Mot so bai toan cau cuoi trong de thi vao lop 10 THPT

Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT
MỘT SỐ BÀI TOÁN CÂU CUỐI TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10
Bài 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức E =

x 2 + 4 x 2 + 36 x 2 + 10 x + 3 (với

x là số tự nhiên) không là số nguyên.
Giải
Do x không là số tự nhiên nên:
(4x + 1)2 = 16x2 + 8x + 1 < 36x2 + 10x + 3 < (6x + 2)2 = 36x2 +24x + 4
⇒ 4x + 1 < 36x 2 + 10x + 3 < 6 x + 2
⇒ (2x + 1)2 < 4x2 + 36x 2 + 10x + 3 < 4x2 + 6x + 2 < (2x + 2)2
⇒ 2x + 1 <

4x 2 + 36 x 2 + 10 x + 3 < 2x + 2

⇒ x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 <
⇒ x+1<

2
2
4x 2 + 36 x 2 + 10 x + 3 < x + 2x + 2 < (x + 2)

x 2 + 4x 2 + 36 x 2 + 10 x + 3 < x + 2

⇒ x + 1 < E < x + 2, giá trị của E nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp.

Vậy E không phải là số nguyên.
Bài 2: Cho ba số thực a, b, c với abc ≠ 0 và a + b + c = 0.
Chứng minh rằng:

1 1 1
1 1 1
+ 2+ 2 = + + .
2
a b c
a b c

Giải
2

1

1

1

1 1 1
2
2
2
1 1 1
Ta có  + + ÷ = 2 + 2 + 2 + + +
= 2+ 2+ 2 +
a b c
a b c
ab bc ca
a b c

2(a + b + c)
abc

2

1 1 1
1 1 1
Với abc ≠ 0 và a + b + c = 0, ta có  + + ÷ = 2 + 2 + 2

Suy ra

a
1 1 1
1 1 1
+ 2+ 2 = + +
2
a b c
a b c

b

c

a

b

c

(đfcm)

Bài 3: Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

S=

1
1
1
+
+
là một số hữu tỉ.
2
2
(a − b) (b − c ) (c − a) 2

Giải
Ta có (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0 và a – b ≠ 0, b – c ≠ 0, c – a ≠ 0.
Áp dụng kết quả bài 3, ta có

1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
2
2
2 =
a−b b−c c −a

(a − b) (b − c ) (c − a)

Do các số a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau, nên S là số hữu tỉ.
Bài 4: Tính tổng gồm 2014 số hạng sau:
P = 1+

1 1
+
+
22 32

1+

1 1
+
+…+
32 42

1+

1
1
+
.
2
2014 20142

Giải
Mỗi số hạng của tổng có dạng:
Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An

Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT
1+

1
1
+ 2 =
2
(n − 1) n

1
1
1
1
+
1+
−
(n = 3, 4 … , 2014)
2
2 =
(n − 1) (−n)
n −1 n
1
1 
 1 1
 1 1

−
Ta có P = 1 + − ÷ + 1 + − ÷ + … + 1 +

÷
 2 3
 3 4
 2013 2014 
1
1
2012
Tổng có 2012 số hạng nên: P = 2012 + −
= 2012
2 2014
2014
1+

Bài 5: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
x + y −1 + z −1 =

1
( x + y + z)
2

Giải
1
x + y −1 + z −1 = ( x + y + z )
2

Từ

Nhân hai vế với 2, chuyển vế ta được:
(x - 2 x + 1) + (y - 1 - 2 y − 1 + 1) + (z - 2 - 2 z − 2 + 1) = 0
⇔

(

) (
2

x −1 +

) (
2

y −1 −1 +

 x −1 = 0
x = 1

2

z − 2 −1 ⇔  y −1 = 1 ⇔  y = 2

z = 3

 z − 2 = 1

)

Vậy các số thực phải tìm là x = 1; y = 2; z = 3.
Bài 6: Cho các số dương a, b, c với a ≠ c,

(

Chứng minh rằng:
b+(
a+

Từ a + b =

(

a+ b− c

)

)
c)

a− c
b−

a+ b≠ c,a+b=

a=

a+ b− c

2
2

=

a− c

b− c

Giải
2

( a + b − c) - b = ( a + b − c) = ( a +2 b − c) ( a − c)
b = ( a + b − c) - a = ( a + b − c) = ( 2 a + b − c) ( b − c)
a+( a − c)
Thay a và b vào
,
b+( b − c)
( 2 a +2 b −2 c) ( a − c) a − c
ta được:
=
( 2 a +2 b −2 c) ( a − c) b − c

Suy ra

(

2

2

2

2

b 2 (b dương)

a 2 (a dương)

2

2

(đfcm)

Bài 7: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = a + b + c = 2.
Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An

)

2


Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT
Chứng mnh rằng:

a
b
c
+
+
=
1+ a 1+ b 1+ c

2
(1 + a )(1 + b)(1 + c)

Giải
Đặt x = a ; y = b ; z = c thì x2 + y2 + z2 = x + y + z = 2
(x + y + z)2 = 22 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 22
⇔ 2(xy + yz + zx) = 22 – 2 = 2 ⇔ xy + yz + zx = 1
1 + a = xy + yz + zx + x2 = (x + y)(x + z)
1 + b = xy + yz + zx + y2 = (y + z)(y + x)
1 + c = xy + yz + zx + z2 = (z + x)(z + y)
Do đó

x
y
z
a
b
c
+
+
= ( x + y) ( x + z) + ( y + z) ( y + x ) + ( z + x ) ( z + y)
1+ a 1+ b 1+ c
2 ( xy + yz + zx )
2
= x + y y + z x + z = (1 + a)(1 + b)(1 + c)
(đfcm)
(
)(
)(
)
3

Bài 8: Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn: a 1 − b2 + b 1 − c 2 + c 1 − a 2 = .

2
Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 =

3
2

Giải

Vì 1 – b ≥ 0; 1 – c ≥ 0; 1 – a ≥ 0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm, ta có:
2

2

2

a 2 + 1 − b2
b2 + 1 − c2
c2 + 1 − a2
≥ a 1 − b2 ;
≥ b 1 − c2 ;
≥ c 1− a2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
3
a +1− b
b +1− c
c +1− a
Mà
+
+
= ≥ a 1 − b2 + b 1 − c 2 + c 1 − a 2
2
2
2
2
a = 1 − b 2
a 2 = 1 − b 2

 2
3

2
2
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: b = 1 − c ⇔ b = 1 − c ⇔ a2 + b2 + c2 =
2

c 2 = 1 − a 2
2

c = 1 − a

Bài 9: Cho hai số dương x, y thỏa xy = 3.

3

9

26

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y − 3x + y
Giải
3

9

27

= 6 (1)
Áp dụng bđt Cosi ta có: x + y ≥ 2
xy
26

13

26

13

3x + y ≥ 2 3xy = 6 ⇔ 3x + y ≤ 3 ⇔ − 3x + y ≥ − 3 (2)
3 9
26
3 9
26

13
5
Từ (1) và (2) suy ra: P = x + y − 3x + y ≥ 6 − ⇔ P = x + y − 3x + y ≥
3
3

Vậy MinP =

3 x = y
 x = 1( x > 0)
5
⇔
khi 
3
 xy = 3
y = 3

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4 x +

1 4 x +3
−
+ 2016 với x > 0.
4x
x +1

Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An


Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT
Giải

Với x > 0, ta có:
1 4 x +3
1
4 x +3
−
+ 2016 = (4 x − 2 + ) + (4 −
) + 2014
4x
x +1
4x
x +1

A = 4x +


1
1   4 x − 4 x + 1
= (2 x ) 2 − 2.2 x
+
 + 2014
+
x +1
2 x (2 x ) 2  


= (2 x −

1
2 x

)2 +

(2 x − 1) 2
+ 2014 ≥ 2014
x +1

1

=0
1
2 x −
2 x
⇒ min A = 2014 ⇔ 
⇔x=
4
2 x − 1 = 0

1
1
1
1
+
+
+ .... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
120 + 121
1
1

+ .... +
B = 1+
2
35

Bài 11:

Cho A =

Chứng minh rằng: B > A
Giải
1
1
1
1
+
+
+ .... +
A =
=
1+ 2
2+ 3
3+ 4
120 + 121

Ta có:

=
1− 2

+

( 1+ 2 ) ( 1− 2 ) (

2− 3
2+ 3

)(

2− 3

)

+ .... +

(

120 − 121
120 + 121

1− 2
2− 3
120 − 121
+
+ .... +
−1
−1
−1
= 2 − 1 + 3 − 2 + ....... + 121 − 120 = - 1 + 11 = 10
1

2
2
=
>
= 2 k +1 − k
Với mọi k ∈ N * , ta có:
k
k+ k
k + k +1
1
1
+ .... +
Do đó: B = 1 +
2
35

)(

120 − 121

=

(

(

⇒ B > 2 − 1 + 2 − 2 + 3 − 3 + 4 − ... − 35 + 36

) 2( −

(1)

)

)

1 + 36 = 2 ( −1 + 6 ) = 10

Từ (1) và (2) suy ra: B > A
Bài 12: Cho các số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = 4.
1

1

Chứng minh rằng xy + xz ≥ 1
Giải
Vì x + y + z = 4 nên suy ra x = 4 – (y + z)

Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An

)


Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT
Mặt khác:

1 1
11 1
1 1
+ ≥ 1 ⇔  + ÷ ≥ 1 ⇔ + ≥ x do x dương. (*)

xy xz
x y z
y z

Thay x = 4 – (y + z) vào (*) ta có:
2

2
 1
  1
1 1
1
1

+ ≥ 4 − ( y + z) ⇔ − 2 + y + − 2 + z ≥ 0 ⇔ 
− y ÷ +
− z÷ ≥0
 y
÷  z
y z
y
z




Luôn đúng với mọi x, y, z dương, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: y = z = 1, x = 2.

Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An