 .l 2
2 q0 .l 2
+
−
.
.
l
.1
.
.
.
l
.1
.

.
l
.1



=
EI  2 2
3 8
 2 EI  2 2
 3EI

⇒ X1 =

2.q0 .l
5

2

BiĨu ®å Momen( MtP): (M t P ) = ( M 1 ). X 1 + ( M P )

Nguyễn Đình Trung CHXD08

8


động lực học công trình

2P(t)

EI =
EI

= 0.61
Với 1 là tần số cơ bản

m0 = m/l

l

Bài 2: Cho hệ kết cấu chịu lực kích
thích P(t) = P0sint nh hình vẽ:

m1 = m

m2 = 2m

2P(t)

m1 = m

2EI

l

a.Xác định []
b.Vẽ biểu đồ mômen uốn động
(MđP)

EI

l

Nguyễn Đình Trung CHXD08

l

9