skkn rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp đối với học sinh lớp 12

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học không gian là một môn khoa học nghiên cứu về hình dạng, độ lớn và vị trí
không gian của vật thể, là một môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Rất nhiều
em cảm thấy ngán ngại khi học môn học này, có em thuộc định lý, tính chất nhưng không
biết vận dụng vào giải bài tập, có em biết vẽ hình nhưng không đọc được hình…! Bài toán
tính thể tích khối chóp là một nội dung thường gặp trong các bài kiểm tra cuối học kỳ, bài
thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm. Phần lớn
các em cảm thấy không thật thoải mái khi gặp nội dung này, vì các em lúng túng khi vẽ
hình, không xác định được đường cao của khối chóp nên không lập được công thức tính
thể tích khối chóp. Việc học hình học không gian ở lớp 11, các em mới chỉ dừng lại ở
bước quan sát hình vẽ được chiếu trên màn hình trong các tiết dạy có ứng dụng công nghệ
thông tin, mà ít được hướng dẫn cụ thể từng thao tác để vẽ hình. Do vậy, việc truyền đạt
kiến thức liên quan đến hình học không gian nói chung và tính thể tích khối chóp nói riêng
đòi hỏi người Thầy cần có sự chọn lọc nhất định khi lồng ghép các ứng dụng công nghệ
thông tin vào bài giảng, phải kiên nhẫn, hướng dẫn các thao tác theo một trình tự nhất
định, từng bước giúp các em chủ động thực hiện và tìm ra kết quả bài toán.
Hoạt động chủ đạo và thường xuyên trong quá trình học toán của học sinh là hoạt
động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo và khắc sâu kiến thức. Do vậy
việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh
những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối
quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập
suy nghĩ và chủ động để giải bài tập và củng cố kiến thức.
Sách giáo khoa Hình học 12 (chuẩn và nâng cao) có nêu nội dung về “tính thể tích
khối đa diện”, phần lý thuyết thì rất đơn giản nhưng phần bài tập thì thật không hề đơn
giản đối với học sinh. Do kỹ năng giải toán hình học không gian nói chung và giải bài toán
liên quan đến tính thể tích khối chóp nói riêng còn nhiều hạn chế nên các em thường bị
mất điểm khi gặp những câu hỏi có liên quan đến nội dung này trong các đề thi tốt nghiệp
và tuyển sinh hàng năm.
Cảm thông với những băn khoăn , lo lắng của các em và từ thực tế giảng dạy, tôi đã
rút ra được một số kinh nghiệm trong việc thực hiện các bước cụ thể để hướng dẫn các em
tính thể tích khối chóp. Nhằm giúp các em chủ động ôn tập và tự tin chuẩn bị bước vào

các kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015 sắp tới, ngay từ đầu năm học 2014 –
2015, tôi chọn viết và thực hiện đề tài: Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp đối
với học sinh lớp 12
1


II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến
hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình
bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :
 Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
 Bước 2 : Tìm cách giải
 Bước 3 : Trình bày lời giải theo trình tự các bước thích hợp
 Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt với
hình học là hướng dẫn cho học sinh biết phân tích đề bài, thấy được sự liên quan giữa giả
thiết và kết luận, biết dựng hình và định hướng được cách giải.
Giải toán là một quá trình biến những tri thức tổng quát thành cái cụ thể, thành kinh
nghiệm của bản thận, là một chặng đường nhiều thử thách, đòi hỏi sự nỗ lực bền bỉ và đan
xen một chút sáng tạo của học sinh. Vì tìm được cách giải một bài toán là một phát minh.
Để giải một bài toán tính khoảng cách, ta thực hiện theo các bước sau :
 Bước 1 : Đọc đề và phân tích đề
 Bước 2 : Dựng hình phù hợp với nội dung của đề bài.
 Bước 3 : Liên hệ nội dung cần chứng minh với các định lý, công thức có liên quan
để giải bài toán.
Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải
toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình trừu tượng hoá và
khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ
thể để hướng dẫn các em làm quen dần với các bước cụ thể, nhận biết các dạng bài tập,

từng bước giúp các em hình thành kỹ năng, kỹ xảo, chủ động giải quyết các tình huống
xảy ra trong quá trình giải toán, là cơ sở để các em khắc sâu kiến thức.
2. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài
ư
.
Trong đề tuyển sinh đại học – cao đẳng năm 2014 vừa qua, đề thi của khối A, A1, D
và cao đẳng đều có bài toán tính thể tích khối chóp. Các em đều có chung một cảm nhận là
câu này khó, không làm được!. Qua tìm hiểu và trao đổi với các em thì nguyên nhân chính
là vẽ hình chưa chuẩn xác, không xác định được đường cao của khối chóp và lúng túng
trong tính toán do nhớ sai công thức.
a.

2


Bài toán tính thể tích khối chóp rất đa dạng nên đã tạo ra không ít khó khăn trong
quá trình hướng dẫn, truyền đạt của giáo viên và việc tiếp thu kiến thức của học sinh. Tuy
nhiên nếu biết sắp xếp và phân tích cụ thể các yếu tố có liên quan của bài toán, biết gợi mở
thì sẽ phát huy được tính tích cực của học sinh, tạo được hứng thú cho học sinh khi giải
bài toán tính thể tích khối chóp
b. B

.
hắc phục những hạn chế nêu trên, cần có những bước đi thật cụ thể:

Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, phải được thiết kế theo trình tự từ d đến khó,
chú vào các dạng toán cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần với các
dạng toán có liên quan.
ài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn học sinh ta
cần điều chỉnh một số giả thiết cho ph hợp với khả năng nhận thức của các em.

Cần tạo điều kiện cho các em có sự chuẩn bị bị ở nhà theo tổ nhóm, qua mỗi dạng toán
cần hướng dẫn các em nhận x t để rút ra những bài học kinh nghiệm nhằm khắc sâu kiến
thức và r n luyện kỹ năng giải bài toán tính toán.
+ Giáo viên cần hướng dẫn các em dựng hình và đọc được các chi tiết trên hình, làm cơ sở
định hướng công việc cần làm theo một trình tự nhất định, qua đó nâng cao nhận thức của
các em trong nhận định và giải quyết công việc trong cuộc sống sau này.
+ Qua mỗi bài tập, giáo viên cần hướng dẫn các em nhận xét là cở sở phân tích, suy luận
để giải quyết các bài tập khác có liên quan.
Các giải pháp tôi nêu ra ở phần sau là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có,
giải pháp mới này tỉ mỉ hơn, cụ thể và khoa học hơn; giúp các em tiếp thu và vận dụng tốt
hơn.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
ồm hai phần:
một: ệ thống kiến thức liên quan đến bài toán tính thể tích khối chóp.
: Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp
Các dạ

o

ư ng gặp :

 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
 Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
 Khối chóp đều
 Một số dạng khác
3


PHẦN MỘT
Hệ thống kiến thức liên quan đến bài toán tính thể tích khối chóp

Thông thường, bài toán về hình chóp được chia thành hai dạng như sau:
Hình chóp
Hì

Hình chóp có cạnh bên, mặt bên
vuông góc với mặ đ y
S

S

A

C

C

A

H

N
B

SA   ABC 

S

S

A

B

đều

A

C


H

M

B

B

D


O
C

 SAB    ABC 

Đa giác đáy:

Hình chóp tam giác đều

Hình chóp tứ giác đều

SH   ABC 

SO   ABCD 

- Tam giác vuông, tam giác cân

- Tam giác đều, tam giác thường
- Hình vuông, hình chữ nhật

- Hình thoi, hình bình hành, hình thang
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tam giác
Công thức tính di n tích tam giác:
1
1
1
bhb = chc
2
2
2
1
1
1
 bc sin A  ac sin B  ab sin C
2
2
2
abc


là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC )
4R
 pr r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC )
abc
với: p 
 p( p  a)( p  b)( p  c)
2

 S ABC  aha =
 S ABC

A
b
c

B

 S ABC

ha

a

H

C

 S ABC

 Các tam giác đặc biệt:
Cho tam giác ABC vuông tại A
A

B

H

 S ABC

Tam giác vuông
Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
 Định lí Pitago: BC 2  AB 2  AC 2

 BA2  BH .BC, CA2  CH .CB

 AB.AC  BC.AH

2
 AH  BH .CH



1
1
1


2
2

AH
AB
AC 2

C

4


1
2

 Diện tích tam giác ABC: S ABC  AB. AC
Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A

AC
BC
AB
 sin C  cos B 
BC
AC
 tan B  cot C 
AB
AB
 tan C  cot B 
AC

 sin B  cos C 

A

B

(

))
H

C

Cho tam giác ABC cân tại A

Tam giác cân
Gọi là trung điểm của BC  AH  BC

A

 AH  BH .tan B  CH .tan C
1
2

 Diện tích tam giác ABC: S ABC  AH .BC
B

)

(

C

H

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a
A

Tam giác đều
Gọi là trung điểm của BC  AH  BC
 Độ dài đường cao: AH 

a 3
2
1
2

 Diện tích tam giác ABC: S ABC  AH .BC 
B

a2 3
4

C

H

2. Tứ giác
A

Hình vuông
 Diện tích hình vuông ABCD cạnh bằng a

D

S ABCD  AB 2  a 2
O
B

 Độ dài đường chéo hình vuông ABCD cạnh bằng a
AC  BD  AB 2  a 2
Hình chữ nhật
 Diện tích hình chữ nhật ABCD

C

A

D

S ABCD  AB.BC
O

 Độ dài đường chéo hình chữ nhật ABCD
AC  BD  AB2  BC 2

C

B

Hình thoi
 Diện tích hình thoi ABCD

A

B

O
C

D

S ABCD 

1
AC .BD
2

5


 ai đường chéo hình thoi ABCD: AC  BD

Cho hình thang ABCD có AB / /CD
A

D

Hình thang
 Diện tích hình thang ABCD
S ABCD 

B

 AH  DC
 A
 H  DC

 Dựng: 

C

H

1
AH  AB  DC 
2

là đường cao của hình

thang ABCD

3. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
d
A

(

d’

M

H

P)

00    900

 Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa
đường thẳng d và đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc
của d trên mặt phẳng (P)
Thực hiện:
Bước 1. Tìm hình chiếu d’ của d trên (P)
Bước 2. hi đó, góc giữa d và (P) là góc giữa d và d’

4. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)

(Q

b

H

)

a

d

(P

00    900

 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt năm trên hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao
tuyến tại một điểm
Thực hiện:
Bước 1. Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
Bước 2. Tìm trong P) đường thẳng a vuông góc với d và
trong Q) đường thẳng b vuông góc với d
Bước 2. hi đó, góc giữa hai mặtt phẳng (P) và (Q) là góc
giữa hai đường thẳng a và b

5. Thể tích khối chóp
1
3

S

Công thức tính thể tích khối chóp: V  Bh

A

Trong đó:  B là diện tích đa giác đáy
 h là chiều cao của hình chóp

C

H
B

6. Thể tích khối tứ diện đều

Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a
A

B

D
H

 Tất cả các các cạnh đều bằng nhau
 Tất cả các mặt đều là tam giác đều
 Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD  AH   BCD  ,
khi đó A là đường cao của hình tứ diện đều.
 Thể tích khối tứ diện đều cạnh a:

M
C

6


(xem bài toán 20)

VABCD 

1
1 a 2 a 2 3 a3 2
AH .SBCD  .
.

3

3 3
4
12

đvtt)

PHẦN HAI
Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp
A. Phương pháp thực hiện. Để giải bài toán tính thể tích khối chóp, cần thực hiện theo
các bước sau:
+ Bước 1. Đọc kỹ nội dung đề bài, phân tích và nhận dạng khối chóp
+ Bước 2. Xác định đường cao của khối chóp.
+ Bước 3. Dựng hình và thể hiện nội dung của giả thiết trên hình vẽ
+ Bước 4. Lập công thức tính thể tích khối chóp
+ Bước 5. Tính diện tích đa giác đáy và tính độ dài đường cao của khối chóp
B. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.
 Yêu cầu đối với giáo viên:
+ Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, thiết kế theo trình tự từ d đến khó, cần
chú ý vào các dạng bài tập cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần
với các dạng toán có liên quan.
+ Bài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn giải,
giáo viên cần điều chỉnh một số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhận thức của học
sinh.
 Yêu cầu đối với học sinh:
+ Cần nắm vững phần lý thuyết, thuộc công thức và hoạt động tích cực trong các tiết
bài tập.
+ Qua mỗi dạng bài tập cần suy nghĩ để khắc sâu, làm cơ sở để hoàn thành các bài tập
theo yêu cầu của giáo viên.
C. Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp
1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

Bài toán 1. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy. iết AB  a 2, AC  SB  a 3 với 0  a ¡ . Tính thể tích khối chóp
S.ABC theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
S

Xác định đường cao của khối chóp
 SA vuông góc với mặt đáy
 SA là đường cao của khối chóp
A

 Đáy là tam giác A C vuông tại B

C

B

Bài gi i.
 Lập công thức tính thể tích khối chóp

1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC
Tam giác ABC vuông tại B:

7

 Tính độ dài cạnh góc vuông BC
 Tính diện tích tam giác ABC
 Tính độ dài đường cao SA

BC  AC 2  AB2  3a 2  2a 2  a

Diện tích tam giác ABC:
1
a2 2
AB.BC 
2
2
SA   ABC   SA  AB
S ABC 

Tam giác SAB vuông tại A:
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

SA  SB2  AB2  3a 2  2a 2  a
1
a3 2
VS . ABC  SA.S ABC 
đvtt)
3
6

Bài toán 2. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên SA
vuông góc với mặt đáy. iết AC  a 2, SB  a 3 với 0  a ¡ . Tính thể tích khối chóp
S.ABC theo a
Hướng dẫn

Hình vẽ
Nhận xét: ài toán 2 tương tự bài toán 1, chỉ
khác: đáy là tam giác A C vuông cân tại B

S

Xác định đường cao của khối chóp
 SA vuông góc với mặt đáy
 SA là đường cao của khối chóp

A

 Đáy là tam giác ABC vuông tại B

C

B

Bài gi i.
 Lập công thức tính thể tích khối chóp

1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC
Tam giác ABC vuông cân tại B:

 Tính độ dài cạnh góc vuông  AB  BC 
 Tính diện tích tam giác ABC
 Tính độ dài đường cao SA

2 AB 2  AC 2  2a 2  AB  a

Diện tích tam giác ABC: S ABC 
SA   ABC   SA  AB

1
a2
AB 2 
2
2

Tam giác SAB vuông tại A:
SA  SB2  AB2  3a2  a2  a 2
1
a3 2
VS . ABC  SA.S ABC 
đvtt)
3
6

 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài toán 3. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng 2a với 0  a ¡ ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. iết SB  a 5 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Hướng dẫn
Nhận xét: ài toán 3 tương tự bài toán 1, chỉ
khác: đáy là tam giác đều ABC cạnh 2a

Xác định đường cao của khối chóp
 SA vuông góc với mặt đáy

 SA là đường cao của khối chóp

Hình vẽ
S

A

C
M

8


B

 Đáy là tam giác đều ABC cạnh 2a
Bài gi i.

1
3

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC

 Tính độ dài đường cao tam giác đều

Trong tam giác đều ABC cạnh 2a , gọi M là

AB 3

AM 
2

 Tính diện tích tam giác ABC
 Tính độ dài đường cao SA

 AM  BC

trung điểm của BC  
2a 3
a 3
 AM 

2

Diện tích tam giác ABC:
1
AM .BC  a 2 3
2
SA   ABC   SA  AB
S ABC 

Tam giác SAB vuông tại A:
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

SA  SB2  AB2  5a 2  4a 2  a
1
a3 3
VS . ABC  SA.S ABC 
đvtt)

3
3

Bài toán 4. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại B, AC  a với
0  a ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600 .
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét: ài toán 4 tương tự bài toán 2, chỉ
thêm: góc giữa SB và (ABC) bằng 600

S

Xác định đường cao của khối chóp
 SA vuông góc với mặt đáy
 SA là đường cao của khối chóp

A

C
600

(

 Đáy là tam giác A C vuông cân tại B

B

Bài gi i.
 Lập công thức tính thể tích khối chóp

1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC
Tam giác ABC vuông cân tại B:
a
2

 Tính độ dài cạnh góc vuông  AB  BC 

2 AB 2  AC 2  a 2  AB 

 Tính diện tích tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC: SABC 

 Xác định góc giữa SB với (ABC)

SA   ABC   AB là hình chiếu vuông góc của

 Tính độ dài đường cao SA

SB trên (ABC)
·  600
 góc giữa SB với (ABC) là SBA
Tam giác SAB vuông tại A:
·  tan 600 
tan SBA

 Tính thể tích khối chóp S.ABC

1
a2
AB 2 
2
4

SA
a 3
 SA  AB.tan 600 
AB
2

9


1
a3 6
VS . ABC  SA.S ABC 
3
24

đvtt)

Bài toán 5. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng a với 0  a ¡ ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 600 . Tính
thể tích khối chóp S.ABC theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ

Nhận xét: ài toán 5 tương tự bài toán 3, chỉ
thêm: góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng 600

S

Xác định đường cao của khối chóp
 SA vuông góc với mặt đáy
 SA là đường cao của khối chóp

A

C

0

60 (

M
B

 Đáy là tam giác đều ABC cạnh a
Bài gi i.
 Lập công thức tính thể tích khối chóp

1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC
Trong tam giác đều ABC cạnh a , gọi M là

 Tính độ dài đường cao tam giác đều
AM 

AB 3
2

 Tính diện tích tam giác ABC

 Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABC)

 AM  BC

trung điểm của BC  
a 3
 AM 

2

Diện tích tam giác
1
a2 3
AM .BC 
2
4
SA   ABC   SA  BC

ABC: S ABC 

 BC  SA
 BC   SAM   BC  SM

 BC  AM

 SBC    ABC   BC

 SM   SBC  , SM  BC  góc giữa hai mặt

 AM   ABC  , AM  BC
·  600
phẳng (SBC) và (ABC) là SMA

Tam giác SAM vuông tại A:
 Tính độ dài đường cao SA

·
tan SMA
 tan 600 

Hướng dẫn

Hình vẽ

SA
3a
 SA  AM .tan 60 0 
AM
2
3

1
a 3
 Tính thể tích khối chóp S.ABC
VS . ABC  SA.S ABC 
đvtt)
3
8
Bài toán 6. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a với 0  a ¡ ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt bên (SCD) tạo với mặt đáy một góc 600 . Tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo a

Nhận xét: ài toán 6 có đáy là hình vuông
ABCD cạnh a và góc giữa hai mặt phẳng
(SCD) và (ABCD) bằng 600

S

A

600(

D

10


Xác định đường cao của khối chóp
 SA vuông góc với mặt đáy
 SA là đường cao của khối chóp
 Đáy là hình vuông A CD cạnh a

 Lập công thức tính thể tích khối chóp
 Tính diện tích hình vuông ABCD

Bài gi i.
Thể tích khối chóp S.ABCD:
1
VS . ABCD  SA.S ABCD
3

Diện tích hình vuông ABCD:
SA   ABCD   SA  CD

 Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SCD)
và (ABCD)

S ABCD  a 2

CD  SA
 CD   SAD   SD  CD

CD  AD

 SCD    ABCD   CD

 SD   SCD  , SD  CD  góc giữa hai mặt

 AD   ABCD  , AD  CD
·  600
phẳng (SCD) và (ABCD) là SDA

 Tính độ dài đường cao SA

Tam giác SAD vuông tại A:

SA
 SA  AD.tan 600  a 3
AD
 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
1
a3 3
VS . ABCD  SA.S ABCD 
đvtt)
3
3
Bài toán 7. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng 2a với
0  a ¡ cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
·  tan 600 
tan SDA

Hướng dẫn

Hình vẽ

Nhận xét: ài toán 7 tương tự bài toán 6: có
đáy là hình vuông A CD cạnh 2 a và góc
giữa cạnh bên SC và (ABCD) bằng 600

S

Xác định đường cao của khối chóp
 SA vuông góc với mặt đáy
 SA là đường cao của khối chóp
 Đáy là hình vuông A CD cạnh 2a

A

D
600

B

(
C

Bài gi i.
1
3

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SA.S ABCD

 Tính diện tích hình vuông ABCD

Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  4a 2
AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh
bằng 2a  AC  2 2a
SA   ABCD   AC là hình chiếu vuông góc của

SC trên (ABCD)
·  600
 góc giữa SC và (ABCD) là SCA

 Tính độ dài đường chéo SC của hình
vuông ABCD cạnh bằng 2a
 Xác định góc giữa cạnh SC và (ABCD)

11


Tam giác SAC vuông tại A:
 Tính độ dài đường cao SA

SA
 SA  AC.tan 600  2a 6
AC
1
8a 3 6
 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
VS . ABCD  SA.S ABCD 
đvtt)
3
3
Bài toán 8. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình thoi cạnh bằng a với 0  a ¡ ,
·
·  450 .
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, BAD
 1200 , M là trung điểm của BC và SMA
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

(Trích đề tuyển sinh khối D năm 2013)
·  tan 600 
tan SCA

Hướng dẫn
Nhận xét:

Hình vẽ
S
A
0

120

B

)600

D

A

M

D
0

120

C

(
B

C

M

Bài gi i.
 Lập công thức tính thể tích khối chóp
 Tính diện tích hình thoi ABCD

1
3
0
·
 120  ·
ABC  600
ABCD là hình thoi có BAD
a 3
 ABC là tam giác đều cạnh a  AM 
2

Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SA.S ABCD

Diện tích hình thoi ABCD:

 Tính độ dài đường cao SA

S ABCD  2S ABC  AM .BC 

 Tam giác SAM vuông cân tại A

·  450
Tam giác SAM vuông tại A và có SMA
 SA  AM 

 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

a2 3
2

VS . ABCD

a 3
2

1
a3
 SA.S ABCD 
3
4

đvtt)

Bài toán 9. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình thang vuông tại A và D,
AD  CD  a, AB  3a với 0  a ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC
tạo với đáy một góc bằng 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn
Nhận xét:

Hình vẽ
S

3a

A

B

a

A

B

450

D

a

(

C
D

C

12

Bài gi i.
1
3

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SA.S ABCD

 Tính diện tích hình thang ABCD

Diện tích hình thang ABCD:

 Tính độ dài đường cao SA

S ABCD 

1
AD  AB  CD   2a 2
2

ADC vuông

tại D  AC  AD2  DC 2  a 2

SA   ABCD   AC là hình chiếu vuông góc của

 Tam giác SAC vuông cân tại A

SC trên (ABCD)
·  450
 góc giữa SC và (ABCD) là SCA
·  450  SA  AC  a 2
SAC vuông tại A và SCA

 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

1
2a 3 2
VS . ABCD  SA.S ABCD 
đvtt)
3
3

Bài toán 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a với
0
0  a ¡ cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SD và mặt phẳng (SAB) bằng 30 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
(Trích đề tốt nghiệp THPT năm 2013)

Hướng dẫn

Hình vẽ

Nhận xét:
 Để tính độ dài đường cao SA của khối
chóp cần xác định được góc giữa SD và mặt
phẳng (SAB)
 Cần xác định hính chiếu vuông góc của

SD trên mặt phẳng (SAB)
 Cần chứng minh: AD   SAB 

S
300

A

D

B

 Lập công thức tính thể tích khối chóp
 Tính diện tích hình vuông ABCD

C

Bài gi i.
1
3

Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SA.S ABCD
Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  a 2

 Tính độ dài đường cao SA

SA   ABCD   SA  AD 

  AD   SAB 
AB  AD



 SA là hình chiếu vuông góc của SD trên

(SAB)
ASD  300
 góc giữa SD và (SAB) là ·

 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

SAD vuông

tại D, ta có:

tan ·
ASD  tan 300 

SA
a
 SA  AD.tan 300 
AD
3

13


1
a3 3
VS . ABCD  SA.S ABCD 
đvtt)

3
3

2. Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy
Bài toán 11. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là
tam giác đều cạnh a với 0  a ¡ và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể
tích khối chóp S.ABC theo a
( Trích đề tuyển sinh khối D năm 2014)

Hướng dẫn
Xác định đường cao của khối chóp

Hình vẽ
S

 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau và
cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng
nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với
giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng
kia.

A

C
H
B

Bài gi i.
Trong tam giác đều SBC cạnh a , gọi H là trung
 SH  BC


 Xác định đường cao của khối chóp
điểm của BC  
a 3
 SH 

2
Tính độ dài đường cao SH
 SBC    ABC 

 SBC    ABC   BC  SH   ABC 

 SH   SBC  , SH  BC
1
Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC
 Lập công thức tính thể tích khối chóp
3
 AH  BC

ABC vuông cân tại A, ta có: 
 Tính diện tích tam giác ABC
BC a
 AH  2  2
1
a2
Diện tích tam giác ABC: SABC  AH .BC 
2
4
3
1

a 3
 Tính thể tích khối chóp S.ABC
VS . ABC  SH .S ABC 
đvtt)
3
24
ABC  300 , mặt bên
Bài toán 12. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại A, ·

S C là tam giác đều cạnh a với 0  a ¡ và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
( Trích đề tuyển sinh khối A và A1 năm 2013)
Hướng dẫn
Nhận xét:

Hình vẽ
S

 ài toán 9 tương tự bài toán 8
 Đáy là tam giác vuông tại A
A

( B

H

14


 Cần khai thác giả thiết: Đáy là tam giác

ABC vuông tại A và ·
ABC  300 , BC  a
 ABC là nửa tam giác đều cạnh BC  a

300

Bài gi i.
Trong tam giác đều SBC cạnh a , gọi H là trung

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

 SH  BC

điểm của BC  
a 3
 SH 

2
 SBC    ABC 

 SBC    ABC   BC  SH   ABC 

 SH   SBC  , SH  BC
1
Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC
3

 Tính diện tích tam giác ABC

Tam giác ABC vuông tại A, ta có:

 Xác định đường cao của khối chóp
Tính độ dài đường cao SH

AB
a
 AB  BC.s in300 
BC
2
Tam giác ABC là nửa tam
a 3
a
AC
a 3
giác đều cạnh BC  a
ABC  cos 300 
 AC  BC.cos 300 
 cos ·
2
BC
2
C
A
2
1
a 3
Diện tích tam giác ABC: S ABC  AB. AC 
2
8
3

1
a
VS . ABC  SH .S ABC 
đvtt)
 Tính thể tích khối chóp S.ABC
3
16
Bài toán 13. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại B, BA  3a, BC  4a,
·  300 . Tính
SB  2a 3 với 0  a ¡ , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy và SBC
B

thể tích khối chóp S.ABC theo a
Hướng dẫn
Nhận xét:
 Đáy là tam giác vuông, biết độ dài hai cạnh

ABC  sin 300 
 sin ·

( Trích đề tuyển sinh khối D năm 2011)

Hình vẽ
S

góc vuông, d dàng tính được diện tích đáy.
  SBC    ABC  , do đó chỉ cần tìm một
đường thẳng nằm trong (SBC) và vuông góc
với giao tuyến BC  đường cao của khối
chóp

 Xác định đường cao của khối chóp

0

B

) 30

H

C

A

Bài gi i.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC
 SH  BC

 SBC    ABC 

 SBC    ABC   BC  SH   ABC 

 SH   SBC  , SH  BC

15


 Lập công thức tính thể tích khối chóp
Tính độ dài đường cao SH

 Tính diện tích tam giác ABC

1
3
·
Tam giác SBH vuông tại H và SBC  300
·  sin 300  SH  SH  SB.s in300  a 3
sin SBC
SB
1
Diện tích tam giác ABC: S ABC  BA.BC  6a 2
2
1
VS . ABC  SH .S ABC  2a 3 3 đvtt)
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC

 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài toán 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết AC  2a, BD  4a với 0  a ¡ . Tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
A
Nhận xét:
S
a
B

2a

O

D

C

A

 Cần nắm vững tính chất của hình thoi để
tính diện tích đáy

H

D
O

B

C

Bài gi i.
Trong tam giác đều SAB , gọi
 Xác định đường cao của khối chóp

 Lập công thức tính thể tích khối chóp
 Tính diện tích hình thoi ABCD

là trung điểm của

 SH  AB

AB  
AB 3
 SH 

2
 SAB    ABCD 

 SAB    ABCD   AB  SH   ABCD 

 SH   SAB  , SH  AB
1
Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SH .S ABCD
3
1
Diện tích hình thoi ABCD: S ABCD  AC.BD  4a 2
2

Gọi O  AC  BD , tam giác AOB vuông tại O
AB  OA2  OB2  a 5

Tính độ dài đường cao SH

Độ dài đường cao khối chóp: SH 

 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

1
2a 3 15
VS . ABCD  SH .S ABCD 
3
3

a 15
2

đvtt)

Bài toán 15. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng 2a với 0  a ¡ .
Biết SA  SB , mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp
S.ABC theo a
(Trích đề kiểm tra học kỳ I lớp 12 năm học 2014 – 2015 của Tỉnh Đồng Nai)
Hướng dẫn
Hình vẽ
S
 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau và

16
A

C


cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng
nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với
giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng
kia.

 Xác định đường cao của khối chóp

Bài gi i.
Trong tam giác cân SAB , gọi
AB  SH  AB

là trung điểm của

 SAB    ABC 

 SAB    ABC   AB  SH   ABC 

 SH   SAB  , SH  AB
 Lập công thức tính thể tích khối chóp
1
Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC
3
CH  AB
Trong tam giác đều ABC cạnh 2a có: 
Tính độ dài đường cao SH

CH  a 3
1
Diện tích tam giác ABC: SABC  CH . AB  a 2 3
 Tính diện tích tam giác ABC
2
1
VS . ABC  SH .S ABC  2a 3 3 đvtt)
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

3
Bài toán 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a với 0  a ¡ , mặt bên

SA là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a
( Trích đề tuyển sinh khối B năm 2013)
Hướng dẫn
Nhận xét:

Hình vẽ
S

 Mặt bên SA là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
( d dàng xác định đường cao của khối chóp)

A

D

H
B

 Xác định đường cao của khối chóp
Tính độ dài đường cao SH

 Lập công thức tính thể tích khối chóp
 Tính diện tích hình vuông ABCD

C

Bài gi i.
Trong tam giác đều SAB cạnh a , gọi H là trung
 SH  AB

điểm của AB  
a 3
 SH 

2
 SAB    ABCD 

 SAB    ABCD   AB  SH   ABCD 

 SH   SAB  , SH  AB
1
Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SH .S ABCD
3

Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  a 2

17


 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

1
a3 3
VS . ABCD  SH .S ABCD 
3

6

đvtt)

3. Khối chóp đều
Bài toán 17. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a
với 0  a ¡ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét: ình chóp tam giác đểu là hình
chóp đều có đáy là tam giác đều, tâm H của
đáy là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên
đáy
 AB  BC  CA  a 3

S

A

C


H

 SA  SB  SC  2a

M
B

 Xác định đường cao của khối chóp

Bài gi i.
Trong tam giác đều ABC cạnh a 3 , gọi M là
 AM  BC

trung điểm của BC  
3 3a

 AM  a 3.

2
2
Gọi H là trọng tâm của ABC  SH   ABC 

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC
 H  AM

2
2 3a

AH  AM  .  a

3
3 2


 Tính diện tích tam giác ABC
Tính độ dài đường cao SH
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

1
2

Diện tích tam giác ABC: S ABC  AM .BC 

3a 2 3
4

Tam giác SHA vuông tại H.
SH  SA2  AH 2  4a 2  a 2  a 3
1
a3 3
VS . ABC  SH .S ABC 
đvtt)
3
4

Bài toán 18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng a 3 với
0  a ¡ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét: Hình chóp tứ giác đểu là hình
chóp đều có đáy là hình vuông, tâm O của
đáy là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên
đáy

 AB  BC  CD  DA  2a

S

A

D

O

18


 SA  SB  SC  SD  a 3

B

C

 Xác định đường cao của khối chóp

Bài gi i.
Gọi O  AC  BD  SO   ABCD 

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SO.S ABCD

 Tính diện tích hình vuông ABCD

Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  4a 2

1
3

AC là đường chéo hình vuông cạnh 2a
 AC  2a 2 . Dó đó: OA 

AC
a 2
2

Tam giác SOA vuông tại O.
Tính độ dài đường cao SO
 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

SO  SA2  OA2  3a2  2a2  a
1
4a 3
VS . ABCD  SO.S ABCD 
đvtt)
3
3

Bài toán 19. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a với 0  a ¡ , cạnh bên
tạo với đáy một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn
Nhận xét:


Hình vẽ
S

ài toán 19 tương tự bài toán 18

 AB  BC  CD  DA  2a
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450

A

)

450

B

 Xác định đường cao của khối chóp
 Lập công thức tính thể tích khối chóp
 Tính diện tích hình vuông ABCD

D

O
C

Bài gi i.
Gọi O  AC  BD  SO   ABCD 
1
3

Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SO.S ABCD

Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  4a 2
 Xác định góc giữa một cạnh bên với đáy SO   ABCD   BO là hình chiếu vuông góc của
cạnh bên SB trên (ABCD)
· là góc giữa SB và (ABCD); SBO
·  450
 SBO
Tính độ dài đường cao SO

Tam giác SOB vuông tại O.
 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

SO
 SO  OB  a 2
OB
1
4a 3 2
 SO.S ABCD 
đvtt)
3
3

·  tan 450 
tan SBO

VS . ABCD

Bài toán 20. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a với 0  a ¡

19


Hướng dẫn
Nhận xét:

Hình vẽ
A

 Cách giải tương tự bài 17
 Hình tứ diện đều là hình chóp đều

 Các mặt đều là tam giác đều

B

D


H

 VABCD  VA.BCD

M
C

 Xác định đường cao của khối tứ diện
 Lập công thức tính thể tích khối tứ diện

Bài gi i.
Trong tam giác đều BCD cạnh a , gọi M là trung
 BM  CD

điểm của CD  
a 3
 BM 

2
Gọi H là trọng tâm của BCD  AH   BCD 

Thể tích khối tứ diện ABCD:
VABCD  VA.BCD 

 Tính diện tích tam giác BCD

Tính độ dài đường cao AH
 Tính thể tích khối tứ diện ABCD

1
AH .S BCD
3

 H  BM


2
2 a 3 a 3

 BH  BM  .

3
3 2
3

1
2

Diện tích tam giác BCD: SBCD  BM .CD 

a2 3
4

Tam giác AHB vuông tại H.
AH  AB 2  BH 2  a 2 
VABCD  VA. BCD 

a2 a 2

3
3

1
a3 2
AH .S BCD 
3
12

đvtt)

4. Một số dạng khác

Bài toán 21. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng 2a , với
0  a ¡ . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng A CD) là trung điểm H của
cạnh AB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối
chóp S.ABCD theo a
(Trích đề kiểm tra học kỳ II lớp 12 năm học 2014 – 2015 của Tỉnh Đồng Nai)

Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét:
 Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên

S

mặt phẳng A CD) là trung điểm H của
cạnh AB
dàng xác định
 SH   ABCD  (d

A

D
600

H
B

(

M

20


đường cao của khối chóp)
 Xác định góc giữa hai măt phẳng (SCD)
và (ABCD)

C

Bài gi i.

SH   ABCD 
1
3

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SH .S ABCD

 Tính diện tích hình vuông ABCD

Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  4a 2
Gọi M là trung điểm của CD  HM  CD

 Xác định góc giữa hai mặt phẳng
(SCD) và (ABCD)

SH   ABCD   SH  CD 
  CD   SHM   SM  CD
HM  CD


 SCD    ABCD   CD

·
 SM   SCD  , SM  CD  SMH là góc giữa

 HM   ABCD  , HM  CD
·
 600
hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD); SMH

Tam giác SHM vuông tại H:
Tính độ dài đường cao SH
 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

·
tan SMH
 tan 600 
1
VS . ABCD  SH .S ABCD
3

SH
 SH  HM .tan 600  2a 3
HM
8a 3 3

đvtt)
3

Bài toán 22. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng a , với
0  a ¡ . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng A CD) là điểm H thuộc cạnh
AB sao cho HA  2 HB . Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối
chóp S.ABC theo a
(Trích đề tuyển sinh khối A và A1 năm 2014 )

Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét:
 Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên
mặt phẳng A C) là điểm H thuộc cạnh
AB sao cho HA  2 HB
 SH   ABC  (d dàng xác định đường
cao của khối chóp)
 Xác định góc giữa SC và (ABC)

S

600(

A

C

M
H

B

Bài gi i.

SH   ABC 

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC
Trong tam giác đều ABC cạnh a , gọi M là trung điểm
CM  AB

của AB  
a 3
CM 

2

21


 Tính diện tích tam giác đều ABC
 Xác định góc giữa SC và (ABC)
 MA  MB
AB a
 MH 


6
6

 HA  2 HB

1
a2 3
S

CM
.
AB

Diện tích tam giác ABC: ABC 2
4
SH   ABC   AC là hình chiếu vuông góc của SC
·  600
trên (ABC)  góc giữa SC và (ABC) là SCA

M là trung điểm của AB  MH 

AB a

6
6

a 7
3
a 21
Tam giác SHC vuông tại H: SH  HC.tan 600 
3
3
1

a 7
VS . ABC  SH .S ABC 
đvtt)
3
12

Tam giác MHC vuông tại M: CH  CM 2  MH 2 
Tính độ dài đường cao SH
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài toán 23. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a , với
là giao điểm của CN và DM.
0  a ¡ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A và AD;
Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH  a 3 . Tính thể tích khối chóp
S.CDNM theo a
(Trích đề tuyển sinh khối A năm 2010 )
Hướng dẫn
Nhận xét:
 Tính thể tích khối chóp S.CDNM

Hình vẽ
S

 Dựa vào hình học phẳng để tính diện tích
tứ giác CDNM
A

N

D

N

A

H

D
H

M
M
B

C

B

C

Bài gi i.
 Lập công thức tính thể tích khối chóp

 Tính diện tích tứ giác CDNM

SH   ABCD   SH   CDNM 
1
3

Thể tích khối chóp S.CDNM: VS .CDNM  SH .SCDNM

 SH  a 3
Diện tích tứ giác CDNM
 SCDNM  S ABCD   SAMN  SBMC 
1
1

 AB 2   AM 2 . AN 2  BM 2 .BC 2 
2
2

2
2
2
 a a  5a
 a2     
4
8
 8

 Tính thể tích khối chóp S.CDNM

VS .CDNM

1
5a 3 3
 SH .SCDNM 
3
24

đvtt)

Bài toán 24. Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy
trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, biết AB  AC  5a, BC  6a ,với 0  a ¡ .
22


Góc giữa mặt bên (SBC) với mặt đáy bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Hướng dẫn
Nhận xét:
 là tâm đường tròn nội tiếp ABC

Hình vẽ
S

A
N

P

r

r
r

B

A

P

H

M

N

C


H

60

C

0

(
M

B

Bài gi i.
 Lập công thức tính thể tích khối chóp
 Tính diện tích tam giác ABC
Sử dụng công thức Hêrông:

S

p  p  a  p  b  p  c 

SH   ABC 
1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC
Nửa chu vi tam giác ABC:
1
 AB  BC  CA  8a ; p  AB  8a  5a  3a
2
p  AC  8a  5a  3a ; p  BC  8a  6a  2a

p

Diện tích tam giác ABC:
 Xác định góc giữa (SBC) và (ABC)

S  p  p  AB  p  AC  p  BC   8a.3a.3a.2a  12a 2

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của H
trên BC, AB và AC  HM  BC
 HM  HN  HP  r bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác ABC)

Tính độ dài đường cao SH
Sử dụng công thức: S  pr

SH   ABC   SH  BC
 BC   SHM   SM  BC


 HM  BC
 SBC    ABC   BC

 SM   SBC  , SM  BC  góc giữa hai mặt phẳng

 HM   ABC  , HM  BC
·
 600
(SBC) và (ABC) là SMH

Ta có:
SABC  pr  p.HM  HM 

SABC 12a 2 3a


p
8a
2

Tam giác SHM vuông tại H
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

SH  HM .tan 600 

3a 3
2

1
VS . ABC  SH .S ABC  6a 3 3

3

đvtt)

Bài toán 25. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại B, AC  2a , với
ACB  300 , hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của
0  a ¡ , ·
cạnh AC và SH  a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
23


(Trích đề thi minh họa – kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015 )

Hướng dẫn
Nhận xét:
 Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên

Hình vẽ
S

mặt đáy là trung điểm của cạnh AC
 D dàng xác định được đường cao của
khối chóp và hình thành công thức tính thể
tích khối chóp.
 Để tính diện tích đáy, tham khảo cách tính
ở bài toán 12

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

A


H

300 (

C

B

Bài gi i.
Ta có: SH   ABC  ; SH  a 2
1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC
 Tính diện tích tam giác ABC
1
AB.BC
2
1
 AC.BC sin 300
2

SABC 
S ABC

 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Tam giác ABC vuông tại B, ta có:

AB
 AB  AC.s in300  a
AC
BC
ACB  cos 300 
 BC  AC.cos 300  a 3
 cos ·
AC
1
a2 3
Diện tích tam giác ABC: SABC  AB.BC 
2
2
3
1
a 6
VS . ABC  SH .S ABC 
đvtt)
3
6
ACB  sin 300 
 sin ·

Bài toán 26. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng a ,với
0  a ¡ . Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy, cạnh SB tạo với mặt
đáy một góc bằng 300 .Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Hướng dẫn

Hình vẽ

 Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau

S

theo giao tuyến d và cùng vuông góc với
mặt phẳng (R) thì d   R 
 SAB    SAC   SA
  SAB    ABC 
 SA   ABC 

A



 SAC    ABC 

C
300

(

M
B

 Xác định đường cao của khối chóp

Bài gi i.

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC

 SAB    SAC   SA

 SA   ABC 
 SAB    ABC 

 SAC    ABC 

1
3

24


Trong tam giác đều ABC cạnh a , gọi M là trung
 AM  BC

điểm của BC  
a 3
 AM 

2

 Tính diện tích tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC: SABC

1
a2 3

 AM .BC 
2
4

SA   ABC   AB là hình chiếu vuông góc của SB
·  300
trên (ABC)  góc giữa SB và (ABC) là SBA

Tam giác SAB vuông tại A: SA  AB.tan 300 
Tính độ dài đường cao SA
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

1
a3
VS . ABC  SA.S ABC 
3
12

a
3

đvtt)

5. Bài tập áp dụng.
Đề bài

Đáp án

Bài 1. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại đỉnh
C, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. iết SA  a, SB  a 5 , với

0  a ¡ . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

VS . ABC 

a3
3

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy A C là tam giác đều cạnh a , với
0  a ¡ , mặt bên S C là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mặt đáy A C). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

VS . ABC 

a3
8

Bài 3. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình chữ nhật.
Biết AB  a ,với 0  a ¡ cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SC tạo với
mặt phẳng đáy một góc 450 và tạo với mặt phẳng (SAB) góc 300 . Tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài 4. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác cân tại đỉnh B,
AC  a 3 , với 0  a ¡ , ·
ABC  1200 . Biết SA  SB  SC , cạnh bên SA tạo
với mặt đáy một góc 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

VS . ABCD 

a3 2
3

VS . ABC 

a3
4

VS . ABC 

a3
2

(Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABC), vì SA  SB  SC
nên OA  OB  OC )

Bài 5. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại B,
AB  a , AC  2a với 0  a ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 600 .Tính thể tích khối
chóp S.ABC theo a
Bài 6. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng
a , với 0  a ¡ . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S là một điểm thuộc
BD sao cho HD  3HB . Góc giữa cạnh bên SC với mặt đáy bằng 600 .Tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a

VS . ABCD 

a 3 30
12

25