skkn một số PHƯƠNG PHÁP tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số

Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

Tên sáng kiến kinh nghiệm:  
 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
        Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là một trong những 
bài toán quen thuộc, thường xuyên xuất hiện trong cấu trúc đề thi tuyển sinh của 
Bộ Giáo dục, xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh Thành trong cả 
Nước. Tuy nhiên đây lại là một dạng bài toán khó đối với học sinh bởi vì các dạng 
bài toán  rất  phong  phú,  phạm  vi  nghiên  cứu  của  vấn  đề  lại  rất  rộng.  Thế  nhưng, 
sách giáo khoa lại có rất ít các bài tập dạng này và đồng thời do những điều kiện 
khách quan  mà  sách  giáo  khoa  không  hệ  thống  lại  các phương  pháp  giải  cụ  thể. 
Chính vì vậy việc cần thiết phải cung cấp cho học sinh các phương pháp cơ bản 
giải dạng toán “tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số”, việc này sẽ giúp cho học 
sinh dễ dàng tiếp cận được các bài toán này. 
       Trong quá trình dạy học, tôi thấy không phải học sinh nào cũng tự nghiên cứu 
hay đọc hiểu được tài liệu một cách dễ dàng. Với mong muốn bằng kinh nghiệm 
trong  vận  dụng  phương  pháp  của  mình,  tôi  viết  chuyên  đề  này  với  mục  đích  là 
hướng  dẫn  cho  học  sinh  của  lớp  mình  giảng  dạy  một  cách  chi  tiết  nhất,  dễ  hiểu 
nhất để các em có thể vận dụng và giải các bài toán thuộc dạng này một cách hiệu 
quả. 
       Trong chuyên đề này các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
được vận dụng theo từng phương pháp cụ thể. Các ví dụ được phân tích và có lời 
giải chi tiết, ví dụ được áp dụng từ mức độ cơ bản tới nâng cao, để mọi học sinh có 
thể tham khảo và từ đó có thể giải quyết các bài toán tương tự. 
       Hy vọng rằng qua chuyên đề này, học sinh có thể biết “quy lạ về quen” khi 
đứng trước một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Do thời gian 
thực hiện chuyên đề chưa được nhiều, vì vậy không thể tránh khỏi những thiếu 
sót. Tôi rất mong được Quý thầy cô và các em học sinh đóng góp ý kiến để nội 

dung của chuyên đề hoàn thiện hơn.  
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Dựa trên tinh thần đổi mới của phương pháp dạy học đó là: dựa vào hoạt 
động tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn thích 
hợp của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo góp phần hình thành 
phương pháp và nhu cầu, khả năng tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm 
tin, niềm vui trong học tập. Và thực sự tạo được  môi trường “Trường  học  thân 
thiện. Học sinh tích cực”. Thực hiện phương châm giáo dục “Học phải đi đôi với 
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 1


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

hành”,  nếu  việc  học  không  được  vận  dụng  vào  thực  tế,  không  giải  quyết  được 
những vấn đề mà thực tế đặt ra thì việc học cũng trở nên vô ích.  
        Trên  những  tiêu  chí  đổi  mới  đó,  đồng  thời  với  việc  nắm  bắt  thực  trạng  học 
sinh trong trường THCS-THPT Bàu Hàm, tôi thấy đa phần các em chỉ mới áp dụng 
các  dạng toán  cơ  bản của  sách  giáo khoa,  khi gặp  các  bài  toán nâng cao  các em 
thường bối rối, sợ hãi. Việc sợ hãi này nguyên nhân sâu xa là do các em chưa tìm 
được  phương  pháp  tốt  nhất  hoặc  là  có  phương  pháp  nhưng  quá  trình  vận  dụng 
phương pháp còn khó khăn. Chính vì thế  mà mỗi khi dạy  học về vấn đề này  bản 
thân tôi luôn cố gắng tìm những giải pháp đơn giản và hiệu quả để truyền đạt cho 
các  em.  Mỗi  nội  dung  của  chuyên  đề  này  cũng  là  một  trong  những  giải  pháp  đã 
được  tôi  thực  hiện  tại  trường  THCS-THPT  Bàu  Hàm  trong  các  năm  học  20132014, năm học 2014-2015, năm học 2015-2016. Trong quá trình áp dụng chuyên 
đề  “MỘT  SỐ  PHƯƠNG  PHÁP  TÌM  GIÁ  TRỊ  LỚN  NHẤT  VÀ  GIÁ  TRỊ  NHỎ 
NHẤT CỦA HÀM SỐ” tại trường THCS-THPT Bàu Hàm mặc dù đã đem lại hiệu 
quả trong giảng dạy. Tuy nhiên phương pháp trên cũng chỉ thay thể một phần các 

giải pháp khác.
2. Các biện pháp thực hiện
        Để đề tài thực hiện tốt và có hiệu quả, trong quá trình giảng dạy từng nội dung 
đối với các khối lớp 9, khối lớp 10 và khối lớp 12. Bản thân tôi cùng các em rất 
nghiêm túc tiến hành từng bước thực hiện các nội dung đề tài đó là: thứ nhất khi 
giảng dạy tới nội dung nào và phù hợp với đối tượng học sinh nào, tôi gửi tới học 
sinh  trong  lớp  bản  tài  liệu  của  từng  nội  dung  chuyên  đề  để  cho  các  em  về  nhà 
nghiên cứu kỹ các nội dung lý thuyết. Thứ hai, trong các tiết học trên lớp giáo viên 
cùng học sinh hệ thống các kiến thức lý thuyết cơ bản. Thứ ba, sau khi nắm được 
lý thuyết tôi yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị bài tập. Thứ tư, trong những tiết học 
bài tập tôi cùng các em sửa bài tập để các em nắm được phương pháp. Sau khi nắm 
được phương pháp và kiến thức cơ bản giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác, mở 
rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh có khả năng tổng 
hợp, khái quát hoá các vấn đề.  
III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1. PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ
       Trong  chương  trình  Toán  học  Phổ  thông,  khi  nghiên  cứu  về  hàm  số  thường 
người ta chỉ quan tâm nhiều về tập xác định của hàm số mà ít chú ý đến miền giá 
trị (tập giá trị của hàm số) của nó. Vậy miền giá trị của hàm số là gì ? Miền giá trị 
của hàm số  y  f ( x) xác định trên D là tập hợp tất cả các giá trị của y sao cho  x  D  
mà  y  f ( x) .  Đối  với hàm  số  cho bởi  công  thức  để  tìm  miền  giá  trị của  hàm  số, 
thường ta tiến hành theo cách sau: coi đẳng thức  y  f ( x) là một phương trình ẩn x 
còn y là tham số rồi đi tìm điều kiện của y để phương trình có nghiệm  x  D . 
       Do đặc thù của trường là trường học hai cấp (cấp 2 và cấp 3) nên việc áp dụng 
phương pháp thuận lợi cho cả học sinh khối THCS và khối THPT. Sau đây tôi xin 
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 2

Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

đưa ra một cách tổng quát cho việc áp dụng phương pháp với học sinh THCS và 
THPT. 
1.1. Một số ví dụ áp dụng phương pháp miền giá trị
Bài toán thường gặp: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  y 

A( x)
; 
B ( x)

trong đó bậc cao nhất của  A( x)  và  B ( x)  là bậc hai.  
Lời giải 
Gọi  yo  là giá trị của hàm số đã cho 
 yo 

A( x)
 phương trình có nghiệm  x  D  
B( x)

 yo .B ( x)  A( x)  0(*)  

+ Xét trường hợp  y  0  suy ra  A( x)  0  ta tìm được nghiệm x 
+ Xét trường hợp  y  0 , phương trình (*) là phương trình bậc hai nên phương trình 
có nghiệm     0 , từ đó ta tìm được nghiệm x. 
Kết hợp cả hai trường hợp ta tìm được miền giá trị của hàm số. Từ đó kết luận giá 
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. 
2
x  1


Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   y 

x2  1

Lời giải 
Ta có  x 2  1  1  với mọi x, nên hàm số xác định trên    
2

 x  1 có nghiệm x 
Với  y0  là một giá trị của hàm số khi đó phương trình  y0  2
x 1

Ta có:   y0 

x  12
2

x 1



 



2

 y 0 x 2  1  x 2  1  y0  1x 2  2 x  y0  1  0 (*) 

+ Nếu  y0  1 , thì phương trình (*) có nghiệm  x  0 . 

+ Nếu  y0  1 , thì phương trình (*) có nghiệm đối với x khi và chỉ khi:         
0  y0  1
2
      
  1   y0  1  0   y0 2  2 y0  0  
1  y0  2

Kết hợp cả hai trường hợp ta được:  0  y  2.      
Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2, đạt được khi x  1  và giá trị nhỏ nhất bằng 
0, đạt được khi  x  1 . 
Ví dụ 2: ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B-2008) 
Cho hai số thực  x  0, y  0  thỏa mãn và thỏa mãn hệ thức  x 2  y 2  1.  
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 3


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P 

2  x 2  6 xy 
1  2 xy  2 y 2

. 

Lời giải 
              Ta có:  P 

2  x 2  6 xy 

1  2 xy  2 y 2



2  x 2  6 xy 
x 2  2 xy  3 y 2

 ( vì  x 2  y 2  1. ) 

              Đặt  y  tx  điều kiện  t  0 . 
              Khi đó:   P 

2 1  6t 
1  2t  3t

2

 P 1  2t  3t 2   2  12t  

                                                       3Pt 2  2  P  6  t  P  2  0

   

P  0
P  0


            Phương trình    có nghiệm     P  0    P  0
 
  P  6 2  3P  P  2   0

   0
 

                                                
P  0
                                             P  0
 6  P  3  

  P 2  3P  18  0

2


t   3
x 
 2
2
Vậy P có giá trị nhỏ nhất bằng - 6,  đạt được    x  y  1  

 y  tx
x 




3
2
;y
13
13

 
3
2
;y
13
13

Ví dụ 3: Cho số thực  x  tùy ý.  
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:  P 

3  4 x 2  3x 4
. 
(1  x 2 ) 2

Lời giải 
Do  (1  x 2 )2  0 x   , nên  P 

3  4 x 2  3x 4
 ( P  3) x 4  2( P  2) x 2  P  3  0  (1) 
2 2
(1  x )

+ Nếu  P  3 , khi đó (1) có dạng:  2 x 2  0  x  0  
+ Nếu  P  3 , khi đó  (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (ẩn  t  x 2 ) 
           ( P  3)t 2  2( P  2)t  P  3  0  có ít nhất một nghiệm t không âm. 
c
a

Mà ta thấy ngay tỉ số:  

P 3
 1  0 , nên phương trình ẩn t có nghiệm cùng dấu 
P 3

Do vậy phương trình có nghiệm t không âm khi và chỉ khi: 
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 4


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số
 '  0
5

  P  3  và  P  3  
 2( P  2)
2
 P  3  0

5
2

Kết hợp lại ta được nghiệm:   P  3  
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 3, đạt được khi x = 0 và giá trị nhỏ nhất 
5
2

của biểu thức P bằng   đạt được khi  x  1 . 
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  y 

2sin x  cos x  1
 
s inx  2 cos x  3

Nhận xét: để giải quyết bài toán này ta sẽ đi áp dụng một kết quả rất quen thuộc 
đối với học sinh lớp 11 đó là: Phương trình:  a sin x  b cos x  c (với  a, b, c   ). Điều 
kiện để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:  a 2  b2  c 2 . 
Lời giải 
Thật vậy:
Ta có   5  s inx  2 cos x  5; x    s inx  2 cos x  3  0 x   . 
Vậy hàm số có tập xác định  D    
Gọi y0 là một giá trị của hàm số trên khi và chỉ khi phương trình 
  y0 

2sin x  cos x  1
 (1) có nghiệm x 
sin x  2 cos x  3

Ta có:  (1)  ( y0  2) sin x  (1  2 y0 ) cos x  1  3 y0 . 
Áp dụng bài toán trên ta được:  ( y0  2)2  (1  2 y0 )2  (1  3 y0 )2  
                                                   2 y02  3 y0  2  0   
1
2

                                                     y0  2 . 
1
2

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng   khi  x 


 k 2 ;  k    và giá trị lớn nhất 
2

bằng 2 khi  x  k 2 ;  k   . 
Bài tập đề nghị
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  y 

2( x 2  x  1)
 
x2  1

(Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9, huyện Trảng Bom năm 2014)
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  y 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  y 
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

cos x  2 sin x  3
2 cos x  sin x  4

x2
x4  1
Trang - 5


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

1.2. Kết quả áp dụng nội dung chuyên đề tại cơ sở trong các năm học (20132014 và 2014- 2015)
 Trong năm học 2013 – 2014, cũng như trong năm học 2014 – 2015, bản thân 
tôi  có tham gia  bồi  dưỡng kiến thức  cho học  sinh lớp 9  của trường, để  chọn  đội 

tuyển  dự  thi  môn  toán  9  cấp  huyện.  Trong  quá  trình  bồi  dưỡng  và  lựa  chọn  đội 
tuyển tôi  có hướng  dẫn các  em  phần  kiến thức này.  Tôi  thấy  đa số học sinh  đều 
hiểu dạng toán và vận dụng tốt. Kết quả thi chọn học sinh giỏi cấp trường thì tổng 
số 10 học sinh dự thi, tất các các em đều làm đúng phần bài tập dạng này. Kết quả 
học sinh tham gia thi cấp huyện cũng khả quan. 
      Năm  2013-2013  số  học  sinh  tham  dự  thi  06  học  sinh  và  đạt  03  giải  khuyến 
khích. 
      Năm  2014-2015  số  học  sinh  tham  dự  thi  06  học  sinh  và  đạt  03  giải  khuyến 
khích và 01 giải ba. 
Đề bài (Trích đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 cấp trường THCS-THPT Bàu
Hàm năm 2013-2014). 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ của hàm số  y 

8x  3
 
4 x2  1

Đáp án
                              Nội dung 

Thang điểm 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ của hàm số  y 

8x  3
4 x2  1

 2 đ 

Ta có  4 x 2  1  0,   x   , do đó hàm số có tập xác định  D    

0, 25 

Gọi  yo  là một giá trị của hàm số, khi đó phương trình 

0, 25 

yo 

 

8x  3
  có nghiệm  x  D   
4 x2  1

           0, 25 

2

 4 yo x  8 x  yo  3  0   (*) 

3
8

+ Nếu  yo  0 , phương trình (*) có nghiệm   x      

                 
0, 25 

a  0

 
  0

+ Nếu  yo  0 , để phương trình (*) nghiệm   

 yo  0
 yo  0
 yo  0


 
16  4 yo ( yo  3)  0
4 yo  12 yo  16  0
1  yo  4

     

Kết hợp hai trường hợp ta được :   1  yo  4  
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

0,5 
 
0,25 
Trang - 6


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng  1 , đạt tại   x  1  
1

4

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4, đạt tại   x   

 
0, 25 

2. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
2.1. Kiến thức cơ bản
       Lượng giác hóa là  một trong những phương pháp hay sử dụng để tìm giá trị 
lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Bằng phương pháp biến đổi lượng giác (ví dụ đặt 
x  sin u;  x  cos u;  x  tan u ,... )  ta  đưa  biểu  thức  và  điều  kiện  của  bài  toán  về  dạng 
lượng giác. Từ đó dựa vào phép tính lượng giác ta sẽ dễ dàng hơn trong việc giải 
toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của bài toán ban đầu. 
       Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có thể sử dụng 
phương pháp lượng giác hóa thường có các dấu hiệu dễ nhận biết là: 
x  sin u
      1. Nếu trong bài toàn có điều kiện x2 + y 2 = 1 thì ta có thể đặt  
 
 y  cos u

      2. Nếu trong bài toán có biểu thức:  a 2  x 2  thi có thể đặt: 
           x  a sin u    hoặc  x  a cos u  
     3. Nếu trong bài toán có biểu thức 
          a 2  x 2  hoặc  a 2  x 2  thì đặt: x = atanu  hoặc x = acotu 
        Trong  một  số  bài  toán  thì  các  dấu  hiệu  này  không  xuất  hiện  ngay  từ  đầu, 
người giải phải tìm cách biến đổi các điều kiện hoặc các hàm số đã cho để làm xuất 
hiện các dấu hiệu đó. 
2.2. Một số ví dụ minh họa phương pháp
Ví dụ 1: (trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2008 – Khối B)

2(6xy  x 2 )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P 
1  2 y 2  2 xy

với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức  x 2  y 2  1  
Nhận xét và lời giải
Hệ thức  x 2  y 2  1  giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác: 

sin 2 u  cos 2 u  1 . Vì vậy, ta đặt: x = sinu, y = cosu, với  u  [0; 2 ]  
Dưới hình thức lượng giác, ta có:  

Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 7


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

P

2(6 sin u cos u  sin 2 u )
 
1  2 cos 2 u  2 sin u cos u

P

6 sin 2u  cos 2u  1
  
sin 2u  cos 2u  2

(*) 

Do  sin 2u  cos 2u  2  2, u [0;2 ] , nên  sin 2u  cos 2u  2  0,  u  [0; 2 ]  
Để tìm miền giá trị của P, ta biến đổi (*) thành:(phương pháp miền giá trị) 
 

 

(P – 6)sin2u + (P + 1)cos2u = 1 – 2P   

(**) 

Điều kiện có nghiệm của phương trình (**) là: 
 

 

P  6

 

 

 

 P  1  1  2P   2P 2  6P  36  0  

2

2

 

 

2

 

       6  P  3  

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6 và đạt được khi 
cặp (x; y) thỏa mãn x 2  y 2  1 . 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  y  2 x  5
với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức:  36x 2  16 y 2  9  
Nhận xét và lời giải
2

2

 6x   4 y 
Biến đổi  36x  16 y  9  về dạng:        1  
 3   3 
2

2

1
 6x



cos
u
x

cos u
 3

2
Ta nghĩ đến việc đặt:  
  với  u  [0; 2 ]  

 4 y  sin u
 y  3 sin u

 3
4
3
4

3
4

Khi đó, dưới dạng lượng giác thì:  P  sin u  cos u  5  sin u  cos u  P  5  (*) 
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình (*) ta có: 
2

3
15
25

2
                  1   P  5   P    
 4

4

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 

4

25
15
, giá trị nhỏ nhất của P bằng   và đạt được khi 
4
4

cặp (x; y) thỏa mãn  36x 2  16 y 2  9 . 
Ví dụ 3: Cho x, y là hai số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
x  y 1  xy 
của biểu thức:  P 
1  x 2 1  y 2 
Nhận xét và lời giải
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 8


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

Từ điều kiện x, y   R  và sự có mặt của biểu thức: 1+ x2 và 1+ y2 ,  

  
;
 . 
 2 2 

Ta đặt:  x  tan u  và  y  tan v , với  u, v  

Lúc đó, Biểu thức P dưới hình thức lượng giác là: 
P

(tan u  tan v)(1  tan u.tan v) sin(u  v)  sin u sin v 
2
2

. 1 
 .cos u cos v  
2
2
cos
u
cos
v
cos
u
cos
v


(1  tan u )(1  tan v)
1

2

                                                  sin(u  v).cos(u  v)  sin(2u  2v)  
1
2

  
;
 
 2 2 

1
2

Suy ra    P   với mọi  u, v  

1
1
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng  , giá trị nhỏ nhất của P bằng  . 
2
2
Ví dụ 4: Tìm a và b sao cho hàm số  y 

ax  b
x2 1

đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị 

nhỏ nhất bằng -1.
Nhận xét và lời giải

Do hàm số y xác định với mọi x và sự có mặt của đại lượng 1 + x2 cho nên ta có 
  
;
 
 2 2 

thể lượng giác hóa bằng cách đặt;   x  tan u , với  u  
Khi đó, hàm số trở thành  y 
y

a tan u  b
 a sin u cos u  b cos 2 u  
2
1  tan u

a
b
b
a
b
b
sin 2u  cos 2u   sin 2u  cos 2u  y  (*) 
2
2
2
2
2
2

Điều kiện có nghiệm của phương trình (*) là: 

2

 

 

2

2

b 1 2
b 1 2
b
a b 
a  b2  y  
a  b2  
     y   
2
2 2
2 2
 2  2 

Vậy giá trị lớn nhất  y max 

b 1 2
b 1

a  b 2 , giá trị nhỏ nhất  y min   a 2  b 2  
2 2
2 2

Đến đây, việc tìm a và b thỏa yêu cầu bài toán quy về việc giải hệ phương trình: 
b 1 2
2
 2  2 a  b  4
a  4
a  4

 
 

b  3
 b  1 a 2  b 2  1 b  3
 2 2

Vậy tồn tại hai cặp (a, b) thỏa yêu cầu bài toán. 
Ví dụ 5: Cho a, b, c là ba số dương thay đổi luôn thỏa: abc + a + c = b
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 9


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P 

2
2
3
 



2
2
1  a 1  b 1  c2

Nhận xét và lời giải
+ Bài toán ban đầu nhìn có vẻ khó, tuy nhiên quan sát kỹ chúng ta lại gặp các biểu 
thức dạng 1 + x2, dấu hiệu của lượng giác xuất hiện.  
+ Quan sát giả thiết bài toán ta có thể biến đổi thành b 
của công thức  tan(x  y) 

tanx  tany
1  tanx. tan y

Cho nên ta đặt:  a  t anx;  c  tan y    0  x 


       P 

ac
, giống hình thức 
1  ac


  thì  b  tan( x  y) và ta được: 
2

2
2

3


2
2
1  tan x 1  tan ( x  y) 1  tan 2 y

     2 cos 2 x  2 cos 2 ( x  y)  3 cos 2 y  
    =  cos2 x  cos(2 x  2 y)  3cos2 y  
    =  2sin(2 x  y ).sin y  3  3sin 2 y  
1
1
    =   3sin 2 y  2 sin(2x  y) sin y  sin 2 (2x  y)  3  sin 2 ( 2x  y)  
3
3
2

1
1


    =    3 sin y  sin(2x  y)   3  sin2 (2x  y)  
3
3


1
3

Suy ra  P  3  

10
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
3

1
sin(2x  y)  1

sin(2 x  y)  0 
 3 sin y 


3

1
sin
y

sin(2x  y)  1

3


Vậy biểu thức P có giá trị lớn nhất bằng 

1
  1
x  4  2 arcsin3  k

y  arcsin1


3

k  Z  

10
. 
3

Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho hàm số  y  x  4  x 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 
số trên miền xác định. 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 10


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

y

2( xy  y 2 )
  với điều kiện  x 2  y 2  1  
2
1  2 x  2 xy

Bài 3: Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 
x  y 1  xy   

nhất của biểu thức  P 
1  x 2 1  y 2
(Trích đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2008)
2.3. Kết quả áp nội dung phương pháp tại cơ sở
        Nội dung  này  trong năm  học  2015- 2016  này tôi  mới  viết  thành  chuyên  đề, 
đây là nội dung mà khi còn là học sinh trung học phổ thông tôi đã được thầy cô của 
mình giới thiệu, phương pháp tuy cũ nhưng việc áp dụng phương pháp không cũ 
chút nào. Có những bài toán nếu áp dụng phương pháp bất đẳng thức hoặc chiều 
biến  thiên…,  thì  khó  khăn.  Nhưng  nếu  phát  hiện  dấu  hiệu  lượng  giác,  áp  dụng 
phương pháp lượng giác hóa rất thuận lợi. 
         Do  đặc thù học sinh trường  THCS-THPT  Bàu Hàm, đối  tượng  học sinh đa 
phần  là  học  sinh  người  dân  tộc  thiểu  số,  đa  phần  trình  độ  học  sinh  ở  mức  trung 
bình, trung bình khá. Do vậy nội dung này tôi viết làm tài liệu tham khảo để dạy 
đối tượng là học sinh lớn 11A1(lớp nguồn), bồi dưỡng học sinh giỏi và là tài liệu 
ôn thi trung học phổ thông Quốc Gia.  
3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ
         Kiến thức vectơ là một trong những nội dung rất cơ bản, quan trọng và được 
học ngay từ đầu học kỳ I của toán hình học lớp 10. Từ khái niệm vectơ người ta 
xây dựng được các tính chất rất đẹp của vectơ, một trong số đó có các tính chất bất 
đẳng  thức  vectơ.  Dựa  vào  các  tính  chất  bất  đẳng  thức  này,  chúng  ta  có  thể  xây 
dựng  được  một  phương  pháp  để  giải  quyết  các  dạng  toán  như:  chứng  minh  bất 
dẳng thức bằng vectơ; giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp vectơ 
và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp vectơ. 
3.1. Kiến thức cơ bản
Tính chất cơ bản của bất đẳng thức vectơ








 





Tính chất 1: Cho  u  (a; b), v  ( x; y ) . Ta có    u  v  u  v  u  v  . 
 

 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  u ,  v  cùng phương   ax = by. 






  







Tính chất 2: Cho  u  (a; b), v  ( x; y ), w  (m; n).  Ta có    u  v  w  u  v  w . 
a b
y  x

  
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  u ,  v  ,  w  cùng phương   
 
m  n
 y x

Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 11


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số
 
  
Tính chất 3:   u.v  u . v , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  u ,  v  cùng hướng. 

Chú ý: Tính chất này có thể mở rộng trong không gian. 
3.2. Một số ví dụ áp dụng phương pháp 
Ví dụ 1: Cho x là số thực tùy ý.  
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x 2  2 x  5  x 2  2 x  5   
Nhận xét và cách giải
+ Một số học sinh có sai lầm như sau  
Ta có  f ( x)  ( x  1)2  22  ( x  1) 2  22  4 , suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 
4. Tuy nhiên không tồn tại giá trị của x để dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra. Lời 
giải đúng bài toán như sau: 




 

Ta có  f ( x)  ( x  1) 2  22  ( x  1) 2  22 . Đặt   u  (1  x; 2), v  ( x  1; 2)  u  v  (2; 4)  




 

Ta có :  ( x  1) 2  22  ( x  1)2  22  u  v  u  v  2 5  
 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :  u;   v  cùng hướng  1  x  x  1  x  1  
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng  2 5  khi  x  1 . 
Ví dụ 2: Cho x, y  là hai số thực tùy ý.  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  ( x  1)2  y 2  4  x 2  ( y  1) 2  1  
Lời giải 
+ Trong bài toán này ta sẽ mở rộng khái niệm vectơ trong không gian Oxyz. 




 

Xét hai vectơ :  u  ( x  1; y; 2), v  ( x;  y  1;1)    u  v  (1; 1;3)  




 

Do  u  v  u  v  ta có   
   
P  ( x  1)2  y 2  22  x 2  ( y  1) 2  12  u  v  u  v  11 . 




Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :  u  ( x  1; y; 2), v  ( x;  y  1;1)  cùng hướng  
Tức là : 

x 1
y
2
1
2

  x ,y  
x  y 1 1
3
3
1
3

2
3

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng  11  khi  x   , y    
2
5

Ví dụ 3: Cho x, y, z là các số thực thỏa  x, y, z   , x  y  z  6 .  
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P  5 x  2  5 y  2  5 z  2  
Lời giải 
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 12


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số


Xét hai  vectơ :  u  1;1;1  và  v  5 x  2; 5 y  2; 5 z  2  









Ta có  u  3, v  5( x  y  z )  6  6   


            u.v  5 x  2  5 y  2  5 z  2   


 

2

5

Áp dụng tính chất  u.v  u . v  ta có  5 x  2  5 y  2  5 z  2  6 3, x, y, z    
Suy ra  P  5 x  2  5 y  2  5 z  2  6 3  




Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :  u  1;1;1 , v   5 x  2; 5 y  2; 5 z  2   cùng hướng  


5y  2
5x  2
5z  2


 x  y  z  2 
1
1
1

Vậy P có giá trị lớn nhất bằng  6 3 , đạt được khi  x  y  z  2  
Ví dụ 4:  Cho  x,  y,  z  là  các  số thực  dương  thỏa  xy  yz  zx  xyz .  Tìm  giá  trị nhỏ 
nhất của biểu thức   P 

x2  2 y2

xy

y2  2z2

z 2  2 x2

 
yz
zx

Lời giải 
Ta biến đổi biểu thức P để xuất hiện dấu các độ dài các vectơ. Thật vậy 
2

2

2

2
2
1  2
1  2 
1  2
P     






  
   
 z   y 
 x   z 

 y  x 



2

 

2    1 2    1 2      1 1 1 2
2
2


 ; v   ;
 ; w   ;
  u  v  w     ;
  
y
x
z
y
x
z
x
y
z
x
y
z









     
Ta có tính chất   u  v  w  u  v  w  
1

Chọn  u   ;

2

2

2

2

2
2






                        1    2    1    2    1    2   3  1  1  1 

z  b 
 x  z 
 y  x 
x y z

1
x

1
y

2

 

1
z

Mặt khác từ giả thiết  xy  yz  zx  xyz     1 . Suy ra  P  3 . Dấu bằng xảy 
ra khi và chỉ khi :  x  y  z  3 . 
Vậy P có giá trị nhỏ nhất bằng  3 , đạt được khi  x  y  z  3 . 
3.3. Kết quả áp dụng nội dung tại cơ sở trong các năm học (2015- 2016)
  Vận dụng  phương  pháp vectơ  trong giải phương trình,  chứng  minh bất đẳng 
thức, tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, cũng là kiến thức khó, nhưng rất thú vị. 
Trong năm học 2015 – 2016, tôi được tổ chuyên môn giao cho bồi dưỡng học sinh 
giỏi toán lớp 10, trong quá trình bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh ôn tập nội dung 
Vectơ và phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tôi có giới thiệu phương pháp 
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 13

Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

tọa độ vectơ cho học sinh, nhận thấy các em rất hứng thú và thực hiện rất tốt các 
yêu cầu. Sau khi học xong nội dung bất đẳng thức, tôi có kiểm tra để đánh giá chất 
lượng. Kết quả đạt được cũng khả quan, 5 học sinh tham gia kiểm tra thì các em 
đều biết vận dụng phương pháp và có 2 em làm đúng nội dung đánh giá. 
Đề bài (Trích đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 10 cấp trường THCS-THPT Bàu
Hàm năm 2015-2016). 
Bài 2a:(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ của hàm số  f ( x)  x 2  2 x  5  x 2  2 x  10  
Đáp án
                              Nội dung 

Thang điểm 

 2 đ 

Tìm giá trị nhỏ của hàm số  f ( x)  x 2  2 x  5  x 2  2 x  10

 
    Giải:  Hàm số có tập xác định  D    

0, 25 

            f ( x)  ( x  1)2  22  ( x  1) 2  32  

 
 









 

Đặt   u  ( x  1; 2)  u  ( x  1)2  22  

          0, 25 

        v  ( x  1;3)  v  ( x  1) 2  32  

 

 
 
 Suy ra  u  v  (2;5)  u  v  29  




          0, 25   

 

0, 5 

Áp dụng tính chất vectơ  u  v  u  v  29  
 

 

Suy ra  f ( x)  29 , dấu ‘‘= ’’ xảy ra khi  u; v  cùng hướng 

0,5         

1
                               3( x  1)  2( x  1)  0  x   
5

1
5

0,25 

 Hàm số  f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng  29 , đạt tại x   
 

4. PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC
      Phương pháp này sử dụng trực tiếp định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 
của hàm số. Để làm được điều này ta cần tìm các giá trị của M, m để có được bất 
đẳng thức  f ( x)  M x  D  hoặc  f ( x)  m   x  D , ở đây D là miền mà trên đó ta cần 
tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số  f ( x) , sau đó ta cần phải chỉ ra dấu 
bằng xảy ra nếu như chọn được  xo  D  để cho  f ( xo )  M  hoặc  f ( xo )  m . 
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 14


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

       Có rất nhiều bất đẳng thức có thể vận dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị 
nhỏ  nhất  của  hàm  số  f ( x) ,  tuy  nhiên  trong  giới  hạn  kiến  thức  chương  trình  phổ 
thông, cũng như thời gian nghiên cứu chuyên đề còn ít, tôi chỉ trọng tâm hai bất 
đẳng  thức  thường  gặp  đó  là:  bất  đẳng  thức  AM-GM  (arithmetic and geometric
means) và bất đẳng thức BCS (Bunyakovski–Cauchy - Schwart).
4.1. Kiến thức cơ bản
Hai bất đẳng thức thường gặp trong chương trình toán phổ thông.  
4.1.1. Bất đẳng thức AM-GM (arithmetic and geometric means)
Cho hai số thực không âm a, b ta có: 
 

 

a  b  2 ab ; dấu “=” xảy ra   a  b  

Cho ba số thực không âm a, b, c ta có: 
 

 

a  b  c  3 3 abc ; dấu “=” xảy ra   a  b  c  

Tổng quát:cho n số không âm a1 , a2 ,..., an    n  2  , ta luôn có: 
                   

a1  a2  ...  an
 n n a1.a2 ...an ; dấu “=” xảy ra   a1  a2  ...  an  
n

Chú ý: Các trường hợp riêng của bất đẳng thức AM-GM
ab
 ab , bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng 
2
2
(a  b  ) 2
ab 
2
2
2
a

b

4
ab
khác là:  ab  
, 
, 
. 
a

b


 

2
 2 

* Với a, b không âm ta có: 

* a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  
1
a

1
b

4
 (a,b>0) 
ab

1
a

1
b

1
c

*  

*   

9

(a,b,c>0) 
abc

4.1.2. Bất đẳng thức BCS (Bunyakovski–Cauchy - Schwart)
 Cho hai bộ số a, b và c, d ta có: 
 

 

ac  bd 2  a 2  b 2 c 2  d 2 ; dấu “=” xảy ra   a  b  
c

d

Tổng quát: Cho n bộ số  a1 , a2 ,..., an  và  b1 , b2 ,.., bn tùy ý ta có: 
 

2

           a1b1  a2b2  ...  anbn    a12  a22  ...  an2  b12  b22  ...  bn2   

Dấu “=” xảy ra  

a1 a2
a

 ...  n  ( quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0) 
b1 b2
bn

Hệ quả thường dùng của bất đẳng thức BCS
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 15


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

       Từ  bất  đẳng  thức  BCS  tổng  quát  nếu  ta  chọn  ai 

xi
yi

;  bi  yi ,  với 

xi ; yi  ;  yi  0 .  Khi  đó ta  thu được  bất  đẳng  thức  BCS  ở  dạng  Engel.  Tức là  với 
xi  ;  yi     (1  i  n)  ta có:    
2

x 21 x 2 2
x 2 n  x1  x2  ...  xn 
                          
  (**) 
 ... 

y1
y2
yn
y1  y2  ...  yn

                        
x
x1 x2

 ...  n
y1 y2
yn

                        Dấu “=” xảy ra khi:  

      Để dễ sử dụng, do đó trong chuyên đề này, cũng như trong khi dạy học tôi gọi 
 
bất đẳng thức (**)  trên là hệ quả của BCS.  
4.2. Vận dụng bất đẳng thức AM-GM
4.2.1 Sử dụng AM-GM tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 1: Cho ba số thực dương  a, b, c .  
a
b
c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  1  1  1    


b 

c 

a

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 
            

1

a
a
b
b
c
c
; 1   2 ;  1   2  
2
b
b
c
c
a
a

abc
a
b
c
Suy ra  P  1   1   1    8
8 


 

b 

c 

a

abc

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi    a  b  c  1  

Vậy P có giá trị nhỏ nhất bằng 8, khi  a  b  c  1  
1
1
  với   0  x  1  
x 1 x

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  f ( x)  

1
1
1 x
x
x   1 1 x 
 1
 




 
x 1 x
x

1  x  1  x 1  x   x
x 

Lời giải: Ta có:   f ( x)  
 

 

               

1 x
x

2 
x 1 x

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 
1 x
x
1 x x

.
24 
22
x
1 x
x 1 x

 

 

 

           Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi   

f ( x) 

Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

1 x
x
1

x  
x
1 x
2
Trang - 16


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

1
2

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4, đạt khi  x   
Ví dụ 3: Cho hai số thực dương  x, y  thỏa mãn:  x  y  5 . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P 

4x  y 2x  y
 

xy
4

Lời giải 
P

4x  y 2x  y 4 1 x y 4 y 1 x y

          
xy
4
y x 2 4 y 4 x 2 2

Từ giả thuyết  y  5  x , ta suy ra  P 

4 y 1
5
  x  
y 4 x
2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  P  2

4 y
1
5 3
.  2 .x    

y 4
x
2 2

3
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng   khi  x  1; y  4     
Nhận xét: Ba ví dụ trên việc áp dụng bất đẳng thức AM- GM là tương đối rõ ràng 
và dễ. Tuy nhiên trong các đề thi học sinh giỏi, cũng như các đề tuyển sinh thì nội 
dung này học sinh hay lúng túng và để giúp học sinh vận dụng được phương pháp 
này tôi hệ thống một số dạng cơ bản sau. 
Dạng 1:  Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức  S  A 

m
,  trong  đó  (m  là  hằng  số 
B

dương, A và B là các biểu thức dương). 
Ví dụ: Cho  a  b  c  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  a 

81
 
c(b  c)(a  b)

Lời giải: từ giả thiết  a  b  c  0 , suy ra  a  b  0;  b  c  0  
Lại có  a  (a  b)  (b  c)  c . Suy ra  S  (a  b)  (b  c)  c 

81
 

c(b  c)(a  b)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có  S  4 4 (a  b)(b  c)c

81
 12  
c(b  c)(a  b)

Dấu “=” xảy ra khi  a  9;  b  6;  c  3  
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S bằng 12 khi  a  9;  b  6;  c  3 . 
Bài tập đề nghị 
Cho  a  b  c  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  a 

108
 
c(b  c) 2 (a  b)3

Dạng 2: Cho A, B và C là các tổng đối xứng với các biến dương x, y, z. 
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 17


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S 

x y z
  . 
A B C

Ví dụ 1:
Cho  x, y, z  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức  S 

x
y
z
 


yz zx x y

Lời giải:  Có nhiều  lời giải  cho  ví  dụ này,  tuy  nhiên  để  có lời  giải  tổng quát  cho 
dạng 2, ta trình bày theo các đơn giản sau 
Đặt  y  z  a;  z  x  b;  x  y  c   (a, b, c  0)  
Suy ra:  x 

bca
a cb
abc
 
;  y 
;  z 
2
2
2

1 bca acb a bc  1  b c a c a b

Khi đó  S  



         3  
2

a

b

c



b
a

2a

c
a

a
b

a

b

b

c
b

a
c

b
c

c

c



Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có        6  
1
2

3
2

Suy ra  S  (6  3)  , dấu ‘=” xảy ra khi  a  b  c . 
3
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S bằng   khi  a  b  c . 
Nhận xét: Bài toán trên được trích ra từ một bất đẳng thức quen thuộc đó là: 
Với mọi số thực dương a, b, c ta có: 

a
b
c
3


  (Nesbit) 
bc ca ab 2

Ví dụ 2: (trích đề thi học sinh giỏi lớp 10, tỉnh Đồng Nai năm 2013)
Cho  a, b, c  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức  S 

a  3c a  3b 2a


ab
ac bc

Lời giải 1: áp dụng bất đẳng thức Nesbit
a  c a  b   2a
2b
2c 





 ab ac  bc ac ca 

Ta có  S  

2a
2b
2c 


  3 
bc ac ca

Áp dụng bất đẳng thức Nesbit thì  

ac ab

  2 
 ab ac 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có  

a  c a  b   2a
2b
2c 




5 
 ab ac  bc ac ca 

Suy ra  S  

Dấu  “=” xảy ra khi  a  b  c  
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S bằng 5, khi  a  b  c  
 
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 18


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

Lời giải 2: Theo cách làm tổng quát dạng 2 
Đặt  a  b  x;  b  c  y;  c  a  z   ( x, y, z  0)  
Suy ra:  a 
Khi đó S 

xz y
x yz
yzx
 
;  b 
;  c 
2
2
2

a  3c a  3b 2a
2 y  4z  2x 4x  2 y  2z x  z  y
 






ab
ac bc
2x
2z
y
y

x

z

z

x

y

                                                     2         3  
x y
x z
y z






y

 

x

z



z

x

y

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có      2         8  
x y
x z
y z






 



Suy ra  S  5 , dấu ‘=” xảy ra khi  x  y  z  a  b  c . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S bằng 5 khi  a  b  c . 
Lời giải tổng quát: qua hai ví dụ trên ta rút ra cách làm tổng quát cho dạng 2 là: 
A  u
x  u   v   w

Đặt   B  v   y   v   w   u , thực hiện thế vào biểu thức S, ta được S(u, v, w). 
C  w  z   w   u   v



Bài tập đề nghị
Bài1:Cho  x, y, z  0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức  S 

x
y
z
 


y  2z z  2x x  2 y

Bài 2: Cho  a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC 
Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức  S 

a
b
c
 



bca c a b a bc

Dạng 3: Cho A, B và C là các tổng đối xứng với các biến dương x, y, z. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S 

x
y
z
. 


A
B
C

Ví dụ: Cho tam giác ABC có  AB  c, AC  b, BC  a  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S 

a
b
c


 
2b  2c  a
2a  2c  b
2a  2b  c

Lời gải 

Ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi  a  b  c  
a
3a 2
3a


Ta có  2b  2c  a  3a . Suy ra 
 
2b  2c  a
3a  2b  2c  a 
3a  2b  2c  a 

Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 19


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

a
3a
3a
 


2b  2c  a
3a  2b  2c  a  a  b  c

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 
Tương tự ta cũng có 

Suy ra  S 

b
3b
c
3c
;  
  


2a  2c  b a  b  c
2a  2b  c a  b  c

3 a  b  c
a
b
c



 3 
2b  2c  a
2a  2c  b
2a  2b  c
abc

Dấu bằng xảy ra khi  a  b  c , hay tam giác ABC đều. 
Vậy biểu thức S có giá trị nhỏ nhất bằng  3 , khi  a  b  c . 
Lời giải tổng quát: Qua ví dụ trên ta rút ra cách biến đổi dạng 2 như sau 
+ Biến đổi biểu thức  S 

x  y  z
x
y
z


 bằng cách chọn hằng số k mà  
 
A
B
C
 A  kx



 x
x
y
z 
y
z 




2 k
  ( dạng 2) 
ky.B
kz.C 

 kx. A
 kx  A ky  B kz  C 

+ Khi đó  S  k 
Bài tập đề nghị

Cho  x, y, z   là các số thực không âm.   
x
y
z
 


yz
zx
x y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S 
a
x

b
y

c
z

Dạng 4: Cho  x, y, z  0  và thỏa mãn     k  (a, b, c  0)  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  mx  ny  hz  (m, n, h  0)   
Chú ý: dạng 4 này cũng có thể gặp hình thức sau 

Cho  x, y, z  0  và thỏa mãn  ax  by  cz  k  (a, b, c  0)  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S 

m n h
   (m, n, h  0)   
x y z

1
x

4
y

9
z

Ví dụ 1: Cho  x, y, z  0  và thỏa mãn     1   
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  4 x  y  z   
Lời giải: Biến đổi biểu thức S ta có 
1 4 9 
 16 x y   36 x
S  4 x  y  z   4 x  y  z         17  
 

x  z
x y z 
 y

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có  

Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

z   9 y 4z 
  

x  z
y 

16 x y
36 x z
9 y 4z
  8;  
  12;  

 12  
y
x
z
x
z
y

Trang - 20


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

7
2

Suy ra  S  49 , dấu bằng xảy ra khi  x  ; y  14; z  21  
7
2

Vậy biểu thức S có giá trị nhỏ nhất bằng 49, khi  x  ; y  14; z  21  
3
2

Ví dụ 2: Cho x, y là hai số thực dương và thỏa  x  y  .  
2
x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  

1
 
2y

Lời giải: Biến đổi biểu thức S ta có 
S

2 1 
2 1 2

  x  y 
  
x 2y 3
 x 2y 

2  5 x 2y 

+
  
 
3  2 2y x 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có  

x 2y
+
 2 
2y x

2 5
1
Suy ra  S    2    3 , dấu bằng xảy ra khi  x  1; y   
3 2
2




1
2

Vậy biểu thức S có giá trị nhỏ nhất bằng 3, khi  x  1; y   
Nhận xét: với bài toán ở dạng 4 này ta thường thực hiện phép nhân giả thiết bài 
toán với biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất. 
Dạng 5: Cho  x, y, z  là các số thực dương và thỏa mãn  x  y  z  k  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  ax  by  cz 

m n p
   (a, b, c, m, n, p  0)   
x y z

Ví dụ 1 : Cho  x, y, z  là các số dương và thỏa mãn  x  y  z  5   
1
x

8 16
  
y z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  2 x  3 y  5 z   
Lời giải 

1 
8
16
Ta dự đoán  S   a1 x     b1 y     c1 z    k1  x  y  z   và thỏa mãn  x  y  z  5   
x
y
z


 

 



1
x  x

8
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi  x  1; y  2; z  2 . Khi đó ta có    2 y  4  
y
16
  4z  8
z

1 
8
16
 Suy ra  S   x     2 y     4 z     x  y  z   
x
y
z


 

 

Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn



Trang - 21

Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

1
x

8
y

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có   x   2;  2 y   8;  4 z 

16
 16  
z

Suy ra  S  31 , dấu bằng xảy ra khi  x  1; y  2; z  2  
Vậy biểu thức S có giá trị nhỏ nhất bằng 31, khi  x  1; y  2; z  2  
Ví dụ 2 :Cho 3 số dương x, y, z thoả  x  y  z  1 . 
1
x

1
y

1
z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  S  x  y  z     
Lời giải 
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  1  x  y  z  3 3 xyz 
                                                                Và  x 

Ta có  S   x 


3

1
 3 
xyz

1 2
9 2
9 2
 ;  y   ;  z                   
9x 3
y 3
z 3

1  
1  
1  
1 
81 1 1
 +   x     y     z   y       
9x  
9x  
9y  
9z 
9 x y z 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:  

S  2

8
9

3

1
3
 10 , dấu "=" xảy ra khi  x  y  z  . 
3
xyz

1
3

Vậy biểu thức S có giá trị nhỏ nhất bằng 10, khi  x  y  z   
x  y  z  k

m
n
p
Lời giải tổng quát: Ta chọn x, y, z sao: a1 x  ;  b1 y  ;  c1 z   
x
y
z

a  a1  b  b1  c  c1  k1

Khi đó  S   a1 x 



m 
n 
p
   b1 y     c1 z    k1  x  y  z   
x 
y 
z

Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho  x, y  là các số thực dương và thỏa mãn  x  y  3  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  x  y 

1 2
  
2x y

Bài 2: Cho  a, b, c   là các số thực dương thỏa  a  2b  3c  20  
3
a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  a  b  c  

9 4
  
2b c

Dạng 6: Cho  xi  0 (i  1, n  )  và  x1.x2 ...xn  q ( không đổi) 

Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 22


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S 

xnm
x1m
x2m
  

 ... 
A1. A2 ... Am 1 B1.B2 ...Bm1
C1.C2 ...Cm 1

Trong đó  Ai ; Bi ; Ci   (i  1, n  ) là các tổng đối xứng của các biến  xi  0 (i  1, n  )  
Ví dụ: Cho  x, y, z  là các số dương và thỏa mãn  xyz  8  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S 

x3
y3
z3
 


( y  z )( y  2 z ) ( z  x)( z  2 x) ( x  y )( x  2 y )

Lời giải 
+ Ta dự đoán  x  y  z , khi đó chọn hai số   ;   sao cho 
  12
x 2 x 3x
x3
y  z y  2z
, suy ra     
 


6 

( y  z )( y  2 z )


   18

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 
x3
y  z y  2z
x3
x


 33
  
( y  z )( y  2 z ) 12
18
12.18 2
y3

z  x z  2x y


  
( z  x )( z  2 x) 12
18
2

z3
x  y x  2y z


  
( x  y )( x  2 y ) 12
18
2

Suy ra  S 

x y z 1 3
 .3 xyz  1 , dấu bằng xảy ra khi  x  y  z  2  
6
6

Vậy biểu thức S có giá trị nhỏ nhất bằng 1, đạt khi  x  y  z  2  
Lời giải tổng quát
+ Dự đoán dấu bằng xảy ra khi  x1  x2  ...  xn  và lúc đó ta chọn được   ;  ;  ....  
Sao cho 

A

x1m
A A
 1  2  ...  m1  
A1. A2 ... Am 1 k1 k2
km1

Áp dụng AM-GM: 

A
x1m
A A
 1  2  ...  m1  px1  
A1. A2 ... Am1 k1 k2
km1

Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho  a, b, c  là các số thực dương và thỏa mãn  abc  27  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S 

a2
b2
c2
 


bc ca ab

Bài 2: Cho  x, y, z  là các số thực dương và thỏa mãn  xyz  1  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S 
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

4 x3
y3
z3
 


(1  y )(1  z ) (1  z )(1  x) (1  x)(1  y )

Trang - 23


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

Dạng 7: Hạ bậc trong bất đẳng thức 
n

Cho  xi  0 (i  1, n  )  và   xi k  nq k ( không đổi) 
i 1

n

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S   xi m  (m  k  1)   
i 1

Lời giải tổng quát
+Dự đoán   x1  x2  ...  xn  q . Ta đi hạ bậc m xuống bậc k bằng bất đẳng thức AMGM 
+ Thực hiện phép khai căn  m xi km  xi k .  
+ Áp dụng AM-GM cho m số:  kxi m  (m  k )q m  m.m xi km .q(mk )m  mq mk xi k  
k

+ Cộng vế bất đẳng thức cùng chiều ta được  kS  n(m  k )q m  mq m  xi k  
i 1

Ví dụ: Cho  x, y, z  là các số dương và thỏa mãn  x 2  y 2  z 2  12  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  x5  y 5  z 5  
Lời giải 
+ Ta dự đoán  x  y  z , từ giả thiết  x 2  y 2  z 2  12  x  y  z  2   
+Ta sẽ đi hạ bậc 5 xuống bậc 2 ( từ  x5  x 2 ) 
+ Khai căn bậc 5 thì cần có 5 số hạng bằng nhau:  x5  x5  25  25  25   
Thật vậy áp dụng AM-GM:  2 x5  3.25  5 5 x10 .215  40 x 2 ;  
                                                2 y 5  3.25  5 5 y10 .215  40 y 2  
                                                2 z 5  3.25  5 5 z10 .215  40 z 2  
Cộng vế của các bất đẳng thức ta có  2S  9.25  40( x 2  y 2  z 2 )  S  96  
Vậy biểu thức S có giá trị nhỏ nhất bằng 96, đạt khi  x  y  z  2  
Bài tập đề nghị
Cho  a, b, c  là các số thực thỏa  a  b  c  0 . Chứng minh rằng  8a  8b  8c  2a  2b  2c  
4.2.2. Sử dụng AM-GM tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
       Từ  bất  đằng  thức  AM-GM  với  n  số  không  âm  ta  viết  lại  như  sau  
n

 a  a  ...  an 
a1.a2 ...an   1 2
 ,  dấu  “=”  xảy  ra   a1  a2  ...  an .  Khi  đó  nếu  tổng 
n


a1  a2  ...  an  So ( không đổi) thì tích  P  a1.a2 ...an  đạt giá trị lớn nhất. Do vậy để 
tìm giá trị lớn nhất của  P  a1.a2 ...an   (ai  0) , ta thường có phép biến đổi như sau: 
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

Trang - 24


Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số

        + Lấy lũy thừa hai vế của tích với số mũ hợp lý 
        + Nhân hai vế của tích với số dương hợp lý 
Khi đó tích  P  a1.a2 ...an , được biến đổi thành tích  P1  b1.b2 ...bm  thỏa mãn. 
bi  0, i  1, n

                                              b1  b2  ...  bn  So ( không đổi) 
b  b  ...  b
n
1 2

Một số dạng toán cơ bản
Dạng 1: Cho M 1 ; M 2 ;...; M n  là các biểu thức nhận giá trị dương 
n

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P   M i  
i 1

Ví dụ 1: Cho  0  x  3;  0  y  4   
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P  (2 x  3 y )(3  x)(4  y )  
Lời giải 
Ta thấy P là tích của các biểu thức dương, tuy nhiên tổng các biểu thức đó còn phụ 
thuộc vào biến x, y. Do vậy ta sẽ biến đổi để tổng các biểu thức không đổi. 
1
P  (2 x  3 y )(3  x)(4  y )  (2 x  3 y )(6  2 x)(12  3 y )  
6

Với điều kiện 0  x  3;  0  y  4  thì  6  2 x  0;  12  3 y  0   
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 
3

 (2 x  3 y )  (6  2 x)  (12  3 y ) 
(2 x  3 y )(6  2 x)(12  3 y )  
 =216 
3


Suy ra  P  36 , dấu bằng xảy ra khi  x  0; y  2  
Vậy P có giá trị lớn nhất bằng 36, đạt khi  x  0; y  2 . 
Ví dụ 2:  Cho ba số thực dương  a, b, c  thỏa:   a  b  c  1  
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P  abc  a  b  b  c  c  a   
Lời giải 
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 
a  b  c  33 abc   1  33 abc    

 

 

 

 Lại có    a  b    b  c    c  a   3 3  a  b  b  c  c  a   

 

 

 

Từ (1) và (2) nhân vế với vế ta được: 

 2  3 3  a  b  b  c  c  a   

Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn

 

 

 

(1) 

(2) 

Trang - 25