skkn PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH các DẠNG TOÁN TRONG CHƯƠNG DAO ĐỘNG điều hòa và ỨNG DỤNG vào DÒNG điện XOAY CHIỀU

ĐỀ TÀI
PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC DẠNG TOÁN TRONG CHƯƠNG DAO
ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG VÀO DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU.
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
- Vật lý là một môn học khó và trừu tượng, bài tập vật lý rất đa dạng và phong
phú. Vì vậy, giáo viên phải làm thế nào để tìm ra phương pháp tốt nhất nhằm giúp
học sinh hiểu, phân loại và vận dụng những kiến thức đã học vào việc làm bài thi là
rất cần thiết. Việc làm này rất có lợi cho học sinh vì sau khi đã nắm được các dạng
bài tập, nắm được phương pháp giải và từ đó học sinh có thể tự mình phát triển
hướng tìm tòi lời giải mới cho các dạng bài tương tự.
- Hình thức thi môn vật lý là trắc nghiệm khách quan, nội dung thi bao quát cả
chương trình, tránh được tình trạng học tủ và từ đó có thể đánh giá trình độ học sinh
một cách toàn diện. Tuy nhiên, để làm tốt bài thi trắc nghiệm đòi hỏi người học phải
ghi nhớ đầy đủ kiến thức trọng tâm, biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh
nhạy trong phán đoán nhận dạng cũng như trong tính toán mới có thể đạt được kết
quả cao.
-Chương dao động điều hòa và chương điện xoay chiều là một phần quan trọng
trong chương trình vật lí lớp 12 và chiếm tỉ trọng lớn trong đề thi của các kì thi Tốt
Nghiệp 12 và Đại Học, đây cũng là một phần có lượng kiến thức lớn và khó đối với
nhiều học sinh THPT. Trong thực tế làm bài tập và kiểm tra, đánh giá HS thường
không làm được hoặc phải bỏ qua một số dạng bài tập nhất định do phải vận dụng
kiến thức toán học nhiều và để làm được bài phải mất nhiều thời gian. Với lí do đó,
tôi chọn nghiên cứu đề tài: “PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC DẠNG TOÁN
TRONG CHƯƠNG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG VÀO DÒNG
ĐIỆN XOAY CHIỀU” nhằm trang bị cho các em học sinh phương pháp giải và một
số công thức kết quả đã được chứng minh ở một số dạng bài tập nằm trong nhóm
kiến thức cơ bản và nâng cao giúp các em có thể giải nhanh các bài tập trắc nghiệm
phần dao động điều hòa và điện xoay chiều một cách nhanh chóng và tránh được
những nhầm lẫn.
 Trang 1

II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
a. khái niệm về kĩ năng.
Là khả năng sử dụng kiến thức của một cá nhân trong quá trình nhận thức và
giải quyết vấn đề bằng những tình huống rèn luyện trí óc, đòi hỏi học sinh phải biết
vận dụng phối hợp các lĩnh vực đọc hiểu, làm toán và khoa học mới để đưa ra được
phương pháp.
b. Khái niệm bài tập vật lý.
Bài tập vật lý là bài tập ra cho học sinh làm để tập vận dụng những kiến thức đã học.
Theo nghĩa rộng thì bài tập bao gồm câu hỏi, bài tập lý thuyết, bài tập thực hành, bài
tập thí nghiệm, bài tập nhận thức.
c. Vai trò của bài tập vật lý trong bồi dưỡng kĩ năng cho học sinh.
+ Bài tập là phương tiện rèn luyện cho học sinh kỹ năng thu thập thông tin.
+ Bài tập là phương tiện rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử lý thông tin.
+ Bài tập là phương tiện rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tri thức vào thực
tiễn
- Kỹ năng vận dụng những kiến đã biết đã biết để giải thích những hiện tượng thực
tế.
- Kỹ năng vận dụng các công thức tính toán để giải bài tập một cách nhanh và chính
xác.
- Kỹ năng chế tạo, thiết kế những thiết bị đơn giản trong đời sống.
- Kỹ năng vận dụng kiến thức để giải quyết những vấn đề liên quan đến kĩ thuật và
đời sống.
d. Thực trạng sử dụng bài tập trong rèn luyện kĩ năng cho học sinh.
+ Hầu hết giáo viên đều nhận thức được tầm quan trọng của bài tập vật lý trong quá
trình dạy học.
+ Giáo viên hay áp đặt học sinh giải theo cách riêng của mình mà không hướng dẫn
học sinh độc lập suy nghĩ tìm kiếm lời giải để từ đó rèn luyện cho học sinh kỹ năng
tự học.

+ Khi ra bài tập trên lớp cũng như về nhà, đa số giáo viên sử dụng bài tập từ sách
giáo khoa và sách bài tập mà chưa có sự đầu tư khai thác những bài tập phù hợp với
 Trang 2


trình độ học sinh. Giáo viên ngại tìm kiếm tài liệu để khai thác hệ thống bài tập
phong phú, chưa quan tâm đến hệ thống bài tập định hướng hoạt động học tập cho
học sinh trong giờ học để kích thích tư duy của các em, giúp các em độc lập trong khi
giải bài tập.
+ Khi giải bài tập vật lý chỉ có một bộ phận nhỏ học sinh khá giỏi có thể độc lập suy
nghĩ để tìm lời giải cho bài tập, tự mình giải quyết nhiệm vụ học tập.
+ Nhiều học sinh ( đặc biệt là học sinh yếu, kém) khi gặp một bài tập phải nói rằng
đầu tiên là tìm bài giải trong các tài liệu để giải theo, ít ý thức tự lực để giải
e. Nguyên nhân cơ bản của thực trạng nói trên.
Chương trình mới được đưa vào giảng dạy, có một số kiến thức mới so với chương
trình cũ về nội dung cũng như cách tiếp cận. Vì vậy, theo tôi có những nguyên nhân
cơ bản sau:
+ Một số giáo viên chưa bám sát được mức độ nội dung kiến thức cơ bản mà học
sinh cần nắm vững nên chưa làm nổi bật và chưa khắc sâu được những kiến thức đó.
+ Trong quá trình dạy học giáo viên chỉ chú ý đến việc giảng dạy sao cho rõ ràng dễ
hiểu những kiến thức trong sách giáo khoa mà chưa chú ý đến việc vận dụng những
phương pháp dạy học tích cực trong bài giảng để tạo điều kiện cho học sinh tự giải
quyết vấn đề.
Mặc dù giáo viên nhận thức được tầm quan trọng của bài tập vật lý trong quá trình
dạy học nhưng giáo viên chưa xác định được hệ thống các kĩ năng tự học cũng như
kỹ năng rèn luyện cho học sinh những kĩ năng đó trong quá trình giải bài tập vật lý.
+ Trình độ, khả năng nắm vứng và vận dụng kiến thức của học sinh còn hạn chế,
nhiều học sinh trình độ chưa phù hợp với lớp học. Do đó học sinh thiếu hứng thú học
tập, năng lực học sinh tự học rất hạn chế, nặng về bắt chước máy móc.
+ Phần đông học sinh nhận thức được tầm quan trọng của việc tự học trong quá trình

học tập, tuy nhiên các em không biết và không có điều kiện rèn luyện những kĩ năng
vì áp lực học tập và thi cử.
f. Các biện pháp khắc phục.
Với tính chủ quan, tôi đề ra một số biện pháp khắc phục những khó khăn và hạn chế
của giáo viên cũng như học sinh trong quá trình dạy và học chương “ Dòng điện
xoay chiều’’ như sau:
 Trang 3


+ Về nội dung kiến thức: Trên cơ sở nội dung kiến thức của chương đối chiếu với
mục tiêu dạy học của chương cần lựa chọn nội dung bài tập theo hướng bồi dưỡng kĩ
năng giải bài tập cho học sinh.
+ Về phía giáo viên: Phải xây dựng hệ thống bài tập tương ứng với quá trình dạy học
những đơn vị kiến thức theo hướng rèn luyện kĩ năng tự học để từ đó bồi dưỡng cho
học sinh kĩ năng tự học. Hệ thống bài tập nên có câu hỏi định hướng để học sinh tự
giải bài tập.
+ Về phía học sinh: Ý thức được vấn đề tự học là quan trọng, tránh học theo kiểu bắt
chước, máy móc.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC DẠNG TOÁN TRONG CHƯƠNG DAO
ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG VÀO DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU.
Sau khi nghiên cứu kĩ đặc điểm và mục tiêu, cũng như nội dung cơ bản của chương
“Dao động điều hòa và dòng điện xoay chiều” Vật lý 12 tôi đưa ra sơ đồ logic về các
kiến thức như sau:
Khai thác và xây dựng hệ thống bài tập vật lý chương “Dao động điều hòa và dòng
điện xoay chiều” theo hướng rèn luyện kĩ năng giải bài tập cho học sinh
1.Yêu cầu trong sử dụng bài tập chương “Dao động điều hòa và dòng điện xoay
chiều”
- Số lượng BT của hệ thống bài tập vật lý được xây dựng phải phong phú về số lượng
và đa dạng về chủng loại.

- Hệ thống các bài tập vật lý phải đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
- Mỗi bài tập được chọn sẽ là một mắc xích trong hệ thống các bài tập, đồng thời bài
tập này sẽ đóng góp một phần nào đó vào việc củng cố, hoàn thiện và mở rộng kiến
thức.
- Hệ thống bài tập bám sát nội dung và phải gắn liền với những ứng dụng trong kỹ
thuật cũng như trong đời sống, phải chú ý đúng mức các bài tập có nội dung thực tế.
- Hệ thống bài tập phải góp phần khắc phục những vướng mắc chủ yếu, những sai
lầm của HS trong quá trình học tập.

 Trang 4


- Mỗi bài tập sau phải đem lại cho HS một khó khăn vừa sức và một điều mới lạ nhất
định, nhằm tạo niềm tin, hứng thú trong quá trình học tập của các em, đồng thời việc
giải bài tập trước là cơ sở giúp HS giải bài tập sau.
- Qua từng bài tập cụ thể, HS sẽ được rèn luyện những kỹ năng nào.
- Nêu được những định hướng giúp HS thông qua hoạt động thực hành của mình tự
chiếm lĩnh được kiến thức và tự giải được bài tập.
- Gợi ý sử dụng bài tập: sau mỗi bài tập nên có phần gợi ý sử dụng để GV dễ vận
dụng. Cụ thể bài tập này được sử dụng trong khâu nào của quá trình dạy học: dùng
để đặt vấn đề, nghiên cứu kiến thức mới, củng cố, vận dụng hay dùng trong tự kiểm
tra, đánh giá hoặc giao nhiệm vụ về nhà cho bài tập.
2. Xây dựng hệ thống bài tập chương “Dao động điều hòa và dòng điện xoay chiều”
theo hướng rèn luyện kĩ năng cho học sinh
Trong thực tế giảng dạy tôi đã xây dựng được một hệ thống bài tập nhằm rèn luyện
kĩ năng của học sinh như sau .
3. Bài tập Dao động điều hòa và dòng điện xoay chiều
Bài tập vật lý ở dạng này chỉ yêu cầu HS nắm được những nội dung cơ bản như: các
đặc trưng Dao động điều hòa và dòng điện xoay chiều. Thông qua những bài tập này
sẽ rèn luyện cho HS kỹ năng thu thập thông tin từ những quan sát, xử lý những thông

tin thu nhận được, giúp cho HS vận dụng những thông tin đó để giải thích và hiểu
sâu sắc hơn những hiện tượng trong thực tiễn cuộc sống.
III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Đề tài nhằm giúp học sinh hình thành một hệ thống bài tập chương Dao động điều
hòa và dòng điện xoay chiều, phương pháp giải, công thức kết quả của một số bài tập
khó đã được chứng minh trong sáng kiến, từ đó chủ động vận dụng các phương pháp
này để giải các bài tập tương tự. Ngoài ra, qua việc giải bài tập còn giúp học sinh
phát triển kỹ năng tư duy, kỹ năng giải bài tập, kỹ năng sử dụng máy tính để giải
quyết nhanh gọn các bài tập Dao động điều hòa và dòng điện xoay chiều Vật Lí 12,
nhất là có thể giải nhanh chóng các bài toán trắc nghiệm trong chương này.
NỘI DUNG
ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
 Trang 5


I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG
1) Dao động cơ học
Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là
vị trí cân bằng.
2) Dao động tuần hoàn
Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ, theo
hướng cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định (được gọi là chu kì dao
động).
3) Dao động điều hòa
Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm cosin
hay sin theo thời gian.
II. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1) Phương trình li độ dao động
Phương trình li độ dao động có dạng x = Acos(ωt + φ).
Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa :

+ x: li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. Đơn vị tính: cm, m.
+ A : Biên độ dao động hay li độ cực đại. Đơn vị tính: cm, m..
+ ω : tần số góc của dao động, đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và
tần số dao động. Đơn vị tính: rad/s.
+ φ: pha ban đầu của dao động (t = 0), giúp xác định trạng thái dao động của vật
ở thời điểm ban đầu. Đơn vị tính rad
+ (ωt + φ): pha dao động tại thời điểm t, giúp xác định trạng thái dao động của
vật ở thời điểm bất kỳ t. Đơn vị tính rad
Chú ý: Biên độ dao động A luôn là hằng số dương.
Ví dụ 1: Xác định biên độ dao động A, tần số góc ω và pha ban đầu của các dao
động có phương trình sau:
a) x = 3cos(10πt + ) cm
b) x = -2sin(πt - ) cm
c) x = - cos(4πt + ) cm
Hướng dẫn giải:
Bằng thao tác chuyển đổi phương trình lượng giác kết hợp với phương trình dao
 Trang 6


động điều hòa ta được

 A = 3 cm

a) x = 3cos(10πt + ) cm  ω = 10π rad / s

π
ϕ = rad
3



 A = 2 cm

b) x = - 2sin(πt - ) cm = 2sin(πt - + π) cm= 2sin(πt + ) cm  ω = π rad / s

3π
ϕ =
rad
4


 A = 1 cm

c) x = - cos(4πt - ) cm = cos(4πt - +π) cm = cos(4πt - ) cm  ω = 4π rad / s

5π
ϕ =
rad
6


Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(2πt + π/6) cm.
a) Xác định li độ của vật khi pha dao động bằng π/3.
b) Xác định li độ của vật ở các thời điểm t = 1 (s); t = 0,25 (s).
c) Xác định các thời điểm vật qua li độ x = –5 cm và x = 10 cm.
Hướng dẫn giải:
a) Khi pha dao động bằng π/3 tức ta có 2πt + π/6 = π/3  x = 10cos = 5 cm
b) Xác định li độ của vật ở các thời điểm t = 1 (s); t = 0,25 (s).
+ Khi t = 1(s)  x = 10cos(2π.1 + ) = 10cos = 5 cm


+ Khi t = 0,25 (s)  x = 10cos(2π.0,25 + )= 10cos = - 5 cm

c) Xác định các thời điểm vật qua li độ x = –5 cm và x = 10 cm.
Các thời điểm mà vật qua li độ x = x 0 phải thỏa mãn phương trình x = x 0 ⇔
Acos(ωt + φ) = x0 ⇔ cos(ωt + φ) =

x0
A

* x = -5 cm = ⇔ x = 10cos(2πt + ) = -5 ⇔ cos(2πt + ) = -

= cos



π 2π

2πt + 6 = 3 + k 2π

2πt + π = − 2π + k 2π
6
3

 Trang 7


 1
t = 4 + k ; k = 0; 1; 2...

(do t không thể âm)

t = − 5 + k ; k = 1; 2, 3...

12

* x = 10 cm ⇔ x = 10cos(2πt + ) = 10 ⇔ cos(2πt + ) =1 = cos(k2π)
⇔ 2πt + = k2π ⇔ t = - + k; k = 1, 2...
2) Phương trình vận tốc
x = A cos(ωt + ϕ ) → v = −ωA sin(ωt + ϕ ) = ωA cos(ωt + ϕ +

Ta có v = x’

x = A sin(ωt + ϕ ) → v = ωA cos(ωt + ϕ ) = ωA sin(ωt + ϕ +

π
)
2

π
)
2

Nhận xét :
+ Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc π/2 hay φv = φx + π/2.


+ Véc tơ vận tốc v luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo
chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0).
+ Độ lớn của vận tốc được gọi là tốc độ, và luôn có giá trị dương.
+ Khi vật qua vị trí cân bằng (tức x = 0) thì tốc độ vật đạt giá trị cực đại là v max =
ωA, còn khi vật qua các vị trí biên (tức x = ± A) thì vận tốc bị triệt tiêu (tức là v = 0)

vật chuyển động chậm dần khi ra biên.
Ví dụ : Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(4πt - π/3) cm.
a) Viết phương trình vận tốc của vật.
b) Xác định vận tốc của vật ở các thời điểm t = 0,5 (s) ; t = 1,25 (s).
c) Tính tốc độ của vật khi vật qua li độ x = 2 cm.
Hướng dẫn giải:
a) Từ phương trình dao động x = 4cos(4πt - π/3) cm  v = x’ = -16πsin(4πt - π/3)
cm/s
b) Xác định vận tốc của vật ở các thời điểm t = 0,5 (s) ; t = 1,25 (s).
* Khi t = 0,5 (s)  v = -16πsin(4π.0,5 - π/3) = 8π cm/s
 Khi t 1,125 (s)  v = 16πsin(4π.1,125 - π/3) = - 8π cm/s
c) Khi vật qua li độ x = 2 cm  4cos(4πt - π/3) =2
1
4

⇔ cos(4πt - π/3) =  sin(4πt- π/3) = ± 1 − = ±
 Trang 8


Khi đó, v = -16πsin(4πt - π/3) = -16π.(± ) = 8π cm/s
Vậy khi vật qua li độ x = 2 cm thì tốc độ của vật đạt được là v = 8π cm/s
3) Phương trình gia tốc
Ta

có

a

=

v’

=



x”

x = A cos(ωt + ϕ ) → v = −ωA sin(ωt + ϕ ) → a = −ω 2 A cos(ωt + ϕ ) = −ω 2 x
x = A sin(ωt + ϕ ) → v = ωA cos(ωt + ϕ ) → a = −ω 2 A sin(ωt + ϕ ) = −ω 2 x

Vậy trong cả hai trường hợp thiết lập ta đều có a = –ω2x.
Nhận xét:
+ Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc π/2, nhanh pha hơn li độ góc π, tức là φa =
φv + = φx + π.


+ Véc tơ gia tốc a luôn hướng về vị trí cân bằng.
+ Khi vật qua vị trí cân bằng (tức x = 0) thì gia tốc bị triệt tiêu (tức là a = 0), còn
khi vật qua các vị trí biên (tức x = ± A) thì gia tốc đạt độ lớn cực đại amax = ω2A.
v max

Từ đó ta có kết quả: 

a max

a max

ω
=


= ωA
v max
→

2
=ω A
A = v max

ω

Ví dụ : Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos(πt + π/6) cm. Lấy π2 =
10.
a) Viết phương trình vận tốc, gia tốc của vật.
b) Xác định vận tốc, gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,5 (s).
c) Tính tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật.
Hướng dẫn giải:
a) Từ phương trình dao động x = 2cos(πt + )



π

v = x' = −2π sin  πt + cm / s
6

π
π



a = −ω 2 x = −π 2 2 cos πt +  = −20 cos πt + cm / s 2
6
6



b) Thay t = 0,5 (s) vào các phương trình vận tốc, gia tốc ta được:

 Trang 9


π

π π 
π 
v = −2π sin  πt +  = −2π sin  +  = −2π cos  = −π 3cm / s
6

2 6
6
π

π π 
π 
a = −20 cos πt +  = −20 cos +  = 20 sin   = 10cm / s 2
6

2 6
6
v max = ωA = 2πcm / s

c) Từ các biểu thức tính vmax và amax ta được 

2
2
2
a max = ω A = 2π = 20cm / s

III: HỆ THỨC LIÊN HỆ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
* Hệ thức liên hệ x, v:
 x
Do x và v vuông pha với nhau nên ta luôn có 
 x max

2

  v
 + 
  v max

2


 = 1 ⇔


x2
v2
+
= 1 (1)

A 2 ω2 A 2

Nhận xét:
+ Từ hệ thức (1) ta thấy đồ thị của x, v là đường elip nhận các bán trục là A và ωA
2

v

2
A = x +  
 ω
+ Khai triển (1) ta được một số hệ thức thường dung 

v = ±ω A 2 − x 2

+ Tại hai thời điểm t1; t2 vật có li độ, tốc độ tương ứng là x 1; v1 và x2; v2 thì ta có
ω=

v 22 − v12
x 12 − x 22

* Hệ thức liên hệ a, v:
Do a và v vuông pha với nhau nên ta luôn có
 v

 v max

2

  a

 + 
  a max

2


v2
a2
 = 1 ⇔
+
= 1 (2)
ω2 A 2 ω4 A 2


Từ hệ thức (2) ta thấy đồ thị của x, v là đường elip nhận các bán trục là ωA và
ω2A.
Chú ý:
+ Thông thường tròn bài thi ta không hay sử dụng trực tiếp công thức (2) vì nó không
dễ nhớ. Để làm tốt

trắc nghiệm các em nên biến đổi theo hướng sau:

 Trang 10


2

v
A = x 2 +  


 ω  A =


a
x = − ω2

a 2 v2
+
ω4 ω2

+ Tại hai thời điểm t1; t2 vật có gia tốc, tốc độ tương ứng là a1; v1 và a2; v2 thì ta có
công thức ω =

a 22 − a 12
v12 − v 22

Ví dụ : Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(ωt + π/3) cm. Lấy π 2 =
10.
a) Khi vật qua vị trí cân bằng có tốc độ 10π (cm/s). Viết biểu thức vận tốc, gia tốc
của vật.
b) Tính tốc độ của vật khi vật có li độ 3 (cm).
c) Khi vật cách vị trí cân bằng một đoạn (cm) thì vật có tốc độ là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
a) Khi vật qua vị trí cân bằng thì tốc độ của vật đạt cực đại nên v max = ωA = 10π  ω
=

vmax
= =2 rad/s
π

Khi đó x = 5cos(2πt + ) cm 

π

v = x ' = −10π sin  πt + cm / s
3

π
π


a = −ω 2 x = −4π 2 5 cos πt +  = −200 cos πt + cm / s 2
3
3



x2
v2
+
= 1 ↔ v = ω A2 − x 2 =
b) Khi x = 3 cm, áp dụng hệ thức liên hệ ta được 2
A ω 2 A2
= 2π 5 2 − 32 = 8π cm/s
5 2 

c) Khi vật cách vị trí cân bằng một đoạn (cm), tức là |x| = cm  v = 2π 5 − 

 2 

2

2

= 5π cm/s
IV. CHU KỲ, TẦN SỐ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Ví dụ : Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Trong khoảng thời gian 90
giây, vật thực hiện được 180 dao động. Lấy π2 = 10.
a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.
 Trang 11


b) Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có ∆t = N.T  T = = = 0,5 s
Từ đó ta có tần số dao động là f = 1/T = 2 (Hz).
b) Tần số góc dao động của vật là ω = = = 4π (rad/s).
Tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật được tính bởi công thức
vmax = ωA = 40πcm / s

2
2
2
2
a max = ω A = 16π = 160cm / s = 1,6m / s

V: CÁC DAO ĐỘNG CÓ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
1) Dao động có phương trình x = xo + Acos(ωt + φ) với xo = const.
Ta có x = x0 + Acos(ωt + φ) ⇔ x – x0 = Acos(ωt + ϕ) ⇔ X = Acos(ωt + ϕ)
Đặc điểm:

* Vị trí cân bằng: x = xo
* Biên độ dao động: A.
Các vị trí biên là X = ± A ⇔ x = x0 ± A.
Biểu thức vận tốc và gia tốc tương ứng:

Tần số góc dao động là ω.
v = x'
↔
a = x''

v = −ωA sin(ω + ϕ)
a = −ω2 A cos(ω + ϕ)

2) Dao động có phương trình x =Acos2(ωt + φ)
Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có
x =Acos2(ωt + φ) = A

1 + cos(2ωt + 2ϕ)
A A
= + cos(2ωt + 2ϕ)
2
2 2

Đặc điểm:
Vị trí cân bằng: x = A/2. Biên độ dao động: A/2.
Tần số góc dao động là 2ω.
Biểu thức vận tốc và gia tốc tương ứng:

v = x' = −ωA sin(ωt + ϕ )
a = −ω 2 A sin(ωt + ϕ ) = −ω 2 A

3) Dao động có phương trình x = Asin2(ωt + φ)
Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có
x = Acos2(ωt+ϕ) = A.

1 − cos(2ωt + 2ϕ)
= - cos(2ωt + 2ϕ)
2

Đặc điểm:
 Trang 12


+Vị trí cân bằng: x = A/2.

Biên độ dao động: A/2.

+Tần số góc dao động là 2ω.
Biểu thức vận tốc và gia tốc tương ứng:

v = x' = ωA sin(ωt + ϕ )
a = 2ω 2 A cos(ωt + ϕ )

Ví dụ : Một vật dao động với phương trình x = 2cos2(2πt + π/6) cm. Lấy π2 = 10
a) Xác định biên độ, chu kỳ, tần số dao động của vật.
b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,25 (s).
Hướng dẫn giải:
a) Ta có x = 2cos2(2πt + ) = 1 + cos(4πt + ) cm
* Biên độ dao động của vật là A = 1 cm.
T = 0,5s

 f = 2 Hz

* Tần số góc là ω 4π (rad/s)  
b)

Biểu

thức

vận

tốc,

gia

tốc

của

vật

tương

ứng

là

π
v = x' = −4π sin(4πt + )
3

π
π
a = −16π 2 cos(4πt + ) = −160 cos(4πt + )
3
3

Thay

t

=

0,25

(s)

vào

các

biểu

thức

của

x,

v,

a

ta

được

π

 x = 1 + 4 cos(π + 3 ) = −1cm

π

v = x' = −4π sin(π + ) = −2π 3cm / s
3

π

2
a = −160 cos(π + 3 ) = 80cm / s


VI: CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Giả sử cần lập phương trình dao động điều hòa có dạng x = Acos(ωt + φ). Để viết
phương trình dao động chúng ta cần tìm ba đại lượng A, ω, φ.
Xác định A
*A=

Xác định ω

chieu _ dai _ quy _ dao

2

* A = x2 +

v2
ω2

* ω=
* ω=

2π
= 2πf
T
v

A2 − x 2

Xác định φ
 x0 = A cos ϕ
v0 = −ωA sin ϕ

Tại t = 0: 

Giải hệ phương trình trên
 Trang 13


*A=

vmax

ω

vmax

ω = A
*
ω = amax

vmax

ta thu được giá trị của góc
ϕ

Chú ý:
* Với thể loại bài toán lập phương trình thì chúng ta cần xác định gốc thời gian (t =
0), nếu đề bài không yêu cầu thì để cho đơn giản hóa bài toán chúng ta chọn gốc
thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
* Khi thả nhẹ để vật dao động điều hòa thì ta hiểu là vận tốc ban đầu vo = 0, còn
nếu cho vận tốc ban đầu vo 0 thì chúng ta áp dụng hệ thức liên hệ để tìm các thông
số khác.
Ví dụ : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2 (s) và biên độ dao động là 2
(cm). Viết phương trình dao
động trong các trường hợp sau?
a) Khi t = 0 thì vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
b) Khi t = 0 thì vật qua vị trí có li độ x = –1 cm theo chiều âm.
Hướng dẫn giải:
Gọi phương trình dao động điều hòa của vật là x = Acos(ωt + φ) cm.
Tần số góc dao động ω = 2π/T = π (rad/s).
 x0 = 0
 x0 = A cos ϕ = 0

⇔
 ϕ = - rad  x = 2cos(πt - )
v0 > 0
v0 = −ωA sin ϕ > 0

a) Khi t = 0: 

1

 x 0 = −1
 x0 = A cos ϕ = −1
cos ϕ = −
2  ϕ = rad  x = 2cos(πt
b) Khi t = 0: 
⇔ 
⇔ 
v0 < 0
v0 = −ωA sin ϕ < 0
sin ϕ > 0

+)
VII. Hợp lực tác dụng lên vật (lực hồi phục):
F = ma = - m ω2 x =- kx
®
 F có độ lớn tỉ lệ với li độ và luôn hướng về vị trí cân bằng.
 Dao động cơ đổi chiều khi hợp lực đạt giá trị cực đại.
 Fhpmax = kA = m ω2 A : tại vị trí biên
 Fhpmin = 0: tại vị trí cân bằng
VIII: PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Các bước sử dụng đường tròn lượng giác để giải bài toán tìm thời gian:

 Trang 14


+ Tính chu kỳ dao động từ phương trình dao động.
+ Nếu đề bài cho các tọa độ x 1; x2 thì tìm các điểm M, N tương ứng trên đường tròn
có hình chiếu lên xx’ là x1; x2 rồi xác định góc quét α = MON bằng phương pháp
hình học. Khi đó ta có α = ωt  t = =

Tα Tα '
=
; trong đó α' tính bằng độ.
2π 360

+ Nếu đề bài cho tọa độ đầu x1 và hỏi tọa độ x2 sau đó một khoảng thời gian t thì :
- xác định góc quét α = ω.Δt
- từ x1 đã cho, tìm được điểm M là có hình chiếu lên trục là x 1 rồi cho M chạy trên
đường tròn theo chiều đã xác định được, điểm dừng là M’ khi M quét đủ góc α đã
cho. Với vị trí trên đường tròn là M’ tìm được, ta chiếu tiếp tục vào trục xx’ để tìm
được li độ x2. Chú ý đến dấu của x2 phụ thuộc vị trí M’ nằm ở trên hay dưới trục
ngang.
Chú ý: Nếu tại thời điểm t vật có li độ x và đang tăng tức là vật chuyển động theo
chiều dương, còn đang giảm tức là
đi theo chiều âm. Việc tăng, giảm ở đây là sự tăng giảm về mặt giá trị.
Ví dụ . Vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(5πt + ) cm.
a) Tại thời điểm t vật có li độ 5 cm, xác định li độ của vật sau đó s
b) Tại thời điểm t vật có li độ - 5 cm, xác định li độ của vật sau đó (s)
c) Tại thời điểm t vật có li độ - 5 cm, xác định li độ của vật sau đó (s)
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM THỜI GIAN CHẤT ĐIỂM CHUYỂN ĐỘNG
Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1 đến x2:

* Cách 1: Dùng mối liên hệ DĐĐH và CĐTĐ
0
T → 360

 t = ? → ∆ϕ

⇒ Δt =

∆ϕ
∆ϕ
=
ω 3600

T

* Cách 2: Dùng công thức tính & máy tính cầm tay
 Nếu đi từ VTCB đến li độ x hoặc ngược lại:
∆t =

x
1
arcsin
ω
A

hay bấm máy là ∆t =

x 
1
sin −1  ÷

ω
A

 Nếu đi từ VT biên đến li độ x hoặc ngược lại:

 Trang 15


∆t =

1
x
1
−1  x 
arccos
hay bấm máy là ∆t = cos  ÷
ω
ω
A
A

(Trục tổng hợp thời gian)
DẠNG 2.XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM VẬT ĐI QUA LI ĐỘ X 0 NÀO ĐÓ THEO
CHIỀU XÁC ĐỊNH LẦN THỨ N
PP giải:
ωt + ϕ = ...

v >0; v< 0

 

→ ωt + ϕ = ... ⇒ t
+ Giải phương trình Acos(ωt + φ) = x0  
ωt + ϕ = ...

+ Chọn giá trị của k ta tìm được thời gian cần tìm.
Chú ý: Chúng ta cũng có thể sử dụng trục thời gian giải các bài toán như thế này!
Ví dụ : Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 10cos(2πt + π/2) (cm). Tìm
thời điểm vật qua vị trí có li độ x = 5 cm lần thứ hai theo chiều dương.
Hướng dẫn giải
Ta có: 5 = 10cos(2πt + π) ⇔ cos(2πt + π2) = = cos()
1

 t = − 12 + k
 2πt + = ± + k2π  
với t > 0  k = 1, 2, 3,...
t = − 5 + k
12


Vì qua vị trí x = 5 cm theo chiều dương nên v > 0
Khi đó, v = - 20πsin (2πt + π/2) . Để thỏa mãn điều kiện v > 0, ta chọn t = −

5
+k
12

Vật qua vị trí x = 5 cm lần thứ hai nên k = 2
 Trang 16

Vậy: t = −

5
+ 2 = (s)
12

DẠNG 3:XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM VẬT QUA LI ĐỘ X0 NÀO ĐÓ LẦN THỨ N
PP giải:
ωt + ϕ = ...

 t 1 min = ...

→
+ Giải phương trình Acos(ωt + φ) = x0  
t
ωt + ϕ = ...  t 2 min = ...
du 1 → t = nT + t 1

+ Lập tỉ số = n + dư, nếu 
du 2 → t = nT + t 2
Ví dụ : Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 10cos(10πt + π/2) (cm).
Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 5 cm lần thứ 2008.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 5 = 10cos(10πt + π/2) ⇔ cos(10πt + π/2) = = cos( ± )

10πt +
 10πt + = ± + k.2π  
10πt +


π π
1

= + k 2π
t=−
+

2 3
60
⇔
π
π
t = − 5 +
= − + k 2π

2
3
60

k
5
k
5

Vì t > 0 nên khi vật qua vị trí x = 5 cm lần thứ 2008 ứng với k = 1004
Vậy t = −

1 k
1 1004
+ = − +

≈ 201(s)
60
5
60 5

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM VẬT CÁCH VỊ TRÍ CÂN BẰNG MỘT
KHOẢNG BẰNG X0 CHO TRƯỚC
PP giải:
ωt + ϕ = ...  t 1 min = ...
ωt + ϕ = ...  t
= ...
→  2 min
+ Giải phương trình Acos(ωt + φ) = x0  
t
ωt + ϕ = ...  t 3 min = ...


ωt + ϕ = ...  t 4 min = ...
du 1 → t = nT + t 1
du 2 → t = nT + t
2
+ Lập tỉ số = n + dư, nếu 
du 3 → t = nT + t 3

du 4 → t = nT + t 4

Ví dụ . Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(4πt + )cm. Kể từ t = 0,
lần

thứ 2019 vật cách vị trí cân bằng 2,5 là

Đ/s: t2019 = s

DẠNG 5: BÀI TOÁN VỀ QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
 Trang 17


1) Lý thuyết cơ bản:
* Quãng đường vật đi được trong 1T là S = 4A → quãng đường vật đi được trong nT
là S = n.4A
* Quãng đường vật đi được trong T/2 là S = 2A → quãng đường vật đi được trong
nT/2 là S = n.2A
* Quãng đường vật đi được trong T/4 là S = A nếu vật bắt đầu đi từ {x = 0; x = ± A}
và S ≠ A khi vật bắt đầu từ các vị trí {x ≠ 0; x ≠ A}
2) Phương pháp giải:
Giả sử một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(ωt + φ) cm. Tính
quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến thời điểm t2
*Tìm chu kỳ dao động: T =
* Phân tích: ∆t = t2 - t1  = n + k; (0 < k <1) ⇔ ∆t = nT + kT = nT + ∆t’
Khi đó quãng đường vật đi được là S = n.4A + S’
* Nếu quá trình phân tích ∆t chẵn, cho ta các kết quả là nT; nT/2 hay nT/4 thì ta có
thể dùng các kết quả ở trên để tính nhanh. Trong trường hợp t không được chẵn, ta
thực hiện tiếp bước sau
+

Tính

li

độ

và

vận

tốc

tại

các

thời

điểm

t1;

t2:

 x1 = A cos(ωt1 + ϕ )  x2 = A cos(ωt 2 + ϕ )
;

v1 = −ωA sin(ωt1 + ϕ ) v2 = −ωA sin(ωt 2 + ϕ )

+ Việc tính S’ chúng ta sử dụng hình vẽ sẽ cho kết quả nhanh gọn nhất.
Ví dụ 1. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(ωt + ) cm. Khoảng thời
gian ngắn nhất kể từ

khi vật dao động đến khi gia tốc đổi chiều hai lần là s.

a) Tìm chu kỳ dao động của vật.

b) Tính quãng đường vật đi được từ t = 0 đến t = 2,5 s
Lời giải:
x = 2
v < 0

a) Vật dao động từ t = 0, thay vào phương trình x, v ta được tại t = 0 thì 

Gia tốc vật đổi chiều tại vị trí cân bằng, sử dụng trục thời gian ta dễ dàng tìm được
khoảng thời gian mà vật đi ứng với vật di chuyển từ li độ x = 2 đến biên âm rồi quay
về vị trí cân bằng,
 Trang 18


tức Δt =
8πt

T T T 7
+ + =
→T= s
12 4 4 16

π



b) Thay T = s ⇒ x = 4cos  3 + 3  cm.



Khi đó ta có Δt = 2,5 ⇒ = = ⇔ Δt = 3T +

x 1 = 2
v < 0

+ Tại t = 0 ta có 

x 1 = −4
v = 0

+ Tại t = 2,5 s ta có 

Suy ra quãng đường vật đi được là S = 3.4A + S’ = 48 + 4 + 2 = 54 cm
Ví dụ 2. Vật dao động điều hòa với phương trình x =10cos(4πt - π/6)cm. Tính quãng
đường vật đi được
a) Từ t = 0 đến t = s

b) Từ t = s đến t =
Lời giải

a) Ta có T = 0,5 s; Δt = = T = T + T → S = 4A + S’
x 1 = 5 3

+ Tại t = 0 ta có 

v > 0
 x 1 = −5 3

+ Tại t = s ta có 

v > 0

Quãng đường đi của vật như trên hình vẽ.
Suy ra quãng đường vật đi được là S = 4.10 + (10 - 5) + 20 + (10 - 5 ) ≈ 62,68 cm
DẠNG 6: XÁC ĐỊNH SỐ LẦN VẬT QUA MỘT LI ĐỘ CHO TRƯỚC
Tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F) từ thời điểm t1 đến t2.
Trong mỗi chu kỳ, vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần (chưa
xét chiều chuyển động) nên:
• Bước 1: Tại thời điểm t1, xác định điểm M1 ; tại thời điểm t2, xác định điểm M2
• Bước 2: Vẽ đúng chiều chuyển động của vật từ M 1 tới M2, suy ra số lần vật đi qua

xo là k.
+ Nếu Δt < T thì k là kết quả, nếu Δt > T ⇒ Δt = n.T + Δt’ thì số lần vật qua x o
là 2n + k.
+ Đặc biệt: nếu vị trí M1 trùng với vị trí xuất phát thì số lần vật qua x o là 2n + k +
1.
 Trang 19


* Cách khác:
- Xác định vị trí x1, x2 và dấu của v1, v2 tương ứng với t1 và t2.

 x1 = A cos(ωt1 + ϕ )
 x = A cos(ωt 2 + ϕ )
và  2

v1 = −ω A sin(ωt1 + ϕ )
v2 = −ω A sin(ωt2 + ϕ )
Xét tỉ số:

t2 − t1
=n

T

(n nguyên)
( n ∈ N , 0 < ∆t < T )

⇒ t2 − t1 = nT + ∆t '

 số lần vật đi qua x = x0 từ thời điểm t1  t2 : m = 2n + k với k = {0,1,2}
 Để xác định k ta chỉ cần vẽ hình mô tả.
VD:
-A

x0

x2

O

x1

A

Đi qua 0 lần: k = 0
-A

x2

O

x0

x1

A

-A

x2

Đi qua 1 lần: k = 1

O

x1

x0 A

Đi qua 2 lần: k = 2

Ví dụ . Một vật dao động điều hòa với phương trình dao động là x = 4cos(πt + π/3)
cm.
a) Trong khoảng thời gian 4 (s) kể từ khi bắt đầu dao động (t = 0), vật qua li độ x = 2
cm bao nhiêu lần?
b) Trong khoảng thời gian 5,5 (s) kể từ khi bắt đầu dao động (t = 0), vật qua li độ x =
2 cm bao nhiêu lần?
DẠNG 7: BÀI TOÁN VỀ QUÃNG ĐƯỜNG LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
* TH1: ∆t < T/2
+ Quãng đường lớn nhất: Smax = 2Asin, (∆ϕ = ω.∆t = .∆t)
+ Quãng đường nhỏ nhất: Smin = 2A(1 - cos), (∆ϕ = ω.∆t = .∆t)
* TH2: ∆t > T/2

Ta phân tích ∆t = n. +∆t’ (∆t’ < ). Khi đó S = n.2A + S’max
+ Quãng đường lớn nhất: Smax = n.2A + 2Asin, (∆ϕ’ = ω.∆t’ = .∆t’)
 Trang 20


+ Quãng đường nhỏ nhất: Smin = n.2A + 2A(1 - cos), (∆ϕ’ = ω.∆t’ = .∆t’)
+ Tính tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất:

v tbmax =

Smax
∆t

và v tbmin =

Smin
∆t

; với Smax

, Smin tính như trên.
* Bài toán ngược: Xét trong cùng quãng đường S, tìm thời gian dài nhất và ngắn
nhất:
ω.t
 Nếu S < 2A: S = 2Asin 2min (tmin ứng với Smax) ;

S = 2A(1 - cos

ω.t max

2

)

(tmax ứng với

Smin)
 Nếu S > 2A: tách

S = n.2A + S' ,

thời gian tương ứng:

t =n

T
+ t'
2

; tìm t’max , t’min như

trên.
* Từ công thức tính Smax và Smin ta có cách tính nhanh quãng đường đi được
trong thời gian từ t1 đến t2:
Ta có:
- Độ lệch cực đại:

∆S =

Smax − Smin

≈ 0, 4A
2

- Quãng đường vật đi sau một chu kì luôn là 4A nên quãng đường đi được ‘‘trung
t −t
bình’’ là: S = 2 T 1 .4A

 Vậy quãng đường đi được:

S = S ± ∆S hay S − ∆S ≤ S ≤ S + ∆S hay S − 0, 4A ≤ S ≤ S + 0, 4A

Ví dụ . Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ dao động T. Tính quãng
đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật đi được
a) trong khoảng thời gian ∆t = T/6.
b) trong khoảng thời gian ∆t = T/4.
c) trong khoảng thời gian ∆t = 2T/3.
d) trong khoảng thời gian ∆t = 3T/4.
DẠNG 8: BÀI TOÁN VỀ TỐC ĐỘ, VẬN TỐC TRUNG BÌNH
1. Tốc độ trung bình: v tb =

S
với S là quãng đường vật đi được trong khoảng thời
Δt

gian ∆t.

 Trang 21


 Tốc độ trung bình trong 1 hoặc n chu kì là : v tb =

2. Vận tốc trung bình: v =

4A 2v max
=
Tπ

Δx x 2 - x 1
=
với ∆x là độ dời vật thực hiện được trong
Δt
Δt

khoảng thời gian ∆t.
 Độ dời trong 1 hoặc n chu kỳ bằng 0 ⇒ Vận tốc trung bình trong 1 hoặc n
chu kì bằng 0.
Ví dụ .Vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(ωt + π/3) cm. Khoảng thời
gian ngắn nhất kề từ khi vật dao động đến thời điểm vận tốc bằng 0 lần hai là 2 s.
Tính tốc độ trung bình max; min trong 5,5 s.
DẠNG 9: Xác định trạng thái dao động của vật sau (trước) thời điểm t một

khoảng ∆ t.
-Tìm li độ x = x1 tại thời điểm t1 .
-Thế t2 = t1+ ∆ t vào pt xác định ω∆t Hay t2 – t1 = ∆ t
 Nếu ω∆t =k2 π (hay ∆ t = n.T) thì
x2 = x1 và v2 = v1
π
 Nếu ω∆t = (2k +1) (hay ∆ t = (2n+1).T/2) thì x2= -x1 và v2 = - v1
 Nếu ω∆t =

π

+ k π (hay ∆ t = (2n+1).T/4) thì x2 = ± A2 − x12
2

và v22 = ω2(A2-x 22)
+ TH1: n là số chẵn (n = 0, 2, 4, ...)  ∆ t = T/4; 5T/4; ...
thì v2 = -ω.x1 và v1 = ω.x2
+ TH2: n là số lẻ (n = 1, 3, 5, ...)  ∆ t = 3T/4; 7T/4; ...
thì v2 = ω.x1 và v1 = ω.x2

- Nếu ∆ϕ có giá trị khác, ta dùng mối liên hệ DĐĐH và CĐTĐ để giải tiếp:
• Bước 1: Vẽ đường tròn có bán kính R = A (biên độ) và trục Ox nằm ngang
• Bước 2: Biểu diễn trạng thái của vật tại thời điểm t trên quỹ đạo và vị trí tương ứng

của M trên đường tròn.
Lưu ý: ứng với x đang giảm: vật chuyển động theo chiều âm ; ứng với x đang
tăng: vật chuyển động theo chiều dương.
• Bước 3: Từ góc ∆ϕ = ω∆ t mà OM quét trong thời gian Δt, hạ hình chiếu xuống

trục Ox suy ra vị trí, vận tốc, gia tốc của vật tại thời điểm t + Δt hoặc t – Δt.
DẠNG 10: Tính thời gian trong một chu kỳ để |x|, |v|, |a| nhỏ hơn hoặc lớn hơn
một giá trị nào đó (Dùng công thức tính & máy tính cầm tay).

 Trang 22


a) Thời gian trong một chu kỳ vật cách VTCB một khoảng
x
4
nhỏ hơn x1 là ∆t = 4t1 = arcsin 1
ω

hay bấm máy ∆t = 4t1 =

A

x 
4
sin −1  1 ÷
ω
 A 

x
4
lớn hơn x1 là ∆t = 4t 2 = arccos 1
ω

A

hay bấm máy ∆t = 4t1 =

x 
4
cos −1  1 ÷
ω
 A 

b) Thời gian trong một chu kỳ tốc độ
v
4
 nhỏ hơn v1 là ∆t = 4t1 = arcsin 1

ω

4
−1  v1 
hay bấm máy ∆t = 4t1 = sin  ÷
ω
A 

Aω
- Aω

V1

V1

Aω

v

4
v
4
−1  v1 
 lớn hơn v1 là ∆t = 4t 2 = arccos 1 hay bấm máy ∆t = 4t1 = cos  ÷
ω
ω
Aω
 A 

(Hoặc sử dụng công thức độc lập từ v1 ta tính được x1 rồi tính như trường hợp a)

c) Tính tương tự với bài toán cho độ lớn gia tốc nhỏ hơn hoặc lớn hơn a1 !!
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ CON LẮC LÒ XO
I: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ CON LẮC LÒ XO

* Tần số góc, chu kỳ dao động, tần số dao động: ω =


2π
m
= 2π
T =
ω
k

k

m
f = ω = 1 k

2π 2π m

* Trong khoảng thời gian ∆t vật thực hiện được N dao động thì ∆t = N.T ⇔ T =

ω =

f =


2πN
∆t

N
∆t

* Khi tăng khối lượng vật nặng n lần thì chu kỳ tăng n lần, tần số giảm .
* Khi mắc vật có khối lượng m1 vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ
 Trang 23


T1 = 2π

m1
k

* Khi mắc vật có khối lượng m2 vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ
T2 = 2π

m2
k

* Khi mắc vật có khối lượng m = (m1 + m2) vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động
với chu kỳ T = T12 + T22
* Khi mắc vật có khối lượng m = (m 1 – m2) vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động
với chu kỳ T = T12 − T22
Ví dụ 1. Một vật khối lượng m = 250 (g) mắc vào một lò có độ cứng k = 100 (N/m)
thì hệ dao động điều hòa.
a) Tính chu kỳ và tần số dao động của con lắc lò xo.
b) Để chu kỳ dao động của vật tăng lên 20% thì ta phải thay vật có khối lượng m
bằng vật có khối lượng m có giá trị bằng bao nhiêu?
c) Để tần số dao động của vật giảm đi 30% thì phải mắc thêm một gia trọng ∆m có trị
số bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:
a) Ta có T = 2π

m
0,25
= 2π
= 0,1π s  f = = (Hz).
k
100

b) Chu kỳ tăng lên 20% nên T’ = 120%T  = ⇔ m’ = 1,44m = 360 (g).
c) Theo bài ta có f’ = 70%f 

1
7
=
⇔ m = 0,49(m +∆m)  ∆m ≈ 260,2
m + ∆m 10 m

g
Ví dụ 2. Một vật khối lượng m treo vào lò xo thẳng đứng thì dao động điều hòa với
tần số f1 = 6 (Hz). Treo thêm gia trọng m = 4 (g) thì hệ dao động với tần số f 2 = 5
(Hz). Tính khối lượng m của vật và độ cứng k của lò xo.
Hướng dẫn giải:

1
 f1 =
2π

Từ công thức tính tần số dao động 

f = 1
 2 2π

k
m
k
m + ∆m
 Trang 24




f2
=
f1

m
5
m
25
= ⇔
=
 m = g = kg
m + ∆m 6
m + 4 36

Lại có k = mω2 = m(2πf1)2 = (2π.6)2 ≈13,1 (N/m).
Ví dụ 3. Nếu treo đồng thời hai quả cân có khối lượng m 1 và m2 vào một lò xo thì hệ
dao động với tần số 2 Hz. Lấy bớt quả cân m 2 ra chỉ để lại m1 gắn vào lò xo thì hệ
dao động với tần số 2,5 Hz. Tính k và m1, biết m2 = 225 (g). Lấy g = π2.

Hướng dẫn giải:
Khi gắn cả hai vật m1 và m2 vào lò xo thì ta có f =
Nếu lấy bớt m2 ra thì f1 =

1
2π

1
2π

k
= 2 (1)
m1 + m2

k
= 2,5 (2)
m1

Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế, ta được

f1
m1
2
=
=
 m1 = m2 = 400 g
f2
m1 + m2 2,5

Thay m1 vào (2) ta tính được k =4π2.2,52.0,4 = 100 N/m.

II: CON LẮC LÒ XO CHUYỂN ĐỘNG THEO PHƯƠNG NGANG
Tại VTCB lò xo không bị biến dạng (∆ℓ0 = 0).
Do tại VTCB lò xo không biến dạng, nên chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo
l max = l0 + A
, trong đó ℓ0 là chiều dài tự nhiên của
l min = l0 − A

trong quá trình dao động lần lượt là 
lò xo.

Lực đàn hồi tác dụng vào lò xo chính là lực hồi phục, có độ lớn Fhp = k.|x|
Từ đó, lực hồi phục cực đại là Fhp.max = kA.
Ví dụ . Một CLLX dao động điều hòa theo phương ngang có phương trình x =
2cos(2πt +π/6) cm. Biết k = 40 N/m.
a) Tìm khối lượng m của vật nặng con lắc?
b) Tính Fhp max; Fđh max.
c) Tính Fhp tại các thời điểm t = s; t = (s).
III. CON LẮC LÒ XO DAO ĐỘNG THEO PHƯƠNG THẲNG ĐỨNG
* Tại VTCB lò xo bị biến dạng (dãn hoặc nén) một đoạn ℓ 0 = =

mg
g
= 2 
2
mω
ω

 Trang 25