sáng kiến kinh nghiệm một PHƯƠNG án dạy học TÍCH vô HƯỚNG của HAI VECTƠ TRÊN cơ sở PHÂN TÍCH KHOA học LUẬN TRI THỨC

1

MỘT PHƯƠNG ÁN DẠY HỌC
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
TRÊN CƠ SỞ PHÂN TÍCH
KHOA HỌC LUẬN TRI THỨC


2

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Lê Thanh Hải
2. Ngày sinh: 05 / 04 / 1983
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 14A – KP3 – P. Tam Hoà – Biên Hoà – Đồng Nai
5. Điện thoại: 0908544873
6. Email:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: THPT Ngô Quyền – Biên Hoà – Đồng Nai

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị cao nhất: Thạc sĩ
- Năm nhận bằng: 2010
- Chuyên ngành đào tạo : Lý luận và phương pháp dạy học toán

III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: giảng dạy toán
Số năm có kinh nghiệm: 6 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 2

3

A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một câu hỏi thường gặp trong dạy-học là “Học để làm gì?”. Cụ thể hơn, trong
một tiết học, đối với một nội dung kiến thức, học sinh (HS) có khi vẫn đặt ra câu
hỏi “Học khái niệm này, tri thức kia để làm gì?”, “Tại sao phải nghiên cứu
chúng?”… Có câu hỏi mà trong một số trường hợp, giáo viên (GV) cũng khó trả
lời thoả đáng.
Nguyên nhân của những câu hỏi như vậy là vì HS không hiểu được “nghĩa”
của những tri thức họ đang học. HS học một tri thức không biết để làm gì, ứng
dụng ra sao, không hiểu được vì sao phải có những tri thức như vậy. Lâu dần có
thể dẫn đến những áp đặt, chấp nhận, bào mòn tư duy sáng tạo, sự tò mò chính
đáng về tri thức…
Vì vậy, việc dạy – học trên cơ sở giúp HS hiểu được nghĩa của tri thức là
thực sự quan trọng và cần thiết. Muốn vậy, GV – người có vai trò quyết định trong
dạy học, phải là người hiểu rõ được nghĩa của những tri thức mà mình đang truyền
tải. Đây luôn là một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu đầy thú vị và không ít gian nan,
đòi hỏi người GV phải thực sự đam mê, quyết tâm và có kiến thức, am hiểu nhất
định.
“Tích vô hướng của hai vectơ” là một khái niệm có lịch sử ra đời và phát triển
phức tạp. Định nghĩa, tính chất và ứng dụng của khái niệm này cũng rất khác nhau
trong các thể chế: tri thức bác học, tri thức ở bậc Đại học và tri thức dạy – học ở
bậc phổ thông. Vì vậy, dạy – học thành công tri thức này không phải là dễ dàng,
mà đòi hỏi người GV phải nắm vững, hiểu sâu thì việc tổ chức dạy – học mới có
hiệu quả.
Từ những lý do đó, tác giả quyết định thực hiện một nghiên cứu: “Dạy và học
tích vô hướng của hai vectơ, trên cơ sở phân tích khoa học luận tri thức” với những
yêu cầu cụ thể sau:

- Phân tích lịch sử hình thành tri thức tích vô hướng của hai vectơ;
- Phân tích quan điểm sư phạm khi dạy học tri thức tích vô hướng của hai vectơ;
- Phân tích đặc trưng của tri thức tích vô hướng trong sách giáo khoa;
- Đưa
ra một
phương án
dạy học
tích
vô
hướng
hiệu quả.


4

MỤC LỤC
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
MỤC LỤC
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1
I. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1
Vì sao phải phân tích lịch sử hình thành tri thức ?................................................ 1
1. Các hệ thống tính toán đầu tiên trong nội tại hình học ..................................... 1
2. Biểu diễn hình học các số phức......................................................................... 2
3. Kết luận sư phạm rút ra từ phân tích lịch sử ..................................................... 2
II. VỀ DẠY – HỌC TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

3

1. Về định nghĩa phép toán.................................................................................... 3
2. Về quy tắc xác định phép toán .......................................................................... 4

3. Về tính chất các phép toán ................................................................................ 4
4. Về ý nghĩa khởi sinh tích vô hướng của hai vectơ ............................................ 4
III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – TRÊN CƠ SỞ PHÂN TÍCH SÁCH
GIÁO KHOA
5
1. Về ý nghĩa khởi sinh ......................................................................................... 5
2. Về định nghĩa .................................................................................................... 5
3. Về các tính chất của tích vô hướng ................................................................... 6
4. Về ứng dụng của tích vô hướng ........................................................................ 6
5. Về bài tập tích vô hướng ................................................................................... 6
6. Về mối liên kết của tích vô hướng với các tri thức khác .................................. 6
Những kết luận rút ra từ việc phân tích SGK........................................................ 6
IV. MỘT PHƯƠNG ÁN DẠY HỌC TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
7
V. TỔNG KẾT

13

1. Những kết quả đạt được .................................................................................. 13
2. Những tồn tại và hướng mở ra ........................................................................ 13
C. TÀI LIỆU THAM KHẢO


5
PHỤ LỤC: MINH HOẠ BÀI DẠY TRÊN PROJECTOR

B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Vì sao phải phân tích lịch sử hình thành tri thức ?
Sự ra đời của “tích vô hướng”, cũng như các tri thức bác học khác, đều là

kết quả của một quá trình hoạt động khoa học. Từ khi được phát minh ra bởi các
nhà khoa học, đến khi có thể trở thành tri thức dạy học, khái niệm “tích vô hướng”
đã phải trải qua một quá trình biến đổi mạnh mẽ, bị biến mất đi toàn bộ bối cảnh
của phát minh, che dấu đi những câu hỏi ban đầu mà tri thức này là một câu trả lời,
làm cho “tích vô hướng” trở thành bí ẩn và bị tước mất nghĩa. Từ đó, cần phải
phân tích lịch sử hình thành và phát triển của “tích vô hướng”. Phân tích này sẽ
giúp chúng ta vạch rõ sự tiến triển theo lịch sử của quá trình xây dựng “tích vô
hướng” trong cộng đồng các nhà khoa học, từ đó xác định được nghĩa của “tích vô
hướng”, tình huống mang lại nghĩa đó, những vấn đề gắn liền với nó, vị trí tương
đối của “tích vô hướng” trong một tri thức tổng quát hơn…
Đồng thời, nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển của
“tích vô hướng” sẽ giúp ta xác định một số chướng ngại hay quan niệm cho phép
giải thích sai lầm của học sinh, cũng như tìm những tình huống giúp học sinh vượt
qua chướng ngại, loại bỏ quan niệm sai lầm và hiểu được nghĩa của “tích vô
hướng”.
1. Các hệ thống tính toán đầu tiên trong nội tại hình học
a. Leibniz và “Hình học vị trí”: Ý tưởng đầu tiên về sự sáng tạo ra một hệ
thống tính toán trong nội tại hình học thuộc về Leibniz. Với ý định đó, ông đã xây
dựng “hình học vị trí”. Với hình học vị trí, ông chỉ quan tâm đến khoảng cách giữa
hai điểm, được hình thành trên khái niệm tương đẳng. Từ đó, ông đã giải được một
vài bài toán khá cơ bản, nhưng chỉ dừng lại ở đó, về sau không đưa thêm kết quả
mới nào.
b. “Tính toán tâm tỉ cự” của Mobius: Đây là một mô hình toán học giống
với hệ thống vectơ ngày nay trên khá nhiều phương diện, có tư tưởng cốt lõi và
mới mẻ là liên quan đến sự định hướng của các hình trong không gian. Ông đã đưa


6
ra phép cộng các đoạn thẳng cùng phương, mở rộng quy tắc dấu và quy tắc cộng.
16 năm sau, Mobius khái quát hoá phép cộng và trừ các đoạn thẳng không cùng

phương, nhưng đồng phẳng. 19 năm sau nữa ông xây dựng phép nhân hình học hai
đoạn thẳng. “Tích hình học” của Mobius bằng tích có hướng của hai vectơ ngày
nay về phương diện số, nhưng không đồng nhất. Rồi ông xây dựng “tích chiếu”
của hai đoạn thẳng định hướng (tương ứng với tích vô hướng ngày nay). Phát minh
của Mobius là một giai đoạn quan trọng đối với sự phát sinh phép toán vectơ. Lần
đầu tiên, phép nhân của hai đoạn thẳng (định hướng) được đề cập đến. Đây là một
điểm quan trọng trong quá trình xây dựng hệ thống tính toán vectơ sau này. Tuy
nhiên, trong “tính toán tâm tỉ cự”, việc thiếu thói quen kết hợp cả độ dài và phương
trong một đại lượng duy nhất đã gây ra một số lúng túng, mập mờ thiếu căn cứ
hoặc thiếu chính xác.
c. “Tính toán tương đẳng” của Bellavitius: Năm 1833, nhà khoa học
người Ý Bellavitius công bố “tính toán các tương đẳng”. Trong mô hình của
Bellavitius chứa rất nhiều yếu tố của lý thuyết vectơ hiện đại. Phép cộng, phép
nhân với một số trùng với các phép toán tương ứng trên các vectơ ngày nay. Thế
nhưng, ông đụng phải một khó khăn không giải quyết được là tích của hai đoạn.
Lịch sử đã chỉ ra rằng vấn đề khái quát hoá các tính toán vectơ trong mặt phẳng
luôn luôn đụng phải vấn đề gai góc là phép nhân.
2. Biểu diễn hình học các số phức
Việc biểu diễn hình học các số phức đóng vai trò quan trọng trong sự phát
sinh tính toán vectơ, đặc biệt là phép nhân vectơ.
a. Mô hình của Wessel: Xuất phát điểm của Wessel là hình học, và ông
muốn tìm cách biển diễn các phương trong không gian theo kiểu giải tích. Wessel
đã đưa ra được phép cộng các đường và phép nhân một đường với một số. Vấn đề
còn lại là phép nhân hai đường thì ông không thể giải quyết được triệt để, và thế là
ông cũng không vượt qua được khó khăn trong việc xây dựng khái niệm tích các
đường trong không gian. Thế nhưng, những phát hiện của ông được thừa nhận là
khám phá đầu tiên về biểu diễn hình học các số phức.
b. Mô hình của Argand: Khác với Wessel, điểm xuất phát của Argand là
đại số. Trong quá trình tìm cách biểu diễn trung bình nhân của hai đại lượng đối
nhau, Argand đã hoàn thiện phương pháp của mình bằng các phát hiện ngầm ẩn

khái niệm vectơ, sự phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Thế
nhưng, ông cũng không giải quyết được vấn đề khái quát phép nhân. Sau đó lần


7
lượt Servoir, và đặc biệt là Hamilton và Grassmann đã xây dựng lý thuyết các
quaternion, trong đó chứa đựng tích của hai cặp số (vectơ) bằng biểu thức đại số1.
3. Kết luận sư phạm rút ra từ phân tích lịch sử
Lịch sử hình thành lý thuyết vectơ đã chỉ ra cho ta thấy là những khó khăn,
trở ngại mà các nhà toán học phải vượt qua luôn luôn liên quan đến việc định
hướng các đối tượng hình học và việc xây dựng phép toán nhân trên các đường
định hướng.
a. Vấn đề định hướng các đại lượng hình học: Hình học Euclid phát sinh
từ thời cổ chỉ cho phép các số can thiệp trên phương diện độ đo, từ đó mà mối
quan hệ giữa hình học và số học được thiết lập. Phương pháp giải tích của
Descartes và Fermat đã làm đảo lộn sự cân bằng này. Trong giai đoạn này, đối
tượng của các phép toán vẫn luôn luôn là các số. Tư tưởng gán cho các đối tượng
hình học những đặc trưng khác với đại lượng vô hướng đã không dễ dàng xuất
hiện trong lịch sử. Đó là nguyên nhân dẫn đến những thất bại của nhiều nhà toán
học khi xem xét phép nhân giữa hai đại lượng có hướng. Từ đó dự đoán được khó
khăn có thể sẽ gặp phải đối với HS khi xem xét kết quả của phép nhân giữa hai
vectơ (đại lượng có hướng) lại là một số (đại lượng vô hướng).
b. Tính phức tạp của bản chất kép đại số và hình học: Khi mở rộng hệ
thống tính toán vectơ vào không gian, các nhà toán học luôn phải đương đầu với
khó khăn của việc khái quát hoá phép nhân các đoạn thẳng định hướng. Khó khăn
này mãi về sau mới được vượt qua nhờ sự phân tích sâu sắc những tác động qua lại
giữa quan điểm đại số và quan điểm hình học khi xây dựng các phép toán. Liên hệ
với việc học của HS, có thể đưa ra giả thuyết về những khó khăn mà HS phải
đương đầu, đó là khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của phép
toán vectơ, trong đó có phép nhân vô hướng. Từ đó có thể dẫn đến những sai lầm

như cho rằng “vì

nên

hoặc

”…

II. VỀ DẠY – HỌC TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Khi dạy học các phép toán vectơ cần chú ý đến ba mảng kiến thức: định
nghĩa phép toán, quy tắc xác định các phép toán và tính chất của các phép toán.
1. Về định nghĩa phép toán
Tích vô hướng có thể được định nghĩa bằng một trong bốn biểu thức tương
đương với nhau:
1

Chính nhờ xem xét phép toán nhân cả từ góc độ đại số lẫn góc độ hình học mà Hamilton mới giải quyết được triệt
để vấn đề mở rộng tính toán vectơ.


8




với là hình chiếu của trên giá của ;

với
.
Mỗi định nghĩa đều có những thuận lợi và khó khăn riêng. Điều quan trọng là

phải làm cho HS phân biệt được các loại tích: tích hai số, tích một vectơ với một
số, tích vô hướng (và sau này là tích có hướng) của hai vectơ.
2. Về quy tắc xác định phép toán
Nhìn chung, phép nhân vô hướng hai vectơ không được định nghĩa bằng
phương pháp kiến thiết như phép cộng hai vectơ và phép nhân một vectơ với một
số, nên quy tắc xác định phép toán không được đặt nặng (trừ khi phép nhân vô
hướng được định nghĩa bằng phương pháp “tích chiếu” – thế nhưng, định nghĩa
này không được SGK ưu tiên sử dụng).
3. Về tính chất các phép toán
Ở phổ thông không yêu cầu xây dựng tường minh một không gian vectơ với
các phép toán trên đó, nên không đòi hỏi HS phải chứng minh được mọi tính chất
của phép toán, do đó ta có thể khai thác nhận thức “trực giác” của HS rồi khẳng
định tính có lý của những trực giác ấy. Liên hệ với những tính chất của phép toán
trên số sẽ giúp HS hiểu và vận dụng kiến thức được dễ dàng hơn. Thế nhưng, cần
phải nhấn mạnh cho HS thấy bên cạnh những tính chất giống nhau giữa các phép
toán số và phép toán vectơ, thì bản chất của hai loại phép toán đó hoàn toàn khác
nhau, và chúng có những tính chất không giống nhau. Điều này có thể được khai
thác rất đa dạng giữa phép nhân hai số và tích vô hướng. Ví dụ như với
vẫn có thể có đẳng thức
được.

; hay từ

với

,

thì không thể khử

Từ đó, nên đưa ra một số bài tập làm cho HS phạm phải sai lầm do suy luận

tương tự, do áp dụng tuỳ tiện những tính chất của phép nhân hai số lên phép nhân
vô hướng hai vectơ.
4. Về ý nghĩa khởi sinh tích vô hướng của hai vectơ
Các phép toán cộng, trừ giữa hai vectơ, phép nhân vectơ với một số là các
phép toán tuyến tính, chúng chỉ có tác dụng định tính. Do đó, có một nhu cầu tự
nhiên là cần một phép toán vectơ có tác dụng kiểm soát các định lượng, đo đạc
hình học …
Các phép đo đạc cơ bản như độ dài, góc, khoảng cách, diện tích, thể tích …
đều liên quan đến sự vuông góc. Do đó, một phép toán của vectơ muốn kiểm soát


9
được các đo đạc như vậy nhất thiết phải xuất phát (hoặc ít nhất là phải kiểm soát
được một cách chặt chẽ) các hình chiếu của vectơ. Từ đó, “tích chiếu” của vectơ
ra đời.
Ta có thể định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ như sau: Tích vô hướng
của hai vectơ bằng tích độ dài đại số của một vectơ với độ dài đại số hình chiếu
của vectơ còn lại trên trục của vectơ đầu.2
Như vậy, định nghĩa “tích chiếu” của tích vô hướng của hai vectơ chính là
định nghĩa mang lại nghĩa của phép nhân vô hướng của hai vectơ. Tuy nhiên, SGK
chương trình mới đã giảm tải và không đề cập đến vấn đề này.
III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – TRÊN CƠ SỞ PHÂN TÍCH
SÁCH GIÁO KHOA
Sách giáo khoa xây dựng “tích vô hướng của hai vectơ” trên quan điểm nào?
Nghĩa của tri thức được hiểu ra sao ? Sách giáo khoa chú trọng đến những tính chất
nào của “tích vô hướng” ? Để trả lời các câu hỏi nêu trên, tác giả tiến hành phân
tích chương trình Sách giáo khoa Hình học 10, do Trần Văn Hạo tổng chủ biên.
1. Về ý nghĩa khởi sinh
SGK Hình học 10 đưa ra vấn đề mở đầu dẫn đến tích vô hướng là một nhu
cầu vật lý: tính công

do lực

làm một vật di chuyển một quãng đường

được tính bằng công thức
Trong đó

.

là cường độ của lực

tính bằng Niutơn,

là độ dài của

vectơ
tính bằng mét (m), là góc giữa hai vectơ
và . Từ đó giới thiệu:
“Trong toán học, giá trị
của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được gọi là
tích vô hướng của hai vectơ

và

”.

2. Về định nghĩa
SGK Hình học 10 định nghĩa tích vô hướng:
“ Cho hai vectơ

và

khác vectơ . Tích vô hướng của

hiệu là
, được xác định bởi công thức sau:
Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ và
.

2

và

là một số, ký

bằng vectơ

.”
ta quy ước

Tài liệu chuyên toán Hình học 10 (Đoàn Quỳnh CB) – Ý nghĩa hình học của tích vô hướng (trang 115)


10
3. Về các tính chất của tích vô hýớng
SGK giới thiệu các tính chất của tích vô hướng bằng khởi đầu: “Người ta
chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng …” rồi đưa ra bốn tính
chất (tính giao hoán, tính phân phối với phép cộng, tính kết hợp với tích của vectơ
với một số và tính bình phương không âm), sau đó là ba nhận xét (là ba hằng đẳng

thức vô hướng).
4. Về ứng dụng của tích vô hướng
SGK nêu ra ba ứng dụng của tích vô hướng là tính độ dài của vectơ, tính góc
giữa hai vectơ và tính khoảng cách giữa hai điểm. Cả ba ứng dụng này đều thực
hiện trên toạ độ của vectơ.
5. Về bài tập tích vô hướng
SGK có 7 bài tập về tích vô hướng, trong đó:
- 2 bài tập tính tích vô hướng bằng định nghĩa;
- 1 bài tập chứng minh đẳng thức về tích vô hướng;
- 4 bài tập ứng dụng tích vô hướng để tính chu vi, diện tích của tam giác,
chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc, tính góc giữa hai vectơ… hoàn toàn
bằng phương pháp toạ độ.
6. Về mối liên kết của tích vô hướng với các tri thức khác
Trong bài Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác, tích vô hướng
được sử dụng một lần duy nhất dưới dạng công thức bình phương vô hướng khi
chứng minh định lý côsin, ngoài ra không còn được nhắc lại thêm lần nào nữa.
Những kết luận rút ra từ việc phân tích SGK:
- Về ý nghĩa khởi sinh: SGK đưa ra ý nghĩa khởi sinh của tích vô hướng là
giải quyết vấn đề vật lý, hoàn toàn “phi toán”, không phải là nhu cầu tự
nhiên về mặt toán học. Từ đó cho thấy HS có thể bị nhầm lẫn rằng sự ra đời
của tích vô hướng xuất phát từ vật lý. Sự khớp nối giữa tri thức “tích vô
hướng” với các tri thức khác của vectơ (các đặc trưng của vectơ, các phép
toán cộng, trừ …) vì thế có chặt chẽ không ?
- Về định nghĩa: SGK đưa vào định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ bằng
một công thức, chưa tính đến những gợi mở cần thiết về nội dung và ý nghĩa
của công thức tích vô hướng (mặc dù trước đó SGK đã giới thiệu công thức
tính công của lực – nhưng như vậy là chưa thoả đáng). Từ đó có thể dự
đoán: HS có thể có cảm giác “áp đặt”, đặc biệt là không thấy rõ được ý
nghĩa, cũng như sự cần thiết của phép toán nhân vô hướng trong nội tại tri
thức vectơ.

11
- Về các tính chất của tích vô hướng: các tính chất của tích vô hướng được
công nhận, không chứng minh, cũng như chưa có các hoạt động minh hoạ
hay làm rõ. Từ đó có thể đặt câu hỏi: HS có khả năng có những sai lầm khi
áp đặt các tri thức về tích các số thực vào tích vô hướng của hai vectơ
không?
- Về ứng dụng của tích vô hướng: Ứng dụng của tích vô hướng được giới
thiệu gắn liền với biểu thức toạ độ của tích vô hướng… Các ứng dụng của
tích vô hướng trong hình học tổng hợp khá mờ nhạt. Liệu HS có sẵn sàng sử
dụng tích vô hướng để giải quyết các bài toán hình học tổng hợp (không có
toạ độ), như sử dụng bình phương vô hướng để tính độ dài đoạn thẳng, sử
dụng tích vô hướng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc … không?
- Về bài tập tích vô hướng: Số lượng bài tập vận dụng tích vô hướng dưới
dạng toạ độ chiếm tỉ lệ cao, và không thấy xuất hiện bài tập vận dụng tích vô
hướng ở cơ chế “công cụ”. Có thể gây ra cho HS đồng nhất tích vô hướng
với các tính toán đại số trên các thành phần toạ độ, và HS có nắm rõ mục
đích, vai trò của việc tính tích vô hướng không?
- Về mối liên kết tích vô hướng với các tri thức khác: Mối liên kết giữa tích
vô hướng với các tri thức khác còn rời rạc và khá mờ nhạt. HS có thấy rõ
được tầm quan trọng của tích vô hướng trong hệ thống tri thức vectơ tổng
thể hay không?
Từ đó dẫn đến giả thuyết: Chương trình và SGK không đặt nặng hoạt động
nghiên cứu tích vô hướng ở cơ chế công cụ trong hình học tổng hợp; vai trò của
tích vô hướng chỉ là chuẩn bị một số công cụ, phục vụ cho “hình học toạ độ” và xa
hơn là “hình học giải tích” ở chương sau.3
Từ một số phân tích trên, với mục đích “dung hoà” giữa việc truyền tải cho
HS tri thức tích vô hướng với ý nghĩa khởi sinh của nó, với việc tuân thủ sự giảm
tải của chương trình SGK, có thể đề nghị một phương án dạy - học bài “tích vô

hướng của hai vectơ” – SGK Hình học 10 như sau:
IV. MỘT PHƯƠNG ÁN DẠY HỌC TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I. Mục tiêu
Qua bài học, HS cần đạt được yêu cầu tối thiểu sau đây:
 Hiểu được khái niệm tích vô hướng của hai vectơ.
3

Việc kiểm chứng sự thoả đáng của giả thuyết đưa ra cần một thực nghiệm cụ thể và phân tích tiên nghiệm, hậu
nghiệm chặt chẽ. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một nghiên cứu nhỏ, đề tài này chưa có điều kiện thực nghiệm
kiểm chứng giả thuyết đã nêu.


12
 Tính được tích vô hướng giữa hai vectơ.
II. Chuẩn bị của GV và HS
a. Chuẩn bị của GV

 Giáo án, phấn, bảng.
 Hình ảnh hai vectơ bằng nhau (nhưng khác màu) bằng giấy bìa A4.
b. Chuẩn bị của HS

 Đồ dùng học tập như SGK, bút, thước …
 Kiến thức cũ về khái niệm vectơ, các đặc trưng của vectơ, các phép toán trên
vectơ.
 Máy tính hoặc bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
III. Phương pháp dạy học
Thuyết trình, gợi mở, kết hợp nêu và giải quyết vấn đề.
IV. Tiến trình bài học
1. Ổn định tổ chức

KT sĩ số, KT sự chuẩn bị của HS cho bài học (sách, vở, dụng cụ, tâm thế…)
2. Bài mới
HĐ1. Kiểm tra bài cũ (5 phút)

Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Gọi một HS đứng tại chỗ trả lời các câu hỏi:
Khái niệm vectơ ?
Các đặc
vectơ ?

trưng

Vectơ là một
thẳng có hướng.

đoạn

của Gồm phương, hướng và
độ dài của vectơ

Như vậy, trong vectơ có các yếu tố định tính và
yếu tố định lượng.
Các phép toán đã biết Phép cộng vectơ, phép
về vectơ?
trừ vectơ, phép nhân
một số với một vectơ.
Đây là các phép toán tuyến tính, chỉ có tác dụng
định tính, do vậy có một nhu cầu tự nhiên là cần

Ghi bảng
Chia bảng thành 3 cột, viết vào
cột 2.


13
G

một phép toán vectơ có tác dụng kiểm soát các
định lượng, đo đạc hình học. Cụ thể, cần một
C
phép toán kiểmBsoát được chiều dài của vectơ.

A

HĐ2. Gợi mở vấn đề (15 phút)

Hoạt
A Hoạt động của HS
động của
GV
Ta đã Abiết tổng, hiệu của hai vectơ là một
vectơ, tích của vectơ với một số là một vectơ.
Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta lấy tích của hai
vectơ?

Ghi bảng
B

G

B

A

Ta cần một phép toán giúp
C kiểm soát được
H
chiều Bdài vectơ. CNhư vậy, phép toán khá tự
nhiên ta có thể nghĩ đến là: Với vectơ bất
kỳ, tích của vectơ với vectơ bằng tích của
độ dài vectơ với độ dài vectơ .
Với
A

GV dán trên bảng hai vectơ chồng lên nhau,
có chia vạch để thấy rõ
.
G

Tính
?
B

H

bất kỳ:
C

B

.
A

C

B

C

D

A

D

GV lấy 1 vectơ, cắt bớt một vạch để được
vectơ
với .

có

A

. Sau đó, đặt

cùng hướng
B

Khi

cùng hướng, tích của hai vectơ sẽ Khi
bằng tích độ dài của chúng.
Tính
?

B

GV đặt

H

C

.

.

ngược hướng với .

Khi
ngược hướng, tích của hai vectơ sẽ Khi
bằng trừ tích độ dài của chúng.
Tính

cùng hướng:

ngược hướng:
.

C

14

B

?

C

H

Khi hai vectơ không cùng phương, chẳng hạn,
khi hợp với một góc
. Để tính tích của
hai vectơ, người ta đưa về trường hợp hai
vectơ cùng phương bằng cách chiếu
của , ta được một vectơ
. Khi đó tích

lên giá

cùng phương với

b
a
b'

.

Tính
?
Hãy xác
định công
thức tính
?
Hãy kiểm Khi
tra công
thức này
có mâu
thuẫn gì
Khi
với các
trường
hợp
đã
nêu
không ?

cùng hướng:
nên
.
ngược hướng:
nên

.

Như vậy, công thức tổng quát này không mâu
thuẫn với các trường hợp đặc biệt. Ta có phép
toán mới giữa hai vectơ. Qua đây, chúng ta

thấy kết quả của phép toán này là một số
thực, là một đại lượng không có hướng, nên
người ta gọi đây là “tích vô hướng” giữa hai
vectơ.
HĐ3. Thể chế hoá khái niệm mới (5phút)

Hoạt động của GV
- Định nghĩa. Cho hai vectơ

Hoạt động của HS
Viết vào cột 1.

Ghi bảng


15
và

r

khác vectơ 0 . Tích vô §2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

hướng của hai vectơ

và

là 1. Định nghĩa (SGK/41)
một số, ký hiệu là
, được
, ta có:

xác định bởi công thức sau: Với
.
- Quy ước: .
- Chú ý. Từ định nghĩa, với
Bình phương vô hướng:
Khi

cùng hướng:

Khi
Khi

ngược hướng:
:

, ta có:
.
.

HĐ4. Ví dụ áp dụng (15 phút)

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

1) Cho hình vuông

cạnh

2) Cho tam giác đều

cạnh

Ghi bảng

. Tính tích

và

.

. Tính các tích vô hướng

, có trọng tâm

,

theo .
3) Cho tam giác

cân tại

có cạnh đáy

. Tính

.

Lời giải mong đợi:

D

A

1)

hoặc

vì

.

.

A

C

B

2)

A

.

G

C

B

G

.
3) Kẻ

C

B

.

A

.
B

3. Củng cố và liên hệ thực tiễn (5 phút)

Qua bài học, chúng ta cần nắm được những gì ?

H

C


16
- Biết định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ.
- Biết cách tính tích vô hướng của hai vectơ.

Hãy cùng xem xét một số ví dụ về mối quan hệ giữa vô hướng và có hướng.
Từ một đoạn thẳng (đại lượng vô hướng), ta đã tạo ra vectơ (đại lượng có hướng)
bằng cách quy định điểm đầu, điểm cuối. Từ vectơ (đại lượng có hướng), ta có thể
thực hiện phép toán để được đại lượng vô hướng (số).
Hãy tìm trong tự nhiên, trong vật lý các đại lượng vô hướng và các đại
lượng có hướng như vậy, và mối liên hệ giữa chúng.
- Đại lượng vô hướng: chiều dài, diện tích, thể tích, tốc độ, khối lượng, mật
độ, áp suất, nhiệt độ, năng lượng, xác suất, công …
- Đại lượng có hướng: vectơ, vận tốc, gia tốc, lực, moment, trọng lượng, độ
dịch chuyển, lực đẩy, lực nâng …
Vận tốc là có hướng nhưng tốc độ là vô hướng. Hãy tìm các ví dụ tương tự.
- Trọng lượng là có hướng nhưng khối lượng là vô hướng…
- Tích vô hướng giữa lực và độ dịch chuyển tạo thành công.
4. Hướng dẫn bài tập về nhà

- Bài 1 và 2 trang 45 SGK.
Một số nhận xét về phương án dạy học đã đề ra:
Tiến trình dạy học nêu trên khác tiến trình trong SGK và một số tiến trình
thường gặp: tiến trình SGK đi từ định nghĩa tổng quát đến các trường hợp đặc biệt
cụ thể; tiến trình nêu trên lại được xây dựng từ các trường hợp cụ thể đến định
nghĩa tổng quát. Điều này là phù hợp với quá trình nhận thức của tư duy: từ trực
quan sinh động đến tư duy trừu tượng.
Trong quá trình xây dựng định nghĩa tổng quát của tích vô hướng, GV đã
“ngầm ẩn” xây dựng định nghĩa tích chiếu của hai vectơ (là định nghĩa mang lại ý
nghĩa hình học của tích vô hướng), tuy nhiên có một số lập luận trong tiến trình
còn hình thức, mập mờ và thiếu tự nhiên. GV đã bỏ qua một số yếu tố chính xác,
hàn lâm để tập trung hơn trên quan điểm sư phạm, cho HS thấy được cách đặt vấn
đề, cách giải quyết vấn đề trong quá trình phát minh. Từ đó, HS thấy được quá
trình phát minh ra công thức “tích vô hướng” như một tất yếu tự nhiên.
Tôn trọng tinh thần giảm tải của SGK, “tích vô hướng” trong bài dạy chỉ dừng

lại ở cơ chế “đối tượng”, chưa được nghiên cứu ở cơ chế “công cụ”.
Pha củng cố và liên hệ thực tiễn được thực hiện khá kỹ, điều này là cần thiết,
từ đó đảm bảo được HS nắm được bài học ở mức chuẩn kiến thức, kỹ năng và bắt
đầu đạt chuẩn ở mức độ phân hoá.


17
Hạn chế trong phương án dạy học đã nêu:
+ Chưa trình bày được yếu tố bất biến khi thực hiện phép chiếu vectơ; do đó,
“quy tắc xác định phép toán” – đáng lẽ phải được làm rõ thì bài dạy chưa làm rõ
được, đồng thời “tính giao hoán” trong định nghĩa tích vô hướng là một yếu tố
quan trọng để liên hệ đến phần tính chất sau đó đã bị bỏ qua.
+ Ngôn ngữ trong diễn đạt chưa thật sự tự nhiên và cặn kẽ, từ đó gây cảm
giác “áp đặt” ở một số thời điểm.
V. TỔNG KẾT
1. Những kết quả đạt được
- Phân tích lịch sử hình thành để thấy được những đặc trưng của tri thức “tích
vô hướng” và dự đoán được một số chướng ngại mà HS có thể gặp phải khi tiếp
cận khái niệm.
- Phân tích việc dạy – học tri thức “tích vô hướng” trên quan điểm sư phạm,
từ đó đưa ra một số phương án, lưu ý khi dạy – học khái niệm.
- Phân tích khái niệm tích vô hướng đã được trình bày trong SGK, rút ra một
số khó khăn, hệ quả mà HS có thể gặp, đồng thời đặt ra một số câu hỏi và đưa ra
giả thuyết.
- Đề nghị một phương án dạy – học tích vô hướng, đưa về bối cảnh của lịch
sử hình thành từ đó giúp mang lại một phần “nghĩa” của tri thức.
2. Những tồn tại và hướng mở ra
- Chưa có các thực nghiệm, hoạt động kiểm chứng được các giả thuyết đã
nêu. Chưa trả lời các câu hỏi đặt ra trong quá trình phân tích.
- Chưa xây dựng được mô hình dạy học mà HS đóng vai trò chủ thể của quá

trình nhận thức, vai trò của HS trong phương án dạy học nêu trên là chưa đủ tích
cực.
- Từ đó, cần một nghiên cứu sâu hơn để giải thích nguyên nhân và trả lời
được các câu hỏi đã nêu, cần một thực nghiệm và liên hệ thực tiễn để kiểm chứng
giả thuyết đặt ra. Đồng thời cần phát triển phương án dạy học lên mức độ mới,
khắc phục được các tồn tại đã nêu.


18

C. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), SGK Hình học 10, NXBGD, 2006.
2. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), SGV Hình học 10, NXBGD, 2006.
3. Đoàn Quỳnh (chủ biên), Tài liệu chuyên toán Hình học 10, NXBGD, 2010.
4. Lê Thị Hoài Châu, Phương pháp dạy – học hình học ở trường THPT,
NXBĐHQG HCM, 2004.
5. Ngô Thúc Lanh (chủ biên), Từ điển toán học thông dụng, NXBGD, 2002.
6. Văn Như Cương, Lịch sử hình học, NXB KHKT, 1977
7. Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis, University of Louisville, 2002.
8. Dot - product, />