Bộ 2 rèn luyện kỹ năng biến đổi tương đương

Bộ 2: Rèn luyện kỹ năng biến đổi tương đương bất phương trình.
STT

1

Nội dung câu hỏi

Đáp số

Lời giải cụ thể

Chỉ ra biến đổi sai trong các biến đổi sau a/ Sai do thiếu TH x=0.
( x − 1) ≤ 0
2
a/ x ( x − 1) ≤ 0 ⇔ 
(có thể chọn nhiều hơn một đáp án):
b/ Sai do chuyển vế không đổi
x = 0
2
dấu.
a/ x ( x − 1) ≤ 0 ⇔ ( x − 1) ≤ 0
3 3
x 11
b/ 2 x − < x + 4 ⇔ − < 0
c/
Đúng
do
mẫu
của
cả
hai

phân
3 3
7x 5
2 2
2 2
b/ 2 x − < x + 4 ⇔ + < 0
thức
là
các
số
dương
nên
có
thể
2 2
2 2
2 x + 3 3x + 5
quy đồng khử mẫu.
<
2 x + 3 3x + 5
c/ 4
3
<
⇔ 6 x + 9 < 12 x + 20
c/
d/ Sai khi phá trị tuyệt đối mà
⇔ 6 x + 9 < 12 x + 20
4
3
không xét dấu biểu thức bên

d/ | x + 1|≥ x
d/ | x + 1|≥ x ⇔ x + 1 ≥ x
trong dấu giá trị tuyệt đối.
e/

2 x − 3 2 − 3x
>
⇔ 10 x − 15 < 12 x − 8
−4
5

Cần nhớ ĐN:
 a khi a ≥ 0
| a |= 
 −a khi a < 0

Xét hai TH x ≥ −1 và x<-1 để phá
dấu giá trị tuyệt đối và giải bài toán.

2 x − 3 2 − 3x
>
e/ −4
5
⇔ 10 x − 15 < 12 x − 8
e/ Đúng do (-4) là số âm, nên khi

nhân cả hai vế với (-4) thì phải
đổi chiều BPT, còn 5 là số
dương, nên khi nhân cả hai vế
với 5 dữ nguyên dấu BPT.

2

Tìm BPT tương đương với BPT sau:
2
3
<
.
x −1 x + 2

a/ 2 x + 4 < 3 x − 3
b/ 2 x + 2 < 3 x − 1
2−3
c/ x − 1 − x + 2 < 0
(
) (
)
7−x

d/ x − 1 x + 2 < 0
(
)(
)
5x + 1

e/ x − 1 x + 2 < 0
(
)(
)

a/ Sai vì chưa biết (x-1) và (x+2) Ta có:

âm hay dương nên không thể
2
3
2
3
<
⇔
−
<0
nhân chéo
b/ Sai như a + nhân chéo sai.
c/ Sai do dùng sai lý thuyết:
a c a.d − b.c
− =
.
b d
b.d

d/ Đúng, ở đây đã thực hiện các
phép biến đổi tương đương là
“chuyển vế đổi dấu, tính hiệu hai
phân thức”.
e/ Sai do chuyển vế không đổi
dấu.

x −1 x + 2
x −1 x + 2
2 x + 4 − 3x + 3
⇔
<0

( x − 1) ( x + 2 )
⇔

7− x
<0
( x − 1) ( x + 2 )


3

Hãy chỉ ra biến đổi đúng nhất:
x +1 ≥ 0
x − 2 ≥ 0

a/ ( x + 1) ( x − 2 ) ≥ 0 ⇔ 

x +1 ≥ 0
x − 2 ≥ 0

b/ ( x + 1) ( x − 2 ) ≥ 0 ⇔ 

x +1 > 0
x − 2 > 0

TH1: Chưa hiểu đúng :Một thừa
số dương, nhưng thừa số còn lại
âm thì tích vẫn âm.
TH2: Nhầm lẫn giữa dấu { và
dấu [ .

c/ ( x + 1) ( x − 2 ) ≥ 0 ⇔ 

b/ Thiếu TH cả hai thừa số cùng
không dương.

 x + 1 ≥ 0

x − 2 ≥ 0
d/ ( x + 1) ( x − 2 ) ≥ 0 ⇔ 
x +1 ≤ 0

  x − 2 ≤ 0

c/ Thiếu TH một trong hai thừa
số có thể bằng 0 và TH cả hai
thừa số cùng không dương.

 x + 1 ≥ 0

 x − 2 ≥ 0
e/ ( x + 1) ( x − 2 ) ≥ 0 ⇔ 
 x + 1 ≤ 0
  x − 2 ≤ 0


4

a/ Sai do

Hãy chỉ ra biến đổi đúng nhất:

a/

2x + 3
≥ 0 ⇔ ( 2 x + 3) . ( 2 − x ) ≥ 0
2− x

2x + 3
≥ 0 ⇔ 2x + 3 ≥ 0
b/
2− x
 2 x + 3 ≥ 0

2x + 3
2 − x ≥ 0
≥0⇔
c/
 2 x + 3 ≤ 0
2− x

  2 − x ≤ 0
 2 x + 3 ≥ 0

2x + 3
2 − x > 0
≥0⇔
d/
 2 x + 3 ≤ 0
2− x

  2 − x < 0

e/ Đáp án khác

 x + 1 ≥ 0

x−2≥0
( x + 1) ( x − 2 ) ≥ 0 ⇔  
x +1 ≤ 0

  x − 2 ≤ 0

d/ Đúng, ở đây sử dụng lý thuyết
“tích hai biểu thức cùng dấu thì
dương”.
e/ Sai do sử dụng sai ký hiệu.

a/ Sai do giải BPT sau thì có
nghiệm là x=2, nhưng x=2 làm
BPT đầu không xác định.
Có thể thay dấu ⇔ bằng dấu
⇒ và sau khi ra nghiệm thì kết
hợp với điều kiện.
b/ Sai do chưa biết mẫu âm hay
dương nên không thể quy đồng
khử mẫu.
c/ Sai do mẫu phải khác 0.
d/ Đúng.
BPT này còn tương đương với
( 2 x + 3) ( 2 − x ) ≥ 0
 2 − x ≠ 0

hệ: 

 2 x + 3 ≥ 0

2x + 3
2 − x > 0
≥0⇔
 2 x + 3 ≤ 0
2− x

  2 − x < 0


5

Lỗi sai trong lời giải này là và sửa lại cho a/ Bước phân tích đa thức thành
đúng:
nhân tử là đúng.
x + 2x − x − 2 < 6x − 6
3

2

⇔ ( x + 1) ( x − 1) ( x + 2 ) < 6 x − 6 (1)
⇔ ( x + 1) ( x + 2 ) < 6

(2)

⇔ x 2 + 3x − 4 < 0

(3)

⇔ ( x − 1) ( x + 4 ) < 0

(4)

⇔ −4 < x < 1.

(5)

a/ Sai ở bước biến đổi 1, sửa lại là …
b/ Sai ở bước biến đổi 2, sửa lại là …
c/ Sai ở bước biến đổi 3, sửa lại là …
d/ Sai ở bước biến đổi 4, sửa lại là …
e/ Sai ở bước biến đổi 5, sửa lại là …
6

d/ Từ (2) sang (3) là đúng, phân
tích đa thức thành nhân tử là
đúng.
e/ Từ (2) sang (3) là đúng, giải
nghiệm là đúng.

b/ Đúng nhưng chưa đủ

⇔ 2 | x − 1| +3 ( x − 1) ≤ 0
⇔ 5 ( x − 1) ≤ 0

(1)

Ở đây bạn Bình sai tùy tiện đặt
dấu giá trị tuyệt đối cho một biểu
thức.

⇔ x ≤1

c/ Bước giải nghiệm này đúng

Bạn Bình lại có một đáp số khác là:

Có thê bạn đang nhớ nhầm là
| a |> 0 ∀a

2 | x − 1| +3 x ≤ 3
⇔ 2 | x − 1| +3 x − 3 ≤ 0

d/ Sai ở cả (1) và (2).

⇔ 2 | x − 1| +3 ( x − 1) ≤ 0
⇔ 5 | x − 1|≤ 0
⇔ x =1

(2)
(3)

a/ Sai ở bước biến đổi 1, sửa lại là …
b/ Sai ở bước biến đổi 2, sửa lại là …
c/ Sai ở bước biến đổi 3, sửa lại là …
d/ Sai ở bước biến đổi 1 và 2, sửa lại

⇔ ( x + 1) ( x − 1) ( x + 2 ) < 6 x − 6

b/ Bước rút gọn là sai, do chưa ⇔ ( x − 1) { ( x + 1) ( x + 2 ) − 6} < 0
biết (x-1) dương hay âm nên
2
không thể chia cả hai vế cho (x- ⇔ ( x − 1) ( x + 3x − 4 ) < 0
2
1).
⇔ ( x − 1) ( x + 4 ) < 0
c/ Từ (2) sang (3) là đúng, do đã ⇔ x + 4 < 0 ⇔ x < −4.
thực hiện đúng các phép biến đổi
tương đương “nhân đơn thức với
đơn thức, chuyển vế đổi dấu, rút
gọn”.

Lỗi sai trong các lời giải này là và sửa lại a/ Đúng nhưng chưa đủ
cho đúng:
Ở đây bạn An sai khi phá dấu
2
|
x
−
1|
+
3
x
≤
3
giá trị tuyệt đối mà không xét tới

“Giải BPT sau:
”
biểu thức bên trong dấu giá trị
Bạn An giải như sau:
tuyệt đối.
2 | x − 1| +3 x ≤ 3
⇔ 2 | x − 1| +3 x − 3 ≤ 0

x3 + 2 x 2 − x − 2 < 6 x − 6

Trong trường hợp này ta cần
phải xét dấu biểu thức bên trong
dấu giá trị tuyệt đối để phá dấu
giá trị tuyệt đối.
e/ Ở đây bước (3) là đúng.

2 | x − 1| +3 x ≤ 3
⇔ 2 | x − 1| +3 x − 3 ≤ 0
⇔ 2 | x − 1|≤ −3 ( x − 1)
Xét hai trường hợp x ≥ 1 va x ≤ 1

để phá trị tuyệt đối rồi giải BPT.
ĐS: x ≤ 1


là …
e/ Sai ở bước biến đổi 1 và 3, sửa lại
là …