ung dung phuong phap toa do de giai bai toan hinh hoc khong gian cao van tuan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.23 MB, 47 trang )
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
Cao V n Tu n – 097530627
NG D NG PH
NG PHÁP T A
GI I TOÁN
HÌNH H C KHỌNG GIAN
Các em h c sinh nên nh r ng “Không có ph ng pháp gi i nào là v n n ng”, do đó các em ph i
không ng ng luy n t p đ t o ra s i dây liên k t gi a các ph n ki n th c c a mình, khi đó các em m i có
th v n d ng linh ho t các ph ng pháp sao cho bài gi i c a mình khoa h c nh t, hay nh t.
i v i m t s lo i hình chóp, hình l ng tr trong m t s bài toán ta có th s d ng vi c đ t m t h
tr c t a đ thích h p, đ chuy n t vi c gi i hình h c không gian t ng h p thu n túy (mà vi c này có th
g p nhi u khó kh n trong d ng hình, tính toán v i các em h c sinh) sang vi c tính toán d a vào t a đ .
Cách gi i bài toán nh v y g i là ph ng pháp t a đ hóa.
i v i ph ng pháp t a đ hóa, vi c tính toán có th s dài dòng và ph c t p h n ph ng pháp
hình h c không gian thu n túy, tuy nhiên cách gi i này th c s r t h u ích cho nhi u b n h c sinh mà
vi c n m v ng nh ng ph ng pháp trong cách gi i hình h c không gian còn y u ho c nh ng bài toán
hình không gian v kho ng cách khó; v xác đ nh GTLN, GTNN; các bài toán v qu tích đi m,...
có th làn t t đ c các bài toán gi i b ng ph ng pháp t a đ hóa thì các em h c sinh ph i n m
ch c các ki n th c (c th là các công th c tính) c a ph n “Ph ng pháp t a đ trong không gian” và
nh ng ki n th c c b n nh t c a hình h c không gian.
Sau đây th y s trình bày c th ph
không gian”.
1. Ph
ng pháp: “ ng d ng ph
ng pháp t a đ đ gi i toán hình h c
Cao V n Tu n – 0975306275
ng pháp
+ B c 1: Ch n h tr c t a đ Oxyz trong không gian: Vì Ox, Oy, Oz vuông góc v i nhau t ng
đôi m t nên n u hình v bài toán cho có ch a các c nh vuông góc thì ta u tiên ch n các c nh đó
làm tr c t a đ .
+ B c 2: Suy ra t a đ c a các đ nh, đi m trên h tr c t a đ v a ghép.
+ B c 3: S d ng các ki n th c v t a đ không gian đ gi i quy t bài toán
2. Các bƠi toán ghép tr c t a đ th
Các bƠi toán th
ng g p vƠ cách suy ra t a đ các đ nh
ng g p
Hình l p ph ng ho c hình
h p ch nh t ABCD.ABCD
Cách ghép tr c
T a đ các đi m
+ V i hình l p ph ng:
A 0;0;0 , B a ;0;0
C a ; a ;0 , D 0; a ;0
A 0; 0; a , B a ;0; a
C a ; a ; 0 , D 0; a ; a
+ V i hình h p ch nh t:
A 0;0;0 , B a ;0;0
C a ; b;0 , D 0; b;0
A 0;0; c , B a ;0; c
C a ; b; c , D 0; b; c
/>
1
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
Hình h p ABCD.ABCD có
đáy là hình thoi.
Hình chóp S.ABCD có:
+ ABCD là hình ch
hình vuông.
+ SA (ABCD).
nh t,
Hình chóp S.ABCD có:
+
áy hình ch nh t, hình
vuông.
+ Các c nh bên b ng nhau
(SO vuông góc v i đáy).
/>
Cao V n Tu n – 097530627
+ G c t a đ trùng v i giao
đi m O c a hai đ ng chéo
c a hình thoi ABCD.
+ Tr c Oz đi qua 2 tâm c a 2
đáy
A 0;0;0
B 0; AB ;0
C AD ; AB ;0
D AD ;0;0
S 0;0; SA
A 0;0;0
B 0; AB ;0
AD AB
;
; SO
S
2
2
C AD ; AB ;0
D AD ;0;0
2
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
Hình chóp S.ABCD đ u có:
+
áy là hình thoi, hình
vuông.
+ SO vuông góc v i đáy.
Hình chóp S.ABCD đ u có:
+
áy là hình bình hành,
hình thoi.
+ SA vuông góc v i đáy.
Hình chóp S.ABCD đ u có:
+
áy là hình bình hành.
+ SO vuông góc v i đáy.
/>
Cao V n Tu n – 097530627
O 0;0;0
A 0; OA ;0
B OB ;0;0
C 0; OC ;0
D OD ;0;0
S 0;0; SO
A 0;0;0
B 0; AB ;0
C DH ; AB AH ;0
D DH ; AH ;0
S 0;0; SA
A 0;0;0
B 0; AB ;0
C DH ; AB AH ;0
D DH ; AH ;0
S DH ; AB AH ; SO
2
2
3
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
Cao V n Tu n – 097530627
A 0;0;0
B 0; AB ;0
C CH ; AH ;0
S 0;0; SA
Hình chóp S.ABC có:
+
áy là tam giác vuông,
tam giác đ u.
+ SA vuông góc v i đáy.
Hình chóp S.ABC có:
+
áy là tam giác đ u c nh
a.
+ Các c nh bên b ng nhau.
A 0;0;0
B 0; AB ;0 0; a ;0
C CH ; AH ;0
a 3 a
; ;0
2
2
S OH ; AH ; SO
a 3 ; a ; SO
6 2
Trên đây là m t s d ng c b n c a m t s lo i hình kh i mà chúng ta có th t a đ hóa m t cách
đ n gi n. Các em l u ý r ng chúng ta có th t a đ hóa m t kh i đa di n b t k . Ch c n chúng ta xác
đ nh đ c đ ng cao c a kh i đa di n đó và thông th ng trên lý thuy t ta đ u đ t g c t a đ là chân
đ ng cao c a kh i đa di n; tr c cao (tr c Oz) là đ ng cao, sau đó ta d ng hai tia còn l i. Nh ng trong
th c hành gi i toán chúng ta c n c tùy bài toán đ đ t h tr c mi n sao chúng ta có th tìm các t a đ
các đ nh liên quan đ n hình kh i c n tính có th tìm đ c m t cách d dàng ho c không quá ph c t p.
Ví d nh bài toán sau: (Các em hãy xem và suy ngh nên đ t h tr c ra sao).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, m t ph ng (SBC) t o v i đáy góc 60 0. M t
bên (SAB) vuông góc v i đáy, tam giác SAB cân t i S. Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách
gi a hai đ ng th ng SA, BC.
Bình lu n: Rõ ràng r ng vi c tính th tích c a kh i chóp này là không quá khó kh n, ch c n các em n m
đ c cách xác đ nh góc gi a hai m t ph ng là xác đ nh đ c. Vì v y, ý tính th tích th y đ các em t
suy ngh và th c hi n.
V i câu h i tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau này, các em hoàn toàn có th th c hi n
theo hình t ng h p. đây chúng ta bàn lu n v vi c đ t h tr c t a đ đ th c hi n ý th hai này.
Tr c h t các em c n l u ý: Xác đ nh chi u cao c a hình chóp này nh th nào?
i u này là không quá khó: Vì sao? Hãy nh : “N u hai m t ph ng vuông góc v i nhau, trong m t này
d ng m t đ ng th ng vuông góc v i giao tuy n thì đ ng th ng đó vuông góc v i m t ph ng kia”.
G n vào hình chóp này: Ta th y m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t đáy, mà giao tuy n c a hai m t
ph ng này là AB. Ta c n tìm chi u cao cho nên, các em ch c n t S d ng SH vuông góc v i AB, (H
AB) vì tam giác SAB cân t i S cho nên H là trung đi m AB. T c là các em đã xác đ nh đ c chi u cao
và chân đ ng vuông góc.
V y chúng ta có th đ t h tr c t a đ r i. Các em v hình và đ t h tr c nh sau:
/>
4
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
S
Cao V n Tu n – 097530627
z
A
C
x
O
B
y
Tính toán t a đ các đi m (c n c vào ph n tr
3a
O 0;0;0 , S 0;0; 4
c), ta có:
A 0; a ;0 , B 0; a ;0 , C(a ;0;0)
2 2
Áp d ng công th c tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau: SA, BC ta có:
SA,BC .AB
, ta thu đ c k t qu c n tính.
d SA,BC
SA,BC
K ra thì c ng không quá ph c t p đúng không các em. Các em hãy suy ngh có cách đ t h tr c t a đ
nào khác không? m c s 4. Ví d minh h a, th y s trình bày thêm m t s ví d c th v các d ng
toán đ các em hi u rõ h n v ph ng pháp này.
3. S d ng các ki n th c v t a đ đ gi i quy t bƠi toán
a) Kho ng cách gi a 2 đi m
Kho ng cách gi a hai đi m A xA ; yA ; zA và B xB ; yB ; zB là:
AB
xB xA yB yA zB zA
2
2
2
b) Kho ng cách t đi m đ n đo n th ng
Tính kho ng cách t A đ n đ ng th ng ?
Cách 1: Cho đ ng th ng đi qua M, có m t vect ch ph ng u và m t đi m A. Kho ng cách
t A đ n đ ng th ng đ c tính b i công th c:
d A,
Cách 2:
+ L p ph
u , AM
u
ng trình m t ph ng đi qua A và vuông góc v i .
+ Tìm t a đ giao đi m H c a và .
+ d(M, d) = MH.
c) Kho ng cách t đi m đ n m t ph ng
Kho ng cách t M0 x0 ; y0 ; z0 đ n m t ph ng P : Ax By Cz D 0 là:
d M 0 , P
Ax0 By0 Cz0 D
A 2 B2 C2
d) Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song
nh ngh a: Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song là kho ng cách t m t đi m b t kì c a
m t ph ng này đ n m t ph ng kia.
/>
5
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
e) Kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau
Cho hai đ ng th ng chéo nhau 1 và 2 , bi t:
Cao V n Tu n – 097530627
+
1 đi qua M và có m t vect ch ph
ng u1
+
2 đi qua N và có m t vect ch ph
ng u2
Cách 1: Kho ng cách gi a hai đ
ng th ng 1 và 2 đ
u1 , u2 .MN
u1 , u2
d 1 , 2
Cách 2:
+ L p ph
c tính b ng công th c:
ng trình m t ph ng ch a 1 và song song v i 2 .
+ Khi đó: d 1 , 2 d 2 , d M, v i M 2 .
C BI T: Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AB, CD khi bi t t a đ c a chúng:
AB,CD AC
d AB,CD
AB,CD
f) Kho ng cách gi
Kho ng cách gi
th ng này đ n đ
quay v d
g) Kho ng cách gi
a 2 đ ng th ng song song
a 2 đ ng th ng song song b ng kho ng cách t 1 đi m b t kì thu c đ
ng th ng kia.
ng toán kho ng cách t 1 đi m đ n đ ng th ng .
a đ ng th ng vƠ m t ph ng (v i // )
ng
d , d M, v i M
h) Góc gi a hai đ ng th ng
Cho hai đ ng th ng: 1 có m t vect ch ph
ng u1 x1; y1; z1
ng u2 x2 ; y2 ; z2
2 có m t vect ch ph
G i là góc gi a hai đ
cos
ng th ng 1 và 2 . Khi đó:
u1.u2
u1 . u2
x1 x2 y1 y2 z1 z2
2
1
2
1
2
2
2
2
0 90
0
x y z . x y z
2
1
2
2
i) Góc g a hai m t ph ng
G i là góc gi a hai m t ph ng P : Ax By Cz D 0 và P' : A'x B'y C'z D' 0
cos cos nP , nQ
nP .nQ
nP . nQ
A.A' B.B' C.C '
2
j) Góc gi a đ ng th ng vƠ m t ph ng
Cho:
ng th ng có m t vect ch ph
2
2
0
0
A B C . A ' B' C '
2
2
2
900
ng u x; y; z .
M t ph ng có m t vect pháp tuy n n A; B; C .
G i là góc gi a hai đ
sin
ng th ng và . Khi đó:
u.n
u.n
Ax By Cz
2
2
2
0 90
0
A B C . x y z
2
2
2
k) Di n tích thi t di n
1
AB, AC .
2
AB, AD .
+ Di n tích tam giác ABC: SABC
+ Di n tích hình bình hành: SABCD
/>
6
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
l) Th tích kh i đa di n
Cao V n Tu n – 097530627
+ Th tích kh i h p: VABCD.A'B'C'D' AB, AD .AA' .
1
+ Th tích t di n: VABCD AB, AC .AD .
6
4. Ví d minh h a
Ví d 1: Cho hình l p ph ng ABCD.ABCD c nh là a. G i N là trung đi m c a BC .
a) Ch ng minh r ng: AC vuông góc v i ABD .
b) Tính th tích kh i t di n ANBD .
c) Tính góc và kho ng cách gi a hai đ ng th ng AN và BD .
d) Tính kho ng cách t C đ n m t ph ng ACD .
Gi i:
Các em l u ý, đây là m t bài tính toán và ch ng minh các y u t liên quan đ n hình l p ph ng, chúng ta
có th th c hi n b ng ph ng pháp t ng h p, th y không trình bày ph ng pháp đó n a, mà gi i bài toán
này theo ph ng pháp t a đ hóa.
Nh đã nói ph n tr c, v i hình l p ph ng và hình h p ch nh t thì vi c ch n h tr c t a đ là r t d
dàng. Th y ch n h tr c nh sau. (Các em hãy ch n h tr c khác đi và gi i nó theo cách c a các em).
Khi đó ta có t a đ các đ nh c a hình l p ph ng nh sau:
z
A ' 0;0;0 , B' a ;0;0 , C ' a ; a ;0 , D ' 0; a;0
D
A
a
A 0;0; a , B a ;0; a , C a ; a ; a , D 0; a ; a , N a ; 2 ;0
C
B
a) M c đích c a ta là ch ng minh m t đ ng th ng
vuông góc v i m t m t ph ng. Ta s ch ra r ng
VTCP c a đ ng th ng này cùng ph ng v i VTPT
c a m t ph ng ABD .
D'
Ta có: AC' a ; a ; a
A'B, A'D a 2 ; a 2 ; a 2 là véc t
c a m t ph ng ABD .
A'=O
pháp tuy n
x
B'
y
C'
Ta th y hai vrct AC' và A'B, A'D cùng ph ng.
Vì th ta có AC vuông góc v i m t ph ng ABD .
b) Tính th tích t di n ANBD .
1
Ta có công th c tính th tích t di n là: VANBD' AN,AB .AD .
6
2
2 a
AB,AN 0; a ;
2
Ta có: AD (0; a ; a )
.
3
AB,AN .AD a
2
a3
Do đó th tích tìm đ c là: V
(đvtt).
12
c)
tính góc gi a hai đ ng th ng và kho ng cách gi a hai đ ng th ng ta s d ng hai công th c
a , b .AB
a .b
sau: cos a , b cos a , b
và d (a , b)
.
a , b
a b
/>
7
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
V i a , b là các véc t ch ph ng c a đ
đi m A và B.
Cao V n Tu n – 097530627
ng th ng a,b l n l t đi qua hai
ng th ng a và b.
ng th ng AN và BD là: cos AN, BD =
Do đó ta có góc gi a hai đ
AN.BD
AN BD
3
.
9
AN, BD .AB a 26
Kho ng cách gi a hai đ ng th ng này là: d AN, BD
.
26
AN, BD
d) Tính kho ng cách t đi m C đ n m t ph ng ACD .
Vi t ph
ng trình m t ph ng ACD .
ng v i AC,AD a 2 ;0; a 2 .
Ta ch n véc t pháp tuy n c a m t ph ng ACD là n (1;0;1) .
M t ph ng ACD có véc t pháp tuy n cùng ph
Vì th ph
ng trình m t ph ng ACD là: x z – a 0 .
Áp d ng công th c kho ng cách t m t đi m đ n m t ph ng ta có: d C, ACD
a
2
Ví d 2. Cho hình h p ch nh t ABCD.ABCD có c nh AB 1, AD 1, AA 2 .
a) Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AC và BD.
b) G i Q là m t ph ng qua A vuông góc v i AC . Tính di n tích c a thi t di n c a hình chóp
A.ABCD c t b i m t ph ng Q .
Gi i:
Chúng ta đ t h tr c t a đ gi ng nh ví d 1. T đây ta tính đ
A 0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A 0;0; 2
a) Dành cho các em t tính toán.
b)
V i bài toán này, các em có th vi t
đ c ph ng trình m t ph ng Q , các
đ ng th ng: AB, AC, AD và tìm giao
đi m c a nó v i m t ph ng Q , ta có
B'
t a đ các giao đi m là:
2
2 1 1 2 2 2
M ;0;
, N ; ;
, P 0; ;
3 2 2 2 3 3
3
Ta có thi t di n là t giác AMNP.
Và di n tích c a t giác này là:
2 2
x
SAMNP SAMN SANP
B
3
/>
c t a đ các đ nh nh sau:
A'
z
D'
C'
D
y
A=O
C
8
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
Cao V n Tu n – 097530627
Ví d 3: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh BD 2 2 . M t bên t o v i m t đáy góc 600 .
a) Tính th tích kh i chóp, xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp.
b) Tính góc và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SB và AC.
c) Tính góc gi a hai m t ph ng SAB và SCD .
d) G i I là tr ng tâm tam giác SAB, tính kho ng cách t I đ n các m t ph ng ABCD và SCD .
Gi i:
Ch n h tr c t a đ nh hình v , ta có t a đ
các đ nh nh sau:
O 0;0;0 , A 0; 2;0
B 2;0;0 , D 2;0;0
C 0; 2;0 ,S 0;0; 3
n đây công vi c còn l i là tính toán, th y đ
dành cho các em.
z
S
I
A
J
x
D
O
B
C
y
Các em có th th y r ng n u nh t a đ hóa m t kh i đa di n đ c thì vi c gi i nh ng bài toán hình
không gian tr nên đ n gi n h n r t nhi u.
Sau đây chúng ta xét m t s kh i đa di n mà vi c t a đ và tính toán ph c t p h n.
Ví d 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh là 5 tâm O, SO vuông góc v i đáy;
các c nh bên SA 2 3,SB 3 . G i M là trung đi m c a c nh SC.
a) Tính góc và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA và BM.
b) M t ph ng AMB c t SD t i N. Tính th tích kh i chóp S.ABMN.
Gi i:
Ch n h tr c t a đ nh hình v . Ta có t a đ các
O 0;0;0 , A 2;0;0 , B(0;1;0)
đ nh nh sau: C 2;0;0 , D 0; 1;0
S 0;0; 2 2 , M 1;0; 2
a) Ta có cos SA,BM
SA.BM
z
N
3
.
2
SA . BM
SA,BM 30 .
S
M
D
C
0
x
SA, BM .SB
d SA,BM
...
SA, BM
b) Vi t ph
ng trình m t ph ng AMB và ph
O
By
A
ng trình đ
ng th ng SD. T đó tìm đ
ct ađ
giao đi m D c a AMB và SD.
Ta có: VS.ABMN VS.AMB VS.AMN
1
1
SA,SB .SM SA,SN .SM ...
6
6
/>
9
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
Cao V n Tu n – 097530627
5. BƠi t p rèn luy n
BƠi 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, SA a 2 . G i M là trung
đi m c a AB. Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SM và BC.
a
S: d .
6
BƠi 2: Cho hình vuông ABCD c nh a. T đi m H c a c nh AB d ng SH vuông góc v i (ABCD), bi t
góc gi a hai m t ph ng (SAD) và m t đáy b ng 600.
a) Tính SH và kho ng cách t H đ n (SCD).
b) Tính góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (SCK) bi t K là trung đi m c a c nh AD.
a 3
a 21
b) 900
S: a) SH
, d H, SCD
2
7
BƠi 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O c nh a, AC = a. Tam giác SAB cân t i
S, và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy, c nh bên SA t o v i đáy m t góc sao cho tan 2 .
a) Tính th tích kh i chóp S.ABCD.
b) Tính kho ng cách t O đ n (SCD)
c) Tính kho ng cách t A đ n (SBC).
a 21
2a 57
S: b) d O, SCD
b) d A, SBC
19
14
BƠi 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, đ ng cao AB, BC = 2a, SA = a. SA
vuông góc v i đáy. Bi t SC vuông góc v i BD.
a) Tính đ dài đo n th ng AD.
b) Tính th tích kh i chóp S.ABCD
c) G i M là đi m trên đo n SA, AM = x, Tính đ dài đ ng cao DE c a tam giác BDM theo a, x.
Tìm x đ DE có giá tr l n nh t, nh nh t.
a 3
khi x a
DE max
a
2
c)
S: a) AD
2
DE a
khi x 0
min 2
BƠi 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i C, v i AB = 2a, BAC 300 ,SA 2a và
vuông góc v i đáy.
a) Tính th tích kh i chóp S.ABC.
b) G i M là đi m di đ ng trên c nh AC sao cho AM = x, 0 x a 3 . Tính kho ng cách t S đ n
BM theo a, x. Tìm x đ kho ng cách trên đ t giá tr l n nh t, giá tr nh nh t.
BƠi 6 ( H Ơ N ng kh i A n m 2001): Cho t di n S.ABC có SC CA AB a 2 . SC vuông góc
v i (ABC), tam giác ABC vuông t i A, các đi m M, N l n l t thu c SA và BC sao cho AM CN t
v i 0 t 2a .
a) Tính đ dài đo n MN, tìm t đ đ dài đo n MN nh nh t.
b) Khi MN nh nh t, ch ng minh r ng MN là đ ng vuông góc chung c a BC và SA.
BƠi 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, các c nh bên c a hình chóp b ng
nhau. Bi t kho ng cách t S đ n (ABC) là h. Tìm đi u ki n c a h đ hai m t ph ng (SAB) và (SAC)
vuông góc. Khi đó hãy tính th tích kh i chóp S.ABC.
BƠi 8 ( H kh i B n m 2002): Cho hình l p ph ng ABCD.A1B1C1D1 c nh là a.
a) Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng A1B và B1D .
b) G i M, N, P theo th t là trung đi m c a các c nh BB1 ,CD, A1D1 . Tính góc gi a MP và C1 N .
BƠi 9 ( HSP TPHCM n m 1992): Cho hình l p ph ng ABCD.A1B1C1D1 c nh là a. G i M, N theo
th t là trung đi m c a AD và CD. L y P trên c nh BB1 sao cho BP = 3PB1. Xác đ nh và tính di n tích
thi t di n c a hình l p ph ng c t b i m t ph ng (MNP).
7a 2 6
S: S
16
/>
10
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
Cao V n Tu n – 097530627
BƠi 10: Cho hình h p ch nh t ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, AD = 2a, AA1 = a.
a) Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AD1 và B1C.
AM
b) G i M là đi m chia đo n AD theo t s
3 . Hãy tính kho ng cách t M đ n m t ph ng
MD
(AB1C).
c) Tính th tích kh i t di n AB1D1C.
BƠi 11: Cho l ng tr đ ng ABC.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân t i B , bi t BA= a. c nh bên
AA ' a 2 . G i M là trung đi m c a c nh BC. Tính th tích kh i l ng tr và kho ng cách gi a hai
đ ng th ng AM, BC .
BƠi 12: Cho hình l ng tr ABC.ABC có đ dài c nh bên là 2a, đáy ABC là tam giác vuông t i A,
AB a , AC a 3 , hình chi u vuông góc c a A lên (ABC) là trung đi m c a BC. Tính theo a th tích
kh i chóp A.ABC và tính cos c a góc gi a hai đ ng th ng AA và BC .
BƠi 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh 2a, SA = a, SB a 3 . M t ph ng
(SAB) vuông góc v i đáy. G i M, N l n l t là trung đi m c a AB và BC. Tính th tích kh i chóp
S.ABCD và cos c a góc gi a hai đ ng th ng SM và DN.
/>
11
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
GI I BÀI TOÁN HÌNH H C KH4NG GIAN B NG PH
NG PHÁP T A Đ
Cho hình lăng tr đ ng “”C “ ” C đ{y “”C l| tam gi{c vuông t i A, AB a,AC 2a,AA' b .
Bài
G i M, N l n l
t l| trung đi m c a ”” v| “”
a. ởính theo a v| b th tích c a t di n “ CMN
b
đ B'C AC' .
a
b. ởính t s
Gi i
Ch n h tr c t a đ Oxyz có O A c{c tia Ox Oy Oz l n l
c c
qua
đi m
”
C
“
Khi
đó
A 0;0;0 ,
t đi
z
B a;0;0 ,
A'
b a
C 0;2a;0 ,A' 0;0;b ,B' a;0;b , C' 0;2a; , M a;0; ,N ;0;0
2 2
C'
B'
a. Th tích c a t di n “ CMN l|
V
1
A'C,A'M .A'N
6
M
A'C,A'M ab; ab; 2a2
y
A O
a
b
ởa có A'C 0;2a; b , A'M a;0; , A'N ;0; b
2
2
C
N
B
x
a2 b
3a2 b
A'C,A'M .A'N
0 2a2 b
2
4
V y VA 'C MN
1 3a2 b a2 b
6 4
8
b. ởa có B'C a; 2a;c , AC' 0;2a;b
B'C AC' B'C.AC' 0 0 4a2 b2 0 b 2a
b
2
a
Bài
Cho hai hình ch nh t “”CD v| “”EF
trong hai m t ph ng vuông góc v i nhau,
AB 2a,BC BE a ởrên đ ng chéo “E l y đi m M v| trên đ ng chéo ”D l t đi m N sao cho
AM BN
k v i k 0;1 ởính k đ MN l| đo n vuông góc chung c a “E v| ”D
AE BD
Gi i
Ch n h tr c t a đ Oxyz sao cho A O c{c tia Ox Oy Oz
l n
l
t
đi
qua
D
”
F
Khi
đó
z
A 0;0;0 ,
B 0;2a;0 , C a;2a;0 , D a;0;0 , E 0;2a;a , F 0;0;a
Ta có
AM
k AM kAE, k 0;1
AE
M| AM v| AE cùng h
c a M l|
Tr n Đình C
M
y
O A
ng nên AM kAE đo đó t a đ
x M kx E 0
y M ky E 2ka hay M 0;2ka;ka
z kz ka
E
M
E
F
B
N
D
C
x
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
12
1
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ở
ng t
x N 0 k a 0
BN kBD y N 2a k 0 2a hay N ka;2a 2ka;0
z N 0 k 0 0
MN ka;2a 4ka; ka
ởa có AE 0;2a;a
BD a; 2a;0
4a2 8ka2 ka2 0
4
MN.AE 0
MN l| đo n vuông góc chung c a “E v| ”D
k
2
2
2
9
MN.BD 0
ka 4a 8ka 0
4
9
ng “”CD “ ” C D c nh b ng a ởrên c{c c nh ”” CD “ D l n l
V y MN l| đo n vuông góc chung c a “E v| ”D khi k
Bài
Cho hình l p ph
t l y c{c
đi m M, N, P sao cho B'M CN D'P x , x 0;a .
a. Ch ng minh AC' MNP .
b. X{c đ nh v trí c a M N P đ tam gi{c MNP có di n tích bé nh t.
Gi i
Ch n h tr c t a đ Oxyz có O A c{c tia Ox Oy Oz l n l
t đi
qua c{c đi m ” D “ Khi đó A 0;0;0 , B a;0;0 , C a;a;0 ,
z
P x
A'
D 0;a;0 , A' 0;0;a , B' a;0;a ,
C' a;a;a , D' 0;a;a , M a;0;a x , N a x;a;0 , P 0;a x;a
B'
x
M
a. ởa có AC' a;a;a
MN x;a; a x
C'
D
A
MP a;a x;x
x
B
AC'.MN 0
AC' MN
AC' MNP đpcm
AC'.MP
0
AC'
MP
D'
y
N
C
x
2
b. ởa có MN MP NP x2 a2 a x 2x2 2ax 2a2
ởam gi{c MNP l| tam gi{c đ u có c nh b ng
Di n tích c a tam gi{c MNP l| S
hay S
Bài
MN2 3
3 2
x ax a2
4
2
2
3
a 3a2 3a2 3
x
D u
2
2
4
8
V y min S
3a2 3
khi M, N, P l n l
8
Cho hình l p ph
2 x2 ax a2
x y ra x
a
2
t l| trung đi m c a c{c c nh ”” CD “ D
ng “”CD “ ” C D có c nh b ng a. G i M v| N l n l
v| ”” Ch ng minh AC' AB'D' v| tính th tích c a kh i t di n “ CMN
t l| trung đi m c a AD
Gi i
Tr n Đình C
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
13
2
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Ch n
h
tr c
t a
đ
Oxyz
có
nh
hình
D 0;a;0 , A' 0;0;a , B' a;0;a , C' a;a;a , D' 0;a;a
v
ta
A 0;0;0 , B a;0;0 ,
có
a. ởa có A'C a;a; a , AB' a;0;a , AD' 0;a;a
z
A'C.AB' 0 v| A'C.AD' 0
A'C AB' v| A'C AD'
D'
A'
A'C AB'D' đpcm
B'
b. Th tích c a t di n “ CMN l|
V
C a;a;0 ,
1
A'N,A'M .A'C
6
C'
N
D
A
y
M
a
a
ởa có N a;0; , M 0; ;0
2
2
B
a
a
A'N a;0; , A'M 0; ; a v| A'C a;a; a
2
2
C
x
a2
a2
a3
a3 3a3
A'N,A'M ;a2 ; v| A'N,A'M .A'C a3
4
2
4
2
4
1 3a3 a3
V y V .
đvtt
6 4
8
Bài
di n Ở“”C có SC CA AB a 2, SC ABC tam gi{c “”C vuông t i “ C{c đi m
Cho t
M SA, N BC sao cho AM CN t 0 t 2a ởính t đ MN ng n nh t ởrong tr
ng h p n|y ch ng
minh MN l| đo n vuông góc chung c a ”C v| Ở“ đ ng th i tính th tích c a kh i t di n ABMN.
Gi i
Ch n h tr c t a đ Oxyz sao cho A O 0;0;0 , tia Ox ch a
AC, tia Oy ch a “” v| tia Oz cùng h
ng v i vec-t
z
CS .
S
Khi đó ta có A 0;0;0 , B 0;a 2;0 , C a 2;0;0 ,
S a 2;0;a 2
M
y
A
B
N
C
x
Tr n Đình C
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
14
3
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
MH Ax H Ax v| MK Az
V
K Az
NI Ax I Ax
V
NJ Ay
v|
J Ay
z
y
B
S
M
K
N
J
t
t
x
C
A
H
A
I
C
x
Vì tam gi{c ỞC“ vuông c}n C nên Vì tam gi{c INC vuông c}n
MH“K l| hình vuông có c nh
NC 2 t 2
IN IC
huy n b ng t
2
2
t 2 t 2
t 2
Na 2
;
;0
AH AK
2
2
2
t 2
t 2
M
;0;
2
2
I
t 2 t 2
;
a. ởa có MN 2 a t ;
2
2
MN 2 a t
2
2
2a 2a2
t2 t2
2
3t 2 4at 2a2 3 t
a
2 2
3
3
3
Đ ng th c x y ra khi t
2a
3
2
2a
khi t
3
3
V y MN ng n nh t b ng a
a 2 a 2 a 2
2a
;
;
b. Khi MN ng n nh t t ta có MN
3
3
3
3
ởa còn có SA a 2;0;a 2 v| BC a 2; a 2;0
MN.SA 0
MN SA
MN.BC 0
MN BC
V y MN l| đ
Bài
ng vuông góc chung c a Ở“ v| ”C đpcm
Cho kh i lăng tr tam gi{c đ u có c nh đ{y b ng a v| AB' BC' ởính th tích c a kh i lăng tr .
Gi i
G i O l| trung đi m c a AC.
Ch n h tr c t a đ có g c t a đ l| O tia Ox đi qua “ tia Oy đi qua ”
Tr n Đình C
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
4
15
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
a
a 3
;0 ,
Khi đó A ;0;0 , B 0;
2
2
z
C'
B'
a 3
a
a
; h , C' ;0; h
C ;0;0 , B' 0;
2
2
2
A'
h AA' BB' ...
a a 3
a a 3
; h v| BC' ;
;h
ởa có AB' ;
2 2
2
y
a2 3a2
a 2
AB' BC' AB'.BC' 0
h2 0 h
4
4
2
C
B
O
A
x
a2 3 a 2 a3 6
.
4
2
8
ng “”CD “ ” C D có c nh b ng 1. G i M, N, P l n l t l| trung đi m c a c{c
V y th tích c a kh i lăng tr l| V S
Bài Cho kh i l p ph
c nh “ ” ”C DD
a. ởính góc gi a hai đ
ABC .h
ng th ng “C v| “ ”
b. Ch ng minh AC' MNP v| tính th tích c a kh i t di n AMNP.
Gi i
Ch n h tr c t a đ
“ xyz nh
hình v
ta có A' 0;0;0 , B1;0;0 , C' 1;1;0 , D' 0;1;0 , A 0;0;1 ,
1
1
1
B1;0;1 , C 1;1;1 , D 0;1;1 , M ;0;0 , N 1; ;1 , P 0;1;
2
2
2
a. ởa có AC' 1;1; 1 v| A'B 1;0;1
AC'.A'B 0
Góc gi a hai đ
b.
ng th ng “C v| “ ” có s đo b ng 900
1 1
1 1
MN ; ;1 v| MP ;1;
2 2
2 2
AC'.MN 0 v| AC'.MP 0
z
AC' MN v| AC' MP
A
D
AC' MNP đpcm
Th tích kh i t di n “MNP l|
N
B
C
3 3 3
1
V MN,MP .MA v i MN,MP ; ; ,
6
4 4 4
D'
A'
1
MA ;0;1
2
P
y
M
1 3
3
3
V y V . 0
đvtt)
6 8
4 16
B'
C'
x
Bài Cho hình chóp Ở “”CD có đ{y “”CD l| hình vuông c nh
a, m t bên Ở“D l| tam gi{c đ u v| n m trong m t ph ng vuông góc v i (ABCD). G i M, N, P l n l
trung đi m c a SB, BC, CD. Ch ng minh r ng AM BP v| tính th tích c a kh i t di n CMNP.
t l|
Gi i
Tr n Đình C
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
16
5
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i “ tia Ox đi
qua ” tia Oy đi qua D tia Oz cùng h
z
ng v i vec-t HS
S
H l| trung đi m c a AD) khi đó A 0;0;0 , B a;0;0 ,
C a;a;0 ,
D 0;a;0 ,
a a 3
S 0; ;
,
2 2
a a a 3
M ; ;
,
2 4 4
M
a a
N a; ;0 , P ;a;0
2 2
y
H
O
A
a a a 3
a
ởa có AM ; ;
v| BP ;a;0
2 4 4
2
D
P
B
C
N
x
AM.BP 0 AM BP đpcm
Th tích c a CMNP l| V
1
CM,CN .CP
6
a
CP ;0;0
2
ởa có
CM a ; 3a ; a 3 , CN 0; a ;0
2 4 4
2
a2 3 a2
a3 3
;0; CM,CN .CP
CM,CN
8
4
16
V y VCMNP
1 a3 3 a3 3
6
16
96
Bài Cho hình chóp t gi{c đ u Ở “”CD có c nh đ{y b ng a 2 , c nh bên h p v i đ{y góc 450 . G i O
l| t}m c a “”CD v| I J K l n l t l| trung đi m SO, SD, DA.
a. X{c đ nh đo n vuông góc chung c a IJ v| “C
b. ởính th tích c a kh i t di n AIJK.
Gi i
a. IJ l| đ
ng trung bình c a tam gi{c ỞOD
IJ OD IJ SO hay IJ IO
SO ABCD SO AC hay IO AC
T
v|
z
(1)
S
(2)
suy ra IO l| đo n vuông góc chung c a IJ v| “C
J
b. Góc gi a c nh bên ỞD v| đ{y “”CD l| SDO 450
I
ởam gi{c ỞOD vuông c}n t i O
a 2
2
Ch n h tr c t a đ Oxyz có O trùng v i t}m c a hình vuông
“”CD tia Ox đi qua C tia Oy đi qua D v| tia Oz đi qua Ở \
K
A
450
y
D
OS OD
O
B
C
x
a 2
a 2
;0;0 , B 0;
;0 ,
Khi đó A
2
2
Tr n Đình C
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
6
17
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
a 2
a 2
a 2 a 2 a 2 a 2 a 2
D 0;
;0 , S 0;0;
;
;
;0
, I 0;0;
, J 0;
, K
2
2
4
4
4 4
4
1
AI,AJ .AK
6
Th tích c a t di n “IJK l| V
a 2 a 2
AI
;0;
2
4
a2
a 2 a 2 a 2
a2
a3 2
ởa có AJ
;
;
AI,AJ ;0; AI,AJ .AK
8
2
4
32
4
4
a 2 a 2
AK 4 ; 4 ;0
V y VAIJK
1 a3 2 a3 2
6
32
192
Bài
Cho kh i l p ph ng “”CD “ ” C D có c nh b ng a K l| trung đi m c a DD v| O l| t}m c a
hình vuông ““ ” ” ởính th tích c a kh i t di n “IK“ Ởuy ra kho ng c{ch t “ đ n m t ph ng
“” K
Gi i
z
Ch n h tr c t a đ Oxyz có A O c{c tia Ox Oy Oz l n
l
t
đi
qua
”
D
“
Khi
B a;0;0 , B' a;0;a , C a;a;0
đó
A 0;0;0 , A' 0;0;a ,
C' a;a;a , D 0;a;0 , D' 0;a;a ,
a a a
K 0;a; , I ;0; I l| trung đi m c a “” v| “ ”
2 2 2
B'
B
a
a a
a
AI,AK ; ; AI,AK .AA'
2
4 2
2
2
K
D
A
a a
a
ởa có AI ;0; , AK 0;a; , AA' 0;0;a
2
2 2
2
C'
I
1
Th tích c a kh i t di n “IK“ l| V AI,AK .AA'
6
2
D'
A'
3
x
y
C
1 a3 a3
V y VAIKA ' .
6 2 12
ởa có AB'K AIK
d A', AB'K d A', AIK
S
AIK
3VA '.AIK
S
AIK
v i VA '.AIK
a3
v|
12
1
1 a4 a4 a4 3a2
AI,AK
2 4 16 4
2
8
V y d A', AB'K
3a2 3a2 2a
:
12 8
3
Bài
Cho hình l p ph ng “”CD “ ” C D có c nh b ng a. G i M l| trung đi m c a c nh “D v| N l|
t}m c a hình vuông CC D D ởính b{n kính m t c u ngo i ti p t di n ”C MN
Gi i
Tr n Đình C
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
18
7
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Ch n h tr c t a đ “ xyz nh hình v .
z
ởa có A' 0;0;0 , B' a;0;0 , C' a;a;0 ,
D' 0;a;0 , A 0;0;a , B a;0;a ,
a a
a
C a;a;a , D 0;a;a , M 0; ;a , N ;a;
2
2 2
Ph
N
M t
c u
Ở
đi
qua
2
”
2
C
D'
A'
x2 y2 z 2 2 x 2 y 2 z 0
2
B'
M
N
D
C
B
ng trình m t c u (S) ngo i ti p t di n ”C MN có d ng:
”{n kính m t c u nói trên l| R
M
A
C'
x
nên
y
2 a 2 a 2a2
a2 0 a 2 2 a 0 2 a 0
1
2 a 2 a 2a2
a2 a2 0 2 a 2 a 0 0
2
2
5a2
0 a a2 0 a 2 a 0
a
2
a
3
4
4
2
2
6a2
a a2 a a 2 a a 0
a
2
a
a
4
4
4
4
(1) tr (2)
(5)
(2) tr (3) k t h p v i 5 2
3a
4
(6)
(3) tr (4) k t h p v i
a
4
(7)
(6) tr (7)
Thay ,
v|o
ta đ
c
a
m|
4
nên
ta đ
c
2a2
a
4
V y b{n kính m t c u ngo i ti p t di n ”C MN l| R
2
2
2
a2 a2 a2
a 35
2a2
16 16 16
6
Bài
Cho hình chóp t gi{c đ u Ở “”CD có c nh đ{y b ng a v| chi u cao b ng h. G i I l| trung đi m
c a c nh bên ỞC ởính kho ng c{ch t Ở đ n m t ph ng (ABI)
Gi i
z
Ch n h tr c t a đ Oxyz sao cho g c t a đ l| t}m O c a hình
vuông “”CD tia Ox ch a OA, tia Oy ch a O” v| tia Oz ch a
OS.
S
a 2
a 2 a 2
;0;0 , B 0;
;a , C
;0;0 , S 0;0;h
Khi đó A
2
2
2
I
M
Giao đi m M c a ỞO v| “I l| tr ng t}m c a tam gi{c Ở“C v| ta
D
h
có M 0;0;
3
Mp “”I c)ng l| mp “”M V y ph
l|
Tr n Đình C
C
O
ng trình c a mp(ABI)
x
A
B
y
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
8
19
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
x
a 2
2
y
a 2
2
x
y
z
z
1 0
1 hay
h
a 2 a 2 h
3
3
2
2
h
1
h
3
v y kho ng c{ch t S t i mp “”I l| d
1
a 2
2
2
1
a 2
2
2
2
1
h
3
2
2
a2
2
a2
9
hay d
h2
2ah
4h2 9a2
Bài
Cho hình l p ph ng “”CD “ ” C D có c nh b ng 1. G i M l| trung đi m c a c nh ”C ởính
kho ng c{ch t A t i m t ph ng “ MD
Gi i
Ch n h tr c t a đ nh hình v .
z
Kéo d|i DM c t AB t i E.
A'
1
ởa có BM AD
2
”M l| đ ng trung bình c a tam gi{c “DE
C'
B'
” l| trung đi m c a AE
D
A
AE 2AB 2 Khi đó
A 0;0;0 , E 2;0;0 , D 0;1;0 , A' 0;0;1 .
Mp “ MD c)ng l| m t ph ng (“ ED nên ph
m t ph ng “ MD l|
D'
B
ng trình c a
C
E
x y z
1 x 2y 2z 2 0
2 1 1
Kho ng c{ch t A t i mp “ MD l| d A, A'MD
M
y
x
2
1 4 4
2
3
Bài
Cho hình chóp Ở “”CD có đ{y “”CD l| hình thoi c nh b ng a v| BAD 1200 đ
l| t}m c a ABCD), SO 2a . G i M, N l n l t l| trung đi m c a DC v| Ở”
ng cao SO (O
a. ởính th tích c a kh i t di n SAMN.
b. Ch ng minh r ng t n t i duy nh t m t m t c u t}m O v| ti p xúc v i b n m t bên c a S.ABCD.
ởính th tích c a kh i c u t o b i m t c u nói trên
z
Gi i
ởa có BAD 1200 ABC 600
S
“”CD l| hình thoi c nh b ng a v| ABC 600
N
“”C “DC l| c{c tam gi{c đ u c nh b ng a.
OA OC
Ch n
h
a 3
a
v| OB OD
2
2
tr c
t a
đ
Oxyz
C
nh
hình
a
O 0;0;0 , A ;0;0 ,
2
Tr n Đình C
v
Khi
đó
B
M
D
y
O
A
x
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
9
20
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
a a 3 a 3
a
a 3
a 3
C ;0;0 , B 0;
;a
;0 , D 0;
;0 , N 0;
;0 , S 0;0;2a , M ;
4
4
4
2
2
2
a. Th tích c a t di n Ở“MN l| V
1
SA,SM .SN
6
a a 3
a 3
a
SA ;0; 2a , SM ;
; 2a , SN 0;
; a
4
4
4
2
a2 3 3a2 a2 3
3a3 3 a3 3 a3 3
SA,SM
;
;
SA,SM .SN
2
2
8
8
8
2
a3 3
12
b. M t c u t}m O v| ti p xúc v i b n m t bên
V y VSAMN
Ph
d O, SAB
ở
x
y
z
1 hay 4 3x 4y 3z 2a 3 0
a a 3 2a
2
2
ng trình mp Ở“” l|
2a 3
67
3
67
2a
ng t ta c)ng có d O, SBC d O, SCD d O, SDA 2a
3
67
V y t n t i duy nh t m t c u t}m O v| ti p xúc v i b n m t bên Ở“”
Ở”C
ỞCD
ỞD“ b{n kính
3
đpcm
67
c a m t c u n|y b ng 2a
Bài
Cho t di n O“”C có O“ O” OC vuông góc v i nhau t ng đôi m t v| OA2 OB2 OC2 3 .
ởính th tích c a OABC khi kho ng c{ch t O đ n m t ph ng “”C đ t gi{ tr l n nh t.
Gi i
2
Đ t OA a, OB b v| OC c (a,b,c 0) ta có a b2 c2 3
Ch n
h
tr c
t a
đ
Oxyz
nh
O 0;0;0 , A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c
Ph
hình
v
ta
z
có
C
x y z
1
a b c
ng trình mp “”C l|
hay bcx acy abz abc 0
d O, ABC
y
O
1
1
a
2
1
b
2
1
c2
a2 b2 c2 3 3 a2 b2 c2
Theo b t đ ng th c Côsi ta có 1
1
1
1
2 2 2 33 2 2 2
a
b
c
a b c
Tr n Đình C
B
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
A
x
10
21
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a2 b2 c2
9 3
9
3
2
2
2
2
2
2
2
2
b
c
b
c
a
b
c2
a
a
1
1
a2
1
b2
1
1
3
c2
1
d O, ABC
3
x y ra a2 b2 c2 1 hay a b c 1
D u
V y d O, ABC
đ t gi{ tr
l n nh t b ng
1
3
khi a b c 1 v| trong tr
ng h p n|y
1
abc 1
đvtt
VOABC OA.OB.OC
6
6
6
Cho hình chóp Ở “”CD có đ{y “”CD l| hình vuông c nh a, c nh bên SA ABCD v| SA 2a .
Bài
G i M, N l n l
t l| trung đi m c a SA, SD.
a. ởính kho ng c{ch t “ đ n mp ”CM v| kho ng c{ch gi a hai đ ng th ng Ở” v| CN
b. ởính cô-sin góc gi a hai m t ph ng ỞCD v| Ở”C
c. ởính t s th tích gi a hai ph n c a hình chóp Ở “”CD chia b i mp(BCM)
Gi i
Ch n h tr c t a đ Oxyz có A O , tia Ox ch a AB, tia Oy ch a “D v| tia Oz ch a “Ở Khi đó
a
A 0;0;0 , B a;0;0 , C a;a;0 , D 0;a;0 , S 0;0;2a , M 0;0;a , N 0; ;a
2
ởa có BC 0;a;0 v| BM a;0;a
BC,BM a2 ;0;a2
z
S
a. Mp ”CM có vtpt
1
. BC,BM 1;0;1
2
a
V y ph ng trình c a mp ”CM l|
n
M
1 x a 0 y 0 1 z 0 0 hay x z a 0
d A, BCM
a
2
2
1 1
a
2
N
A
B
x
D
y
C
ởa có
a
BS a;0;2a , CN a; ;a ,SC a;a; 2a
2
a2
BS,CN a2 ; a2 ; BS,CN .SC a3 a3 a3 a3
2
Kho ng c{ch gi a hai đ
b.
SC,SD 0;2a2 ;a2
BS,CN .SC
a3
a3
2a
ng th ng Ở” CN l| d SB,CN
2
3
BS,CN
a4 3a
a4 a4
2
4
Mp ỞCD có vec-t ph{p tuy n n 0;2;1
Tr n Đình C
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
11
22
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
SB,SC 2a2 ;0;a2 Mp Ở”C có vec-t ph{p tuy n n' 2;0;1
l| góc gi a hai m t ph ng ỞCD v| Ở”C ta có cos
G i
n.n'
n . n'
1
5. 5
1
5
1
1
2a3
c. Th tích c a kh i chóp Ở “”CD l| V SABCD .SA a2 .2a
3
3
3
Mp(BCM) c t SD t i N ta có
BCM SAD MN
BCM BC, SAD AD MN
BC AD
1
AD BC
Mp(BCM) chia kh i chóp th|nh hai ph n: kh i chóp Ở ”CMN v| kh i đa di n còn l i.
1
Th tích c a kh i chóp Ở ”CMN l| V1 SBCMN .d S, BCM trong đó
3
”CMN l| hình thang có đ{y l n BC a đ{y nh MN
SBCMN
a
, chi u cao BM AB2 AM2 a 2
2
1
1
a
3a2 2
AB MN .BM a .a 2
2
2
2
4
2a a
d S, BCM
12 12
1 3a2 2 a
a3
.
V1 .
3
4
2
2 4
a
V y t s th tích gi a hai ph n c a hình chóp Ở “”CD chia b i mp ”CM l| k
Chú
BC AB
BC SAB BM BC BM
ta có
BC SA
T
v|
Bài
CC
”CMN l| hình thang có đ
V1
V V1
a3
4
3
3
2a
a
3
4
3
5
2
ng cao BM.
Cho hình h p ch nh t “”CD “ ” C D có AB AD a , AA' b . G i M l| trung đi m c a c nh
a. ởính th tích c a kh i t di n ”D“ M
b. ởìm t s
a
đ
b
A'BD MBD
Gi i
z
Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O A c{c tia Ox Oy Oz l n
l
t đi qua c{c đi m ” D “
Khi đó A 0;0;0 , B a;0;0 ,
O A
M
a. Th tích c a kh i t di n ”D“ M
1
BD,BM .BA'
6
Tr n Đình C
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
C'
B'
b
C a;a;0 , D 0;a;0 , A' 0;0;b , C' a;a; b , M a;a;
2
VBDA ' M
D'
A'
x
B
D
C
12
23
y
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ab ab
b
2
BD a;a;0 , BM 0;a; BD,BM ; ; a
2
2 2
v i
2
3a b
BA' a;0; b BD,BM .BA' 2
1
a2 b
BD,BM .BA'
6
4
v y VBDA ' M
ab ab
b. M t ph ng ”DM có vec-t ph{p tuy n l| n1 BD,BM ; ; a2
2 2
M t ph ng “ ”D có vec-t ph{p tuy n l| n2 BD,BA' ab;ab;a2
Hai m t ph ng ”DM v| “ ”D vuông góc v i nhau
a2 b2 a2 b2
a
a2 0 a b 1
2
2
b
Bài
Cho hình chóp Ở “”CD có chi u cao SA a đ{y “”CD l| hình thang vuông t i “ v| ”
AB BC a, AD 2a . G i E v| F l n l t l| trung đi m c a “D v| ỞC
n1.n2 0
a. ởính kho ng c{ch t “ đ n mp ỞCD v| th tích c a t di n SBEF.
b. X{c đ nh t}m v| tính b{n kính c a m t c u ngo i ti p t di n SCDE.
Gi i
Ch n h tr c t a đô Oxyz sao cho O A c{c tia Ox Oy
Oz l n l t đi qua c{c đi m ” D Ở Khi đó
z
A 0;0;0 , B a;0;0 , C a;a;0 ,
S
a a a
D 0;2a;0 , S 0;0;a , E 0;a;0 , F ; ;
2 2 2
x y z
1. M t
m 2a a
a
a
ph ng n|y đi qua đi m C a;a;0 nên
1 m 2a
m 2a
a. Ph
V y ph
F
ng trình mp ỞCD có d ng:
ng trình c a mp ỞCD l|
x y 2z 2a 0
d A, SCD
2a
11 4
x
x
y z
1 hay
2a 2a a
E
A
D
B
y
C
2a 6
3
Th tích c a t di n Ở”EF l| V
1
SB,SE .SF
6
a a a
ởa có SB a;0; a , SE 0;a; a , SF ; ;
2 2 2
a3 a3 a3 a3
SB,SE a2 ;a2 ;a2 SB,SE .SF
2 2 2
2
V y SSBEF
b. Ph
1 a3 a3
6 2 12
ng trình m t c u ngo i ti p t di n ỞCDE có d ng
x2 y2 z2 2Mx 2Ny 2Pz Q 0
Tr n Đình C
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
24 13
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
a2 2Pa Q 0
a2 a2 2Ma 2Na Q 0
M t c u đi qua Ở C D E nên
2
4a 4Na Q 0
2
a 2Na Q 0
a
3a
3a
ng trình trên ta có M , N , P , Q 2a2 .
2
2
2
Gi i h ph
a 3a 3a
V y m t c u ngo i ti p t di n ỞCDE có t}m I ; ; v| b{n kính
2 2 2
R
Bài
a2 9a2 9a2
a 11
2a2
4
4
4
2
Cho t di n O“”C có c{c tam gi{c O“” O”C v| OC“ l| c{c tam gi{c vuông đ nh O. G i , ,
l n l t l| góc gi a m t ph ng “”C v| c{c m t ph ng (OBC), (OCA), (OAB). B ng ph
đ hãy ch ng minh:
ng ph{p t a
a. ởam gi{c “”C có ba góc nh n.
b. cos2 cos2 cos2 1
Gi i
Ch n h tr c t a đ Oxyz nh hình v .
z
ởa có A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c , v i a 0, b 0, c 0
C
( a OA , b OB , c OC )
a. Ch ng minh tam gi{c “”C có ba góc nh n
AB a;b;0 , AC a;0;c
y
AB.AC a2 0
O
V y góc “ c a tam gi{c “”C l| góc nh n.
Ch ng minh t ng t
l| c{c góc nh n.
c{c góc ” v| C c a tam gi{c “”C c)ng
A
b. Ch ng minh cos2 cos2 cos2 1
Ph
B
x
x y z
1
a b c
ng trình c a mp “”C l|
1 1 1
Mp “”C có vec-t ph{p tuy n l| n ; ;
a b c
M t ph ng O”C chính l| m t ph ng Oyz nên có vec-t ph{p tuy n l| i 1;0;0
l| góc h p b i mp “”C v| mp O”C ta có cos
n.i
n.i
1
a
1
ở
ng t
ta có cos2
1
a
2
b
2
b
2
1
1
2
c
cos2
1
2
a
a2
1
b
2
1
c2
1
2
b
1
2
1
a
1
1
2
c
, cos2
1
a
2
c2
1
b
2
1
c2
V y cos2 cos2 cos2 1 đpcm
Tr n Đình C
Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT
14
25
