toanmath com phương pháp chuẩn hóa tọa độ giải hình học phẳng oxy nguyễn tiến chinh

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CHU N HÓA T A Đ

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
---------------------

WWW.TOANMATH.COM

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CHU N HÓA T A Đ

K THU T I CHU N HÓA T A Đ
CÁC B
C GI I TOÁN
Đ c đ phân tích d ki n Tìm các đi m t p trung
Phán đoán m i quan h gi a các đi m góc có tìm đ c không Có vuông góc
Tìm gi i pháp ch ng minh phán đoán nh lo i b b t phán đoán
Trình bày tìm ra đ u m i c a bài toán
Tìm các y u t còn l i
Chú Ý trong các b c trên phán đoán và ch ng minh phán đoán vô cùng quan tr ng nó quy t đ nh
các em có th gi i quy t bài toán hay không mu n làm đi u này t t các em c n ph i rèn luy n nhi u
bài toán đ có nhi u kinh nghi m nhé
- Đ CM phán đoán có th dùng m t trong các ph ng pháp sau
CM hình h c thu n túy th ng nhanh nh t nh ng ch h p v i các em v ng ki n th c
Ph ng pháp véc t
Ph ng pháp t a đ ph ng pháp này phù h p v i nhi u đ i t ng khuyên dùng tuy nhiên

đ làm b ng ph ng pháp này thì ph i tính toán nhi u và c n th n
Ph ng pháp gán đ dài cho c nh hình l n
Trong khóa h c này ta s cùng bàn v i nhau v ph ng pháp
Ph ng pháp C n n m v ng các k năng hình h c căn b n th ng là c p nh tam giác đ c bi t
tính ch t các hình đ ng tròn ngo i ti p t giác n i ti p
Ph ng Pháp
- Ch n h tr c t a đ Oxy đ p nh t d tìm t a đ các đi m nh t
- Tìm t a đ các đi m c n làm sáng t các đi m t p trung
- S d ng các công th c liên quan t i phán đoán nh tích vô h ng góc
- CM d a vào k t qu trên
Ph ng pháp th ng dùng khi phán đoán liên quan t i góc
- Gán đ dài cho các c nh trong hình l n tìm đ dài các c nh còn l i
- S d ng các h th c trong tam giác vuông nh sin cos tan ho c n u tam giác không vuông thì
dùng các đ nh lý hàm s sin cos
Ph ng pháp CHU N HÓA T A Đ
Các b c
Ch n h tr c t a đ th ng ch n g c t i chân góc vuông
Ch n c nh hình l n đ chu n hóa đ dài tham kh o m t vài d ng hình v và chu n hóa d

i

i v i các bài toán có m t trong các t giác nh : hình vuông, hình ch nh t, tam
giác vuông.
i v i các hình nh v y ta có th ch n h tr c t a đ có g c n m t i m t đ nh
vuông, có hai tr c Ox và Oy ch a 2 c nh t ng ng c a góc vuông đó. Và ch n đ n v trên
các tr c b ng đ dài c a m t trong hai c nh góc vuông. B ng cách ch n nh v y, các tham
s đ c gi m t i đa có th . Và d ng hình này c ng là d ng áp d ng thu n l i nh t ph ng
pháp t a đ trong m t ph ng này.
y

B(0;1)

A

y

y

B(0;b)

C(1;1)

D(1;0)

x

A

C(0;c)

C(1;b)

D(1;0)

x

A

B(1;0)

x

i v i các bài toán có ch a tam giác đ u, tam giác cân, tam giác th ng. Ta có th
xây d ng m t h tr c b ng cách d a vào đ ng cao. C th , ta d ng đ ng cao t m t đ nh
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CHU N HÓA T A Đ

b t k (đ i v i tam giác cân ta nên d ng đ ng cao t đ nh cân). Chân đ ng cao khi đó
chính là góc t a đ , c nh đáy và đ ng cao v a d ng n m trên hai tr c t a đ .
y

A(-1;0)

y

B(0; 3)

H

C(0;h)

C(1;0)

x

A(1-a;0)

O

B(1;0) x

i v i các bài toán có ch a các đ ng tròn thì ta có th ch n góc t a đ n m t i tâm
c a đ ng tròn và đ n v c a h t a đ b ng bán kính đ ng tròn, m t ho c hai tr c ch a
bán kính, đ ng kính c a đ ng tròn.
y

A(1;0)
x

O

BT M u trích ĐH
A Trong m t ph ng Oxy cho hình ch nh t ABCD có đi m C thu c đ ng
th ng d x y
và đi m A
G i M là đi m đ i x ng c a B qua C N là hình chi u vuông góc
c a B trên đ ng th ng MD Tìm t a đ đi m B C bi t r ng N
Phân tích Gi i
Nh n th y d ki n t p trung vào ba đi m đó là A N C b ng tr c quan khi v hình ta phán đoán
răng chúng có m i quan h vuông góc c th AN  CN
Tìm ph ng pháp ch ng minh
Ph ng pháp Hình h c thu n túy
Ta có T giác DBCN n i ti p nên
  BNC
  ABCN n i ti p v y
CAB

Y

Hay AN vuông góc CN

  BNC
 mà BDC
  CAB
 nên
BDC

ANC  900

Ph ng pháp Gán tr c t a đ
Ch n h tr c t a đ nh hình v
- D
A
a Cb
Bb a Mb a

Y

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CHU N HÓA T A Đ

 DM  : bx  ay  0
ng 

 BN  : ax  by  2ab  0
A
B
 2a 2 b 2ab 2 
- Lúc đó N  BN  DM  N  2
;
2
2
2 
 a b a b 
  2a 2 b ab 2  a 3    a 2b  b3 2ab 2 
- L i có AN   2
; 2
; CN   2
; 2 2
2
2 
2
X
 a b a b 
 a b a b 
 
D
C
- V y ta có AN .CN  0  AN  CN
N
Ph ng pháp Gán đ dài cho c nh c a hình l n
    BDM
  2
Đ t AD a DC b DMC

a
b
M
; cos  
- Xét DMC ta có sin  
2
2
2
2
a b
a b
DN
b2  a 2
2
2
- Xét BDN ta có cos 2 
 DN  BD  cos   sin   
BD
a 2  b2
ADN  AN 2  DN 2  AD 2  2 AD.DN cos   900   a 2
- Xét
CN 2  DC 2  DN 2  2 DC.DN cos   b 2
- V y ta có AN 2  CN 2  AC 2  ACN vuông t i N
Nh n xét Qua c ba ph ng pháp trên ta đã th y rõ đ c u đi m và nh c đi m c a t ng ph ng
pháp
- V i hình h c thu n túy r t nhanh nh ng không ph i ai cũng làm đ c vì ko nh tính ch t hình
h c
- V i Gán h tr c và gán đ dài cho c nh c a hình l n thích h p v i nhi u đ i t ng h c l c tuy
nhiên nh c đi m c a hai ph ng pháp này là tính toán nhi u do v y khi ch n hai ph ng
pháp này làm bài các em nh tính toán c n th n

G i ý gi i
Ta có AN  CN các em trình bày l i m t trong ba cách trên nhé
G iC a
a
thu c d
 
T ĐK AN  CN ta có AN .CN  0  C 1; 7  l i có AC x y
- Pt các đ

AC DM BN  DM  BN  AC  pt  BN  : x  3 y  17  0
 
Tham s hóa B b
b mà AB  BC nên AB.BC  0  B  4; 7 
BT M u Trong m t ph ng Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông t i A và B có BC
AD Đi m H
 13 9 
 ;  là hình chi u vuông góc c a đi m B lên c nh CD Xác đ nh t a đ các đi m B và D c a hình
 5 5
thang bi t A
và trung đi m M c a c nh BC n m trên đ ng th ng x y
Phân tích D a vào các gi thi t c a bài toán ta nh n đ nh các đi m t p trung c a bài toán g n
nh là A H M T i đây c g ng phán đoán m i liên h gi a chúng b ng m t trong các ph ng pháp đã
trình bày bài m u trên B ng tr c quan ta suy đoán r ng có m i quan h vuông góc t i H gi a đi m
trên
Ph ng pháp G n h tr c t a đ nh hình v
Đ t AB a BC b ta có
- B
M b
C
b D b a

- L i có pt DC bx ay ab
- BH  DC nên có pt ax by
 4b 2 a
2bx  ay  2ab  0
2b 2 a 
- Mà H DC  BH  
;
H 2
2
2
2 
ax  2by  0
 4b  a 4a  c 
 
- T ng t bài trên ta cũng có AH .HM  0 nên AH vuông HM
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CHU N HÓA T A Đ

Đi u này nghĩa là suy đoán c a ta là chính xác
Note
Bài này các em có th chu n hóa theo m t cách khác d h n đó là cho các c nh c a hình vuông b ng
h t nhé
Bài này có th s d ng ph ng pháp gán đ dài cho c nh hình l n Tuy nhiên vi c tính toán g p
nhi u khó khăn nên ta ko nên dùng t i đây g n nh ch c ch n r ng t a đ hóa có s c m nh ghê
g m trong vi c chinh ph c chìa khóa gi i toán Oxy Bài này các em t chu n hóa nhé
G i ý gi i

Ch ng minh AH vuông góc MH Tìm t a đ đi m M nh sau
- Tham s hóa M a a
 
- S d ng đi u ki n AH .HM  0 tìm ra M

L p pt DC đi qua H và song song AM
 
Tham s hóa D th a mãn pt DC và dùng Đk AD.DM  0 tìm đ c D
2
2
 BA  DM
dùng Đk 
B
2
2
 BM  AD
 
Chú Ý có th tìm B thông qua đi m C nh sau MC  AD M là trung đi m BC
BT M u

ĐH

Trong m t ph ng Oxy cho hình vuông ABCD G i M là trung đi m c a c nh BC N là
 11 1 
đi m trên CD sao cho CN
ND Gi s M  ;  và đ ng th ng AN có ph ng trình x y
 2 2
Tìm t a đ đi m A
Phân tích Nhìn nh n v n đ ta th y bài toán cho ít d ki n nh v y
M t cách r t t nhiên ta s nghĩ t i vi c thi t l p thêm d ki n cho bài toán

Và ph i thông qua vi c tính toán các y u t trên hình v
- Bài toán cho d ki n xoay quanh ba đi m A M N Pt đ ng AN đã bi t
đi m M cũng bi t nên ta s nghĩ t i vi c tìm d ki n cho A có l vi c
xác đ nh góc a lúc này là h p lý b i các y u t trong bài liên quan m t
thi t gi a các c nh v i nhau
đây tôi s dùng ph ng pháp có l i nh t
là gán tr c t a đ nh hình v
Đi m A
B a Ca a D a
M a a N a a
  a    a 
- Ta có AM   ; a  , AN   a; 
2 
 3
a2 a2
 

AM . AN
2 3
1

  450 t i đây có l m i vi c đã xong
- Ta có cos MAN    

v y ta có MAN
4
2
AM AN
50a
36

b i bài toán ch yêu c u tìm đi m A mà thôi v y ta gi i ti p nh sau
 
AM .u AN
1
   

 a  1 a  4
- Tham s hóa t a đ đi m A a a
ta có cos MAN
2
AM u AN
BA đi m M
là trung đi m c a AC Đi m N
BT M u Cho tam giác ABC vuông t i B có BC
thu c BC sao cho BN
BC đi m H
là giao đi m c a AN và BM Tìm t a đ các đ nh c a tam
giác ABC bi t N n m trên đ ng th ng  : x  2 y  6  0
PHÂN TÍCH
D ki n bài toán t p trung vào A H M N
Sau khi v hình ta phán đoán có th
S dung b A H M ho c A N M
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CHU N HÓA T A Đ

Ta s tìm m i liên h gi a các b này

b ng ph ng pháp gán tr c t a đ
xem sao
- Ch n h tr c nh hình v
- B
A
a C a
N a
M a a
  a
   a 
AN   ; a  , BM   a; 
2

 2
 
V y AN .BM  0  AN vuông BM t i H
 
 
2
- Tham s hóa N
a a  HN   4  2a; a   dùng ĐK HN .HM  0  H  ? 
3

 
- L p pt HM B n m trên HM nên tham s hóa B ti p t c dùng HB.HN  0  B
 
- L p pt HN tham s hóa đi m A và dùng Đk AB.BN  0  A
 1 
- Dùng Đk BN  BC  B
4

L u Ý Do các c nh AB và BC t l v i nhau do đó các em có th chu n hóa t a đ nh sau B
C

M

A

N

BT M u Trong m t ph ng t a đ v i h t a đô Oxy cho tam giác ABC cân t i A
G i D là m t
đi m trên c nh AB sao cho AB AD và H là hình chi u vuông góc c a B trên CD Đi m M
là
trung đi m c a đo n HC Xác đ nh t a đ đi m C bi t đi m B n m trên đ ng th ng x y
PHÂN TÍCH VÀ G I Ý GI I
Đ c d ki n có th nh n th y bài toán có khá nhi u đi m thu n l i trong vi c gán h tr c t a đ nh
tam giác cân trung đi m t l đo n th ng do đó ta ti n hành v hình và xây d ng h tr c t a đ
nh sau d đoán A B M s cho m i quan h đ c bi t vì d ki n
t p trung vào ba đi m này nhi u nh t
Ch n h tr c t a đ nh hình v v i O
C
B
A
a
 1 
  4 2a 
1 2a
2
AD  AB  D( ; )  CD    ;
    2; a 

3
3 3
3
 3 3 
Ta có pt CD ax y a
BH x ay
vì BH  CD
 a 2  4 4a 
Gi i h g m hai đ ng này ta đ c H  2
;
2 
 a 4 4a 
M

a2
2a
;
)
2
4  a 4  a2

  a 2 2a  a 3    2a 2  4 2a   
c AM  
 AM .BM  0  AM  BM
;
,
 BM   2
2
2 
4  a2 

 4a
 a 4 4a 
 
 1 
Tham s hóa đi m B a a
dung Đk AM .BM  0  B (?) có B ta tìm đ c D theo ĐK AD  AB
3
Có D ta tìm C d dàng vì có M là trung đi m CD
BT M u Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông t i B và C có
AB BC
CD đ nh A
G i M là trung đi m BC Đ ng th ng AM và BD giao nhau t i H
bi t đi m D n m trên đ ng th ng có ph ng trình x y

T đây tìm đ

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CHU N HÓA T A Đ

PHÂN TÍCH VÀ G I Ý GI I TOÁN
- Khi v hình ta s th y hình v có AM và BD c t nhau n u c hai cùng là đ ng chéo khi không có
gì ph i hoài nghi h t c tuy nhiên ta th y rõ ràng chúng s ph i có m i quan h nào đó có th
 vì ABM vuông t i B T suy lu n này ta s tìm hi u th
t i H vuông góc có th là t i BAM
m i quan h c a chúng b ng ph ng pháp GÁN TR C T A Đ nh hình v
- Đ t AB a thì BC a CD a do đó ta có A a

B
C
a M
a D a a


 
- Ta có BD   a; 2a  , AM   2a;a   BD. AM  0  BD  AM  H
Nh v y không c n ki m tra thêm n a m i vi c đã quá rõ ràng r i nhé t i đây nút th t c a bài toán đã
đ c tháo b các em nh th ki m tra t i A xem nhé có khi l i có thêm m t cách gi i khác
CÁC B
C GI I TI P THEO
 
- Tham s hóa t a đ đi m D b
b dùng ĐK DH . AH  0  D
- L p ph ng trình DH do B n m trên DH nên tham s hóa B l i có


- Tìm C thì quá d r i dùng ĐK BA  2CD là xong
và đ nh A
BT M u Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho hình vuông ABCD coa C
thu c đ ng th ng d x y
G i E là đi m thu c c nh BC Đi m F là giao đi m c a đ ng th ng
89 7
AE và CD I
; ) là giao đi m c a đ ng th ng ED và BF Tìm t a đ các đi m B D bi t M
19 19
thu c đ ng AF
Đ thi th tr ng THPT Thành Nhân
Ch n tr c t a đ và chu n hóa t a đ b ng các

C nh c a hình vuông b ng ta có
D
C
B
A
và E
a
Ta có pt DC là y
Pt đt AE là
ax y
 1

;0 
L i có F AE  DC  F 
1 a 
PT đ ng DE ax y
Pt đ ng BF
a x ay
1
a


; 2
I  DE  BF ta có I  2

 a  a 1 a  a 1 
Chú ý r ng d ki n bài toán t p trung vào A C I E nên ta nghi r ng chúng s có m i quan h gì đó v i
 
nhau
Đ n đây m i vi c coi nh đã sáng t ta ch c n tìm các véc t AE , CI



 
a 1
1
AE  1; a  1 , IC  ( 2
; 2
)  AE.CI  0 v y AE vuông góc v i CI đ n đây thì Nút th t
a  a  1 a  a 1
c a bài toán đã đ c g b hoàn toàn nhé các b c ti p theo s làm nh sau
- l p AF đi qua M và vuông góc CI pt AF x y
- A d  AF  A  2; 2 
- O là tâm hình vuông và là trung đi m AC ta có O
- L p pt đ ng BD đi qua O và vuông góc AC cu i cùng dùng ĐK AB vuông BC ta có B

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CHU N HÓA T A Đ

M u
ĐH
CD sao cho CN

A Trong m t ph ng Oxy cho hình vuông ABCD G i M là trung đi m c a BC N trên
DN đi m M
đ ng AN có ph ng trình x y
Tìm t a đ đi m A

H ng d n gi i
Bài toán này th c ch t không ph i m t bài khó và cũng có khá nhi u cách gi i c a các th y cô
trên c n c tuy nhiên đây tôi s trình bày m t cách gi i khá đ p d a vào công c chu n hóa t a đ
nh sau
Ta th y bài toán ch yêu c u tìm t a đ đi m A và đã cho s n ta m t đ ki n v A đó là AN ta đ t
câu h i r ng li u M đã bi t mà đ bài cho tham gia vào bài toán này nh th nào có m i liên h nh
th nào v i A M N Các em theo dõi l i gi i d i đây nhé
Ch n tr c t a đ nh hình v
Chu n hóa các c nh c a hình vuông đ u b ng ta có
B
C
D
A
M
N
  1


 1 
Có AM   ; 1 , AN   1; 
2

 3
5
 
AM . AN
1
6

  450

cosMAN


 MAN
AM . AN 1 10
2
.
2 3

Đ n đây m i công vi c coi nh đã hoàn t t ch còn nhi m v tìm chính xác đi m A n a mà thôi ta làm
nh sau
- Tham s hóa A a a
thu c AN
 
AM .u AN
1


 a  ?  A  ?  Xong
- Có cos MAN
AM . u AN
2
BT M u Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình vuông ABCD có đi m C thu c đ ng x y
Đi m M
thu c canh BD Hình chi u c a M lên AB AD đ u n m trên đ ng th ng x y
Tìm
t a đ đi m C
H ng d n gi i
G i F G l n l t là hình chi u c a M lên AB AD
- Chon h tr c t a đ nh hình v v i D

- Không m t tính t ng quát ta ch n các c nh hình vuông
Có đ dài b ng khi đó ta có C
Ma a F a
G
a


Ta có CM   a  1; a  , GF   a;1  a 
 
V y
CM .GF  o  CM  GF
Tham s hóa C
a a
 
 
dùng ĐK CM .GF  o  CM .ud  0  C  ?
BT M u
Cho hình ch nh t ABCD có A
M và N l n l t là trung đi m các c nh BC và AD H là
hình chi u c a B lên CN H
Bi t trung đi m M c a c nh BC n m trên đ ng th ng có
ph ng trình x y
Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t trên
H
NG D N GI I
Qua d ki n có th th y ngay r ng bài toán t p trung
d ki n vào ba đi m A M H b ng tr c quan hình
v ta đ xu t kh năng có quan h vuông góc gi a ba
đi m trên
Gi i pháp

Ch n h tr c t a đ nh hình v
A
B
C b D
b M b
Nb
2
Pt đ ng NC bx b
y b
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CHU N HÓA T A Đ

Pt BH
b x by b
Gi i HPT g m hai đ ng trên ta tìm th y đi m H tuy
Nhiên s th y vi c tìm ra đi m H b ng h tr c này h i
v t v ta s cùng nhau tìm ra m t h tr c khác nhé
CH N H TR C NH HÌNH V
B
A
a C
D
a N
a M
Pt NC ax y a
Pt BH x ay

T a đ H là nghi m c a HPT g m NC và BH
 4a 2
2a 
Gi i h ta có H  2 ; 2 
 4a  1 4a  1 
  4a 2 a  4a 3    2a 2  1 / 2 2a 
AH   2 ; 2
; 2 
 , MH  
2
 4a  1 4a  1 
 4 a  1 4a  1 
 
V y AH .MH  0  AH  MH
T i đây nút th t đã đ c gi i quy t
 
- Tham s hóa M a a dùng ĐK vuông góc trên AH .MH  0  M
- L p pt AM ta suy đ c pt CN song song AM đi qua H
- Có pt CN ta có pt BH tham s hóa B dùng ĐK AB vuông BM tìm đ c B do M là trung đi m BC
nên tìm đ c C
Xong
Nh n xét Qua ví d này các em th y vi c đ t h tr c t a đ là vô cùng quan tr ng nó quy t đ nh
kh năng thành b i c a bài toán bài này ch n B là chính xác và h p lý h n c vì ta ch c n tìm t a
đ đi m H Khi đó s liên quan t i pt đ ng BH nh v y B
s gi m t i đa vi c tính toán cho các
em
BT M u Cho tam giác ABC cân t i A v i A
g i D thu c AB sao cho AB
AD H là hình chi u
c a B lên CD M là trung đi m c a HC và M

Tìm t a đ đi m C bi t C n m trên đ ng
th ng có ph ng trình x y

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com