SKKN bổ túc một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Trường THPT Phước Thiền
Giáo viên: Phạm Phú Hoàng
SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THPT PHƯỚC THIỀN
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

BẢN KHAI THÀNH TÍCH CÁ NHÂN
(Đề nghị chiến sĩ thi đua cấp cơ sở năm học 2012-2013)
Họ và tên : Phạm Phú Hoàng Sinh ngày 29/04/1979 - Nam
Đơn vị công tác : Trường THPT Phước Thiền
TÓM TẮT THÀNH TÍCH
1. Thực hiện nhiệm vụ chuyên môn : khối lượng, chất lượng, tinh thần trách nhiệm :
- Giảng dạy môn Toán lớp 10 và 12 với số học sinh 138
- Số học sinh đạt trung bình trở lên là 95 % , không có học sinh bị điểm kém .
- Bản thân luôn phấn đấu học tập từ những người đi trước, đồng nghiệp trong trường và
giáo viên các trường khác.
- Luôn quan tâm và chú trọng đến những học sinh yếu kể cả các môn khác để động viên và
giúp đỡ.
2. Cải tiến, giải pháp hữu ích, sáng kiến :
- Trong giảng dạy luôn tìm ra những phương pháp hữu hiệu nhất để học sinh tiếp thu.
- Viết sáng kiến kinh nghiệm “Bổ túc một số phương pháp giải phương trình vô tỉ”.
- Vận dụng có hiệu quả công nghệ thông tin trong giảng dạy bộ môn.
- Vận dụng hình ảnh trực quan trong giảng dạy.
3. Học tập, bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ:
- Tham gia đầy đủ các lớp bồi dưỡng chuyên môn do sở GDĐT tổ chức .
- Tích cực tham gia các buổi dự giờ đồng nghiệp để trao đổi kinh nghiệm.
- Nỗ lực học tập và nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
4. Tham gia xây dựng tập thể:
- Với tư cách là tổ trưởng tổ Toán-Tin, tôi luôn tìm hiểu và động viên các giáo viên trong tổ
cũng như các đồng nghiệp khi gặp khó khăn về vật chất lẫn tinh thần.

- Luôn tích cực tham gia công tác phong trào của trường và của ngành .
5. Danh hiệu đạt được trong năm học: Lao động tiên tiến
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ
Phước Thiền , ngày 15 tháng 05 năm 2013
Người khai

Phạm Phú Hoàng

Sáng kiến kinh nghiệm

1


Trường THPT Phước Thiền

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CÁ NHÂN:
1. Họ và tên : Phạm Phú Hoàng
2. Ngày tháng năm sinh : 29-04-1979
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ : Tổ 1- Ấp 2- Xã An Phước - Huyện Long Thành- Tỉnh Đồng Nai
5. Điện thoại : + Cơ quan: 0613849127

+ Nhà riêng: 0613501273

6. Chức vụ: Giáo viên
7. Đơn vị công tác : Trường THPT Phước Thiền
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:

- Học vị ( hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Đại học Sư phạm
- Chuyên ngành: Toán học
- Năm nhận bằng : 2001
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC:
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : 12 năm

Sáng kiến kinh nghiệm

2


Trường THPT Phước Thiền

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

“ BỔ TÚC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ”
Phần 1: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
- Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trường THPT
Phước Thiền năm học 2012-2013.
- Năm học 2012-2013, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy lớp 10. Đa số học sinh nhận
thức còn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm
được bài tốt hơn.
- Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã
được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn(còn được gọi là phương trình vô tỉ) và
được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản, đơn giản.
Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú
và đa dạng; đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp một lớp
các bài toán về phương trình vô tỉ mà chỉ có số ít các em suy nghĩ được hướng giải nhưng
trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa, chưa đúng phương pháp giải của

từng dạng. Tại sao lại như vậy?
- Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được trình bày
ở phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) rất là ít và hạn hẹp chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo
khoa, giới thiệu sơ lược một vài ví dụ và đưa ra cách giải khá rườm rà khó hiểu, không có
phương pháp chung; phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế, không đa dạng. Mặt
khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy,
các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài tập, nhiều dạng và phương pháp giải
cho từng dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

- Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT, cùng với
kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá lại các
kiến thức thành một chuyên đề: “Bổ túc một số phương pháp giải phương trình

vô tỉ ’’.
Sáng kiến kinh nghiệm

3


Trường THPT Phước Thiền
Giáo viên: Phạm Phú Hoàng
- Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng
quát và một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. Học sinh có thể nhận dạng và trình bày
bài toán đúng trình tự, đúng logic và có tính sáng tạo hơn trong việc giải toán. Hy vọng đề
tài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải
một lớp các bài toán về giải phương trình vô tỉ.
III. CƠ SỞ LÝ LUẬN.
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi

dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn
toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn
học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán
một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể
hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi.
Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ
thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các
bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học
sinh THPT nhận dạng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình
chứa ẩn dưới dấu căn.
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
- Phương trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn).
V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU :
- Nội dung phần phương trình vô tỉ và một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong chương
trình đại số 10.
- Một số bài toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn trong các đề thi Đại học - Cao
đẳng - TCCN.
Sáng kiến kinh nghiệm

4


Trường THPT Phước Thiền
VI. NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI:

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

- Xuất phát từ lý do chọn đề tài, chuyên đề thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực

hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ
năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán giải phương
trình vô tỉ từ phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễ dàng. Muốn
vậy người giáo viên phải hướng cho học sinh biết các dạng toán và phương pháp giải từng
dạng của phương trình vô tỉ.
- Yêu cầu của chuyên đề: Nội dung, phương pháp rõ ràng, không phức tạp phù hợp với
đối tượng học sinh trường THPT, có sáng tạo đổi mới. Giới thiệu được các dạng phương
trình cơ bản, đưa ra được giải pháp và một số ví dụ minh hoạ.
- Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10 hệ THPT
và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán. Các thầy cô và học sinh có
thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ
thể.
Trong đề tài này tôi đã đưa ra phương pháp giải của một số dạng thường gặp, một vài
ví dụ và một số bài tập tương ứng để học sinh tự luyện. Sau mỗi bài toán đều có những nhận
xét bình luận để giúp học sinh có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất.
VII. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1)Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh, rút kết kinh nghiệm.
2)Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng và rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 năm học 2012-2013.

Sáng kiến kinh nghiệm

5

Trường THPT Phước Thiền

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng
Phần 2: NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu một số phương trình vô tỉ dạng cơ bản và
trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả. Tuy nhiên trong một số đề thi đại
học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp nhiều bài toán tạp, đòi hỏi học sinh phải nhận được
dạng, từ đó đưa ra phương pháp biến đổi phù hợp đưa phương trình từ dạng phức tạp về
dạng cơ bản.
Nội dung chuyên đề gồm hai phần:
+ Phần 1: Phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản.
+ Phần 2: Phương pháp giải một số phương trình không mẫu mực.
Trên cơ sở nắm vững phương pháp giải những dạng cơ bản, từ đó nâng cao khả năng
tư duy, đưa những dạng phức tạp về cơ bản để giải.
Chương 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CƠ BẢN
I.Phương trình dạng f ( x)  g( x) (1)
1.Phương pháp:
-Nhận thấy cả hai vế của phương trình đều không âm nên bình phương 2 vế của phương
trình ta được phương trình tương đương. Trước giải phương trình, học sinh cần lưu ý điều
kiện.
Thông thường khi nhìn thấy dạng f ( x)  g( x) , học sinh sẽ đặt cả hai điều kiện:
f ( x)  0, g( x)  0 . Tuy nhiên điều này là không cần thiết, chỉ cần đặt 1 trong hai f ( x)  0
hoặc g( x)  0 .
Giả sử đặt điều kiện: f ( x)  0 . Khi đó bình phương (1), ta được f ( x)  g( x) .
Do f ( x)  g( x) và f ( x)  0 nên suy ra g( x)  0 .
Vậy:
 f ( x)  0 ( g( x)  0)
f ( x)  g( x)  
 f ( x)  g( x)

Chú ý: Tùy vào phương trình mà ta lựa chọn đặt điều kiện f ( x)  0 hay g( x)  0 .
2.Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) x2  2x  9  3  3x
 Nhận xét:
Sáng kiến kinh nghiệm

b) x  7  x2  4x  1

6


Trường THPT Phước Thiền
Giáo viên: Phạm Phú Hoàng
-Ở câu a) biểu thức dưới căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải
không âm. Tương tự ở câu b), ta đặt điều kiện cho vế trái không âm.
3  3x  0
a) x2  2x  9  3  3x   2
 x  2x  9  3  3x
x  1
x  1

 2
   x  4  x  4
 x  x  12  0  
 x  3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4
x  7  0
b) x  7  x2  4x  1  

2
 x  7  x  4x  1
x  1
x  7

 2
   x  3  x 
 x  5x  6  0  
 x  2
Vậy phương trình vô nghiệm.

(2)
II. Phương trình dạng f ( x)  g( x)
1.Phương pháp:
-Ở phương trình (1), do hai vế không âm nên bình phương 2 vế. Do đó, để áp dụng cách
giải của (1) vào (2) thì g( x)  0 .
Vậy:
 g( x)  0
f ( x)  g( x)  
2
 f ( x)  g ( x)

Vì g( x)  0 và f ( x)  g2 ( x) nên ta không cần đặt điều kiện: f ( x)  0
2.Ví dụ :
Ví dụ 1:Giải phương trình: 2x  6  x  1 (a)
Giải:
 x  1  0
2x  6  x  1  
2
2x  6   x  1

x  1
x  1

 2
   x  1  x  5
 x  4x  5  0  
 x  5
Sáng kiến kinh nghiệm

7


Trường THPT Phước Thiền
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5 .

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

Chú ý: Ngoài phương pháp trên, ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả.
Điều kiện: 2x  6  0  x  3 (* )
2x  6  x  1  2x  6   x  1

2

 x2  4x  5  0
 x  1

x  5
So với điều kiện (*), cả hai nghiệm x  1 và x  5 đều thỏa mãn nhưng khi thay các
nghiệm vào phương trình (a) thì nghiệm x  1 bị loại.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5 .

Cách giải vừa nêu trên rất phức tạp vì khi làm phải trải qua hai bước: So với điều kiện (*)
để loại nghiệm, sau đó phải thay vào phương trình (a) để thử lại nghiệm. Chính vì thế rất dễ
dẫn đến sai lầm của một số học sinh là bỏ qua bước thử nghiệm, vì nhầm tưởng điều kiện
(*) là điều kiện của phương trình.
Ngoài ra, việc sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn đối với một số
phương trình mà biểu thức dưới căn là biểu thức bậc hai. Chẳng hạn như phương trình
3x2  2x  1  3x  1 .

III. Bài tập.
Giải các phương trình sau:
1. 2 x2  3x  11  x  2
2. 2x  5  4  x
3. x  x 1  13
4. x  x  1  1
5. x  2x+7  4
6. 3  x  1  x
7.

x2  3x  3  2 x  3

8.

6  4x  x2  x  4
16x  17  8 x  23

9.

2
10. x  5x  1  x  1

11. x2  2x  14  2  x
2
2
12. 2 x  x  1  x  1

2
13. 3x  4x  1  1  x

Sáng kiến kinh nghiệm

8


Trường THPT Phước Thiền
Giáo viên: Phạm Phú Hoàng
Chương 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU
MỰC
Phương trình vô tỉ trong một số đề thi tuyển sinh khá phức tạp và đa dạng, sau đây tôi xin
trình bày phương pháp giải một số dạng thường gặp.
I.Phương pháp đặt ẩn phụ.
Khi giải trực tiếp các phương trình vô tỉ gặp nhiều khó khăn, phức tạp; việc bình
phương để khử căn thu lại một phương trình bậc cao không giải được thì phương pháp đặt
ẩn phụ là một phương pháp tối ưu.
Mục đích chính của việc đặt ẩn phụ là nhằm đưa phương trình đang xét về một phương
trình đơn giản hơn. Tuy nhiên cần phải biết lựa chọn cách đặt ẩn phụ thích hợp, phù hợp với
đặt thù của bài toán đang xét.
1.Đặt một ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ.
a)Ví dụ: Giải phương trình 3 3x2  11x  14  3x2  11x  16 (1)
Nhận xét:

-Cả hai biểu thức dưới dấu căn và bên ngoài dấu căn đều là biểu thức bậc hai, nếu bình
phương hai vế sẽ thu được phương trình bậc 4 có thể sẽ không giải được đối với học sinh
THPT.
-Nhận thấy giữa biểu thức dưới căn và bên ngoài dấu căn hơn kém nhau 2 đơn vị. Điều
này gợi ý cho ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
Đặt t  3x2  11x  14 , t  0
 t 2  2  3x2  11x  16
Phương trình (1) trở thành: 3t  t 2  2
 t 2  3t  2  0

t  1 ( N )

t  2 ( N )
+Với t  2  3x2  11x  14  2
 3x2  11x  10  0

5
x


3

 x  2

+Với t  1  3x2  11x  14  1
 3x2  11x  13  0 (VN )


5
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S  2;  

3

Tổng quát:
 Nếu bài toán chứa
Sáng kiến kinh nghiệm

f ( x) và k. f ( x) .
9


Trường THPT Phước Thiền
Đặt t 

f ( x), t  0  t 2  f ( x)

 Nếu bài toán chứa
Đặt t 

f  x  , g  x  và

f  x . g  x   k

k
t
f  x . g  x   k

 k : const 

f  x,t  0  g  x 

Chú ý: Khi đặt t 
phép đặt t 

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

f  x  , do

 k : const 

nên điều kiện của

f  x  là t  0 .

 Nếu bài toán chứa

f  x   g  x  , f  x  .g  x  và f  x   g  x   k (k : const )

Đặt t 

t2  k
f  x  .g  x  
2

f  x  g  x 

b) Bài tập:
Giải các phương trình sau:

1. 2 x2  2x   x2  2x  3  9  0
2. x2  2x2  4x  4  5  2x

3. 3 3 x2  3x  2  2x2  6x  5
x  2 x 1  x  2 x 1 

4.
5.

4

x3
2

x  x2  1  x  x2  1  2

6.

x  1  12  x   x2  11x  23

7.

3  x  x  1  4  x2  4x  3  2

8. x  4  x2  2  3x 4  x2
2
x  x2  x  1  x
9. 1 
3
10.  x  5 2  x   3 x2  3x

11. x  2  x  2  2 x2  4  2x  2
12. 2x  3  x  1  3x  16  3x2  5x  3

2.Đặt một ẩn phụ và dùng phương pháp tham số biến thiên, hằng số biến thiên.
Ta lưu ý có những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức
còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức
biểu diễn lại quá phức tạp. Khi đó ta thử để phương trình ở dạng chứa ẩn phụ nhưng hệ số
vẫn chứa x . Phương trình thu được thường là phương trình bậc hai theo ẩn phụ ( hoặc ẩn x)
có biệt số  là một số chính phương.
Sáng kiến kinh nghiệm

 10 


Trường THPT Phước Thiền
a. Ví dụ: Giải phương trình:  4 x 1 x2  1  2 x2  2 x  1
Giải:
Đặt t  x2  1  1  t 2 1  x2 , ta được:

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

1

 4 x  1 t  2  t 2  1  2 x  1
 2t 2   4 x  1 t  2 x  1  0
 1
t
 L
 2

t  2 x  1

Với

t  2x 1  x2  1  2 x 1
1

2 x  1  0
x 
 2
2
2  
2
 x  1   2 x  1
3x  4 x  0

1

 x  2
4

x
3
 x  0 hay x  4

3
4
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S   
3

b. Bài tập: Giải các phương trình sau:
1.

 4x  1

x3  1  2 x 3  2 x  1

2. x2  3x  1   x  3 x2  1
3. x  2 x  1   x  1 x  x2  x  0
4. 2 3x  1 2x2  x  1  6x2  3x  4
5. 21  x  x2  2x  1  x2  2x  1
3.Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình.
. Đặt một ẩn phụ:
Bên cạnh việc đặt ẩn phụ và dùng phương pháp tham số biến thiên hằng số biến thiên,
ta có thể sử dụng phương pháp chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn là một ẩn phụ và
một ẩn x.
Như vậy, giữa hai phương pháp đặt ẩn phụ và dùng phương pháp tham số biến thiên
hằng số biến thiên và đặt ẩn phụ chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn là một ẩn phụ
và một ẩn x, dấu hiệu phân biệt nào giữa hai phương pháp để ta lựa chọn?
- Đặt ẩn phụ và dùng phương pháp tham số biến thiên hằng số biến thiên: Biệt số  là
một số chính phương.
- Đặt ẩn phụ chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn là một ẩn phụ và một ẩn x:
Sáng kiến kinh nghiệm
 11 


Trường THPT Phước Thiền
Dạng

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

ax  b  c  dx  e    x   với d  ac   và e  bc  
2

a) Ví dụ: Giải phương trình
Giải

3x  1  4 x 2  13x  5 (1)

1
3
2
1  3x  1    2 x  3  x  4
Điều kiện 3x  1  0  x  

 3x  1    2 x  3  x  4
Nhận thấy a  3; b  1; c  1; d  2; e  3;  1;   4 thỏa
d  ac   và e  bc  
3
Đặt: 2 y  3  3x  12, 2 y  3  0  y 
2
2 y  3    2 x  32  x  4  2 
Khi đó phương trình (1) thành 
2
 3
 2 y  3  3 x  1
2

Lấy

(2)

trừ

(3),

biến

đổi

ta

được

điều

phương

kiện

trình

x  y
x

y
2
x

2
y

5


0




2 y  5  2 x

Lần lượt thế x  y hoặc 2 y  5  2 x vào (1) ta thu được nghiệm của phương trình
15  97
11  73
là x 
và x 
8
8

 Nhận xét: Trong ví dụ trên, ở bước biến đổi đầu tiên:

1 

3 x  1    2 x  3  x  4
2

Không thể đặt ngay 2 y  3  3 x  1 , vì khi đó các hệ số của phương trình không
thỏa mãn điều kiện d  ac   và e  bc  
b) Bài tập: Giải các phương trình sau:
1.  x2  2  2  x
2. x3  1  2 3 2x  1
3. x2  2x  3  x  3
4. x2  4x  3  x  5

5. x2  6x  2  x  8
6.

x3
 2 x2  4 x
2

Sáng kiến kinh nghiệm

 12 


Trường THPT Phước Thiền
7.

x4
 3x2  6x  2
3

8.

2x  15  32x2  32x  20

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

9. 4x2  3x  1  5  13x
10. 32x2  32x  2x  15  20
11. 3 x  9  x3  9x2  27x  21
12. 3 3x  5  8x3  36x2  53x  25
. Đặt hai ẩn phụ:

Bên cạnh phương pháp đặt một ẩn phụ để đưa về hệ phương trình, có rất nhiều bài toán
cần dùng nhiều ẩn số phụ và tùy theo đặt thù của bài toán đã cho, ta thu được các mối liên
hệ giữa các đại lương tương ứng. Chẳng hạn, đối với phương trình
m

a  f  x  m b  f  x  c

u  m a  f  x 

Ta có thể đặt 
 u m  vm  a  b
v  m b  f  x 
u  v  c
Khi đó ta thu được hệ phương trình:  m
m
u  v  a  b
a) Ví dụ: Giải phương trình sau: 3 1  x  3 1  x  2
Giải:
Từ phương trình đã cho: 3 1  x  3 1  x  2 (1)
Đặt : u  3 1  x , v  3 1  x
Khi đó ta có hệ phương trình:
u  v  2
u  v  2

 3 3

2
2
u  v  2
 u  v  . u  v  uv  2





u  v  2
u  v  2
 2 2

2
u  v  uv  1  u  v   3uv  1
u  v  2

.
uv  1

Khi đó u,v là nghiệm của phương trình: t 2  2t  1  0  t  1
 u  v 1
 3 1 x  3 1 x  1 x  1 x  x  0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0.
b) Bài tập: Giải các phương trình sau:
1. 3 x  1  3 x  3  3 2
Sáng kiến kinh nghiệm

 13 


Trường THPT Phước Thiền
2.

3

x 1  3 x  3  3 2

3.

3

1
1
 x  3  x 1
2
2

3  x 6  x  3

4.

3 x  6  x 

5.

x3  x 2  2  x3  x 2  1  3

6.

x  3  3 x 1

7.

8.

3

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

2  x  x 1 1
x2  3  10  x2  5

9. 2 x2  2  5 x3  1

10. 5x2  14x  9  x2  x  20  5 x  1
11. 3 x  24  12  x  6
12. 4 18  x  4 x  1  3
13. 4 17  x  4 x  5  4
14. 4 x  1  4 x  4 x  1
15. 3 2  x  x2  3 2  x  x2  3 4
4.Đặt ẩn phụ bằng biến số lượng giác.
2
2
Phương pháp này dựa chủ yếu vào công thức sin x  cos x  1.

a2  x2
  
Đặt x  a sin t , t    ;  hoặc đặt x  a cos t , t   0; 
 2 2
2
2
 Nếu bài toán chứa x  a
a

a

  
, t   0;   \ { }
Đặt x 
, t   ;  \ {0} hoặc đặt x 
cos t
2
sin t
 2 2
2
2
 Nếu bài toán chứa a  x .
  
Đặt x  a tan t , t    ;  hoặc đặt x  a cot t , t   0; 
 2 2
ax
ax
 Nếu bài toán chứa
hoặc
. Đặt x  a.cos 2t
ax
ax
2
 Nếu bài toán chứa  x  a  b  x  . Đặt x  a   b  a  sin t
 Nếu bài toán chứa

Sáng kiến kinh nghiệm

 14 

Trường THPT Phước Thiền
a) Ví dụ: Giải phương tình sau:

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng
1
1
35


x
1  x 2 12

1

Giải:
1  x 2  0 1  x  1

x  0
x  0
 
Đặt x=sint, t    ;  \ 0 . Ta có: 1  x2  cos2 t  cos t
 2 2

Điều kiện: 

Do đó:
1
1

35


 12  cos t  sin t   35sin t.cos t  0  2 
sin t cos t 12

 
Đặt u  sin t  cos t  2.cos  t   với t    ;  \ 0  u  1; 2 \ 1
 4
 2 2

1 





Ta có:
5

u

7
 2   35u 2  24u  35  0  
u  7

5
7
4
3




sin t  cos t 
sin t 
sin t 



7

5

5
5

+ với u   
hoặc 
2
5
cos t  3
sin t.cos t  u  1  12
cos t  4


5
5

2
25


5

5  73
sin t  cos t  
sin t 


5
7

14
+ với u    

2
7
sin t.cos t  u  1   12
cos t  5 m 73

2
49
14



5  73
sin t 

14


cos t  5  73 cos t  0



14

 3 4  73  5 


14 

5 5


Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S   ; ;
b)Bài tập: Giải các phương trình sau:
1.x3 

2.x 

1 x 
2

x

3

 x 21  x2 

35

x2  1 12


Sáng kiến kinh nghiệm

 15 


Trường THPT Phước Thiền
3

3. 1  1  x2  1  x  


Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

1  x 

3


2
  2  1  x

II.Phương pháp hàm số.
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng bài toán khá quen thuộc.
Ta có ba dạng áp dụng sau:
Dạng 1: f  x   k

-Xét hàm số y  f  x  . Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (đồng biến,

nghịch biến).
-Dùng nhận xét:
Với x  x0  f  x   f  x0   k , do đó x  x0 là nghiệm.
Với x  x0  f  x   f  x0   k , do đó phương trình vô nghiệm.
Với x  x0  f  x   f  x0   k , do đó phương trình vô nghiệm.
Vậy x  x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Dạng 2: f  x   g  x 

- Xét hàm số y  f  x  và y  g  x  . Dùng lập luận khẳng định hàm số y  f  x  là

hàm đồng biến còn hàm số y  g  x  là hàm nghịch biến, hoặc hàm hằng. Xác định x0 sao
cho f  x0   g  x0  .

- Vậy x  x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Dạng 3: f  u   f  v  (*) , với u  u  x  , v  v  x  .

- Xét hàm số y  f  x  . Dùng lập luận khẳng định hàm số y  f  x  là hàm đơn điệu

- Khi đó *  u  v .

a) Ví dụ: Giải phương trình: 2 x  x  2 x  3 x  1  3 x  1 
Giải:
3

2

3

3

Ta có 1  2 x  3 x  1  2 x  3 x  1  x  2 
3

3

Xét hàm số f  t   t  3 t

3



2





3

Nhận thấy f '  t   1 
Sáng kiến kinh nghiệm

1
3

3 t

2

2

x2  2



1

2

x2  2

Phương trình (2) được viết là f 2 x  3 x  1  f x  2
3

3

 3

 1, t  R \ 0 suy ra f  t  đồng biến trên R \ 0
 16 


Trường THPT Phước Thiền
Giáo viên: Phạm Phú Hoàng
3
2
3
2
Suy ra  3  2 x  3 x  1  x  2  2 x  x  3x  1  0

  2 x  1  x 2  x  1  0

1

x



2 x  1  0
2
 2

1 5

x  x 1  0
x


2
Nhận xét:
Trong bài giải trên ta đã sử dụng kiến thức: Nếu

f  x1   f  x2   x1  x2

f  t  là hàm đơn điệu thì

b) Bài tập:
1. 4x  1  4x2  1  1

2. x  x2  x  1  x  1  x2  x  1  1

III.Phương pháp đánh giá.
Có nhiều bài toán, bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các tính chất của bất đẳng thức, ta
có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của nó.
a) Ví dụ:
Giải phương trình: x2  4 x  6  2 x2  5x  3  3x2  9 x  5
1
Giải:
2 x 2  5 x  3  0
Điều kiện :  2

 2

3x  9 x  5  0
2
Ta có : x 2  4 x  6   x  2   2, x
2 x 2  5 x  3  3x 2  9 x  5 

1  1  2 x2  5x  3  3x2  9 x  5

 4  2  x  2  2
2

Do đó từ (1) và (2) suy ra:
2 x 2  5 x  3  0

2
3 x  9 x  5  0
x2

x  2  0

2 x 2  5 x  3  3 x 2  9 x  5


b) Bài tập:
1. x2  2x  5  x  1  2
2. 3  4 7x  15  x  2x

Sáng kiến kinh nghiệm

 17 


Trường THPT Phước Thiền
1
1
3. 5x3  3x2  3x  2  x2  3x 
2
2

1
1
4. 2  x2  2  2  4   x  
x
x


Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

Chương 3: BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giải các phương trình sau:

1.

3x 2  9 x  1 | x  2 |

2.

6  x | x  4 |

3.

2x  1 = 2  x  3
3x  7  x  1  2
5x  1  3x  2  2x  3
3  x  2  5  2x
6 x  x4  x7
x  6  3 x  6  14  x  0

4.
5.
6.
7.
8.

x2  17  2 3 x  3
10. 3 x  5  3 x  6  3 2x  11
11. 3 2 x  1  3 x  1  3 3x  2
9.

3

3
3
12. 1  x  1  x  2

13. 3 5 x  7  3 5 x  12  1
3
3
14. 9  x  1  7  x  1  4

15. 2 x2  8x  12  x2  4x  6
16. 2x  x2  6 x2  12x  7  0
17. x2  2x  2 x2  4x  4  5
18. x2  x2  2x  2  4  2x
2
2
19. x  5x  4  5 x  5x  28
20. ( x  5)( x  2)  3 x( x  3)  0
2
2
21. 3x  2x  15  3x  2x  8  7

2
2
22. 3x  5x  8  3x  5x  1  1

23. 7  2 x  5  3  1  x  5
24.

x  30  35  x  ( x  30)(35  x)  39

Sáng kiến kinh nghiệm

 18 


Trường THPT Phước Thiền
25. 3 x  1  x  3

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

26. x  1  2 3 2 x  1
3

27. x  9  5  2x  4
28. 5x  7  3x  1  x  3
29. 7x  1  3x  18  2x  7
30. x  2  6x  11  x  3
31. 3 x  34  3 x  3  1
32. 3 x  1  3 x  2  3 2x  3
33. x2 

7
7

x

x
x2
x2

34. 8x  1  3x  5  7x  4  2x  2
35. 11x  3  2  x  9x  7  x  2
36. 4x2  9x  5  2x2  x  1  x2  1
37. 3x2  7x  3  x2  2  3x2  5x  1  x2  3x  4
36
38. x  5 
 x4
x5
10
39. x  15 
 x 1
x 1
1
x
40. x2  1 
5
x2 
3
41. x  x2  1  x  x2  1  2

Sáng kiến kinh nghiệm

 19 


Trường THPT Phước Thiền
Giáo viên: Phạm Phú Hoàng
Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG MỘT SỐ ĐỀ ĐẠI HỌC
Giải các phương trình sau:





1.

x 3 35  x3 x  3 35  x 3  30 (ĐHBK 91)

2.

x  9  5  2 x  4 (ĐHQG TPHCM 98)

3.

 x  3

10  x 2  x 2  x  12 (ĐH 99)

4. x  2 x  1   x  1 x 

x 2  x  0 (HV KTQS 2000)

x  1  2 x  2  x  1  2 x  2  1(ĐHSP VINH 2000)
y 3
6.
(ĐH TCKT 95)
y  2 y 1  y  2 y 1 
2
2
2

7. x  x  11  31(ĐH CSNN 99)
2
8.  x  5  2  x   3 x  3 x (ĐHTN 2000)
5.

9.

2 x 2  5 x  2  2 2 x 2  5 x  6  1 (ĐHSP TPHCM 2000)

10. x  3x  3 
2

x 2  3x  6  3 (ĐHTM 98)

11. x 

x  1  1(ĐHXD 98)
2
12.  x  1 2  x   1  2 x  2 x (ĐH CẦN THƠ 99)
2

13. 3 x  4  2 x  1 

x  3 (HVNH 98)

14. 3  x  x  2  x  x  1(ĐHNT 99)
2

15. 3x  2 

2

x  1  4 x  9  2 3x 2  5 x  2 (HV KTQS 99)

2
x  x 2  x  1  x (HVNH 2000)
3
3
17. 2  x  1  x  1 (ĐH TCKT 2000)
4x  9
 7 x 2  7 x, x  0 (ĐHAN 2000)
18.
28
16.1 

Sáng kiến kinh nghiệm

 20 


Trường THPT Phước Thiền

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

Phần 3:

KẾT LUẬN

Trên đây là phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ mà tôi rút ra được trong
suốt quá trình giảng dạy tại Trường THPT Phước Thiền.

Phương trình vô tỉ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 10 nói
riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, cần
có cái nhìn tổng quát và phương pháp giải của từng dạng phương trìnhđồng thời phải có tư
duy logic chinh xác.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, tham khảo nhiều nguồn tài liệu, song chắc chắn
còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng
nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Nhơn Trạch, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Người viết đề tài

Phạm Phú Hoàng

Sáng kiến kinh nghiệm

 21 


Trường THPT Phước Thiền

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

MỤC LỤC
-----BẢN KHAI THÀNH TÍCH CÁ NHÂN ................................................................................ 1
SƠ LƯỢC LÍ LỊCH KHOA HỌC ......................................................................................... 2
PHẦN 1: PHẦN MỞ ĐẦU .................................................................................................. 3
I.Lí do chọn đề tài .............................................................................................................. 3
II.Mục đích nghiên cứu ...................................................................................................... 3
III.Cơ sở lí luận .................................................................................................................. 4
IV.Đối tượng nghiên cứu ................................................................................................... 4
V.Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................................ 4

VI.Nhiệm vụ - yêu cầu của đề tài....................................................................................... 5
VII.Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 5
PHẦN 2: NỘI DUNG ĐỀ TÀI ............................................................................................ 6
Chương 1: Phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản ................................................... 6
I.Phương trình dạng

f ( x)  g( x) ............................................................................. 6

II.Phương trình dạng f ( x)  g( x) ............................................................................... 7
Chương 2. Phương pháp giải một số phương trình không mẫu mực ................................ 9
I.Phương pháp đặt ẩn phụ .............................................................................................. 9
1.Đặt một ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ .................................................. 10
2.Đặt một ẩn phụ và dùng phương pháp tham số biến thiên, hằng số biến thiên ...... 10
3.Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình......................................................................... 11
4.Đặt ẩn phụ bằng biến số lượng giác........................................................................ 14
II.Phương pháp hàm số ................................................................................................ 16
III.Phương pháp đánh giá............................................................................................. 17
Chương 3. Bài tập tự luyện .............................................................................................. 18
Chương 4.Phương trình vô tỉ trong một số đề thi đại học ............................................... 19
PHẦN 3: KẾT LUẬN ........................................................................................................ 21

Sáng kiến kinh nghiệm

 22 


Trường THPT Phước Thiền
SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI

Giáo viên: Phạm Phú Hoàng

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THPT PHƯỚC THIỀN

Độc lập- Tự do- Hạnh phúc

Phước Thiền, ngày

tháng

năm 2013

PHIẾU NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên SKKN: “ BỔ TÚC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÔ TỈ”
Họ và tên tác giả : Phạm Phú Hoàng
Đơn vị : Toán
Lĩnh vực :
Quản lý giáo dục 
Phương pháp dạy học bộ môn 
Phương pháp giáo dục 
Lĩnh vực khác 
1. Tính mới :
- Có giải pháp hoàn toàn mới 
- Có giải pháp cải tiến , đổi mới từ giải pháp đã có 
2. Hiệu quả:
- Hoàn toàn mới và đã triễn khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến , đổi mới từ giải pháp đã có và đã triễn khai trong toàn ngành có hiệu
quả 

- Hoàn toàn mới và đã triễn khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến , đổi mới từ giải pháp đã có và đã triễn khai tại đơn vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng :
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối chính sách
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ
đi vào cuộc sống:
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả
trong phạm vi rộng:
Tốt 
Khá 
Đạt 
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Sáng kiến kinh nghiệm

 23 