Bai toan ve tiep tuyen cua do thi ham so doc

A. Đặt vấn đề:
I. Lời mở đầu:
Giao duc va ao tao Viờt Nam trong nhng nm qua a kip tiờp cõn vi xu thờ
chung cua thi ai. Nghi quyờt Trung ng II a chi ro: "ụi mi manh me phng
phap giao duc ao tao, khc phuc lụi truyờn thu mụt chiờu, ren thanh nờp t duy sang
tao cua ngi hoc, tng bc ap dung cac phng phap tiờn tiờn va phng tiờn hiờn
ai vao qua trinh day hoc, am bao thi gian t hoc cho hoc sinh , sinh viờn ".
Day hoc toan thụng qua kiờn thc la phai day hoc sinh kha nng t duy: phõn tich,
tụng hp , tru tng hoa , cu thờ hoa, khai quat hoa , Trong o phõn tich tụng
hp co vai tro trung tõm. Phai day hoc sinh kha nng t tim toi, t phat hiờn va phat
biờu võn ờ, d oan c cac kờt qua, tim c hng giai quyờt mụt bai toan,
hng hng chng minh mt s nh lớ. c bit l trong dy toỏn v hm s v cỏc
bi toỏn liờn quan n hm s trong ú cú ch v tip tuyn ca th hm s.
Trong sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ tập trung vào bài toán tiếp tuyến của đồ th hàm
số mà không khai thác các dạng tiếp tuyến của các đờng côníc. Sáng kiến này cũng
không đi sâu vào việc chỉ ra các cách khác nhau để giải bài toán về tiếp tuyến của đồ
thị hàm số mà chỉ tập trung vào các cách làm đơn giản để học sinh có thể thành thạo
trong giải toán.
II. Thực trạng của vấn đề:
Bài toán về tiếp tuyến của hàm số có nhiều dạng khác nhau. Học sinh khi học phần
này thờng không nắm vững phơng pháp giải toán trong khi đó loại toán dạng này th-
ờng có trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào các trờng Đại học, Cao
đẳng trong những năm gần đây. Do đó cần rèn luyện để học sinh thành thạo với bài
toán và khắc phục đợc những sai lầm khi làm bài tập loại này. Một sai lầm chủ yếu
khi học sinh viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là nhầm giữa hai khái niệm
tiếp tuyến đi qua và tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị của hàm số. Vì vậy hệ thống
một cách đầy đủ và có phân loại là yêu câu cần thiết đối với chủ đề này.
Hiện nay bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã đợc đa xuống chơng trình lớp
11. Vì vậy đây là tài liệu tham khảo cho giáo viên trong quá trình giảng dạy và là tài
liệu có hệ thống đầy đủ để học sinh học tập. Trải qua quá trình tìm tòi và nghiên cứu
cũng nh trong việc giảng dạy đồng thời nhằm góp phần giảng dạy hiệu quả chủ đề tiếp

tuyến của đồ thị hàm số tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến:
Hớng dẫn học sinh phân loại bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
1
B. Giải quyết Vấn đề.
I. Các giải pháp thực hiện:
Để giúp học sinh hiểu và nắm rõ các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số ngời
giáo viên cần phải:
Làm rõ đợc phơng pháp giải toán đối với bài toán viết phơng trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số ở ba dạng cơ bản: tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị của hàm số, tiếp
tuyến với hệ số góc cho trớc và tiếp tuyến đi qua một điểm.
Học đi đôi với hành do đó vừa giảng, vừa luyện là một trong những cách để
giảng dạy bộ môn toán hiệu quả. Day toan khụng chi n thuõn la day cho hoc sinh
nm c nhng inh nghia, inh li, khai niờm, quy tc ma iờu quan trong hn ca
la day cho hoc sinh co nng lc tri tuờ, co ky nng thc hanh, co kha nng võn dung
kiờn thc ờ giai toan va a toan hoc vao ng dung thc tờ.
Nng lc tri tuờ se c hinh thanh va phat triờn trong qua trinh hoat ng nhõn
thc. Nng lc toan hoc se c phat triờn khi hoc sinh c tham gia vao viờc suy
nghi tim toi cach chng minh inh li, giai bai tõp toan, lam cac bai thc hanh Bi
võy ờ co hiờu qua ngi thõy phai tụ chc tụt gi day, tao iờu kiờn ờ hoc sinh c
lam viờc nhiờu, phat huy tinh tich cc, chu ụng trong qua trinh linh hụi kiờn thc.
Vì vậy cần hệ thống kiến thức cho học sinh từ dễ đến khó để học sinh tham gia vào
các hoạt động một cách chủ động, có hứng thú trong học tập. Điều quan trọng là trong
quá trình giảng dạy là giáo viên phải tìm ra các biện pháp hớng dẫn, tổ chức cho học
sinh tìm hiểu, nghiên cứu để nắm rõ đợc bản chất của vấn đề.
II. Các biện pháp tổ chức thực hiện:
II.1-Biện pháp chung:
Giáo viên cần nghiên cứu sách giáo khoa môn toán của lớp 11 và 12; đề thi tốt
nghiệp trung học phổ thông và bổ túc trung học phổ thông qua các năm; các tài liệu về
đề thi tuyển sinh môn toán, khai thác tài liệu trên mạng Từ đó tập hợp và hệ thống
các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, phân loại thành các dạng khác nhau từ

dễ đến khó để phù hợp với đối tợng học sinh.
Trong mỗi dạng có phơng pháp chung, các ví dụ mẫu cụ thể và hệ thống bài tập hợp
lí nhằm dẫn dắt học sinh trong quá trình học tập, tạo ra tinh thần học tập hứng thú cho
học sinh.
II.2 Phần nội dung cụ thể:
2
Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài toán 1: Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm
)();(
000
CyxM
. Viết phờng trình tiếp
tuyến của (C) tại điểm
);(
000
yxM
.
2.Ph ơng pháp:
Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại
);(
000
yxM
có dạng :
))(('
000
xxxfyy =
.
Ví dụ : Cho hàm số
53

3
+= xxy
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết :
a) Tại điểm A ( -1; 7).
b) Tại điểm có hoành độ x = 2.
c) Tại điểm có tung độ y =5.
Giải:
a) Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
);(
000
yxM
có dạng :
))(('
000
xxxfyy =
Ta có:
33'
2
= xy

0)1(' = y
.
Do đó phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là:
07 =y
hay y = 7.
b) Từ
72 == yx
.
y(2) = 9. Do đó phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:

1191897)2(97 === xyxyxy
3
O
y
y = f(x)
y
0
x
x
0
M
0
c) Ta có:





=
=
=
==+=
3
3
0
035535
33
x
x

x
xxxxy
+) Phơng trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5).
y(0) = -3.
Do đó phơng trình tiếp tuyến là:
)0(35 = xy
hay y = -3x +5.
+) Phơng trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm
)5;3(
.
63)3(3)3('
2
==y
Do đó phơng trình tiếp tuyến là:
)3(65 += xy
hay
5366 ++= xy
.
+) Tơng tự phơng trình tiếp tuyến của (C) tại
)5;3(
là :
5366 += xy
.
Bài tập 1: ( ĐH An Ninh A- 2000)
Cho hàm số
1
23
+= mmxxy
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm
cố định. Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó khi m thay đổi.

Giải:
Gọi (x
0
; y
0
) là điểm cố định của đồ thị hàm số khi đó ta có:










=
=



=
=






=

=

=+
+=
2
1
0
1
01
01
01)1(
1
0
0
0
0
0
3
0
2
0
0
3
0
2
0
2
0
3
00

y
x
y
x
yx
x
myxmx
mmmxxy
Ta có: y = 3x
2
+ 2mx
y(1) = 3 + 2m. Do đó phơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(1; 0) là:

)1)(32(0 += xmy
hay
)32()32( ++= mxmy
(1)
Tơng tự phơng trình tiếp tuyến của (C) tại B(-1 ; -2 ) là:
mxmy 21)23( +=
. (2)
* Tìm quĩ tích giao điểm của hai tiếp tuyến khi m thay đổi:
Khử m từ phơng trình (1) và phơng trình (2) ta đợc:
x
xx
y
23
2

=
là quỹ tích cần

tìm. (Đó là một Hypebol).
Bài tập 2: ( HVBCVT A - 1998).
Cho hàm số:
)(
1
1
C
x
x
y

+
=
.
a) CMR: Mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có
diện tích không đổi.
b) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đờng tiệm cận
một tam giác có chu vi bé nhất.
4
Giải:
a) Gọi
)()
1
1
;(
0
0
00
C
x

x
xM

+
.
2
0
0
)1(
2
)('


=
x
xy
Phơng trình tiếp tuyến tại điểm M
0
có dạng:
1
1
)(
)1(
2
0
0
0
2
0

+
+


=
x
x
xx
x
y
(d)
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C) là: x = 1.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) là: y =1.
Toạ độ giao điểm của hai đờng tiệm cận là A(1; 1).
Toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là nghiệm của hệ:



=
=






=

+
+

=
1
12
1
1
1
)(
)1(
2
0
0
0
0
2
0
y
xx
y
x
x
xx
x
y
Gọi
)1;12(
0
xC
.

Tơng tự, toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là:
)
1
3
;1(
0
0

+
x
x
B
.
Ta có : AB =
1
4
1
1
3
00
0

=

+
xx
x
AC =
12
0

x
Do tam giác ABC vuông tại A nên diện tích của tam giác ABC là:
412.
1
4
.
2
1
.
2
1
0
0
=

== x
x
ACABS
( Không đổi) (Điều phải chứng minh).
b) Ta có chu vi của tam giác ABC là:
2448)22(2
.2.22
22
+=+
++++=++=
p
ABACACABACABACABBCACABp
Dấu = khi và chỉ khi AB = AC
12
1

4
0
0
=

x
x





=
+=
=
21
21
2)1(
0
0
2
0
x
x
x
.
Vậy, những điểm thuộc (C) có hoành độ thoả mãn
21=x
thì tiếp tuyến tại đó lập
với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Bài tập 3: (HVBCVT A- 1999)
Cho hàm số:
23
23
+= xxy
(C).Tìm các điểm thuộc (C) mà qua đó kẻ đợc một và
chỉ một tiếp tuyến đến (C).
Giải:
Gọi
)()23;(
2
0
3
000
CxxxM +
.
Phơng trình tiếp tuyến (pttt) của (C) tại M
0
có dạng:

23)(
2
0
3
00
+= xxxxky
(d)
5
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại M
0

khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:





=+
+=+
kxx
xxxxkxx
63
23)(23
2
2
0
3
00
23
Suy ra






=
=
=+++
2
3

0)332)((
0
2
01
0
2
00
2
0
x
x
xx
xxxxxxxx
Điểm M
0
thoả mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi:

1
2
3
0
0
021
=

== x
x
xxx
.
Vậy, trên (C) tồn tại duy nhất điểm M

0
( 1; 0) mà qua đó kẻ đợc đúng một và chỉ một
tiếp tuyến với đồ thị (C).
Bài tập 4: (HVBCVT A - 2001).
Cho hàm số: y = x
3
- 3x (1).
a) CMR: khi m thay đổi đờng thẳng cho bởi phơng trình : y = m(x + 1) + 2 (d) luôn
cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định.
b) Tìm m để (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến
với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau.
Giải:
a) Phơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và đờng thẳng (d) là:




=
=+

=+
+=+
+=
++=
(*)02
01
0)2)(1(
)1()2)(1(
)1(23
2)1(3

2
2
2
3
3
mxx
x
mxxx
xmxxx
xmxx
xmxx
Ta có x + 1 = 0

x = -1

y = 2. Do đó điểm cố định là A( -1; 2).
b) Đồ thị (1) cắt đờng thẳng (d) tại 3 điểm phân biệt A, B, C khi và chỉ khi phơng
trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1.
.
0
4
9
0
0)2(41
02)1()1(
0
2

>





>





>

m
m
m
m
m
Gọi B(x
1
; y
1
), C(x
2
; y

2
) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1).
Ta có: y = 3x
2
- 3
33)(',33)('
2
22
2
11
== xxyxxy
. Tiếp tuyến tại B và tại C vuông góc với nhau
khi và chỉ khi:
6
y(x
1
).y(x
2
) = -1

01018)(9)(9
21
2
21
2
21
=+++ xxxxxx
Mà

=
=+
mxx
xx
2
1
21
21
(theo định lí viet).
Do đó:
3
223
0118901)2(18)2(9
22

==++=++ mmmmm
( Thoả mãn).
Kết luận: Vậy
3
223
=m
thì yêu cầu bài toán đợc thoả mãn.
Bài tập 5: Cho hàm số:
1
24
+

=
x
x
y
(C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C),
trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
Giải:
Ta có:
2
5
13
23*4
3 =
+

== yx
.

8
3
)3('
)1(
6
'
2
=
+
= y
x
y

Pttt của (C) tại điểm
)
2
5
;3(
là:
2
5
)3(
8
3
+= xy
Diện tích hình phẳng cần tính là:
dx
x
xdx
x
xS )
1
6
2
3
)3(
8
3
()
1
6
4(
2

5
)3(
8
3
3
0
3
0
+
+=
+
+=

= (
3
)3(
16
3
x
-
1ln6
2
3
++ xx
) =
16
99
2ln12
(đvdt).
Bài tập 6: (ĐH Huế A - 2000).

Cho hàm số:
1
1
+
=
x
xy
(C). Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị của hàm số (C) mà
tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
Giải:
Ta có :
2
)1(
1
1'
+
+=
x
y
Gọi
)();(),;(
222111
CyxMyxM
Với
21
xx
. Theo giả thiết ta có:

)(')('
21

xyxy =




=
=+

+
+=
+
+
)(
2
)1(
1
1
)1(
1
1
21
21
2
2
2
1
lxx
xx
xx
7

0
3
Vậy M
1
, M
2
đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm
số thì tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
Bài toán 2: Viết phơng trình tiếp tuyến qua một điểm cho trớc.
1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm A(a; b). Viết phờng trình tiếp tuyến của
(C) đi qua điểm A.
2. Ph ơng pháp : Viết phơng trình trình thẳng qua A(a; b) với hệ số góc k dới dạng: y
= k(x - a) + b (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:



=
+=
kxf
baxkxf
)('
)()(
có nghiệm.
Giải phơng trình
}{
n
xxxxbaxxfxf ; ;;))((')(
10
+=

. tính k
i
= f(x
i
) với
ni ;0=
,
thay vào (d) suy ra các tiếp tuyến.
Ví dụ: Cho hàm số:
xxy 3
3
=
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ A(-1; 2) tới đồ
thị (C).
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(-1; 2) có dạng: y = k(x +1) + 2 (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:





=
++=
)2(33
)1(2)1(3
2
3
kx
xkxx

có nghiệm.
Thế k từ (2) vào (1) ta đợc:
0132
23
=+ xx


0)12()1(
2
=+ xx




=
=

2
1
1
x
x
.
8
y
x
O
y = f(x)
A(a; b)
+) Với x = -1 suy ra k = 0. Pttt là: y = 2.

+) Với x =
4
9
2
1
= k
. Pttt là:
4
1
4
9


= xy
.
Bài tập 1:
Cho hàm số
3
43 xxy =
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) qua A(1; 3).
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(1; 3) có dạng: y = k( x -1) +3 (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:






=

+=
kx
xkxx
2
3
123
3)1(43




=
=
=
++=
+=
2
3
0
0128
312123343
3)1)(123(43
23
233
23
x
x
xx
xxxxx
xxxx

+)
30 == kx
. Pttt là: y = 3(x- 1) + 3 hay y = 3x.
+)
24)
2
3
(123
2
3
2
=== kx
.Pttt là: y = -24(x - 1) + 3 hay y = -24x + 27.
Kết luận: vậy có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 3) là:
y = 3x và y = -24x + 27.
Bài tập 2: (ĐH Cần Thơ D - 1998).
Cho hàm số
)(23
23
Cxxy +=
. Viết pttt của (C) đi qua A(-1; -2).
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(-1; -2) có dạng : y = k(x + 1) - 2 (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:





=

+=+
kxx
xkxx
63
2)1(23
2
23
có nghiệm.



=
=
=+=
2
1
0)2()1(023
23
x
x
xxxx
+) Với x = -1
9= k
. Pttt là: y = 9x + 7.
+) Với x = 2
.0= k
Pttt là: y = -2.
Bài tập 3: (ĐH Dợc A- 1999).
Cho hàm số:
).(

1
1
2
C
x
xx
y
+
++
=
CMR: Có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) và
vuông góc với nhau.
Giải:
9
Phơng trình đờng thẳng qua A(1; 0) với hệ số góc k có dạng:
y = k(x -1) (d).
Ta có:
1
1
2
+
++
=
x
xx
y
1
1
1
+

++=
x
x
(C).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:







=
+

=
+
++
)2(
)1(
1
1
)1()1(
1
1
1
)(
2
k
x

xk
x
x
I
có nghiệm.
Từ (2)
)3()1(
1
1
1 +=
+
+ xk
x
x
Lấy (1) (3) ta đợc:
k
x
=
+1
1
Do đó







=
+

=
+

k
x
k
x
I
2
)1(
1
1
1
1
)(
. Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi

+
=

=





=+





=

)/(
2
51
)/(
2
51
0
01
0
1
0

2
1
22
mtk
mtk
k
kk
k
kk
k
Vì k
1
k
2
= -1 nên hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) vuông góc với nhau.
Bài tập 4: Cho hàm số:
22
)2( xy =
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết tiếp tuyến đó đi qua A(0; 4).
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua
)4;0(A
có dạng:
)(4 dkxy +=
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:

=
+=+
kxx
kxxx
84
444
3
24
có nghiệm.
Suy ra
( )
48444
324
+=+ xxxxx










=
=
=
=
3

2
3
2
0
0)43(
22
x
x
x
xx
+) Với x = 0
0
=
k
. Pttt là : y = 4.
10
+) Với
9
316
3
2
== kx
. Pttt là:
4
9
316
+

= xy
.

+) Với
9
316
3
2
=

= kx
.Pttt là:
4
9
316
+= xy
.
Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến qua A(0; 4) đến đồ thị (C).
Bài tập 5:
Cho hàm số:
1
2

+
=
x
x
y
(C) và điểm A(0; a). Xác định a để từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến
đến (C) sao cho hai tiếp điểm tơng ứng nằm về hai phía so với trục Ox
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(0; a) có dạng: y = kx + a (d)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:

=


+=

+
k
x
akx
x
x
2
)1(
3
1
2
có nghiệm.
(*)02)2(2)1(
)1(
3
1
2

2
2
=++++


=

+
axaxaax
x
x
x
( x = 1 không là nghiệm).
Qua A kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) khi và chỉ khi phơng trình (*) có hai
nghiệm phân biệt
(**)
2
1
0)2(3
1
0'
01



>

>+





>


a
a
a
aa
Gọi x
1
; x
2
là các tiếp điểm. Do hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành nên
y(x
1
).y(x
2
) < 0 (x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình (*))

0

1)(
4)(2
0
1
2
.
1
2
2121
2121
2
2
1
1
<
++
+++
<

+

+

xxxx
xxxx
x
x
x
x
Theo định lí viet ta có:

=

+
=
=

+
=+
t
a
a
xx
t
a
a
xx
1
2
.
2
1
)2(2
21

21





<
>
<

+
<
+
++

5
4
.
1
0
1
45
0
12
44
t
t
t
t
tt

tt
+)
1010
1
3
1
1
2
1 >>>

>

+
> aa
aa
a
t
(thoả mãn (**)).
+)
1
3
2
0
)1(5
69
5
4
1
2
5

4
<<

<

+


<

+


< a
a
a
a
a
t
(thoả mãn (**)).
11
Vậy,




<<

>
1

3
2
1
a
a
thì yêu cầu bài toán đợc thoả mãn.
Bài tập 6:
Cho hàm số
)(
2
3
3
2
1
24
Cxxy +=
. Viết pttt của (C) đi qua
).
2
3
;0(A
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua
)
2
3
;0(A
có dạng:
)(
2

3
dkxy +=
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:





=
+=+
kxx
kxxx
62
2
3
2
3
3
2
1
3
24
có nghiệm.
Suy ra





=

=
=
=
2
2
0
063
24
x
x
x
xx
+) Với x = 0
0
=
k
. Pttt là:
.
2
3
=y
+) Với
222 == kx
. Pttt là:
.
2
3
22 += xy
+) Với x= -
222 = k

. Pttt là: y =
2
3
22 +x
.
Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ
)
2
3
;0(A
đến đến thị (C).
* Lời bình: Đối với bài toán này học sinh thờng lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi qua
và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C). Vì
vậy qua bài tập này phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác
nhau rõ rệt.
Bài tập 7: (ĐH Ngoại thơng A - 2000).
Cho hàm số
196
23
+= xxxy
(C). Từ một điểm bất kì trên đờng thẳng x = 2 có
thể kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải
Gọi điểm B(2; b) là điểm bất kì nằm trên đờng thẳng x = 2.Phơng trình đờng thẳng
qua B(2; b) có dạng: y = k(x - 2) +b (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

=+
+=+
kxx
bxkxxx
9123
)2(196
2
23
12

(*)1724122
)2)(9123(196
23
223
+=
++=+
xxxb
bxxxxxx
Số tiếp tuyến cần tìm bằng số nghiệm của phơng trình (*)
Xét hàm số
1724122
23
+= xxxy
Tập xác định: D = R.
Rxxxxy =+= 0)2(624246'
22
. Do đó hàm số đồng biến.
Vì hàm số đã cho luôn đồng biến nên đờng thẳng y = - b cắt đồ thị hàm số :

1724122
23
+= xxxy
tại duy nhất một điểm hay phơng trình (*) có duy nhất một
nghiệm.
Vậy, từ một điểm nằm trên đờng thẳng x = 2 kẻ đợc một và chỉ một tiếp tuyến đến
đồ thị (C).
Bài tập 8: (ĐH Nông nghiệp I A- 1999).
Cho hàm số
1+
=
x
x
y
(C). Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm
số. CMR: không có tiếp tuyến nào đi qua I.
Giải:
Ta có tiệm cận đứng x = -1.
Tiệm cận ngang y = 1. Do đó toạ độ giao điểm của hai đờng tiệm cận là: I(-1; 1).
Phơng trình đờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

21
1
1
1
1)1(
)1(
1
1

)1(
1
1)1(
1
2
2
+=+
+
=
+
++
+
=
+








=
+
++=
+
xx
xx
x
x

x
x
x
k
x
xk
x
x
(vô nghiệm).
(điều phải chứng minh).
Bài tập 9:
Cho hàm số
1
1
2
+

=
x
xx
y
(C). Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ đợc 2 tiếp
tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Viết lại y dới dạng
1
1
2
+
+=

x
xy
(C).
Gọi
OybB );0(
, Phơng trình đờng thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
13
(I)







+=
+
+
+=
+
+

=
+

+=
+
+
kkx
x
x
bkx
x
x
k
x
bkx
x
x
1
1
1
1
1
2
)1(
1
1
1
1
2
2

2
3
1
1
1
2
3
kb
x
kb
x
+
=
+
=
+
+
Do đó (I)







=
+

+

=
+

)2(
)1(
1
1
)1(
2
3
1
1
2
k
x
kb
x
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (2)



=+++
+

=
+


+

(*)04)3()1(2
3
)
2
3
(1
0
2
3
22
2
bkbk
bk
k
kb
kb
Yêu cầu bài toán thoả mãn khi phơng trình (*) có hai nghiệm khác b + 3



+
>++

+++++
>

084
0)4)3(()1(
04)3()3)(1(2)3(
0'
22
22
b
bb
bbbb




<

2
1
b
b
Vậy, Các điểm trên trục tung có tung độ bé hơn -1 và khác -2 thì từ đó kẻ đợc 2 tiếp
tuyến đến đồ thị (C).
Bài toán 3: Viết phơng trình tiếp tuyến theo hệ số cho trớc.
1. Bài toán:
Cho hàm số y = f(x) (C) và số k

R
.
2. Ph ơng pháp:
Giải phơng trình f(x) = k. Giả sử đợc các nghiệm x
1
; x
2
; ;x
n.
.
Tính y
i
= f(x
i
). Pttt tại x
i
là:
ii
yxxky += )(
.
3.Các dạng biểu diễn hệ số góc k:
*) Cho trực tiếp:

7
3
;3;1;5 ==== kkkk
*) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng của trục Ox một góc

, với

3
;
3
2
;45;30;15
000









Khi đó hệ số góc k =

tan
.
*) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.
*) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (d): y = ax + b
a
kka
1
1

==
.
*) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d): y = ax + b một góc

. Khi đó:

tan
1
=
+

ka
ak
.
14
Ví dụ 1:
Cho hàm số
23
3xxy =
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số
góc của tiếp tuyến k = -3.
Giải:
Ta có:
xxy 63'
2
=
Do hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên:
1012363
22
==+= xxxxx
Với
21 == yx
. Pttt cần tìm là:
132)1(3 +== xyxy

Ví dụ 2:
Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
13
23
+= xxy
(C). Biết tiếp tuyến đó
song song với đờng thẳng y = 9x + 2009.
Giải:
Ta có
xxy 63'
2
=
.
Do tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y = 9x + 2009 nên tiếp tuyến có hệ số
góc k = 9
963
2
= xx
.




=
=
=
3
1
032
2

x
x
xx
.
+) Với
.31 == yx
Pttt của (C) tại x = - 1 là:
693)1(9 +=+= xyxy
+) Với
13 == yx
. Pttt của (C) tại x = 3 là:
2691)3(9 =+= xyxy
Vậy, có 2 tiếp tuyến của (C) song song với đờng thẳng y = 9x + 2009 là:
y = 9x + 6 và y = 9x - 26.
Bài tập 1:
Cho hàm số
23
3
+= xxy
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó
vuông góc với đờng thẳng
xy
9
1
=
.
Giải:
Ta có
33'
2

= xy
. Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng
xy
9
1
=
nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.
Do đó
.24933'
22
==== xxxky
+) Với x = 2
4= y
. Pttt tại điểm có hoành độ x = 2 là:
.1494)2(9 =+= xyxy
+) Với
02 == yx
. Pttt tại điểm có hoành độ x = - 2 là:
1890)2(9 +=++= xyxy
.
Vậy, có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đờng thẳng
xy
9
1
=
là:
y =9x - 14 và y = 9x + 18.
15
Bài tập 2:
Viết pttt của đồ thị hàm số

1
1
2
+

=
x
xx
y
(C), biết tiếp tuyến đó song song với đờng
thẳng y = - x.
Giải:
Ta có
2
)1(
1
1'
1
1
2
+
=
+
+=
x
y
x
xy
.
Mà y = -1 nên

=
+=
=+=
+
=
+

2
1
1
2
1
1
2
1
)1(2
)1(
1
1
)1(
1
1
2
22

x
x
x
xx
Với
2
233
2
1
1

=+= yx
. Pttt của (C) tại
2
1
1+=x
là:
.422 += xy
Tơng tự pttt của (C) tại
2
1
1=x
là:
.422 = xy
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn bài ra.
Bài tập 3: (ĐH Đà Lạt D - 2000).
Cho hàm số
1
12
+

+
=
x
x
y
(C). Viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với
đờng thẳng y = - x.
Giải:
Ta có
2
)1(
3
'
+

=
x
y
. Do hệ số góc của tiếp tuyến bằng k = -1 nên:





=
+=
=
+

31

31
1
)1(
3
2
x
x
x
+) Với
32
131
1)31(2
31 +=
++
++
=+= yx
Pttt của (C) tại điểm có hoành độ
31+=x
là:
323 += xy
.
Tơng tự pttt của (C) tại điểm có hoành độ
31+=x
là:
323 = xy
.
Bài tập 4:
Cho hàm số
393
23

++= xxxy
(C). Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của
(C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải:
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là:
k =
963'
2
+= xxy
16

66'' += xy
10660'' ==+= xxy
Xét dấu y tìm đợc điểm uốn U(-1; 14).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k
1
= -12.
Bảng biến thiên của hàm số
963'
2
+= xxy
x

-1
+
y - 0 +
y
+

+

-12
Từ bảng biến thiên suy ra
12k
. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = -1 (hoành độ
điểm uốn) (Điều phải chứng minh)
Bài tập 5: (HVKT quân sự A-1997)
Cho hàm số:
)(
)1(
22
C
mx
mmxmmx
y

+++
=
. Tìm điểm x
0
để với mọi
0m
, tiếp
tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x
0
song song với một đờng thẳng cố định. Tìm hệ
số góc của đờng thẳng đó.
Giải:
Ta có:
2
0

0
22
0
0
2
22
)(
22
)('
)(
22
'
mx
mxmmx
xy
mx
mxmmx
y


=


=
.
Yêu cầu bài toán là tìm x
0
để y(x
0
) = k ( hằng số)

0m





=
=+
=++

=++++
=



)3(0
)2(02
)1(022
00)2()22(
)(
22
2
0
2
00
0
2
0
2
00

2
0
2
0
0
22
0
kx
xkx
kx
mkxmxkxmkx
mk
mx
mxmmx
Ta có : (3)



=
=

0
0
0
x
k
+) Với x
0
= 0 suy ra k = -2 (thoả mãn).
+) Với k = 0

=
=

0
1
0
0
x
x
(vô nghiệm)
Vậy, x
0
= 0 và k = -2 thì thì tiếp tuyến của (C) tại x
0
song song với một đờng thẳng cố
định.
17
Bài tập tổng hợp
Bài tập 1:
Cho hàm số
12
2
1

+=
x
xy

(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; 3).
Bài tập 2:
Cho hàm số:
)1(
1
12
+

=
x
x
y
. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đờng
thẳng y = 3x.
Bài tập 3:
Viết pttt của đồ thị hàm số:
23
23
+= xxy
tại điểm có hoành độ x = 3.
Bài tập 4:
Cho hàm số
43
23
+= xxy
(C). Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đ-
ờng thẳng
0109 =+ yx
.
Bài tập 5:

Cho hàm số
43
23
+= xxy
(C). Viết pttt của (C) tại điểm A(1; -2).
Bài tập 6: (Dự bị khối B-2002)
Cho hàm số
3
4
2
2
1
3
1
23
+= xxxy
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
tuyến đó song song với đờng thẳng
.24 += xy
Bài tập 7: (ĐH Khối B- 2006).
Cho hàm số
2
1
2
+
+
=
x
xx
y

(C). Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm
cận xiên của đồ thị (C).
Bài tập 8: (ĐH khối B 2008).
Cho hàm số
164
3
+= xxy
(C). viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua M(-1; -9).
Bài tập 9: (ĐH khối D - 2007).
Cho hàm số
1
2
+
=
x
x
y
(C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M cắt hai trục toạ độ Ox và Oy tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
4
1
.
B i tập 10 : (Đề thi tốt nghiệp THPT Năm 2008).
Cho hàm số
24
2xxy =
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành
độ x = -2.
Bài tập 11:
Cho hàm số

dcxbxaxy +++=
23
(C). CMR: trong số các tiếp tuyến của (C) thì tiếp
tuyến tại điểm uốn khi a > 0 ( a < 0) có hệ số góc nhỏ nhất (lớn nhất).
Bài tập 12: (ĐH kiến trúc Hà Nội A - 1998).
Cho hàm số
1
12
2
+
++
=
x
xx
y
(C). Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ đợc 2
tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
18
C. Kết luận của sáng kiến:
Khi áp dụng sáng kiến này vào dạy thử nghiệm ở các lớp 12A
3
; 12A
6
; 12A
9
trong
năm học 2007 - 2008, cũng nh áp dụng ở các lớp 11A
1
; 12A
2

năm học 2008 - 2009
của trờng THPT Cẩm Thuỷ 3 kết quả đạt đợc nh sau:
I. Về phía giáo viên:
- Đã dễ dàng hơn trong việc hớng dẫn học sinh tiếp cận các dạng toán về tiếp tuyến
của đồ thị hàm số.
- Xét ở một góc độ nào đó, đây là tài liệu tham khảo có hệ thống cho giáo viên giảng
dạy bộ môn toán.
- Hớng dẫn học sinh làm rõ đợc cách giải toán, tránh nhầm lẫn giữa các khái niệm.
II. Về phía học sinh:
- Tiếp cận đợc các khái niệm về tiếp tuyến của đồ thị hàm số một cách dễ dàng.
- Với hệ thống đầy đủ các dạng về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đợc sắp xếp theo thứ
tự từ dễ đến khó làm cho học sinh hứng thú trong học tập. Đặc biệt là giúp cho học
sinh nâng cao khả năng tự học, tự nghiên cứu. Kết quả khảo sát cho thấy khoảng 70%
học sinh sau khi tiếp cận đầy đủ tài liệu này đều làm thành công bài toán về tiếp tuyến
của đồ thị hàm số, qua đó nâng cao điểm toán của học sinh trong các kì thi tốt nghiệp
hoặc thi Đại học, Cao đẳng góp phần nâng cao tỷ lệ trúng tuyển của nhà trờng trong
những năm qua.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhng do thời gian có hạn, kinh nghiệm nghiên cứu và ứng
dụng sáng kiến còn hạn chế, không liên tục và mang tính đại trà nên đề tài không
tránh khỏi những thiếu sót và mang tính chủ quan. Tác giả đề tài mong nhận đợc ý
kiến đóng góp của quý thầy cô để sáng kiến đợc hoàn thiện hơn./.
19
Tài liệu tham khảo
1. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán của Trần Phơng (NXB Hà
Nội).
2. Tuyển tập các đề thi Đại học, Cao đẳng môn toán.
3. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (NXB Giáo Dục - 2007).
4. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 (NXB Giáo Dục - 2007).
5. Đề thi tốt nghiệp THPT các năm gần đây và tham khảo tài liệu trên mạng.
20