CHIẾN lược KHÁI QUÁT hóa các mẫu HÌNH PHI TUYẾN của học SINH lớp 8 và lớp 11 PHỔ THÔNG

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------o0o------

TRẦN THỊ MAI THANH

CHIẾN LƯỢC KHÁI QUÁT HÓA CÁC MẪU HÌNH
PHI TUYẾN CỦA HỌC SINH LỚP 8 VÀ LỚP 11
PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS.TRẦN KIÊM MINH

1


Thừa Thiên Huế, năm 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả
nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Họ tên tác giả
Trần Thị Mai Thanh

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, động
viên, giúp đỡ của thầy cô, gia đình và bạn bè. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành
của mình đến:
TS Trần Kiêm Minh, Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Huế, người Thầy
đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận
văn.

2


Xin cảm ơn quý Thầy Cô Trường Đại Học Sư Phạm Huế trong thời gian qua
đã tận tình giảng dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức quý báu, giúp tôi có cơ sở
để tiến hành việc nghiên cứu của mình.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Phổ Thông Thực Hành Sư
Phạm - Đại Học An Giang và các thầy cô tổ Toán cùng các em học sinh đã nhiệt
tình giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn đúng kế hoạch.
Xin cảm ơn gia đình yêu quý đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành
luận văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng, xin chúc quý Thầy, Cô và các bạn dồi dào sức khỏe, hạnh phúc
và thành công trong công việc.

3


MỤC LỤC
Trang

Trang phụ bìa.................................................................................................................i
Lời cam đoan................................................................................................................ii
Lời cảm ơn...................................................................................................................iii

MỤC LỤC....................................................................................................................1

4


DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VẼ

LỜI GIỚI THIỆU
Có thể nói rằng toán học có mặt ở mọi ngõ ngách của khoa học và đời sống.
Sự phát triển của toán học cao cấp giúp cho khả năng tư duy con người cao hơn,
vận dụng vào việc nghiên cứu khoa học các môn khoa học khác. Có thể nói toán
học là chìa khoá mở cửa các môn khoa học. Ngày nay, toán học là chỗ dựa vững
chắc, là bệ phóng cho các môn khoa học kỹ thuật, đặc biệt là công nghệ thông tin,
vật lý.
Trong toán học, đại số chiếm phần lớn thời lượng ở các cấp học. Nội dung
phần đại số trong các chương trình toán học phổ thông của nước ta trước đây và
hiện nay chủ yếu tập trung vào hoạt động biến đổi, tức là trang bị nhiều về kĩ năng
tính toán và biến đổi biểu thức đại số hình thức. Trong khi đó ít chú trọng đến các
hoạt động giúp học sinh hiểu ý nghĩa của các ý tưởng đại số cơ bản như biến, biểu

5


thức, phương trình… Chương trình và sách giáo khoa chủ yếu tập trung vào kĩ năng
giải bài tập cho học sinh mà không chú trọng vào việc giúp học sinh hiểu được
nghĩa các khái niệm đại số.
Các nghiên cứu trong giáo dục toán cho thấy có nhiều cách để tiếp cận đại số
thúc đẩy học sinh hiểu hơn ý nghĩa của các khái niệm đại số như biến, biểu thức,
phương trình…, cũng như hỗ trợ tốt hơn ngắt quãng nhận thức ở học sinh khi
chuyển từ số học sang đại số. Những cách tiếp cận đại số đó là tiếp cận qua khái

quát hóa mẫu hình (Bednarz, Kieran, & Lee (1996, [4]); Mason et al. (2005, [18]);
Radford (2008, [22]); Radford (2010, [23]); Rivera & Becker (2010, [27]); Jurdak
& Mouhayar (2013, [13])), tiếp cận đại số qua giải quyết vấn đề (Bednarz (1996,
[5])), tiếp cận hàm với sự hỗ trợ của công nghệ (Hied (1988, [12]); Yerushalmy &
Gilead (1999, [29]); Lagrange (2014, [17]))… Trong đó, tiếp cận đại số qua khái
quát hóa mẫu hình là một hướng được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm và phát
triển. Theo cách tiếp cận này, đại số được xem như sự khái quát hóa của số học, tập
trung vào các ký hiệu và đối tượng mới như ẩn, biến, biểu thức, phương trình…
Với quan niệm về tư duy đại số như vậy, các bài toán về khái quát hóa mẫu
hình đóng vai trò quan trọng trong bước chuyển từ Số học sang Đại số và bước đầu
hình thành tư duy đại số cho học sinh. Nhiều nghiên cứu về các khía cạnh của khái
quát hóa mẫu hình và sự phát triển tư duy đại số đã được thực hiện. Ở Việt Nam, tác
giả Lê Thị Quỳnh Dư (2014, [1])) đã bước đầu tìm hiểu các chiến lược khái quát
hóa mẫu hình phi tuyến của học sinh lớp 10. Có ít nghiên cứu tiến hành trên đối
tượng so sánh trên cả 2 cấp học. Vì thế, trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ so sánh
các chiến lược và bản chất của các chiến lược khái quát hóa mẫu hình phi tuyến của
các học sinh ở hai cấp độ khác nhau (lớp 8 và lớp 11).
Chương 1 đề cập đến bước chuyển từ số học đến đại số, khái quát hóa mẫu
hình và tư duy đại số, thế nào là mẫu hình tuyến tính và phi tuyến, tổng quan các
nghiên cứu liên quan đến khái quát hóa mẫu hình và vấn đề khái quát hóa mẫu hình
trong chương trình đại số ở Trung học cơ sở và Trung học phổ thông.

6


Trong chương 2, chúng tôi trình bày cơ sở lí thuyết về ....... các kiểu nhiệm vụ
khái quát hóa mẫu hình (trực tiếp, gần, xa), độ phức tạp của một nhiệm vụ khái quát hóa
mẫu hình (đơn giản, phức tạp), các chiến lược khái quát hóa mẫu hình thường gặp , phân
biệt bản chất cấu trúc của các chiến lược khái quát hóa mẫu hình , tư duy đại số nhìn từ
quan niệm lịch sử-văn hóa về dạy học của L. Radford và các câu hỏi nghiên cứu

Chương 3 giới thiệu ba tình huống thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm của
ba tình huống đó.
Chương 4 là phần phân tích các kết quả thực nghiệm thu được của ba tình
huống.
Trong chương 5 chúng tôi trả lời và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu, đóng
góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài.

7


Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Bước chuyển từ số học đến đại số
Toán học của những con số của chúng ta có nguồn gốc thuộc về toán học của
người Hindu, người Arab và người Babylon. Họ không quan tâm đến việc đưa ra
các chứng minh nên toán học của những con số đã được truyền lại cho chúng ta đơn
thuần ở dạng một tập hợp những quy tắc tính toán không liên quan với nhau mấy.
Việc học số học ở trường tiểu học là một tập hợp gồm những lời giải của những bài
toán đa dạng và các quy tắc tính toán. Số học thể hiện những nỗ lực sớm nhất của trí
tuệ con người về sự trừu tượng.
Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn và sự phát triển của nhân loại, toán học của
những con số đã đưa thêm vào các đối tượng mới, các kí hiệu bằng chữ để biểu diễn
một con số bất kì. Việc đưa thêm vào kí hiệu là sự khởi đầu của đại số. Các nghiên
cứu đã cho thấy tồn tại những ngắt quãng về nhận thức của học sinh ở bước chuyển
từ số học sang đại số (Filloy & Rojano (1989, [10]); Bednarz & Janvier (1996, [5])
…). Nhiều học sinh gặp khó khăn khi chuyển từ tư duy số học ở Tiểu học sang tư
duy đại số ở đầu cấp Trung học cơ sở.
Khi chuyển từ số học sang đại số, học sinh được tiếp xúc với các đối tượng
mới như biến, biểu thức, phương trình… Những đối tượng mới này có thể gây nên
những chướng ngại, khó khăn trong nhận thức của học sinh. Chẳng hạn, nhiều

nghiên cứu (Filloy & Rojano (1989, [10]); Bednarz & Janvier (1996, [5])…) chỉ ra
rằng trong số học, học sinh dễ dàng giải phương trình dạng Ax + B = C bằng
“phương pháp ngược” (lấy C trừ đi B rồi chia cho A). Tuy nhiên, khi chuyển qua
phương trình dạng Ax + B = Cx + D, nhiều học sinh lúng túng không giải được.
Lúc này, “phương pháp ngược” như trên không còn hiệu quả. Học sinh phải dựa
vào các ý tưởng đại số thực sự, đó là phải thao tác trên ẩn (biến). Để thao tác trên
các ẩn hay các đại lượng không xác định nói chung, đòi hỏi phải có tư duy phân
tích. Tức là, chúng ta phải xem các đại lượng không xác định như là những đại
lượng đã biết, như thể chúng là các số cụ thể (Radford, 2014, [24])). Cách tư duy

8


như thế (ở đó các số chưa biết được xử lý như các số đã biết) làm nên sự khác biệt
giữa Số học và Đại số.
Một hệ quả của sự khác biệt giữa số học và đại số ở trên là các công thức trong
đại số là những đối tượng được suy diễn để hình thành nên. Việc hình thành công
thức (chẳng hạn qua bài toán khái quát hóa mẫu hình) chỉ dựa vào phép thử và đoán
không phải là biểu hiện của tư duy đại số. Tương tự, việc sử dụng đơn thuần các ký hiệu
không thể đặc trưng cho tư duy đại số. Chẳng hạn, nhiều học sinh giải phương trình 2x + 2
= 10 + x chỉ bằng phương pháp thử - sai. Rõ ràng, cách giải thử sai đó không chứa đựng ý
tưởng hay tư duy đại số nào. Dựa trên các nghiên cứu trước đây (Filloy and Rojano (1989,
[10]) ; Kieran (1993, [16])), Radford (2014, [24], tr 260) cho rằng các điều kiện sau là đặc
trưng cho tư duy đại số:
•

Tính không xác định: bài toán có liên quan đến các số chưa biết (ẩn, biến,

tham số…)
•

Ký hiệu: các số không xác định trong bài toán phải được gán tên hoặc biểu
tượng.
• Tính phân tích: các đại lượng không xác định trong bài toán phải được xử lý như thể
chúng là những đại lượng đã biết. Có nghĩa tuy là những đại lượng chưa biết nhưng
chúng ta bắt có thể bắt đầu từ chúng và thao tác trên chúng như cộng, trừ, nhân,
chia… Đó là nghĩa của tính phân tích ở đây. Chẳng hạn, đối với phương trình 2x + 2
= 10 + x, thay vì thử thay đại lượng chưa biết x bởi các số đã biết xem phương trình
có thỏa không, ta bắt đầu từ đại lượng chưa biết x, và trừ đi x từ 2x ở hai vế, sau đó
trừ đi 2 ở hai vế để được x = 8. Rõ ràng cách thức tìm ra x = 8 ở đây không phải bằng
phỏng đoán hay thử-sai mà x được suy luận ra. Đây là một điểm để phân biệt giữa tư
duy số học (thử-sai) với tư duy đại số (tính phân tích).

Một vài phương pháp được đề xuất bởi các nhà nghiên cứu để tạo điều kiện
cho sự chuyển tiếp của học sinh từ tư duy số học đến tư duy đại số. Các nhà nghiên
cứu đã quan tấm đến nhiều cách tiếp cận đại số như: tiếp cận đại số qua khái quát
hóa mẫu hình (Lee (1996, [4]); Mason et al., (2005, [18]), tiếp cận đại số qua giải
quyết vấn đề (Bednarz (1996, [5])); tiếp cận hàm đối với đại số với sự hỗ trợ của
công nghệ (Yerushalmy, 2000; Yerushalmy & Gilead (1999, [29]).

9


1.2

Khái quát hóa mẫu hình và tư duy đại số
“Khái quát hóa là một trong những điều quan trọng mà chúng ta làm trong đại

số và do đó học sinh nên bắt đầu sớm” (Lee (1996, [4])), không những thế khái quát
hóa các mẫu hình cung cấp cho học sinh nền tảng cơ bản trong tư duy đại số và
được mô tả là “một trong những gốc rễ và con đường đi vào đại số” (Radford

(2008, [22])). Theo Vygotsky (1986, [30]), nếu không có khả năng để khái quát hóa,
chúng ta sẽ bị biến đổi sống trong một thế giới mà chỉ là cụ thể a, b, c....Tất cả mọi
thứ sẽ khác với tất cả mọi thứ khác, kiến thức sẽ liên tục giảm đến không ngừng.
Như vậy có thể thấy rằng “Hoạt động quan trọng nhất của trí tuệ là khái quát hóa”
(Radford (2008, [22]))và “thực sự tất cả những gì về đại số chính là khái quát hóa
các mẫu hình” (Lee (1996, [4], tr 103)).
Theo Radford (2008, [22]), điều cốt lõi nhất của tư duy đại số không phải là
làm việc trên các ký hiệu hình thức mà chính là ý tưởng khái quát hóa từ những
trường hợp cụ thể. Các ký hiệu và biểu thức không làm nên tư duy đại số mà chính
là khả năng khái quát hóa từ các kết quả và trường hợp cụ thể. Các nghiên cứu
trong giáo dục toán đã cho thấy có nhiều cách để tiếp cận đại số như tiếp cận qua
khái quát hóa mẫu hình (Bednarz, N., Kieran, C., & Lee, L. (1996, [4]); Mason et
al. (2005, [18]); Radford, (2008, [22]); Radford (2010, [23]); Rivera & Becker
(2010, [27]); Jurdak & Mouhayar (2013,[19]), tiếp cận qua giải quyết vấn đề
(Bednarz (1996, [5]), tiếp cận hàm với sự hỗ trợ của công nghệ (Hied (1988, [12]);
Yerushalmy & Gilead (1999, [29]); Lagrange (2014, [17]))… Trong đó, tiếp cận
đại số qua khái quát hóa mẫu hình là một hướng được rất nhiều nhà nghiên cứu
quan tâm và phát triển. Theo cách tiếp cận này, đại số được xem như sự khái quát
hóa của số học, tập trung vào các ký hiệu và đối tượng mới như ẩn, biến, biểu thức,
phương trình…
Với quan niệm về tư duy đại số như vậy, các bài toán về khái quát hóa mẫu
hình đóng vai trò quan trọng trong bước chuyển từ Số học sang Đại số và bước đầu
hình thành tư duy đại số cho học sinh. Nhiều nghiên cứu về các khía cạnh của khái
quát hóa mẫu hình và sự phát triển tư duy đại số đã được thực hiện. Chẳng hạn,
nhóm nghiên cứu của tác giả Radford ở Canada (Radford (2008, [22]), (2010,

10


[23]), (2014, [24])) quan tâm đến bản chất cấu trúc của các chiến lược khái quát

hóa mẫu hình của học sinh (bản chất đại số, số học hay quy nạp). Từ đó, tác giả
xem xét sự phát triển tư duy đại số của học sinh tiểu học qua các bài toán khái quát
hóa mẫu hình từ một tiếp cận lịch sử-văn hóa. Một số tác giả khác (Rivera &
Becker (2007, [25]); Rivera & Becker (2008, [26]); Rivera (2010, [27])) quan tâm
đến các chiến lược khái quát hóa mẫu hình của học sinh bậc Trung học cơ sở và
nhấn mạnh vai trò và mối quan hệ của kiểu suy luận ngoại suy và quy nạp trong
quá trình khái quát hóa mẫu hình. Gần đây, một số nghiên cứu khác tập trung vào
phân tích so sánh khả năng khái quát hóa mẫu hình của học sinh ở các cấp, lớp
khác nhau (Jurdak & Mouhayar (2013, [19]); Mouhayar & Jurdak (2015, [20])).
Các nghiên cứu này cho thấy sự khác nhau trong các chiến lược khái quát hóa mẫu
hình của các học sinh ở các lớp khác nhau.
1.3

Mẫu hình tuyến tính và mẫu hình phi tuyến
Phân biệt giữa mẫu hình tuyến tính và mẫu hình phi tuyến được hiểu theo

nghĩa thông thường như sau (Jurdak & Mouhayar (2013, [19])): Một mẫu hình là
"tuyến tính" nếu sự khác biệt giữa hai bước liên tiếp trong mẫu hình là hằng số.
Nói cách khác, mẫu hình là tuyến tính nếu công thức khái quát mô tả tính chất ở

( )

f n = an + b
bước thứ n bất kì có dạng

. Một mẫu hình là "phi tuyến tính" nếu sự

khác biệt giữa hai bước liên tiếp trong mẫu hình không là hằng số.
Sau đây là một số ví dụ về mẫu hình tuyến tính và phi tuyến.
Ví dụ 1: Xét mẫu hình 1.1 sau

Hình 1.

11


Xuất phát từ hình 1

( n = 1)

ta thấy rằng mỗi hình phía sau đều hơn hình trước là

một hình vuông, ta có thể dự đoán số các hình vuông cho hình tiếp theo với công
thức tổng quát là

n +1

(với n là số thứ tự của hình). Đây là một mẫu hình tuyến

tính.
Ví dụ 2: Xét mẫu hình 1.2 sau

Hình 1.

Ta thấy ở hình 1

( n = 3)

( n = 1)

có 1 hình vuông, hình 2

( n = 2)

có 4 hình vuông, hình 3

có 9 hình vuông, vậy ta có thể dự đoán số các hình vuông cho hình tiếp

theo với công thức tổng quát là

n2

(với n là số thứ tự của hình). Đây là một mẫu

hình phi tuyến tính.
Trên đây là hai ví dụ đơn giản cho ta thấy về hàm tuyến tính và hàm phi tuyến,
nhưng không phải bất kì mẫu hình nào ta có thể tìm được công thức tổng quát dễ
dàng như vậy. Vấn đề đặt ra ở đây là làm như thế nào để học sinh có thể khái quát
được công thức tổng quát cho các mẫu hình, đặc biệt là mẫu hình phi tuyến.
1.4 Tổng quan các nghiên cứu liên quan đến khái quát hóa mẫu hình
Thực chất có nhiều cuộc nghiên cứu cho thấy rằng sự lập luận và thực hiện
của học sinh trong mẫu hình khái quát hóa tập trung vào hai phương hướng chính.
Phương hướng đầu tiên là sự lập luận và chiến lược trong mẫu hình khái quát hóa

12


(Radford, (2008, [22]); Rivera & Becker (2008, [26]); Rivera (2010, [27])). Những
nghiên cứu này cho thấy rằng sự nhận thức về mẫu hình là một cảm giác chủ quan
cùng một mẫu hình có thể nhận ra được sự khác biệt bởi học sinh - người đã sử

dụng các chiến lược khác nhau để khái quát hóa các mẫu hình. Phương hướng thứ 2
là sự nhận ra các giai đoạn khác nhau (Radford (2006, [21])). Những nghiên cứu
này cho thấy rằng học sinh phải đi từ các giai đoạn khác nhau của khái quát hóa bắt
đầu cho các cấp độ cụ thể (trường hợp đặc biệt của mẫu hình) và đạt đến khái quát
hóa tượng trưng. Những nghiên cứu này chỉ ra rằng học sinh sử dụng các biện pháp
khác nhau để đi tới sự khái quát hóa. Một vài nghiên cứu tìm hiểu sự phát triển trình
độ lý luận của học sinh trong mẫu hình khái quát hoá qua tuổi hoặc cấp lớp. Nói
chung, những nghiên cứu khẳng định sự phát triển mẫu hình khái quát hóa hiệu quả
của học sinh các cấp lớp (Stacey (1989, [28])). Một số nhà nghiên cứu điều tra tác
động của các nhiệm vụ liên quan đến yếu tố (ví dụ như các giá trị tính toán của các
bước trong một mẫu hình, cấu trúc toán học của các nhiệm vụ, và các chiến lược
trước khi được sử dụng) về lý luận học sinh, chiến lược và hiệu quả trong sử dụng
mẫu hình khái quát hoá. Những nghiên cứu này chỉ ra rằng học sinh sử dụng chiến
lược bị ảnh hưởng bởi sự kết hợp các yếu tố.
Những phát hiện từ nghiên cứu (Jurdak & Mouhayar (2013, [19]), Stacey
(1989, [28])) tập trung vào điều tra lý luận và hiệu quả của học sinh trong các nhiệm
vụ gần và xa trong mẫu hình khái quát hoá, trong khi nhiệm vụ tổng quát gần (câu
hỏi được giải quyết bằng cách vẽ, đếm) đã tới được các phần lớn của học sinh,
những học sinh phải đối mặt với khó khăn trong việc thành lập và biện minh một
quy tắc cho các nhiệm vụ khái quát hóa xa (câu hỏi không thể được giải quyết bằng
cách theo các bước vẽ và đếm). Yếu tố tuyến tính và phi tuyến tính trong mẫu hình
khái quát hóa cũng ảnh hưởng đến lập luận cũng như chiến lược giải của học sinh.

13


1.5

Vấn đề khái quát hóa mẫu hình trong chương trình Đại số ở Trung học

cơ sở (THCS) và Trung học phổ thông (THPT)
Để có cái nhìn tổng quát về khái quát hóa mẫu hình trong chương trình Đại số
ở Trung học cơ sở (THCS) và Trung học phổ thông (THPT), chúng ta hãy điểm sơ
qua chương trình đại số THCS và THPT như sau:
Ở THCS, các em được trang bị những kiến thức đơn giản như đơn thức, đa
thức, cộng trừ đơn thức, đa thức, biểu thức đại số (lớp 7)…chương trình đại số lớp 8
các em được học phép nhân và chia trên các đa thức, phân thức đại số, bước đầu
hiểu như thế nào là phương trình, bất phương trình, một số bài toán về giải phương
trình…Lên lớp 9 các em được học về căn thức bậc hai, các phép toán về căn thức
bậc hai, sơ lược về hàm số bậc nhất, được biết hàm số được cho bởi nhiều cách
khác nhau (bảng, đồ thị, công thức), đặc biệt được học về phương trình bậc hai, các
ứng dụng về phương trình bậc hai….
Cụ thể chương trình đại số lớp 8:
Chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức.
Chương 2: Phân thức đại số.
Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn.
Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ở THPT, ở lớp 10 các em được học sâu hơn về hàm số, cách chuyển đổi linh
hoạt giữa các dạng để tìm công thức tổng quát, học về phương trình, hệ phương
trình bậc nhất và bậc hai, bất đẳng thức, bất phương trình. Bước đầu tìm hiểu sơ
lược về góc và cung lượng giác, công thức lượng giác…Qua lớp 11, các em được
tìm hiểu sâu hơn về hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, cách tìm tổ hợp
và xác suất một số bài toán, thế nào là cấp số cộng, cấp số nhân, cách tìm giới hạn
và đạo hàm của một số hàm…
Cụ thể chương trình đại số lớp 11:
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.

14

Chương 2: Tổ hợp – Xác suất.
Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân.
Chương 4: Giới hạn.
Chương 5: Đạo hàm.
Các chương trình Toán học phổ thông của nước ta trước đây và hiện nay chủ
yếu tập trung vào hoạt động biến đổi, tức là trang bị nhiều về kĩ năng tính toán và
biến đổi biểu thức đại số hình thức. Trong khi đó ít chú trọng đến các hoạt động
giúp học sinh hiểu ý nghĩa của các ý tưởng đại số cơ bản như biến, biểu thức,
phương trình… Hầu hết chỉ tập trung vào kĩ năng giải bài tập cho học sinh mà
không chú trọng vào việc giúp học sinh hiểu được nghĩa các khái niệm đại số.
1.6 Kết luận chương 1
Các bài toán về khái quát hóa mẫu hình đóng vai trò quan trọng trong bước
chuyển từ Số học sang Đại số và bước đầu hình thành tư duy đại số cho học sinh.
Nhiều nghiên cứu về các khía cạnh của khái quát hóa mẫu hình và sự phát triển tư
duy đại số đã được thực hiện.
Một số tác giả ở Việt Nam cũng đã bắt đầu có những tìm hiểu về khái quát
hóa mẫu hình và sự phát triển tư duy đại số của học sinh (Trương Hồng Thủy
(2013, [3]); Lê Thị Quỳnh Dư (2014, [1])). Phân tích bước đầu của tác giả Lê Thị
Quỳnh Dư cho thấy chương trình phân môn Đại số ở Trung học cơ sở và đầu Trung
học phổ thông ở nước ta hiện nay chủ yếu tập trung vào hoạt động biến đổi, tức là
trang bị nhiều về kĩ năng tính toán và biến đổi biểu thức đại số hình thức. Trong
khi đó, chương trình ít chú trọng đến các hoạt động giúp học sinh hiểu ý nghĩa của
các ý tưởng đại số cơ bản như ẩn, biến, biểu thức, phương trình… Mặt khác, các
hoạt động khái quát hóa mẫu hình phi tuyến nhìn chung là ít quen thuộc và khó
hơn đối với học sinh so với khái quát hóa mẫu hình tuyến tính. Ở Việt Nam, tác giả
Lê Thị Quỳnh Dư (2014, [1]) đã bước đầu tìm hiểu các chiến lược khái quát hóa
mẫu hình phi tuyến của học sinh lớp 10.

15

Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ so sánh các chiến lược và bản chất của
các chiến lược khái quát hóa mẫu hình phi tuyến của các học sinh ở hai cấp độ
khác nhau (lớp 8 và lớp 11). Mục tiêu tổng quát của nghiên cứu này là tìm hiểu khả
năng khái quát hóa các mẫu hình phi tuyến của học sinh ở hai cấp học khác nhau.
Từ mục tiêu tổng quát đó, chúng tôi hướng đến các mục tiêu cụ thể sau:
•

Xem xét các chiến lược thường được sử dụng của học sinh lớp 8 và lớp 11

đối với cùng một kiểu nhiệm vụ khái quát hóa mẫu hình phi tuyến.
• Xem xét sự khác nhau trong sử dụng chiến lược của học sinh lớp 8 và lớp
11 đối với các kiểu nhiệm nhiệm vụ khái quát hóa mẫu hình phi tuyến khác
nhau (trực tiếp, gần, xa).
• Phân tích bản chất cấu trúc (đại số, số học, hay quy nạp) của các chiến lược
khái quát hóa mẫu hình của học sinh, từ đó làm rõ tư duy đại số của các em
thể hiện qua quá trình giải quyết các nhiệm vụ khái quát hóa mẫu hình được
đưa ra.

16


2

Chương 2. CƠ SỞ LÍ THUYẾT

2.1 Các kiểu nhiệm vụ khái quát hóa mẫu hình (trực tiếp, gần, xa)
Theo Jurdar & Mouhayar (2013, [19]) và Stacey (1989, [28]):
•

Thuật ngữ "nhiệm vụ khái quát hoá trực tiếp" được sử dụng để chỉ một câu
hỏi liên quan đến một bước của dãy mẫu hình liền ngay sau các bước mẫu

hình đã cho trước đó và được giải quyết bằng cách vẽ hình hoặc đếm.
• Thuật ngữ "nhiệm vụ khái quát hoá gần" được sử dụng để chỉ một câu hỏi có
thể được giải quyết bằng cách vẽ hình hoặc đếm dần từng bước.
• Thuật ngữ "nhiệm vụ khái quát hoá xa" được sử dụng để chỉ một câu hỏi
vượt ra ngoài giới hạn hợp lý của cách vẽ hình hoặc đếm từng bước như trên.
Ví dụ: Xét mẫu hình que tăm cổ điển sau đây:

Hình 2.
a) Hãy cho biết số que tăm ở trường hợp
b) Hãy cho biết số que tăm ở trường hợp
c) Hãy cho biết số que tăm ở trường hợp

n =4
n =8

?
?

n = 99

?

Đối với câu a, học sinh có thể vẽ hình và trả lời có bao nhiêu que tăm ở hình 4, đây
rõ ràng là dạng câu hỏi thuộc kiểu nhiệm vụ khái quát hóa trực tiếp. Ở câu b, học
sinh có thể từng bước vẽ hình và đếm đến hình số 8 có bao nhiêu que tăm. Đây là
dạng câu hỏi thuộc kiểu nhiệm vụ khái quát hóa gần. Riêng đối với câu c, để vẽ
hình và đếm có bao nhiêu que tăm ở hình 99 không phải là chuyện đơn giản, và

điều này không phù hợp trên thực tế. Rõ ràng câu c thuộc kiểu nhiệm vụ khái quát
hóa xa.

17


2.2

Độ phức tạp của một nhiệm vụ khái quát hóa mẫu hình (đơn giản, phức
tạp)

Theo Jurdar & Mouhayar (2013, [19]) và Stacey (1989, [28]):
•

Thuật ngữ "độ phức tạp của mẫu hình" được sử dụng để chỉ tính phức tạp
tương đối của một nhiệm vụ khái quát hoá so với một nhiệm vụ khái quát

hóa khác.
• Mức độ phức tạp của một nhiệm vụ phụ thuộc vào số lượng các thành phần
tăng dần lên qua các bước của mẫu hình. Số lượng các thành phần càng tăng
nhiều lên thì độ phức tạp ngày càng cao.
Ví dụ: Xét mẫu hình 2.2 và 2.3 sau đây:

Hình 2.

Hình 2.
Ta thấy mẫu hình tuyến tính hình 2.2 đơn giản, ở các hình liên tiếp tăng 3 điểm theo
chiều ngang và có thể dự đoán được ngay, trong mẫu hình ở hình 2.3 các hình liên
tiếp tăng 4 nhưng theo bài toán chuỗi W- điểm. Ta có thể định hướng mẫu hình ở
hình 2.3 như hình 2.4 sau:

Hình 2.

18


Như vậy mẫu hình tuyến tính ở hình 2.3 phức tạp hơn mẫu hình tuyến tính ở hình
2.2
2.3 Các chiến lược khái quát hóa mẫu hình thường gặp
Jurdar & Mouhayar (2013, [19]) đã chỉ ra rằng học sinh sử dụng các chiến
lược khác nhau để khái quát hóa mẫu hình dựa vào những cuộc điều tra trên các cấp
lớp và dựa vào các chiến lược của một số nhà nghiên cứu Cai, J& Knuth (2011,
[6]); Stacey (1989, [28]); Rivera (2010, [27]) …đã chỉ ra:
•

Đếm từ một hình vẽ: đếm các yếu tố đặc biệt của một số hạng trong mẫu

•

hình.
Đệ quy: chỉ ra sự khác biệt chung của các cặp số hạng liên tiếp và lặp lại
bằng cách cộng thêm hằng số từ số hạng này đến số hạng kia để mở rộng

•

mẫu hình.
Chunking: Nhân sự khác biệt chung giữa hai số hạng trong mẫu hình bằng số

lượng của bước và cộng vào kết quả ở số hạng bắt đầu.
• Hàm số: liên kết các bộ phận của mẫu hình đến số bước.

• Toàn bộ các đối tượng: Xác định giá trị của một số hạng bằng cách sử dụng
bội số của một số hạng đứng trước.
Ví dụ: Xét mẫu hình 2.5 sau:

Hình 2.
a) Hãy tìm số hình vuông ở trường hợp
b) Hãy tìm số hình vuông ở trường hợp

n = 5?
n = 100 ?

c) Hãy dự đoán số hình vuông trường hợp

19

n

bất kì?


a) Học sinh có thể trả lời số hình vuông ở trường hợp
chiến lược sẽ vẽ ở trường hợp
trường hợp
n =3

n =1

n =5

n =5

là 16, có thể dựa vào

và đếm số hình vuông. Hoặc có thể nhận xét ở

có 4 hình vuông, trường hợp

n =2

có 7 hình vuông, trường hợp

có 10 hình vuông, như vậy các hình vuông tăng 3 qua các hình liên tiếp, do

đó sẽ có 16 hình vuông ở trường hợp

n = 5.

Đối với câu a) có thể sử dụng chiến

lược vẽ hình rồi đếm hoặc chiến lược đệ quy.
b) Ở trường hợp

Từ hình 5

( n = 5)

n = 100

có 301 hình vuông. Có thể giải thích như sau:

đến hình 100

( n = 100)

có:

100 − 5 = 95

( hình).

95 . 3 = 285.

Mà mỗi hình liên tiếp hơn nhau 3 hình vuông, do đó có:
Ở hình 5 có 16 hình vuông, do đó số hình vuông ở hình 100 là:

285 + 16 = 301.

Đối với câu b) sử dụng chiến lược chunking.
c) Hãy nhìn lại hình vuông ở một hình bất kì, giả sử hình 5, hình 5 có 16 hình
vuông, tức là

16 = 3.5 + 1

, vậy ta dự đoán hình vuông ở bước n sẽ là

3.n + 1

đối

với câu c học sinh sử dụng chiến lược hàm số.

Ngoài ra, theo Rivera & Becker (2008, [26]) xác định thêm 3 kiểu chiến lược
thường sử dụng để khái quát hóa:
•

Khái quát hóa theo số: chỉ sử dụng các tín hiệu từ mẫu hình khi liệt kê thành

các dãy số để tìm ra công thức.
• Khái quát hóa theo hình: khai thác tín hiệu trực quan được lập nên trực tiếp từ
cấu trúc của mẫu hình.
• Kết hợp cả 2 chiến lược trên.
Trở lại ví dụ ở trên, để tìm công thức tổng quát, ta có thể làm như sau:

20


Khái quát hóa theo số:
Gọi

an

là số hình vuông ở hình thứ n, ta có bảng 2.1 sau:
Bảng 2.
Số hình vuông

a1

4 = 3.1 + 1

a2

7 = 3.2 +1

a3

10 = 3.3 + 1

.......

…………..

an

3.n + 1

Vậy số hình vuông ở hình thứ n là

3.n + 1

Khái quát hóa theo hình:

Hình 2.
Vậy số hình vuông ở hình thứ n là

3.n + 1

Khái quát hóa theo số và hình:

21

Hình 2.
Ngoài ra, Rivera & Becker (2008, [26]) còn phân biệt thành hai loại trong khái quát
hóa theo hình:
•

Khái quát hóa cấu tạo: Mẫu hình được xem như là một sơ đồ hợp thành từ các thành
phần không chồng lên nhau. Quy tắc khái quát được biểu diễn trực tiếp như là tổng

của các thành phần.
• Khái quát hóa giải cấu tạo: Mẫu hình được xem như là được cấu thành từ các thành
phần xếp chồng lên nhau. Quy tắc khái quát được biểu diễn bằng cách đếm các
thành phần riêng lẻ và trừ đi các phần bị chồng lên nhau.
Ví dụ: Một công ty sản xuất đồ chơi sử dụng các khối hình lập phương và sử dụng
một máy dán nhãn để dán "mặt cười" trên khối. Máy dán trên mỗi mặt tiếp xúc của
mỗi khối lập phương.

22


Hình 2.
Hãy tìm số mặt cười cho trường hợp n bất kì?
Theo khái quát hóa cấu tạo thì học sinh sẽ hình thành công thức tổng quát sau:

Hình 2.
Theo khái quát hóa giải cấu tạo thì học sinh sẽ hình thành công thức tổng quát sau:

23


Hình 2.

Rivera & Becker (2008, [26]) nhận xét rằng học sinh có khuynh hướng hình thành
kiểu khái quát cấu tạo hơn là giải cấu tạo dựa vào các nghiên cứu khác nhau. Từ các
phương án của Rivera & Becker, Chua & Hoyleys (2012, [7]) đã bổ sung thêm hai
phương án khái quát:
•

Khái quát hóa kiểu biến đổi: sắp xếp lại một hoặc nhiều thành phần của hình gốc để

hình thành một mẫu hình quen thuộc hơn, sau đó hình thành quy tắc khái quát hóa.
• Khái quát hóa kiểu bổ trợ: Nhìn mẫu hình ban đầu như là một phần của mẫu hình
lớn hơn. Quy tắc được hình thành từ việc trừ đi các thành phần con của mẫu hình
lớn hơn này.
2.4 Phân biệt bản chất cấu trúc của các chiến lược khái quát hóa mẫu hình
2.4.1 Khái quát hóa mẫu hình kiểu đại số

Theo Radford (2008, [22]), khái quát hóa mẫu hình đại số thể hiện ở khả

năng nhận ra tính tương đồng trên một số trường hợp cụ thể

p1; p2 ; p 3 ;...; pk

, mở

rộng hoặc khái quát tính tương đồng này cho tất cả các số hạng tiếp theo

24


pk +1; pk +2 ; pk +3;....

, và có thể sử dụng tính tương đồng này để đưa ra một biểu thức trực

tiếp của bất kỳ số hạng nào của dãy mẫu hình.

Hình 2.

Ví dụ:

Hình 2.
Tìm số hình tròn cho hình thứ n trong hình 2.12
Học sinh nhận thấy rằng số lượng các vòng tròn có thể được tính bằng cách thêm số

lượng các hình vẽ hai lần và sau đó thêm một: ''Hình 1

cộng thêm 1; hình 2

( n = 2)

là 2 + 2, cộng với 1; hình 3

25

( n = 1)
( n = 3)

là 1 cộng với 1,

là 3 cộng với 3,