skkn một số vấn đề về PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG mặt PHẲNG

BM 01-Bia SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thu Phương
Lĩnh vực nghiên cứu: Toán 10
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán..................... 
(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: ....................................................... 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2015- 2016

1

BM02-LLKHSKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Thị Thu Phương
2. Ngày tháng năm sinh: 16/10/1987
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: Xuân Hưng- Xuân Lộc- Đồng Nai
5. Điện thoại: 0982 177 624
6. E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy môn Toán.
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Hưng
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 2011
- Chuyên ngành đào tạo: Giảng dạy môn Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: 5 năm
Số năm có kinh nghiệm: 5 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

2


MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Môn toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng là
môn học hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác trong trường phổ thông như:
Lý, Hoá, Sinh, Văn.... Như vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong
Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt
những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh
hệ thống kiến thức, kỹ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học
sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ
luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, đặc biệt là những trường vùng
nông thôn như trường THPT Xuân Hưng thì chất lượng học tập môn Toán của học
sinh còn thấp, hầu hết các em sợ học môn Toán.
Qua 5 năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 10 khi học bài phương
trình đường tròn, đặc biệt là phần bài tập về phương trình đường tròn thì các em rất
khó tiếp thu và áp dụng. Mà bài tập về phương trình đường tròn lại luôn có mặt
trong các đề thi học kì, đề thi THPT quốc gia. Vì vậy để giúp học sinh khối 10 học
tốt phần bài tập phương trình đường tròn tôi đã chọn đề tài ‘‘Một số vấn đề về
phương trình đường tròn trong mặt phẳng”.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Dựa trên những kiến thức đã được học về phương trình đường tròn trong mặt
phẳng. Từ đó hướng dẫn các em vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải bài
tập. Thông qua các ví dụ đưa ra giúp các em cũng cố lý thuyết và biết vận dụng
vào giải một số bài tập tương tự.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Chuyển thể từ kiến thức phức tạp thành thực hành đơn giản, dễ hiểu. Giáo
viên đưa liều lượng kiến thức vừa phải, thích hợp với năng lực và điều kiện của
học sinh.
Giáo viên luôn tạo một môi trường thân thiện giữa thầy và trò. Luôn cho học
sinh một cảm giác gần gũi, dạy thật, học thật ngay từ đầu. Dạy theo điều kiện thực

tế không quá áp đặt chủ quan.
Đưa ra những vấn đề liên quan đến phương trình đường tròn trong mặt
phẳng:
Vấn đề 1: Nhận dạng phương trình đường tròn tìm điều kiện để một phương trình
là phương trình đường tròn.
Vấn đề 2: Lập phương trình đường tròn.
Vấn đề 3: Sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn.
Vấn đề 4: Sự tương giao giữa hai đường tròn.
3


Vấn đề 5: Các bài toán liên quan đến họ đường tròn.
Vấn đề 6: Một số cách lập khác của phương trình đường tròn.
Từ những vấn đề trên mỗi vấn đề đưa ra phương pháp giải một số dạng bài
toán cụ thể, một số ví dụ áp dụng từ đơn giản đến phức tạp hơn. Sau khi các em đã
biết được lý thuyết và ví dụ thì áp dụng giải một số bài tập tương tự.

4


VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. TÌM ĐIỀU
KIỆN ĐỂ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.
1. Phương pháp:
Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng x + y - 2ax - 2by + c = 0
Xét dấu biểu thức: T = a + b - c (1)
* Nếu T > 0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a ;b) bán kính
R= .
* Nếu T ≤ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2 : Đưa phương trình về dạng : (x - a) + (y - b) = T (2)
* Nếu T > 0 thì phương trình (2) là phương trình đường tròn tâm I(a ;b), bán kính

R=.
* Nếu T ≤ 0 thì phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.
2. Các ví dụ :
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào phương trình đường
tròn ? Tìm tâm và bán kính nếu có :
a) x + y + 2x - 4y + 9 = 0

(1)

b) x + y - 6x + 4y + 13 = 0

(2)

c) x + y + 4x - 6y - 12 = 0

(3)

d) 2x + 2y - 4x + 8y - 2 = 0 (4)
e) 4x + 3y - 6x - 3y - 1 = 0 (5)
Giải:
a) (1) có dạng x + y - 2ax - 2by + c = 0, với a = -1, b = 2, c = 9
Ta có : a + b - c = (-1) + 2 - 9 = -4 < 0
Vậy (1) không phải là phương trình đường tròn.
b) (2) có dạng : x + y - 2ax - 2by + c = 0 với a = 3, b = -2, c = 13.
Ta có : a + b - c = 3 + (-2) - 13 = 0
Vậy (2) không phải là phương trình đường tròn.
c) (3) có dạng : x + y - 2ax - 2by + c = 0, với a = -2, b = 3 và c = -12
Ta có : a + b - c = (-2) + 3 - (-12) = 25 > 0.
Vậy (3) là phương trình đường tròn tâm O(-2 ;3), bán kính R = = = 5
d) Ta có : (4) ⇔ x + y - 2x + 4y - 1 = 0 ⇔ (x -1) + (y + 2) = 6

Vậy (4) là phương trình đường tròn tâm O(1 ; -2), bán kính R = .
e) Phương trình (5) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số x và y là
khác nhau.

5


Ví dụ 2: Cho phương trình : x + y - 2mx + 6my + 9m + 1 = 0 (1)
a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn thì hãy tìm toạ độ tâm và bán kính
đường tròn đó theo m.
Giải:
a) (1) có dạng: x + y - 2ax - 2by + c = 0 với a = m, b = -3m và c = 9m + 1
(1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi: > 0
mà > 0 ⇔ m + (-3m) - 9m - 1 > 0 ⇔ 10m - 9m - 1 > 0
⇔
b) Khi m > 1 hoặc m < thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(m, -3m) và có
bán kính R = .
3. Một số bài tập ứng dụng:
Bài 1: Tìm toạ độ tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) (x + 4) + (y - 2) = 7

d) x + y - 6x - 4y + c = 36

b) (x - 5) + (y + 7) = 16

e) x + y + 8x - 6y - 8 = 0

c) x + y = 1

g) 4x + 4y - 8x - 12y - 4 = 0

Bài 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn ? Tìm
tâm và bán kính nếu có.
a) x + y + 2x + 3y + 10 = 0

c) x + y - 2x - 6y - 10 = 0

b) 3x + y - 2x - 5y - 1 = 0

d) 2x + 2y - 6x - 4y - 1 = 0

Bài 3: Cho phương trình : x + y - 6mx + 8my + 23m + 2 = 0 (2)
a) Với giá trị nào của m thì (2) là phương trình đường tròn
b) Nếu (2) là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính của
đường tròn này.
VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1. Một số dạng toán về lập phương trình đường tròn:
Dạng 1: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trước.
Cách 1:
* Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)
* Tìm bán kính R của đường tròn (C)
* Viết phương trình (C) theo dạng: (x - a) + (y - b) = R
Cách 2:
* Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x + y - 2ax - 2by + c = 0

6


* Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a, b, c

Giải hệ phương trình tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C)
Chú ý: Đường tròn (C) đi qua A, B ⇔ IA = IB = R
Trong dạng này có một bài toán rất hay gặp “viết phương trình đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC ” bài toán này cũng chính là bài toán viết phương trình
đường tròn đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước. Ta thường giải bài
toán này theo cách 2.
Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(2; -3) và đi qua M(-2; 3).
b) (C) có đường kính AB với A(1;1) và B(7;5).
Giải:
a) Ta có: IM = =
Vậy phương trình của (C) là: (x - 2) + (y + 3) = 52
b) Tâm I của (C) là trung điểm của AB
Ta có:
Do đó: R = IA = =
Vậy phương trình của (C) là: (x - 4) + (y - 3) = 13.
Ví dụ 4: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(-2; 4), B(5; 5),
C(6; -2).
Giải:
Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x + y - 2ax - 2by + c = 0 ( > 0)
(C) đi qua ba điểm A, B, C khi và chỉ khi:
⇔

⇔

Vậy phương trình đường tròn có dạng: x + y + 4x + y -20 = 0.
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng:
Chú ý:
* Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d(I, ∆) = R
* Đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A

⇔ d(I, ∆) = IA
* Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ và ∆
⇔ d(I,∆) = d(I, ∆) = R.
Ví dụ 5: Lập phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(1;3) và tiếp xúc Ox.
7


b) (C) có tâm I(1;1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x + 4y -1 = 0.
Giải:
a) Đường thẳng Ox có phương trình: y = 0 (∆)
Ta có: R = d(I, ∆) = = 1.
Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x -1) + (y - 3) = 1
b) Ta có: R = d(I, ∆) = =
Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x - 1) + (y - 1) = .
Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox, Oy và đi
qua M(1;2).
Giải:
Vì đường tròn tiếp xúc Ox, Oy và đi qua M(1;2) thuộc góc phần tư thứ nhất
nên đường tròn cần tìm cũng thuộc góc phần tư thứ nhất.
Do đó tâm của đường tròn có toạ độ I(R;R), R > 0, R là bán kính của đường tròn.
Ta có: IM = R ⇔ (R - 1) + (R - 1) = R
⇔ R - 6R + 5 = 0 ⇔
Vậy có hai đường tròn thoã mãn điều kiện bài toán là: (x - 1) + (y - 1) = 1 hoặc
(x - 1) + (y - 1) = 25.
Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng ∆: 4x - 3y + 1 = 0 và ∆: 3x + 4y - 4 = 0
Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng ∆: x - y - 1 = 0 và tiếp
xúc với ∆ và ∆.
Giải:
Đường tròn cần tìm có tâm nằm trên đường thẳng ∆ suy ra toạ độ tâm I có dạng

(a +1; a).
Ta có: d(I;∆) = =
d(I;∆) = =
Vì đường tròn tiếp xúc với ∆ và ∆ nên ta có:
= ⇔ = ⇔
⇔

⇔

Với a = 1 ⇒ I(2;1) và R = ⇒ phương trình đường tròn: (x - 2) + (y - 1) =
Với a = ⇒ I( ; ) , và R =
⇒ phương trình đường tròn: + = .

8


Ví dụ 8: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(-1;0), B(1;2) và tiếp xúc
với đường thẳng ∆: x - y - 1 = 0
Giải:
Gọi I(a;b) và R là bán kính của đường tròn (C) cần tìm suy ra phương trình của
(C) là: (x - a) + (y - b) = R
(C) tiếp xúc ∆: x - y - 1 = 0 ⇔ d(I,∆) = R ⇔ = R
A, B ∈ (C) ⇔

⇔

Từ (1) và (2) suy ra: (a + 1) + b = (a - 1) + (b-2) ⇔ a = 1 - b
Thay a = 1 - b vào (2) ta có: b + (b - 2) = 2b ⇔ b = 1 ⇒ a = 0 , R =
Phương trình của (C) là: x + (y - 1) = 2
Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn của (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm

A(2;0) và đi qua B(5;1).
Giải:
Đường tròn (C) tiếp xúc với Ox tại A(6;0) nên a = 6, = R. Khi đó:
Đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R có phương trình:
(x - a) + (y - b) = R (1)
(1) ⇔ (x - 6) + (y - b) = b
B(5;1) ∈ (C) ⇒ (5 - 2) + (1 - b) = b ⇔ 2b = 10 ⇔ b = 5 ⇒ R = 5
Phương trình của (C) là: (x - 2) + (y - 5) = 25.
Dạng 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Cách 1:
* Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác
* Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm I
* Tính khoảng cách từ tâm I đến 1 trong 3 cạnh của tam giác ta được
đường tròn nội tiếp
Cách 2:
*Tính diện tích ∆ABC và độ dài các cạnh của tam giác để suy ra bán kính
đường tròn nội tiếp ∆: r =
* Gọi I(x,y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, suy ra khoảng cách từ tâm I
đến ba cạnh bằng nhau và bằng r. Từ đó thành lập được hệ phương trình 2 ẩn x và
y.
* Giải hệ phương trình đó tìm được x, y từ đó có phương trình đường tròn
phải tìm.
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 2x + y - 5 = 0

9


BC: x + 2y + 2 = 0; AC: 2x - y + 9 = 0. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam
giác ABC.
Giải:

Phương trình các đường phân giác góc A:
=±
⇔

Ta có: (- 3 - 7).((1 - 7) > 0 ⇒ B và C nằm về một phía của (1) ⇒ (1) là đường phân
giác ngoài của góc A. Vậy phân giác trong của góc A là đường thẳng (2).
Các đường phân giác của góc B là:
=±

⇔

Ta có: (-1 + 7 - 1).(-4 + 1 - 1) = -20 < 0
⇒ A, C nằm về hai phía của (4) ⇒ đường phân giác trong của góc B là (4)
Gọi I, R là tâm và bán kính của (C) nội tiếp ∆ABC.
⇒ Toạ độ I là nghiệm của hệ

⇔

⇔ I(-1; 2)

R = d(I,AB) = =
Vậy (C) có phương trình: (x + 1) + (y - 2) = 5.
Ví dụ 11: Cho ba điểm O(0;0), A(8;0) và B(0;6).
a) Viết phương trình ngoại tiếp ∆OAB
b) Viết phương trình nội tiếp ∆OAB
Giải:
a) Nhận xét ∆OAB vuông tại O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆OAB là
trung điểm của cạnh huyền AB ⇒ I(4;3).
Bán kính R = IA = = 5
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB: (x - 4) + (y - 3) = 25.

b) Diện tích ∆OAB là S = .8.6 = 24
Cạnh huyền AB = = 10
Nửa chu vi: p = 12 ⇒ r = = 2
Vì đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ I(a;a) = (2;2)
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp ∆OAB là: (x - 2) + (y - 2) = 41.
2. Một số bài tập ứng dụng
Bài 1) Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(1;2) và đi qua N(0;-1)
b) (C) có đường kính AB với A(1 ; -1) ; B(5 ; 7)
c) (C) có tâm I(-1 ;1) tiếp xúc với đường thẳng : 3x + 4y - 1 = 0
10


Bài 2) Cho ba điểm A(1 ;4), B(-7 ; 4), C(2;5)
a) Lập phương trình đường tròn của (C) ngoại tiếp ∆ABC
b) Tìm tâm và bán kính (C).
Bài 3) Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(-1;2), B(-2;3) và có tâm nằm trên
đường thẳng ∆: x + y - 3 = 0
Bài 4) Cho 2 đường thẳng ∆: 3x + 4y - 1 = 0 và ∆: 4x + 3y - 8 = 0. Lập phương
trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : -2x + y - 1 = 0 tiếp với ∆ và ∆.
Bài 5) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục toạ độ và đi qua
B(9 ;9).
Bài 6) Lập phương trình của đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng:
4x - 3y - 1 = 0 tại A(1 ;1) và đi qua B(3 ;2).
Bài 7) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4x - 3y - 1 = 0
tại A(1 ;1) và đi qua B(9 ;9).
Bài 8) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết đường thẳng
AB là : -x + y - 2 =0. Phương trình BC : -x + y + 2 = 0 và phương trình AC là x +
y - 8 = 0.
Bài 9) Lập phương trình đường tròn nội tiếp ∆ ABC biết phương trình các cạnh

AB : 3x + 4y - 6 = 0, phương trình cạnh AC: 4x + 3y - 1 = 0, phương trình cạnh
BC : y = 0.
Bài 10) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : -3x + 4y - 8
= 0 tại A(4 ;5) và đi qua B(-3 ; -2).
VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG
VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 (1) (A + B ≠ 0)
và đường tròn (C): x + y - 2ax - 2by + c = 0 (2)
(C) có tâm I(a;b) và bán kính R
Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn ta có hai cách
Cách 1: Xét số giao điểm của ∆ và (C). Số giao điểm của ∆ và (C) là số nghiệm
của hệ phương trình: (*)
Nếu hệ (*) vô nghiệm thì ∆ và (C) không có điểm chung ⇒ ∆ không cắt (C).
Nếu hệ (*) có nghiệm duy nhất thì ∆ và (C) có một điểm chung ⇒ ∆ tiếp xúc với
đường tròn.
Nếu hệ (*) có hai nghiệm phân biệt thì ∆ và (C) có hai giao điểm ⇒ ∆ cắt đường
tròn tại hai điểm phân biệt.

11


Cách 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến ∆ với bán kính R.
Bước 1: Tìm toạ độ tâm I(a;b) và bán kính R.
Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm I đến ∆ ⇒ m = d(I,∆) =
Trường hợp 1: m> R suy ra ∆ không cắt đường tròn (C) suy ra ∆ và (C) không có
giao điểm nào.
Trường 2: h = R ⇒ ∆ tiếp xúc đường tròn ⇒ ∆ và (C) có duy nhất một giao điểm.
Trường hợp 3: h < R ⇒ ∆ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ⇒ ∆ và (C) có hai
giao điểm.

Ví dụ 12: Cho đường tròn (C): x + y + 2x - 4y - 8 = 0 và đường thẳng
d: x - 5y - 2 = 0
a) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).
b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d.
Giải:
a) (C) có tâm I(-1,2) bán kính R = =
b) Toạ độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ phương trình:
Từ (1) ⇒ x = 5y + 2 thay vào (2): (5y + 2) + y - 2(5y + 2) - 4y - 8 = 0
⇔ 26y + 26y = 0 ⇔
Với y = 0 thay vào (1) : x = 2
Với y = -1 thay vào (1) : x = -3
Vậy giao điểm của (C) và (d) là A(2 ;0) , B(-3 ;-1).
Ví dụ 13: Biện luận theo m vị trí tương đối của:
(C): x + y + 2x - 2y - 2 = 0 và đường thẳng ∆ : x - my + 2m + 3 = 0
Giải:
Gọi I là tâm, R là bán kính (C):
⇒ I(-1 ; 1), R = = 2
Ta có: d(I,∆) = =
Trường hợp 1: < 2 ⇔ (m + 2) < 4(1 + m)
⇔ 3m - 4m > 0 ⇔
⇒ ∆ có hai điểm chung (C).
Trường hợp 2: = 2 ⇔ (m + 2) = 4(1 + m) ⇔ 3m - 4m = 0
⇔ ⇒ ∆ tiếp xúc với (C).
Trường hợp 3: > 2 ⇔ (m + 2) > 4(1 + m)

12


⇔ 3m - 4m < 0 ⇔ 0 < m < ⇒ ∆ không có điểm chung (C).
Ví dụ 14: Cho đường tròn (C): x + y - 2x + 4y - 14 = 0 và điểm M(2; -3).

a) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt
sao cho đoạn AB đạt giá trị lớn nhất.
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho đoạn AB ngắn nhất.
Giải:
Đường tròn có tâm I(1; -2), R = 3
IM = = < 3
⇒ M nằm trong đường tròn ⇒ mọi đường thẳng đi qua M đều cắt đường tròn tại
hai điểm phân biệt.
a) ∆ đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho AB lớn nhất ⇔ AB là
đường kính của (C)⇒ ∆ đi qua M và = (1;-1) là vec tơ chỉ phương ⇒ vectơ pháp
tuyến của ∆ là (1;1).
Vậy phương trình ∆: x -1 +1(y + 2) = 0 ⇔ x + y + 1 = 0.
b) Gọi H là trung điểm của AB thì IH ⊥ AB, AB = 2AH = 2
Do đó AB ⇔ IH.
Ta luôn có : IH ≤ IM. Vậy IH ⇔H ≡ M, tức là = (1;-1) là một vectơ pháp tuyến
của đường thẳng d cần tìm. Từ đó suy ra phương trình của d là:
1(x -2) - 1(y + 3) = 0 ⇔ x - y -5 = 0.
Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn:
Cho đường tròn (C) có tâm I(a ;b), bán kính R.
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm
M(x ;y) ∈ (C).
Giải:
Gọi ∆ là tiếp tuyến với đường tròn (C)
Ta có : M ∈ ∆ và vec tơ = (x - a ; y - b) là vec tơ pháp tuyến của ∆.
Do đó ∆ có phương trình là: (x - a)(x - x) + (y - b)(y - y) = 0 (1)
Bài toán 2 : Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ điểm M(x ;y) không
thuộc đường tròn.
Cách 1:
TH 1: Xét đường tròn ∆ đi qua M và vuông góc với Ox. Khi đó ∆ có phương trình

là x = x.
∆ là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d(I ;∆) = R. Từ đẳng thức này sẽ suy ra được ∆
có phải là tiếp tuyến của đường tròn hay không.

13


TH2 : Xét đường thẳng ∆ đi qua M và có hệ số góc k. Phương trình của ∆ có
dạng :
y = k(x - x) + y
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I,∆) = R. Giải điều kiện này tìm được k
Cách 2:
Đường thẳng ∆ đi qua M có phương trình : a(x - x) + b(y - y) = 0
trong đó : a + b ≠ 0
∆ là tiếp tuyến với đường tròn (C) ⇔ d(I,∆) = R (*)
Từ điều kiện (*) tìm mối liên hệ giữa a và b. Vì a và b không đồng thời bằng
không nên có thể chọn a một giá trị thích hợp rồi suy ra b hoặc ngược lại.
Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến có hệ số
góc là k.
Giải:
- Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc k có dạng y = kx + m
- ∆ tiếp xúc (C) ⇔ d(I,∆) = R. Giải tìm điều kiện ta tìm được m.
Chú ý: Nếu tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng ax + by + c = 0 thì phương
trình ∆ sẽ có dạng : ax + by + c’ = 0 ( c ≠ c’).
Nếu tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng ax + by + c = 0 thì phương
trình ∆ sẽ có dạng : bx - ay + c’ = 0.
Ví dụ 15 : Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C):
(x + 2) + (y - 1) = 25, tại điểm M(2 ;4) thuộc đường tròn (C).
Giải:
(C) có tâm I(-2 ;1). Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(2 ;4) có dạng:

(x - a)(x - x) + (y - b)(y - y) = 0
⇔ (2 + 2)(x - 2) + (4 - 1)(y - 4) = 0
⇔ 4x + 3y - 20 = 0
Ví dụ 16: Cho đường tròn (C) : x + y - 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1 ;3)
a) Chứng minh rằng A ở ngoài đường tròn.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.
Giải:
a) Đường tròn (C) có tâm I(3;-1), bán kính R = 2
IA = = 2 > 5 suy ra A nằm ngoài (C).
b) Cách 1:
Đường thẳng ∆ đi qua A có phương trình:

14


a(x -1) + b(y - 3) = 0 hay ax + by - a -3b = 0 (a + b ≠ 0)
∆ tiếp xúc (C) ⇔ d(I,∆) = R ⇔ = 2
⇔ = ⇔ b(3b - 4a) = 0 ⇔
Với b = 0, chọn a = 1, ta được tiếp tuyến thứ nhất ∆: x - 1 = 0
Với b = a, chọn a = 3, b = 4, ta được tiếp tuyến thứ hai ∆: 3x + 4y -15 = 0.
Cách 2:
Xét đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với Ox khi đó, ∆ có phương trình x = 1
hay x - 1 = 0.
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I,∆) = R ⇔ = 2 ⇔ 2 = 2
Đẳng thức cuối đúng nên ∆ là tiếp tuyến của (C).
Ta có tiếp tuyến thứ nhất ∆: x - 1 = 0.
Xét đường thẳng ∆ đi qua A và có hệ số góc k. Phương trình của ∆ là:
y = k(x - 1) + 3 hay kx - y + 3 - k = 0
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I,∆) = R ⇔ = 2
⇔ = ⇔ k + 4k + 4 = k + 1 ⇔ k =

Ta được tiếp tuyến thứ hai ∆: y = (x - 1) hay 3x + 4 y - 15 = 0.
Ví dụ 17: Cho đường tròn (C) có phương trình : x + y - 4x + 8y - 5 = 0. Viết
phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) ∆ vuông góc với đường thẳng d : 3x - 4y + 5 = 0.
b) ∆ song song với đường thẳng d : x + y - 1 = 0.
Giải:
Đường tròn (C) có tâm I(2 ;-4), bán kính R = 5.
a) Phương trình của đường thẳng ∆ vuông góc với d có dạng : 4x + 3y + m = 0
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I,∆) = R ⇔ = 5
⇔ = 25 ⇔ ⇔
Vậy phương trình của ∆ là: 4x + 3y + 29 = 0 hay 4x + 3y - 21 = 0.
b) ∆ song song với đường thẳng có dạng : x + y + m = 0 (m ≠ -1)
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I,∆) = R ⇔ = 5
⇔ =5⇔

⇔

Vậy phương trình của ∆ là: x + y + 2 + 5 = 0 hay x + y + 2 - 5 = 0.
Ví dụ 18: Cho đường tròn (C) : x + y - 4x - 6y - 3 = 0
15


a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B
sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = 1.
Giải:
Đường tròn (C) có tâm I(2 ;3) và bán kính R = 4
a) Ta có : IM = = < 3 = R ⇒ M nằm trong đường tròn. Vậy mọi đường thẳng đi
qua M đều cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Đường thẳng ∆ đi qua M cắt đường thẳng tại hai điểm A và B sao cho M là

trung điểm của AB ⇒ IM ⊥ AB ⇒ ∆ nhận (-1;-2) làm vec tơ pháp tuyến ⇒
phương trình của ∆ là: -1(x -1) - 2(y -1) = 0 hay x + 2y - 3 = 0.
b) Phương trình của ∆ có hệ số góc k = 1 có dạng y = x + m hay x - y + m = 0
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I,∆) = R ⇔ = 4
⇔ =4⇔

⇔

Vậy có hai tiếp tuyến x - y + 1 + 4 = 0 hay x - y + 1 - 4 = 0
Một số bài tập áp dụng:
Bài 1) Cho đường tròn (C) : x + y - 2x + 6y - 4 = 0 và đường thẳng
d: x - 2y + 1 = 0
a) Tìm tâm và bán kính của (C).
b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d.
Bài 2) Cho đường tròn (C) : x + y - 4x + 2y - 4 = 0 và đường thẳng ∆ : mx - y + 1
= 0. Biện luận theo m vị trí tương đối của (C) và ∆.
Bài 3) Cho đường tròn (C) : x + y + 8x - 6y = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆
vuông góc với đường thẳng d : 3x - 4y + 20 = 0 và cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho
AB = 6.
Bài 4) Cho đường tròn (C) : x + y + 4x + 4y + 6 = 0 có I là tâm và đường thẳng
∆: x + my - 2m + 3 = 0. Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam
giác ABI lớn nhất.
Bài 5) Cho đường tròn (C): x + y - 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(-3 ;1). Viết phương
trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ M.
Bài 6) Cho đường tròn (C): x + y + 4x + 4y - 17 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến
∆ của (C) trong các trường hợp sau:
a) ∆ tiếp xúc với (C) tại M(2 ;1).
b) ∆ vuông góc với đường thẳng d : 3x - 4y + 1 = 0.
c) ∆ song song với đường thẳng d : 2x + 3y - 4 = 0.
Bài 7) Cho đường tròn (C) :(x - 1) + (y + 2) = 4. Viết phương trình tiếp tuyến của

đường tròn (C) có hệ số góc k = 3.
16


Bài 8) Cho đường tròn (C) : x + y + 2x - 6y + 6 = 0. Gọi T, T là các điểm kẻ từ các
tiếp tuyến của (C) đi qua M(-3 ;1). Viết phương trình đường thẳng qua T, T.
VẤN ĐỀ 4 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1 : Vị trí tương đối của hai đường tròn.
Cho Hai đường tròn (C): x + y - 2ax - 2by + c = 0
(C): x + y - 2ax - 2by + c = 0
Để xét vị trí tương đối của (C) và (C) ta có hai phương pháp sau :
Phương pháp 1 : Xét số giao điểm của (C) và (C). Số giao điểm của (C) và
(C) là số nghiệm của hệ phương trình :
* Nếu hệ vô nghiệm thì (C) và (C) không có giao điểm chung nào ⇒ (C) không
cắt (C).
* Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì (C) và (C) có một điểm chung ⇒ (C) tiếp
xúc với (C).
* Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì (C) và (C) có hai điểm chung.
* Nếu hệ có vô số nghiệm thì (C) trùng (C).
Phương pháp 2: (C) có tâm I(a ;b) và bán kính R.
(C) có tâm I(a ;b) và bán kính R.
Tính II = d
Biện luận vị trí tương đối:
* Nếu d = R + R thì (C) và (C) tiếp xúc.
* Nếu d = thì (C) và (C) tiếp xúc trong.
* Nếu d > R + R thì (C) và (C) ngoài nhau.
* d < thì (C) và (C) chứa trong nhau.
* Nếu < d < R + R thì (C) và (C) cắt nhau.
Ví dụ 19: xét vị trí tương đối của hai đường tròn sau:

Giải:
(C) có tâm I(1;3), R = 5
(C) có tâm I(2;-1), R = 4
II = =
Ta thấy: < II < ⇒ hai đường tròn cắt nhau.

17


Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
Để viết tiếp tuyến chung ∆ của hai đường tròn ta làm như sau:
Kiểm tra xem đường thẳng có dạng x = m có phải là tiếp tuyến chung của hai
đường tròn không.
Xét ∆: y = ax + b. Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ⇔
khoảng cách từ I đến ∆ bằng R và khoảng cách từ I đến ∆ = R
⇔
Giải hệ ta tìm được a, b.
Ví dụ 20: Cho hai đường tròn (C): x + y - 6x + 5 = 0
(C): x + y - 12x - 6y + 44 = 0
a) Tìm tâm và bán kính của (C) và (C)
b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C.
Giải:
a) (C) có tâm I(3 ;0) và có bán kính R = 2
(C) có tâm I(6 ;3) và có bán kính R = 1
b) Xét đường thẳng ∆ có phương trình : x = m ⇔ x - m = 0
Đường thẳng ∆ tiếp xúc (C) và (C):
⇔ ⇔

⇔

⇔m=5

Vậy ta có (C) và (C) có tiếp tuyến chung thứ nhất ∆: x - 5 = 0
Xét đường thẳng ∆ có phương trình : y = ax + b ⇔ ax - y + b = 0
∆ là tiếp tuyến chung của hai đường thẳng
⇔ ⇔

Từ (1) và (2) ⇒ = 2
Trường hợp 1: 3a + b = 2(6a - 3 + b) ⇔ b = 6 - 9a (3)
Thay vào (2) ta được:
= ⇔ =
⇔ 9 - 18a + 9a = a + 1 ⇔ 4a - 9a + 4 = 0
⇔
Thay giá trị k vào (3) ta tính được:
Vậy ta được 2 tiếp tuyến ∆: y = x +
Vậy ta được 2 tiếp tuyến ∆: y = x +
Trường hợp 2 : 3a + b = -2(6a - 3 + b) ⇔ 3b = 6 - 15a ⇔ m = 2 - 5a (4)

18


Thay vào (2) ta được:
=
=
⇔ (a - 1) = a + 1
⇔ a - 2a + 1 = a + 1 ⇔ a = 0
Thay giá trị a vào (4) ta được b = 2
Vậy ta được tiếp tuyến ∆: y = 2.
VẤN ĐỀ 5 : CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HỌ ĐƯỜNG TRÒN
Trong vấn đề này ta thường gặp một số bài toán liên quan đến họ đường tròn như

sau:
Cho họ đường tròn (C): f(x,y,m) = 0.
Bài toán 1: Tìm tập hợp tâm của đường tròn (C)
Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện để phương trình đã cho là phương trình đường tròn.
- Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đã cho (theo m)
- Từ hệ trên khử m để tìm mối liên hệ giữa x và y.
- Kết hợp với điều kiện tìm được ở trên để giới hạn quỹ tích tìm được.
Bài toán 2: Tìm điểm cố định mà họ đường tròn luôn đi qua với mọi m.
Phương pháp giải:
* Giả sử A(x ;y) là điểm cố định mà họ đường tròn luôn đi qua với mọi m ⇔
phương trình f(x,y,m) = 0 đúng với mọi m.
* Viết phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn m sau đó cho tất cả các
hệ số của m bằng 0 kể cả hệ số tự do.
* Giải hệ đó ta sẽ tìm được x và y.
Bài toán 3: Tìm điểm mà họ đường tròn không bao giờ đi qua với mọi m.
Phương pháp giải:
* Giả sử A(x ;y) là điểm mà họ đường tròn không bao giờ đi qua với mọi m
⇔ phương trình f(x,y,m) = 0 vô nghiệm với mọi m.
* Viết phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn m sau đó cho tất cả các
hệ số của m bằng 0 còn hệ số tự do khác 0.
* Giải hệ đó ta sẽ tìm được điều kiện của x và y.
Ví dụ 21 : Cho đường cong (C) có phương trình :
x + y + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0

19


a) Chứng minh rằng (C) luôn là đường tròn với mọi giá trị của m.
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C) khi m thay đổi.

c) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn (C) luôn đi qua hai điểm
cố định.
d) Tìm những điểm trong mặt phẳng toạ độ mà họ (C) không đi qua dù m lấy bất
cứ giá trị nào.
Giải:
a) Phương trình (C) có dạng: x + y - 2ax - 2by + c = 0
với a = - , b = , c = m + 1
Ta có: a + b - c = + - (m + 1) = > 0 với mọi m.
Vậy (C) là đường tròn với mọi giá trị của m.
b) Toạ độ tâm I của đường tròn (C) là: ⇔
Cộng từng vế (1) với (2), ta được: 2x + 2y = 2 hay x + y - 1 = 0. Vậy tập hợp
tâm của đường tròn (C) là đường thẳng có phương trình: x + y - 1 = 0.
c) Gọi M(x;y) là điểm cố định mà họ (C) luôn đi qua khi đó ta có:
x + y +(m + 2)x - (m + 4) y + m + 1 = 0, ∀m
⇔ (x - y + 1)m + x + y+ 2x - 4y + m + 1 = 0, ∀m
⇔
Từ (1) suy ra : x = y - 1, thay vào (2) ta được:
(y -1) + y + 2(y - 1) - 4y + 1 = 0 ⇔ 2y - 4y = 0 ⇔
Với y = 0 thì x = -1. Ta được điểm M(-1;0)
Với y = 2 thì x = 1. Ta được điểm M(1;2).
Vậy họ đường tròn (C) luôn đi qua hai điểm cố định M(-1;0) và M(1;2).
d) (C) không đi qua điểm (x ;y) với mọi m ⇔ phương trình ẩn m
(x - y + 1)m + x + y + 2x - 4y + 1 = 0 vô nghiệm
⇔

⇔

Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ mà họ (C) không bao giờ đi qua
với mọi giá trị của m là đường thẳng ∆ có phương trình : y = x + 1 bỏ đi hai điểm
M(-1;0) và M(1;2).

Một số bài tập áp dụng:
Bài 1) Cho họ đường tròn (C) có phương trình :
x + y - 4mx - 2my + m - m - = 0.
Tìm tập hợp tâm của (C) khi m thay đổi.

20


Bài 2) Cho hai đường tròn:
(C) x + y + 6x - 4y - 3 = 0 và (C) x + y - 10x - 6y + 30 = 0
Chứng minh (C) tiếp xúc ngoài (C).
Bài 3) Cho họ đường tròn (C) có phương trình: x + y - 7mx + 2my + m - 5 = 0.
Tìm m để họ (C) tiếp xúc với đường tròn : x + y - 6x +7 = 0.
Bài 4) Cho hai đường tròn (C): x + y - 2x + 4y - 4 = 0
và (C): x + y + 2x - 4y - 14 = 0.
a) Xác định các giao điểm của (C) và (C).
b) Viết phương trình đường tròn đi qua hai giao điểm đó và điểm A(0 ;1).
Bài 5) Cho họ đường tròn : x + y - 2mx - 2(m + 1)y + 2m - 1 = 0
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ đường tròn luôn đi qua hai điểm cố
định.
b) Chứng minh rằng với mọi m, họ đường tròn luôn luôn cắt trục tung tại hai
điểm phân biệt.
Bài 6) Cho hai đường tròn (C): (x - 1) + (y - 2) = 1
và (C): (x - 2) + (y - 1) = 4.
Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Bài 7) Cho hai đường tròn (C): x + y - 4x - 8y + 11 = 0
và (C): x + y - 2x - 2y - 2 = 0
a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (C) và (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C).
Bài 8) Cho đường cong (C) có phương trình: x + y + 2mx - 2(m + 1)y - 1 = 0

a) Chứng minh (C) luôn là đường tròn với mọi giá trị của m.
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi.
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn luôn đi qua hai điểm cố
định.
d) Tìm những điểm trong mặt phẳng toạ độ mà họ không đi qua dù m lấy bất
cứ giá trị nào.
VẤN ĐỀ 6: MỘT SỐ CÁCH LẬP KHÁC PHƯƠNG TRÌNH DƯỜNG TRÒN
Đây là những cách lập phương trình đường tròn không theo một vấn đề nào
cụ thể trong năm vấn đề trên. Những cách lập phương trình này theo một cách
ngẫu hứng. Lời giải đưa ra dựa trên những kiến thức đã có với lối suy diễn đơn
giản. Trong vấn đê này tôi chỉ đưa ra một số ví dụ hay sử dụng trong các đề thi.
Ví dụ 22: Cho hai điểm A(2 ;0), B(6 ;0). Viết phương trình (C) tiếp xúc Ox tại A
và khoảng cách từ tâm (C) tới B bằng 5.
21


Giải:
Gọi I, R là tâm và bán kính của (C):
Vì (C) tiếp xúc Ox tại A ⇒ toạ độ I(2;b)
IB = 5 ⇔ = 5 ⇔ (4 - b) = 9
⇔ ⇔ ⇒
Vậy có hai đường tròn:
Ví dụ 23: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d: x - 7y + 10 = 0 và
∆: 2x + y = 0. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên ∆, tiếp xúc d tại
A(4;2).
Giải:
Gọi I, R là tâm và bán kính của (C)
Vì I ∈ ∆ : y = -2x ⇒ toạ độ I(t; -2t)
Vì d tiếp xúc (C) tại A nên ta có: IA ⊥ d
⊥ ⇔ . = 0 ⇔ (4 - t ;2 + 2t)(7 ;1) = 0

⇔ 7(4 - t) + 1(2 + 2t) = 0 ⇔ 5t = 30 ⇔ t = 6
⇒ I(6 ;-12), R = IA =
⇒ (C) có phương trình : (x - 6) + (y + 12) = 200.
Ví dụ 24 : (ĐHKA 2010) Cho hai đường thẳng d : x + y = 0, d : x - y = 0. Viết
phương trình đường tròn (T) tiếp xúc d tại A và cắt d tại B, C sao cho ∆ABC
vuông tại B và diện tích ∆ ABC bằng , x > 0.
Giải:
Gọi I, R là tâm và bán kính của (T)
Theo giả thiết ⇒ I là trung điểm của AC, R = IA.
A ∈ d : y = -x ⇒ toạ độ của A(t ;-t)
Đường thẳng AC :
⇒ AC có phương trình: -1(x - t) + (y + t) = 0 ⇔ x - y - 4t = 0
C = AC ∩ d ⇒ toạ độ C là nghiệm của hệ : ⇔
Đường thẳng AB :
⇒ AB có phương trình : 1(x - t) + (y + t) = 0
⇔ x + y + 2t = 0
B = AB ∩ d ⇒ toạ độ B là nghiệm của hệ :
⇒

⇒B

S = ⇔ AB. BC = ⇔ . =

22


t= ⇔t= ⇔

vì x > 0

⇒ A ; C ⇒ I, R = AI = 1
(T) có phương trình : + = 1
Ví dụ 25: Cho ba đường thẳng d: x + y + 4 = 0, d: 7x - y + 4 = 0,
∆: 4x + 3y - 2 = 0.
Viết phương trình (C) có tâm nằm trên ∆, đồng thời tiếp xúc d, d.
Giải:
Gọi I, R là tâm và bán kính (C) :
∆: 4x + 3y - 2 = 0 ⇒ y =
Vì I ∈ ∆ ⇒ toạ độ của I
Vì (C) tiếp xúc d , d nên ta có:
d(I,d) = I(I,d) = R
⇔ =
⇔ =

⇔ = ⇔ ⇔

⇔
⇒ có hai phương trình đường tròn là:
Ví dụ 26: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho phương trình đường tròn (C):
(x - 2) + y = và hai đường thẳng ∆: x - y = 0, ∆: x - 7y = 0
Tìm tâm K và bán kính của (C) biết (C) tiếp xúc với ∆, ∆ và tâm K nằm trên (C).
Giải:
Gọi K(a;b) là tâm và R là bán kính của (C)
Vì K ∈ (C) ⇒ (a - 2) + b = (1)
Vì (C) tiếp xúc ∆ , ∆ nên ta có: d(I,∆) = d(I,∆)
⇔ = ⇔ =
⇔5= ⇔ ⇔
Với b = -2a thay vào (1) ta có: 25a - 20a + 16 = 0 (vô nghiệm)
Với a = 2b thay vào (1) ta có: (5b - 4) = 0 ⇔ b = ⇒ a = ⇒ K , R =
Ví dụ 27: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm M(1;1), N(2;4) đồng

thời tiếp xúc với ∆: 2x - y - 9 = 0.
Giải:
Gọi I(a,b), R là tâm và bán kính (C). Theo giả thiết ta có:
23


⇔ ⇔
⇔

⇔

⇒ I(-357;122) , R = IM
⇒
Ví dụ 28: Cho đường tròn (C): (x - 1) + (y - 2) = 4 và đường thẳng có phương trình
x - y - 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (T) đối xứng với (C) qua d.
Giải:
(C) có tâm I(1;2), bán kính R = 2
Gọi I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (T).
Khi đó ta có: R’ = R = 2 và I’ đối xứng với I qua d.
Lấy H ∈ d: y = x - 1 ⇒ toạ độ H(t; t - 1)
⊥ = 0 ⇔ (1 - t ;3 - t)(1 ;1) = 0 ⇔ -2t + 4 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ H(2 ;1)
Vì I’ đối xứng với I qua d nên H là trung điểm II’
⇒ toạ độ I’(3;0)
⇒ phương trình của (T): (x - 3) + y = 4.
Ví dụ 29: (ĐHKA 2007) Cho tam giác ABC, A(0 ;2), B(-2 ;-2), C(4 ;-2). Gọi H là
chân đường cao kẻ từ B. Hai điểm M,N là trung điểm AB, BC. Viết phương trình
đường tròn đi qua H, M, N.
Giải:
M, N là trung điểm của AB, AC nên toạ độ M, N lần lượt là : M(-1 ;0), N(1 ;-2)
(4 ;-4) ⇒ véc tơ pháp tuyến của AC là (1 ;1)

⇒ phương trình tổng quát của AC là : x + y - 2 = 0.
BH đi qua B(-2 ;-2) có véc tơ pháp tuyến là (1 ;-1) ⇒ BH có phương trình:
(x+ 2) - (y + 2) = 0 ⇔ x - y = 0
Ta có H = AC ∩ BH ⇒ Toạ độ H là nghiệm của hệ : ⇒ H(1 ;1)
Giả sử đường tròn (C) đi qua M, N, H có phương trình : x + y - 2ax - 2by + c = 0
(a + b - c > 0)
Vì H, M, N ∈ (C) nên ta có :
⇔

⇔

Vậy phương trình đường tròn (C): x + y - x + y - 2 = 0.

24


IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
1. Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc phân loại và giải những
dạng bài tập như đã nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách
phân tích một bài toán về phương trình đường tròn trong mặt phẳng để lựa chọn
phương pháp phù hợp.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập
phương trình đường tròn trong sách giáo khoa Hình học lớp 10 và một số bài trong
các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các
năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải
được một lượng lớn bài tập đó.
2. Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2015- 2016
Bài kiểm tra trên lớp 10B (năm học 2014-2015) không áp dụng sáng kiến và lớp

10A ( năm học 2015- 2016) áp dụng sáng kiến kinh nghiệm như sau:
Giỏi

Khá

Tb

yếu

Đối
tượng
10B

12,5%

25%

55%

7,5%

10A

22,5%

35%

40%

2,5%

Xếp loại

25