SKKN rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

Đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán
phân tích đa thức thành nhân tử ”
A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề:
- Xuất phát từ mục tiêu giáo dục phổ thông nói chung và mục tiêu tầm quan
trọng của môn Toán nói riêng.
- Giáo dục phổ thông nhằm giáo dục học sinh phát triển toàn diện, không
những nâng cao hiểu biết về kiến thức văn hoá mà phát huy năng khiếu khác.
- Xuất phát từ yêu cầu của việc đổi mới phương pháp là phát huy tính tích cực
chủ động sáng tạo của học sinh. Có như vậy các em mới có điều kiện khắc phục khó
khăn tiếp nhận kiến thức mới.
- Xuất phát từ tâm lý lứa tuổi học sinh là lứa tuổi nhạy cảm hiếu động ham
chơi. Nếu giáo viên gây được hứng thú trong bài dạy sẽ tạo cho học sinh sự phấn chấn,
hào hứng để tiêp thu bài học một cách có hiệu quả.
- Từ thực tiễn giảng dạy cũng như thực tiễn của học sinh nông thôn ít có điều
kiện để tiếp nhận tri thức. Nếu giáo viên tạo được hưng thú trong giảng dạy và học tập
sẽ giúp cho học sinh say mê học tập.
Từ những lý do nói trên, bản thân tôi nhận thấy việc gây hứng thú cho học sinh
trong học tập môn Toán là một trong những giải pháp hết sức quan trọng trong việc
nâng cao chất lượng trong việc dạy và học. Vì vậy nó là động lực giúp tôi đi sâu
nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm này. Trong quá trình thực hiện tôi đã hiểu được phần
nào khó khăn chung của học sinh nông thôn và những hoàn cảnh mà chúng ta cần
chung tay để khắc phục.
1. Thực trạng vấn đề.
a. Thực trạng chung.
*Ảnh hưởng của sự phát triển xã hội theo cơ chế thị trường :

- Xã hội phát triển là điêù đáng mừng, nhưng khi phát triển theo cơ chế thị
trường nó kéo theo một bộ phận không lành mạnh khác như dịch vụ giải trí không lành
mạnh, phim ảnh bạo lực, tình cảm lứa đôi quá trớn …
- Hiện nay, do sự quản lí không chặt chẽ của nhà nước, các dịch vụ bida,
internet, karaokê … được tổ chức gần trường học, lôi cuốn, hấp dẫn các em vào các trò
chơi vô bổ. Các em lao vào các trò chơi đó dẫn đến bỏ giờ trốn học và những vi phạm
khác. Đồng thời các kênh truyền hình chiếu một số bộ phim có mang những hình ảnh
bạo lực làm cho các em dễ dàng bắt chước. Ngoài ra những tụ điểm ăn chơi hàng ngày
nhan nhãn, đập vào mắt các em làm cho các em không tự chủ, tham gia không có ý
thức dần dần tiêm nhiễm dẫn đến việc học sa sút.
*Ảnh hưởng của môi trường giáo dục gia đình:
- Thời gian HS học tập, sinh hoạt ở nhà trường chỉ từ 4-5 giờ trong ngày, việc
sinh hoạt học tập đều có sự quản lí hướng dẫn của GVCN, GVBM, cán bộ lớp, nhà
trường, đó là điều kiện để các em học tập tốt và rèn luyện nhân cách. Nhưng phần lớn
thời gian các em sinh hoạt ở gia đình: tự học, lao động, vui chơi. Với thời gian đó đối
với hầu hết HS đều có thời khóa biểu học tập ở nhà, ý thức được việc học tập ở nhà là
thời gian giúp các em ghi nhớ lại bài cũ, luyện tập và nghiên cứu bài mới, chuẩn bị cho
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 1


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

ngày học hôm sau, đồng thời tham gia giúp đỡ công việc gia đình. Đó là những HS
thực sự tự giác trong học tập và được sự quản lí giáo dục của gia đình.
- Nếu các em chưa ý thức được việc học tập, đồng thời gia đình không quan

tâm và không tạo điều kiện cho các em học tập thì việc học tập các em không đến nơi
đến chốn, chất lượng học tập bị ảnh hưởng, các em học tập yếu, thua sút bạn bè.
*Gia đình có hoàn cảnh kinh tế khó khăn:
- Từ những khó khăn về đời sống kinh tế, cha mẹ phải lao động vất vả, không
quan tâm đến việc học tập của con em, phó mặc cho nhà trường, có gia đình buộc con
cái phải lao động, làm cho các em không có thời gian học tập ở nhà như soạn bài, học
bài cũ, do đó khi đến lớp việc tiếp thu bài mới rất khó khăn, không làm được bài kiểm
tra, lo lắng sợ sệt khi thầy cô giáo kiểm tra bài cũ . . .
*Gia đình chỉ lo làm ăn, không quan tâm đến việc học của con cái:
- Nhiều gia đình vì kế sinh nhai, cả vợ chồng đều đi làm ăn xa, phó mặc con cái
cho ông bà hoặc chị em chăm sóc lẫn nhau, một số HS chưa tự giác và thiếu sự quản lí
chặt chẽ của người lớn nên nảy sinh những tư tưởng không lành mạnh.
- Có gia đình tuy không khó khăn về kinh tế nhưng có tham vọng làm giàu, bỏ
mặc con cái, không quan tâm đến việc học tập của con cái kể cả những thói hư tật xấu
của con cái, cha mẹ cũng không biết để răn dạy.
*Gia đình có cha mẹ bất hòa, không có hạnh phúc:
- Lứa tuổi các em rất nhạy cảm, những cuộc cải vả của cha mẹ, sự to tiếng quát
nạt, bạo lực của người cha làm cho các em dần dần bị ảnh hưởng, từ đó nẩy sinh
những việc làm không lành mạnh thích đánh lộn để giải tỏa tâm lý, bị ức chế, bỏ nhà
đi chơi không thíêt tha đến việc học.
b. Thực trạng cụ thể.
Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy
khi gặp các dạng bài tập như: rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức không cùng mẫu,
tìm tập xác định, giải phương trình tích... các em gặp rất nhiều lúng túng. Qua đó tôi
thấy được phần lớn học sinh mắc phải một số sai lầm như sau:
*Sai lầm về nhận dạng đặc trưng và kỹ năng sắp xếp bài toán:
*Ví dụ 1:
- Phân tích đa thức x2 – 4 + y2 + 2xy thành nhân tử
Sai lầm: Học sinh thường nhóm ngẫu nhiên hai hạng tử dầu vì cho rằng có dạng hằng
đẳng thức A2 – B2 và nhóm hai hạng tử cuối vì cho rằng nhân tử chung là y

Học sinh thực hiện:
x2 – 4 + y2 + 2xy
= (x2 – 4) + (y2 + 2xy)
= (x + 2)(x - 2) + y(y + 2x) không thể thực hiện tiếp
Lời giải như mong muốn:
x2 – 4 + y2 + 2xy
= (x2 + 2xy + y2 ) – 4
= (x + y)2 – 22
= (x + y + 2 )(x + y -2)
2
- Hay phân tích đa thức x – y2 + 4x + 4 thành nhân tử, nhiều học sinh đưa ra lời
giải như sau:
x2 – y2 + 4x + 4 = (x2 – y2)+ (4x + 4) = (x – y)(x + y) + 4(x + 1) bế tắc
Lời giải như mong muốn:
x2 – y2 + 4x – 4
= (x2 + 4x + 4) – y2
= (x + 2)2 – y2
= (x+ y +2)(x – y +2)
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 2


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

*Ví dụ 2:
- (trong tiết 25: Luyện Tập (Toán 8 tập 1)) Khi giáo viên đưa bài tập. Yêu cầu

x 2 − xy − x + y
học sinh rút gọn phân thức: 2
x + xy − x − y

Sai lầm: Nhiều học sinh cho rằng ba hạng tử đầu tiên có nhân tử chung là x
Học sinh đưa ra lời giải như sau:
x 2 − xy − x + y x( x − y − 1) + y
=
(lời giải sai- phân thức chưa được rút gọn)
x 2 + xy − x − y x( x + y − 1) − y

Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừa
được học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)
- Hay phân tích đa thức x 3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y thành nhân tử. nhiều học
sinh hai hạng tử đầu tiên có nhân tử chung là x, hai hạng tử tiếp theo có nhân tử chung
3xy, hai hạng tử cuối y, nên đưa ra lời giải như sau:
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x )+ (3x2y + 3xy2) + (y3 – y)
= x(x2 - 1) + 3xy(x + y) + y(y2 - 1) (đa thức không phân tích được nữa)
Lời giải đúng:
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y)
= (x + y)3 – (x + y)
= (x + y)[(x + y)2 – 1]
= (x +y)(x + y + 1)(x +y – 1)
*Ví dụ 3: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử. (BT- 28a)-SBT-tr6)
Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2
= (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc
Lời giải đúng:

(x + y)2 – (x – y)2
= [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x = 4xy
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy
tắc dấu
- Hoặc trường hợp phân tích đa thức sau thành nhân tử: (2x - 1) 2 – (x + 3)2.
Nhiều học sinh đã biết áp dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức nhưng chưa
đúng phương pháp đưa ra lời giải như sau.
(2x - 1)2 – (x + 3)2
= 4x2 – 4x – 1 – x2 – 6x – 9
= 3x2 – 10x – 10 ....(đây là lời giải sai)
Lời giải như mong muốn:
(2x - 1)2 – (x + 3)2
= [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)]
= (2x – 1 – x - 3)(2x – 1 + x + 3)
= (x - 4)(3x + 2)
2 2
*Ví dụ 4: Phân tích đa thức 15x y – 9x3y + 3x2y thành nhân tử.
Lời giải sai: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y
= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)

Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 3


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

Sai lầm ở đây là cách viết các hạng tử còn lại trong ngoặc, Học sinh đã bỏ sót
số 1 (HS cho rằng ở bước thứ hai khi đặt nhân tử chung 3x 2y thì hạng tử thứ 3 trong
ngoặc còn lại là số 0)
Lời giải đúng:
15x2y2 – 9x3y + 3x2y
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1
= 3x2y ( 5y - 3x + 1 )
*Ví dụ 5: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )
= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(19x – 10y)
(kết quả sai )
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện đổi dấu sai
(y – x)2
= - (x – y)2 nên dẫn đến:
9x(x – y) – 10(y – x)2
= 9x(x – y) + 10(x – y)2 là sai
- Ta có: ( x – y )2=(y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2
= 9x(x – y) – 10(x – y)2
= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x)
Khi đứng trước bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử các em chưa có khả
năng nhận dạng, nhận định xem bài toán trên nên giải như thế nào, áp dụng phương
pháp nào để giải cho phù hợp và trong quá trình phân tích các em còn gặp nhiều sai sót
trong lời giải cũng như cách trình bày.
*Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh:

- Nhận dạng đặc trưng(bài toán thuộc dạng nào)
- Mục đích của việc nhóm hạng tử, sử dụng hằng đẳng thức cho bài toán
*Sai lầm về vận dụng kiến thức cho bài toán:
*Ví dụ 6:
- Phân tích đa thức 2x2 - 7 – 4x + 14 thành nhân tử
Sai lầm: Học sinh thường mắc sai lầm về dấu khi nhóm các hạng tử nên thực hiện như
sau:
2x2 - 7 – 4x + 14
= (2x2 – 7) – (4x + 14)
= x(2x – 7) – 2(2x + 7) không phân tích được
Lời giải như móng muốn:
2x2 - 7 – 4x + 14
= (2x2 – 7) – (4x – 14)
= x(2x – 7) – 2(2x – 7)
= (2x – 7)(x – 2)
- Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. Một số học sinh đưa ra lời
giải sau:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
(đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
= (x – 2y)(x + 2y – 2)
(kết quả sai)
Lời giải đúng:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
- Trường hợp phân tích đa thức 15x 2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử. Một số
học sinh đưa ra lới giải sau.
15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 4


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT
2

= 3x y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)
*Ví dụ 8: Hay khi phân tích đa thức x2 – 5x + 6 thành nhân tử. Học sinh thường mắc
sai lầm khi tách (b1x + b2x = bx) và b1x.b2x = acx2. Trong thực hành học sinh thường
giải như sau:
x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x+ 6
= (x2 – 2x) – (3x + 6)
= x(x – 2) – 3(x + 2) không phân tích được nữa
Lời giải đúng:
x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x+ 6
= (x2 – 2x) – (3x – 6)
= x(x – 2) – 3(x – 2 )
= (x -2)(x - 3)
- Hay tìm ĐKXĐ của phương trình:

1
. Học sinh gặp rất nhiều lúng
x − 4x + 3
2

túng và chưa tìm ra cách giải.

Vì để giải được các bài toán trên học sinh cần có kỹ năng phân tích đa thức
thành nhân tử một cách thành thạo.
Nhưng ngay đối với việc giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử
thông thường thì đa số các em cũng đã gặp rất nhiều khó khăn. Do các em có thể quên
kiến thức hoặc chưa biết vận dụng kiến thức một cách hợp lý. Các em mới chỉ biết vận
dụng từng phương pháp riêng lẻ vào giải các bài toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa
biết kết hợp các phương pháp vào giải các bài toán khó với yêu cầu cao hơn.
*Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh:
- Khi nhóm hạng tử cần chú ý dấu của mỗi hạng tử (nếu trước dấu ngoặc là dấu
“– ” thì đổi dấu hạng tử bên trong dấu ngoặc)
- Định hướng cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa các nhóm
- Định hướng cho học sinh hiểu được khi thực hiện tách hạng tử
bx = (b1 + b2)x =b1x + b2x
*Sai lầm về vận dụng kiến thức trong giải bài toán ứng dụng:
*Ví dụ 9: Giải phương trình 2x3 + 6x = x2 + 3x (bài 25a tr17 SGK)
Sai lầm: Học sinh thường mắc sai lầm khi chuyển vế không đổi dấu dẫn đến phương
trình có nghiệm sai và thực hiện như sau:
2x3 + 6x = x2 + 3x
<=>
2x3 + 6x + x2 + 3x
=0
3
2
<=> (2x + x ) + (3x+ 6x)
=0
2
<=> x (2x + 1 ) + 3x(1+ 2x)
=0
<=>
x(x + 3)(2x + 1)

=0

x = 0
x
=
0



<=>  x = − 3
<=>  x + 3 = 0

2x + 1= 0
1
x = −

2
1 

Vậy tập nghiệm của phương trình: S= -3; − ; 0 
lời giải sai
2 

Lời giải như mong muốn:
2x3 + 6x = x2 + 3x
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 5

www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN
3

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT
2

<=>
2x + 6x - x - 3x
<=> (2x3 - x2 ) + (6x -3x)
<=> x2(2x - 1 ) + 3x(2x -1)
<=>
x(x + 3)(2x - 1)

x = 0
x =0


<=>  x = − 3
<=>  x + 3 = 0
 1
2x -1= 0
x =
 2

=0
=0
=0
=0

 1 
Vậy tập nghiệm của phương trình: S= -3; ;0 
 2 
2
*Ví dụ 10: Giải phương trình (3x - 1)(x + 2) = (3x - 1)(7x - 10) (bài 25b tr17 SGK)
Sai lầm thứ nhất: Chia hai vế của phương trình cho đa thức 3x -1 dẫn đến phương trình
mất nghiệm và thực hiện như sau:
(3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10)
<=> x2 + 2 = 7x - 10
<=> x2 - 7x +12 = 0
<=> x2 - 3x - 4x +12 = 0
<=> x(x - 3) - 4(x- 3) = 0
<=> (x - 3)(x - 4) = 0
x −3= 0
x =3
<=> 
<=> 
x −4=0
x = 4

Vậy tập nghiệm của phương trình là s= { 3;4} lời giải sai
Sai lầm thứ 2: Chuyển vế đổi dấu cả hai nhân tử
(3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10)
<=> (3x - 1)(x2 + 2) - (3x - 1) - (7x - 10) = 0 bài toán sai
Lời giải đúng:
(3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10)
<=> (3x - 1)(x2 + 2) - (3x - 1)(7x - 10) = 0
<=> (3x - 1)(x2 - 7x +12) = 0
<=> (3x - 1)(x2 - 3x - 4x +12) = 0
<=> (3x - 1)(x - 3)(x - 4) = 0

 1
x = 3
3x
-1=
0



<=>  x = 3
<=>  x − 3 = 0
x = 4
 x − 4 = 0


1

Vậy tập nghiệm của phương trình là s=  ;3;4 
3

*Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh:
- Nhắc lại cho học sinh hai quy tắc biến đổi phương trình(quy tắc chuyển vế và
quy tắc nhân với một số)
- Biến đổi phương trình có bậc lớn hơn 2 về dạng phương trình tích(phân tích
vế trái thành nhân tử)
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 6


www.huongdanvn.com

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

- Chuyển vế các hạng tử thì đổi dấu các hạng tử, chuyển vế tích các nhân tử chỉ
cần đổi dấu một trong các nhân tử.
*Sai lầm về việc phân tích bài toán chưa triệt để:
*Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 – 9x3 + x2 – 9x
TH1: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để)
TH2: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3 (x – 9) + x(x – 9 )
= (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)
Lời giải đúng:

x4 – 9x3 + x2 – 9x
= x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x[(x3 – 9x2) + (x – 9)]
= x[x2(x – 9) + (x – 9)]
= x(x – 9)(x2+ 1)

Trong chương trình sgk Toán 8 giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử
nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên có những bài tập học sinh sẽ gặp khó khăn
trong quả trình giải. Ví dụ bài 52,57 sgk tr 24,25 (Toán 8 tập 1)
Bài 52a. phân tích đa thức x2 – 3x + 2 thành nhân tử.
Với đa thức này ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích.
SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x hoặc tách 2 = - 4 + 6, từ đó đa thức dễ
dàng được phân tích tiếp. Vậy với các đa thức khác, có dạng tương tự ta làm như thế
nào?
Vấn đề đặt ra ở đây là cách tách như trên là ngẫu nhiên hay có phương pháp

hoặc dựa trên quy luật nào, vấn đề này trong chương trình sách giáo khoa chưa đề cập
đến và chưa đưa ra phương pháp giải tổng quát, nhưng thực tế trong quá trình giải
toán, học sinh lại gặp rất nhiều bài tập dạng này (như đã đề cập ở ví dụ trên)
Qua khảo sát thực trạng của học sinh trường THCS Mỹ Cát về bộ môn Toán
nhóm toán đã tiếp xúc, trò chuyện với học sinh sau một số tiết dạy về “các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu cũng như dự giờ các đồng nghiệp, trao đổi
cùng học sinh, nhóm toán đã đánh giá và rút ra một số thực trạng như trên trong việc
dạy và học của giáo viên và học sinh trường THCS Mỹ Cát.
Từ những thực trạng tôi vừa nêu trên chứng tỏ trong những năm qua kết quả
học tập bộ môn Toán của học sinh trường THCS Mỹ Cát là chưa tốt, chỉ có một số học
sinh giỏi, khá so với mức độ học sinh ở các trường THCS. Vậy tại sao lại có kết quả
trên, theo tôi chủ yếu do các nguyên nhân sau.
* Nguyên nhân khách quan:
- Trường THCS Mỹ Cát là một trường nằm ở vùng điều kiện kinh tế kém phát triển
- Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em
mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập ở nhà.
* Nguyên nhân chủ quan
Môn Toán là môn học khó, khô khan để học tốt bộ môn toán đòi hỏi học sinh phải
có tư duy nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện.
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, thiếu kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi
và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 7


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười trong học tập, ỷ lại,
trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém.
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài
tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng
phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất,
hướng giải nào là tốt nhất.
2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.
Giúp học sinh phân tích tốt một đa thức thành nhân tử, vận dụng giải một số
phương trình và các dạng toán có liên quan. Đồng thời giúp học sinh có cách quan sát
và phân tích bài toán một cách phù hợp nhằm đưa ra cách giải hợp lý.
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài.
- Giới hạn nội dung nghiên cứu: “Các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử”
- Đối tượng: là học sinh khối 8
- Giới hạn địa bàn: Trường THCS Mỹ Cát - Phù Mỹ - Bình Định
II. Phương pháp tiến hành.
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn:
a. Cơ sở lí luận:
- Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy
nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là
giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng,
phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ
những yêu cầu đó.
- Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ,
rèn luyện năng lực tư duy toán học. Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan
trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học được tốt. Trong chương trình
toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề dặc biệt quan tâm.
Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quy

đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ, chứng minh
đẳng thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này của học sinh.
- Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập
do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn
đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán “phân tích đa thức thành nhân
tử” là một dạng toán rất quan trọng (của môn đại số 8) đáp ứng yêu cầu này, là nền
tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này. Nhất là khi học về rút gọn
phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình, …
- Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà
chương trình chỉ đề cập đến bốn phương pháp cơ bản của quá trình phân tích đa thức
thành nhân tử thông qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và
không quá ba nhân tử.
- Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành
nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều
này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như: quan sát, nhận
xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán. Tuỳ
theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các
phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.

Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 8


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

- Học sinh thường lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giải

cho từng dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong làm bài, không làm được các
bài tập tương tự dù bài đó dễ hơn bài giáo viên đã chữa.
- Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. Việc tìm ra
phương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa học
hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán ...tất cả đều phụ thuộc vào
việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Khi lựa chọn các phương pháp để
phân tích giúp cho học sinh phát triển tư duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận
dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể. Không những thế khi phân tích đa
thức thành nhân tử học sinh được ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan như:
Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức.
Nói chung, các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi
hỏi học sinh phải tư duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt, sáng tạo các
kiến thức đó.
- Trong việc dạy và học bộ môn toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư
duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ
với các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên một số phương
pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thú
học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học.
- Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã sắp xếp các dạng bài tập phân tích đa thức
thành nhân tử sao cho các em có thể giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử một
cách dễ dàng nhất, cũng như giúp các em hệ thống được các dạng loại bài tập, theo
mức độ khó dần, nâng cao năng lực tư duy sáng tạo trong giải toán ở mỗi đối tượng
học sinh.
b. Cơ sở thực tiễn:
- Qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ giữa các giáo viên trong trường,
đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi. Tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ
năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Cộng trừ các phân thức không cùng
mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các
phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ...vì để giải

được các dạng toán đó thì cần phải có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
- Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận
xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới,
nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười trong học
tập, ỷ lại, trong nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập
yếu kém.
- Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi
gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết
áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào
là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.
- Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của
con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà.
- Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ
năng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan là
công việc rất quan trọng và không thể thiếu được. Để làm được điều này thì người thầy

Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 9


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản về các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử.
- Để phân tích đa thức thành nhân tử có 4 phương pháp cơ bản đó là: Đặt nhân
tủ chung, nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng thức,và phối hợp nhiều phương pháp

(sgk – Toán 8 tập 1) nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên thì học sinh có thể sẽ gặp
khó khăn trong quá trình giải toán( có những bài chưa thể giải được hoặc không có
phương pháp tổng quát để giải). Vì vậy khi dạy các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác
(ngoài sách giáo khoa) như: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một
hạng tử, đặt ẩn phụ( đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng...Đặc biệt là đối với học
sinh khá giỏi, giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp khi gặp các dạng
toán khó.
- Hiểu được điều này, bằng những kinh nghiệm dạy và học toán. Tôi mạnh dạn
lựa chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử”
với hy vọng nó sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán phân tích đa thức
thành nhân tử và giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ môn toán nói chung
và các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng.
2. Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp mới:
- Tiến hành tổ chức lồng ghép thường xuyên trong mỗi tiết dạy theo các yêu cầu
và mức độ khác nhau.
- Lựa chọn bài tập, phương pháp tổ chức lồng ghép hợp lý, phù hợp với từng
đối tượng học sinh nhằm phát huy tính sáng tạo của học sinh.
- Thông qua các tiết bài tập, giáo viên xây dựng cho học sinh phương pháp
phân tích, suy luận, tìm tòi… từ đó giáo viên có thể giao công việc, bài tập về nhà để
học sinh tìm tòi cách giải quyết nhanh hơn, gọn hơn…
- Qua mỗi tiết ôn tập cần cho thêm các bài tập tổng hợp nhằm củng cố kiến thức
đồng thời móc xích được các đơn vị kiến thức.
- Hướng dẫn học sinh cách tham khảo tài liệu, sách báo, phân biệt được các
dạng toán… có thể gắn vào việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
- Tổ chức lồng ghép trong mỗi tiết dạy chính khoá cũng như tự chọn có liên
quan đến từng dạng loại.
- Đưa chuyyên đề trên thực hiện trong các tiết học tự chọn, trong tiết thao giảng
để đồng nghiệp dự giờ góp ý rút kinh nghiệm.
- Thảm khảo ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

để xây dựng, hoàn thiện đề tài.
- Lựa chọn các bài tập liên quan đến phần phân tích đa thức thành nhân tử ở
sách giáo khoa, sách bài tập lớp 6,7,8,9 một số đề thi học sinh giỏi toán 8, một số tài
liệu khác.
- Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tài liệu
có liên quan đến đề tài.
- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân
tử. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ sở như:
Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9
Sách giáo viên 6, 7, 8, 9
Một số vấn đề đổi mới PPDH ở trường THCS môn toán – Bộ GD&ĐT 2008
Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – Nhà xuất bản GD
Nâng cao và phát triển Toán 8 - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản GD
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 10


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – Nhà xuất bản GD
Phương pháp dạy học đại cương môn Toán – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất bản
ĐHSP
Giáo trình phương pháp dạy học các nội dung Toán - Phạm Gia Đức – Bùi Huy
Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất bản ĐHSP
- Thời gian: Thực hiện từ năm học 2008 - 2012
- Trong qua trình như vây, tôi sử dụng các phương pháp trong qua trình thực

hiện đề tài:
Phương pháp nghiên cứu lý luận.
Phương pháp khảo sát thực tiễn.
Phương pháp phân tích.
Phương pháp tổng hợp.
Phương pháp khái quát hóa.
Phương pháp quan sát.
Phương pháp kiểm tra.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 11


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

B. NỘI DUNG
I. Mục tiêu.
Tên đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân
tử”
Nhiệm vụ:
- Khảo sát thực trạng việc học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử ở
trường THCS Mỹ Cát.
-Xây dựng được hệ thống bài tập tỉ lệ thức để củng cố, bồi dưỡng học sinh,
kiểm tra đánh giá khả năng lĩnh hội tri thức của học sinh.
- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán
này.
- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tử
- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh
- Phát triển ở học sinh lòng ham thích, hứng thú, say mê học toán.
- Giúp học sinh khái quát hóa, hệ thống hóa, có khả năng tự giải nhiều dạng bài
tập. Gây hứng thú cho học sinh trong giờ học toán, tạo cảm giác tiết học nhẹ nhàng
cho cả thầy và trò. Thông qua đó thấy sự phong phú của toán học và ứng dụng của nó
trong cuộc sống.
- Giúp học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử,
phát hiện và vận dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các
dạng khác nhau.
- Qua đó học sinh thấy được vai trò và ứng dụng của việc phân tích đa thức
thành nhân tử trong giải toán, từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh và góp phần
nâng cao chất lượng giáo dục của môn toán 8
II. Mô tả giải pháp của đề tài.
*Bản đồ tư duy mô tả kết quả tìm hiểu về sai lầm của học sinh trong giải
các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm đưa ra các phương pháp giải
quyết và ứng dụng trong giải toán:

Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 12


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

1. Thuyết minh tính mới.
Nhằm giúp học sinh học tập tốt tất cả các môn học nói chung và môn Toán nói
riêng chúng ta phải làm tốt công tác giáo dục học sinh. Từ đó áp dụng các giải pháp
dạy học theo hướng tích cực mới đạt hiệu quả tốt. Điều quan trong là sự kết hợp chặt
chẽ giữa công tác giáo dục học sinh cùng với giải pháp mới trong đề tài mới đem lại
hiệu quả trong quá trinh ứng dụng vào giảng dạy.
 Công tác giáo dục học sinh.
* Giáo dục HS thông qua giờ sinh hoạt trường:
- Tổ chức cho HS thảo luận nội qui nhà trường và hướng dẫn cho các em thực
hiện nội qui, có chế độ khen chê công bằng, khách quan .
- Trong buổi chào cờ đầu tuần, cần phải đánh giá nhận xét chu đáo, nêu gương
người tốt, việc tốt để các em noi theo, hạn chế những vi phạm nội qui lớp học , trường
học .
* Giáo dục HS thông qua giờ sinh hoạt lớp:
Ngoài việc giáo dục HS thông qua giờ sinh hoạt trường, giờ sinh hoạt lớp
(SHL) cũng rất quan trọng trong vấn đề này. Bởi vì thông qua giờ SHL, GVCN, CB
lớp kịp thời uốn nắn những sai trái khuyết điểm của HS khi bị vi phạm, lấy tình cảm
bạn bè, lấy nghĩa thầy trò làm cho các em thấy được khuyết điểm của mình. Đồng thời
với sự chân thành của GVCN, HS trong lớp, HS khi vi phạm sẽ sớm nhận ra lỗi lầm
của mình mà sửa chữa .
Trong khi giáo dục các em, GVCN không nên nặng về kiểm điểm, phê bình, mà
phải tìm ra và xác định đúng nguyên nhân đã tác động đến các em làm cho các em mắc
sai lầm, vi phạm, vận dụng những điều khoản trong nội qui, trong qui định xếp loại
của TT40 làm cho các em thấy được phạm vi vi phạm ở mức độ nào và nêu ra hướng
cho các em khắc phục. GVCN nêu những việc làm tốt, những cố gắng nổ lực của các
thành viên trong lớp để xây dựng tập thể lớp thành lớp tiên tiến … với thành tích như
vậy thì không được bất cứ thành viên nào trong lớp phá vỡ.
* Kết hợp với Hội PHHS để giáo dục HS:
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 13


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

- Hội PHHS là cầu nối giữa nhà trường, GVCN với gia đình HS. Tổ chức Hội
ngoài việc giúp nhà trường xây dựng CSVC còn góp phần cùng nhà trường giáo dục
HS.
- Thực tế, những năm qua Thường trực Hội PHHS đã giúp cho nhà trường,
GVCN bằng cách tác động với PH để giáo dục HS từ chỗ bỏ học, trốn học đến đi
học chuyên cần và học tập nghiêm túc. Mặt khác, TT Hội PHHS đã tác động đến gia
đình các em để cha mẹ các em quan tâm và có trách nhiệm đối với con cái của họ hơn,
từ đó sẽ hạn chế được HS hoang nghịch .
* Phối hợp với các Đoàn thể và các lực lượng khác trong xã hội:
Hiện nay ở địa phương đã hình thành các khu dân cư và nhiều nơi đã xây dựng
khu dân cư, thôn văn hóa, đó là điều kiện tốt để các Đoàn thể cùng với nhà trường, qua
đó giáo dục HS. Các đoàn thể, chính quyền địa phương giúp cho các thành viên xây
dựng gia đình văn hóa, hạn chế tình trạng cha mẹ bỏ mặc con cái đi làm ăn, những mối
bất hòa trong gia đình dần dần chấm dứt, từ đó cha mẹ sẽ có điều kiện chăm sóc giáo
dục con cái tốt hơn .
* Dùng phương pháp kết bạn:
Thường lứa tuổi HS dễ bị ảnh hưởng những thói hư tật xấu nhưng cũng dễ tiếp
thu những điều hay lẽ phải, dễ hòa mình vào những trò chơi có tính tập thể, tính giáo
dục cao . Do đó GVCN nên phân công một nhóm bạn tốt, cùng hoàn cảnh, cùng sở
thích, uớc mơ ... sinh hoạt, học tập với đối tượng này dần dần lôi kéo các em hòa nhập
vào các cuộc chơi bổ ích, từ đó xóa bỏ các mặc cảm là HS hư để rồi cùng với các
thành viên trong lớp xây dựng tập thể vững mạnh .

Mặt khác, thông qua nhóm bạn tốt, GVCN giao cho HS thực hiện một số công
việc, tạo những điều kiện để những HS hoàn thành và động viên khích lệ. Ngoài ra có
thể vận động gia đình của nhóm bạn tốt tham gia vào việc giúp đỡ những HS này bằng
cách tạo cho các em tâm lý xem gia đình của bạn như gia đình mình, tạo điều kiện cho
các em cùng tham gia học tập với con em mình để tách dần ra khỏi nhóm bạn chưa
ngoan. Việc làm này cả là một cố gắng trong đó vai trò của GVCN rất quan trọng và
sự tham gia của Hội PHHS là rất cần thiết.
 Giải pháp mới của đề tài
 Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau:
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
 Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C - A.D = A.(B + C - D)
* Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):
- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử.
- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất cả các
hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử.
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
- Giúp học sinh thấy được các hạng tử có thể lập thành hằng đẳng thức:
Xác định biểu thức A, B
Số lượng biến và bậc của đa thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
Dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 14

www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

- Thành lập nhóm dựa t heo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
Mỗi nhóm đều phân tích được.
Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân
tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
 Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:
- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức nếu có.
- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là
hằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử.
+ Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
+ Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.
+ Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
+ Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).
 Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu 6 phương pháp)
+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác.
Tổng quát: Khi phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa
về dạng ax2 + b1x + b2x + c bằng cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho
b1
c
=
hay b1b2 = ac
a
b2

Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Lập tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến)
+ Phương pháp tìm nghiện của đa thức.
+ Phương pháp hệ số bất định.
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Tuy nhiên trong khuôn khổ giới hạn của đề tài và cũng phụ thuộc vào trình độ
nhận thức của học sinh. Tôi không có tham vọng đi sâu nghiên cứu tất cả các phương
pháp, mà chỉ tập chung vào các phương pháp cơ bản (phương pháp 1,2,3,4)và thêm hai
phương pháp nâng cao (phương pháp 5,6). Các phương pháp còn lại (phương pháp
7,8,9,10) chỉ mang tính chất giới thiệu.
2. Khả năng áp dụng.
a. Thời gian áp dụng.
- Sau khi thực hiện đề tài GV thấy các em làm bài tập toán với một phong cách
nghiên cứu, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách giải. Đặc biệt là với mỗi
bài toán đưa ra các em luôn tìm hiểu các cách giải khác nhau. Từ đó tìm được phương
án tối ưu để giải toán
- Phương pháp phân hóa bài tập theo dạng đã giúp học sinh tìm tòi lời giải dễ
dàng hơn và hệ thống được kiến thức, rèn luyện khả năng tư duy toán học linh họat
hơn góp phần nâng cao hiệu qủa giảng dạy của giáo viên. Và điều dễ thấy nhất là kết
quả thu được qua các bài kiểm tra. Bài kiểm tra sau bao giờ cũng khả quan hơn bài
kiểm tra trước về trình độ nhận thức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng
tạo.
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 15

www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

- Trước khi viết đề tài này thì tôi đã lấy một số bài toán trên để bồi dưỡng cho
một số học sinh khá, giỏi của trường thì kết quả đạt rất tốt.
- Hình thành cho học kỹ năng giải quyết một vấn đề có phương pháp, làm việc
có khoa học.
- Đối với việc giải các bài toán nâng cao, học sinh quen dần việc vận dụng và
mở rộng các kiến thức, hình thành và khái quát thành những phương pháp giải, để giải
toán có hiệu quả.
- Các tiết học toán ngày càng có chất lượng khi giáo viên biết phối hợp, lồng
ghép các kiến thức, các phương pháp giải toán, nhàm phát triển tư duy cho học sinh.
- Mong rằng đây sẽ là một tài liệu để GV tham khảo khi dạy phần phân tích đa
thức thành nhân tử sao cho có một kết quả tốt nhất.
- Tôi thấy trước khi thực hiện chuyên đề này học sinh thường lúng túng không
biết bắt đầu từ đâu, đường lối làm bài như thế nào mặc dù rất dễ. Sau khi được học và
giới thiệu chuyên đề trên thì số em hiểu được cách giải bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử tăng lên rất rõ rệt. Điều đó chứng tỏ việc phân dạng các bài tập phân
tích đa thức thành nhân tử là không thể thiếu được trong môi trường toán THCS.
- Qua quá trình áp dụng kinh nghiệm dạy học theo đề tài đã thực hiện, tôi nhận
thấy như sau:
+ Về tâm lý: Đã từng bước tạo được sự hứng thú, khơi dậy lòng say mê
học tập môn Toán ở học sinh. Chính vì vậy mà các em không còn xem nhẹ trong việc
học tập.
+ Về kiến thức: Học sinh hoạt động tích cực chủ động hơn, đa phần học
sinh đã chiếm lĩnh được kiến thức một cách nhanh chống và chắc chắn

+ Về kỷ năng: Kỹ năng trực quan, tư duy, phân tích, tổng hợp của học
sinh được nâng cao hơn và hoàn thiện hơn. Đồng thời học sinh vận dụng được các liến
thức vào cuộc sống thực tiễn một cách dễ dàng và hiệu quả.
Chính vì vậy mà sau khi tiến hành vận dụng một số kinh nghiệm dạy học
theo PP mới trong năm học 2011-2012 thu được kết quả như sau:
Năm học

Sĩ số Phạm vi

Giỏi

Khá

Tbình

Yếu

Kém

TB

2008-2009 155
8
45
87
14
1
140
2009-2010 145 Đại số
12

55
70
8
137
8
2010-2011 140
16
65
55
4
136
2011-2012 134
20
76
38
134
*Nhận xét:
- Học sinh nắm vững chắc các kiến về phân tích đa thức thành nhân tử, vận
dụng thành thạo kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các bài toán đã biết cách giải
truớc đó, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng đẳng thức và đã trình bày bài giải hợp lý
hơn có hệ thống và logic, chỉ còn một số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực hiện tốt.
- Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại từng dạng toán, chủ
động lĩnh hội kiến thức, có kĩ năng giải nhanh các bài toán có dạng tương tự, đặt ra
nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán mới.
*Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này tôi nhận thấy học
sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này. Kinh
nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về cách phân
tích đa thức thành nhân tử trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năng
thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau
thông qua một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện

Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 16


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm
phát huy khả năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong
học toán.
*Trong HKI năm học 2011 – 2012, tôi và các đồng nghiệp trong nhóm tôi đã
vận dụng sáng kiến trên vào dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy
rằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất. Số học
sinh nắm vững các phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng
được vào các bài tập tương đối tốt
b. Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
 . Lý thuyết
* Định nghĩa: Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi Đa thức đó
thành một tích của những đa thức
 . Các phương pháp cơ bản
*Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
a) Phương pháp
- Tìm nhân tử chung là các Đơn thức, Đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử
vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C - A.D = A.(B + C - D)

* Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):
- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử.
- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất cả các
hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử.
b) Ví dụ
Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 thành nhân tử.
Giải: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.y2
= 3x2y ( 5y - 3x - y2 )
Ví dụ 1.2: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử.
Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2
= 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Phân tích ví dụ.
- Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: 15; 9; 3 và
ƯCLN(15, 9, 3) = 3. Vậy hệ số của nhân tử chung là: 3
- Lũy thừa bằng chữ của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: x 2y2 ; x3y ; x2y3. Lũy thừa
bằng chữ có mặt trong tất cả các hạng tử là x và y, số mũ lớn nhất của x là 2 và của y
là 1. Vậy ta có lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung là : x2y
Vậy nhân từ chung của đa thức trong ví dụ 1.1 là: 3 x2y
Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.
Với ví dụ này có thể lúc đầu học sinh sẽ gặp lúng túng trong cách xác định nhân tử
chung. Giái viên có thể đưa gợi ý:
? - Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)
? - Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
(Học sinh có thể trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) hoặc không xác định được )

Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 17

www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại để xuất hiện
nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y). Vậy ví dụ 2 được giải như sau:
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x)
= 10x(x – y) – (- 8y(x – y))
= 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 1.4: Phân tích Đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử
Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y )
= 2x(y -z ) - 5y(y -z )
= (y- z)(2x - 5y)
Chú ý: Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu các hạng tử
(lưu ý tích chất: A = -(-A))
c) Bài tập áp dụng
* Dạng 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1.
12x2y - 18y3
2.
5x(x - 1) – 3x(x - 1)
3.
x(x + y) – 2xy(y - x)
4.
x2 + 5x3 + x2y

5.

2
2
x(y - 1) - y(1 - y)
5
5

6.

3x2(2z - y) - 15x(y - 2z)2
7.
2x2(3y - z) + (3y- z)(x + y) + (z - 3y)
* Dạng 2: Tính nhanh:
1) 85.12,7 + 5.3.12,7
2) 52.143 – 52.39 – 8.26
*Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức:
1. 15.91,5 + 150.0,85
2. x(x-1) – y(1 – x) tại x = 2001 ; y = 1999
3. x2 + xy + x
tại x = 77; y = 22
4. x(x-y) + y(y-x) tại x = 53; y = 3
* Dạng 4: Tìm x, biết:
1. 5x(x-2000) – x + 2000 = 0
2. x3 – 13x = 0
3. x + 5x2 = 0
4. x + 1 = (x + 1)2
5. x3 + x = 0
* Dạng 5: Chứng minh tính chia hết:
1. Chứng minh dằng : 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)

2. Chứng minh dằng : n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số
nguyên n.
*Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
a) Phương pháp
- Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về
“dạng tích”
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B)
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 18


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN
3

2

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT
2

3

3

4. A + 3A B + 3AB + B = (A + B)
5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
- Giúp học sinh thấy được các hạng tử có thể lập thành hằng đẳng thức:
Xác định biểu thức A, B
Số lượng biến và bậc của đa thức
b) Ví dụ
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 2.1: 9x2 + 6xy + y2 = (3x2) + 2.3x.y + y2 = (3x + y)2
Ví dụ 2.2: 4x2 - 12x + 9 = (2x)2- 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2
Ví dụ 2.3: a. (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x = 4xy
2
2
2
b. 9x - 4 = (3x) - 2
= (3x-2)(3x+2)
2
2
2
c. 16x - 9(x + y) = (4x) - [3(x + y)]2
= (x - 3y)(7x + y)
3
2
2
3
Ví dụ 2.4: 8x + 12x y + 6xy + y = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3
= (2x + y)3
2
3
Ví dụ 2.5: 27 - 27x + 9x - x

= 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3
= (3 - x)3
Ví dụ 2.6: 8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2)
Ví dụ 2.7: 1 - 27x3y6 = 13 – (3xy2)3
= (1 – 3xy2)[12 + 1. 3xy2 + (3xy2)2 ]
= (1 – 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4 )
Khai thác ví dụ:
Qua các ví dụ trên giáo viên có thể hướng cho học sinh cách nhận dạng và vận
dụng một cách hợp lý các hằng đẳng thức trong quá trình phân tích đa thức thành nhân
tử. Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà:
- Nếu gặp Đa thức có 3 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng bình phương (A 2 và
B2) và hạng tử còn lại có thể phân tích được dưới dạng (2.A.B) hoặc
(– 2.A.B ) thì tìm cách phân tích đưa về dạng hằng đẳng thức (1) hoặc (2) (Ví dụ 2.1;
2.2)
- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai
hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có dạng hoặc có thể phân tích, đưa được về dạng hiệu
hai bình phương (A2 – B2) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (3). (Ví dụ 2.3)
- Nếu gặp Đa thức có 4 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng (hoặc có thể phân
tích đưa về dạng) lập phương (A3 và B3 hoặc A3 và -B3 ) hai hạng tử còn lại có thể
phân tích đưa về dạng 3.A 2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B + 3.A.B2 ) thì áp dụng hằng
đẳng thức thứ (4) hoặc thứ (5). (Ví dụ 2.4; 2.5)
- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu hoặc một tổng của hai hạng tử (hoặc hai biểu
thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có thể phân tích, đưa được về dạng lập
phương (A3 và B3) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (6) hoặc (7). (Ví dụ 2.6; 2.7)
Chú ý: Đôi khi cần phải đổi dấu các hạng tử mới áp dụng được hằng đẳng thức
Ví dụ 2.8: Phân tích đa thức - x4y2 - 8x2y - 16 thành nhân tử:
Giải:
- x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16)
=[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42]
= - (x2y + 4)2

Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 19


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

c) Bài tập áp dụng
* Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. a. x2 + 6x + 9
b. 10x – 25 – x2
2. a. x2 + 4y2 – 4xy b. 6x – 9 – x2
3. a, 4x2 – 25
4. a. x3 +

1
27

b. (3x + 1)2 - (x + 1)2
b. 8x3 -

1
8

c.

1 2

x – 64y2
25

c. (a + b)3 – (a - b)3

5. x3 + y3 + z3 – 3xyz
Hướng dẫn: áp dụng bài 31 (sgk – tr 16) ta có:
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
do đó : x3 + y3 + z3 – 3xyz = [(x + y)3 + z3] + [-3xy(x + y) - 3xyz]
= (x + y + z)[(x + y)2 – z(x + y) + z2] – 3xy(x + y
+z)
= (x + y + z)(x2 + y2 + x2 – xy – xz -zy)
*Tính nhanh:
1. a. 252 – 152
b. 372 – 132
c. 20092 - 92
2
2
2
2
2. 87 + 73 – 27 - 13
* Tìm x .biết:
1. 2 – 25x2 = 0
2. x2 – x +

1
=0
4

3. x3 – 0,25x = 0

4. x2 – 10x = - 25
*Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
a) Phương pháp
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một
trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức.
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.
- Thành lập nhóm dựa t heo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân
tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
b)Ví dụ
* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 3.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22)
b. xy - 5y + 2x – 10
c. 2xy + z +2x +yz
Giải: a. Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y)
x2 – xy + x – y
= (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y)
= (x – y)(x + 1)
Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
x2 – xy + x – y
= (x2 + x) - ( xy + y )
= x(x + 1) - y(x + 1)
= (x + 1)(x - y)
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 20

www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

b. xy - 5y + 2x - 10

= (xy - 5y) + (2x -10)
= y(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(y + 2)
c. Cách 1: nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz) ta có
2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức không thể phân tích được)
Cách 2: nếu nhóm (2xy + 2x) và (z + yz) ta có .
2xy + z +2x +yz
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
*Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 3.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. x2 – 2x + 1 – 4y2
b. x2 + 4x – y2 + 4
Giải:
a. x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2
= (x – 1)2 – (2y)2
= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)
b.Cách 1. Nhóm: (x2 + 4x) và – (y2 - 4 ) ta có
x2 + 4x – y2 + 4
= (x2 + 4x) - (y2 - 4 )

= x(x + 4) – (y – 2)(y + 2) (Đa thức không thể phân
tích tiếp)
Cách 2. Nhóm x2 + 4x + 4) – y2 ta có
x2 + 4x – y2 + 4
= (x2 + 4x + 4) – y2
= (x + 2)2 – y2
= (x + 2 – y)(x + 2 +y)
* Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 3.3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. x2 – 2x – 4y2 – 4y
b. x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
Giải:
a. Cách 1: Nhóm (x2 – 2x) và (- 4y2 - 4y) ta có
x2 – 2x – 4y2 – 4y
= (x2 – 2x) – (4y2 + 4y)
= x(x - 2)–4y(y + 1)(Đa thức không phân tích tiếp
được)
Cách 2: Nhóm (x2 – 4y2 ) và ( - 2x - 4y ) ta có
x2 – 2x – 4y2 – 4y
= (x2 – 4y2 ) - ( 2x + 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
3
b. Cách 1: Nhóm (x – x) và (3x2y + 3xy2 ) và (y3 – y ) ta có
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
= (x3 – x) + (3x2y + 3xy2 ) + (y3 – y )
= x(x2 - 1) +3xy(x + y) + y(y2 - 1)
= x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1)
(Đa thức không thể phân tích tiếp )
Cách 2: Nhóm (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) và (- x - y) ta có

x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y)
= (x + y)3 – ( x + y)
= (x + y)[(x + y)2 - 1]
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 21


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

= (x + y)(x + y - 1)(x + y +1)
Chú ý: Trong quá trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các hạng tử sau
khi nhóm.
ở ví dụ 3.3a: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. Học sinh có
thể đưa ra lới giải sau.
Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y
= (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
(đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
= (x – 2y)(x + 2y – 2)
(kết quả dấu sai)
Sai lầm của học sinh là:
- Nhóm x 2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu của hạng tử ở
ngoặc thứ hai sau khi nhóm)
Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) nên
Lời giải đúng:
x2 – 2x – 4y2 – 4y

= (x2 – 4y2 ) - (2x + 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
-Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấu
ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm.
-Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú
ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
* Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích
thành nhân tử phải được tiếp tục nếu không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã
sai hoặc có thể bị nhầm dấu trong quá trình nhóm, phải thực hiện lại. (Ví dụ 3.1c.
Cách1 ; Ví dụ 3.2b cách 1; Ví dụ 3.3a cách 1)
c) Bài tập áp dụng
* Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.
x2 – x – y2 – y
2.
x2 – 2xy + y2 – z2
3.
3x2 – 3xy – 5x + 5y
4.
xz + yz – 5(x + y)
5.
a3 – a2x – ay + xy
6.
xy(x + y) + yz(y+ z) + xz(x + z) + 2xyz
7.
x2 + 4x – y2 + 4
8.
x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2

9.
3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
10.
2x3 – 3x2 + 2x – 3
* Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức
1. x2 – 2xy – 4z2 + y2 tại x = 6; y = -4; z = 45
2. 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48
tại x = 0,5
* Tìm x ; biết
1. x(x - 2) + x - 2 = 0
2. 5x(x - 3) – x + 3 = 0
Trong quá trình giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta không thể chỉ
vận từng phương pháp riêng lẻ.Thực tế có nhiều bài toán để phân tích được cần phải
có sự phối hợp giữa các phương pháp. Vì vậy ngoài 3 phương pháp đã nêu ở trên,
trong chương trình SGK toán 8 còn giới thiệu thêm một phương pháp nữa, đó là: Phân
tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 22


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

*Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp
a) Phương pháp
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một cách

cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:
- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức nếu có.
- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là hằng đẳng
thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử.
b) Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 4.1: 3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4) ( Đặt nhân tử chung)
=3x (y - 2 )2 ( Dùng hằng đẳng thức)
Ví dụ 4.2: 2x2 + 4x + 2 – 2y2 = 2(x2 + 2x + 1 – y2) ( Đặt nhân tử chung)
= 2[(x2 +2 x + 1) – y2] (Nhóm các hạng tử)
= 2[(x + 1)2 – y2] ( Dùng hằng đẳng thức)
= 2(x + 1 - y)(x + 1 + y)
2
Ví dụ 4.3: 2x – 2y – x + 2xy – y2
= (2x – 2y) – (x2 - 2xy + y2) (Nhóm các hạng tử)
= 2(x - y) – (x - y)2
( Dùng hằng đẳng thức)
= (x - y)[2 – (x - y)] ( Đặt nhân tử chung)
= (x - y)(2 – x + y)
5 2
4 2
Ví dụ 4.4: 5x y - 10x y - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2
= 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) ( Đặt nhân tử chung)
= 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] (Nhóm các hạng tử)
= 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] ( Dùng hằng đẳng thức)
= 5x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z)
Ví dụ 4.5: 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy
=3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1)
( Đặt nhân tử chung)

2
2
2
=3xy (x − 2x + 1) − (y + 2ay + a )  (Nhóm các hạng tử)
2
2
=3xy ( x − 1) − ( y + a ) 

( Dùng hằng đẳng thức)

=3xy ( x − 1) − ( y + a )  ( x − 1) + ( y + a )  (Dùng hằng đẳng thức)
=3xy( x - 1 - y - a)(x - 1 + y +a )
Ví dụ 4.6: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.
(Bài tập 57- SBT-tr 9 toán 8 tập 1);
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách
giải phù hợp nhất, gọn nhất.
Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
Suy ra hệ quả sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).
Giải:
A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
= [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3
= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 – z3
= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 )
= 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 23

www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

= 3(x + y)(y + z)(x + z)
Khai thác ví dụ:
Quan sát ví dụ 4.1; 4.2 ta thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. Ta sử
dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau khi đặt nhân tử chung ta thấy các
hạng tử còn lại trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức) sau đó nhóm các hạng tử thích
hợp, dùng hằng đẳng thức phân tích tiếp đa thức. Ví dụ 4.3 ta thấy các hạng tử không
có nhân tử chung, chỉ có hạng tử thứ nhất và hạng tử thứ hai có nhân tử chung, 3 hạng
tử còn lại có dạng hằng đẳng thức, vì vậy chúng ta sử dụng phương pháp nhóm hạng
tử trước, tiếp đó tiến hành phân tích từng nhóm( bằng phương pháp đặt nhân tử chung
và hằng đẳng thức ) xuất hiện nhân tử chung, đa thức được phân tích tiếp. Các ví dụ
còn lại làm tương tự.
Như vậy để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng phối hợp
nhiều phương pháp nhưng không nhất thiết phải theo một trình tự nhất định nào. Các
phương pháp được sử một cách phù hợp trong từng trường hợp, từng bài toán cụ thể.
* Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phải phân tích đa thức đó một
cách triệt để.
c) Bài tập áp dụng
* Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. x4 + 2x3 + x2
2 .x3 – 2x2 + x
3. 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2
4. x3 + 2x2y + xy2 – 9x
5. x4- 2x2
6. x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
7. 5x2 + 5xy – x – y

8. 20z2 – 5x2 – 10xy – 5y2
* Tìm x .biết :
1. 5x(x - 1) = x – 1
2. 2(x + 5) – x2 – 5x = 0
3. x3-

1
x=0
4

4. (2x2 - 1) – (x + 3)2 = 0
5. x2(x - 3) + 12 – 4x = 0
* Tính nhanh :
1. x2 +

1
1
x+
2
16

tại x = 49,75

2. x2 – y2 – 2y – 1
tại x = 93 và y = 6
* Chứng minh :
1) (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
2) n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
 Khai thác ví dụ 4.6: Từ ví dụ 4.6 ta có thể mở rộng cho các bài tập sau:
1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên.

2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7)
Hướng dẫn:
Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) và x + y + z = 0; ⇔ x + y = – z
3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c)-SBT-tr6)
Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 24


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới thiệu bốn phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,
nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp. Tuy nhiên trong phần bài tập lại có
những bài không thể áp dụng ngay bốn phương pháp trên để giải, (Chẳng hạn như bài
tập 53, 57 sgk/tr 24-25). Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” một hạng tử thành hai
hạng tử khác hoặc “ thêm và bớt cùng một hạng tử ” thích hợp rồi áp dụng các phương
pháp trên để giải. Xin giới thiệu thêm về hai phương pháp này, để học sinh vận dụng
rộng rãi trong thực hành giải toán.
 . Các phương pháp khác (nâng cao)
*Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đối với đa thức bậc
2
hai ax + bx + c ).
b) Phương pháp
- Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất hiện
dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức.

b)Ví dụ
Ví dụ 5.1: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử.
Quan sát Đa thức trên ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, cũng không có
dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm các hạng tử. Như
vậy để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung ta cần phải có cách biến đổi khác.
Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một trong
các hạng tử của đa thức thành 2 hay nhiều hạng tử.
Giải:
Cách 1: ( tách hạng tử bậc 2: x2 )
x2 - 6x + 8
= 3x2 - 6x - 2x2 + 8
= 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)]
= (x - 2)(x - 4)
Cách 2: ( tách hạng tử bậc 1: - 6x)
x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8
= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 3: ( tách đồng thời hạng tử bậc nhất và hạng tử tư do: )
x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4
= (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 4: ( tách hạng tử tự do: )
x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1
= (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4)
x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12
= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
2
x - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24
= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)
Ví dụ 5.2: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)
Giải: Cách 1 (tách hạng tử bậc hai : 3x2)

3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2
= (2x – 2)2 – x2
= (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x)
= (x – 2)(3x – 2)
Cách 2 (tách hạng tử bậc nhất: – 8x)
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 25