ỨNG DỤNG của đạo hàm

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
I.
1.

2.
•
•
•
3.
•
•
•
•
•
4.

•
•
•
•

ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
Định nghĩa:
Hs y = f(x) đồng biến (tăng) trên D  Ɐx1 x2 ϵ D, x1< x2  f(x1)< f( x2)
Hs y = f(x) nghịch biến (giảm) trên D  Ɐx1 x2 ϵ D, x1< x2  f(x1)>f( x2)
Định lý:
Hs f(x) đồng biến trên D 
Hs f(x) nghịch biến trên D 
Hs f(x) không đổi trên D  f’(x) = 0, Ɐx ϵ D
Cách xét tính đơn điệu
Tìm miền xác định D

Tính đạo hàm y’
Tìm các điểm x1 tại đó đạo hàm của hs bằng 0 hoặc hs liên tục nhưng không
có đạo hàm
Vẽ bảng biến thiên
Kết luận
Quy tắc xét dấu đa thức
a. Nhị thức bậc nhất: phải cùng trái trái
b. Tam thất bậc hai
Có 2 nghiệm phân biệt: trong trái, ngoài cùng
Vô nghiệm hoặc nghiệm kép: cùng dấu a
c. Đa thức bất kì:
Ngoài cùng bên phải: cùng dấu a
Qua nghiệm bội chẵn: không đổi dấu

Lưu ý: Nếu pt bậc ba:
•
•
•
5.
•

•

Có 3 nghiệm phân biệt: đó là 3 nghiệm đơn
Có 2 nghiệm phân biệt: 1 nghiệm đơn và 2 nghiệm kép ( chia Horner để xác
định nghiệm kép)
Có 1 nghiệm: đó là nghiệm bội lẻ ( đơn hoặc bội ba)
Đặc biệt:
Hs bậc ba: y= f(x) = ax3 + bx2 + cx +d tăng trên R
 Xét riêng trường hợp a =0

 Nếu a 0: y’ 0, ⱯxϵR 
Hs bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx +d giảm trên R
 Xét riêng trường hợp a =0
 Nếu a 0: y’ 0, ⱯxϵR 


•

Hs nhất biến: y = tăng trên từng khoảng xác định của nó

 y’ >0, Ɐxϵ D  ad-bc >0
•
•
II.
1.
2.
a.

Hs nhất biến: y = giảm trên từng khoảng xác định của nó
 y’ <0, Ɐxϵ D  ad-bc <0
CỰC TRỊ
Điều kiện cần: nếu hs y = f(x) có đạo hàm và đạt cực trị x0 thì f’(x0) =0
X0 là cực trị  f’( x0) = 0 ( thử lại)
Điều kiện đủ:
Cách 1: Dùng bảng biến thiên

Các bước tìm cực trị:
•
•
•

•
•
b.
•
•
•
•
•
•
•
•

3.
4.
•

•

Tìm miền xác định D
Tính đạo hàm y’
Tìm các điểm x1 tại đó đạo hàm của hs bằng 0 hoặc hs liên tục nhưng không
có đạo hàm
Vẽ bảng biến thiên
Kết luận
Cách 2:
 x0 là cực trị
 x0 là điểm cực tiểu
 x0 là điểm cực đại
Các bước tìm cực trị:
Tìm miền xác định D

Tính đạo hàm y’
Tìm các điểm x1 tại đó đạo hàm của hs bằng 0
Tìm đạo hàm cấp hai y”
Tính f’(x1):
 Nếu f”(x1) > 0 thì x2 là cực tiểu
 Nếu f”(x1) <0 thì x2 là cực đại
Nhận xét
Nếu y = f(x) = đạy cực trị tại x0 thì y0 = f(x0) =
Đặc biệt:
Hs bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx +d có cực trị
 Xét riêng Th a=0
 Nếu a 0: pt y’ 0 có 2 nghiệm pb 
Hs bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx +d có 2 cực trị


•
•
•
III.
1.
2.
•
•
IV.
•
•
•
V.

•

•
•
•

 pt y’ 0 có 2 nghiệm pb 
Hs hữu tỷ y = có cực trị
Xét riêng Th a=0
Nếu a 0: pt y’ 0 có 2 nghiệm pb khác 0 
MAX, MIN
Cách 1: dùng bảng biến thiên
Cách 2: chỉ dùng tìm max, min trên đoạn và hs liên tục trên đoạn đó:
Tính f’(x)
Tìm các f( x1), f(x2),…, f(a), f(b). so sánh và kết luận
LỒI, LÕM, ĐIỂM UỐN
Nếu f’(x) >0 ⱯxϵR thì đồ lõm trên D
Nếu f’(x) <0 ⱯxϵR thì đồ lồi trên D
Nếu f’(x) đổi dấu khi qua x0 thì (x0; f(x0)) là điểm uốn
TIỆM CẬN
tiệm cận ngang
= 0 y = ax+b là tiệm cận xiên (a
Hoặc: a = ; b =

Nhận xét:
•
•
•

Nếu đồ thị đã xó tiệm cận ngang thì không có tiệm cận xiên và ngược lại
Hs đa thức: không có tiệm cận
Hs phân thức hữu tỷ:

 Nếu bậc tử bậc mẫu: có tiệm cận ngang không có tiệm cận xiên
 Nếu bậc tử > bậc mẫu +1: không coa tiệm cận ngang và không có tiệm
cận xiên
 Nếu bậc tử = bậc mẫu +1: không có tiệm cận ngang có tiệm cận xiên.
Tìm tiệm cận xiên bằng cách lấy tử số chia mẫu số, kết quả thương là
nghiệm cận xiên.