SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (230.02 KB, 23 trang )
Sỏng kin kinh nghim : Mt s phng phỏp tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca mt biu
thc ủi s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
1
M U
hỳng ta bit rng trong chng trỡnh Toỏn hc trng
THCS hin nay, cú nhng bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht hoc
giỏ tr ln nht ca mt biu thc khi hc sinh gp phi thỡ
rt l b ng v lỳng tỳng . Vỡ trong chng trỡnh Toỏn THCS SGK cha
ủ cp nhiu v cỏch gii. Do ủú, nhiu hc sinh cha cú ủc phng
phỏp gii nhng bi toỏn dng nh th ny, m dng toỏn ny chỳng ta
ủu thy cỏc ủ thi hc k, HSG, ủ thi tuyn sinh vo lp 10, .
Vỡ th trong quỏ trỡnh dy hc (dy hc t chn, dy BDHSG,) .
Chỳng ta cn phi trang b cho hc sinh nm ủc mt s phng phỏp
gii thng gp nht trong chng trỡnh Toỏn THCS. t ủú, mi hc
sinh t mỡnh gii ủc cỏc bi toỏn dng ny mt cỏch ch ủng v sỏng
to.
ng trc thc trng trờn, vi tinh thn yờu thớch b mụn, mun
ủc ủúng gúp phn no ủ g ri cho hc sinh. Tụi xin ủa ra mt s
phng phỏp thng gp ủ tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca mt
biu thc.
C
Sỏng kin kinh nghim : Mt s phng phỏp tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca mt biu
thc ủi s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
2
NHNG C S Lí THUYT V HNG
GII QUYT
1. p dng hng ủng thc: A
2
2AB+ B
2
= (AB)
2
ủ bin ủi biu thc v
dng:
* A = a + [f(x)]
2
a suy ra minA = a khi f(x) = 0
* B = b - [f(x)]
2
b suy ra maxB = b khi f(x) = 0
2. p dng tớnh cht : | x| + | y | | x + y | ủ tỡm GTNN
Du = xy ra khi x.y 0
3. p dng tớnh cht : | x | - | y | | x y | ủ tỡm GTLN
Du = xy ra khi x y 0 hoc x y 0
4. p dng bt ủng thc:
baba
(a b 0 ) ủ tỡm GTLN.
Du = xy ra khi b(a-b) = 0
b = 0 hoc a = b
5. p dng bt ủng thc:
baba ++
(a , b 0 ) ủ tỡm GTNN
Du = xy ra khi a.b = 0
a = 0 hoc b = 0
6. p dng bt ủng thc CụSi:
+ Vi a 0, b 0 thỡ a + b 2
ab
(1)
Du = xy ra khi a = b
+ Vi a
1
, a
2
, a
3
, ., a
n
0 thỡ a
1
+ a
2
+ a
3
+ .+ a
n
n
n
n
aaaa
321
( 2)
Du = xy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= = a
n
T ủng thc (1) ta suy ra:
- Nu a.b =k ( khụng ủi) thỡ min (a +b) = 2
k
a = b
- Nu a +b = k (khụng ủi ) thỡ max( a.b) =
4
2
k
a = b
T ủng thc (2) ta suy ra:
- Nu a
1
.a
2
.a
3
. a
n
= k (khụng ủi ) thỡ min(a
1
+ a
2
+ a
3
+ .+ a
n
) = n
n
k
a
1
= a
2
= a
3
= = a
n
- Nu a
1
+ a
2
+ a
3
+ .+ a
n
= k (khụng ủi ) thỡ max(a
1
.a
2
.a
3
. a
n
) =
n
n
k
a
1
= a
2
= a
3
= = a
n
7. p dng ủiu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai l 0 (
0)
Du = xy ra khi phng trỡnh cú nghim kộp
a
b
x
2
=
(
a
b
x
'
=
)
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
3
NI DUNG
A/ Phng phỏp 1:
p dng hng ủng thc: A
2
2AB+ B
2
= (AB)
2
ủ bin ủi biu thc
v dng:
* A = a + [f(x)]
2
a suy ra minA = a khi f(x) = 0
* B = b - [f(x)]
2
b suy ra maxB = b khi f(x) = 0
Thớ d 1
: Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau:
a) A = 4x
2
+ 4x + 11
b) B = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
c) C = x
2
2x + y
2
4y + 7
Gii:
a) A = (4x
2
+ 4x + 1) + 10 = (2x +1)
2
+ 10 10
Suy ra minA = 10 khi x =
2
1
b) B = (x 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3)
= (x
2
+ 5x - 6)(x
2
+ 5x + 6)
= (x
2
+ 5x )
2
36 - 36
Suy ra minB = -36 khi x = 0 hoc x = -5
b) C = (x
2
2x + 1) +(y
2
4y + 4) + 2
= (x -1)
2
+ (y -2)
2
+2 2
Suy ra minC = 2 khi x =1 v y = 2
Thớ d 2
: Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc sau:
a) A = 5 - 8x x
2
b) B = 5 x
2
+ 2x - 4y
2
4y
Gii:
a) Ta cú A = - (x
2
+ 8x + 16) + 21
= - (x + 4)
2
+ 21 21
Suy ra maxA = 21 khi x = -4
b) Ta cú B = - (x
2
2x + 1) (4y
2
+ 4y + 1) + 7
= - (x -1)
2
- (2y + 1)
2
+ 7 7
Suy ra maxB = 7 khi x =1 v y =
2
1
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
4
Bi tp:
1) Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc:
a) A = 4 x
2
+2x
b) B = 4x x
2
Gii:
a) A = 4 x
2
+2x = 5 (x
2
2x +1) = 5 (x 1)
2
5
Suy ra maxA = 5 khi x = 1
b) B = 4x x
2
= 4 (x
2
4x + 4) = 4 (x -1)
2
4
Suy ra maxB = 4 khi x = 2
2) Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau:
a) A = x
2
+ 5y
2
-2xy +4y + 3
b) B = (x
2
- 2x)(x
2
- 2x + 2)
c) C = x
2
-4xy + 5y
2
+ 10x - 22y +28
Gii:
a) A = (x
2
2xy +y
2
) +(4y
2
+ 4y + 1) +2
= (x y)
2
+ (2y + 1)
2
+ 2 2
Suy ra minA =2 khi
=
=
=+
=
2
1
012
0
y
yx
y
yx
Vy minB =2 khi x = y =
2
1
b) B = (x
2
- 2x)(x
2
- 2x + 2)
t t = x
2
- 2x
B = t(t +2) = t
2
+ 2t = (t
2
+ 2t + 1) 1
= (t +1)
2
1 -1
MinB = -1
t = -1
x
2
- 2x = -1
x
2
- 2x +1 =0
(x 1)
2
= 0
x = 1
Vy minB = -1 khi x = 1
b) C = (x 2y)
2
+ 10(x 2y) + (y 1)
2
+ 25 + 2
= (x 2y + 5)
2
+ (y 1)
2
+ 2 2
MinC = 2 khi
=
=
=+
=
3
1
052
01
x
y
yx
y
Vy minC = 2 khi x = -3, y = 1
3) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
A =
4
3
2
++ xx
Sỏng kin kinh nghim : Mt s phng phỏp tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca mt biu
th
c ủi s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
5
Gii:
Ta cú A =
11
2
1
1
2
=
x
Suy ra maxA =1 khi x =
2
1
4) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc B =
9)1()1(44
224
++++ xxxx
Gii:
Ta cú B =
399)12(
22
=+ xx
Suy ra minB = 3 khi 2x
2
- x 1 =0
(2x + 1)(x 1) = 0
x =1 hoc x =
2
1
Vy minB =3 khi x =1 hoc x =
2
1
B/ Phng phỏp 2:
p dng tớnh cht : | x| + | y | | x + y | . tỡm GTNN ca biu
thc Du = xy ra khi x.y 0
Thớ d:
Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau:
a) A = | 2x 5 | + | 2x + 1 |
b) B = | x 1| + | x 2 | + | x 3 |
c) C = | x - 1| + | x 2 | + | x 3 | + | x 4 |
d) D =
22
2542025 xxx ++
e) E =
964412
222
+++++ xxxxxx
Gii:
a) Ta cú A = | 2x 5 | + | 2x - 1 | = | 2x 5 | + | 1- 2x | | 2x 5 + 1- 2x |
= | -4 | = 4
Suy ra minA = 4 khi (2x 5)(1 2x) 0
2
5
2
1
x
b) B = | x 1| + | x 2 | + | x 3 |
Ta cú | x 1| + | x 3 | = | x 1| + | 3 x | | x 1 + 3 x | = 2
Du = xy ra khi (x 1)(3 x) 0
1
3
x
| x 2| nh nht khi x =2
Vy min B = 2 khi x =2
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
6
c) C = | x - 1| + | x 2 | + | x 3 | + | x 4 | = | x - 1| + | x 4 | + | x 2 | + | x 3 |
Ta cú: | x - 1| + | x 4 | | x -1 +4 x | 3
Du = xy ra khi (x 1)(4 x) 0
1
4
x
Ta cú: | x 2 | + | x 3 | | x -2 +3 x | 1
Du = xy ra khi (x 2)(3 x) 0
2 3
x
Vy minC = 3 + 1 = 4 khi 2
3
x
d)Ta cú D =
22
25)25( xx +
= | 5x 2 | + |5x | |2 - 5x +5 x | = 2
Du = xy ra khi (2- 5x)5x 0
0
5
2
x
Vy minD = 2 khi 0
5
2
x
e) Ta cú E =
222
)3()2()1( ++
xxx
= | x 1| + | x 2 | + | x 3 |
Vy minE = 2 khi x =2 ( lm nh cõu b )
Bi tp:
1) Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc
a) A = | x 1 | + | x 2 | + + | x 2006 |
b) B =
4129961
22
+++ xxxx
Gii:
Chỳ ý 1: y = | x a | + | x b | ( a < b )
Min y = b a khi
bxa
a) Ta cú A = ( | x 1 | + | x 2006 | ) + ( | x 2 | + |x 2005 | ) +
+ ( | x 1002| + | x -1003 | )
Suy ra minA = 2005 + 2003 + + 1 khi
10031002
x
Vy minA = 1003
2
khi
10031002
x
b) Ta cú B =
22
)23()13( + xx
= | 3x 1 | + | 3x 2 | = | 3x 1 | + | 2 - 3x | | 3x 1 + 2 3x | = 1
Vy minB = 1 khi (3x 1)(2 3x) 0
3
2
3
1
x
Chỳ ý 2 :
y = | ax b | + | ax c | ( b < c )
Min y = c b khi
a
c
x
a
b
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
7
Thớ d
: Tỡm GTNN ca biu thc
C = | 2x -5 | + | 2x 7 |
Suy ra min C = 7 -5 = 2 khi
2
7
2
5
x
Chỳ ý 3 :
y = | ax + b | + | ax + c | ( b < c )
Min y = c b khi
a
b
x
a
c
Thớ d
: Tỡm GTNN ca biu thc
D = | 3x + 5 | + | 3x + 7 |
Suy ra min D = 7 - 5 =2 khi
3
5
3
7
x
Bi tp:
1) Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) A =
222
)2006( )2()1( +++
xxx
b) B =
222
)2007( )2()1( +++
xxx
2) Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) C =
9124144
22
+++ xxxx
b) D =
9124484144
222
+++++ xxxxxx
c) E =
161649124484144
2222
+++++++ xxxxxxxx
3) Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) F = | 2x - 1 | + | 2x 2 | + + | 2x 2006 |
b) G = | 2x - 1 | + | 2x 2 | + + | 2x 2007 |
c) H = | 2x + 1 | + | 2x + 2 | + + | 2x + 2006 |
d) I = | 2x + 1 | + | 2x + 2 | + + | 2x + 2007 |
e) K =
222
)20062( )22()12( +++
xxx
f) L =
222
)20072( )22()12( +++
xxx
g) M =
222
)20062( )22()12( ++++++
xxx
h) N =
222
)20072( )22()12( ++++++
xxx
i) O =
222
)74()64()54( +++++
xxx
k) P =
2222
)84()74()64()54( +++++++
xxxx
l) Q =
222
)20064( )19464()19454( ++++++
xxx
m) X =
222
)20074( )19764()19754( ++++++
xxx
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
8
C/ Phng phỏp3:
p dng tớnh cht : | x | - | y | | x y | ủ tỡm GTLN
Du = xy ra khi x y 0 hoc x y 0
Thớ d:
Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | b) B = | 5x + 7| - | 5x 2 |
c) C = | 4x
2
- 1975 | - | -4x
2
+ 2025 |
Gii:
a) Ta cú A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 |
| (3x + 5) - (3x + 7) | = 2
Du = xy ra
3
7
07353
++ xxx
Vy maxA = 2
3
7
x
b) Ta cú B = | 5x + 7| - | 5x 2 |
| (5x + 7) - (5x 2) | = 9
Du = xy ra
5
2
02575 + xxx
Vy maxB = 9
5
2
x
c) Ta cú C = | 4x
2
- 1975 | - | -4x
2
+ 2025 | = | 4x
2
- 1975 | - | 4x
2
- 2025|
50|)20254()19754(|
22
=
xx
Du = xy ra
2
45
2
45
02025419754
22
x
x
xx
Vy maxC = 50
2
45
2
45
x
x
Bi tp:
Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) D =
22
)819()519( +
xx b) E =
|200719||189019|
55
++
xx
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
9
D/ Phng phỏp4:
p dng bt ủng thc:
baba (a b 0 ) ủ tỡm GTLN.
Du = xy ra khi b(a-b) = 0
b = 0 hoc a = b
Thớ d:
Tỡm GTLN ca biu thc
A =
81 + xx
Gii:
Ta cú A =
39)8()1(81 ==++ xxxx
Du = xy ra khi x - 8 = 0
x = 8
Suy ra maxA = 3 khi x = 8
Bi tp:
Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) B =
200712200612 + xx
b) C =
200730197530
44
+ xx
E/ Phng phỏp5:
p dng bt ủng thc: baba ++ (a , b 0 ) ủ tỡm GTNN
Du = xy ra khi a.b = 0
a = 0 hoc b = 0
Thớ d:
Tỡm GTNN ca biu thc A = xx + 53
Gii:
KX:
53
x
Ta cú A =
2)5()3(53 =++ xxxx
Du = xy ra khi x =3 hoc x =5
Suy ra minA =
2
khi x =3 hoc x =5
Bi tp:
1)Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) B = xx 2019821120 +
b) C =
201019189019
55
++ xx
2) Cho x + y = 15 . Tỡm GTNN ca biu thc D =
34
+ yx
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
10
F/ Phng phỏp6:
p dng bt ủng thc CụSi: tỡm GTLN, GTNN
+ Vi a 0, b 0 thỡ a + b 2
ab
(1)
Du = xy ra khi a = b
+ Vi a
1
, a
2
, a
3
, ., a
n
0 thỡ a
1
+ a
2
+ a
3
+ .+ a
n
n
n
n
aaaa
321
( 2)
Du = xy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= = a
n
T ủng thc (1) ta suy ra:
- Nu a.b =k ( khụng ủi) thỡ min (a +b) = 2 k
a = b
- Nu a +b = k (khụng ủi ) thỡ max( a.b) =
4
2
k
a = b
T ủng thc (2) ta suy ra:
- Nu a
1
.a
2
.a
3
. a
n
= k (khụng ủi ) thỡ min(a
1
+ a
2
+ a
3
+ .+ a
n
) = n
n
k
a
1
= a
2
= a
3
= = a
n
- Nu a
1
+ a
2
+ a
3
+ .+ a
n
= k (khụng ủi ) thỡ max(a
1
.a
2
.a
3
. a
n
) =
n
n
k
a
1
= a
2
= a
3
= = a
n
Dng 1:
Tỡm GTLN ca biu thc cú dng A =
)()(
xgxf +
bc f(x)
bng bc g(x)
Phng phỏp gii: Ta tỡm GTLN bỡnh phng biờu thc ủú. Sau ủú ỏp
dng BT Cụsi
baab +2
Thớ d:
Tỡm GTLN ca biu thc A = xx 3753 +
Gii:
KX:
3
7
3
5
x
Ta cú A
2
=
)37)(53(2)37()53(
xxxx ++
A
2
4)37()53(2
=
+
+
xx
Du = xy ra khi
23753
=
=
xxx
Vy maxA
2
= 4 khi x = 2
Do ủú maxA = 2 khi x = 2
Bi tp:
1)Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) B =
xx + 235
b) C =
2007719547
55
++ xx
2) Cho x + y = 15 . Tỡm GTLN ca biu thc D =
34
+ yx
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
11
Chỳ ý
: Tỡm GTLN ca biu thc M =
nn
axcbax +
(b < c )
Max A
2
= 2(c b) khi x
n
=
a
bc
2
Suy ra maxA =
)(2
bc
khi x
n
=
a
bc
2
Dng 2:
Tỡm GTLN ca biu thc cú dng A =
)(
)(
xg
xf
bc f(x) bng bc
g(x).
Phng phỏp gii: Nhõn v chia f(x) vi cựng mt s khỏc 0 , sau ủú ỏp
dng BT Cụsi
)(
2
1
baab +
Thớ d: Tỡm GTLN ca biu thc A =
x
x
5
9
Gii:
KX:
9
x
Ta cú A =
30
1
10
3
99
5
)3
3
9
(
2
1
5
3.
3
9
5
9
=
+
=
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
Du = xy ra khi
183
3
9
==
x
x
Vy maxA =
30
1
khi x = 18
Bi tp:
Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) B =
x
x
7
16
b) C =
x
x
7
253
e) F =
x
x
3
52
c) D =
x
x
2006
4910
d) E =
2
2
2006
252
x
x
Hng dn
: a) Nhõn v chia biu thc x 16 cho cựng mt s 4 (
416 =
)
b) Nhõn v chia biu thc 3x 25 cho cựng mt s 5 (
525 =
)
c) Nhõn v chia biu thc 10x 49 cho cựng mt s 7 (
749 =
)
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
12
d) Nhõn v chia biu thc2x
2
25 cho cựng mt s 5 (
525 =
)
e) Nhõn v chia biu thc 2x 5 cho cựng mt s
5
Chỳ ý
: Tỡm GTLN ca biu thc N =
n
n
cx
bax
Suy ra MaxN =
bc
a
2
khi x
n
=
a
b2
Dng 3:
Tỡm GTNN ca biu thc cú dng A =
)(
)(
xg
xf
bc ca f(x) ln
hn bc ca g(x).
Phng phỏp gii: Bin ủi biu thc ủó cho thnh mt tng ca cỏc biu
thc sao cho tớch ca chỳng l mt hng s ( Tỏch mt hng t thnh tng ca nhiu
hng t bng nhau) , ri ỏp dng BT Cụsi
Thớ d :
Cho x > 0 , tỡm GTNN ca biu thc M =
x
x
2
)1994( +
Gii:
Ta cú M =
1994.21994.21994.2
1994
.21994.2
199419941994.2
2222
+=+++=
++
x
x
x
x
x
x
= 4.1994
Du = xy ra khi
1994
1994
2
== x
x
x
Vy minM = 4.1994 khi x = 1994
Bi tp:
1) Cho x > 0 , tỡm GTNN ca cỏc biu thc
a) A =
3
4
163
x
x +
b) B =
7
8
2567
x
x +
c) C =
x
xx
2
562
2
+
Gii:
a) Ta cú A =
8
16
4
1616
3
4
333
=+++=+
x
xxx
x
xxx
x
x
Du = xy ra khi
2
16
3
== x
x
x
Vy minA = 8 khi x = 2
b)Ta cú B =
162.8
256
8
256256
7
8
777
==+++++++=+
x
xxxxxxx
x
xxxxxxx
x
x
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
13
Du = xy ra khi
2
256
== x
x
x
Vy minB = 16 khi x = 2
c) Ta cú C =
3103
2
5
23
2
5
.23
2
5
2
5
3 ==+=+
x
x
x
x
x
x
Du = xy ra khi
10
2
1
52
2
5
2
=== xx
x
x
Vy minC =
310
10
2
1
= x
2) Cho a, b, x > 0 . Tỡm GTNN ca biu thc D =
x
bxax ))((
+
+
Gii:
Ta cú D =
2
2
)(2.2
)(
babaabba
x
ab
xba
x
ab
x
x
abxbax
+=++=+++++=
+++
Du = xy ra khi
abx
x
ab
x ==
Vy minD =
2
)( ba +
khi
abx =
3) Cho
0
x
, tỡm GTNN ca biu thc
a) E =
)1(2
172
2
+
++
x
xx
b) F =
3
346
+
++
x
xx
Gii:
a) Ta cú E =
42.2
1
8
.
2
1
2
1
8
2
1
)1(2
16)1(
)1(2
1612
22
==
+
+
+
+
+
=
+
++
=
+
+++
x
x
x
x
x
x
x
xx
Du = xy ra khi
=
=
=+
=+
=+
+
=
+
5
3
41
41
16)1(
1
8
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x = - 5 < 0 (loi)
Vy minE = 4 khi x =3
b)Ta cú F =
10
3
25
)3(2
3
25
3
3
25)3(
3
2596
2
=
+
+
+
++=
+
++
=
+
+++
x
x
x
x
x
x
x
xx
Du = xy ra khi
=
=
=+
=+
=+
+
=+
8
2
53
53
25)3(
3
25
3
2
x
x
x
x
x
x
x
08
<=
x
(loi ) . Do ủú x =4
vy minF = 10 khi x = 4
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
14
4) Cho x > 0. Tỡm GTNN ca biu thc G =
x
x 2000
3
+
Gii:
Ta cú G =
300100.3
1000
.
1000
3
100010002000
3
222
==++=+
xx
x
xx
x
x
x
Du = xy ra khi
101000
1000
32
=== xx
x
x
Vy minG = 300 khi x = 10
5) Cho x > y . Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau
a) H =
yx
yxx
++
22
2,1
bit x.y = 5 b) I =
yx
yx
+
22
bit x.y = 2
Gii:
a) Ta cú H =
8
16
).(2
162,32,3)(
2
=
+=
+=
+
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xyyx
Du = xy ra khi
4
16
=
= yx
yx
yx
.
Kt hp vi ủiu kin x.y =5 ta suy ra ủc x =5, y =1 hoc x =-1 , y = -5
Vy minH = 8
x =5, y =1 hoc x =-1 , y = -5
b) Ta cú I =
4
4
).(2
422)(
2
=
+=
+=
+
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xyyx
Du = xy ra khi
2
4
=
= yx
yx
yx
Kt hp vi ủiu kin x.y =2 ta suy ra ủc
31,31
+=+=
yx
hoc
31,31 == yx
Vy minI = 4
31,31
+=+=
yx
hoc
31,31
==
yx
6) Cho x >0 .Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau
a) K =
x
xx
+
1
b) P =
1
8
+
+
x
x
Gii:
a) Ta cú K =
11.
1
.21
1
=+ x
x
x
x
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
15
Du = xy ra khi
1
1
==
xx
x
Vy minK = 1 khi x = 1
b)Ta cú
P =
42
1
9
).1(22
1
9
1
1
9
1
1
91
1
8
=
+
+
+
++=
+
+=
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Du = xy ra khi
4
1
9
1 =
+
=+ x
x
x
Vy minQ = 4 khi x = 4
7) Cho x > 9 .Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau Q =
3
4
x
x
Gii:
Ta cú Q =
3
36
124
3
36
)3(4
3
36)9(4
3
36364
3
4
++=
++=
+
=
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4824
3
36
)3(4224
3
36
)3(41212
3
36
124 =+
+
+=++
+=
x
x
x
x
x
x
Du = xy ra khi
=
=
=
=
=
0
36
33
33
3
36
)3(4
x
x
x
x
x
x
Kt hp K x > 9 nờn x = 0 ( loi )
Vy minQ =48 khi x =36
7) Tỡm GTLN ca biu thc L =
1
2
+
x
x
Gii:
Ta qui v tỡm GTNN ca biu thc
1
4
1
2
2
1
.
2
2
2
1
2
2
11
==+=
+
=
x
x
x
x
x
x
L
Du = xy ra khi
1
2
1
2
==
x
x
x
Vy Min
11
1
==
x
L
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
16
Do ủú maxL =1 khi x = 1
8) Tỡm giỏ GTLN ca biu thc y
2
)1982(
+
=
x
x
Gii:
Ta qui v tỡm GTNN ca biu thc
x
x
y
2
)1982(1 +
=
Ta cú
1982.41982.2
1982
.21982.2
19821982.219821
2222
=+++=
++
=
x
x
x
x
x
xx
y
Du = xy ra khi
1982
1982
2
== x
x
x
Vy min
1982.4
1
=
y
khi x = 1982
Do ủú max y =
1982
.
4
1
khi x = 1982
Dng 4:
Tỡm GTLN ca biu thc cú dng : A = f(x).g(x) , bc f(x) bng bc
g(x)
Phng phỏp gii: - Bin ủi f(x) + g(x) = k ( k l hng s )
- p dng BT Cụsi: a.b
4
)(
2
ba +
Du = xy ra khi a = b
Thớ d 1 :
Tỡm GTLN ca biu thc A = x
3
(16 x
3
)
Gii:
Ta cú A =x
3
(16 x
3
)
[
]
64
4
16
4
)16(
2
2
33
==
+
xx
Du = xy ra khi x
3
= 16 x
3
x
3
= 8
x = 2
Vy maxA = 64 khi x = 2
Thớ d 2 :
Tỡm GTLN ca biu thc B = (1 x )(2x 1) vi
1
2
1
x
Gii:
Ta cú B = (1 x )(2x 1) =
2
1
(2 2x )(2x 1)
8
1
1.
8
1
4
)1222(
.
2
1
2
==
+
xx
Du = xy ra khi 2 2x = 2x 1
x =
4
3
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
17
Vy maxB =
8
1
khi x =
4
3
Bi tp:
Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) C = (2x
2
1)(2 x
2
) b) D = (3x + 5)(2 x)
Dng 5:
Tỡm GTNN ca biu thc cú dng: A = f(x) + g(x)
Phng phỏp gii: Bin ủi biu thc ủó cho thnh mt tng ca cỏc biu
thc sao cho tớch ca chỳng l mt hng s
( tỏch mt hng t cha bin thnh tng ca mt hng s vi mt hng t ny
l nghch ủo ca mt hng t khỏc cú trong biu thc ủó cho , cú th sai khỏc mt
hng s )
Thớ d:
Cho 0 < x < 12 . Tỡm GTNN ca biu thc A =
x
x
x 2
2
9
+
Gii:
Ta cú A =
713.21
2
.
2
9
21
2
2
92
2
9
=+=+
+
+
=+
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
Du = xy ra khi
2
12
2
9
==
x
x
x
x
Vy minA = 7 khi
2
1
=
x
Bi tp:
1) Cho x > 1 , tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) B =
1
1
+
x
x
b) C =
1
25
4
+
x
x
Gii:
a) Ta cú B =
31
1
1
).1(21
1
1
1
1
1
=+
+
+=
+
x
x
x
x
x
x
Du = xy ra khi
=
=
==
=
0
2
111)1(
1
1
1
2
x
x
xx
x
x
Vỡ x > 1 nờn x =0 (loi)
Vy minB = 3 khi x =2
b) Ta cú C =
24410024
1
25
).1(424
1
25
)1(4
1
25
4
=+=+
+
+=
+
x
x
x
x
x
x
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
18
Du = xy ra khi
=
=
=
=
=
=
2
3
2
7
2
5
1
2
5
1
4
25
)1(
1
25
)1(4
2
x
x
x
x
x
x
x
Vỡ x > 1 nờn
2
3
=
x
(loi)
Vy minC = 24 khi
2
7
=x
2) Cho x, y > 0 v x + y > 6. Tỡm GTNN ca biu thc D =
yx
yx
1612
35 +++
Gii:
Ta cú D =
3281212
16
.2
12
.326.2)
16
()
12
3()(2
=++=+++++++
y
y
x
x
y
y
x
xyx
Du = xy ra khi
x
x
12
3 =
v
y
y
16
=
x = 2 v y = 4
Vy minD = 32
x = 2 v y = 4
3) Cho x, y, z
0
tha món ủiu kin: x + y + z = 2007
a) Tỡm GTLN ca biu thc E = xy + yz + zx.
b) Tỡm GTNN ca biu thc F = x
2
+ y
2
+ z
2
Gii:
p dng BT Cụsi : a
2
+ b
2
2ab
a) Ta cú
2
.
22
yx
yx
+
2
.
22
zy
zy
+
2
.
22
xz
xz
+
222
zyxzxyzxy
++++
)(2)(
2
zxyzxyzyxzxyzxy
++++++
2
)()(3 zyxzxyzxy
++++
2
20073
E
447561669
3
2007
2
2
==
E
Du = xy ra khi
669
3
2007
==== zyx
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
19
Vy maxE = 447561 khi x = y = z = 669
b)Ta cú F =
)(2)(
2222
zxyzxyzyxzyx
++++=++
)(22007
2
zxyzxy
++=
F min
)( zxyzxy
+
+
max
447561)(
=
+
+
zxyzxy
(theo cõu a )
Khi ủú minF =
2
22
2
669
3
2007
3
2007.2
2007 ==
khi
669
3
2007
====
zyx
4) Cho x, y, z
0
tha món ủiu kin: x + y + z = a ( a l hng s dng)
a) Tỡm GTLN ca biu thc E = xy + yz + zx.
b) Tỡm GTNN ca biu thc F = x
2
+ y
2
+ z
2
G/ Phng phỏp7:
p dng ủiu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai l 0 (
0)
Du = xy ra khi phng trỡnh cú nghim kộp
a
b
x
2
=
(
a
b
x
'
=
).
tỡm GTNN, GTLN ca biu thc
Thớ d :
Tỡm GTNN ca biu thc A = 5x
2
4x + 1
Gii:
Gi a l mt giỏ tr ca biu thc A . Biu thc A nhn giỏ tr a khi v ch
khi phng trỡnh 5x
2
4x + 1 = a cú nghim
5x
2
4x + 1 a = 0 (*) cú nghim
5
1
015' = aa
Vy minA =
5
1
phng trỡnh (*) cú nghim kộp x =
5
2
Bi tp:
1) Tỡm GTNN ca biu thc B =
1
2
12
2
2
+
+
x
x
xx
Gii:
KX: x
1
Gi a l mt giỏ tr ca B , phng trỡnh
a
x
x
xx
=
+
+
1
2
12
2
2
(1) phi cú nghim
PT (1)
0)1()12()1(
2
=+
axaxa
(2)
- Nu a = 1 thỡ x =0
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
20
- Nu a
1 thỡ (2) l phng trỡnh bc hai
34)1(4)12(
22
==
aaa
PT (2) cú nghim
4
3
034
aa
Vy minB =
4
3
khi PT (2) cú nghim kộp x = -1
2) Tỡm GTNN ca biu thc P =
1
1
2
2
+
+
+
x
x
xx
Gii:
KX: x
R
Gi a l mt giỏ tr ca P , phng trỡnh
a
x
x
xx
=
+
+
+
1
1
2
2
(1) phi cú nghim
PT (1)
01)1()1(
2
=++
axaxa
(2)
- Nu a = 1 thỡ x =0
- Nu a
1 thỡ (2) l phng trỡnh bc hai
3103)1(4)1(
222
+=+= aaaa
PT (2) cú nghim
3
3
1
03103
2
+=
aaaa
Vy minP =
3
1
khi PT (2) cú nghim kộp x = 1
3)Tỡm GTNN, GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) Q =
1
34
2
+
x
x
b) K =
3
2
12
2
2
+
+
x
x
xx
Gii:
a) KX: x
R
Gi a l mt giỏ tr ca Q , phng trỡnh
a
x
x
=
+
1
34
2
(1) phi cú nghim
PT (1)
034
2
=++
axax
(2)
- Nu a = 0 thỡ PT (2) l -4x = -3 cú nghim x =
4
3
- Nu a
0 thỡ (2) l phng trỡnh bc hai
43)3(4'
2
+=+= aaaa
PT (2) cú nghim
14043'
2
+=
aaa
Vy: minQ = -4 khi PT (2) cú nghim kộp x =
2
1
maxQ = -1 khi PT (2) cú nghim kộp x = 2
b) KX: x
R
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
21
Gi a l mt giỏ tr ca K , phng trỡnh
a
x
x
xx
=
+
+
3
2
12
2
2
(1) phi cú nghim
PT (1)
0)13()1(2)1(
2
=+++ axaxa
(2)
- Nu a = 1 thỡ PT (2) l -4x = -4 cú nghim x = 1
- Nu a
1 thỡ (2) l phng trỡnh bc hai
242)13)(1()1('
22
++=++= aaaaa
PT (2) cú nghim
21210242'
2
+++=
aaa
Vy: minK =
21
khi PT (2) cú nghim kộp x =
21
maxK =
21
+
khi PT (2) cú nghim kộp x =
21
+
4) Tỡm cp s (x,y) tha món phng trỡnh : 3x
2
6x +y 2 = 0 (1)
sao cho y ủt giỏ tr ln nht.
Gii:
Xột phng trỡnh bc hai , n x tham s y.
Nu tn ti cp s (x,y) tha món phng trỡnh (1) thỡ PT (1) phi cú
nghim.
Do ủú
50)2(390'
yy
Vy max y = 5 khi PT(1) cú nghim kộp x =1
Nờn cp s cn tỡm l (1;5)
5) Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) E =
1
2
1
2
2
+
+
++
x
x
xx
b) F =
x
x
2
)2007( +
6) Tỡm GTLN ca biu thc G =
2
)2000(
+
x
x
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
22
KT LUN
Trờn ủõy l nhng phng phỏp, nhng dng bi tp m qua quỏ trỡnh
ging dy, tham gia bi dng hc sinh gii, dy hc t chn m bn thõn tụi
ủó tng hp ủc. Tht ra ủõy l nhng bi toỏn m ta cú th bt gp cỏc
sỏch, ủ thi, .
Vic phõn chia cỏc dng bi tp trong ti liu ny ch cú tớnh tng ủi
ủ cho d tỡm. Trong mi bi toỏn , tu theo cỏch nhỡn m ta s cú hng gii
tng ng. hc sinh cú ủc cỏch gii tng ng ca mi bi toỏn thỡ
phi dy cho hc sinh nm tht chc cỏc kin thc c bn, nm ủc cỏc
phng phỏp gii cỏc dng bi tp v thng xuyờn rốn luyn k nng gii
bi tp cho hc sinh.
Vi suy ngh nh vy. Tụi tin tng mi chỳng ta cú th lm cho hc
sinh khụng cũn b ng v lỳng tỳng khi gp dng toỏn nh th ny.Vỡ kh
nng v thi gian cú hn nờn sỏng kin ny xin tm dng ti ủõy.
Rt mong s gúp ý ca cỏc ủng chớ, ủng nghip ủ sỏng kin ny
ủc phỏt huy v ủc m rng hn na.
Ba T, ngy 20 thỏng 11 nm 2006
Ngi vit
Tran
TranTran
Tran
Ngoùc
Ngoùc Ngoùc
Ngoùc
Duy
DuyDuy
Duy
Sỏng ki
n kinh nghi
m : M
t s
ph
ng phỏp tỡm giỏ tr
nh
nh
t, giỏ tr
l
n nh
t c
a m
t bi
u
th
c
ủ
i s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
23
TI LIU THAM KHO
1. Toỏn nõng cao i s 8 ca Nguyn V Thanh NXB Giỏo dc -1997
2. Toỏn nõng cao i s 9 ca Nguyn V Thanh NXB Nng -1996
3. Bi tp nõng cao v mt s chuyờn ủ Toỏn 9 ca Bựi Vn Tuyờn - NXB
Giỏo dc 2005
4. Mt s ủ thi HSG cỏc cp v thi tuyn sinh vo lp 10,
