Một số dạng toán thường gặp về giao điểm của đồ thị hàm số phân thức

Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC y =

ax + b
cx + d

Bài toán 1: Bài toán về biện luận số giao điểm.
Phương pháp giải:
 Ax 2 + Bx + C = 0(*)
ax + b
⇔
1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: mx + n =

cx + d
 x ≠ −d / c

2. Biện luận số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
Xảy ra các khả năng:
* d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác -d/c .
* d cắt (C) tại một điểm ⇔ thỏa mãn một trong hai trường hợp:
- phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng -d/c
- phương trình (*) có nghiệm kép khác -d/c .
* d không cắt (C) ⇔ thỏa mãn một trong hai trường hợp:
- phương trình (*) vô nghiệm.
- phương trình (*) có nghiệm kép bằng -d/c .
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Xác định m để đồ thị hàm số y =

3x + 2
(C) cắt đường thẳng d: y = x + m tại hai

x+2

điểm phân biệt.
Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.
Phương trình hoành độ giao điểm: x + m =

 x 2 + (m − 1) x + 2m − 2 = 0
3x + 2
⇔
.
x+2
 x ≠ −2

(C) cắt d tại hai điểm phân biệt ⇔ x 2 + (m − 1) x + 2m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -2.
∆ = (m − 1) 2 − 8(m − 1) > 0
⇔
⇔ m 2 − 10m + 9 > 0 ⇔ m ∈ (- ∞ ; 1) ∪ ( 9; + ∞ ).
4 − 2(m − 1) + 2m − 2 ≠ 0

Vậy m ∈ (- ∞ ; 1) ∪ ( 9; + ∞ ).
Bài 2: Chứng minh rằng đường thẳng d: 2 x − y + m = 0 luôn cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.
Chú ý: giả sử d cắt (C) tại hai điểm A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 )

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên

x +1
(C)
x −1

Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
* A, B cùng nhánh ⇔ x1 < x 2 < −d / c hoặc − d / c < x1 < x2
d
d
⇔ ( x1 − )( x 2 − ) > 0 ⇔ c 2 x1 x 2 − cd ( x1 + x 2 ) + d 2 > 0
c
c

* A, B khác nhánh ⇔ x1 < − d / c < x 2
d
d
⇔ ( x1 − )( x 2 − ) < 0 ⇔ c 2 x1 x 2 − cd ( x1 + x 2 ) + d 2 < 0
c
c

Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
2x + m =

2 x 2 + (m − 3) x − m − 1 = 0
x +1
⇔
(1)
x −1
x ≠ 1

∆ = m 2 + 2m + 17 = (m + 1) 2 + 16 > 0 với mọi m
⇔ (C) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt A, B.

Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1.x2 = Xét = -

m +1
m−3
, x1 + x2 = 2
2

m−3
m +1
+
+ 1 = - 1 < 0 ⇔ x1 < 1 < x2
2
2

Vậy A và B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.
Bài 3: Chứng minh đồ thị hàm số y =

x −1
luôn cắt đường thẳng y = m(x-2), (m khác 0) tại
x

2 điểm phân biệt, trong đó có ít nhất 1 điểm có hoành độ dương.
Chú ý: Dấu về nghiệm của phương trình: ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
∆ ≥ 0

* Phương trình có 2 nghiệm dương ⇔ S > 0
P > 0


* Phương trình có 2 nghiệm âm

∆ ≥ 0

⇔ S < 0
P > 0


* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0.
Lời giải: TXĐ: R\{0}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
mx 2 − (2m + 1) x + 1 = 0
x −1
⇔
m ( x − 2) =
(1)

x
x ≠ 0

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
do m khác 0, ∆ = 4m 2 + 1 > 0 với mọi m ⇔ (C) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt.
Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1 + x2 = (2m + 1)/m, x1 . x2 = 1/m
Nếu m > 0: x1 + x2 > 0 và x1.x2 > 0. Suy ra x1 , x2 dương
Nếu m < 0: x1.x2 < 0 ⇒ x1, x2 trái dấu nên có ít nhất một số dương.
Bài 4: Xác định m để trên đồ thị hàm số y =

x−2

(C) có hai điểm phân biệt A( x1 , y1 ) , B(
x+2

 x1 − y1 + m = 0
.
 x2 − y 2 + m = 0

x 2 , y 2 ) thuộc cùng một nhánh của (C) sao cho: 

Lời giải: TXĐ: R\{-2}.
 x1 − y1 + m = 0
Hai điểm A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) thỏa mãn: 
thì A, B thuộc đường thẳng
 x2 − y 2 + m = 0
d: x - y + m = 0 ⇔ y = x + m. Do A, B thuộc (C) nên A, B nằm trên giao điểm của (C) và d.
Khi đó phương trình : x + m =

x−2
có hai nghiệm phân biệt
x+2

⇔ x 2 + (m + 1) x + 2m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -2.

∆ = m 2 − 6m − 7 > 0
⇔
⇔ m < −1 hoặc m > 7
4 − 2m − 2 + 2m + 2 ≠ 0

A, B cùng nhánh khi (x1 + 2)( x2 + 2) >0 ⇔ x1.x2 + 2( x1 + x2) + 4 > 0
⇔ 2m + 2 + 2(-m - 2) + 4 > 0: luôn đúng

Vậy m < −1 hoặc m > 7 .

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Bài toán 2: Bài toán về khoảng cách giữa hai giao điểm.
Phương pháp giải:
1. Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
2. Gọi giao điểm là A(x1; mx1 + n), B(x2; mx2 + n), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*).
Khi đó AB =

( x 2 − x1 ) 2 + m 2 ( x 2 − x1 ) 2 = (1 + m 2 )[( x 2 + x1 ) 2 − 4 x 2 x1 ]

3. Áp dụng định lý Viet: tính x1 + x2 và x1.x2 theo tham số
⇒ khoảng cách AB biểu thị theo tham số.

4. Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.
* Định lý Viet: Nếu x1 , x 2 là nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 thì:
b
c
x1 + x 2 = − , x1 .x 2 =
a
a

* x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) 2 − 2 x1 x 2 , ( x1 − x 2 ) 2 = ( x1 + x 2 ) 2 − 4 x1 x 2
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Tìm m để đường thẳng d: y = - x + m cắt đồ thị hàm số y =

x−2
(C) tại hai điểm
x −1

phân biệt A, B sao cho:
1. độ dài đoạn AB bằng 4.
2. độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
 x 2 − mx + m − 2 = 0
x−2
⇔
−x+m=
(1)
x −1
x ≠ 1

(C) cắt d tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình: x 2 − mx + m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt
∆ = m 2 − 4(m − 2) > 0
khác 1 ⇔ 
luôn đúng.
1 − m + m − 2 ≠ 0

Gọi giao điểm là A(x1; -x1 + m), B(x2; -x2 + m), với x1, x2 là nghiệm của (1)
( x 2 − x1 ) 2 + (− x 2 + x1 ) 2 =

Khi đó AB =

do x1 + x2 = m, x1.x2 = m - 2 nên AB =
1. AB = 4 ⇔

2[( x 2 + x1 ) 2 − 4 x 2 x1 ]

2m 2 − 8m + 16

2m 2 − 8m + 16 = 4 ⇔ m = 0, m = 4.

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
2. AB =

2(m − 2) 2 + 8 ≥ 2 2 . Suy ra AB nhỏ nhất khi m = 2.

Bài 2: Tìm m để đường thẳng ∆ : y = - x + 1 cắt đồ thị y =
biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

− 2x + m
(C) tại hai điểm phân
x+4

2.

Lời giải: TXĐ: R\{- 4}.
S=

1
d(O, ∆ ).AB.
2

Ta có d(O, ∆ ) =

1
2

. Do đó: S = 2 ⇔ AB = 4.

Áp dụng cách giải bài 3.1 ta tìm được m = 9/4.
Bài 3: Cho đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y =

3x + 2
(1) tại hai điểm A và B. Xác
x+2

định m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm C, D sao cho ABCD
là hình bình hành.
Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.
Ta tìm được A(-1; -1), B(2; 2) ⇒ AB = 3 2 .
ABCD là hình bình hành ⇔ AB//CD và AB = CD.
* AB//CD khi đường thẳng y = x song song với y = x + m ⇔ m ≠ 0.
* CD = AB ⇒ CD = 3 2 :
Phương trình hoành độ giao điểm:
 x 2 + (m − 1) x + 2m − 2 = 0
3x + 2
⇔
x+m=
x+2
 x ≠ −2
(1) cắt d tại hai điểm phân biệt ⇔ x 2 − mx + m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác - 2 ⇔

∆ = m 2 − 10m + 9 > 0

4 − 2m + 2 + 2m − 2 ≠ 0

⇔ m < 1 hoặc m > 9.

Gọi giao điểm C(x1; x1 + m), D(x2; x2 + m). Khi đó AB =
do x1 + x2 = m - 1, x1.x2 = 2m - 2 nên CD =
CD = 3 2 ⇔

2[( x 2 + x1 ) 2 − 4 x 2 x1 ]

2m 2 − 20m + 18

2m 2 − 20m + 18 = 3 2 ⇔ m = 0(loại) , m = 10( thỏa mãn).

Vậy m = 10.
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Bài toán 3: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một điểm cho trước.
Phương pháp giải:
Cho hai điểm A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 )
 x1 + x 2 = 2 x 0
* A, B đối xứng nhau qua điểm I( x 0 , y 0 ) ⇔ 
.
 y1 + y 2 = 2 y 0
* A, B cách đều điểm M ⇔ MA = MB
Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y = ax + 2b − 4 cắt đồ thị hàm số y =

3x + 2
(C) tại
x+2

hai điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.
A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O ⇒ d đi qua O ⇒ b = 2.
Khi đó d: y = ax. Phương trình hoành độ giao điểm:
ax 2 + (2a − 3) x − 2 = 0
3x + 2
⇔
ax =
(1)
x+2
 x ≠ −2
a ≠ 0

2
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆ = (2a − 3) + 8a > 0 : luôn đúng
4a − 4a + 6 − 2 ≠ 0


Gọi A(x1; ax1), B(x2; ax2 )
 x1 + x2 = 0
A, B đối xứng nhau qua O ⇔ O là trung điểm của AB ⇔ 
ax1 + ax2 = 0
⇔ x1+ x2 = 0 ⇔ a = 3/2.

Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2- m cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại hai điểm
x −1

phân biệt A, B sao cho tam giác MAB cân tại M với M(2; 1).
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
mx 2 − 2mx + m − 3 = 0
2x + 1
⇔
mx + 2 − m =
(1)
x −1
x ≠ 1

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
m ≠ 0

2
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆' = m − m(m − 3) > 0 ⇔ m > 0.
m − 2 m + m − 3 ≠ 0


Khi đó A(x1; mx1 + 2 - m), B(x2; mx2 + 2 - m), x1, x2 là nghiệm của (1).
Tam giác ABM cân tại M ⇔ MA = MB và A, B, M không thẳng hàng.

* A, B, M không thẳng hàng: M ∉ d: 1 ≠ 2m + 2 - m ⇔ m ≠ -1.
* MA = MB ⇔ ( x1 − 2) 2 + (mx1 + 1 − m) 2 = ( x2 − 2) 2 + (mx2 + 1 − m) 2
⇔ (1 + m 2 )( x1 + x2 ) + 2(1 − m) − 4 = 0

thay x1 + x2 = 2

⇔ (1 + m 2 ) 2 + 2(1 − m) − 4 = 0 nghiệm m = 0(loại), m = 2: thỏa mãn

Vậy m = 2.

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Bài toán 4: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một đường thẳng.
Phương pháp giải:
1) A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ ⇔ thỏa mãn cả hai điều kiện:
* AB ⊥ ∆ .
* trung điểm I của đoạn AB thuộc ∆ .
2) A, B cách đều đường thẳng d ⇔ thỏa mãn một trong hai điều kiện:
* AB // ∆ .
* trung điểm I của đoạn AB thuộc ∆ .
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y = ax + b cắt đồ thị hàm số y =

x
(C) tại hai
x+2

điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ : x − 2 y + 4 = 0 .

Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.
∆: y =

1
x + 2 . A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ thì d ⊥ ∆ . Suy ra a = -2.
2

Khi đó d: y = -2x + b. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

− 2x + b =

2 x 2 − (b − 5) x − 2b = 0
x
⇔
(1). Ta có:
x+2
 x ≠ −2

∆ = (b − 5) 2 + 8b > 0
với mọi b nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.

4 + 2(b − 5) − 2b ≠ 0

A(x1; -2x1 + b), B(x2; -2x2 + b), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1)
Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I(

x1 + x 2
b−5 b+5
;
;− x1 − x 2 + b ) = (

).
4
2
2

A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ ⇔ I thuộc ∆ ⇔ b = -3.
Vậy a = -2, b = -3.
Bài 2: Cho hàm số y =

2x + m
và đường thẳng d: y = mx + 2.
x −1

1. Tìm m để đồ thị hàm số và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, C sao cho khoảng cách từ
A, C đến trục hoành bằng nhau.
2. Tính diện tích hình chữ nhật nhận A, C là các đỉnh đối diện và các cạnh song song với các
trục tọa độ. Xác định m để diện tích hình chữ nhật bằng 20.

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
mx 2 − mx − m − 2 = 0
2x + m
⇔ 
Phương trình hoành độ giao điểm: mx + 2 =
.
x −1
x ≠ 1

m ≠ 0
8

m<−

2

5
d cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, C ⇔ ∆ = m + 4m(m + 2) > 0 ⇔ 
m − m − m − 2 ≠ 0
m > 0


Gọi A(x1 ; mx1 + 2), C(x2 ; mx2 + 2) ⇒ trung điểm AB: I(

x1 + x 2 m( x1 + x 2 ) + 4
;
)
2
2

1. A, C cách đều Ox khi:
TH1: d//Ox ⇔ m = 0: không thỏa mãn (*)
TH2: Trung điểm I của AB thuộc Ox: m( x1 + x2 ) + 4 = 0 ⇔ m = - 4: thỏa mãn (*)
2. B(x2 ; mx1 + 2), D(x1 ; mx1 + 2)

y

AB = x1 − x 2 , AD = m x1 − x 2
S = m ( x1 − x 2 ) 2 = m

5m + 8
.
m

B

A

S = 20 khi:
* m > 0: 5m + 8 = 20 ⇔ m = 12/5
* m < 0: 5m + 8 = -20 ⇔ m = -28/5

O
C

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên

D


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Bài toán 5: Bài toán liên qua đến góc
→

→

→

→

OA2 + OB2 < AB2 hoặc OA.OB < 0 .

1. Góc AOB tù khi:

2. Góc AOB vuông khi: OA2 + OB2 = AB2 hoặc OA.OB = 0 .
3. Góc AOB nhọn khi:

→

→

OA2 + OB2 > AB2 hoặc OA.OB > 0 .

Bài 1: Xác định m sao cho đường thẳng y = mx + 3 cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại hai
x−2

điểm phân biệt M, N sao cho tam giác OMN vuông tại O.
Lời giải: TXĐ: R\{2}.
→

→

Tam giác OMN vuông tại O khi OM .ON = 0 .
Phương trình hoành độ giao điểm:
mx 2 − (2m − 1) x − 7 = 0
2x + 1

⇔
mx + 3 =
x−2
x ≠ 2
m ≠ 0

2
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N ⇔ ∆ = (2m − 1) + 28m > 0 (*)
4m − 4m − 5 ≠ 0


Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (*), ta có M(x1, mx1 + 3), N(x2, mx2 + 3).
→

→

OM .ON = 0 ⇔ x1x2 + (mx1 + 3)( mx2 + 3) = 0.
⇔ (1 + m2) x1x2 + 3m(x1 + x2 ) + 9 = 0,

thay x1 + x2 = (2m - 1)/m, x1 x2 = -7/m ta có m2 - 6m + 7 = 0 ⇔ m = 3 ± 2 : tm (*)

Bài 2: Cho hàm số y =

x+3
có đồ thị (C). Tìm m sao cho đường thẳng d: y = - x + m +1
x−2

cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho góc AOB nhọn.
Lời giải: TXĐ: R\{2}.
→

→

Góc AOB nhọn khi OA.OB > 0 . Phương trình hoành độ giao điểm:
− x + m +1 =

 x 2 − ( 2 + m) x + 2m + 5 = 0
x+3
⇔
.
x−2
x ≠ 2

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N ⇔ m 2 − 4m − 16 > 0 .(*)
Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình, A(x1, - x1 + m + 1), B(x2, - x2 + m + 1).
→

→

OA.OB > 0 ⇔ x1x2 + (- x1 + m + 1)( - x2 + m + 1) > 0.
⇔ 2 x1x2 - (1+ m)(x1 + x2 ) + (m + 1)2 > 0.

thay x1 + x2 = m +2, x1 x2 = 2m + 5 ta có m > - 3.
Kết hợp (*) có -3 < m < 2 − 3 hoặc m > 2 + 3 .
Bài 3: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y =

x+2
tại hai điểm phân biệt
x −1

A, B sao cho đường tròn đường kính AB đi qua gốc tọa độ O.
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
→
→
Đường tròn đường kính AB đi qua O ⇔ góc AOB vuông ⇔ OA.OB = 0 .

Phương trình hoành độ giao điểm ⇔ x 2 − mx + m + 2 = 0 , x ≠ 1. (1)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ m 2 − 4m − 8 > 0 .(*)
Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1), A(x1, - x1 + m), B(x2, - x2 + m).
→
→
OA.OB = 0 ⇔ x1x2 + (- x1 + m)( - x2 + m ) = 0.

⇔ 2 x1x2 - m(x1 + x2 ) + m2 = 0.

thay x1 + x2 = m, x1 x2 = m + 2 ta có m = - 2: thỏa mãn điều kiện
Vậy m = - 2.

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Bài toán 6: Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị tại hai giao điểm
Phương pháp giải:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
* Gọi giao điểm là A(x1 ; mx1 + n), B(x2 ; mx2 + n), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*)

* Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B: k1 = y'(x1), k2 = y'(x2)
* Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.
Chú ý:
- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x1) = y'(x2).
- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau ⇔ thì y'(x1) . y'(x2) = - 1.
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Xác định m để đường thẳng y = 2 x + m cắt đồ thị hàm số y =

x +1
tại hai điểm
x −1

A, B sao tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau.
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
x +1
⇔
2x + m =
x −1

2 x 2 + (m − 3) x − m − 1 = 0

x ≠ 1

∆ = (m − 3) 2 + 8(m + 1) > 0
⇔
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
: luôn đúng

2 + m − 3 − m − 1 ≠ 0

Khi đó A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m).
Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc y'(x1) =

−2
.
( x1 − 1) 2

Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc y'(x2) =

−2
.
( x2 − 1) 2

Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x1) = y'(x2) ⇔
( x1 − 1) 2 = ( x2 − 1) 2 ⇔ x1 + x 2 = 2 ⇔ −

m−3
= 2 ⇔ m = - 1.
2

Thử lại: tiếp tuyến của đồ thị tại A: y = -2x - 1, tiếp tuyến tại B: y = - 2x + 7: thỏa mãn.
Vậy m = - 1.

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị hàm số
y=

− x +1
tại 2 điểm A, B. Gọi k1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại A, B.
2x − 1

Tìm m để k1 + k 2 đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải: TXĐ: R\{1/2}
Phương trình hoành độ giao điểm ⇔ 2 x 2 + 2mx − m − 1 = 0 , x ≠ 1/2 (1)
∆ = m 2 + 2m + 2 > 0
⇔
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
: luôn đúng

1 / 2 + m − m − 1 ≠ 0

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1), có x1+ x2 = - m, x1. x2 = - (m + 1)/2
khi đó A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m).
Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc k1 =

−1
.
(2 x1 − 1) 2

Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc k2 =

−1
.
(2 x2 − 1) 2

−1

−1
4( x1 + x2 ) 2 − 8 x1 x2 − 4( x1 + x2 ) + 2
−
k1 + k2 = (2 x − 1) 2 + (2 x − 1) 2 =
[4 x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1]2
2
1

= − 4m 2 − 8m − 6 = − 4(m + 1) 2 − 2 ≤ −2 .
Vậy k1 + k2 lớn nhất khi m = -1.

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Bài toán 7: Một vài bài toán khác
Bài 1: Cho hàm số y =

2x − m
( m ≠ 0) có đồ thị (C) và đường thẳng ∆ : y = 2x -2m. ∆ cắt
mx + 1

(C) tại 2 điểm phân biệt A, B. ∆ cắt Ox, Oy tại C, D.
Tìm m để diện tích tam giác OAB gấp 3 lần diện tích tam giác OCD.
Lời giải:
SOAB =

2m
1
d(O, ∆ ).AB với d(O, ∆ ) =

.
2
5

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) ⇔ 2 x 2 − 2mx − 1 = 0 , x ≠ -1/m. (1)
ta có A(x1, 2x1 - 2m), B(x2, 2x2 - 2m)
AB =

5[( x 2 + x1 ) 2 − 4 x 2 x1 ] =

5(m 2 + 2) ⇒ SOAB = m m 2 + 2

∆ cắt Ox tại C(m; 0), ∆ cắt Oy tại D(0; -2m) ⇒ SOCD = m2

SOAB = 3SOCD ⇔ m m 2 + 2 = 3 m2 ⇔ m = 1/2 và m = -1/2
Bài 2: Cho hàm số y =

x+2
có đồ thị (C) và đường thẳng ∆ đi qua A(1; 0) và có hệ số góc
x −1

k. Tìm k để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N và AM = 2AN.
Lời giải:
Phương trình ∆ : y = k(x - 1).
Phương trình hoành độ giao điểm của ∆ và (C) ⇔ kx 2 − (2k + 1) x + k − 2 = 0 , x ≠ 1. (1)
∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ k > -1/12, k ≠ 0 . Khi đó M(x1, kx1 - k), N(x2, kx2 - k).

 x − 1 = −2( x − 1)

1

2
→
→
* M và N khác nhánh ⇔ k > 0: ta có AM = −2 AN ⇔ 
kx
−
k
=
−
2(
kx2 − k )
 1

Theo ĐL Viét: x1 + x2 =
Thay vào x1 x2 =

2k + 1
⇒ x1= (k + 2)/k, x2= (k -1)/k,
k

k −2
có k = 2/3: thoả mãn. < M(4; 2). N(-1/2; -1)>
k
 x − 1 = 2( x − 1)

1
2
→
→
* M và N cùng nhánh ⇔ -1/12

 kx1 − k = 2(kx2 − k )

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Theo ĐL Viét: x1 + x2 =
Thay vào x1 x2 =

2k + 1
⇒ x1= (3k + 2)/3k, x2= (3k +1)/3k,
k

k −2
có k = -2/27: thoả mãn. < M(-8; 2/3). N(-7/2; 1/3)>
k

Vậy k = 2/3 và k = -2/27

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài toán 1: Biện luận
Bài 1: Xác định m để:
a) đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị hàm số y =

x
tại 2 điểm phân biệt.
x −1

b) đường thẳng d: y = 2x +m không cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
x+2

Bài 2: Tìm m để đường thẳng y = m x + 3 không cắt đồ thị hàm số y =

3x + 4
.
x −1

Bài toán 2: Khoảng cách
Bài 1: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại 2 điểm phân biệt A, B
x+2

sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.

Bài 2: Chứng minh rằng đường thẳng y =

x+3
1
x - m cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm
2
x+2

phân biệt A, B.Tìm m để độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.
Bài 3: Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y =

x +1
tại 2 điểm phân
x −1

biệt A, B.Tìm m để độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.
Bài 4: Xác định m sao cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y =

2x
tại 2 điểm phân
x−2

biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.
Bài 5: Xác định m sao cho đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại 2 điểm phân
x+2

biệt M, N sao cho MN nhỏ nhất.

Bài 6: Xác định m sao cho đường thẳng y = m(x -1) +1 cắt đồ thị hàm số y =

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên

2x + 4
tại hai
1− x


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức

điểm phân biệt M, N sao cho MN = 3 10 .
Bài 7: Cho hàm số y =

x−2
có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi qua giao điểm hai tiệm cận
x −1

và có hệ số góc k. Tìm k sao cho đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao
cho AB = 2 2 .
Bài 8: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y =

2x − 2
tại 2 điểm phân biệt A, B
x +1

sao cho AB = 2 2 . (ĐS: m = - 1, m = 7)
Bài 9: Xác định m sao cho đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y =

x
tại 2 điểm phân
x −1

biệt M, N sao cho MN = 10 .
Bài 10: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y =
sao cho AB =

2x − 2
tại 2 điểm phân biệt A, B
x +1

5.

Bài 11: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y =

x+3
tại 2 điểm phân biệt A, B
x +1

sao cho AB = 5.
Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = x -2m cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại 2 điểm phân biệt A, B
x −1

sao cho AB = 6.

Bài 13: Xác định m sao cho đường thẳng 2x + 2 y - 1 = 0 cắt đồ thị hàm số y =

điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

m−x
tại 2
x+2

3
.
8

Bài 14: Tìm m sao cho đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại hai điểm
x +1

phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 . (B2010)
Bài 15: Xác định m sao cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y =

2x + 3
tại 2 điểm phân
x−2

biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 3 .

Bài toán 3: Vị trí đối với 1 điểm

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức

Bài toán 4: Vị trí đối với 1 đường thẳng
Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị hàm số y =

x −1
tại 2 điểm A, B sao
x +1

cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
Bài 2: Xác định m để đường thẳng y =

1
2x
x + m cắt đồ thị hàm số y =
tại 2 điểm A, B sao
x −1
2

cho A, B cách đều đường thẳng ∆ : 2 x + y − 4 = 0
Bài 3: Xác định m để đường thẳng y = mx + 2m + 1 cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại hai điểm
x +1

phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A, B đến trục hoành bằng nhau.(D2011)
Bài toán 5: Góc
Bài 1: Cho hàm số y =

x+3
có đồ thị (C). Tìm m sao cho đường thẳng d:
x+2
→

→

y = 2x + 3m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho góc OA . OB = −4 .
Bài toán 6: Tiếp tuyến
Bài 1: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y =

2x − 2
tại 2 điểm phân biệt A,
x +1

B sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau.
Bài toán 7: Dạng khác
Bài 1: Cho hàm số y =

x+2
(C) .Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại 2 điểm phân
2x − 2

2
2
biệt A, B sao cho OA + OB =

37
.
2

Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: 2mx - 2y + m +1 cắt y =

x +1
(C) tại hai điểm phân biệt A, B
2x + 1

sao cho biểu thức P = OA 2 + OB 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: Tìm m sao cho đường thẳng d: y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y =

2x + 4

tại 2 điểm phân
x +1

biệt A, B. Khi đó hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên