Nhập môn toán học tài chính trần hùng thao pdf

TRẰN HÙNG THAO

N hập m ôn

TOÁ HỌC
TÀI CHÍNH


TRAN HUNG THAO

nhA
٠ p m6 n

TOAN HOC TAICHINH
(Tdi ban COSira cltira, bo sung)

Ts^iJHGBAi HDC٠‫؛‬١ H^iRAN6l

T H U V ‫؛‬EN
٠

?00

0
C

.

NHA XUAT BAN KHOA HOC VA KY THUAT
HA N01 - 2009

L Ờ I NÓI D ẦU CHO LẦN XU Ấ T B Ả N T H Ứ 2

Theo yêu cẩu cùa nhiều hạn đọc, chUng tôt tiẽn hành tài bẳn cuốn
sâch này vỡi m ột s ổ chinh sửa n h ^ ig sai sOt cho lần xuắ t bẳn tatờc.
Hơn nữa,

‫ ﻕ‬lần

xuất bản này, trong phần đầu Chương 2 - L ý thuyết độ

chènh thị giá chUng tOi đã viết tạt cho dễ h‫؛‬êu và chinh xốc hon.
Toốn học tat chinh ngày càng dưọc phat triển mạnh hon, kể từ tần
xuỗt bằn tníOc tOi nay nhiều phuong phốp mOi đã ra đ ò i cO tinh ứng
dụng và tinh sư phạm cao va cO thể dưa vào cốc giào trinh toốn học tat
chinh, tuy vậy do khuOn khỗ cuốn sốch cO hạn, hy vọng n h ^ g nột
dung dO sẽ dưọc chUng tOi dề cập dến

‫ ﺓ‬tập

tiếp theo hoặc

‫ ﺓ‬tần

tat

bản sau.
Tốc giả tuOn mong nhận dưọc càc y k‫؛‬ẽn dOng gOp cùa bạn dọc d ể
hoàn thiện hơn cho cuốn sách. Tấc giả cũng xin chân thành cảm ơn
Nha xuất bẳn ^h o a học và Kỹ thuật dã tạo diều kiện tốt nhất d ễ cuOn

sảch d ọ c t ầ t bẳn lần này.

H à Nột, thố ng

‫ﺓﳌﺔ‬0 0 ‫ﻷ‬


Nhập môn Toán học tài chính

LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn sách này sẽ cung cấp cho bạn đọc những kiến thức ban đầu
về một s ố phương pháp toán học chinh dùng trong nghiên cứu về các thị
trường tài chính, trên cơ sỏ đòi hỏi một sự hiểu biết không nhiều lắm vể
toán học, trong phạm vi hai năm đầu về toán đại cương ở bậc đại học,
nhằm phục vụ một đối tượng rộng rãi bạn đọc: sinh viên ngành toán tài
chính, nhà kinh tế, nhà quản lý, nhà nghiên cứu toán học ứng dụng...
Thực ra, toán học dùng cho nghiên cứu về tài chinh gồm nhiều bộ môn,
nhưng trong đó, đóng một vai trò lớn là các phép vi tích phân ngẫu nhiên
và phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Vói những người mới bắt đầu, nếu chỉ sa đà vào các chi tiết kỹ thuật
rất khó của Giải tích ngẫu nhiên thi rất chóng nản lòng, không nắm được
bản chất kinh tế-tài chính của vấn đề, như người "thấy cây mà chẳng thấy
rừng", không biết rằng các mô hình toán học được đặt ra chỉ là các công
cụ để thấy rõ cái rừng ấy.
Cuốn sách này muốn khắc phục những khó khàn đó cho bạn đọc.
Nội dung được trình bày từ dễ đến hơi khó, với nhiều thi dụ dẫn giải và với
những phương tiện toàn học vừa phải nhưng đủ sâu sắc dể diễn đạt và giải
quyết vấn đề đặt ra. Nội dung cũng bao gồm hầu hết những mô hình toàn
học vẫn gặp trong nghiên cứu về các thị trường tài chính như: thị trường
cổ phiếu, trái phiếu, Quyền Chọn, tiền tệ, lãi suất, các loại hợp-đổng, vấn

đề rủi ro tài chính, phòng hộ và bảo hiểm. Các công cụ toán học dược đưa
vào một cách tự nhiên và cũng đa dạng, không chỉ dừng lại ỏ các phươpg
pháp của Giải tích ngẫu nhiên.

về tên gọi, thực ra môn học này ỏ nưỡc ngoài người ta gọi là "Tài chinh
toán học" (Mathematical Pinance) với "toán học" được dùng như một tính
ngữ bổ nghĩa cho "Tài chính". Còn ỏ nước ta, chúng tôi thấy tồn gọi "Toờn
học tài chinh" hay "Toán tài chính" là chấp nhận được, với nội dung là
"Các phương pháp toán học dùng cho việc nghiên cứu về càc thị trường
tài chính".
Trong phần Phụ lục, chúng tôi có nêu tóm tắt một số sự kiện quan
trọng (không chứng minh) của Giải tích ngẫu nhiên để bạn đọc tiện tham
khảo.


5

Lời nói dầu

Có một bảng đối chiếu thuật ngữ ỏ cuối sách, về các thuật ngữ toán
tài chinh, chúng tôi thấy còn có nhiểu việc phải bàn. ơ đ â y chúng tôi chỉ
muốn nói rằng việc xây dựng thuật ngữ tiếng Việt cho những môn khoa
học còn mới mẻ ỏ nưởc ta phải được tiến hành thật nghiêm túc trên cơ sỏ
vừa mạnh dạn vừa thận trọng. Một thuật ngữ phải phản ảnh tối đa có thể
được nội dung ngữ nghĩa mà nó mang tải, nhưng phải được cấu thành trên
cơ sỏ tu từ học (rhetoric) và tôn trọng các quy tắc tạo từ Hán-Việt. Vì thế,
chẳng hạn chúng tôi không chuyển ngữ từ "arbitrage" thành "cơ lợi",
Cuốn sách này được hình thành trên cơ sớ đúc kết kinh nghiệm của
tác giả qua một sổ năm làm nghiên cứu và giảng dạy môn học này tại
nước ngoài.

Nhân đày tác giả xin chân thành cám ơn các đổng nghiệp là các giáo
sư Christine Thomas (Toulouse, Pháp), Victor Goodman (Indiana, Hoa
kỳ) và Nguyễn Văn Hữu (Đại học Quốc gia Hà Nội), về những góp ý quan
trọng.
Như đã nói ỏ trên, một sự trình bày tương đối có hệ thống và tương đối
dễ hiểu các phương pháp toán học chính dùng trong nghiên cứu các thị
trường tài chính là mục đích của cuốn sách này. Một số vấn đề quan trọng
và mang tinh chất thời sự của Toán học tài chính vơi những công cụ toán
học uyên bác là đổi tượng của một cuốn sách chuyên khảo sẽ ra đời sắp
tới.
Tác giả cũng xin chân thành cám ơn Nhà Xuất bản Khoa học và Kỹ
thuật đã biên tập rất chu đáo cuốn sách này và tạo nhiều điều kiện thuận
lợi để sách sởm đến tay bạn đọc.
Hy vọng cuốn sách này sẽ manq lại ít nhiểu ích lợi cho các bạn đọc
cần đến Toán học tài chinh trong những bước đầu tiên đi vào lĩnh vực này.
Như bao tác giả khác, chúng tôi trân trọng cám ơn bạn đọc về m ọi sự góp
ý để sửa chữa những sai sót còn tồn tại trong cuốn sách.
Hà Nội, tháng 9 năm 2003
Trần Hùng Thao
Viên Toán hoc


MỤC LỤC
LỜI N Ó I ĐẨU CHO LẦN XUÂT BẢN THỨ 2

3

LỜI N Ó I ĐẦU

5

MỤC LỤC

7

CHƯƠNG 1. CÁC THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH

23

1. Thị trường và toán h ọ c ....................................................................23
2. Cổ phiếu chứng khoán và các phái s in h .......................................... 25
2.1. Hợp đồng cổ phiếu ký kết trước
{Forward Stock C o n tra c t)................................................................26
2.2. Đầu tư để bảo h ộ ................................................................................27
2.3. Mua bán một chiến lược đầu t ư .......................................................28

3. Cơ hội có độ chênh thị g i á ..............................................................29
3.1. Cơ hội thứ n h ấ t...................................................................................29
3.2. Cơ hội thứ h a i...................................................................................... 30
3.3. Phương trình không có chênh lệch g i á .......................................... 30
3.4. Đáp ứng để bảo hộ và Sự không có chênh lệch g i á ................... 32

4. Hợp đồng Quyền Chọn M u a ..............................................................33
4.1. Định nghĩa............................................................................................ 33
4.2. Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn................................................................ 33
4.3. Thí dụ về hợp đồng kiểu châu  u ....................................................34
4.4. Thí dụ vể sự thực thi sớm (Hợp đồng kiểu M ỹ ) .......................... 35
4.5. Giá của một hợp đổng quyền lựa chọn m u a .................................35

5. Các hợp đồng Quyền Chọn B án ........................................................ 36

5.1. Các điều kiện của hợp đồng Quyền Chọn B á n ............................. 37
5.2. Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn

............................................................. 37

7


Nhập môn Toán học lài chính

8

5.3. Thí dụ 1: Quyền Bán dùng để bảo h ộ .............................................. 38
5.4. Thí dụ 2: Thực thi s ớ m ........................................................................ 39
5.5. Giá Quyền B á n ..................................................................................... 39
5.6. Bán khống {Short S e llin g )..................................................................39
6. Định giá các "hợp đồng giao sa u " ........................................................40
6.1. Thí dụ 1 ..................................................................................................40
6.2. Thí dụ 2 ..................................................................................................41
6.3. Hợp đồng giao sau về cổ p h iế u ........................................................41
6.4. Định giá hợp đồng giao sau đối với cổ p h i ế u ..............................43
7. Thị trường trái p h i ế u ..................................................................................43
7.1. Khái niệm c h u n g ..................................................................................43
7.2. Các loại trái p h i ế u .............................................................................. 45
7.3. Tỷ lệ lợi nhuận hay lợi suất (Rate o f R eturn).............................. 46
7.4. Thị trường trái phiếu Hoa k ỳ .............................................................. 48
7.5. Lãi suất và lãi suất định trư ớ c........................................................... 50
7.6. Đưèaig hoa l ợ i ........................................................................................ 51
8. Hợp đồng giao sau về lãi suất (Interest Rate F u t u r e s ) ....................52
8.1. Khái niệm c h u n g ..................................................................................52

8.2. Xác định giá Hợp đồng giao s a u .................................................... 53
8.3. Hợp đồng giao sau vẻ Tín phiếu kho b ạ c ........................................55
9. Trao đổi ngoại t ệ ........................................................................................... 56
9.1. Đặt vấn đề

........................................................................................... 56

9.2. Tính t o á n ...............................................................................................57

CHƯ ƠNG 2. LÝ TH U Y ẾT ĐỘ CHÊNH TH Ị G IÁ
(ARBITRAGE)

59

,1. Giá được xem như các quá trình ngẫu n h i ê n ................................. 59

2. Thông tin và các thị t r ư ờ n g ................................................................60


Mue lue

2.1. Tnrcyng thông tin va rr-triràng.................................................. 60
2.2. Luông thông tin thi truông...........................................................61
2.3. Không gian xac suât dirac lo c ..................................................... 62
2.4. Lich sir dién bien cùa gia tài s à n ............................................... 62
2.5. Luong thông tin tong hap cùathi tru àn g ..................................... 63
2.6. Già thuyét thi truàng hiêu quà.................................................. 63
3. Câc khâi niém c h u n g ............................................................................ 64

3.1. Phuong an dâu t u ...................................................................... 64

3.2. Phuong an mua và b a n ..............................................................65
3.3. C١
ân dài lai và Tu tài t r o ........................................................... 65
4. Co hôi cô chênh léch thi giâ và ngu) én lÿ AAO........................... 66
4.1. Co hôi cô dô chênh thi g ià ........................................................ 66
5. Nguyen lÿ Dâp û٠ng và Khài niêm thi truàng dây d û .................. 67
6. Dinh giâ bàng phuong phâp dô chênh thi g i â .................................68

6.1.0٧an hê giua nguyên lÿ AAO và nguyên lÿ dâp im g............... 68
6.2. Ÿ tirong chinh cùa viêc dinh giâ bàng phuong phâp dô chênh thi
g iâ ................................................................................................................69
7. Xâc suât rùi ro-trung tinh hay dô do m a c -tin .g a n ..................... 71
7.1. Dinh nghîa.........................................................

72

7.2. Chu ÿ .............................

72

7.3. Giài thich thêni vë phuong phâp riii ro taing t i n h .................. 73
C H irO N G 3. D IN H G IÀ M O T SÀN PH A M P H À I S IN H

81

1. Dinh giâ mot Quyén Chon và dinh giâ mot sân phâm phâi sinh
nôi c h u n g .................................................................................................. 81

1.1. Dinh giâ theo Phuong phâp Lÿ thuyét Trô c h o i ..................... 82
1.2. Công thiic tong quât dinh giâ theo Lÿ thuyét Trô choi . . . .

85

1.3. Dinh giâ theo câc phuong an dâu tu dâp ùrng.............................. 86


10

Nhập môn Toán học tài chính
1.3.1. Một phương án đầu t ư .......................................................... 86
1.3.2. Định giá bằng giá ưị kỳ vọng toán....................................88
1.3.3. Xác suất định g i á .................................................................... 90
1.3.4. Phương pháp Xác su ất..............................................................92

2. Sơ bộ về rủi ro tài c h ín h ................................................................ 95
CHƯƠNG 4. Đ ỊN H GIÁ QUYỂN CHỌN,
MÔ HÌNH BL A C K .SC H O LES VÀ
M Ô HÌNH C O X -R O SS-R U BIN STEIN

99

1. Mô hình Black-Scholes........................................................................99
1.1. Giới thiệu mô hình và kết q u ả ....................................................... 99
1.2. Tại sao lại dẫn đến phương trình (3 .1 )? ....................................

101

1.3. Quá trình chuyển động Brown hình h ọ c .................................

102

1.4. Xác định các tham số của chuyển động Brown hình học . .

102

2. Công thức Black.Scholes về giá của hợp đồng Quyền
Chọn M u a .......................................................................................

105

2.1. Giá Quyền Chọn là giá trung bình đã chiết k h ấ u ................

105

2.2. Tính tích phân (2 .7 ).......................................................................

106

Chú ý 1: Công thức Cặp đôi M u a -B á n ..........................................

110

Chú ý 2: Quyền Chọn Mua châu Âu số h ó a .................................

112

3. Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes

...........................

112

3.1. Khai triển hàm V (5 , í) .................................................................

113

3.2. Thay thế, tính toán và bỏ qua các sô' hạng bậc c a o .............

113

3.3. Tìm một Phương án đầu tư (Bước 4 ) .......................................

114

3.4. t á c điều kiện biên đối với phương trình Black-Scholes . . .

116

3.5. Giải phương trình B la c k -S c h o le s.............................................

116

4. Mô hình Cox-Ross-Rubinstein......................................................

117

4.1. Mô tả toán hoc mô hình nhi t h ứ c ............................................

118

Mlle lục

11

4.1.1. Định n g h ĩa ...................................................................

118

4.1.2. Diễn biê'n cíia .5 '...........................................................

118

4 .1.3. Xác suất rủi ro trr!ng tin h .............................................

119

4.2. DỊnh giá Quyền Chọn kiểu châu  u ....................................

120

4.2.1. DỊnh nghla và kv hiệu..................................................

120

4.2.2. Cây đồ t h ị .....................................................

121

4.2.3. Giá quyền c h ọ n .............................................

121

4.3. Trường h<
٠ các Quyền Chọn kiểu Mỹ. . . . . . . . . . . .

122

CHƯƠNG 5. BẢO HỘ GIA

123

1. Mở đầu: Bảo hỌ giá là g i ? .........................................................

123

2 ٠ Bảo hộ d e l t a ..................................................................................

124

2.1. Khái niệm mở d ầ u ..................................................

124

2.2. Bảo hộ và Quy hoạch dộng

126

2.3. C h ú ý ..........................................................................

127

2.4. Quy tắc Bảo hộ d elta...............................................

128

2.5. Thi d ụ .......................................................................

130

2.6. Nhược điểm của phưong pl١
ájr Bảo

. . . . . . . . .

131

3. Các phương phắp bảo hộ gia một chứng khoán hay một
phương án dầu t ư .........................................................................

132

3.1. Bảo hộ giá bằng clc Quyển Chọn Bítn. . . . . . . . . . . .

132

3.2. Bảo hộ giá bầng Cíic "b;‫؛‬o dảm lãi suất bị chặn" {collars) . .

132

3.3. Bảo hộ giá bằng biện pháp "mua bán cổ phần cặp doi"
{Paired T ra d es)........................................................

133

3.4. Bảo hộ tương q u a n ..................................................

133

4. Các tham số của bảo hộ d e lta .....................................................

135

4.1. Xác định các tham số..............................................................

135

4.2. Về tham sổ ۵ .........................................................................

136


12

Nhập môn Toán học tài chính
4.3. Vai trò của tham sô' gamma r ...................................................

137

4.4. Xét chung cả ba tham số A, r và 0 .........................................

138

C H Ư Ơ N G 6. C Á C M Ô H ÌN H T R Á I P H IẾ U
VÀ LÃI SU ẤT

141

1. Lãi suất và lãi suất định tr ư ớ c .........................................................

141

1.1. Đường hoa lợi {Yield Curve) .......................................................

142

1.2. Lãi suất định trước {Forward R a te s ) .......................................

144

2. Trái phiếu vớỉ phiếu lã i-0 ....................................................................

145

2.1. Lãi suất ngắn h ạ n .........................................................................

145

2.2. Lãi suất định trước và Trái phiếu lãi suất 0 ............................

146

2.3. Thực hành tính toán Lãi suất định trước /(0 , t ) ...................

147

3. Các mô hình định giá trái phiếu

....................................................

147

3.1. Chuyển đổi trái phiếu {Bond S w a p ) ..........................................

147

3.2. Tại sao phải định giá trái phiếu ? ..............................................

148

3.3. Giá định trước {Forward Price) cho các Trái phiếu
lãi suất 0 ............. .............................................................................

148

3.4. Độ chênh thị giá (Arbitrage).......................................................

150

4. Định gỉá và Bảo hộ hợp đồng chuyển đ ổ i ....................................

151

5. Lăỉ suất hình h ọ c .................................................................................

156

5.1. Trường hợp 1 .................................................................................

156

5.2. Trưòmg hợp 2 .................................................................................

157

6. Các mô hình lãỉ s u ấ t ...........................................................................

157

6.1. Nhắc lại quá ữình định giáQuyển C h ọ n ..................................

157

6.2. Một mô hình định giátrái phiếu

...............................................

158

6.3. Một trường hcfp đcm giả n ..............................................................

162

7. M ô hình V asỉcek và mô hình H o -L ee ..............................................

168

7.1. Giới thiêu mô h ì n h ......................................................................

168


Mục lục

13

7.2. Phưoìig trình giá trái phiếu V asicek.........................................

168

8. Diễn biến giá trái p h ié u ......................................................................

170

8.1. Đặt vấn đ ề ......................................................................................

170

8.2. Phucfng trình diễn biến giá trái p h iế u .......................................

170

8.3. Đơn giản hóa hệ sô' dịch chuyển trong mô hình giá
trái k h o á n ...........................................................

171

9. M ột công thức giá trái p h iếu .............................................................

172

9.1. Đặt vấn đ ể ......................................................................................

172

9.2. Cách giải q u y ế t ............................................................................

172

9.3. Chú ý ...............................................................................

173

10. M ô hình H ull. W h it e .........................................................................

175

10.1. Mở đ ầ u .........................................................................................

175

10.2. Công thức giá trái phiếu p .......................................................

175

10.3. Lãi suất ngắn h ạ n ......................................................................

177

11. M ô hình Heath-Jarrow.Merton (H J M ).......................................

179

11.1. Định n g h ĩa ...................................................................................

179

11.2. Mệnh đ ề ......................................................................................

179

CHƯƠNG 7. LÝ THUYẾT k ủ l RO TÍN DỤNG

183

1. C ác khái niệm chung ..........................................................................

184

1.1. Các cam kết nợ {obligation).......................................................

184

1.2. Các biểu thức về chênh lẹch lãi suất {spread o f rate) . . . .

185

2. M ô hình M e r t o n ...................................................................................

186

2.1. Giới thiệu mô h ìn h ......................................................................

186

2.2. Phân tích mô hình ......................................................................

186

2.3. Nhận xét và chú ý ......................................................................

188

3. Hệ thống định mức rủi r o ................................................................

189


14

Nl١ộp môn Toán học tài chlnhí

4 ٠ Mở hỉnh Jarrow-Lando-Turnbull.................................................

191

4.1. Gíới t h i ệ u .................................................................................

191

4.2. Phân tích mồ hlnh. Xích M a r k o v ...............................................

192

5. Đánh gíá rủí ro tin dụng bằng phương pháp VaR
(Value at R is k ) ...............................................................................

197

201

C H Ư Ơ N G 8. C Ổ T ư c V À H IỆ U Ứ N G n Ụ .C Ư Ờ I

1. Các loạỉ cổ t ứ c ......................................................................................202
2. MO hình chia cổ t ứ c .............................................................................202
2.1. Cổ tức tinh theo phần trăm................................................................203
2.2. Cổ tức tinh thành tiền m ặ t ................................................................203
2.3. Cổ tức theo thời gian liên t ụ c ......................................................... 203

3 ٠ Tinh líên tục của gỉá Quyền Chọn tạí nhUng thờỉ dỉểm

t r ả c ổ t ứ c ............................................................................................204
3.1. Nhận x é t ................................................................................................ 204
3.2. Trường hợp cOng thức Black-Scholes . . . . . . . . . . . . .

204

4. Độ biê'n dộng và cổ t ứ c .......................................................................206
4.1. Độ biến dộng tức thời của một cổ phiếu cố chia cổ tức

. . 206

4.2. Độ biến dộng và cổ tức theo phần trăm . . . . . . . . . . . .

207

4.3. Độ b‫؛‬ến dộng và cổ tức tinh thành tiền mật . . . . . . . . .

208

5. H‫؛‬ệu Ung N ụ -cư ỉri.........................................................................'. 210
6. MO hính D u p ír e ...................................................................................212
6 . 1 . M 6 h ìn h ...............................................................................................212
6.2. Vấn dể dặt r a ...................................................................................... 213
6.3. Cóng thức D u p ire................................................................................213

7. Nụ-cuờỉ của độ blé'n dộng dốỉ vdí các Quyền Chọn chàu Âu . 214
7.1. Trưỉmg hợp Quyền Chọn Mua số hóa

c ٥/(í) . . . .

215


Mục lục

15

7.2. Trườne liợp tổiig quiít của một Ọu'>'ề!. (.'hcìi .cli.âu Âu . . .

. 217

CHƯƠNG 9. CÁC HỢP ĐỔNG KY HAN

219

1. Hợp đồng ký kết t r ư ớ c ......................................................................

219

1.1. Định nghĩa......................................................................................

219

1.2. Diễn giải toán h q c .......................................................................... 220
2. Hựp đồng giao s a u ................................................................................... 221
2.1. Định nghĩa..........................................................................................221
2.2. Díễn giải toán h ọ c .......................................................................... 222
2.3. Họp đổng giao sau viết trêí ch*i2 khoán . . . . . . . . . .

CHƯƠNG

224

10. c A C QUYỂN CHỌN NGƠẠI LAI
(EXOTICOPTIONS)

225

1. Ba gỉá trị cổ p h íế u ................................................................................... 225
1.1. Các quá trinh cực t r Ị ...................................................................

225

1.2. Phàn bố xác suất đổng thời của ba giá trị chtíng khoán . . . 226
1.3. G ‫؛‬á của Quyền C h ọ n ...................................................................

226

2. M O h ỉn h K u n ỉto m o -Ik c d a ................................................................227
2.1. Dặt vấn tlề

.......................................................................................227

2.2. Giới thiệu inO lilnh Quyền Cl١ọn ١ới rào oản . . . . . . . . .

228

3. Quyền Chọn vớí rào Cíin và pliuong Irlíh truyền nhỉệt . . . .

229

3 .1 . M ô h ìn h ........................................................................................
3.2. ٧ iệc chia cổ tức

229

............................................................................. 231

3.3. G iá ۶ gi٥a ^ v ٠ ٩ ٣ .......................................................................... 231
3 .4 . G‫؛‬á ۶ g i ữ a O v à ư ....................................................................

232

3.5. G ‫؛‬á p vào thời điểm í = ()..............................................................232

4. Mô hỉnh Quyền Chọn một rào c ả n .............................................233
4.1. MO h ì n h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233

4.2. Giá Quyền C h ọ n ............................................................................. 234


‫ﺍ‬6

Nhập monTocm họt làl chinh

5. Quyền Chọn Mua và Quyền Chọn Bán một rào cản . . . . . .

237

5 . ! . K ý h l ệ u ................................................................................................ 237
5.2. Tinh g l á ...............................................................................................239

6. Quyền Chọn "nhỉn-.ạỉ" {Look-back Options) . . . . . . . . . .

241

6.1. Giá h ự c thi thả n ổ i ........................................................................ 241
6.2. Giá thực thi cố dỊnti........................................................................ 242

CHƯ ƠNG 1J. CÁC Q U YỂN CH Q N TỔ NG H Ợ P

245

1. Quyền Chọn châu Á .............................................................................246
1.1. Các định n g h ĩ a ................................................................................... 246
1.2. Phép tinh Trung b'inh-Phươg s a i .................................................. 246
1.3. D Ị n h g ỉá ................................................................................................ 247

2. Quyền Chọn C o m p o /Q u a n to .......................................................... 248
2.1. Bài toán nhĩểu chỉ-tệ {m ulti-currency) ........................................ 248
2.2. Các hợp đồng giao sau C om po/Q uanto.................................... 249
2.3. Quyền Chọn C o m p o /Q u a n to .........................................................250

3. Quyền Chọn trong g ỉ ỏ ...................................................................... 252
3.1. Các định n g h ĩ a ...................................................................................252
3.2. Tinh độ biến động tiềm ẩn {implied volatility) . . . . . . . .

253

3.3. Định g i á ................................................................................................254

CHƯƠNG 12. CÁC TH Ị TRƯỜNG TIỂN TỆ

257

1. M ở ớ ầ u ..................................................................................................258
1.1. Các co chế bu6n bán ngoại t ệ .........................................................258
1.2. Lãi suất đỊnh trước (۶ 258

. . . . . . . . . . . . .

(٠,٦‫’م‬٠/-‫ﺀﺀ ؛«^ ى‬

2. Họp đồng ký kết trưởc về t‫؛‬ền t ệ .................................................... 259
2.1. Dặt vấn áề

......................................................................................... 259

2.2. Giải quyết vấn đề

............................................................................ 259


M ac lục

17

3. Các Quyền Chọn ngoại t ệ ............................................................... 261

3.1. Các ký h i ệ u ................................................................................ 261
3.2. Các giả thiết

............................................................................. 262

3.3. Thiết lập phương trình Giá Quyền C h ọ n .................................. 262
3.4. Các điều kiện b i ê n .....................................................................264
3.5. Lời giải: công thức Garnian-Kohlhagen.....................................264
4. Các Quyền Chọn Mua-Bán tiền tệ cặp đ ỏ i........................................ 265

4.1. Đặt tình h u ố n g .......................................................................... 265
4.2. Kế hoạch mua bán Quyền Chọn.................................................265
4.3. Tính t o á n ................................................................................... 266
4.4. Chú ý quan trọ n g ....................................................................... 267
5. Tỷ giá hối đoái Đảm bảo và các Q uanto.................................... 267
5.1. Đạt tình h u ố n g .......................................................................... 267
5.2. Tháo gỡ khó khăn....................................................................... 267
6. Bảo hộ giá Trái phiếu

.................................................................268

6.1. Tinh huống và biện pháp............................................................ 268
6.2. Định nghĩa và chọn lựa...............................................................269
7. Định giá hợp đồng G E R ..............................................................

270

7.1. Tinh h u ố n g ................................................................................ 270
7.2. Xử lý tình h u ố n g ....................................................................... 270
7.3. Dự kiến chiến lư ợ c .................................................................... 271

7.4. Trở lại việc định giá Quvền-Chọn theo Black-Scholes . . .

271

7.5. Tốc độ tăng trưởng của cổ phiếu tính theo V N D ...................272
7.6. Giá trị trung bình của cổ phiếu và trò chơi công bằng. . . . 273
7.7. Định giá Quyền Chọn Bán GER và Quvền Chọn Mua GER 274
8. Có nén bảo hộ không và mức độ thế n à o ? ................................. 275


Nhập môn Toán học tài chính

18

CH Ư Ơ NG 13. RỦI RO VÀ BẢO HIỂM

277

1. Bài toán 'Thiệt h ạ i " ...........................................................................

277

1.1. Bài toán "Thiệt hại" đối với một công ty bảo h i ể m ............. 278
1.2. Xác suất thiệt hại (Ruin P robability) ........................................281

2. Áp dụng phưong pháp mac-tin-gan để ước lượng xác suất
thiệt hại. Định lý Cramer.Lundberg ..............................................

284

2.1. Đặt lại bài t o á n ...............................................................................

284

2.2. Các giả thiết của Định lý Cramer-Lundberg...........................285
2.3. Phát biểu Định lý Cram er-Lundberg........................................286
2.4. Chứng minh Định lý Cramer-Lundberg.................................... 287
2.5. Các chú ý quan trọng.....................................................................290

CH Ư Ơ N G 14. C H U Ỗ I TH Ờ I GIAN TÀI C H ÍN H ,
CÁC M Ô HÌNH A R C H VÀ G A R C H
1. Các mô hình Gauss và Gauss có điều kiện

295

................................. 295

1.1. Mở đầu................................................................................................. 295
1.2. Mô hình

Gauss có điều kiện

.............................................. 296

2. Các mô hình tuyến tín h ............................................................................ 299
2.1. Mô hình

tự hồi quy cấp p : Л Л ( р ) .....................................299

2.2. Mô hình

trung bình trượt M A { q ) ........................................300

2.3. Mô hình tự trung bình trượt tự hồi quy cấp
(p, q) : A R M A {p , q ) ......................................................................... 300

3. Các mô hình phỉ tuyến: ARCH VÀ G A R C H .................................. 300
3.1. Mô hình tự hồi quy với phưcmg sai có điẻu kiện khác nhau:

A R C H ÌP )

...................

301

3.2. Mô hình tổng quát tự hồi quy với phương sai có điều kiện
khác nhau: G A R C H { p ,q ) ...........................................................

302

4. Mô hình độ biến động ngẫu n h i ê n .................................................

304


Mục lục

19

CHƯƠNG 15. CÁC MÔ HÌNH QUY HOẠCH Đ Ộ NG

V À Đ IỂ U K H IỂN N G Ẫ U N H IÊ N
1. Đ ặt bài toán

307

.............................................................................................307

1.1. Thí dụ mở đầu.............................................................................307
1.2. Phát biểu bài toán

....................................................................309

2. Phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman....................................... 314
2.1. Đặt vấn đề

................................................................................314

2.2. Thủ hạc nhúng.............................................................................314
2.3. Thực hiện chương trình tr ê n ......................................................317

3. Xử lý phương trình H J B ................................................................. 324
3.1. Mô tả ............................................................................................324
3.2. Chú ý ............................................................................................325
4. Toán tử điều chỉnh tuyến tính

..................................................325

5. Bài toán Chi tiêu và Đầu tư tối ư u ................................................ 329

5.1. Khái quát c h u n g .......................................................................329

5.2. Bài toán Chi tiêu tối ưu.............................................................. 331
6. Các định lý Merton về Quỹ hỗ tương............................................. 335
6.1. Trường hợp không có tài sản không rủi r o ............................... 335
6.2. Trường hợp có tài sản không rủi r o .......................................... 341
PHỤ LỤ C

345

TÓM TẮT MỘT SỐ YẾU T ố VỂ (ỈIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN

346

Phần I. Quá trình ngẫu n h iê n ........................................................... 347
1. Quá trình ngẫu n h iê n ..........................................................................347
2. Quá trình ngẫu nhiên thích n٤
ỉhi với một bộ l ọ c ............................... 348
3. Thời điểm Markov và thời điểm dừng................................................ 348
4. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một ơ٠
-trư ờ n g........................... 349


20

Nhập môn Toán học tài chinh

5. Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện
6. Xác suất có điều kiện

............................................... 349

................................................................................351

7. M ac-tin -gan ................................................................................................... 352
8. Quá trình G a u ss.............................................................................................356
8.1. Định nghĩa.............................................................................................356
8.2. Định lý

................................................................................................ 357

8.3. Nhận x é t ................................................................................................ 357
9. Quá trình Wiener hay chuyển động B row n............................................. 357
9.1. Định nghĩa 1 ..........................................................

357

9.2. Định nghĩa 2 (tưcmg đ ư ơ n g )............................................................358
9.3. Vài tính chất quan trọng của chuyển động B ro w n .....................358
9.4. Các mac-tin-gan quen biết tạo thành từ w ..................................358
9.5. Đặc trưng Levy của chuyển động B row n ..................................... 359
10. Quá trình P o is s o n ...................................................................................... 359
10.1. Quá trình đ ế m ...................................................................................359
10.2. Quá trình P o is s o n ............................................................................ 359
11. Quá trình M a r k o v ...................................................................................... 360
11.1. Định n g h ĩa ......................................................................................... 360
11.2. Phương trình Chapman-Kolmogorov............................................361
11.3. Chú ý .................

Phần II. Tích phân ngẫu nhiên

361

.......................................................363

1. Tích phân I t ô ................................................................................................ 363
1.1. Mục đích................................................................................................363
1.2. Định nghĩa tích phân I t ô .................................................................. 364
1.3. Các tính chất quan trọng của tích phân I t ô ..............................365
2. Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thứcI t ô ................................................ 366
2.1. Vi phân I t ô ......................................................................................... 366
2.2. Công thức I t ô ...................................................................................... 366
3. Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich.........................................................369


Mục lục

21

3.1. Khái niệm và Định n c h ĩ a ..........................................................

369

3.2. Biến phân bậc hai của hai quá trình n‫ ؟‬ẫii n h iê n ....................369
Phần III. Phương trình vi phân ngẫu n h i ê n .................................... 372
1, Sự tồn tại và duy nhất của lời ‫ ؟‬iả i.......................................................372
1.1. Định nghĩa phương trình và Lờií i i ả i ........................................... 372
1.2. Định lý tồn tại và duy nhất.............................................................. 373
1.3. Tính Markov của lời g iả i.............................................................

373

1.4. Chú ý .................................................................................................

374

2. Phương ưình vi phân ngẫu nhiên tuyến t í n h ........................................ 374
2.1. Định nghĩa

...................................................................................

2.2. Quá trình mũ ngẫu nhiên

..........................................................

374
375

2.3. Phương trình vi phân mũ ngẫu n h iê n ....................................... 375
2.4. Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính tổng quát . . . 377
2.5. Các thí dụ quen biết về phương trình vi phân ngẫu nhiên
tuyến t í n h .......................................................................................

377

Phẩn IV. M ột số yếu tố k h á c ................................................................

380

1. Về công thức I t ô ...................................................................................

380

1.1. Liên hệ với vi phân toàn phần trong Giải tích cổ điển . . . .

380

1.2. Toán tử D y n k in .............................................................................

380

1.3. Toán tử vi phân cấp hai và công thức D y n k in ....................... 381
1.4. Phương trình lù i................................................................................. 382
1.5. Công thức F ey m a n -K a c .............................................................

383

2. Quá trình khuếch t á n .............................................................................

384

2.1. Định ngh ĩa.......................................................................................

384

2.2. Nhắc lại toán tử sinh cực vivà giải thích định nghĩa . . . .

385

3. Các định lý G irsa n o v .............................................................................

385

3.1. Định lý Girsanov 1 ......................................................................

386

3.2. Định lý Girsanov 2 ...........................................................................386


Nhập môn Toán học tài chính

22

3.3. Định lý Girsanov 3 .......................................................................387
4. Tiếng ồn trắng.............................................................; ..........................388
4.1. Trường hợp rời r ạ c ........................................................................ 388
4.2. Trường hợp liên tục

..................................................................... 388

TH U Ậ T N G Ử Đ Ố I C H IẾU ANH ٠ V IỆT

393

TÀI LIÊU TH AM KHẢO

411


Chương 1

CÁC THỊ TRUỜNG TÀI CHÍNH

1. Thị trường và toán học
2. Cổ phiếu chứng khoán và các phái sinh
3. Co hội có độ chênh thị giá
4. Hợp đồng Quyền Chọn Mua
5. Hợp đồng Quyền Chọn Bán
6. Định giá hợp đồng giao sau
7. Thị trường trái phiếu
8. Hợp đồng giao sau về lãi suất
9. Trao đổi ngoại tệ

§1. Thị trường và toán học
Hầu như ai cũng nghe nói tới các trung tâm giao dịch chứng khoán
như New York, London và Tokyo. Ciíc báo cáo về hoạt động buôn bán tại
các thị ưường này thường xuất hiện trốn trang nhất của các tờ báo hàng
ngày và trên bản tin tức thời sự truyền hình buổi tối tại các quốc gia có
nền kinh tế thị trường. Có rất nhiều thị trưctng tài chính khác nữa. Mỗi
thị trường đều có một đặc trưng xác (tịnh bởi loại hàng hóa tài chính được
mang ra ưao đổi.
Các thị trường tài chính quan trọng nhất là các thị trường c ổ phiếu

23


24

Nhập môn Toán học tài chính

{stock market), các thị trường trái phiếu {bond market), các thị trưCm^ị

tiền tệ {currency market), các thị trường hợp dồng giao sau và hợp đổng
Quyền Chọn ựuture and option market),
Hàng hóa mua bán có thể là một tàỉ sản cơ sở (basic equity) như: một
cổ phiếu, một ưái phiếu hay một đơn vị tiền tệ. Tài sản cơ sở cũng còn
được gọi là tài sản nguyên khởi (primitive equity) hay tài sản nền tảng
(underlying equity). Còn các loại hàng hóa khác gọi là phái sinh tài chính
financial derivative) hay còn gọi là tài sản phụ thuộc (contingent asset,
contingent claim) tức là các hàng hóa mà giá trị của nó rút ra được từ giá
trị của các tài sản cơ sở. Phái sinh tài chính là một đối tượng nghiên cứu
chính của Toán học tài chính. Các Quyền Chọn, các hợp đồng kỳ hạn... là
những thí dụ điển hình về phái sinh tài chính.
Chương này sẽ cho nhiểu thí dụ về các phái sinh tài chính. Mỗi thí dụ
sẽ được giải thích cặn kẽ để cho bạn đọc hiểu rõ về phái sinh tài chính.
Các thí dụ này là về những hợp đồng Quyền Chọn dựa trên các cổ phiếu,
trái phiếu và tiền tệ. Ta cũng bàn về các hợp đồng giao sau ựutures) và
Quyền Chọn hợp đồng giao sau {options on futures).
Toán học thâm nhập vào lĩnh vực này một cách nghiêm túc khi ta cố
gắng liên hệ một giá phái sinh với giá của tài sản cơ bản. Các lý luận toán
học thường cho những đánh giá chính xác đến ngạc nhiên cho các giá trị
đó.
Ngày 29 tháng Ba nám 1900 đã được thừa nhận là ngày khai sinh ra
Toán học tài chính, ngày mà Louis Bachelier (1870-1946) bảo vệ thành
công luận án "Lý thuyết Đầu cơ tài chính" tại Đại học Sorbonne (Paris),
dưới sự hướng dẫn của Henri Poincaré. Nàm 2000, giới toán học tài chính
đã tổ chức lễ 100 năm ra đời của ngành này tại Paris.
Mục đích chính của cuốn sách là cố gắng trình bày quá trình tính toán
ra các giá phái sinh theo các giá cổ phần cơ bản và các khái niệm liên
quan, theo một cách dễ hiểu nhất.

Chương I . Các thị trường íùi cììínìì

25

Chúng tôi cũng cung cấp cho hạn đọc các công cụ toán học và các kỹ
thuật để thực hiện quá trình dó.
Có 2 khái niệm tài chính đã tìmg «ây nên ấn tượng mạnh suốt 2 thập
kỷ qua là:
- Tài sản đáp ứng để bảo hộ siá [Replicating equities)
- Cơ hội có độ chênh lệch thị giấ (Arbitrage opportunity).
Sự kết hợp hai khái niệm đó cho ta một côn٥cụ mạnh để định giá. Trong
Mục 2 sau đây, có một thí dụ tron٤
z đó sự bảo hộ đầu tư và sự vắng mặt
của cơ hội chênh giá sẽ cho ta giá ciiả một sản phẩm phái sinh.

§2. Cổ phỉếu và các phái sinh
Mộ't công ty cần tiền có thể bán các cổ phần của họ cho các nhà đầu tư.
Những người này sở hữu những cổ phần hoặc những chứng từ chứng nhận
tài sản [shares or equity certificates) và có thể nhận được cổ tức {dividend)
hoặc k:hông, phụ thuộc vào công ty đó làm ăn có lãi không và có quyết
định chia lãi cho các cổ đông hay không.
Giá của cổ phiếu công ty là gì? Giá trị đó phản ánh cách nhìn và dự
đoán của nhà đầu tư về các chi trả cổ tức, về khoản kiếm được ưong tương
lai và nguồn vốn mà công ty đỏ sẽ kiểm soát. Việc kiểm soát những điều
khồng chắc chắn ấy được giải quyết trong từng ngày giao dịch bởi người
mua và người bán các cổ phiếu. Những nhà đầu tư thực thi quan điểm
của họ bằng cách mua bán các cổ phiếu trong các thị trường bán đấu giá
{auction markets) như các tmng tâm giao dịch chứng khoán New York,
Londoỉn và Tokyo. Thế nghĩa là, trong phần lớn thời gian thì giá của một
cổ phiếu được phán định bởi người nào muốn trả giá cho nó vào một ngày

định trước.
Ch'0 trước một chứng khoán, tức là một loại cổ phiếu hoặc trái phiếu.
Khi đố, một phái sinh chứng khoán là gì? Đó là một hợp đồng đặc biệt
mà giầ trị của nó tại một ngày nào đó trong tương lai phụ thuộc hoàn toàn


Nhập môn Toán học tài chính

26

vào giá trị tương lai của chứng khoán đó. Cá nhân nào hoặc hãng nào xây
dựng nên hợp đồng đó và mang bán nó đi được gọi là người vỉếí (writer).
Cá nhân nào hoặc hãng nào mua hợp đồng đó thì được gọi là người giữ
(holder). Chứng khoán mà hợp đồng đó căn cứ vào để lập nên, được gọi
là một tài sản nền tảng.
Một phái sinh thì có ý nghĩa gì? Thời hạn của một hợp đồng phái sinh
là hết sức quan trọng để định giá cho nó. Trong thí dụ sau đây, ta sẽ chọn
một phái sinh với một cấu trúc đơn giản để dễ giải thích hai khái niệm tài
chính cơ bản là đáp ứng hảo hộ một cổ phẩn và sự không có chênh lệch
thị giá. Hai khái niệm này sẽ cho ta định giá đối với phái sinh đó.
Trong Chương 9 ta sẽ giải thích kỹ về các hợp đồng kỳ hạn, nhưng ở
đây ta cần giới thiệu sơ bộ về hai dạng của loại hợp đồng này.
2.1. Hợp đồng cổ phiếu ký kết trước (Forward Stock Contract)
Giả thử có một sự bảo đảm rằng, vào một ngày ấn định ưước trong
tương lai, một người sẽ mua một cổ phiếu với một giá đảm bảo trước.
Nghĩa vụ bắt buộc phải mua trong tương lai như vậy tạo thành hợp đồng
ký kết trước ựorward contract).
Các điều kiện của hợp đồng là:
٠ Đến một ngày ấn định trước (gọi là ngày đáo hạn = expiration date),
người giữ hợp đồng bắt buộc phải trả cho người viết hợp đồng đó một số

tiền xác định trước, gọi là gicỉ thực thi.
٠Người viết hợp đồng hắt huộc phải giao cổ phiếu cho người giữ hợp đồng
vào ngày đáo hạn của hợp đồng.
Hợp đồng này có thể sinh lợi cho người giữ nó vào ngày ký kết, nhưng
cũng có thể làm thiệt hại cho người ấy. Sự thu nhập phụ thuộc vào giá cổ
phiếu vào ngày đáo hạn của hợp đồng.
Lợi và thiệt vào ngày đáo hạn: