Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề được giải bằng phương pháp vectơ, tọa độ trong hình học phẳng nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

1

Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề được
giải bằng phương pháp vectơ, tọa độ trong hình
học phẳng nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho
học sinh
Building exercise system by virtue of the topic by means of vectors, flat geometric coordinates in
order to develop creative thinking for students
NXB H. : ĐHGD, 2012 Số trang 118 tr. +

Nguyễn Thế Nam

Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS ngành: Lý luận & Phương pháp dạy học bộ môn Toán; Mã số:601410
Người hướng dẫn: PGS.TSKH : Vũ Đình Hoà
Năm bảo vệ: 2012

Abstract. Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo, quá trình rèn luyện và phát triển loại
hình tư duy này ở bậc trung học phổ thông (THPT). Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ
đề giải bằng phương pháp vectơ, tọa độ trong hình học phẳng nhằm phát triển tư duy sáng
tạo cho học sinh. Đưa ra hệ thống các bài tập ứng dụng, hướng dẫn học sinh khai thác và
phát triển các bài toán đó theo hướng sáng tạo. Tiến hành thực nghiệm, kiểm tra đánh giá,
rút ra các bài học thực tế, tính khả thi để áp dụng vào giảng dạy.

Keywords: Toán học; Bài tập; Phương pháp Vectơ; Hình học; Tư duy sáng tạo

Content.

1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay ở Việt Nam, cũng như ở nhiều nước trên thế giới, giáo dục được coi là quốc sách
hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Với nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là

đào tạo ra những con người phát triển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn
vận dụng được kiến thức trong tình huống công việc. Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện và phát triển
tư duy sáng tạo cho học sinh ở các trường phổ thông của những người làm công tác giáo dục là hết
sức quan trọng.
"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo
đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ
nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu
cầu xây dựng và bảo vệ Tổ quốc" (Luật giáo dục 1998, Chương I, điều 2).
Với các lý do nêu trên, để góp phần bồi dưỡng, phát triển năng lực trí tuệ học sinh bậc THPT,
đề tài được chọn là: "Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề được giải bằng phương pháp
vectơ, tọa độ trong hình học phẳng nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh"
2

2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu quá trình rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo toán học ở đối tượng học sinh phổ
thông.
- Trên cơ sở lý thuyết vectơ, tọa độ trên mặt phẳng trong chương trình THPT, cùng với các
kiến thức hình học tổng hợp khác, xây dựng một hệ thống phân loại các dạng bài tập ứng dụng
phương pháp vectơ và tọa độ trong hình học phẳng, góp phần phát triển tư duy sáng tạo toán học cho
học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo, quá trình rèn luyện và phát triển loại hình tư
duy này ở bậc THPT.
- Đưa ra hệ thống các bài tập ứng dụng, hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển các bài
toán đó theo hướng sáng tạo.
- Đưa ra một số biện pháp sư phạm nhằm thực hiện mục đích nghiên cứu.
- Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút ra các bài học thực tế, tính khả thi để áp dụng vào
giảng dạy.
4. Giả thuyết khoa học
Với nội dung toán học được lựa chọn và các biện pháp sư phạm đã đề xuất trong luận văn, qua

kiểm nghiệm bước đầu trong thực tiễn, có thể tin rằng đề tài góp phần nâng cao trình độ nhận thức của
học sinh, khơi dậy hứng thú học tập, phát huy khả năng tư duy sáng tạo toán học, tính tích cực học tập
của học sinh THPT. Trang bị cho học sinh THPT một phương pháp giải toán hình học hiệu quả bên
cạnh các phương pháp khác.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu khai thác các tài liệu về tư duy biện chứng thông qua việc giảng dạy môn Toán
ở trường phổ thông, đặc biệt ở khía cạnh tư duy sáng tạo.
- Nghiên cứu khai thác các tài liệu liên quan đến hứng thú học tập, động cơ học tập, phát huy
tính tích cực học tập của học sinh qua môn Toán.
- Nghiên cứu chương trình và nội dung đổi mới sách giáo khoa và phương pháp giảng dạy
bậc THPT, đặc biệt là hình học lớp 10 bậc THPT.
5.2. Phương pháp quan sát điều tra
- Điều tra thực trạng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh trước và sau thử nghiệm.
- Quan sát việc học tập của học sinh, khảo sát mức độ tích cực học tập, tư duy sáng tạo trong
giờ học để phát hiện nguyên nhân cần khắc phục và lựa chọn nội dung thích hợp cho luận văn.
- Thu thập kết quả thực tế của học sinh làm cơ sở thực tiễn để đưa hệ thống bài tập phù hợp
có tính khả thi dưới dạng chuyên đề.
3

- Đánh giá kết quả thực nghiệm.
5.3. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Thống kê số liệu trước và sau thực nghiệm, giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.
- Lấy ý kiến đánh giá tham khảo của giáo viên trực tiếp giảng dạy để điều chỉnh luận văn cho phù
hợp thực tiễn dạy và học vectơ, tọa độ ở bậc THPT.
5.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Thực nghiệm ở một số cơ sở rồi đối chứng với giả thuyết khoa học đã đề ra để điều chỉnh
mức độ khả thi của luận văn.
6. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Trên cơ sở lý luận của tư duy sáng tạo, áp dụng vào dạy nội dung

toán hình học vectơ và tọa độ ở lớp 10 THPT. Từ đó phân loại và phát triển hệ thống bài tập có thể
dùng phương pháp vectơ, tọa độ phẳng để giải.
Đi sâu vào ứng dụng cơ sở lý luận phát triển tư duy sáng tạo toán học, gợi động cơ hứng thú
học tập cho học sinh qua nội dung luận văn.
- Khách thể và phạm vi nghiên cứu: Học sinh và giáo viên dạy toán THPT thuộc trường :
THPT Đoàn Thượng, Huyện Gia Lộc, Tỉnh Hải Dương.
- Kiểm nghiệm và đối chứng 6 lớp.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm 3
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề được giải bằng phương pháp vectơ, tọa
độ trong hình học phẳng nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Chương 3: Biện pháp sư phạm và thực nghiệm sư phạm
* Kết luận
* Tài liệu tham khảo
* Phụ lục

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1. Tƣ duy và tƣ duy sáng tạo
1.1.1. Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác tư duy
1.1.1.1. Khái niệm tư duy và một số yếu tố cơ bản của tư duy
4

Trong cuốn " Rèn luyện tư duy trong dạy học toán" , PGS.TS Trần Thúc Trình có định nghĩa:
" Tư duy là một quá nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy
luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết".[13,tr.1]
Theo Pap-lôp: Tư duy là " sản vật cao cấp của một vật chất hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá

trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán Tư
duy bao giờ cũng liên hệ với một hình thức nhất định của sự vận động của vật chất- với sự hoạt động
của óc Khoa học hiện đại đã chứng minh rằng tư duy là đặc tính của vật chất".
1.1.1.2. Quá trình tư duy
Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao gồm 4 bước cơ bản
1.1.1.3 Các hình thức cơ bản của tư duy
- Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng và do đó nó có thể được
xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và nội hàm.
- Suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định
1.1.1.4. Các thao tác tư duy
* Phân tích-tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ
phận, các mặt, các thành phần khác nhau. Còn tổng hợp là các thao tác tư duy để hợp nhất các bộ
phận, các mặt, các thành phần đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.
* So sánh-tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự
đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức.
* Khái quát hoá- đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm hợp nhất nhiều đối trượng khác
nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau
và những thuộc tính chung bản chất.
* Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính,
những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy.
1.1.2. Sáng tạo, quá trình sáng tạo
1.1.2.1. Khái niệm sáng tạo
Lecne cho rằng: " Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới về chất bằng hành động trí
tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống các thao tác hoặc hành động được mô tả thật chính xác và
được điều hành nghiêm ngặt".
Solso R.L quan niệm: " Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem lại một cách nhìn
nhận hay cách giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay tình huống".
GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói: " Người có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm phát
hiện vấn đề và giải quyết vấn đề đã đặt ra".
1.1.2.2. Quá trình sáng tạo

5

Như J. Adama đã "Nghiên cứu về tâm lí học sáng tạo trong lĩnh vực toán học" đã chỉ ra quá
trình lao động sáng tạo ấy trải qua bốn giai đoạn:
+ Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn đặt nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập tài liệu liên quan.
+ Giai đoạn ấp ủ: Quá trình tư duy ít bị sự kiểm soát hơn của ý thức, tiềm thức lại chiếm ưu thế, các
hoạt động bổ sung cho vấn đề được quan tâm.
+ Giai đoạn bừng sáng: Đột nhiên tìm được lời giải đáp, đó là các bước nhảy vọt về chất trong tri
thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo.
+ Giai đoạn kiểm chứng: Xem xét, khái quát kết quả. Ý thức lại được tham gia tích cực. Kiểm tra
trực giác, triển khai các luận chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính chất đúng đắn của cách thức giải
quyết vấn đề, khi đó sáng tạo mới được khẳng định.
1.1.3. Khái niệm tư duy sáng tạo, thành phần của tư duy sáng tạo
1.1.3.1. Tư duy sáng tạo
Trong cuốn sách " Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán ở trường
THCS" của Nguyễn Bá Kim - Vương Dương Minh - Tôn Thân , các tác giả cho rằng: " Tư duy sáng
tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý
tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc
đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất" [28,tr.72].
Theo nhà tâm lý học G. Mehlhorn: " Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân
đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục".
1.1.3.2. Thành phần của tư duy sáng tạo
+ Tính mềm dẻo: Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức
+ Tính nhuần nhuyễn: Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ
của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới.
+ Tính độc đáo: Là năng lực độc lập tư duy trong quá trình xác định mục đích
cũng như giải pháp
+ Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng,
kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
+ Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu

lôgic, chưa tối ưu và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới.

1.2. Dạy học giải bài tập ở trƣờng phổ thông
1.2.1. Vai trò của việc giải bài tập toán
- Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức
phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay. Giải
toán tức là tìm ra phương tiện đó.
6

1.2.2. Phương pháp giải bài tập toán
Theo G. Pôlya, phương pháp chung giải một bài toán gồm 4 bước: Tìm hiểu nội dung của bài
toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương trình giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Cụ
thể:
Bước 1: Hiểu rõ bài toán
Bước 2: Xây dựng một chương trình giải
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Bước 4: Trở lại cách giải (Nghiên cứu cách giải đã tìm ra)
Ví dụ: Cho ABC, M  BC. Chứng minh:
MC MB
AM AB AC
BC BC

  
.
1.3. Phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trƣờng phổ thông
Toán học có thể xem xét theo hai phương diện. Nếu chỉ trình bày lại những kết quả toán học
đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn toán học trong
quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi và phát minh, thì trong phương pháp của nó
vẫn có tìm tòi, dự đoán, vẫn có thực nghiệm và quy nạp. Như vậy sự thống nhất giữa suy đoán và suy
diễn là một đặc điểm của tư duy toán học.

KẾT LUẬN CHƢƠNG I
Qua những nội dung đã đề cập trong chương, dựa trên cơ sở lý luận về tư duy và tư duy sáng
tạo, chúng ta thấy: Nếu vận dụng tốt các lý luận này vào giảng dạy, không những phát huy được sự
độc lập suy nghĩ của học sinh, mà còn kích thích được tư duy sáng tạo trong quá trình học tập, nó còn
giúp học sinh có thể phát triển năng lực toán học, một thành tố cơ bản của học sinh khá giỏi toán.
Bên cạnh đó, người giáo viên phải áp dụng những phương pháp dạy học tích cực, khoa học và
hợp lý, mang lại cho học sinh sự say mê môn toán, tìm thấy trong toán niềm vui lớn khi được học
tập, qua đó giáo dục các em những phẩm chất đạo đức tốt đẹp khác.
Một điều quan trọng nữa, có thể nói trong dạy học sáng tạo, vai trò của người thầy hết sức quan
trọng. Để trở thành một giáo viên dạy giỏi, ngoài lòng tâm huyết, ngoài sự nỗ lực học tập không ngừng,
thì người thầy giáo cần có và cần biết dạy cho học trò cách tư duy sáng tạo. Giáo sư Nguyễn Cảnh
Toàn nói trong một quyển sách về cách dạy học: Không ai có thể đi dạy cho người khác cái mà bản
thân mình chưa có, người thầy không những luôn tự nghiên cứu khoa học mà còn phải là người thiết kế
và thi công được óc thông minh sáng tạo ở học trò, do đó người thầy giáo phải là một nhà khoa học
chân chính.
Luật giáo dục, chương II, mục 2, điều 23: " Giáo dục trung học phổ thông nhằm giúp học sinh
củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục trung học cơ sở, hoàn thiện học vấn phổ thông và
những hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học Đại học, Cao đẳng, Trung
7

học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động". Dù đi theo hướng nào cũng luôn cần
đến tư duy sáng tạo.


8

CHƢƠNG 2
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO CÁC CHỦ ĐỀ ĐƢỢC GIẢI BẰNG PHƢƠNG
PHÁP VECTƠ, TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG NHẰM PHÁT TRIỂN TƢ DUY

SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
2.1. Các định hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trƣờng THPT qua nội
dung giải bài tập bằng vectơ và tọa độ trong hình học phẳng
Để bồi dưỡng, phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh, có thể tiến hành theo các
phương hướng sau:
2.1.1. Rèn luyện năng lực giải toán theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo
+ Tính mềm dẻo: Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:
+ Tính nhuần nhuyễn: Được thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:
+ Tính độc đáo: Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng:
2.1.2. Hướng vào rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh qua giải các bài tập toán
Các hoạt động trí tuệ trong môn toán có thể kể đến như: Dự đoán, bác bỏ, lật ngược vấn đề,
các thao tác tư duy toán học Rèn luyện cho học sinh những hoạt động đó là khâu quan trọng nhất
trong dạy học sáng tạo.
Xét một số bài toán sau đây, rèn luyện khả năng khái quát hoá và tương tự của học sinh:
BT1. Cho 2 điểm A, B phân biệt.
a) Chứng minh tồn tại duy nhất một điểm G sao cho:
GA GB 0
  

b) M ta có:
MA MB 2MG
  
.
BT2. Cho ABC.
a) Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho:
GA GB GC 0  
   

b) M:
MA MB MC 3MG  

   
.

2.1.3. Khuyến khích tìm nhiều lời giải cho một bài toán
Ví dụ 1: Cho M = (x,y) là điểm trên (E):
22
xy
+ =1
94
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức P = 2x – y + 5.
Cách 1: Ta có:
| u.v| ||u|.| v|.cos(u,v)| | u|.| v|
       
.
9

Xét
u ( )
xy
,
32


và
v (6, 2)

. Áp dụng bất đẳng thức trên có:
22
22

x y x y
| .6 ( 2)| . 6 ( 2) 40
3 2 9 4
      

2 10 2x y 2 10   
.
Vậy:
5 2 10 P 5 2 10   
.
MinP =
5 2 10
khi (
u,v) 


92
x ,y
10 10
  

MaxP =
5 2 10
khi (
u,v) 0


92
x ,y
10 10

  

Cách 2: Sau khi đã có cách giải trên, loại bài toán là cho quan hệ các biến bậc hai, Biểu thức
P có biến bậc nhất hoặc ngược lại, là một dạng tiêu biểu của bất đẳng thức Bunhiacôpski. Áp dụng ta
có:
1 =
2 2 2
22
2 2 2
x y 1 x y 1 x y
. (6) ( 2) .6 ( 2) (2x y)
9 4 40 3 2 40 3 2

     

         

     

     




2 10 2x y 2 10   
. Vậy:
5 2 10 P 5 2 10   
.
Dấu bằng xảy ra khi
22

x
y
9
x
3
2
10
62
2
x y y
1
10
94


















.
Vậy: MinP = 5-
2 10
khi
92
x ,y
10 10
  

và MaxP =
5 2 10
khi
92
x ,y
10 10



Cách 3: Dùng phương pháp miền giá trị
P = 2x – y + 5  y = 2x + 5 - P, thay vào phương trình (E), phải có nghiệm:
10


22
22
x (2x 5 P)
1 40x 36(5 P)x 9P 90P 189 0
94

        

' = -9(P
2
-10P-15) > 0  5-2
10
< P < 5+2
10
.
MinP = 5-2
10
khi x =
18(P 5) 9 2
,y
40
10 10

  

MaxP = 5+2
10
khi x =
18(P 5) 9 2
,y
40
10 10

  


2.1.4. Sáng tạo bài toán mới

Trong tác phẩm: " Giải bài toán như thế nào", G.Polya đã viết:" Cách giải này đúng thật,
nhưng làm thế nào để nghĩ ra một cách giải khác? Sự kiện này đã được kiểm nghiệm, nhưng làm thế
nào để phát hiện ra những sự kiện như vậy? và làm thế nào để tự mình phát hiện ra được?".
Ví dụ: Từ khái niệm hai vectơ cùng phương, ta có thể xây dựng hệ thống bài tập:
BT1. Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng  M ta có:
MA MB MC 0    
   
, với  +  +  = 0.
BT2. Chứng minh AB//CD 
AB kCD
 

2.1.5. Hướng việc bồi dưỡng năng lực giải toán vào các phương pháp tiêu biểu để giải toán hình
học phẳng bằng vectơ và tọa độ
* Suy luận trong chứng minh toán học
* Một số phương pháp giải toán bằng phương pháp vectơ và tọa độ trong hình học phẳng ở trường
THPT
Phương pháp này khá phong phú, sau đây là một số phương pháp tiêu biểu:
Chứng minh đẳng thức vectơ
Để chứng minh một đẳng thức vectơ ta có thể biến đổi một vế, biến đổi tương đương bằng
cách sử dụng quy tắc về phép cộng, trừ, phép nhân với một số, tích vô hướng
Chứng minh hai đường thẳng song song, vuông góc
Để chứng minh (d) //(d'), ta chứng minh hai chỉ phương cùng phương.
Để chứng minh (d) (d'), ta chứng minh hai chỉ phương của chúng  .
Tìm tập hợp điểm
11

Để tìm tâp hợp M thoả mãn một hệ thức vectơ, ta biến đổi hệ thức tương đương để có một hệ
thức xác định được tập điểm M, như: f(M) = c hoặc
OM v

 
, trong đó O cố định,
v

không đổi.
Tọa độ hoá
Để giải một bài toán, có thể dùng phương pháp tọa độ, kết hợp với phương trình các đường
trong mặt phẳng.
2.2. Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề được giải bằng phương pháp vectơ, tọa độ trong
hình học phẳng nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
2.2.1. Một số vấn đề về xây dựng hệ thống bài tập vectơ và tọa độ trong hình học phẳng dành cho
học sinh khá giỏi ở bậc THPT
2.2.1.1. Những kiến thức, kỹ năng, năng lực cần thiết đối với học sinh
* Về kiến thức:
- Học sinh phải nắm vững các khái niệm, tính chất, định lý về vectơ và tọa độ trong hình học
phẳng (đã nêu ở phần trước).
- Nắm vững các khái niệm, tính chất, định lý trong hình học phẳng THCS.
* Về kỹ năng:
- Kỹ năng về thực hành tính toán, vẽ hình, trình bày lời giải
- Kỹ năng chung để tìm lời giải
- Kỹ năng khai thác bài toán
- Kỹ năng sử dụng vectơ và tọa độ trong giải toán
* Về năng lực:
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ
- Năng lực suy luận toán học
- Năng lực tiến hành các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hoá,
khái quát hoá
- Năng lực tiến hành các hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học: Lật ngược vấn đề, xét tính
giải được, phân chia trường hợp, xét tương ứng
2.2.1.2. Yêu cầu cơ bản của hệ thống bài tập và một số định hướng xây dựng hệ thống bài tập vectơ

và tọa độ phẳng
Hệ thống bài tập vectơ và tọa độ phẳng phải đảm bảo các yêu cầu sau:
- Củng cố vững chắc kiến thức, kỹ năng cơ bản trong chương trình học vấn phổ thông.
- Tác động đến từng yếu tố thành phần của tư duy sáng tạo.
- Gợi cho học sinh niềm say mê, khám phá tìm tòi sáng tạo toán học.
- Bài tập có tính tổng hợp, đề cập đến nhiều nội dung kiến thức trong chương trình học.
- Giúp học sinh nâng cao tính độc lập, tính tích cực, sáng tạo trong học tập.
- Giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ toán học.
12

- Bài tập có tác dụng kiểm tra kết quả học tập, đánh giá được mức độ phát triển tư duy của
học sinh.
- Bám sát nội dung chương trình sách giáo khoa hiện hành, khai thác, sử dụng hiệu quả hệ
thống bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Đảm bảo 5 định hướng đã nêu ra ở chương I.
- Hệ thống bài tập được được chọn, phân loại hợp lý, đảm bảo mục đích đã đề ra, tính khả thi
khi sử dụng, tính vừa sức đối với học sinh
2.2.2. Hệ thống bài tập
Đây là hệ thống bài tập cơ bản theo chương trình và phần nâng cao cho học sinh
2.2.2.1. Hệ thống bài tập về đẳng thức vectơ
BT1. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H, trọng tâm G. Gọi B' là điểm đối tâm của B.
Chứng minh:
a)
AH B'C
 
và
AB' HC
 
; b)
OA OB OC OH  

   

c)
HA HB HC 2HO  
   
;
d) Chứng minh G, H, O thẳng hàng và tính OG:OH (Đường thẳng Ơle)
BT2. Cho 2 điểm A, B phân biệt, G trung điểm AB.
a) Chứng minh:
GA GB 0
  
; b) M ta có:
MA MB 2MG
  
.
BT3. Cho ABC, trọng tâm G.
a) Chứng minh:
GA GB GC 0  
   
;
b) M:
MA MB MC 3MG  
   
.
BT4. Cho tứ giác ABCD, G là trọng tâm.
a) Chứng minh:
GA GB GC GD 0   
    

b) M:

MA MB MC MD 4MG   
    

BT5. Ta có bài toán tổng quát sau: Cho n điểm A
1
, A
2
, ,A
n
, n > 2, G là trọng tâm của hệ điểm, thì:
a)
n
i
i1
GA 0



 
b) M:
n
i
i1
MA n.MG



 
.
BT6. Cho ABC và A'B'C'.

13

a) Chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm 
AA' BB' CC' 0  
   

b) Gọi G và G' là trọng tâm hai tam giác, chứng minh:
GG' <
1
3
(AA'+BB'+CC').
BT7. Cho lục giác ABCDEF, gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE,
EF, FA. Chứng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
BT8. Cho ABC. Gọi A', B', C' lần lượt là các điểm thoả mãn điều kiện:
A'A 2A'B 3A'C 0;2B'A 3B'B B'C 0;3C'A C'B 2C'C 0        
           

a) Chứng minh 6 trung tuyến của ABC và A'B'C' đồng quy.
b) Chứng minh mỗi trung tuyến của tam giác này thì song song với một cạnh tương ứng của
tam giác kia.
2.2.2.3. Hệ thống bài tập về tọa độ và vectơ trên trục
BT39. Trên trục x'Ox cho 4 điểm M,A,B,C. Chứng minh:
1)
MA.BC MB.CA MC.AB 0  
( Hệ thức Ơle)
2)
2 2 2
MA .BC MB .CA MC .AB BC.CA.AB 0   
( Hệ thức Stewart)
BT40. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D; I trung điểm AB, K trung điểm CD. Chứng minh các

điều kiện sau là tương đương.
1)
CA DA
CB DB

; 2)
2 1 1
AB AC AD

( Hệ thức Đềcác)
3)
2
IA IC.ID
( Hệ thức Newton);
4)
AC.AD AB.AK
(Hệ thức Macloranh)
BT41. Trên trục x'Ox, cho 3 điểm A,B,C. Chứng minh tồn tại duy nhất điểm M thoả mãn:
3 3 3
MA MB MC 3MA.MB.MC 0   

BT42. Cho (ABCD) = -1. Chứng minh:
14

1)
CA.DB CB.DA 0
; 2) 2(ab + cd) = (a + c)(b + d)
3)
1 1 1 1
0

CA CB DA DB
   
; 4)
BA DA
2.
BC DC


5)
2
CA OA
CB OB




, O trung điểm CD.
2.2.2.4. Hệ thống bài tập về hệ trục tọa độ và phương trình đường thẳng
BT49. Cho ABC biết A = (-1,3), B = (-3,-2), C = (4,1).
1) Chứng minh ABC vuông cân; 2) Tìm tọa độ trọng tâm G.
3) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
BT50. Cho ABC, biết A = (2,6), B = (-3,-4), C = (5,0). Tìm tọa độ trực tâm, trọng tâm, tâm đường
tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
BT51. Cho điểm P = (3,2). Tìm điểm M,N trên Ox cách nhau 8 đơn vị sao cho PM+PN nhỏ nhất.
BT52. Cho ABC đều cạnh a. Lấy các điểm M, N thoả mãn:
3BM BC;
 

3AN AB
 

. Gọi I =
AMCN. Chứng minh:

BIC
= 90
0
.
BT53. Cho hình vuông ABCD, gọi E,F là các điểm xác định bởi:
3BE BC;2CF CD  
   
, và I =
AEBF. Chứng minh:

AIC
= 90
0
.
BT54. Cho hình vuông ABCD, M là điểm trên đoạn AC, chiếu lên AB và BC được E và F. Chứng
minh CE  DF.
BT55. Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của AB, F là điểm sao cho:
3AF AD
 
. Xác định vị
trí điểm M trên BC sao cho

EFM
= 1v.
BT56. Cho ABC cân tại A, M là trung điểm của BC, H là hình chiếu của M trên AC, E là trung
điểm của MH. Chứng minh AE  BH.
2.2.2.5. Hệ thống bài tập về đường tròn và đường cônic

BT82. Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm: A = (2,6), B = (-3,-4), C = (5,0).
15

BT83. Viết phương trình đường tròn qua A = (1,2) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ.
BT84. Viết phương trình đường tròn
a) Qua A = (0,-1), B = (0,- 4) và tiếp xúc Ox.
b) Qua A = (1,2), B = (5,4) và tiếp xúc Oy.
c) Qua A = (1,0), B = (2,0) và tiếp xúc đường thẳng (d): x - y = 0.
BT85. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc (d): x – y - 1 = 0 tại A = (2,1) và có tâm nằm trên
đường thẳng (d'): x - 2y - 6 = 0.
BT86. Viết phương trình đường tròn qua A = (1,0) và tiếp xúc với 2 đường thẳng (d): x + y - 2 = 0
và (d'): x + y + 3 = 0.
BT87. Viết phương trình đường tròn qua A = (1,2) và tiếp xúc với 2 đường thẳng (d): 3x – y + 3 = 0
và (d'): x - 3y + 9 = 0.
2.2.2.6. Một số bài tập bất đẳng thức dùng vectơ và tọa độ
BT141. Cho 2n số thực: a
1
,a
2
, ,a
n
và b
1
,b
2
, ,b
n
. Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n

(a a a ) (b b b ) a b a b a b             

BT142. Cho x,y,z bất kỳ. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z       

BT143. Cho x,y,z bất kỳ. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z       

2.2.2.7. Một số lời giải tiêu biểu cho từng chùm bài tập
Toàn bộ gợi ý lời giải ở phần phụ lục. Sau đây là lời giải một số bài tiêu biểu cho mỗi dạng
bài tập, thể hiện các thành phần của tư duy sáng tạo.
* Chùm bài tập về đẳng thức vectơ
BT1. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H, trọng tâm G. Gọi B' là điểm đối tâm của B.
Chứng minh:
16

G
M
H
O
B
C
A
B'
a)
AH B'C
 
và

AB' HC
 
; b)
OA OB OC OH  
   

c)
HA HB HC 2HO  
   
;
d) Chứng minh G,H,O thẳng hàng và tính OG:OH.
( Đường thẳng Ơle)
Giải: a) Ta có: AHBC, B'CBC  AH//B'C
CHAB, B'AAB  HC//AB'
Vậy AHCB' là hbh  đpcm.
b) Ta có:
OA OB OC OH   
   
Hình 2.14

2OM OH OA 2OM AH   
    

Điều này đúng vì:
2OM B'C AH
  
, theo a).
c) Ta có:
HA HB HC 3HO OA OB OC 3HO OH 2HO        
         

.
d) Ta có theo b):
OA OB OC OH  
   
và
OA OB OC 3OG  
   


OH 3OG
 
. Vậy OH:OG = 3.
* Chùm bài tập về tập hợp điểm
BT25. Cho ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
1)
|3MA 2MB MC| |MB MA|   
    

2)
2| MA MB MC| 3|MB MC|   
    

Giải:
1)
|3MA 2MB MC| |MB MA|   
    

Vế trái sử dụng tâm tỉ cự I cỉa 3 điểm A, B, C theo bộ số (3,-2,1), thì VT = 2MI
Vế phải là hiệu hai vectơ, nên VP = AB
Vậy M(I,AB/2).

17

2)
2| MA MB MC| 3|MB MC|   
    

VT = 2.3.MG = 6MG, với G là trọng tâm ABC (tâm tỉ cự của 3 điểm A, B, C theo bộ số (1,1,1)).
VP = 3.2.MI = 6MI, với I trung điểm BC (tâm tỉ cự của 2 điểm A, B theo bộ số (1,1). Vậy M(d) là
trung trực của GI.
* Chùm bài tập về tọa độ trên trục
BT40. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D; I trung điểm AB, K trung điểm CD. Chứng minh các
điều kiện sau là tương đương.

CA DA
CB DB

; 
2 1 1
AB AC AD

( Hệ thức Đềcác)
Giải:
Cách 1:  
CA DA AB AC AB AD
AB AC AB AD AC DA

   




AB AB 2 1 1
2
AC AD AB AC AD
    
 
 
2 1 1
AI(AC AD) AC.AD
2AI AC AD
    


AI(AI IC AI ID) (AI IC)(AI ID)     

22
2AI AI(IC ID) AI AI(IC ID) IC.ID      

2
IA IC.ID
 
* Chùm bài tập về hệ trục và đƣờng thẳng
BT70. Cho hai điểm A = (-2,2), B = (0,10) và đường thẳng (d): x – y + 1 = 0.
Tìm M trên (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất, N trên (d) sao cho |NA - NP| lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Bài này có liên quan đến phép đối xứng trục đã học ở lớp 8, cho nên học sinh dễ thấy sẽ phải xét vị
trí tương đối của hai điểm A và B so với đường thẳng (d): Ta có d(A).d(B) = (-3)(-9)>0 nên A,B ở cùng
1 phía so với (d)
a) Gọi A' là điểm đối xứng của A qua (d)  A' = (1,-1). Với M(d) thì:
18

MA+MB = MA'+MB > A'B  (MA+MB)

nn
= A'B
khi M ≡ M' = A'B(d)  M' = (3/4,7/4).
* Việc đối xứng điểm A qua (d) để đưa về đường gấp khúc là một suy luận đã biết, đó cũng là một
trong các bước suy luận trong các bước tìm hướng giải bài toán của Pôlya.
b) Ta có: |NA-NB| > 0  |NA-NB|
nn
= 0 khi NA = NB  N(d') trung trực của AB N = (d)(d')
 N = (19/5,24/5).
c) Ta có: |NA-NB| < AB  |NA-NB|
ln
= AB khi A,N,B thẳng hàng  N = AB(d)  N = (-3,-2).
* Chùm bài tập về bất đẳng thức
B145. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
2 2 2 2
(x 1) y (x 1) y | y 2|      

Giải: Trong mỗi căn là tổng hai bình phương, là dấu hiệu của độ dài vectơ.
Xét
a (1 x,y),b (x 1,y)   

. Vì
|a| |b| |a | |b|  
   
, nên ta có:
A >
2
2 2 2 2 2
4 4y | y 2| ( 3 1 )(1 y ) | y 2| ( 3 y) | y 2|           

=
=
| 3 y| | 2 y| | 3 y 2 y| 3 2        
.
Vậy MinA =
32
, khi x = 0,y =
1
3
.
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2
Trong chương 2, luận văn đã đề cập đến việc phát huy các thành phần của tư duy sáng tạo
vào cụ thể từng dạng toán, phân tích cụ thể viẹc áp dụng vào từng bước giải toán, phân loại dạng bài
tập, các phương pháp chứng minh từng loại toán bằng vectơ và tọa độ trong chương trình hình học
phẳng lớp 10.
Mặt khác, cũng nhờ lý luận của tư duy sáng tạo, định hướng việc xây dựng và sáng tạo hệ
thống bài tập. Các bài tập được xây dựng mới chỉ là định hướng và minh hoạ tối thiểu việc phát triển
hệ thống bài tập này.
Căn cứ vào đó, đưa ra một số chùm bài tập tiêu biểu và giải mẫu mỗi dạng một đến hai bài
tiêu biểu thể hiện một số thành phần của tư duy sáng tạo khi sử dụng nó để xây dựng chùm bài tập.
19

Mặc dù chưa thể hiện được đầy đủ các yếu tố, nhưng cũng đã phần nào thể hiện được mục
tiêu đã đề ra của luận văn.

CHƢƠNG 3
BIỆN PHÁP SƢ PHẠM VÀ THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1. Biện pháp sƣ phạm
Một số biện pháp:

3.1.1. Trong giờ học chính khoá
- Thực hiện tốt đổi mới phương pháp dạy học, lấy học sinh làm trung tâm xây dựng bài học.
Từ đó phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong quá trình lĩnh hội kiến thức mới.
3.1.2. Tổ chức các hoạt động về môn toán
* Dạy học chuyên đề
* Tìm hiểu lịch sử bộ môn
* Tổ chức các cuộc thi về toán
* Tập dượt nghiên cứu toán học
3.2. Thực nghiệm sƣ phạm
3.2.1. Mục đích của thực nghiệm
Thực nghiệm để kiểm chứng giả thiết khoa học đã đề ra cho đề tài
3.2.2. Nội dung thực nghiệm:
Vectơ, tọa độ, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn và cônic
3.2.3. Tổ chức thực nghiệm
Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 10 A, C, G của trường THPT Đoàn Thượng.
Dạy thử nghiệm 3 lớp trên. Mỗi lớp 2 tiết trong phân phối chương trình, đối chứng 3 lớp 10B,
D, H trình độ tương ứng.
Đề số 1
Thời gian: 45 phút
Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Điểm M trên AD và N trên BC thoả mãn:
MA NB 2
MD NC 3

. Chứng minh:
32
MN AB DC
55

  
.

Bài 2: Cho 2 điểm A = (1,1), B = (3,-3) và đường thẳng (d): 2x+y+1 = 0. Có tồn tại không điểm C
trên (d) để ABC đều.
Bài 3: Cho đường tròn (C): x
2
+y
2
+6x+2y-31 = 0 và đường thẳng (d): x+y+3 = 0.
20

a) Xác định giao điểm B,C của (d) và (C).
b) Viết phương trình đường tròn (C') qua A = (1,4) và qua hai giao điểm B và C của (d) và
(C).
Đề số 2
Thời gian: 45 phút
Bài 1: Cho ABC, điểm M trên BC sao cho:
CM 3MB
 
.
Chứng minh:
4AM 3AB AC
  
.
Bài 2: Cho 2 điểm A = (1,1), B = (3,-3) và đường thẳng (d): 2x+y+1 = 0. Có tồn tại không điểm C
trên (d) để ABC vuông tại C.
Bài 3: Cho 2 điểm A = (1,0) và B = (-1,2).
a) Viết phương trình đường trung trực (d) của AB.
b) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (): y+1 = 0.
Đề số 3
Thời gian: 45 phút
Bài 1: Cho ABC, M trung điểm BC. Chứng minh:

1
AM (AB AC)
2

  
.
Bài 2: Cho 3 điểm A = (1,2), B = (0,-4), C = (-1,6).
a) Viết phương trình các cạnh ABC.
b) Tính diện tích và chu vi ABC.
Bài 3: Viết phương trình đường tròn qua O = (0,0) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 2x+y-3 = 0 tại A = (1,1).
3.2.4. Kết quả thực nghiệm
* Kết quả điểm cho trong bảng sau:
21


Điểm
LỚP THỬ NGHIỆM
LỚP ĐỐI CHỨNG
Giỏi
Khá
T.Bình
Yếu
Giỏi
Khá
T.Bình
Yếu
Nhóm I
45%
35%

20%
0%
20%
50%
35%
0%
Nhóm II
45%
45%
10%
0%
22%
45%
33%
0%
Nhóm III
40%
35%
25%
0%
20%
35%
45%
0%
Mức độ
hứng thú
MĐ1
MĐ2
MĐ3
MĐ4

MĐ1
MĐ2
MĐ3
MĐ4

50%
40%
10%
0%
40%
40%
15%
5%

* Kết quả đối chứng:
Sau khi dạy học theo cách phát triển các thành phần của tư duy sáng tạo ở 3 lớp thực nghiệm
và kiểm tra đánh giá, so sánh với 3 lớp đối chứng, tác giả rút ra một số nhận xét sau:
* Ưu điểm: Lớp dạy thử nghiệm làm bài điểm cao hơn, cách làm đa dạng và sáng tạo hơn, có bài
toàn lớp làm tới 4 cách khác nhau, có 15 bài đạt điểm tuyệt đối. Trong khi lớp đối chứng chỉ có hai cách
làm và trong phương pháp chỉ thể hiện được cơ bản, không có sáng tạo, không có bài nào đạt điểm 10.
* Nhược điểm: Lớp đối chứng có nhiều bài làm dài dòng, hướng không rõ ràng, thể hiện tư
duy không mạch lạc. Nhiều bài còn sai lầm như phần đường thẳng, tam giác và đường tròn. Lớp thử
nghiệm ít mắc sai lầm hơn, song cũng còn một số bài lập luận chưa chặt.

KẾT LUẬN
Từ quá trình nghiên cứu lý luận và thực tiễn về việc phát triển tư duy sáng tạo toán học cho
học sinh lớp 10 bậc THPT qua dạy học chuyên đề vectơ và tọa độ trong mặt phẳng, có thể rút ra một
số kết luận sau:
1. Việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong nhà trường phổ thông có vị trí rất quan
trọng và là một mục tiêu của nền giáo dục phổ thông, đặc biệt trong giai đoạn đổi mới phương pháp

dạy học hiện nay.
2. Luận văn đã trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của vấn để tư duy sáng tạo,
cũng như những thành phần, vai trò của tư duy sáng tạo áp dụng vào thực tiễn giảng dạy bộ môn.
3. Luận văn đã nêu một số biện pháp bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp
10 bậc THPT thông qua dạy học chuyên đề.
22

4. Luận văn đã xây dựng hệ thống 150 bài tập cơ bản về hình học vectơ và tọa độ trong mặt
phẳng, thể hiện được một số thành phầ cơ bản của tư duy sáng tạo vào xây dựng và giải bài tập, mặc
dù còn chưa đầy đủ do khuôn khổ của luận văn. Những khó khăn và sai lầm hay gặp của học sinh khi
giải toán loại này.
KHUYẾN NGHỊ
Luận văn trước hết rất có ý nghĩa đối với tác giả, vì nó là một nội dung quan trọng trong
chương trình dạy. Mong rằng luận văn cũng đóng góp một phần nhỏ bé trong công cuộc đổi mới
phương pháp dạy học hiện nay nhằm nâng cao chất lượng giáo dục, đồng thời có thể là một tài liệu
tham khảo cho các đồng nghiệp.

References.
1. Phạm Gia Đức, Hoàn Công Kỳ (1994), Tuyển chọn bài tập hình học 12. Nxb Giáo dục.
2. G. Pôlia (1975), Giải một bài toán như thế nào. Nxb Giáo dục Hà Nội.
3. G. Pôlia (1976), Sáng tạo toán học. Nxb Giáo dục Hà Nội.
4. G. Pôlia (1976), Toán học và những suy luận có lý, Nxb Giáo dục Hà Nội .
5. Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Phạm Gia Cốc (1981), Giáo dục học môn toán. Nxb Giáo
dục Hà Nội.
6. Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình (1999), Toán nâng cao hình học 10. Nxb Giáo dục.
7. Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình (2006), Bài tập nâng cao một số chuyên đề hình học 10.
Nxb Giáo dục.
8. Phạm An Hoà, Trần Văn Toàn (2001), Phương pháp giải toán hình học giải tích. Nxb trẻ TP
Hồ Chí Minh.
9. Nguyễn Văn Hiến (2006), Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh giỏi ở trường THCS qua chủ

đề bất đẳng thức hình học phẳng. Luận văn thạc sỹ khoa học giáo dục, Trường Đại học sư
phạm Thái Nguyên.
10. Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học môn toán. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội.
11. Nguyễn Bá Kim, Tôn Thân, Vương Dương Minh (1998), Khuyến khích một số hoạt động trí
tuệ của học sinh qua môn toán ở trường THCS. Nxb Giáo dục Hà Nội.
12. Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn
Thường (1994), Phương pháp dạy học môn toán. Nxb Giáo dục.
13. Phan Huy Khải (1998), Toán nâng cao hình học 10. Nxb Đại học quốc gia Hà Nội.
14. Bùi Văn Nghị (2006), Chuyển tiếp môn toán từ phổ thông lên đại học. Chuyên đề sau đại học,
Trường Đại học sư phạm Hà Nội.
15. Nguyễn Đạo Phương, Phan Huy Khải (1996), Tuyển chọn các bài toán về ba đường cônic. Nxb
Giáo dục.
23

16. Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Văn Lê, Nhà giáo Châu An (2005), Khơi dậy tiềm năng sáng tạo.
Nxb Giáo dục.
17. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học.
Nxb Giáo dục.
18. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc hoc, dạy và nghiên
cứu toán học. Nxb Đại học quốc gia Hà Nội.
19. Trần Thúc Trình (2003), Rèn luyện tư duy trong dạy học toán. Viện khoa học giáo dục.