SKKN xây dựng phương pháp và thuật toán để giải một số dạng toán thường gặp trong các kỳ thi giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

SangKienKinhNghiem.org
Tổng Hợp Hơn 1000 Sáng Kiến Kinh Nghiệm Chuẩn

TÊN ĐỀ TÀI
XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP VÀ TḤT TOÁN ĐỂ GIẢI
MỢT SỚ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC KỲ
THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
BẬC THCS
* ******************

A. MỞ ĐẦU
I . ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. THỰC TRẠNG VỀ TÌNH HÌNH DẠY VÀ HỌC MÁY TÍNH CẦM TAY Ở TRƯỜNG
THCS:
a) Với máy tính cầm tay, việc dạy và học theo chương trình ở sách giáo khoa chỉ đơn
th̀n là hướng dẫn thực hành tính toán, giải phương trình, hệ phương trình đơn giản:
Từ năm học 2002 – 2003, khi chương trình sách giáo khoa được bắt đầu cải cách,
chúng ta thấy trong chương trình bợ mơn toán từ 6 đến 9, các tác giả sách giáo khoa đã
đưa vào chương trình giảng dạy hướng dẫn thực hành sử dụng máy tính cầm tay (MTCT),
để giải qút các bài toán tính toán đơn th̀n với các phép tính, giải phương trình, hệ
phương trình đã học tương ứng trong chương trình. Chẳng hạn, với mơn sớ học 6 thì
hướng dẫn cợng, trừ, nhân sớ ngun, tính % của mợt sớ, . . ., với đại sớ 7 thì hướng dẫn
cợng, trừ, nhân, chia sớ thập phân, tính lũy thừa, tính căn bậc hai, . . . , với hình học thì
tính các tỉ sớ lượng giác của góc nhọn, tính sớ đo góc, . . ., với đại sớ 9 thì hướng dẫn giải
phương trình bậc hai, giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn v.v. . . Như vậy có thể nói việc
dạy học MTCT theo chương trình sách giáo khoa chỉ đơn th̀n là giải qút các bài toán
tính toán, các bài toán có chương trình giải sẵn, chưa khai thác thế mạnh của MTCT, chưa

có giải qút các bài toán có phương pháp, có tư duy tḥt toán, học sinh nếu chỉ học việc
sử dụng MTCT ở sách giáo khoa thì khơng thể đáp ứng được u cầu giải các bài toán
bằng MTCT có sử dụng tḥt toán, và tất nhiên khơng thể đáp ứng được u cầu của mợt
kì thi giải toán bằng MTCT.
b) Việc dạy và học về MTCT chưa có định hướng rõ ràng, chưa có tài liệu chính qui:
Như chúng ta đã biết, trong phân phới chương trình của bợ mơn toán, các tiết ơn tập
chương thường có u cầu ơn tập với sự trợ giúp của MTCT, nhưng chưa hướng dẫn cụ
thể việc trợ giúp đó ở mức đợ như thế nào, như vậy có thể hiểu việc trợ giúp của MTCT ở
đây chỉ là giúp tính toán nhanh kết quả, thay cho tính toán thủ cơng, chỉ giải các bài toán
có sẵn chương trình, chưa quan tâm đến các bài toán có thể giải nhanh nhờ sử dụng tḥt
toán trên MTCT, nhưng trái lại vấn đề chưa quan tâm này lại là u cầu cơ bản của các đề
thi trong các kì thi giải toán trên MTCT, chính vì vậy khi thực hiện bời dưỡng cho các đới
tượng học sinh dự thi các kì thi giải toán trên MTCT người giáo viên rất lúng túng trong
việc định hướng chương trình cho hợp lý đảm bảo theo u cầu của kì thi. Còn về vấn đề
tài liệu, có thể nói, ta có thể tìm kiếm trên mạng Internet nguồn tài liệu về MTCT là rất
nhiều, rất phong phú, nhưng điểm hạn chế là tính phù hợp khơng cao, rất tản mạn về các
dạng loại, một số tài liệu khơng chú ý xây dựng cơ sở lý thuyết của phương pháp và thuật
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ
1


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

tốn, chúng ta chưa có tài liệu chính qui nào hướng dẫn việc giảng dạy và bời dưỡng học
sinh giỏi về MTCT.
c) Trong giảng dạy, chưa quan tâm đúng mức việc giải toán bằng MTCT:
Qua các thực trạng về dạy học MTCT theo chương trình sách giáo khoa mà chúng
tơi đã nêu, người giáo viên trong quá trình giảng dạy chắc chắn chỉ dừng lại ở mức đợ

hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT tính toán thơng thường theo mức đợ u cầu của sách
giáo khoa, chưa quan tâm đến việc hướng dẫn học sinh giải mợt sớ bài toán bằng MTCT
có dùng những phương pháp và tḥt toán để giải nhanh, có thể do hạn chế về thời lượng
của các tiết học, cũng có thể do ý thức chủ quan của người giáo viên, chỉ thực hiện theo
mức đợ u cầu, khơng làm nhiều hơn, như vậy làm sao học sinh có được những kỹ năng
cần thiết để giải các bài toán bằng MTCT hợp lý, nhanh chóng. Chẳng hạn, khi dạy và
lụn tập về sớ ngun tớ, nếu người giáo viên giới thiệu thêm cho học sinh về tḥt toán
kiểm tra sớ ngun tớ bằng MTCT, thì học sinh có được mợt kỹ năng rất nhanh để kiểm
tra mợt sớ có phải là sớ ngun tớ hay khơng, kể cả những sớ rất lớn, và chúng ta cũng
thấy rất nhiều trường hợp tương tự như trên trong quá trình giảng dạy.
d) Học sinh lạm dụng việc sử dụng MTCT, làm mất khả năng tính nhẩm, tính nhanh, tính
toán hợp lý, khả năng tư duy toán học:
Đây là mợt thực trạng thường thấy khi giảng dạy bợ mơn toán, mợt sớ học sinh ́u
về khả năng tính toán, khả tư duy, suy ḷn, thường lạm dụng việc sử dụng MTCT trong
học tập bợ mơn toán, thấy bài toán tính toán là dùng MTCT để bấm ra kết quả, khơng hề
đợng não tư duy gì cả, thậm chí những phép toán đơn giản chỉ cần nhẩm nhanh thì có kết
quả, hoặc những phép tính vận dụng tính chất cho kết quả nhanh chóng học sinh cũng
dùng MTCT, những trường hợp này nếu khơng có biện pháp hợp lý, lâu dần học sinh sẽ
mất đi các khả năng tư duy toán học cần thiết, đây là mợt vấn đề cần cảnh báo kịp thời.
Về phía giáo viên, trước thực tế như vậy đơi khi ngăn ngừa, khún cáo học sinh khơng
nên lạm dụng MTCT, nhưng có thể chưa có mợt giải pháp hợp lý nào để khắc phục hạn
chế trên. Thực trạng này có thể dẫn đến, học sinh ít quan tâm đến việc dùng MTCT để giải
các bài toán, hoặc chỉ giải các bài toán theo các hướng tư duy thơng thường của các
phương pháp toán học mà khơng có sự hỡ trợ của MTCT, như vậy việc hình thành tư duy
cho học sinh giải các bài toán bằng MTCT là rất hạn chế, thậm chí là khơng quan tâm gì
cả. Điều này ảnh hưởng khơng nhỏ đến quá trình hình thành kĩ năng và tư duy tḥt toán
để giải toán bằng MTCT, dẫn đến đợi ngũ học sinh giỏi giải toán bằng MTCT rất hạn chế
về sớ lượng.
Đứng trước các thực trạng về tình hình giảng dạy và bời dưỡng học sinh giỏi giải
toán trên MTCT đã nêu, chúng tơi thấy để nâng cao được chất lượng việc giảng dạy và bời

dưỡng cho học sinh về MTCT , cần thiết nhất là chúng ta phải có được mợt tài liệu hợp lý,
mang tính nhất quán, đảm bảo phù hợp về trình đợ hiểu biết của học sinh trong bậc học,
tài liệu này có thể giúp cho người giáo viên tham khảo trong cơng tác giảng dạy và bời
dưỡng học sinh giải toán trên MTCT. Với lý do đó, qua nhiều năm nghiên cứu, tìm tòi, tập
hợp và sáng tạo chúng tơi mạnh dạn xây dựng, đề x́t sáng kiến kinh nghiệm “Xây dựng
phương pháp và thuật tốn để giải một số dạng tốn thường gặp trong các kỳ thi giải tốn
trên máy tính cầm tay bậc THCS”, hầu mong giải qút vấn đề mà người làm cơng tác
giảng dạy và bời dưỡng về MTCT thấy cần thiết.
2. Ý NGHĨA VÀ TÁC DỤNG CỦA GIẢI PHÁP MỚI:
Trước thực tế khó khăn về vấn đề tài liệu đối với cơng tác bồi dưỡng học sinh giải
tốn trên MTCT, chúng tơi xây dựng sáng kiến kinh nghiệm này góp phần bổ sung cho
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ
2


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

người làm cơng tác bồi dưỡng học sinh giải tốn trên MTCT một tài liệu tham khảo, chưa
dám nói là đầy đủ, song chúng tơi tin rằng các dạng tốn mà đề tài đề cập là những dạng
tốn rất quan trọng, rất cần thiết trang bị cho học sinh khi tham gia các kì thi, có tác dụng
hình thành các kĩ năng và tư duy cần thiết cho học sinh khi giải tốn trên MTCT.
3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TAI:
Căn cứ vào chương trình tốn bậc THCS từ lớp 6 đến lớp 9, ở tất cả các phân mơn,
đặc biệt là phân mơn số học, các dạng tốn bồi dưỡng học sinh giỏi giải tốn trên MTCT,
tham khảo các đề thi của các kì thi chọn học sinh giỏi giải tốn trên MTCT chúng tơi tập
hợp, phân loại và sắp xếp các dạng tốn, xây dựng phương pháp và thuật tốn để giải,
nhằm tạo ra mợt hệ thớng có tính lơgic, có khoa học, có phương pháp để có thể tiến hành
tở chức giảng dạy, bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi tham gia các kì thi giải tốn trên

MTCT có hiệu quả, có chất lượng , đạt kết quả cao, nhằm từng bước nâng cao chất lượng
bộ mơn tốn nói riêng và chất lượng giáo dục tồn diện trong nhà trường THCS nói
chung.
Hiện nay khi tham gia các kì thi học sinh giỏi giải tốn trên MTCT, học sinh được
phép sử dụng một số loại máy có các tính năng gần tương nhau, xét thuật tốn hướng dẫn
qui trình ấn phím để giải một bài tốn nào đó thì gần giống nhau, do đó đề tài chúng tơi
chỉ nêu qui trình ấn phím cho một loại máy là fx-570 MS, các loại máy khác được suy ra
tương tự, còn về mặt phương pháp giải thì coi như được áp dụng chung.
II . PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN:
- Hiện nay, hằng năm, song song với các cuộc thi chọn học sinh giỏi tốn các cấp, thi giải
tốn qua mạng Internet, còn có cuộc thi học sinh giỏi giải tốn trên máy tính cầm tay
(MTCT) cũng được các cấp quản lý giáo dục quan tâm đầu tư. Do đó, u cầu chất lượng
của kì thi học sinh giỏi giải tốn trên MTCT ngày càng cao hơn, kết quả của cuộc thi cũng
được các cấp quản lý xem là tiêu chí đánh giá các đơn vị trường. Xuất phát từ tình hình đó
chúng tơi thấy cần xây dựng sáng kiến để áp dụng cho cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi giải
tốn trên MTCT, đó cũng coi là đổi mới phương pháp dạy học, nhằm nâng cao chất lượng
và hiệu quả của cơng tác giảng dạy bộ mơn tốn nói riêng và chất lượng đào tạo tồn diện
của nhà trường.
- Tình hình phổ biến hiện nay, khi tham gia kỳ thi học sinh giỏi giải tốn trên MTCT, học
sinh hoặc là tự lực tìm tòi tài liệu để tự trang bị cho mình kiến thức cần thiết, hoặc là nhà
trường phân cơng cho giáo viên bộ mơn phụ trách việc bồi dưỡng, nguồn tài liệu chủ yếu là
tìm kiếm trên mạng Internet, phải thừa nhận rằng nguồn tài liệu về MTCT trên mạng là rất
nhiều, rất phong phú cho tất cả các bậc học, nhưng điểm hạn chế là tính phù hợp với trình độ
tiếp thu của đối tượng học sinh ở trường khơng cao, rất tản mạn về các dạng loại, một số tài
liệu khơng chú ý xây dựng cơ sở lý thuyết của phương pháp và thuật tốn. Sáng kiến kinh
nghiệm của chúng tơi xây dựng với mục đích đưa ra một hệ thống các dạng loại bài tốn giải
trên MTCT, đảm bảo phù hợp với chương trình tốn bậc THCS, phù hợp trình độ nhận thức
của đối tượng học sinh trong bậc học. Việc xây dựng các phương pháp có cơ sở lý thuyết và
thuật tốn cho từng loại dạng tốn, giúp cho học sinh có cách giải các dạng tốn này có

chiều sâu, nhớ lâu, vận dụng tốt Đặc biệt hơn, qua nghiên cứu các đề thi giải tốn trên
MTCT của các cấp qua nhiều năm, chúng tơi đúc kêt và xây dựng các dạng tốn trong sáng
kiến này, tuy khơng dám nói là đầy đủ, song chúng tơi hy vọng sáng kiến này đáp ứng phần
nào nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh giỏi tham gia các kì thi giải tốn trên MTCT.
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

3


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

- Một điều hết sức q báu và quan trọng mà ai trong chúng ta đã từng học và dạy tốn cũng
phải cơng nhận, đó là hình thành tư duy thuật tốn. Một số bài tốn giải trên MTCT, có thuật
tốn hướng dẫn qui trình ấn phím sử dụng các biến nhớ của máy và vòng lặp rất gần giống
các thuật tốn lập trình trong tin học.Chính vì vậy sáng kiến của chúng tơi quan tâm đến
việc xây dựng thuật tốn, nhằm từng bước hình thành tư duy thuật tốn cho học sinh, và có
thể cao hơn đó là tư duy lập trình của tin học, đây cũng là một trong những nhiệm vụ quan
trọng trong cơng tác đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, sáng
tạo tư duy của học sinh.
2. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH VÀ THỜI GIAN XÂY DỰNG SÁNG KIẾN:
- Khi tiến hành xây dựng sáng kiến này chúng tơi tìm hiểu các tài liệu về hướng dẫn sử
dụng MTCT, và như đã nói ở trên chủ yếu là tài liệu hướng dẫn sử dụng máy fx-570MS, tập
sử dụng và từng bước khai thác các chức năng của các phím bấm, các chương trình giải sẵn
của một số bài tốn. Bên cạnh đó một cơng việc tốn rất nhiều thời gian, đó là tìm kiếm các
tài liệu liên quan đến giải tốn trên MTCT, các đề thi học sinh giỏi giải tốn trên MTCT của
các cấp, qua các năm, các tài liệu này chủ yếu cũng từ mạng Internet. Từ đó chúng tơi
nghiên cứu kĩ càng các tài liệu này, tiến hành chọn lọc, phân loại, sắp xếp và bổ sung các
dạng tốn để đưa vào sáng kiến sao cho đảm bảo phù hợp theo u cầu đã nêu.

- Một cơng việc nữa cũng đồng thời được tiến hành, nghiên cứu kỹ chương trình mơn tốn
bặc THCS, các phương pháp dạy học bộ mơn tốn và các u cầu về đổi mới phương pháp
dạy học, các phương pháp học tập tích cực của học sinh để từ đó mới có thể nắm chắc u
cầu về kiến thức, kĩ năng, xác định đúng, hợp lý các phương pháp và thuật tốn cần đưa ra
để giải quyết các dạng tốn đề ra, tránh tình trạng mâu thuẫn kiến thức, q khả năng tiếp
thu của học sinh, dạng loại có trước hỗ trợ cho dạng loại có sau, đảm bảo tính hệ thống,
khoa học.
* Mợt sớ tài liệu tham khảo:
+ Tài liệu hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay fx-570MS.
+ Tài liệu bời dưỡng MTCT của cơng ty Bình Tiên.
+ Mợt sớ tài liệu khác và mợt sớ đề thi giải toán trên MTCT của các cấp.
- Chúng tơi tiến hành viết sáng kiến kinh nghiệm: “Xây dựng phương pháp và thuật tốn
để giải một số dạng tốn thường gặp trong các kỳ thi giải tốn trên máy tính cầm tay bậc
THCS” trong thời gian hai năm rưỡi, tính từ năm học 2009-2010 đến học kì I năm học
2011-2012. Đề tài được áp dụng vào tháng 10 năm học 2011-2012 khi tiến hành bồi dưỡng
cho 8 học sinh của trường dự thi kì thi học sinh giỏi giải tốn trên MTCT cấp huyện năm
học 2011-2012.

Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

4


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

B. NỘI DUNG
I. MỤC TIÊU:
Như tên của sáng kiến chúng tơi đã nêu“Xây dựng phương pháp và thuật tốn để

giải một số dạng tốn thường gặp trong các kỳ thi giải tốn trên máy tính cầm tay bậc
THCS”, đã thể hiện rõ ràng nhiệm vụ cần giải quyết của đề tài. Tuy nhiên cần nói rõ hơn,
đề tài khơng nêu lại những thuật tốn có sẵn (chương trình giải có sẵn) để giải một số bài
tốn cơ bản như: Giải phương trình bậc 2, bậc 3, hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn số, 3 ẩn số,
…, coi như đây là những thuật tốn phải biết khi sử dụng MTCT. Đề tài chỉ quan tâm đến
những dạng tốn cần khai thác những thuật tốn khác sách giáo khoa, khai thác thế mạnh
của MTCT để giải cho kết quả nhanh chóng, chính xác. Đối với một số dạng tốn đề tài
xây dựng phương pháp giải rõ ràng, có cơ sở lý thuyết vững chắc, từ đó nêu ra thuật tốn
hướng dẫn qui trình ấn phím cụ thể, để người học có thể hiểu sâu, nắm vững, thực hành
thành thạo để giải tốt các dạng tốn này, tuy nhiên đề tài cũng đề cập đến một số dạng
tốn chưa phải là dạng tốn thường gặp trong các kì thi, nhưng nó mang tính chất là cơ sở
về mặt thuật tốn để xây dựng phương pháp giải các dạng tốn khác, như các bài tốn tìm
ước, bội, thuật tốn kiểm tra số ngun tố, …v.v
Trên cơ sở chương trình tốn bậc THCS, các dạng tốn bồi dưỡng học sinh giỏi giải
tốn trên MTCT, các đề thi của các kì thi chọn học sinh giỏi giải tốn trên MTCT chúng
tơi tập hợp, phân loại và sắp xếp các dạng tốn, tiến hành xây dựng phương pháp và thuật
tốn để giải, nhằm tạo ra mợt hệ thớng các dạng loại bài tập có tính lơgic, có khoa học, có
phương pháp để có thể tiến hành tở chức giảng dạy, bồi dưỡng cho đối tượng học sinh
giỏi tham gia các kì thi giải tốn trên MTCT có hiệu quả, có chất lượng.
II. MƠ TẢ CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:
1. THUYẾT MINH CÁC GIẢI PHÁP:

Sáng kiến của chúng tơi, tập hợp mợt sớ dạng toán mà theo kinh nghiệm chúng tơi
thấy rất thường hay có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên MTCT và như vậy
nó rất cần phải được trang bị cho học sinh khi bời dưỡng học sinh giỏi giải toán MTCT.
Khi đề x́t các dạng toán, điểm mà chúng tơi quan tâm nhất là xây dưng phương pháp và
tḥt toán trên MTCT để giải qút chúng, nhằm giúp học sinh khắc sâu cách giải.
Sau đây là các dạng toán được minh họa:
DẠNG 1: CÁC BÀI TỐN VỀ XỬ LÝ SỐ LỚN
Đây là những bài tốn có chứa những phép tính mà kết quả là số q lớn dẫn đến

tràn bộ nhớ (còn gọi là tràn màn hình) máy báo lỗi hoặc cho kết quả sai số sau nhiều chữ
số, đó thường là phép nhân số lớn, phép chia số lớn, phép tính lũy thừa số mũ lớn
Phương pháp: Với các bài tốn này ta thường dùng phương pháp chia nhỏ số, đặt ẩn phụ,
kết hợp giữa tính trên máy và trên giấy.
Sau đây là một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính chính xác kết quả phép nhân sau:
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

5


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

A = 7684352 x 4325319
Giải:
Đặt: a = 7684, b = 352, c = 432, d = 5319
Ta có: A = (a. 104 +b)(c. 104 + d) = ac.108 + ad.104 + bc.104 + bd
Tính trên máy và kết hợp ghi ra giấy:
ac.108 = 33177600000000
+
ad.104 =
40849920000
4
bc.10 =
18800640000
bd
=
23148288

Vậy: A
= 33237273708288
Ví dụ 2: Tính chính xác giá trị biểu thức:
B = 3752142 + 2158433
Giải:
Đặt : a = 375, b = 214, c = 215, d = 843
Ta có: B = (a.103 + b)2 + (c.103 + d)3
= a2 .106 +2ab.103 + b2 + c3.109 +3c2d.106 + 3cd2.103 + d3
= c3.109 + (a2 + 3c2d).106 + (2ab + 3cd2).103 + b2 + d3
Tính trên máy và kết hợp ghi ra giấy:
c3.109
= 9938375000000000
2
2
6
+
(a + 3c d).10
= 117043650000000
(2ab + 3cd2).103
=
458529105000
2
3
b +d
=
599122903
Vậy:
B
= 10055877778227903
Ví dụ 3: Tính kết quả đúng của các tích sau:

a) M = 2222255555 . 2222266666.
b) N = 20032003 . 20042004.
Giải:
a) Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666.
Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC
Tính trên máy:
A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630
Tính trên giấy: (Ta có thể lập bảng cho tiện trình bày và tránh sai sót)
2
A .1010 4 9 3 8 1 7 2 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AB.105
1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0
5
AC.10
1 4 8 1 4 5 1 8 5 2 0 0 0 0 0
BC
3 7 0 3 6 2 9 6 3 0
M
4 9 3 8 4 4 4 4 4 3 2 0 9 8 2 9 6 3 0
b) Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có:
N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY
Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)
Kết quả: N = 401481484254012.
Ví dụ 4: Tính chính xác kết quả của phép chia sau:
A = 52906279178,48 : 565,432
Giải:
Nhận xét: Rõ ràng ta khơng thể dùng máy để tính trực tiếp kết quả của phép chia trên, vì
số bị chia có q 12 chữ số nên máy sẽ khơng nhận biết các chữ số cuối cùng , nên khi
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

6


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

tính trực tiếp bằng máy sẽ cho kết quả sai. Do vậy ta phải dùng phương pháp tìm số dư để
biểu diễn phép chia, ta làm như sau:
Ta thấy phép chia trên có thể đổi thành:
A = 5290627917848 : 565432
Đặt : A = b : c, ta dùng phương pháp tìm số dư để biểu diễn b theo c như sau:
Ta có: b
= 529602791.105 + 78480
= (c.935 + 383871).105 + 78480
= c.935.105 + 38387178480
= c.935.105 + 383871784.102 + 80
= c.935.105 + c. 678.102 + 50888880
= c.935.105 + c. 678.102 + c.90
= c(935.105 + c678.102 + 90)
Suy ra A = b : c = 935.105 + c678.102 + 90
Vậy dùng máy ta tính ra kết quả đúng của A = 93567890
(Ta có thể thực hiện phép nhân b = A x c để thử lại kết quả phép chia)
Ghi chú: Ở đây ta đã dùng phương pháp tìm số dư, phương pháp này sẽ được trình bày ở
phần sau.
Ví dụ 5: Tính chính xác tổng:
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!.
Giải:
Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!)

S = 17! – 1!.
Khơng thể tính 17! bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn
hình). Nên ta tính theo cách sau:
Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy
khơng bị tràn, cho kết quả chính xác.
Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120
Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 106 + 208 . 102 nên
S = (6227 . 106 + 208 . 102) . 5712 . 10 – 1
= 35568624 . 107 + 1188096 . 103 – 1 = 355687428096000 – 1
= 355687428095999.
Bài tập thực hành:
Tính chính xác:
A = 3333355555x3333377777 (ĐS: 11111333329876501235)
B = 1234567892 (ĐS: 15241578750190521)
DẠNG 2: TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA
Cơ sở lý thuyết xây dựng thuật tốn.
Định lý: Với hai số ngun a và b (b khác 0), ln tồn tại duy nhất cập số ngun q và r
sao cho: a = bq + r, với : 0 ≤ r ≤ b.
- Nếu r = 0 thì a = bq thì phép chia a cho b là phép chia hết.
- Nếu r ≠ 0 thì phép chia a cho b là phép chia có dư.
Thuật tốn: Áp dụng định lý trên ta có thể xây dựng thuật tốn lập qui trình ấn phím để
tìm số dư trong phép chia a cho b như sau:
- Bước 1: Đưa số a vào ơ nhớ A , số b vào ơ nhớ B
- Bước 2: Thực hiện phwps chia A cho B (ghi nhớ phần ngun của thương q,
kí hiệu: [q])
- Bước 3: Thực hiện phép tính : A - B x [q] = r
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

7

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

Vận dụng hợp lý qui trình ấn phím này ta có thể giải được một số dạng tốn tìm số
dư như sau:
1/ Số tương đối nhỏ: (Số có số chữ số khơng q 10)
Ta áp dụng trực tiếp qui trình ấn phím trên.
Ví dụ 1: Viết qui trình ấn phím tìm số dư trong phép chia: 18901969 chia cho 3041975
Giải:
Qui trình ấn phím trên máy fx 570MS như sau:
Ấn: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B AC
ALPHA A ÷ ALPHA B = (6,213716089) AC
ALPHA A - ALPHA B x 6 = (650119)
Kết quả: Số dư trong phép chia trên là: r = 650119
Chú ý: Cũng dùng thuật tốn trên nhưng ta có qui trình ấn phím trực tiếp khơng gán các số
a, b vào các ơ nhớ A , B như sau:
- Bước 1: Ấn: 18901969 ÷ 3041975 = (6,213716089)
- Bước 2: Ta dùng phím  dời con trỏ lên phép tính và sửa lại thành:
18901969 - 3041975 x 6 = (650119)
Ví dụ 2: Tìm thương và số dư trong phép chia sau:
987654321 chia cho 123456789
Giải:
Qui trình ấn phím trên máy fx 570MS như sau:
- Bước 1: Ấn: 987654321 ÷ 123456789 = (8,000000073)
- Bước 2: Ta dùng phím  dời con trỏ lên phép tính và sửa lại thành:
987654321 - 123456789 x 8 = (9)
Vậy: Thương q = 8 và dư r = 9
Ví dụ 3: Tìm số dư 2314 : 1293

Giải:
Qui trình ấn phím trên máy fx 570MS như sau:
Ấn: 231 ∧ 4 ÷ 129 ∧ 3 = (1326,413058)
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa lai:
Ấn: 231 ∧ 4 - 129 ∧ 3 x 1326 = (886707)
Vậy số dư cần tìm là: r = 886707
2/ Số cho q lớn: (Số cho có số chữ số lớn hơn 10 chữ số)
Trường hợp này ta dùng phương pháp chia để trị như sau:
- Cắt nhóm đầu 9 chữ số của số bị chia (tính từ bên trái), tìm số dư của số này với
số chia theo thuật tốn đã biết.
- Viết tiếp sau số dư vừa tìm được các chữ số còn lại của số bị chia tối đa đủ 9 chữ
số rồi tìm số dư này với số chia.
- Ta tiếp tục q trình như vậy cho đến hết, số dư lần cuối cùng chính là số dư cần
tìm.
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia: 2345678901234 : 4567
Giải:
- Lần 1: Dùng thuật tốn đã biết ta tìm số dư của phép chia 234567890 : 4567, ta
được kết quả: 2203
- Lần 2: Ta tìm số dư phép chia 22031234 : 4567, ta được kết quả: 26
Vậy số dư cần tìm là: 26
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia: 506507508506507508 : 2006
Giải:
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

8


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

- Lần 1: Ta tìm số dư phép chia 506507508 : 2006, ta được kết quả: 532
- Lần 2: Ta tìm số dư phép chia 532506507 : 2006, ta được kết quả: 1771
- Lần : Ta tìm số dư phép chia 1771508 : 2006, ta được kết quả: 210
Vậy số dư cần tìm là: 210
3/ Số bị chia cho dạng lũy thừa có số mũ q lớn:
Phương pháp 1: Rõ ràng với dạng này ta khơng thể tìm số dư theo thuật tốn đã biết và
cách với với số lớn đã biết. Do đó ta phải dùng phương pháp chia để trị, nhưng ở đây là
chia nhỏ số mũ.
Cơ sở lý thuyết của phương pháp:
Giả sử tìm số dư trong phép chia an cho b. Ta viết : an = ap.q (Với p + q = n) và sao
cho ap và aq là những lũy thừa mà ta dễ dàng tìm số dư được khi chia cho b theo thuật tốn
đã biết ở trên.
Khi đó: ap = bq1 + r1 và aq = bq2 + r2
Suy ra: an = ap.q = (bq1 + r1)( bq2 + r2) = BS(b) + r1r2
Từ đó ta đi tìm số dư trong phép chia r1r2 cho b ta được số dư cần tìm.
Ví dụ: Tìm số dư trong phép chia: 815 cho 2004
Giải:
15
8 7
Ta viết: 8 = 8 .8
Dùng thuật tốn ta :
- Tìm số dư khi chia 88 cho 2004, ta được r1 = 1732.
- Tìm số dư khi chia 87 cho 2004, ta được r2 = 968.
Suy ra số dư trong phép chia 815 cho 2004 là số dư trong phép chia tích r1. r2 = 1732.968 =
1676576 cho 2004.
Tiếp tục tìm số dư này theo thuật tốn đã biết, ta được số dư cần tìm r = 1232.
Phương pháp 2: Với dạng tốn trên ta cũng có thể giải và trình bày theo phương pháp
đồng dư.
Cơ sở lý thuyết của phương pháp:

a) Định nghĩa đồng dư thức: Cho a, b, m là các số ngun.
Nếu khi chia hai số a và b cho số m khác 0 có cùng một số dư thi ta nói: a đồng dư
với b mơ đun m và viết: a ≡ b (modun m).
Vậy: Khi a chia cho m có số dư là r mà r < m thì ta có a ≡ r (modun m). Do đó, ta
dùng thuật tốn tìm số dư đã biết để tìm số dư r rồi viết ra giấy a ≡ r (modun m).
b) Một số tính chất của đồng dư thường dùng:
- Nếu: a ≡ b (modun m) và c ≡ d (modun m) thì ac ≡ bd (modun m).
- Nếu a ≡ b (modun m) thì an ≡ bn (modun m).
- Nếu a ≡ b (modun m) và b ≡ c (modun m) thì a ≡ c (modun m).
Ví dụ 1: Tìm số dư trong phép chia: 815 cho 2004
Giải:
Ta dùng thuật tốn tìm số dư đã biết, tìm các số dư và viết ra giấy.
Ta có: 88 ≡ 1732 (modun 2004) và 87 ≡ 968 (modun 2004)
Suy ra : 815 = 88. 87 ≡ 1732x968 (modun 2004)
Mà : 1732x968 ≡ 1232 (modun 2004)
Vậy : Số dư cần tìm là : r = 1232.
Ví dụ 2: Tìm số dư trong phép chia: 147 cho 23
Giải:
Ta có :
14 ≡ 14 (modun 23)
142 ≡ 12 (modun 23)
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ
9


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

144 ≡ 122 ≡ 6 (modun 23)

Suy ra:
147 = 14.142.144 ≡ 14.12.6 ≡ 19 (modun 23)
Vậy số dư cần tìm là r = 19
Ví dụ 3: Tìm số dư trong phép chia: 91999 cho 12
Giải:
2
Ta có :
9 ≡ 9 (modun 12), 9 ≡ 9 (modun 12), 93 ≡ 9 (modun 12)
99 = (93)3 ≡ 9 (modun 12)
910 = 99.9 ≡ 92 ≡ 9 (modun 12)
9100 = (910)10 ≡ 910 ≡ 9 (modun 12)
91000 = (910)100 ≡ 9100 ≡ 9 (modun 12)
9900 = (99)100 ≡ 9100 ≡ 9 (modun 12)
990 = (99)10 ≡ 910 ≡ 9 (modun 12)
Suy ra:
91999 = 91000. 9900. 990. 99≡ 94 ≡ 9 (modun 12)
Vậy số dư cần tìm là r = 9
Ví dụ 4: Tìm số dư trong phép chia: 2004376 cho 1975
Giải:
Ngồi cách tách số mũ của lũy thừa an như các ví dụ trên, ta còn có cách biểu diễn
số mũ như sau: Viết n = kq + r, từ đó: a n = akq + r = (ak)q . ar . Áp dụng vào ví dụ này như
sau: Ta viết 376 = 6 . 62 + 4.
Ta có: 20044 ≡ 841 (modun 1975)
Suy ra: 20044 ≡ 8412 ≡ 231(modun 1975)
200412 = (20044)3 ≡ 2313 ≡ 416(modun 1975)
200448 = (200412)4 ≡ 4163 ≡ 536(modun 1975)
200460 ≡ 416 x 536 ≡ 1776 (modun 1975)
200462 ≡ 1776 x 841 ≡ 516 (modun 1975)
200462x3 ≡ 5163 ≡ 1171 (modun 1975)
200462x6 ≡ 11712 ≡ 591 (modun 1975)

200462x6+4 ≡ 519 x 231 ≡ 246 (modun 1975)
Do đó: 2004376 ≡ 246 (modun 1975)
Vậy số cần tìm là r = 246
* Chú ý: Ở dòng 200412 ≡ 416(modun 1975) ta khơng thể đưa lên 2004 60 = (200412)5 ≡
4165 (modun 1975), vì phép tính 4165 cho kết quả 6308114289 ta sẽ lầm tưởng là một số
ngun, nhưng thực chất đó là một số thập phân làm tròn với kết quả vừa đủ 10 chữ số.
Do đó ta cần thận trọng cảnh giác những trường hợp này.
Bài tập thực hành: Tìm sớ dư trong các phép chia :
1) 123456789 cho 23456 (ĐS: 7861)
2) 9124565217 cho 123456(ĐS: 55713)
3) 103200610320061032006 cho 2010 (ĐS: 396)
4) 2008324 cho 1986 (ĐS: 1246)
5) 91999 cho 33 (ĐS: 27)
DẠNG 3: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Phương pháp:
Trên cơ sở các phương pháp tìm số dư trong phép chia ta có thể vận dụng để giải
bài tốn tìm chữ số tận cùng của một số.
Để tìm 1, 2, 3, ....chữ số tận cùng của một số, ta cần tìm số dư trong các phép chia
tương ứng của số đó cho 10, 100, 1000, ....
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

10


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của: 72005

Giải:
Ta cần tìm số dư trong phép chia 7
cho 10
Cách 1: Ta thấy 2005 = 4 . 501 + 1
Ta có: 7 ≡ 7 (modun 10), 72 ≡ 9 (modun 10)
74 ≡ (72)2 ≡ 92 ≡ 1 (modun 10)
Suy ra: 72004 ≡ (74)501 ≡ 1501 ≡ 1 (modun 10)
Do đó: 72005 ≡ 7x1 ≡ 7 (modun 10)
Vậy chữ số tận cùng của: 72005 là 7
Cách 2: Ta có:
71 ≡ 7 (modun 10),
72 ≡ 9 (modun 10),
73 ≡ 3 (modun 10),
74 ≡ 1 (modun 10),
2005

Từ đó ta có kết luận:

75 ≡ 7 (modun 10),
76 ≡ 9 (modun 10),
77 ≡ 3 (modun 10),
78 ≡ 1 (modun 10),
......

74k ≡ 1 (modun 10),
74k+1 ≡ 7 (modun 10),
74k+2 ≡ 9 (modun 10),
74k+3 ≡ 3 (modun 10),
Mà: 2005 = 4 . 501 + 1 = 4k + 1, nên: 72005 = 74k+1 ≡ 7 (modun 10)
Vậy chữ số tận cùng của: 72005 là 7

(Ghi chú: Ta có thể lập luận: Các chữ số tận cùng của các lũy thừa của 7 lần lượt
là:1, 7, 9, 3 và được lặp lại với chu kì là 4)
Ví dụ 2: Tìm 2 chữ số tận cùng của 19869
Giải
3
Ta có: 1986 ≡ 56 (mod 100)
=> 19869 = (19863)3 ≡ 563 ≡ 16 (mod 100)
Vậy hai chữ số tận cùng của 19869 là 16.
Ví dụ 3: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2100
Giải
10
Ta có: 2 ≡ 24 (mod 1000)
=> 250 = (210)5 ≡ 245 ≡ 624 (mod 1000)
=> 2100 = 250.250 ≡ 624 x 624 ≡ 376 (mod 1000)
Vậy 3 chữ số tận cùng của 2100 là 376
* Chú ý: Đến đây ta thấy: số có 3 chữ số tận cùng là 376 dù lũy thừa bậc bao nhiêu thì 3
chữ số tận cùng cũng vẫn là 376 (ta gọi là số có chữ số tận cùng bất biến với mọi lũy
thừa).
Cho nên: 2300 = (2100)3 ≡ 3763 ≡ (mod 1000)
=> 2900 = 2300 . 2300 .2300 ≡ 3763 ≡ 376 (mod 1000)
Vậy 21000 = 2900 . 2100 ≡ 3762 ≡ 376 (mod 1000) tức là 3 chữ số tận cùng của 21000 là 376.
Ví dụ 4: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994
Giải
4
4
Cách 1: Ta có:
5 ≡ 625 (mod 10 )
510 ≡ 5625 (mod 104)
520 = (510)2 ≡ 56252 ≡ 625 (mod 104)
560 = (520)3 ≡ 6253 ≡ 625 (mod 104)

580 = 560. 520 ≡ 6252 ≡ 625 (mod 104)
5100 = 580. 520 ≡ 6252 ≡ 625 (mod 104)
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ
11


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay
300

5 = (5100)3 ≡ 6253 ≡ 625 (mod 104)
5900 = (5300)3 ≡ 6253 ≡ 625 (mod 104)
51000 = 5900 . 5100 ≡ 6252 ≡ 625 (mod 104)
51900 ≡ 6252 ≡ 625 (mod 104)
590 = 580 . 510 ≡ 625 x 625 ≡ 5625 (mod 104)
=>
51990 = 51900 . 590 ≡ 625 x 5625 ≡ 5625 (mod 104)
51994 = 51990 . 54 ≡ 5625 x 625 ≡ 5625 (mod 104)
Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625.
Cách 2: Ta có: 54 = 625
Nhận thấy số tận cùng là 0625 dù lũy thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 0625
Mà: 51994 = 54k + 2 = (54)k . 52 = (….0625) . 25 = …5625
Bài tập thực hành:
1) Tìm chữ số tận cùng của 42008 (ĐS: 6)
HD: C1: Nâng dần các lũy thừa của 4 lên đến 42008
C2: Quan sát chu kỳ của chữ số tận cùng
2) Tìm 2 chữ số tận cùng của:
a) 20112012 (ĐS: 21)
HD: 20112 ≡ 21 (mod 100)

201110 ≡ 215 ≡ 1 (mod 100)
b) 2999 (ĐS: 88)
c) 99 (ĐS: 89)
3) Tìm 3 chữ số tận cùng của:
a) 3100 (ĐS: 001); HD: 310 ≡ 49 (mod 1000)
350 ≡ 249 (mod 1000)
b) 5100 (ĐS: 625); HD: 510 ≡ 625 (mod 100)
4) Tìm 4 chữ số tận cùng của:
a) 2100 (ĐS: 5376)
b) 3100 (ĐS: 2001)
c) 7100 (ĐS: 0001)
DẠNG 4: TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT (UCLN) VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
(BCNN):
Đặt vấn đề: Chúng ta đã biết hai bài tốn tìm UCLN và BCNN là hai bài tốn cơ
bản và tương đối dễ trong chương trình số học lớp 6, nhưng trái lại ta thường thấy xuất
hiện thường xun trong các kì thi HSG giải tốn trên MTCT, bởi vì các bài tốn này khi
áp dụng cho thi, người ta thường cho các số tương đối lớn, như vậy với khả năng tính tốn
bằng tay, khơng có sự trợ giúp của máy tính thì gần như chúng ta giải khơng nổi với các
phương pháp đã biết trong sách giáo khoa. Nhờ sự trợ giúp của MTCT với các phương
pháp và thuật tốn hợp lý ta có thể giải được các bài tốn này. Sau đây xin nêu một số
phương pháp và thuật tốn hướng dẫn qui trình ấn phím để tìm UCLN và BCNN.
Nhận xét: Ta có cơng thức: UCLN(a, b) x BCNN(a, b) = a x b. Do đó hai bài tốn
tìm UCLN và BCNN thường được làm cùng lúc, vì khi đã có UCLN thì ta lại tính được
BCNN.
Phương pháp 1: Áp dụng cho các số khơng q lớn
Cách 1: Làm theo 3 bước của thuật tốn như SGK tốn 6, với sự trợ giúp của máy tính khi
tiến hành phân tích các số ra thừa số ngun tố. (Rõ ràng cách này khơng nhanh)
Cách 2: Dùng tính năng rút gọn phân số của máy.
Ta đã biết: Nếu UCLN(a, b) = m. Suy ra :
9

Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

12


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

a x
a b
=
⇒ m= =
b y
x y
x
a
Do đó: Ta dùng máy rút gọn phân số
thành phân số , sau đó dời con trỏ sửa
y
b

a = m . x và b = m . x, từ đó:

phép tính thành a : x = m = UCLN(a, b)
Còn: BCNN(a, b) = a . y, bởi vì:
BCNN (a, b) =

a.b

a.b a.m. y
=
=
= a. y
UCLN (a, b) m
m

*Chú ý: Trường hợp muốn tìm UCLN và BCNN của 3 số, 4 số,... thì ta cứ tìm UCLN và
BCNN của 2 số rồi lấy kết quả này tìm tiếp UCLN và BCNN với các số còn lại.
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN của 3456 và 1234
Giải:
Qui trình ấn phím trên máy fx 570MS:
3456 ab/c = 1234 SHIFT ab/c

→

1728
617

Dời con trỏ lên dòng bt sửa phép tính thành ÷ : 3456 = 1728

→ K/q: 2(= ƯCLN)

Dời con trỏ lên dòng bt sửa phép tính thành x : 3456 =
BCLN)
Ví dụ 2: Tìm ƯCLN và BCNN của 209865 và 283935
Giải
Qui trình ấn máy:

→ K/q: 2132352(=

209865 ÷

283935

=

617

→

17
23

Dời con trỏ sửa lại:
209865 ÷ 17 =
Dời con trỏ sửa lại:
209865 ÷ 23 =

→ 12345 = ƯCLN
→ 4826895 = BCLN

Bài tập thực hành:
TÌM ƯCLN VÀ BCNN CỦA
a) 2419580247 và 3802197531
(ĐS: Phân số rút gọn:

7
; ƯCLN = 345654321; BCNN = 26615382717 (cần xử lý số

11

lớn)).
b) a = 24614205, b = 10719433
(ĐS: Phân số tối giản

1155
; ƯCLN = 21311; BCNN = 12380945115)
503

c) a = 96309 và b = 70233
(ĐS: ƯCLN = 123; BCNN = 54992439)
Phương pháp 2: Số q lớn hoặc cặp số mà máy khơng biểu diễn được dạng phân số
rút gọn (Tức là có số kí tự của tử + mẫu + dấu phân số q 10 kí tự)
Cách 1: Dùng thuật tốn Ơ_Clit
Định lý: (Cơ sở của thuật tốn Ơ_Clit)
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ
13


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

Nếu a = bq + r (0 < r < b) thì ƯCLN (a, b) = ƯCLN (b, r)
ƯCLN (b, mod (a, b), a > b)
Tức là: ƯCLN (a, b) =
ƯCLN (a, mod (b, a), a < b)
Từ đó ta có thuật tốn Ơ_Clit như sau:
Với a, b ∈ Z (a > b)

- Chia a cho b: a = bq1 + r1
- Chia b cho r1: b = r1q2 + r2
- Chia r1 cho r2: r1 = r2q3 + r3
………….
Tiếp tục q trình trên ta được dãy b, r 1, r2, r3, … dãy này dần đến 0 và đó là số tự
nhiên nên ta sẽ thực hiện khơng q b phép chia thì thuật tốn kết thúc sau một số hữu hạn
bước và từ định lí trên cho ta kết quả: ƯCLN (a, b) = ƯCLN (b, r 1) = …………= rn
Ví dụ 1: Tìm ƯCLN và BCNN của: 37068 và 196246
(Thay bởi 2 số: 15185088 và 3956295); ƯCLN = 123; BCNN = 48842855520
Giải
Lần 1: 37068 = 196296 x 1 + 174072
Lần 2: 196296 = 174072 x 1 + 22224
Lần 3: 174072 = 22224 x 7 + 18504
Lần 4: 22224 = 18504 x 1 + 3720
Lần 5: 18504 = 3720 x 4 + 3624
Lần 6: 3720 = 3624 x 1 + 96
Lần 7: 3624 = 96 x 37 + 72
Lần 8: 96
= 72 x 1 + 24
Lần 9: 72
= 24 x 3
Vậy ƯCLN là 24
Suy ra: BCNN =

37068 × 196246
= 1532 x 196246 = 3029239872
24

Ví dụ 2: Cho a = 1408884 và b = 7401274. Tì ƯCLN và BCNN
Giải

Ta có: 7401274 = 1408884 x 5 + 356854
1408884 = 356854 x 3 + 338322
356854 = 338322 x 1 + 18532
338322 = 18532 x 18 + 4746
18532 = 4746 x 3 + 4294
4746
= 4294 x 1 + 452
4294 = 9 x 452 + 226
452
= 226 x 2 + 0
Vậy ƯCLN = 226
=> BCNN =

1048884 × 7401274
226

= 6234 x 7401274
= 6234(7401.103 + 274)
= 46137834.103 + 274
= 46139542116

Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

14


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

Nhận xét: Cách này rất dài về thao tác ấn máy, ta chỉ dùng khi khơng làm cách trên được.
Ngồi ra ta còn có cách khác nữa là áp dụng mệnh đề: ƯCLN (a, b) = ƯCLN (a-b, b), với
a > b, tuy nhiên cách này ít dùng.
Bài tập thực hành:
TÌM ƯCLN VÀ BCNN CỦA: a = 75125232 và b = 175429800
(ĐS: ƯCLN = 412776; BCNN = 31928223600; Phân số tối giản

a 182
=
)
b 425

DẠNG 5: MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÌM ƯỚC, BỘI, ƯỚC CHUNG, BỘI CHUNG.
Các bài tốn dạng này thường khơng có phương pháp, cũng như thuật tốn về qui
trình ấn phím chung nào cả, tùy vào từng bài cụ thể mà ta có thể đưa ra một qui trình ấn
phím riêng để giải, nhằm giải quyết bài tốn đó theo u cầu.
* Nhắc lại một số kiến thức:
- Ư(a) = { x / a chia hết cho x }
- B(a) = { x / x chia hết cho a }
- ƯC(a,b)
= { x / a chia hết cho x và b chia hết cho x }
= Ư(UCLN(a, b))
- BC(a, b)
= { x / x chia hết cho a và x chia hết cho b }
= B(BCNN(a, b))
Sau đây là một số bài tốn thường gặp:
Bài 1: Tìm các ước của 120
Giải:
Ta biết ước của 120 là các số mà 120 chia hết. Do đó ta dùng vòng lặp để tìm
thương ngun trong phép chia 120 cho các số từ 1 đến bé hơn 120

Ta có qui trình ấn phím như sau:
Ấn
0 SHIFT STO A
ALPHA A + 1 SHIFT STO A
 ALPHA : 120 ÷ ALPHA A
Ta chỉ lấy các kết quả là số ngun:
Ấn
= → 2 = → Kết quả 60 (tức 120 chia hết cho 2)
= → 3 = → Kết quả 40 (tức 120 chia hết cho 3)
= → 4 = → Kết quả 30 (tức 120 chia hết cho 4)
= → 5 = → Kết quả 24 (tức 120 chia hết cho 5)
= → 6 = → Kết quả 20 (tức 120 chia hết cho 6)
= → 7 = → Kết quả 17,1.. (tức 120 khơng chia hết cho 3), bỏ
= → 8 = → Kết quả 15 (tức 120 chia hết cho 8)
= → 9 = → Kết quả 13,3.. (tức 120 khơng chia hết cho 3), bỏ
= → 10 = → Kết quả 12 (tức 120 chia hết cho 10)
= → 11 = → Kết quả 10,9.. (tức 120 khơng chia hết cho 11), bỏ
Ta dừng lại vì 10,9.. < 11
Vậy : Ư(120) = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120}
Chú ý: Ta có thể tìm ước 120 bằng cách phân tích 120 ra thừa số ngun tố rồi từ kết quả
phân tích này viết ra các ước. Cách này thủ cơng khơng lợi dụng được thế mạnh của máy
tính nên ít dùng, nhưng cách này lại có ưu điểm là tính được số ước, khơng sợ bị sót ước.
Cách tính số ước như sau:
Giả sử: a = xm.yn.zp thì số ước bằng: (m + 1)(n + 1)(p + 1).
Vd: 120 = 23.3.5 sẽ có: (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 ước
Bài 2: Tìm tổng các ước lẻ của 93184
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ
15

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

Giải
Phương pháp: Ta tìm các ước lẻ của 93184 rồi tính tổng
Cách 1: Ta tìm các ước lẻ của 93184 bằng cách loại các ước chẵn.
Qui trình ấn phím như sau:
Ấn: 93184 =
(gán vào Ans )
Ans

÷ 2 =

= …(loại các ước chẵn)

Ta ấn = liên tục cho đến khi thương hết còn chẵn (tức là loại hết các ước chẵn)
và khi thấy thương lẻ 91 xuất hiện ta dừng lại.
Lại tiếp tục tìm các ước lẻ của 91, lấy 91 chia cho 3, 5, 7, 11, 13, ta tìm được 2 ước
lẻ nữa là 7 và 13.
Vậy tổng các ước lẻ của 93184 là: 91 + 13 + 7 + 1 = 112
Cách 2: Ta tìm trực tiếp các ước lẻ của 93184 bằng vòng lặp sau:
Qui trình ấn phím
Ấn
1
SHIFT STO A (gán 1 cho ơ nhớ A)
ALPHA
A
ALPHA
=

ALPHA A + 2
(Tức A = A + 2, tạo biến lặp là số lẻ 1, 3, 5,…)
ALPHA : 93184 ÷ ALPHA A
Ấn = =
… liên tiếp và chỉ chọn những số lẻ nào mà 93184 chia hết (tức
thương ngun), khi đó ta chọn được các ước 7, 13, 91, ấn = liên tiếp cho đến khi nào
thương nhỏ hơn biến nhảy thì dừng.
Bài 3: Tìm các bội của 60
Giải
Ta dùng vòng lặp với biến đếm từ 0, 1, 2,…..
Qui trình ấn máy:
Ấn: -1 SHIFT
STO A (gán -1 cho A)
ALPHA
A
ALPHA
=
ALPHA A + 1
(A = A + 1), tạo biến đếm từ 0, 1, 2, ……)
ALPHA : 60 ALPHA A = =
……
(Sau mỗi lần ấn 2 dấu = ta được 1 bội)
Vậy B(60) = {0; 60; 120; 180; ………}
Bài 4: Tìm các bội nhỏ hơn 2012 của 60
Giải
Qui trình ấn máy:
Ấn:
-1
SHIFT STO A
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1

ALPHA : 206 ALPHA A = = ……
Ta ấn = liên tiếp để lấy các bội của 206 và dừng lại khi bội > 2012
Kết quả: 0; 206; 412; 618; 824; 1030; 1236; 1442; 1648; 1854
Bài 5: Tìm các bội của 45 nhở hơn 2012 và chia hết cho 35
Giải
Qui trình ấn máy:
Ấn:
-1
SHIFT STO A
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1
ALPHA : 45 ALPHA A ÷ 35
ALPHA : 45 ALPHA A = = = ……
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ
16


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

Ta ấn = liên tiếp để lấy kết quả; để ý nếu thấy hiện 45A ÷ 35 là số ngun thì ấn = kế
tiếp là 45A có kết quả thỏa điều kiện bài tốn và đến khi lớn hơn 2012 thì dừng.
Kết quả: 0; 315; 630; 945; 1260; 1575; 1890
Cách khác: Theo đề bài, ta cần tìm các bội chung của 45 và 35 mà nhỏ hơn 2012.
Bước 1: Tìm BCNN (35, 45) = 315 (theo thuật tốn đã biết).
Bước 2: Tìm các bội của 315 mà nhỏ hơn 2012 (cách này quả là qui trình ấn máy gọn gàn
nhờ ta biết kết hợp tư duy tốn học vào máy tính).
DẠNG 6: SỐ NGUN TỐ
1/ Kiến thức về số ngun tố :
a) Định nghĩa: Số ngun tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó

 Chú ý: - Số 2 là số ngun tố nhỏ nhất và là số ngun tố chẵn duy nhất.
- Các số ngun tố nhỏ hơn 10 là: 2; 3; 5; 7
b) Định lý 1: (Cơ bản về số ngun tố)
Với mọi số ngun dương n, m > 1 đều có thể viết được một cách duy nhất:
e
e
e
n = p1 . p2 ... pk
1

2

k

Với k, ei ( i = 1, k ) là số tự nhiên, Pi là số ngun tố thỏa mãn p1 < p2 < …. < pk
Khi đó dạng viết trên gọi là phân tích số n ra thừa sớ ngun tớ.
c) Định lý 2: (Xác định số ước của một số tự nhiên)
e
e
e
Cho n ∈ N , n > 1, giả sử n có dạng phân tích ra thừa số ngun tố là n = p1 . p2 ... pk .
Khi đó số ước của n được tính theo cơng thức: (e1 + 1)(e2 + 1) …. (ek + 1)
d) Cách nhận biết số ngun tố:
p là một số ngun tố nếu p khơng có ước ngun tố < p
2/ Một số bài tốn về số ngun tố
Bài 1: Phân tích ra thừa số ngun tố
a/ 1800
b/ 41580
Giải
a/ Ấn 1800 =

→ (đưa vào biến nhớ Ans)
1

÷ 2 =

→ 900

=

→ 450

=

→ 225

=

→ 5 (đưa vào biến nhớ Ans)

225

÷ 3 =

→ 75

=

→ 25

25

=

2

k

→ (đưa vào biến nhớ Ans)

÷ 5 =

→5

=

→1

Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

17


www.huongdanvn.com
3

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay
2

2

Vậy: 1800 = 2 . 3 .5
b/ 41580 = 22.33. 5.7.11
Bài 2: Số 647 có phải là số ngun tố hay khơng?
Giải
Ta áp dụng dấu hiệu trên để kiểm tra.
Tính 647 ≈ 25, 4... nhớ số 25
Dùng vòng lặp chia số 647 cho các số lẻ đến 25
Qui trình ấn phím trên máy fx-570MS:
Ấn 1 SHIFT STO A
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 2
ALPHA : 647 ÷ ALPHA A = = = ..........
Ta ấn = liên tiếp nếu thấy xuất hiện kết quả ngun thì 647 khơng phải là số ngun tố,
còn nếu ấn = cho đến khi A = 25 mà khơng thấy kết quả ngun thì 647 là số ngun tố.
Bài tập thực hành:
Kiểm tra xem các số sau, số nào là số ngun tố
859 ; 417 ; 900
; 1249
; 8011
(Đáp số: 859; 1249 là số ngun tố)
Bài 3 : Tìm các ước ngun tố của: A = 17513 + 19573 + 23693
Giải
- Ta tìm ƯCLN của 1751 và 1957 theo thuật tốn đã biết ; ta được UCLN (1751 ;1957) =
103
- Dùng thuật tốn kiểm tra số ngun tố, kiểm tra ta thấy 103 là số ngun tố , thử lại ta
cũng có 2369 có ước ngun tố là 103.
Do đó A = (103.17)3 + (103.19)3 + (103.23)3 = 1033 (173 +193 +233) = 1033 . 23939
Phân tích ta thấy 23939 = 37.647, kiểm tra lại thấy 647 là số ngun tố.
Vậy A có các ước ngun tố 37; 103; 647.
Bài 4: Tìm ước ngun tố nhỏ nhất và lớn nhất của A = 2152 + 3142
Giải:

- Tính A = 144821
- Ta tìm ước ngun tố của A, theo qui trình ấn phím trên máy fx-570MS như sau.
Ấn 1 SHIFT STO A
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 2
ALPHA : 144821 ÷ ALPHA
= = = ..........

-

Ta ấn = liên tiếp cho đến khi nào có kết quả ngun thì dừng lại, ta được số 97 là số
ngun đầu tiên tìm thấy.
Nên A = 97. 1493.
Tiếp tục kiểm tra ta thấy 1494 cũng là số ngun tố.
Vậy A có ước ngun tố nhỏ nhất là 97, lớn nhất là 1493.
Bài tập thực hành:
Tìm ước ngun tố nhỏ nhất và lớn nhất của 10001
(ĐS : 73 và 137)
DẠNG 7: MỘT SỐ DẠNG TỐN SỬ DỤNG TÍNH TUẦN HỒN CỦA CÁC SỐ
DƯ KHI NÂNG LÊN LŨY THỪA.
Cơ sở lý thuyết :

Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

18


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

Định lý : Với a, m là các số tự nhiên. Các số dư trong phép chia các lũy thừa của a
là : a1, a2, a3, a4, . . . cho m được lặp lại một cách tuần hồn (có thể khơng bắt đầu từ lũy
thừa đầu)
Chứng minh :
Ta lấy m + 1 lũy thừa đầu tiên của a: a 1, a2, a3, a4, . . ., am, am+1. Ta xet các số
dư của chúng khi chia cho m, vì khi chia cho m chỉ có m số dư tù 0; 1; 2; 3; . . . .;
m -2; m – 1, mà lại có m + 1 số (m + 1 phép chia cho m), nên trong các phép chia
trên phải có hai phép chia cho cùng số dư khi chia cho m.
Giả sử hai số đó là ak và ak+l (l > 0)
Khi đó a k ≡ ak+l (modun m)
Với mọi n ≥ k, ta nhân hai vế của phép đồng dư trên với an – k, ta sẽ được:
an ≡ an + k (modun m)
Điều này chứng tỏ rằng: Bắt đầu từ vị trí tương ứng với a k các số dư sẽ lặp
lại một cách tuần hồn. Số l được gọi là chu kì tuần hồn của các số dư khi chia
các lũy thừa của a cho m.
Nhận xét: Với sự trợ giúp của MTBT, ta dễ dàng xây dựng thuật tốn hướng dẫn
qui trình ấn phím để tính nhanh các lũy thừa của một số và xác định các số dư và
chu kì tuần hồn của nó. Ví dụ: Tính các lũy thừa của: 5 n, với n = 0; 1; 2; 3; . . . .Ta
có quy trình ấn phím như sau:
Ấn: -1 SHIFT STO A
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1
ALPHA : 5 ∧ ALPHA A
= = =....
Ta được kết quả: 50 = 1; 51 = 5; 52 = 25; 53 = 125; 54 = 625; . . .
Sau đây ta sẽ áp dụng tính chất tuần hồn này để giải một số bài tốn
Bài 1: Xét các lũy thừa liên tiếp của 2.
21 ; 22 ; 23 ; 24 ;................
Tìm xem khi chia các lũy thừa này cho 5 nhận được số dư như thế nào ?
Giải:
1 ≡

5 ≡
Ta có:
2 2 (mod 5);
2 2 (mod 5)
22 ≡ 4 (mod 5) ;
26 ≡ 4 (mod 5)
23 ≡ 3 (mod 5) ;
27 ≡ 3 (mod 5)
24 ≡ 1 (mod 5) ;
28 ≡ 1 (mod 5) . . . .
Ta thấy các số dư lặp lại 1 cách tuần hồn sau 4 số dư ( 2; 4; 3; 1) và lặp lại đúng thứ tự
trên, chu kỳ tuần hồn là 4.
*Nhận xét: Nếu ta có bài tốn:
Tìm số dư khi chia 22005 cho 5
Áp dụng kết quả trên : Ta có 2005 ≡ 1 (mod 4)
⇒ 22005 khi chia cho 5 có dư là 2
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của 23
Giải:
Dùng máy để tính các lũy thừa của 2 theo qui trình ấn phím sau:
Ấn :
1 SHIET STO A
2 Λ ALPHA A
ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 = = …….
Ta được kết quả: 21 , 22, 23 , 24 , 25 , 26 , 27, 28,...........
Chữ số tận cùng
( 2, 4, 8, 6) (2, 4, 8, 6 ),...............
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ
19
4

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

Ta thấy chữ số tận cùng (tức là số dư khi chia cho 10) lặp lại tuần hồn chu kỳ 4 số ( 2; 4;
6; 8).
Mà : 34 = 81 ≡ 1 (mod 4)
Vậy chữ số tận cùng của 23 là 2.
Bài 3: Tìm 2 chữ số tận cùng của A = 21999 + 22000 + 22001
Giải:
Dùng máy tính các lũy thừa của 2 để tìm 2 chữ số tận cùng ( tức số dư khi chia cho 100)
như quy trình ở Ví dụ 2 ở trên. Ta có kết quả :
21
22
23
24 25 ...................................................................................2 20
221
(4
8
16 32 64 ..........................................................................76
52)
Ta thấy các số dư lặp lại tuần hồn với chu kỳ 20 (từ 4 đến 52)
Ta lại có 1999 ≡ 19( mod 20) ⇒ 21999 chia 100 dư 88
2000 ≡ 0( mod 20) ⇒ 22000 chia 100 dư 76
2001 ≡ 1( mod 20) ⇒ 22001 chia 100 dư 52
Mà 88 + 76 + 52 = 216 ≡ 16 (mod100)
Vậy A có 2 chữ số tận cùng là 16.
* Nhận xét: Cách giải trên tuy dài nhưng dùng lợi thế của máy tính ta có thể giải 1 cách dễ
dàng.

Ta có cách giải khác như sau:
Ta có 21 ≡ 2 (mod100); 23 ≡ 8 (mod100)
210 ≡ 24(mod100); 29 = (23)3 ≡ 83 ≡ 12(mod100); 240 ≡ 76(mod100)
250 = (210)5 ≡ 245 ≡ 24(mod100)
2400 =(2100)4 ≡ 764 ≡ 76(mod100)
2500 = 2400.2100 =762 ≡ 76(mod100)
2900 = 2400.2500 =762 ≡ 76(mod100)
21000 = 2900.2100 = 762 ≡ 76(mod100)
22000 =(21000)2 ≡ 762 ≡ 76 (mod100)
22001=22000.2 ≡ 76.2 ≡ 52(mod100)
290 = 250.240 =76.24 ≡ 24(mod100)
21999=21000.2900.290.29 ≡ 762 .12.24 ≡ 88(mod100)
⇒ A = 21999+22000 + 22001 ≡ 88 + 76 + 52 = 216 ≡ 16 (mod100)
Vậy hai chữ số tận cùng của A là 16.
Bài 4: Chứng minh rằng (148)2004 + 13 chia hết cho 11
Giải
8
2004
8
2004
≡ (3 )
Ta có 14 ≡ 3 (mod11) ⇒ (14 )
(mod11)
8
8 2004 ≡ 2004
≡
⇒
Mà 3 = 6561 5 (mod11)
(3 )
5 (mod11)

⇒ (38)2004 ≡ 52004 (mod11)
Xét sự tuần hồn của các số dư khi chia lũy thừa của 5 cho 11:
1
5
52
53
54
55
56
57
58
59
510
(5
3
4
9
1)
(5
3
4
9
1)
≡
Mà : 2004 4 (mod5)
Cho nên 52004 cho 11 dư 9, tức (148)2004 chia cho 11 dư 9.
Vậy (148)2004 +13 chia hết cho 11.
Cách khác:
Ta có: 51 ≡ 5 (mod11)
52 ≡ 3 (mod11)

53 ≡ 4 (mod 11)
4

Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

20


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

5 ≡ 9 (mod 11)
55 ≡ 1 (mod 11)
⇒ 52004=55.400+4 =(55)400.54 ≡ 1400.9 ≡ 9(mod11).
Vậy : (148)2004+13 ≡ 9+13 =22 ≡ 0 (mod11)
Bài 5: Chứng minh rằng : 222555 +555222 M 7
Giải
555
Ta tìm dư khi chia 222 cho 7
Ta có : 222 ≡ 5(mod 7) ⇒ 222555 ≡ 5555 (mod 7)
Xét sự tuần hồn của các số dư khi chia lũy thừa của 5 cho 7
51
52
53
54
55
56
57
58

59
510..............
(5
4
6
2
3
1) (5
4
6
2 ................
≡
Mà : 555 3 (mod6)
⇒ 5555 ≡ 6 (mod 7)
Vậy : 222555 chia cho 7 dư 6.
- Tương tự ta tìm được : Số dư khi chia 555222 cho 7 là 1
Vậy dự của 222555 +555222 chia cho 7 là 7, tức chia hết cho 7.
Bài 6: Cho A = 2100 + 2101 + 2 102 + ………..+ 22007
Tìm số dư khi chia A cho 2007.
Giải
100
2
Ta có
A = 2 (1 + 2 + 2 + ..............+ 21007)
= 2100 ( 2-1) (21907 + 21906 = +.....+ 22 + 2 +1 )
⇒ A = 2100 (21908- 1) (*)
( Chú ý : ta đã áp dụng HĐT mở rộng :
an – bn = ( a – b) ( an – 1 + an – 2b + ………..+ abn-2 + b n-1 )
Ta cần tìm số dư khi chia 2100(21908 – 1) cho 2007
Ta có 220 = 1048576 ≡ 922 (mod 2007)

⇒ 2100 = ( 220)5 ≡ 9225 ≡ 9223.9222 ≡ 1801 . 1123 ≡ 1474 (mod 2007)
⇒ 21900 = (2100)19 ≡ 147419 (mod 2007)
Mà : 14743 ≡ 685 (mod 2007)
14749 ≡ 6853 ≡ 82 (mod 2007)
147419=147418.1474 ≡ (14749)2 .1474 ≡ 822. 1474 ≡ 610 (mod 2007)
Nên 21900 ≡ 610 (mod2007)
Tính tiếp : 28 ≡ 256 (mod 2007)
⇒ 21908 ≡ 610 . 256 ≡ 1621 (mod 2007)
⇒ 21908 -1 ≡ 1621 – 1 =1620 (mod 2007)
Cuối cùng : 2100 .(21908-1) ≡ 1474 . 1620 ≡ 1557 (mod 2007)
Vậy A chia cho 2007 có dư là 1557.
*Chú ý: Để tính được A = 2100 . ( 21908 – 1), nếu học sinh khi học bồi dưỡng đã được trang
bị kiến thức về cấp số nhân thì ta thấy A là tổng cấp số nhân với cơng bội là q = 2, u 1=2100
Ta có cơng thức tính tổng
4

u1 (1 − q n )
Sn =
, với n = 1908 ( tức từ 100 đến 2007 có số hạng là 1908)
1− q
2100.(1 − 21908 )
⇒ S1908 =
= 2100.21908
1− 2

DẠNG 8: DẠNG TỐN VỀ LIÊN PHÂN SỐ.
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

21

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

Số hữu tỉ dưới dạng liên phân số.Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên
phân số, nó được viết dưới dạng là:

a
= [a0, a1, … an].
b

Số hữu tỉ cũng có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số vơ hhanj bằng cách xấp sĩ nó dưới
dạng gần đúng bởi các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên
phân số.
a0 +

Vấn đề đặt ra : Hãy biểu diễn liên phân số

1
a1 +

1

a

1 về dạng b . Dạng tốn này
...an −1 +
an

được gọi là tính giá trị của liên phân số. Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách
nhanh chóng giá trị của phân số đó.
Quy trình ấn máy fx 500MS:
Ấn lầ lượt: an-1 + 1 ab/c an = an-2 +1 ab/c Ans = … a0 + 1 ab/c Ans =
(Có thể dùng x-1 ấn phấm như sau: an = x-1 + an-1 = x-1 + … = x-1 + a0 = )
Mợt sớ ví dụ minh họa:
1

Ví dụ 1: Tính giá trị của A = 1 + 2 +

1
3+

1
2

Giải:
Quy trình ấn máy fx 500MS:
Ấn 3 + 1 ab/c 2 = 2 +1 ab/c Ans = 1 + 1 ab/c Ans = SHIFT ab/c
Kết quả : A =

23
.
16
5
2+

Ví dụ 2: Tính B = 3 +

4

2+

5
2+

4
2+

5
3

HD: Đây là dạng liên phân số biến thể, qui trình ấn máy cũng tương tự khơng có gì khó:
Kết quả: B =

1761
382

8, 2
6, 21
Ví dụ 3: Tính C = 2,35+ 2 +
0,32
3,12 +
2

(liên phân số biến thể)

(Kết quả: C = 4,456186374)
15
1
=

17 1 + 1
Ví dụ 4: Biết
trong đó a và b là các số dương. Tính a,b ?
1
a+
b

Giải:

Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

22


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

15 1
1
1
1
=
=
=
=
17 17 1 + 2 1 + 1 1 + 1
Ta có
15
1

15
15
7+
2
2

Vậy a = 7; b = 2 (chú ý có quy trình ấn máy)
Ví dụ 5: Tìm x, biết
4+

x
1+

=

1
2+

1

x
4+

1
3+
4

(*)

1

3+

1
2+

1
2

Giải:
Viết lại (*) dưới dạng : 4+x.A = x.B
⇔x(A – B) = - 4
X

=

Với A = ……; B = …..

4
B−A

39
)
43
17
B gán cho B ( )
73
12556
Từ đó tính x = 4: (B-A) =
1459

Dùng máy tính A gán cho A (

Ví dụ 6: lập quitrinhf ấn phím để tính giá trị của liên phân số sau:
M = [3,7,15,1,292] và tính π - M
Giải:
1

Ta có: M = 3+

7+

1
15 +

1
1+

1
292

Ta có quy trình ấn phím sau:
Ấn:1 + 1 ab/c 292 =
15 + 1 ab/c Ans =
7 + 1 ab/c Ans =
3 + 1 ab/c Ans → (M = 3,1415...)
SHIFT STO M
SHIFT (A) – ALPHA M = →π(5,8.10-10)
12

Ví dụ 7: Cho A = 30 + 10 + 5 . Viết lại A dưới dạng A = [a0, a1, … an]. ?

2003

Giải:
12
24036
4001
1
30 +
30 +
= 30 + 1 +
= 31 +
20035 =
20035
Ta có: A =
20035
20035
2003
4001
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

23


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay
1
1
= 31 +
30

1
5+
5+
1
4001
133 +

31 +

=

2+

31 +

8
11

1
5+

1
133 +

Vậy A =

1
2+

1

1

1+

2+

1
1
2

1+

Suy ra: A = [31,5,133,2,1,2,1,2].
Bài tập thực hành:
20
1

1

Bài 1: Tính:A = 7+

(ĐS:

3+

1
3+

B=

1
3+

2+

1
4

2
1

3+

4+

C=
1
5

5+

1
6+

1
7+

1
8

1037
)
142

Bài 2: Tìm các số tự nhiên a,b biết:
x

Bài 3: Tìm x,biết:

1+

+

1
3+

1
5

329
=
1051 3 +

x
2+

1
5+

1

a+

(ĐS: a = 7; b = 9)
1
b

=1

1
4+

1

1
6

(ĐS: x =

24
)
29

Bài 4: Lập qui trình ấn phím để tính giá trị của liên phân số sau”
M = [1;1,2;1;2;1;2;1] và tính 3 - M ?
Bài 5: Cho các số 2; 3; π có biểu diễn gần đúng dưới dạng liên phân số như sau:
2 = [1,2,2,2,2,2]; 3 = [1, 1, 2, 1, 2, 1] ; π = [3, 17, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3]. Tính các
liên phân sớ trên và so sánh với các sớ vơ tỷ mà nó biểu diễn.

DẠNG 9: CÁC DẠNG TỐN VỀ ĐA THỨC.
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC:

1) Định lý cơ bản về phép chia đa thức:
Với hai đa thức một biến f(x), g(x) (g(x) ≠ 0 ), ln ln tồn tại duy nhất cặp đa
thức Q(x) và R(x) sao cho : f(x) = g(x) . Q(x) + R(x), với R(x) = 0 hoặc bậc R(x) nhỏ hơn
bậc của Q(x).
Trong đó: Q(x) gọi là đa thức thương; R(x) gọi là đa thức dư.
- Nếu R(x) = 0 thì f(x) chia hết cho g(x).
2) Định lý Bê-du:
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

24


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán trên máy tính cầm tay

Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức (x – a) là f(a).
3) Hệ quả:
f(x) chia hết cho (x – a) ⇔ f(a) = 0 (Tức a là nghiệm của f(a))
4) Sơ đờ hooc-ne:
Giả sử đa thức f(x) = an xn + an-1 xn-1 + . . . . + a1 x + a0 khi chia cho nhị thức (x - α)
có thương là: Q(x) = bn-1 xn-1 + bn-2xn-2 + . . . . + b1 x + b0
Khi đó: an xn + an-1 xn-1 + . . . . + a1 x + a0 =
= (bn-1 xn-1 + bn-2xn-2 + . . . . + b1 x + b0)(x - α) + r
= bn-1xn + (bn-2 - αbn-1)xn-1 + ... + (b1 - αb2)x2 + (b0 - αb1)x + (r – b0α)
Đồng nhất các hệ số, ta có: an = bn-1; an- 1 = bn-2 - αbn-1 ;.... a1 = b0 - αb1; a0 = r – αb0
Suy ra: bn-1= an ; bn-2 = an- 1 + αbn-1 ;.... b0 = a1+αb1; r = a0 +αb0
Do đó ta có sơ đồ sau để tính các hệ số của thương Q(x) và dư r, gọi là sơ đồ Hooc –ne:
an
an-1

an-2
……
a2
a1
a0
α
⊗

bn-1

⊕
⊕
bn-2= an- 1 + αbn-1 bn-3= an- 2 + αbn-2

b1= a2+αb2

b0= a1+αb1 r = a0 +αb0

⊗
II. MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VỀ ĐA THỨC:
Dạng1: Tính giá trị của đa thức(biểu thức)
Loại 1: Đa thức có nhiều biến x, t, z
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau:
3x 2 y − 2 xz 3 + 5 xyz
4
E=
với x = 2,41; y = -3,17; z =
2
6 xy + xz
3

Giải:
Cách 1: Dùng phép gán:
Ấn:
2,41 SHIFT STO X
-3,17 SHIFT STO Y
4
3

SHIFT STO A

Ghi vào màn hình:(3X2Y – 2XA3 + 5XYA):(6XY2+XA)
Ấn = → kết quả: E = -0,7918
Cách 2: Dùng lệnh CALC
Ghi vào màn hình:(3X2Y – 2XA3 + 5XYA):(6XY2+XA)
Ấn: Ấn CALC → X ? (nhập 2,41)
= → Y ? (nhập -3,17)
= → A ? (nhập

4
)
3

= → kết quả: E = -0,7918
Loại 2:Đa thức một biến.
Nếu chỉ tính tại một giá trị của biến, ta nhân, chia trực tiếp nhờ biến nhớ Ans
Ví dụ 1: Tính A =

3x5 − 2 x 4 + 3 x 2 − x + 1
khi x = 1,8165

4 x3 − x 2 + 3x − 5

Giải:

Ấn 1,8165 = để ghi vào biến nhớ Ans.
Tác giả: Nguyễn Hữu Sang - Trường THCS Mỹ Thọ

25