Dao động uốn của dầm ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Nguyễn Thị Vân Hương

DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM ỨNG SUẤT TRƯỚC DƯỚI
TÁC DỤNG CỦA VẬT THỂ DI ĐỘNG

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62520101

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội – 2016


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Phong Điền

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ
cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Vào hồi …….. giờ, ngày ….. tháng ….. năm ………

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư việnTạ Quang Bửu- Trường ĐHBK Hà Nội

2. Thư viện Quốc gia Việt Nam
 

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN

1. Nguyễn Thị Vân Hương, Ngô Quang Tuấn (2013) Xác
định lực căng dây cáp theo mô hình dầm ứng suất trước
hai đầu ngàm. Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần
thứ 9, NXB Bách khoa, Tập 1, Tr. 254-266
2. Nguyen Thi Van Huong, Nguyen Phong Dien (2014) On
the natural frequency and mode shape of a cracked and
prestressed beam.Journal of Science and Technology,
103, pp. 47-52
3. Nguyễn Thị Vân Hương (2015) Khảo sát ảnh hưởng của
vết nứt đến tần số riêng dao động uốn của dầm ứng suất
trước trên mô hình lý thuyết. Tạp chí Kết cấu và Công
nghệ xây dựng, Số 16, Tr. 31-40
4. Nguyen Thi Van Huong, Nguyen Van Khang, Nguyen
Phong Dien (2015) Dynamic response of a cracked and
prestressed beam under the action of a moving body.
Journal of Science and Technology 106, pp. 58-62
5. Nguyễn Phong Điền, Nguyễn Thị Vân Hương (2016)
Khảo sát ảnh hưởng của ứng suất trước và vết nứt đến
tần số riêng uốn của dầm hai đầu ngàm. Tuyển tập công
trình Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Tập 2, Tr. 7381
6. Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thị Vân Hương, Nguyễn
Đức Phong (2016) Về vận tốc tới hạn của ô tô khi qua
cầu. Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Tập 54 (3), Tr.
415-425

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Dao động uốn của dầm dưới tác động của các vật thể di
động là một trong những bài toán quan trọng của động lực học
công trình. Lịch sử nghiên cứu về dao động của dầm dưới tác
dụng của tải trọng di động đã kéo dài hơn 150 năm với nhiều
kết quả nghiên cứu. Có hàng nghìn bài báo khoa học về dao
động của dầm không có ứng suất trước được công bố trong các
tạp chí khoa học và nhiều sách chuyên khảo được xuất bản.
Ngày nay trong các ngành giao thông vận tải, xây dựng và
chế tạo cơ khí người ta hay sử dụng các loại dầm bê tông cốt
thép dự ứng lực (có ứng suất trước) hoặc dầm thép có ứng suất
trước. Việc tính toán các loại dầm này trước đây ở nước ta mới
chỉ ở mức độ tính toán tĩnh. Các nghiên cứu về dao động của
dầm có ứng suất trước tuy rất cần thiết cho công tác thiết kế và
kiểm định công trình nhưng chưa có nhiều kết quả nghiên cứu
được công bố ở trong nước. Do đó, luận án này tập trung vào
việc nghiên cứu tính toán dao động uốn của dầm có ứng suất
trước dưới tác dụng của hoạt tải khai thác.
Mục tiêu nghiên cứu
- Mục tiêu thứ nhất của luận án nhằm đề xuất và áp dụng
phương pháp thiết lập mô hình lý thuyết mô tả dao động uốn
của dầm giản đơn có ứng suất trước dưới tác dụng của một vật
thể di động; phát triển thuật toán và chương trình tính toán các
đặc trưng dao động của dầm như tần số riêng, dạng dao động
riêng và độ võng động lực.
- Mục tiêu thứ hai là xác định sự ảnh hưởng của ứng suất
trước đến độ võng động và ứng suất động tại các mặt cắt ngang
của dầm liên tục có ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di

động bằng mô hình lý thuyết và các kết quả tính toán số dao
động.
- Mục tiêu thứ ba nhằm đề xuất phương pháp xây dựng mô
hình lý thuyết và phương pháp tính toán xác định các đặc trưng
dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm có ứng suất
1

trước với nhiều vết nứt; xác định sự ảnh hưởng của ứng suất
trước, số lượng và độ lớn của các vết nứt đến tần số riêng, dạng
dao động riêng và đáp ứng động lực của dầm dưới tác dụng của
vật thể di động.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là dao động của dầm
giản đơn có ứng suất trước với các điều kiện biên khác nhau và
dầm liên tục có ứng suất trước. Dầm giản đơn là dầm chỉ có
liên kết ở hai đầu, dầm liên tục là dầm có các gối đỡ trung gian.
Trong đó mô hình dao động được giới hạn trong những giả
thiết sau:
- Mô hình hóa dầm có ứng suất trước dựa trên lý thuyết
dầm Euler-Bernoulli
- Biến dạng tỷ đối ban đầu tạo ra ứng suất trước được coi là
hằng số theo chiều dài dầm
- Vật thể di chuyển trên dầm được mô hình hóa bởi một
một hệ dao động đơn giản một bậc tự do
- Mô hình hóa vết nứt dựa trên giả thiết về điều kiện tương
thích tại vị trí vết nứt đối với chuyển vị, mômen uốn và lực cắt
đã được sử dụng trong nhiều kết quả nghiên cứu trước đây.
Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng kết hợp giữa các phương pháp giải tích và
các phương pháp số để thực hiện mục tiêu nghiên cứu.

- Các phương pháp cơ bản của cơ học kỹ thuật như nguyên
lý d'Alembert, phương pháp tách cấu trúc, phương pháp ma
trận truyền đã được áp dụng để thiết lập các phương trình vi
phân dao động của hệ dầm - vật thể di động. Phương pháp RitzGalerkin được áp dụng để biến đổi hệ phương trình có dạng
hỗn hợp về hệ các phương trình vi phân thường.
- Phương pháp số với các thuật toán như Runge-KuttaNyström đã được sử dụng để giải gần đúng hệ các phương trình
vi phân thường bằng số. Các chương trình tính toán được xây
dựng trên phần mềm tính toán đa năng MATLAB. Một số kết
quả tính toán số đã được so sánh với kết quả thực nghiệm để
2


kiểm chứng độ chính xác. Các dữ liệu thiết kế và thông số kỹ
thuật của dầm cầu được sử dụng cho các thí dụ áp dụng được
lấy từ các nguồn đáng tin cậy.
Bố cục của luận án
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm có năm
chương nội dung. Chương một giới thiệu một cách tổng quan
về dầm bê tông cốt thép dự ứng lực và tình hình nghiên cứu
tính toán dao động của dầm có ứng suất trước. Chương hai
trình bày việc thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của
dầm Euler-Bernoulli có ứng suất trước và nghiên cứu bài toán
xác định trị riêng và dạng dao động riêng của dầm giản đơn có
ứng suất trước. Nội dung của chương ba là các kết quả nghiên
cứu dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli giản đơn có ứng
suất trước dưới tác dụng của vật thể di động. Chương bốn trình
bày việc tính toán dao động uốn của dầm liên tục có ứng suất
trước dưới tác dụng của nhiều vật thể di động. Chương năm
trình bày phương pháp tính toán và các kết quả mô phỏng số
dao động uốn tự do của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt và

dao động cưỡng bức của dầm loại này dưới tác dụng của vật thể
di động.
Đóng góp của luận án
- Xây dựng cơ sở lý thuyết nghiên cứu tương tác động lực
của hệ cầu và xe. Trong đó cầu được mô hình hóa bởi dầm giản
đơn và dầm liên tục ứng suất trước, xe ô tô được mô hình hóa
bởi các hệ dao động di chuyển trên dầm. Mô hình toán học của
hệ cầu và xe trong trường hợp dầm liên tục là hệ bao gồm
phương trình đạo hàm riêng, các phương trình vi phân thường
và các phương trình đại số phi tuyến.
- Xây dựng các thuật toán biến đổi hệ phương trình hỗn
hợp gồm phương trình đạo hàm riêng, các phương trình vi phân
thường và các phương trình đại số phi tuyến về hệ phương trình
vi phân thường. Xây dựng các chương trình tính toán số các
đặc trưng dao động của dầm có ứng suất trước (tần số riêng,
dạng dao động riêng) và đáp ứng động lực của dầm có ứng suất
3

trước (không có và có các vết nứt) dưới tác dụng của vật thể di
động.
- Đưa ra nhiều kết quả tính toán số dao động dựa trên số
liệu của một số công trình cầu tại Việt Nam. Một số kết quả
tính toán lý thuyết đã được so sánh với kết quả đo đạc thực
nghiệm và cho thấy sự phù hợp. Các kết quả tính toán số đã chỉ
ra sự ảnh hưởng của ứng suất trước đến tần số riêng và đáp ứng
động lực của dầm.
- Các chương trình tính toán của luận án có thể sử dụng để
tính toán dự báo dao động của các công trình như cầu dầm dưới
tác dụng của hoạt tải khai thác, hỗ trợ cho công tác thiết kế và
kiểm định.

- Đề xuất một phương pháp tính toán vận tốc tới hạn của ô
tô khi qua cầu, trong đó có tính đến hiện tượng cộng hưởng
tham số của dao động uốn.
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM
ỨNG SUẤT TRƯỚC

Chương 1 giới thiệu sơ lược về các tính chất cơ học của
dầm bê tông cốt thép dự ứng lực, sau đó trình bày tổng quan về
kết quả nghiên cứu dao động uốn của dầm ứng suất trước và
dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt.
Kết cấu ứng suất trước, điển hình là dầm bê tông cốt thép
ứng suất trước (dầm bê tông dự ứng lực) được ứng dụng rộng
rãi tại hầu hết các nước từ hơn 50 năm nay do có khả năng chịu
tải trọng lớn hơn kết cấu bê tông thông thường. Nguyên tắc
chung của các biện pháp tạo ứng suất trước là tìm cách nào đó
tạo ra ứng suất kéo trong các cốt thép cường độ cao rồi sau đó
lợi dụng tính dính bám của các cốt thép đó với bê tông hoặc
dùng các mấu neo để truyền ứng lực kéo trong cốt thép vào bê
tông, tạo thành dự ứng lực nén trước cho bê tông.
Trên thế giới, các công trình nghiên cứu về dao động của
dầm ứng suất trước được bắt đầu nghiên cứu vào những năm 60
của thế kỷ 20. Các nghiên cứu về dao động của dầm ứng suất
4


trước chủ yếu dựa trên các mô hình lý thuyết, trong đó nhiều
tác giả đã nghiên cứu ảnh hưởng của ứng suất trước đến tần số
riêng và dạng dao động riêng của dầm. Hiệu ứng "làm mềm
dầm bằng nén trước" biểu thị sự suy giảm tần số riêng uốn của
dầm do nén trước đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm. Các

công bố khoa học về dao động uốn cưỡng bức của dầm giản
đơn có ứng suất trước và có vết nứt, chịu tác dụng của tải trọng
di động còn khá ít ỏi, cho thấy còn một số vấn đề cần nghiên
cứu sâu hơn về cơ sở lý thuyết, phương pháp tính toán và khả
năng áp dụng vào thực tế, góp phần làm phong phú thêm những
kiến thức và hiểu biết về tính toán dao động của dầm ứng suất
trước.
- Vấn đề thứ nhất là xây dựng mô hình lý thuyết và đề xuất
áp dụng một phương pháp tin cậy để thiết lập phương trình dao
động của dầm giản đơn có ứng suất trước, chịu tác dụng của vật
thể di động; đưa ra các kết quả khảo sát ảnh hưởng của ứng
suất trước đến tần số riêng và đáp ứng động lực của dầm.
- Vấn đề thứ hai là xây dựng mô hình lý thuyết, thiết lập
phương trình dao động và đề xuất phương pháp tính toán đáp
ứng động lực của dầm liên tục với nhiều gối cứng trung gian,
có ứng suất trước, chịu tác dụng của nhiều vật thể di động. Đây
là một bài toán khá phức tạp và hiện tại hầu như chưa có kết
quả nghiên cứu về vấn đề này được công bố.
- Vấn đề thứ ba là xây dựng mô hình lý thuyết, thiết lập
phương trình dao động và đề xuất phương pháp tính toán đáp
ứng động lực của dầm giản đơn có ứng suất trước với nhiều vết
nứt hở dưới tác dụng của một vật thể di động; đưa ra các kết
quả khảo sát ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng và đáp ứng
động lực của dầm. Vấn đề này hiện chưa được nghiên cứu rộng
rãi và có rất ít công bố khoa học.
- Vấn đề thứ tư là việc xây dựng các chương trình tính toán
trên cơ sở các kết quả nghiên cứu lý thuyết và áp dụng chương
trình này tính toán cho nhiều thí dụ từ số liệu của một số công
trình cầu tại Việt Nam nhằm tính toán dự báo dao động của các

5

công trình như cầu dầm dưới tác dụng của phương tiện vận tải,
phục vụ cho công tác thiết kế và kiểm định công trình.
CHƯƠNG 2. TẦN SỐ RIÊNG VÀ DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG
CỦA DẦM ỨNG SUẤT TRƯỚC

Nội dung của chương này đề cập tới việc xây dựng mô
hình cơ học và mô hình toán của dầm có ứng suất trước. Một
phương pháp xác định tần số riêng và dạng dao động riêng của
dầm ứng suất trước với các điều kiện biên khác nhau được trình
bày chi tiết. Cuối chương trình bày các công thức thực nghiệm
và các công thức tính toán gần đúng đã biết để xác định lực
căng dây cáp của cầu treo trên cơ sở đo các tần số dao động
riêng và một số kết quả tính lực căng dây cáp cho các cầu treo
dây văng ở Việt Nam là cầu Bính và cầu Bãi Cháy.
2.1 Mô hình cơ học và phương trình dao động
Dao động uốn của dầm được khảo sát theo mô hình dầm
Euler-Bernoulli (bỏ qua quán tính quay và biến dạng trượt). Ký
hiệu w(x,t) là độ võng của dầm tại mặt cắt x. Áp dụng nguyên
lý d'Alembert, phương trình vi phân dao động mô tả dao động
uốn của dầm có ứng suất trước được thiết lập dưới dạng:
2 
2 w  2
2 w




 p  x, t  (2.19)

EI
x

x
EA
x
w

A
x








0



x 2 
x 2  x 2 
t 2

trong đó E là mô đun đàn hồi, I là mô men quán tính thiết diện
của dầm,  là khối lượng riêng (mật độ khối) của dầm, A( x)
là diện tích thiết diện mặt cắt ngang của dầm,  0 ( x ) là biến
dạng dài tỷ đối ban đầu tại ở mặt cắt A(x), nếu dầm bị nén trước

thì  0  0 , dầm bị kéo trước  0  0. Đối với dầm đồng chất thiết
diện không đổi và ứng suất trước đều tại mọi mặt cắt, từ (2.19)
ta suy ra phương trình dao động tự do của dầm ứng suất trước
4 w
2w
2w
EI 4   0 EA 2   A 2  0
(2.21)
x
x
t

6


2.2 Tần số riêng và dạng dao động riêng

Áp dụng phương pháp Bernoulli, ta tìm nghiệm của phương
trình dao động tự do của dầm (2.21) dưới dạng
(2.23)
w( x, t )  X  x  .T  t 
Ta đưa phương trình (2.21) về dạng
X  IV   x   2 X   x    2 X  x   0
(2.31)
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2.31) có dạng:
X  x   C1 cos  x  C2 sin  x  C3 cosh  x  C4 sinh  x (2.38)
trong đó các hằng số C1 , C2 , C3 , C4 được xác định từ các điều
kiện biên. Đối với dầm hai đầu bản lề có ứng suất trước, ta thiết
lập được phương trình đặc trưng dưới dạng
sin  l  0

(2.47)
trong đó l là chiều dài dầm, các ký hiệu  2 

 2
EI

, 2   0

A
I


 2 2   ,  
 2  2   .
Dựa trên phương trình (2.47) và sau một số biến đổi toán
học, ta thiết lập được công thức xác định tần số riêng của dầm
hai đầu bản lề có ứng suất trước
 4 EI
2 E
k 2  k 4 4
 k 2 2  0 ,  k  1, 2,...
(2.49)
l 
l

Đối với dầm hai đầu ngàm có ứng suất trước, phương trình
đặc trưng có dạng:
f ( )  2  sin  ( )l  sinh  ( )l 
(2.58)
 2 1  cos  ( )l cosh  ( )l   0

Giải phương trình (2.58) ta xác định được các nghiệm  k và
tính được tần số riêng thứ k của dầm hai đầu ngàm có ứng suất
trước k .
Đối với dầm đồng chất, thiết diện không đổi    A  const
và EI  const, theo (2.38) dạng dao động riêng của dầm ứng
7

suất trước được biểu diễn dưới dạng
X  x   C1 cos  x  C2 sin  x  C3 cosh  x  C4 sinh  x (2.61)
Ta suy ra các các hàm riêng của dầm hai đầu ngàm theo
công thức
 cos( k l )   k cosh( k l )
X k ( x)  k
cos( k x)  cosh( k x)
 k sin( k l )   k sinh( k l )
(2.67)
k
k  1, 2, 3,...
 sin( k x)  sinh( k x),
k
2.3 Xác định lực căng dây cáp từ tần số dao động riêng

Việc xác định lực căng dây cáp bằng cách đo tần số dao
động riêng của dây cáp là bài toán có ý nghĩa trong việc xây
dựng và bảo dưỡng các cầu dây xiên. Về mặt lý thuyết, việc
xác định lực căng dây cáp trên cơ sở đo tần số riêng không phải
là vấn đề khó khăn. Tuy nhiên, việc thiết lập một công thức có
dạng giải tích tương đối đơn giản để tính toán lực căng dây cáp
theo tần số riêng một cách thuận tiện lại là một vấn đề khá phức
tạp. Trước đây khi tính toán lực căng dây cáp trong cầu dây

xiên người ta thường bỏ qua ảnh hưởng của độ cứng chống uốn
của dây, EI  0 , và xem dây cáp là mô hình dây có ứng suất
trước, hai đầu ngàm chặt. Khi đó công thức xác định tần số
riêng và lực căng dây có dạng
4w( f1l ) 2
N
(2.69)
g
trong đó ta sử dụng ký hiệu trọng lượng trên một đơn vị dài của
dây cáp là w   g . Ngoài công thức (2.69) còn có một số công
thức thực nghiệm khác đang được sử dụng.
Nếu ta coi dây cáp là một dầm có ứng suất trước (bị kéo
nén) hai đầu ngàm chặt, ta sẽ thu được các công thức gần đúng
xác định quan hệ giữa lực căng dây cáp và tần số riêng

8


N  2 EI 
k 2 2  EI 



1
4
(2.78)





  l N 
2  Nl 2 
Lực căng của dây được xác định nhờ công thức (2.78) với
dữ liệu đo đạc tần số dao động riêng của dây. Công thức này đã
được áp dụng để tính toán lực căng dây cáp của cầu Bãi Cháy
và cầu Bính. Lực căng dây cáp tính theo công thức lý thuyết
(2.78) và theo các công thức thực nghiệm cho thấy phù hợp.
fk 

k
2l

2.4 Kết luận của chương 2

Chương này đã trình bày cơ sở lý thuyết xây dựng mô hình,
thiết lập phương trình dao động tự do và xây dựng các biểu
thức tính toán tần số riêng, dạng dao động riêng của dầm có
ứng suất trước. Khác với dầm không ứng suất trước phương
trình đặc trưng của các phương trình vi phân xác định dạng dao
động riêng của dầm ứng suất trước là phương trình trùng
phương dạng tổng quát. Trong khi phương trình tương ứng của
dầm không ứng suất trước là phương trình trùng phương dạng
đặc biệt, không có số hạng bậc hai. Do đó việc tính toán tần số
riêng và dạng dao động riêng của dầm ứng suất trước phức tạp
hơn nhiều.
Trên cơ sở phân tích dạng dao động riêng của dầm ứng suất
trước hai đầu ngàm, trong [34] đã trình bày một công thức giải
tích gần đúng xác định lực căng dây cáp trên cơ sở đo các tần
số dao động riêng của dây. Công thức này đã được áp dụng để
tính toán lực căng dây cáp của cầu Bãi Cháy, cầu Bính và cho

thấy kết quả tính toán phù hợp với các công thức thực nghiệm
hiện đang sử dụng trong tính toán thiết kế.
CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM GIẢN ĐƠN
CÓ ỨNG SUẤT TRƯỚC DƯỚI TÁC DỤNG CỦA VẬT THỂ
DI ĐỘNG

Chương này trình bày việc thiết lập phương trình dao động
uốn của dầm có ứng suất trước chịu tác dụng của vật thể di
động, thuật toán và chương trình tính.
9

3.1 Phương trình dao động uốn của dầm

Xét dầm giản đơn chiều dài l có ứng suất trước. Vật thể
chuyển động trên dầm với vận tốc v không đổi là một vật rắn có
khối lượng m đặt trên một hệ lò xo - giảm chấn, độ cứng lò xo
là k, hệ số cản là d. Gọi z là toạ độ tuyệt đối của vật theo
phương thẳng đứng và vị trí của vật thể xác định bởi   vt .
z

v

m

k

d

x

  vt
l

w
Hình 3.1 Mô hình dầm dưới tác dụng của vật thể di động

Bằng phương pháp tách cấu trúc, trước hết ta thiết lập
phương trình dao động của vật thể theo z, sau đó thiết lập
phương trình dao động uốn cưỡng bức của dầm ứng suất trước
bằng nguyên lý d'Alembert. Các phương trình biểu diễn dao
động uốn của dầm có ứng suất trước chịu tác dụng của vật thể
di động là một hệ hỗn hợp phương trình đạo hàm riêng và
phương trình vi phân thường
 4w
 2w
5w 
w 
2w
EI  4  bi 4     2  b e

EA

 p  x, z , t 
 0
x t 
t 
x 2
 x
 t
(3.17)

mz  dz  kz  mg  L(t )dw  L(t )kw
(3.18)
trong đó ta sử dụng hàm tín hiệu logic L(t)
t0  t  T
1 khi
L(t )  
0 khi t  t0 , t  T
Để giải các phương trình này ta cần biết thêm các điều kiện
biên và các điều kiện đầu. Áp dụng phương pháp Ritz-Galerkin
10


ta tìm nghiệm của các phương trình (3.17), (3.18) dưới dạng
n
r x
(3.23)
w( x, t )   qr (t ) sin
l
r 1
trong đó qr (t ) là các hàm cần tìm. Sử dụng dạng nghiệm (3.23)
và sau một số biến đổi toán học, ta có thể biến đổi hệ các
phương trình hỗn hợp (3.17) và (3.18) về hệ các phương trình
vi phân thường cấp 2 tuyến tính dưới dạng ma trận:
 = B(t )q + C(t )q + f (t )
q
(3.33)
trong đó ta sử dụng các ký kiệu: q   q1 , q2 ,..., qn , z  , B(t ) và
T

C(t ) là các ma trận vuông cấp n+1 với các hệ số là hàm theo

thời gian. Véctơ f (t )

có dạng f   f1 , f 2 , f n 1 

T

với

f s  0 ( s  1,.., n); f n 1 (t )  g .
Một chương trình tính có tên VIBEAM01-BKHN đã được
xây dựng trên phần mềm MATLAB để tính toán dao động uốn
của cầu dầm dưới tác dụng của vật thể di động.

3.2 Tính toán dao động uốn của cầu Đông Hà và cầu Bùng

Cầu Đông Hà là một loại cầu bê tông cốt thép dự ứng lực
được xây dựng ở Đông Hà, tỉnh Quảng Trị. Thí dụ này nhằm
tính toán dao động uốn của cầu Đông Hà dưới tác dụng của một
ô tô hiệu MITSUBISHI PAJERO. Sử dụng chương trình
VIBEAM 01-BKHN ta tính toán dao động uốn của cầu Đông
Hà với nhiều chế độ nén trước (  0 từ - 0,0002 đến -0,001) và
các vận tốc qua cầu khác nhau. Từ kết quả tính toán độ võng
động lực cho thấy biên độ dao động lớn nhất tại mặt cắt giữa
cầu xảy ra khi ô tô qua cầu với v  0.28vth  174.5  km / h  ,
trong đó vth là vận tốc tới hạn tính theo công thức cổ điển:

vth 

 2 EI
E

 0
2
l 


(3.38)

11

Hình 3.8 Dao động tại mặt cắt giữa cầu Đông Hà với vận tốc v= 20
km/h và  0  0, 0004

Kết quả tính toán trên hình 3.8 cho biết độ võng động của
dầm theo thời gian ứng với các giá trị khác nhau của ứng suất
trước. Ngoài ra, ta có thể tính toán và dự báo được dao động tại
một mặt cắt bất kỳ của dầm khi xe đã thoát khỏi cầu.
Tương tự như thí dụ trước với cầu Đông Hà, từ các kết quả
tính toán số cho cầu Bùng, một loại cầu bê tông cốt thép dự ứng
lực được xây dựng ở tỉnh Nghệ An, ta thấy: Khi hệ số ứng suất
trong dầm càng âm (nén trước nhiều hơn) thì biên độ dao động
lại mặt cắt giữa dầm càng lớn. Dầm có độ võng động lực lớn
nhất khi vận tốc ô tô qua cầu là v  0.12vth  87.27  km / h  .
3.3 Xác định vận tốc tới hạn của ô tô khi qua cầu

Chương trình VIBEAM01-BKHN được sử dụng để xác định
vận tốc tới hạn của Cầu Đông Hà và cầu Bùng. Trước hết, ta
tính độ võng động tại giữa dầm của hai cầu này ứng với một số
loại ô tô khác nhau và chuyển động trên cầu với các vận tốc
khác nhau. Từ kết quả tính, ta xác định được độ võng động lớn
nhất và vận tốc xe tương ứng. Ta gọi vận tốc này là vận tốc tới

hạn vth* (tính theo mô hình chính xác hơn) để phân biệt với vận
12


4.1 Mô hình cơ học và việc thiết lập phương trình dao động
Xét mô hình dầm liên tục chiều dài l, tựa trên K gối cứng
trung gian, J gối đỡ đàn hồi tuyến tính trung gian có độ cứng cj
( j  1,..., J ), chịu tác dụng của N vật thể di động.

tốc tới hạn cổ điển vth (theo lý thuyết cũ). Từ các kết quả tính
toán, ta có thể rút ra một số kết luận sau:
- Vận tốc tới hạn thực tế của ô tô nhỏ hơn vận tốc tới hạn
cổ điển khoảng 10% đến 40%. Vận tốc tới hạn này phụ thuộc
vào chiều dài của cầu và các tham số động lực khác như độ
cứng chống uốn, khối lượng đơn vị chiều dài của dầm, vv.
- Từ các kết quả tính toán số ta có thể nhận thấy ứng suất
trước có ảnh hưởng lớn đến độ võng động của dầm ở lân cận
giá trị vận tốc tới hạn. Khi xa vận tốc tới hạn, ảnh hưởng của
ứng suất trước không đáng kể.

G1sin(1t+1)
v1
m1

 

k1

Gisin(it+i)
vi

m

GNsin(Nt+N)
vN
mN

i

ki

d1

kN

di

dN
x

j

k
ak
i
bj

3.4 Kết luận của chương 3

l

- Hệ hỗn hợp gồm phương trình đạo hàm riêng và phương
trình vi phân thường mô tả chuyển động của hệ đã được thiết
lập bằng phương pháp tách cấu trúc. Sau đó, hệ phương trình
hỗn hợp được biến đổi về hệ phương trình vi phân thường bằng
phương pháp Ritz-Galerkin. Khi vận tốc ô tô qua cầu là hằng
số, ta nhận được hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần
hoàn. Đây là điểm khác biệt của nghiên cứu này so với nhiều
công trình khác đã công bố.
- Các kết quả tính toán số cho thấy vận tốc tới hạn của ô tô
khi qua cầu thấp hơn nhiều so với vận tốc tới hạn tính theo các
công thức cổ điển.

w

Hình 4.1 Mô hình dao động của dầm liên tục chịu tác dụng của nhiều
vật thể di động

Mô hình vật thể thứ i ( i  1,..., N ) có các giả thiết giống
chương 2, ngoài ra chịu lực điều hòa Gi sin(i t   i ) theo
phương thẳng đứng. Sử dụng phương pháp tách cấu trúc, ta
tách hệ thành N+1 các cấu trúc con bao gồm N vật thể và dầm
(hình 4.2).
 

Gi sin(it   i )

13

vi

mi

CHƯƠNG 4. DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM LIÊN TỤC CÓ
ỨNG SUẤT TRƯỚC DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỀU VẬT
THỂ DI ĐỘNG

Trong thực tế, các dầm bê tông cốt thép dự ứng lực thường
là các dầm liên tục có ứng suất trước trên nhiều gối cứng trung
gian. Đây là một bài toán phức tạp hơn nhiều so với bài toán
dầm giản đơn chịu tác dụng của lực di động đã được nhiều tác
giả giải quyết trước đây.

Fi

F1

FN

x

zi

ki
a)

di

Fi

N1

F1dh

w

Nk

Fjdh

NK

FJdh

b)

Hình 4.2 Các cấu trúc con a) vật thể di động, b) dầm liên tục

Hệ phương trình mô tả chuyển động uốn của dầm liên tục có
ứng suất trước chịu tác dụng của nhiều vật thể di động gồm:
(i) Một phương trình đạo hàm riêng:

14


 4 w
 2 w
5 w 
w 
2 w


EI  4   4     2  
EA

 0
x t 
t 
x 2
 x
 t
N

zi  ( x  i )
  Li (t )  mi g  Gi sin i  mi 

(4.20)

i 1
J

K

j 1

k 1

  c j w(b j , t )  ( x  b j )   N k (t )  ( x  ak )
(ii) N phương trình vi phân thường:
Li (t )  mi 
zi  di zi  ki zi   Li (t )(mi g  Gi sin i  di wi  ki wi )
(4.22)

(iii) K phương trình đại số:
(4.23)
w( ak , t )  0 (k = 1,…,K)
Bốn điều kiện biên tại hai đầu của dầm có dạng như sau
 2 w  0, t 
x  0 : w  0, t   0,
0
(4.24)
x 2
2 w l, t 
x  l : w  l , t   0,
0
(4.25)
x 2
Áp dụng phương pháp Ritz-Galerkin và chú ý đến điều kiện
biên (4.24), (4.25) ta tìm nghiệm của hệ các phương trình
(4.20), (4.22) dưới dạng (3.23). Sau một số biến đổi toán học,
hệ các phương trình (4.20)-(4.23) có thể đưa về hệ các phương
trình vi phân thường và được biểu diễn dưới dạng ma trận

y  B(t ) y  C(t ) y  f (t )
(4.57)

với q   q1 , q2 ,..., qn  và z   z1 , z2 ,..., z N  , các ma trận hệ
số B và C có các phần tử là hàm theo thời gian. Chương trình
VIBEAM02-BKHN đã được xây dựng để giải hệ phương trình
(4.57) và tính toán dao động của dầm liên tục.
4.2 Tính toán dao động uốn của dầm cầu Phả Lại
T

Hình 4.7 Độ võng động lực ở giữa dầm cầu Phả Lại (một ô tô
chuyển động trên cầu với vận tốc 20 km/h) (a) kết quả đo đạc thực
nghiệm và (b) kết quả tính toán số

T

Số liệu đầu vào là thông số của một liên nhịp chính cầu Phả
Lại, một trong những công trình cầu lớn và quan trọng, được
xây dựng bằng bê tông cốt thép dự ứng lực.
15

Hình 4.8 Kết quả tính toán độ võng động lực ở giữa dầm cầu Phả Lại
(một ô tô chuyển động trên cầu với vận tốc 30 km/h)

Trên hình 4.7b là độ võng động lực tại mặt cắt giữa nhịp của
dầm liên tục, còn trên hình 4.7a là kết quả đo độ võng được
thực hiện bởi một đề tài nghiên cứu khác tại Trường ĐH Giao
thông vận tải. Trên các hình 4.8 và 4.11 là kết quả tính toán độ
võng động lực với vận tốc xe khác nhau.
16


CHƯƠNG 5. DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM ỨNG SUẤT
TRƯỚC CÓ VẾT NỨT

Chương này trình bày các kết quả khảo sát dao động uốn của
dầm ứng suất trước có số vết nứt tùy ý trên mô hình lý thuyết.
5.1 Mô hình dao động của dầm ứng suất trước có vết nứt
Xét dầm Euler - Bernoulli ứng suất trước, đồng chất, thiết diện
không đổi, mặt cắt của dầm là hình chữ nhật chiều cao h, chiều rộng

b với điều kiện biên tùy ý.
b

1

i

 i 1

h

 n
ai

Hình 4.11 Kết quả tính toán độ võng động lực ở dầm cầu Phả Lại (ba
ô tô chuyển động trên cầu với vận tốc 20 km/h, thời điểm xuất phát:
0, 10, 20 giây)

x0  0

4.3 Kết luận của chương 4

Giả sử trên dầm xuất hiện N  n  1 vết nứt, ta mô hình hóa
các vết nứt bằng các lò xo xoắn với độ mềm không thứ nguyên
được xác định theo công thức thực nghiệm (hình 5.1). Với vết
nứt thứ i, ta ký hiệu độ sâu vết nứt là ai và đưa vào ký hiệu độ

- Bằng phương pháp tách cấu trúc, thiết lập được một hệ
phương trình hỗn hợp mô tả dao động uốn của dầm liên tục ứng
suất trước dưới tác dụng của nhiều vật thể di động, bao gồm

một phương trình đạo hàm riêng, nhiều phương trình vi phân
thường và phương trình đại số phi tuyến.
- Đề xuất một thuật toán giải hệ phương trình chuyển động
và xây dựng một chương trình tính VIBEAM02-DHBK để tính
toán số dao động uốn của dầm liên tục ứng suất trước chịu tác
dụng của nhiều vật thể di động.
- Thực hiện hai thí dụ tính toán số dao động uốn của hai cầu
dầm liên tục là cầu dầm Phả Lại và cầu dầm Hiền Lương. Do
chỉ có số liệu đo đạc của cầu Phả Lại, nên kết quả tính toán lý
thuyết đã được so sánh với kết quả đo đạc của cầu này. Các kết
quả tính toán phù hợp tốt với kết quả đo đạc và đã chỉ rõ sự ảnh
hưởng của ứng suất trước đến độ võng động lực của dầm.

17

x1

xi1

xi xi

xi1

xn1

xn

x

Hình 5.1 Mô hình lý thuyết dầm có n-1 vết nứt

lớn vết nứt không thứ nguyên i  ai / h. Ta ký hiệu xi và xi là
các tọa độ của điểm ngay trước và sau vết nứt thứ i. Phương
trình dao động tự do của phần dầm thứ i có dạng
 4 wi
 2 wi
 2 wi
(5.1)
EI


EA


A
 0 , xi1  x  xi
0
x 4
x 2
t 2
Ta chấp nhận giả thiết về điều kiện tương thích tại vị trí vết
nứt x  xi về chuyển vị, mômen uốn và lực cắt; điều kiện
không liên tục về góc xoay tại vị trí vết nứt.
5.2 Tần số riêng và dạng dao động riêng

Sử dụng phương pháp tách biến, ta đưa phương trình đạo
hàm riêng (5.1) về dạng

18

X i( IV ) ( x)  2 X i( x)   2 X i ( x)  0 , x i1  xi  xi
(5.13)
Nghiệm tổng quát của phương trình (5.13) có dạng
X i ( x)  Ai sin  ( x  xi1 )  Bi cos ( x  xi1 )  Ci sinh  ( x  xi1 )
 Di cos h  ( x  xi1 ) , xi1  x  xi , i  1,.., n
(5.14)
trong đó các hằng số tích phân Ai , Bi , Ci , Di liên quan đến đoạn
thứ i (i =1,.., n) có quan hệ dưới dạng:
 Ai 1 
 Ai 
B 
 
 i 1   T  Bi 
(5.40)
i
 Ci 1 
 Ci 


 
 Di 1 
 Di 
với ma trận truyền Ti cỡ 4  4 có các hệ số là hàm của  và  .
32

=0 %

30

=10 %

1 [rad/s]

28

=20 %

26
24

Hình 5.14 Biến thiên của hai tần số riêng của dầm hai đầu ngàm
theo số lượng vết nứt và độ lớn vết nứt, số lượng vết nứt tăng dần
theo trục dầm, biến dạng tỷ đối ban đầu  0  0.001

=30 %

22
20
18
16

=40 %
0

1

2

3

4

5

6

7
8
9
So vet nut N

10

11

12

13

14

15

Hình 5.6 Biến thiên của tần số riêng thứ nhất của dầm hai đầu
bản lề theo số vết nứt phân bố đều theo chiều dài dầm, biến dạng tỷ
đối ban đầu  0  0.002.

19

Bằng phương pháp ma trận truyền, phương trình đặc trưng
của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt với hai điều kiện biên
khác nhau (hai đầu bản lề, hai đầu ngàm) đã được thiết lập.
Giải phương trình đặc trưng bằng phương pháp số ta sẽ xác
định được các tần số riêng. Dạng dao động riêng thứ k của đoạn
dầm thứ i được xác định bởi công thức
X i( k ) ( x)  Ai( k ) sin  k ( x  xi1 )  Bi( k ) cos  k ( x  xi1 )
(5.60)
 Ci( k ) sinh  k ( x  xi1 )  Di( k ) cosh  k ( x  xi1 )

20


(5.105) và tính toán độ võng động lực của dầm. Một số kết quả
tính toán số được biểu diễn trên các hình từ 5.17 và 5.20.
-3

2

-2

5.3 Dao động uốn của dầm ứng suất trước có vết nứt dưới
tác dụng của vật thể di động

Áp dụng phương pháp tách cấu trúc, ta có thể biểu diễn dao
động uốn của dầm và dao động của vật thể di động trên dầm
giản đơn có ứng suất trước có N = n-1 vết nứt bằng các phương
trình sau
4 w
2w

w
2 w
EI 4   2  be
  0 EA 2
x
t
t
x
(5.80)
n
(i )
(i )
(i )
  L (t )[k ( z  w )  d ( z  w )] ( x  vt )
(5.81)

i 1

trong đó w = w(x,t) là độ võng động lực của dầm, w( i ) là độ
võng của dầm tại điểm vật thể tiếp xúc với dầm trong đoạn dầm
thứ i. Áp dụng phương pháp khai triển theo các dạng riêng, sau
một số biến đổi toán học, ta đưa được hệ phương trình dao
động (5.80) và (5.81) về dạng
  B(t )q  C(t )q  f (t )
q
(5.105)
trong đó các ma trận hệ số B và C cùng cỡ K+1 với các phần tử
là hàm của biến thời gian t. Chương trình tính VIBEAM03BKHN đã được xây dựng để tìm nghiệm q của phương trình

21

-6
-8

=0
=10%
=20%
=30%
=40%

-12
-14

0

2

4

6
8
Thoi gian [s]

10

12

Hình 5.17 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=5 m/s, dầm có một
vết nứt giữa dầm
-3

5

x 10

0
Do vong w [m]

mz  dz  kz  mg   L(i ) (t )(dw(i )  kw(i ) )

-4

-10

i 1

n

x 10

0

Do vong w [m]

Kết quả tính toán tần số riêng đầu tiên được biểu diễn trên
hình 5.6, trong đó các đường cong thể hiện sự biến thiên trị số
của tần số riêng đối với số lượng vết nứt (từ 1 đến 15 vết nứt
phân bố đều trên dầm và có độ lớn như nhau). Tần số riêng suy
giảm khi số lượng vết nứt tăng lên. Độ lớn vết nứt càng tăng thì
mức độ suy giảm của tần số riêng càng lớn.

Tương tự như cách thực hiện tính toán đối với dầm hai đầu
bản kề, các đồ thị trên hình 5.14 đã cho thấy sự ảnh hưởng của
ứng suất trước, số vết nứt và độ lớn vết nứt đến tần số riêng của
dầm hai đầu ngàm.

-5

=0
=10%
=20%
=30%
=40%

-10

-15

0

1

2

3
4
Thoi gian [s]

5

6

Hình 5.20 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=10 m/s, dầm có ba
vết nứt phân bố đều

22


5.4 Kết luận của chương 5
Vấn đề mô hình hóa và tính toán dao động uốn của dầm ứng
suất trước có nhiều vết nứt là bài toán còn đang được quan tâm
nghiên cứu hiện nay. Đây là một vấn đề phức tạp do phải tính
đến cả hai yếu tố ảnh hưởng đến dao động của dầm: Ứng suất
trước và các vết nứt.
- Thiết lập phương trình đạo hàm riêng mô tả dao động uốn
tự do và dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt
dưới tác dụng của vật thể di động, xây dựng một thuật toán số
tính toán dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết
nứt.
- Một số kết quả tính toán số đã cho thấy sự ảnh hưởng của
của độ lớn của vết nứt và số lượng vết nứt đến tần số riêng và
độ võng động lực của dầm dưới tác dụng của vật thể di động.
KẾT LUẬN

Luận án này là một công trình nghiên cứu về dao động của
dầm ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động. Các kết
quả chính của luận án gồm các điểm sau đây:
1. Thiết lập phương trình dao động tự do và dao động cưỡng
bức của dầm giản đơn ứng suất trước bằng nguyên lý
d’Alembert. Luận án đã vận dụng một công thức gần đúng
tính toán lực căng dây cáp trên cơ sở đo tần số dao động

riêng của dây cáp; đã tính toán lực căng dây cáp cầu Bãi
cháy và cầu Bính. Kết quả tính toán phù hợp với kết quả tính
toán bằng các công thức thực nghiệm.
2. Áp dụng phương pháp tách cấu trúc để thiết lập phương
trình dao động uốn của dầm giản đơn dưới tác dụng của vật
thể di động. Trong đó vật thể di động là một hệ dao động
đơn giản. Luận án đã xây dựng thuật toán giải các phương
trình dao động uốn của dầm ứng suất trước dưới tác dụng
của vật thể di động với chương trình tính VIBEAM01ĐHBK trên phần mềm tính toán đa năng MATLAB để tính
23

toán dao động uốn của cầu dầm ứng suất trước dưới tác
dụng của vật thể di động. Khi các vật thể di động trên dầm
với vận tốc không đổi, các phương trình vi phân mô tả dao
động của hệ là các phương trình vi phân tuyến tính hệ số
tuần hoàn. Chương trình VIBEAM01-ĐHBK được sử dụng
để tính toán vận tốc tới hạn của ô tô qua cầu Đông Hà và cầu
Bùng. Kết quả tính cho thấy vận tốc tới hạn thấp hơn nhiều
so với kết quả tính toán vận tốc tới hạn dựa trên lý thuyết
dao động cưỡng bức trước đây.
3. Áp dụng phương pháp tách cấu trúc thiết lập phương trình
dao động uốn của dầm liên tục (dầm có gối đỡ trung gian)
ứng suất trước dưới tác dụng của nhiều vật thể di động. Các
phương trình dao động là một hệ phương trình hỗn hợp gồm
một phương trình đạo hàm riêng, nhiều phương trình vi phân
thường, nhiều phương trình đại số phi tuyến. Phương pháp
Ritz-Galerkin đã được áp dụng để biến đổi hệ phương trình
hỗn hợp nêu trên về một hệ phương trình vi phân thường.
Trên cở sở đó, chương trình tính VIBEAM02-ĐHBK đã
được xây dựng và sử dụng để tính toán dao động uốn của

cầu Phả Lại và cầu Hiền Lương. Các kết quả tính toán bằng
chương trình này phù hợp với các kết quả đo đạc thực tế.
4. Áp dụng phương pháp ma trận truyền để thiết lập phương
trình xác định các tần số riêng của dầm ứng suất trước có vết
nứt. Phương pháp tách cấu trúc được sử dụng để thiết lập
phương trình dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều
vết nứt dưới tác dụng của vật thể di động. Trên cơ sở các kết
quả lý thuyết và thuật toán, chương trình tính VIBEAM03ĐHBK đã được xây dựng và áp dụng để tính toán và đưa ra
các kết quả mô phỏng số nhiều thí dụ cụ thể. Chương trình
này cũng được sử dụng để tính toán và cho kết quả để so
sánh với kết quả tính toán trong một bài báo của tác giả
nước ngoài khi ứng suất trước bằng 0, cho thấy hai kết quả
khá phù hợp với nhau.

24